10 virgilio gonzalez_fundamentos_y

Ingenierías, Enero-Marzo 2001, Vol. IV, No.10 53
Abstract
This is the first part of two articles were we
described, in a simple form the: concepts,
mathematics, applications and research progress at
FIME, of the relatively new and fast growing area
of the fractal geometry. The first part include the
bases of the fractal geometry and a scope of the
principal applications, the second part include
some more detailed examples of its applications,
and the progress and success of the research in this
area at FIME.
INTRODUCCIÓN
La investigación y desarrollo tecnológico en una
gran diversidad de áreas, está adoptando los
conceptos de una nueva geometría, la geometría de
fractales, como alternativa en la resolución de
problemas de índole tan diversa como diferentes
son las propiedades mecánicas y reológicas de los
materiales con relación a la música sintética.
Este escrito es el primero de dos partes en los
que se pretende mostrar, en la forma más sencilla
posible, los conceptos fundamentales de esta área
de las matemáticas, describir esquemáticamente, o
al menos enlistar algunas de sus aplicaciones y
comunicar a la comunidad de FIME los trabajos que
en este sentido se desarrollan en nuestra facultad,
así como sus principales logros.
Es indudable la importancia de la geometría en
la comprensión de la naturaleza (ciencia), su
aprovechamiento (ingeniería) y hasta en la
creatividad de la comunicación artística. Sin
embargo con el bagaje convencional de
conocimientos adquiridos por cualquier persona ya
sea con un mínimo de preparación (quizás pre-
primaria), hasta doctos especialistas en las diversas
áreas del quehacer humano, solo nos es posible
identificar formas geométricas comprendidas en un
intervalo discreto de dimensionalidad espacial, así
un objeto solo puede tener una, dos o tres
dimensiones según sea lineal, planar o volumétrico
respectivamente. Además, las formas geométricas
reconocibles y susceptibles de ser descritas
matemáticamente con cierta facilidad (línea recta o
curva, circunferencia, triángulo, esfera, etc.), no se
encuentran comúnmente en la naturaleza, (Ejemplo
cristales de cuarzo y de sal).
La geometría de fractales ha permitido describir
formas geométricas que antes no era posible hacerlo
y, con esto explicar fenómenos naturales y
relaciones como morfología y propiedades.
GEOMETRÍA EUCLIDIANA Y DE
FRACTALES
La geometría *
como la conocemos fue planteada
por primera vez en los años 300 A.C. por Euclides y
ha tenido relativamente pocos cambios desde
entonces. En 1975 Benoît B. Mandelbrot, establece
las bases de una nueva geometría conocida como
geometría de fractales, la cual está teniendo cada
vez más aplicaciones en todos los campos del
conocimiento.
Fig. 1. Euclides, 360-300 A.C, Alejandría, Egipto.
Padre de la geometría euclidiana, 360 – 300 A.C.
*
DIMAT-FIME-UANL
Fractales: fundamentos y aplicaciones
Parte I: Concepción geométrica en la ciencia e
ingeniería
Virgilio A. González G.*, Carlos Guerrero*

Fractales: fundamentos y aplicaciones. Parte I: Concepción geométrica en la ciencia e ingeniería
54 Ingenierías, Enero-Marzo 2001, Vol. IV, No.10
Fig. 2. B.B. Mandelbrot, Varsovia, Polonia (1924 - ----),
Fundamentos de la geometría de fractales
La geometría de fractales está permitiendo
describir matemáticamente y en forma más o menos
sencilla, objetos y fenómenos que se habían
considerado muy complejos como las geometrías de
algunos helechos y de superficies de materiales, o
simplemente caóticos como el movimiento
browniano, auxiliando además a escalar geometrías
y propiedades tanto desde niveles atómicos ó de
dimensiones espaciales hasta las escalas
macroscópicas en que nuestros sentidos son capaces
de captar.
DIMENSIÓN FRACTAL. EL CONCEPTO
El concepto principal de esta nueva geometría es
la dimensión fractal (Df), que es una propiedad del
objeto la cual nos indica qué tanto ocupa el espacio
que lo contiene, y que puede adquirir valores
continuos en el espacio de los números reales, entre
0 y 3. Una explicación simplificada de este
concepto se puede hacer utilizando la figura 3
Fig. 3. Esquema para la comparación simplificada entre
dimensión euclidiana (De) y dimensión fractal (Df).
En esta figura, en la parte superior se representan
4 objetos considerados por la geometría euclidiana
en alguna de las tres dimensiones (dimensiones
euclidianas “De”), o bien cero (el punto). Si estos
cuerpos fueran continuos en el espacio, (Ejem.
Cubo sólido), su dimensión fractal coincidiría con
la dimensión euclidiana (Df = De), sin embargo al ir
amplificando el cubo o las representaciones de la
línea y el plano, en determinada escala de
amplificación nos encontraremos que estos objetos
tienen espacios vacíos, están llenos de “poros”,
(parte inferior de figura 3), por lo que de acuerdo a
la geometría fractal, la línea tiene una dimensión
fraccional o fractal mayor que 0 pero menor que 1,
dependiendo que tantos “poros” tiene, el plano 1 <
Df < 2 y el cubo 2 < Df < 3.
LOS FRACTALES
Otro concepto fundamental es el de las
geometrías fractales, o simplemente de los fractales
(del latín fractus, irregular). Por ser esta un área del
conocimiento nueva y por lo tanto actualmente en

Virgilio A. González G., Carlos Guerrero
desarrollo, la definición de fractales aún es
cambiante, la primera definición establecida por
Mandelbrot en 1975 es:
Fractales es el conjunto de formas generadas
normalmente por procesos matemáticos repetitivos
y que se caracterizan por: 1) tener el mismo aspecto
a cualquier escala de observación, 2) tener longitud
infinita, 3) no ser diferenciables y 4) tener
dimensión fraccional o fractal. Actualmente, aún y
que se mantienen las cuatro características
mencionadas su acepción es: Formas geométricas
que pueden ser separadas en partes, cada una de las
cuales es una versión reducida del todo.
Fig. 4. Fractal matemático que simula la geometría de un
helecho, mostrando su propiedad de escalamiento
La figura 4 muestra la representación de un
helecho resultado de modelación matemática
utilizando geometría de fractales. Se aprecia que al
aumentar la amplificación el aspecto de la figura
resultante no cambia. Esta amplificación se puede
llevar tan lejos como la precisión de los cálculos lo
permita. La función que genera este fractal no es
diferenciable y tiene una dimensión fractal de Df =
1.6.
DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA DF
Una definición matemática de Df es la que se
conoce como la dimensión de Hausdorff-
Besicovith, por haber sido planteada primero por
estos investigadores. Este planteamiento consiste en
lo siguiente:
Para medir una línea curva de longitud Lo, se
cubre esta con N(δ) segmentos (reglas) de longitud δ,
entonces:
( )
1
δδ oLN = (1)
podemos definir L como la suma de todas las reglas
quedando como:
( )( )11
δδ δNL == ∑ (2)
substituyendo [1] en el término de la derecha de (2),
resulta la Ec. 3 y su límite cuando δ tiende a cero
(regla infinitamente pequeña), da como resultado la
longitud que queremos medir (Ec. 3).
0
00
0 LLL  →= →δ
δ (3)
De la misma forma, para una superficie de
dimensión Ao y ésta se mide con N(δ) segmentos de
área de dimensión δ 2
 entonces:
( )
2
δδ oAN = (4)
y definiendo A como:
( )( ) 0
00
0
22
AANA  →=== →
∑ δ
δ δδδ (5)
En el caso de un volumen queda como:
( )
3
δδ oVN = (6)
( )( ) 0
00
0
33
VVNV  →=== →
∑ δ
δ δδδ (7)
Si para medir la línea curva, tomamos como regla
un objeto de dimensión 2, entonces las Ecs. 1 a 3
quedarían como:

( )
2
δδ oLN = (8)
( )( ) ∞ →=== →−
∑ 01
0
22 δ
δ δδδ VNL (9)
Encontrando así que: si queremos medir un
objeto de determinada dimensionalidad (1 en este
caso) con una regla de dimensionalidad mayor (2),
lo encontraríamos de magnitud infinita.
Por otra parte, si para medir el volumen usamos
una regla bidimensional (de menor dimensionalidad
que el objeto a medir), el resultado sería:
( )
2
δδ oVN = (10)
( )( ) 001
0
22
 →=== →
∑ δ
δ δδδ VNV (11)
Es decir, cuando queremos utilizar una regla de
menor dimensionalidad que la de nuestro objeto a
medir, el resultado será cero. Por lo tanto solamente
podemos usar la regla de la misma dimensionalidad
que el objeto para obtener el resultado esperado.
Para generalizar estas observaciones, definimos
un objeto que tiene una magnitud MD de
dimensionalidad D y que medimos con la unidad de
medida δ de dimensionalidad d, entonces:
( )
d
d
d
DD NM δγδγ δ== ∑ (12)
donde γd es un factor geométrico relacionado a la
forma de la unidad de medida (Ejem. Línea γd=1,
disco γd=π/4 o esfera γd=π/6). Así, al calcular MD
para diferentes valores de d, (figura 5),
encontraremos que:
DdM D >⇔∞→ ; (13)
DdMM DD =⇔→ ; (14)
DdM D <⇔→ ;0 (15)
Fig. 5. Gráfica de la ecuación 12 mostrando el cambio
en la magnitud Md en el punto donde d coincide con D
La dimensión fractal o de Hausdorff-Besicovith
(D), es el valor de d en el punto en que Md pasa de
infinito a cero. (D = d)
AUTO-SIMILITUD, AUTO-AFINIDAD Y
ESCALAMIENTO
El helecho fractal mostrado previamente
reproduce su aspecto geométrico al cambiar la
amplificación global de la imagen, tomando un
pequeño rectángulo y amplificándolo
proporcionalmente en ambas direcciones, si el
objeto estuviese en tres dimensiones, la
amplificación sería la de un pequeño paralelepípedo
y la amplificación se haría proporcional en las tres
dimensiones, esta característica se conoce como
auto-similaridad, ejemplos de un fractal auto-
similar naturales son la coliflor y el brócoli de
Bruselas (figura 6)

Fig. 6. Brócoli de Bruselas (a) mostrando la característica
auto-similar al repetirse el aspecto de la planta original,
(b) al ser amplificada una sección de la misma.
La generación de fractales auto-similares se
puede lograr mediante experimentos sencillos como
lo es el calidoscopio, donde la imagen de uno o
varios objetos se reflejan repetidas veces en espejos
acomodados paralelamente entre sí, o bien
matemáticamente mediante procedimientos
repetitivos conocidos como transformaciones auto-
afines. Como ejemplo tenemos la curva de Von
Koch (figura 7), donde se parte de una recta (parte
inferior de la figura), la cual se divide en tres
segmentos iguales, el de en medio se substituye por
un triángulo equilátero y resulta así una figura con
cuatro segmentos de rectas, si cada uno de estos
segmentos se les hace la misma operación que a la
primera recta, obtenemos una figura con 16
segmentos, este procedimiento, se sigue repitiendo
hasta el infinito obteniendo así un perfil que a
mayor amplificación presenta un aspecto
invariante.
Fig. 7. Construcción de la curva de V. Koch.
Por su característica de escalamiento igual en
todas direcciones, podemos decir que estos fractales
son isotrópicos auto-similares. Otros objetos
naturales o matemáticos, tales como las superficies
de los objetos (figura 8) y los perfiles generados por
el movimiento browniano (figura 9), sólo mantienen
su aspecto durante el escalamiento si éste se hace
diferente en al menos una de las direcciones, es

decir son fractales anisotrópicos los cuales se
conocen como objetos o fractales auto-afines.
Fig. 8. Superficie auto-afín generada mediante
computadora, simulando la rugosidad de superficies de
fractura más comunes
Esta propiedad de auto-afinidad, obedece a
transformaciones o escalamientos como las que se
describen en la siguiente ecuación:
( ) ),,(,, ZYXZYX zyx
ζ
λλλ→ (16)
donde ζ
λλλ zyx ≠=
El exponente ζ se conoce como exponente de
auto-afinidad y tiene una relación con la dimensión
fractal como lo muestra la Ec. 17.
ζ−+= 1ef DD (17)
En la figura 9 se muestra esquemáticamente el
movimiento browniano calificado generalmente
como caótico (figura 9 arriba), que sin embargo
representándolo como la distancia al origen (d) en
función del tiempo resulta en un fractal auto-afín de
dimensión fractal Df=1.5 y de acuerdo a [17] por ser
una línea De = 1, entonces ζ = 0.5.
Fig. 9. Movimiento browniano esquematizado como
(a) la posición X,Y en función del tiempo y (b) la distancia
al origen en función del tiempo.
APLICACIONES:
Algunas de las muchas aplicaciones de la geometría
de fractales son:
• Movimiento de las finanzas o de la moneda
• Codificación de señales de audio, de video o
digitales
• Caracterización geométrica y escalamianto en
minerales
• Medición de fronteras y costas
• Caracterización de agregados (Ejem: negro de
humo)
• Análisis estructural y morfológico en
polímeros
• Análisis espectroscópico
• Escalamiento de propiedades
• Análisis de señales (Ejem: Espectroscopia y
ruido)
• Análisis y predicción de condiciones
ambientales, terremotos y volcanes
• Análisis de fenómenos considerados como
caóticos como el movimiento browniano y la
formación de nebulosas siderales

En el Doctorado de Ingeniería de Materiales de
la FIME, un grupo de investigadores nos hemos
abocado a implementar y evaluar métodos de
análisis en geometría de fractales y su aplicación a
la morfología y fractura de materiales metálicos,
cerámicos y poliméricos. En la segunda parte de
esta publicación se hará la descripción de estos
trabajos y sus logros.
LITERATURA RECOMENDADA
1. B. B. Mandelbrot, D.E. Passoja and A. J. Paullay,
Nature, 308, 721, (1984)
2. H-O Peitgen, H. Jürgens and D. Saupe, “Chaos
and Fractals. New Frontiers of Science”,
(Springer-Verlag, New York 1992)
3. J. Feder, “Fractals”, (Plenum Press, New York
1988)
4. M.F. Barnsley, R.L. Devaney, B.B. Mandelbrot,
H. O. Peitgen, D. Saupe and R. Voss., “The
Science of Fractal Images”,( Springer-Verlag,
New York 1988)
5. J. C. Russ., “Fractal Surfaces”, (Plenum Press,
New York 1994)
6. E. Bouchaud, J. Phys.: Condens Matter, 9, 4319,
(1997).
7. J. Shcmittbuhl, J-P. Vilotte and S. Roux, Phys.
Rev. E, 51, 131, (1995)
8. E. Reyes, et al., Proc. of the 58 ANTEC
conference, 2, 2051, (2000)
9. A.S. Balankin, Eng. Frac. Mech., 57, 2/3, 135,
(1997), and references therein.
10. M. Hinojosa, E. Bouchaud and B. Ngiem, MRS
Symp. Proc. 539, 203, (1999)
11. A. Majumdar, B. Bhushan. J. of Tribology, 112,
112, (1990).
REFERENCIAS
1. Carta tecnológica. Boletín de difusión del
CEDIMI, Año 1, Núm. 1.
2. Safime, VII edición, p. 20.
3. Safime, VII edición, p. 20-21.
4. El Diario de Monterrey, 21 de octubre de 1987,
p. 3B.
5. Carta tecnológica. Boletín de difusión del
CEDIMI, Año 1, Núm. 1.
6. Periódico El Nacional.
7. Carta tecnológica.

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