10°ejercicios sumatorios

Análisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
1. MANEJO DE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS.
El sumatorio (o sumatoria) es un operador matemático, representado por la letra griega sigma
mayúscula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un
número indeterminado (representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos.
Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x, y, z, . . .)
cuyos valores dependen de un ´ındice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El ´ındice
empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en
una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. As´ı por ejemplo,
3
i=1
xi = x1 + x2 + x3
representa la suma de los valores de la variable x desde el primero hasta el tercero. En general,
n
i=1
xi = x1 + x2 + . . . + xn−1 + xn
representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresión anterior se lee: “sumatorio
de x sub-i desde i igual a 1 hasta n”.
El ´ındice del sumatorio puede tomar cualquier conjunto de números enteros, es decir, no tiene por-
qué empezar en 1, (aunque en las expresiones que aparecen a continuación casi siempre sea as´ı para
simplificar la notación). La única condición que se tiene que cumplir es que el primer valor del ´ındice,
el que aparece abajo, sea menor o igual que el último valor del ´ındice, el que aparece arriba. Es decir,
en la suma n
i=k xi k tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido. Si k fuera
mayor que n, por ejemplo, k = 5 y n = 3, estar´ıamos sumando los de x empezando en 5 hasta llegar a
3, es decir, no estar´ıamos sumando nada, y la suma ser´ıa igual a cero. Si queremos sumar los valores
de x desde 3 hasta 5, deberemos tomar n = 5 y k = 3, es decir, hacer 5
i=3 xi.
1.1. Propiedades.
El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y por lo tanto, cumple
todas las propiedades de ésta:
Propiedad conmutativa:
n
i=1
(xi + yi) = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn
= y1 + x1 + y2 + x2 + . . . + yn + xn =
n
i=1
(yi + xi)
Propiedad asociativa:
n
i=1
(xi + yi) +
n
i=1
zi = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn + z1 + z2 + . . . + zn
= x1 + x2 + . . . + xn + y1 + z1 + y2 + z2 + . . . + yn + zn =
n
i=1
xi +
n
i=1
(yi + zi) =
n
i=1
(xi + yi + zi)
1

Propiedad distributiva:
a ·
n
i=1
xi = a · (x1 + x2 + . . . + xn)
= ax1 + ax2 + . . . + axn =
n
i=1
(axi), a ∈ R
Otras propiedades:
1. El sumatorio de una constante (no depende de ningún ´ındice) es igual a la constante mul-
tiplicada por el número de sumandos:
n
i=1
b =
n veces
b + b + . . . + b= nb, b ∈ R
2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1):
n
i=1
(axi + b) =
n
i=1
axi +
n
i=1
b = a
n
i=1
xi + nb, a, b ∈ R
Nota: ¡¡¡a · n
i=1 xi + nb = a · n
i=1(xi + nb)!!! En un sumatorio, los sumandos vienen
indicados por el primer s´ımbolo después de Σ. Si cada sumando involucra más de un término,
tendremos que escribir la expresión del sumando entre paréntesis. Por ejemplo:
3
i=1
i2
+ 5 = 12
+ 22
+ 32
+ 5 = 1 + 4 + 9 + 5 = 19,
mientras que
3
i=1
(i2
+ 5) = 12
+ 5 + 22
+ 5 + 32
+ 5 = 1 + 5 + 4 + 5 + 9 + 5 = 29.
3. Los valores recorridos por el ´ındice se pueden separar en varios sumatorios:
n
i=1
xi =
n0
i=1
xi +
n
i=n0+1
xi, n0 ≤ n
En efecto:
x1 + x2 + ... + xn = (x1 + x2 + ... + xn0 ) + (xn0+1 + . . . xn)
Por ejemplo:
4
i=1
log(i) = log(1) + log(2) + log(3) + log(4) = (log(1) + log(2)) + (log(3) + log(4))
=
2
i=1
log(i) +
4
i=3
log(i) (aqu´ı n = 4 y n0 = 2).
Nota: Todas las propiedades descritas son válidas independientemente del conjunto de valores que
tome el ´ındice del sumatorio. Es decir, sin en vez de n
i=1 tenemos n
i=k, para cualquier valor de
k ≤ n, las propiedades anteriores se aplican exactamente igual.
2

1.1.1. Igualdades que NO cumplen los sumatorios.
A continuación se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios
(y que constituyen errores muy habituales):
1.
n
i=1
xiyi =
n
i=1
xi
n
i=1
yi ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando
los valores de x multiplicados por su correspondiente valor de y:
x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn,
y en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x multiplicados
por todos los valores de y:
(x1+x2+. . .+xn)·(y1+y2+. . .+yn) = x1y1+x1y2+. . .+x1yn+x2y1+x2y2+. . .+x2yn+xny1+xny2+. . .+xnyn.
2.
n
i=1
x2
i =
n
i=1
xi
2
ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los valores
de x elevados al cuadrado:
x2
1 + x2
2 + . . . + x2
n,
mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y
luego estamos elevando toda la suma al cuadrado:
(x1+x2+. . .+xn)2
= x2
1+x2
2+. . .+x2
n+2x1x2+2x1x3+. . .+2x1xn+2x2x3+. . .+2x2xn+. . .+2xn−1xn.
3. En general, si f : R −→ R es una función no lineal (es decir, no es una recta, involucra operaciones
distintas de la suma y el producto por escalares), entonces
n
i=1
f(xi) = f
n
i=1
xi .
Por ejemplo:
5
i=1
i3
=
5
i=1
i
3
10
n=1
ln(n) = ln
10
n=1
n
7
k=1
√
zk =
7
k=1
zk.
1.2. Sumatorios dobles (o triples, cuádruples, etc.).
Si la variable cuyos valores queremos sumar depende de dos (o tres, cuatro, etc.) ´ındices utilizaremos
un sumatorio doble (o triple, cuádruple, etc.). Por ejemplo, dada una matriz cuadrada n × n
A = (aij)i,j=1,...,n =











a11 a12 a13 . . . a1,(n−2) a1,(n−1) a1n
a21 a22 a23 . . . a2,(n−2) a2,(n−1) a2n
a31 a32 a33 . . . a3,(n−2) a3,(n−1) a3n
...
...
...
...
...
...
...
a(n−2),1 a(n−2),2 a(n−2),3 . . . a(n−2),(n−2) a(n−2),(n−1) a(n−2),n
an1 an2 an,3 . . . an,(n−2) an,(n−1) ann











3

los elementos de A dependen de dos ´ındices: el ´ındice i que denota las filas y el ´ındice j que representa
las columnas. As´ı, si queremos sumar todos los elementos de A, tendremos que sumar primero los
elementos de cada fila, y luego sumar los n valores resultantes. Es decir, la suma de todos los elementos
se puede escribir como: n
i=1
n
j=1 aij. En efecto, si desarrollamos primero el sumatorio en j y luego
el sumatorio en i se obtiene lo siguiente:
n
i=1
n
j=1
aij =
n
i=1
(ai1 + ai2 + . . . ain)
= (a11 + ai2 + . . . a1n) + (a21 + a22 + . . . a2n) + . . . + (an1 + an2 + . . . ann).
Nota: los ´ındices de los dos (o más) sumatorios no tienen porqué tomar los mismos valores. Por
ejemplo, si sólo quiero sumar los elementos de la matriz A que están por encima de la diagonal (en
negrita)
A = (aij)i,j=1,...,n =











a11 a12 a13 . . . a1,(n−2) a1,(n−1) a1n
a21 a22 a23 . . . a2,(n−2) a2,(n−1) a2n
a31 a32 a33 . . . a3,(n−2) a3,(n−1) a3n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 an3 . . . an,(n−2) an,(n−1) ann











,
en cada fila i tengo que considerar sólo los elementos aij con j > i (ó j ≥ i + 1). Por lo tanto escribiré:
n
i=1
n
j=i+1
aij =
n
i=1
(ai,i+1 + ai,i+2 + . . . ain)
= (a12 + ai3 + . . . a1n) + (a23 + a24 + . . . a2n) + . . . + +(a(n−2),(n−1) + a(n−2),n) + a(n−1),n.
OJO: Cuando i es igual a n, la suma n
j=i+1 aij no contiene ningún sumando puesto que el ´ındice j
tendr´ıa que ir desde n + 1 hasta n, lo cual no es posible. Esto sólo quiere decir, que en la última fila,
i = n, no tenemos ningún elemento por encima de la diagonal.
Análogamente, la suma de los elementos por debajo de la diagonal se escribe: n
i=1
i−1
j=1 aij. En este
caso, para i = 1 la suma i−1
j=1 aij no contiene ningún sumando puesto que el ´ındice j tendr´ıa que ir
desde 1 hasta 0, lo cual no tiene sentido. Es decir, en la primera fila, i = 1, no hay elementos por
debajo de la diagonal.
La traza de A, o lo que es lo mismo, la suma de los elementos de la diagonal de A, se podr´ıa escribir
como: n
i=1 j=i aij, es decir, sumamos aquellos elementos para los cuales el número de su fila y su
columna coinciden. En este sumatorio doble, para cada valor de i el segundo ´ındice, j, toma un único
valor: j = i. En este caso, podemos prescindir de j y escribir la suma con un sumatorio simple de la
siguiente manera: n
i=1 aii.
Nota: Si los ´ındices de los dos sumatorios i y j toman los mismos valores, se escribir los dos ´ındices
en un único s´ımbolo de sumatorio de la siguiente forma, n
i,j=1, indicando que tanto i como j van
desde 1 hasta n. As´ı, podemos escribir el doble sumatorio en forma compacta:
n
i=1
n
j=1
aij =
n
i,j=1
aij.
4

1.2.1. Propiedades de los sumatorios dobles
Propiedad conmutativa:
n
i=1
n
j=1
(xij + yij) =
n
i=1
n
j=1
(yij + xij)
=
n
j=1
n
i=1
(yij + xij) =
n
j=1
n
i=1
(xij + yij)
Propiedad asociativa:
n
i=1


n
j=1
xij +
n
j=1
yij

 =
n
i=1
n
j=1
(xij + yij)
Propiedad distributiva:
a ·
n
i=1
n
j=1
xij = a ·
n
i=1
(xi1 + xi2 + . . . + xin)
= a · [(x11 + x12 + . . . + x1n) + . . . + (xn1 + xn2 + . . . + xnn)]
= (ax11 + ax12 + . . . + ax1n) + . . . + (axn1 + axn2 + . . . + axnn)
=
n
i=1
n
j=1
axij, a ∈ R
Otras propiedades:
1. El sumatorio doble de una constante (no depende de ningún ´ındice) es igual a la constante
multiplicada por el número de sumandos al cuadrado:
n
i=1
n
j=1
b =
n
i=1
(
n veces
b + b + . . . + b) =
n
i=1
nb
= (
n veces
nb + nb + . . . + nb) = n · nb = n2
b, b ∈ R
2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1):
n
i=1
n
j=1
(axij + b) =
n
i=1
n
j=1
axij +
n
i=1
n
j=1
b
= a
n
i=1
n
j=1
xij + n2
b, a, b ∈ R
3. Se verifica que
n
i=1
n
j=1
xiyj =
n
i=1
xi


n
j=1
yj

, ya que
n
i=1
n
j=1
xiyj =
n
i=1
(xiy1 + xiy2 + . . . + xiyn)
5

= (x1y1 + x1y2 + . . . + x1yn) + (x2y1 + x2y2 + . . . + x2yn) + . . . + (xny1 + xny2 + . . . + xnyn)
= (x1 + x2 + . . . + xn) · (y1 + y2 + . . . + yn).
OJO: Esto se cumple porque x sólo depende de i e y sólo depende de j. Si ambas variables
dependieran de ambos ´ındices, esto no ser´ıa cierto (ver desigualdad 1 más abajo).
Nota: Todas las propiedades descritas son válidas independientemente de los conjuntos de valores
que tomen los dos ´ındices del sumatorio. Es decir, sin en vez de n
i=1
n
j=1 tenemos n
i=k
m
j=ℓ,
para cualquier valor de k ≤ n, y cualquier valor de m y ℓ ≤ m, las propiedades anteriores se aplican
exactamente igual.
1.2.2. Igualdades que NO cumplen los sumatorios dobles.
A continuación se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios
dobles (y que constituyen errores muy habituales):
1.
n
i=1
n
j=1
xijyij =


n
i=1
n
j=1
xij




n
i=1
n
j=1
yij

 ya que en el lado izquierdo de la desigualdad esta-
mos sumando los valores de x multiplicados por sus correspondientes valores de y:
x11y11 +x12y12 +. . .+x1ny1n +x21y21 +x21y22 +. . .+x2ny2n +. . .+xn1yn1 +xn2yn2 +. . .+xnnynn,
pero en el lado derecho estamos sumando todos los valores de x multiplicados por todos los
valores de y:
(x11+x12+. . .+x1n+x21+x22+. . .+x2n+. . .+xn1+xn2+. . .+xnn)·(y11+y12+. . .+y1n+y21+y22+. . .+y2n+. . .+
2.
n
i=1
n
j=1
x2
ij =


n
i=1
n
j=1
xij


2
ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los
valores de x elevados al cuadrado:
x2
11 + x2
12 + . . . + x2
1n + . . . + x2
n1 + x2
n2 + . . . + x2
nn,
mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y
luego estamos elevando toda la suma al cuadrado:
(x11 + x12 + . . . + x1n + . . . + xn1 + xn2 + . . . + xnn)2
,
que involucra todos los términos de la suma anterior y muchos más.
3. En general, si f : R −→ R es una función no lineal (es decir, no es una recta, involucra operaciones
distintas de la suma y el producto por escalares), entonces
n
i=1
n
j=1
f(xij) = f


n
i=1
n
j=1
xij

 .
Por ejemplo:
3
i=1
6
j=2
(i + j)3
=


3
i=1
6
j=2
(i + j)


3
6

10
n=1
3
k=1
ln(nk
) = ln
10
n=1
3
k=1
nk
10
ℓ=1
ℓ
h=i
1
zℓh
=
1
10
ℓ=1
ℓ
h=i zℓh
.
2. Ejemplos.
Ejemplo 2.1 La suma de todos los números pares desde 1 hasta 100 se escribe:
50
i=1
2i.
Ejemplo 2.2 La suma de todos los números impares desde 1 hasta 100 se escribe:
50
i=1
(2i − 1).
Ejemplo 2.3 La suma de los 1000 primeros números se escribe:
1000
n=1
n,
además, podemos calcular cuánto vale esta suma:
1000
n=1
n =
1001 · 1000
2
= 500500.
En general, para cualquier número natural n ∈ N se cumple:
n
i=1
i =
(n + 1) · n
2
.
Por ejemplo, para n = 1, 1
i=1 i = 1 y (n+1)·n
2 = 2·1
2 = 1.
Para n = 2, 2
i=1 i = 1 + 2 = 3 y (n+1)·n
2 = 3·2
2 = 3.
Comprueba la fórmula para el resto de números naturales menores o iguales que 10.
3. Ejercicios.
Ejercicio 3.1 Calcula las siguientes sumas:
a)
5
i=1
i(i + 1)
b)
3
n=0
2n
c)
100
r=1
4r
7

d)
10
h=−3
(6h − 1)
e)
4
z=2
log(z4
)
Ejercicio 3.2 Expresa con una frase el significado de las siguientes sumas:
Ejemplo:
5
p=1
3p es la suma de todos los múltiplos de 3 desde el 3 hasta el 15.
a)
10
s=1
s2
b)
n
q=1
xq
n
c)
49
ñ=0
(2ñ + 1)
Ejercicio 3.3 Expresa con un sumatorio las siguientes frases:
a) La suma de los 10 primeros números pares.
b) La suma de todos los múltiplos de 4 desde 36 hasta 80.
c) La suma de la ra´ız cuadrada de los 20 primeros números impares.
d) La suma de los cuadrados de todos los números naturales del 1 al 30.
e) El producto escalar de los vectores (t1, t2, . . . , tm) y (w1, w2, . . . , wm).
Ejercicio 3.4 La siguiente tabla recoge los valores de una variable f, indexada por dos ´ındices e y d:
e d 1 2 3
1 -4 4 -8
2 1 9 12
3 6 -3 5
4 0 6 2
5 -2 7 0
Calcula:
a)
5
e=1
3
d=1
fed
b)
5
e=1 d<e
fed
c)
5
e=1
3
d=e
fed
8

d)
5
e=1
3
d=1
f2
ed
e)
3
e=1
3
d=1
(3f2
ed − 28)
f)
3
e=1
3
d=1
(2fed − 1)2
Ejercicio 3.5 La siguiente tabla recoge los valores de dos variables u y v medidas sobre 6 individuos:
Individuo u v
1 -4 2
2 -1 6
3 5 3
4 0 1
5 -2 -4
6 1 1
Calcula:
a)
6
a=1
6
b=1
uavb
b)
6
a=1
3
b=1
(ua + vb)
c)
3
a=1
6
b=a
(ua + vb)
d)
6
a=1
6
b=1
uava
e)
6
a=1
6
b=1
(2u2
a + vb)
f)
6
a=1
a
b=1
(ua − vb)
9

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