14 combinatoria y_probabilidad

416 SOLUCIONARIO
©GrupoEditorialBruño,S.L.
14 Combinatoria
y probabilidad
Calcula mentalmente:
a)V5,3 b)VR6,2 c) P4 d) PC6
Dibuja el árbol correspondiente a las distintas for-
mas en que puede vestirse una persona que tiene
dos camisas y tres pantalones. ¿Cuántas son?
Con los dígitos 1, 2, 3 y 4 forma todos los núme-
ros de tres cifras que puedas sin que se repita nin-
guna. ¿Cuántos son?
Solución:
V4,3 = 4 · 3 · 2 = 24
3
Solución:
Sean las camisas A y B y los pantalones C, D y E
Número = 2 · 3 = 6
2
Solución:
a) 5 · 4 · 3 = 60
b) 62 = 36
c) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
d) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
1
APLICA LA TEORÍA
1. Variaciones y permutaciones
Un restaurante oferta, en el menú del día, 5 platos de primero, 4 de segundo y 3 de postre. ¿Cuántos menús dife-
rentes se pueden pedir?
Solución:
Nº de menús: 5 · 4 · 3 = 60
PIENSA Y CALCULA
AC
AD
AE
BC
BD
BE
C
D
E
C
D
E
A
B
123
124
132
134
142
143
213
214
231
234
241
243
312
314
321
324
341
342
412
413
421
423
431
432
3
4
2
4
2
3
3
4
1
4
1
3
2
4
1
4
1
2
2
3
1
3
1
2
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
1
2
3
4

TEMA 14. COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 417
Con los dígitos 8 y 9, forma todos los números de
tres cifras que puedas. ¿Cuántos son?
Con los dígitos 1, 2 y 3 forma todos los números
de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna.
¿Cuántos son?
¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas
alrededor de una mesa circular, de forma que en
cada caso haya al menos dos personas sentadas en
diferente orden?
El sistema actual de matrículas dice: «En las placas
de matrícula se inscribirán dos grupos de caracte-
res constituidos por un número de cuatro cifras,
que irá desde el 0000 al 9999, y de tres letras,
empezando por las letras BBB y terminando por
las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales y
las letras Ñ, Q, CH y LL».
¿Cuántas matrículas hay con las letras BBB?
Halla, usando la calculadora:
a)V10,4 b)VR6,4
c) P10 d) PC12
Solución:
a) 5040 b) 1296
c) 3628800 d) 39916800
8
Solución:
VR10,4 = 104 = 10000
7
Solución:
PC5 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
6
Solución:
P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6
5
Solución:
VR2,3 = 23 = 8
4
2. Combinaciones y resolución de problemas
Calcula mentalmente el valor de los siguientes números combinatorios:
7 8 5 6
a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )0 1 5 5
Solución:
a) 1 b) 8 c) 1 d) 6
PIENSA Y CALCULA
888
889
898
899
988
989
998
999
8
9
8
9
8
9
8
9
8
9
8
9
8
9
123
132
213
231
312
321
3
2
3
1
2
1
2
3
1
3
1
2
1
2
3

418 SOLUCIONARIO
a) C5,2 b) C6,4
Con los dígitos 1, 2, 3 y 4 forma todos los números
de dos cifras que puedas sin que se repita ninguna
y de modo que ningún par de números tenga las
mismas cifras.
¿Cuántas columnas de quinielas hay que cubrir
como mínimo para acertar una de pleno al 15?
En una clase hay 25 alumnos. ¿De cuántas formas
se puede elegir un delegado y un subdelegado?
¿Cuántas diagonales tiene un decágono?
Con 8 jugadores, ¿cuántos equipos de baloncesto
se pueden formar, si cada jugador puede jugar en
cualquier puesto?
a) C7,3 b) C8,4
Solución:
a) 35 b) 70
15
Solución:
a) E = {1, 2, 3, 4, …, 8}, m = 8. Dos ejemplos significa-
tivos son: 25318, 53467, p = 5
b) No influye el orden ò Combinaciones ordinarias.
8 8
c) C8,5 = ( )= ( )= 56
5 3
14
Solución:
a) E = {1, 2, 3, 4, …, 10}, m = 10. Dos ejemplos signifi-
cativos son: 25, 79, p = 2
Hay que quitar los lados.
10
c) C10,2 – 10 = ( )– 10 = 45 – 10 = 35
2
13
Solución:
cativos son: 35, 53, p = 2
b) Influye el orden, no entran todos los elementos
y no puede haber repetición ò Variaciones ordi-
narias.
c)V25,2 = 25 · 24 = 600
12
Solución:
a) E = {1, X, 2}, m = 3. Dos ejemplos significativos
son: X1X11112121XX11, 111XXX111XXX1X1,
p = 15
y puede haber repetición òVariaciones con repe-
tición.
c)VR3,15 = 315 = 14348907
11
Solución:
C4,2 = 4 · 3/2 = 6
10
Solución:
a) 5 · 4/2 = 10
b) C6,4 = C6,2 = 6 · 5/2 = 15
9
APLICA LA TEORÍA
12
13
14
23
24
34
2
3
4
3
4
4
1
2
3
4

Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8},
B = {3, 6}. Calcula:
a) A ഫ B b) A പ B c) A
–
d) B
–
Halla la probabilidad de obtener par al lanzar un
dado de 6 caras.
Se sabe que P(A) = 5/6. Halla P(A
–
)
Se lanzan 100 chinchetas al aire y 65 quedan con la
punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de que
la chincheta quede con la punta hacia arriba.
Se sabe que:
P(A) = 2/3, P(B) = 1/2 y P(A പ B) = 1/5
Calcula P(A ഫ B)
Solución:
P(A ഫ B) = 2/3 + 1/2 – 1/5 = 29/30
20
Solución:
65
f( ) = — = 0,65
100
19
Solución:
P(A
–
) = 1 – 5/6 = 1/6
18
Solución:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Par = {2, 4, 6}
P(par) = 3/6 = 1/2
17
Solución:
a) {2, 3, 4, 6, 8}
b) {6}
c) {1, 3, 5, 7}
d) {1, 2, 4, 5, 7, 8}
16
APLICA LA TEORÍA
3. Experimentos aleatorios simples
¿Cuántas caras tiene un dado de quinielas? ¿Qué es más probable obtener: 1, X o 2?
Solución:
Un dado de quinielas tiene 6 caras, tres caras tienen un 1, dos caras tienen una X y una cara tiene un 2
El más probable es el 1, por que es el que más veces está.
PIENSA Y CALCULA
4. Experimentos aleatorios compuestos
Diseña un árbol de probabilidades para el experimento de lanzar dos monedas al aire.
Solución:
PIENSA Y CALCULA
cc
cx
xc
xx
c
x
c
x
c
x
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2

420 SOLUCIONARIO
Se lanzan dos dados de 6 caras numeradas del 1 al 6.
Calcula la probabilidad de que la suma de los
números obtenidos sea 9
Se extrae una carta de una baraja española de
40 cartas, se observa si ha sido de copas y se vuel-
ve a introducir; luego se extrae otra carta. ¿Cuál es
la probabilidad de que las dos sean de copas?
Se extraen de una vez dos cartas de una baraja
española de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de
que las dos sean de copas?
Una máquina produce 100 tornillos de los que
3 son defectuosos. Si se cogen dos tornillos, halla la
probabilidad de que al coger el segundo sea defec-
tuoso, con la condición de que el primero también
haya sido defectuoso. ¿Cómo son ambos sucesos,
dependientes o independientes?
Una familia tiene tres hijos. Halla la probabilidad de
que los tres sean varones.
Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabili-
dad de obtener dos caras y una cruz.
Solución:
Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad
total.
P(CCX) + P(CXC) + P(XCC) = 1/8 + 1/8 + 1/8 =
= 3/8
26
Solución:
Se aplica la regla del producto o de la probabilidad
compuesta.
P(VVV) = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8
25
Solución:
D/D es la segunda rama.
P(D/D) = 2/99
El segundo suceso D/D es dependiente del prime-
ro D, pues depende de si ha salido D o no D
24
Solución:
P(CC) = 1/4 · 9/30 = 3/40
23
Solución:
P(CC) = 1/4 · 1/4 = 1/16
22
Solución:
P(9) = 4/36 = 1/9
21
APLICA LA TEORÍA
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
1 2 3 4 5 6
9
9
9
9
10 C
30 no C
1/4
C
10 C
30 no C
no C
no C
1/4
C
CC
10 C
30 no C
3 D
97 no D
3/100
D
2 D
97 no D
no D
no D
2/99
D
DD
1 D
97 no D
VVV
VVM
VMV
VMM
MVV
MVM
MMV
MMM
V
M
V
M
V
M
V
M
V
M
V
M
V
M
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
CCC
CCX
CXC
CXX
XCC
XCX
XXC
XXX
C
X
C
X
C
X
C
X
C
X
C
X
C
X
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
10 C
30 no C
1/4
C
9 C
30 no C
no C
no C
9/30
C
CC
8 C
30 no C

Ejercicios y problemas
1. Variaciones y permutaciones
a)V10,3
b)VR10,3
a) P5
b) PC4
Organizamos una fiesta y llevamos tres clases de
bocadillos y dos clases de refrescos. Dibuja el árbol
correspondiente a las distintas formas de elegir un
bocadillo y un refresco.¿Cuántas son?
ros de tres cifras que puedas sin que se repita nin-
guna cifra. ¿Cuántos son?
Con las letras A y B forma todas las palabras de
tres letras que puedas, tengan o no sentido. ¿Cuán-
tas son?
ros de cuatro cifras que puedas sin que se repita
ninguna cifra. ¿Cuántos son?
32
Solución:
VR2,3 = 23 = 8
31
Solución:
V4,3 = 4 · 3 · 2 = 24
30
Solución:
Sean los bocadillos A, B y C y los refrescos D y E
Número = 3 · 2 = 6
29
Solución:
a) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
b) 3! = 3 · 2 · 1 = 6
28
Solución:
a) 10 · 9 · 8 = 720
b) 103 = 1000
27
AD
AE
BD
BE
CD
CE
D
E
D
E
D
E
A
B
C
AAA
AAB
ABA
ABB
BAA
BAB
BBA
BBB
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
6
8
4
8
4
6
6
8
2
8
2
6
4
8
2
8
2
4
4
6
2
6
2
4
4
6
8
2
6
8
2
4
8
2
4
6
2
4
6
8
246
248
264
268
284
286
426
428
462
468
482
486
624
628
642
648
682
684
824
826
842
846
862
864

422 SOLUCIONARIO
¿De cuántas formas se pueden sentar 10 personas
alrededor de una mesa circular, de forma que en
cada caso haya al menos dos personas sentadas en
diferente orden?
En el sistema actual de matrículas, ¿de cuántas for-
mas se pueden colocar las letras sabiendo que
cada matrícula contiene tres letras, empezando por
las letras BBB y terminando por las letras ZZZ,
suprimiéndose las cinco vocales, y las letras Ñ, Q,
CH y LL?
Calcula, usando la calculadora:
a)V8,5 b)VR7,3
Calcula, usando la calculadora:
a) P6
b) PC8
2. Combinaciones y resolución de
problemas
a) C10,2
b) C11,9
Con las letras A, B, C, D y E forma todas las pala-
bras que puedas de dos letras sin que se repita
ningún par de palabras, tengan o no sentido, y de
modo que ningún par de palabras tenga las mismas
letras.
Disponemos de 5 frutas diferentes para preparar
zumos de dos sabores. ¿Cuántos zumos podemos
hacer?
39
Solución:
C5,2 = 5 · 4/2 = 10
38
Solución:
a) 10 · 9/2 = 45
b) C11,9 = C11,2 = 11 · 10/2 = 55
37
Solución:
a) 720
b) 5040
36
Solución:
a) 6720
b) 343
35
Solución:
BCDFGHJKLMNPRSTVWXYZ
VR20,3 = 203 = 8000
34
Solución:
PC10 = 9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880
33
Solución:
P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
7
5
7
3
5
3
7
5
7
1
5
1
7
3
7
1
3
1
5
3
5
1
3
1
5
7
3
7
3
5
5
7
1
7
1
5
3
7
1
7
1
3
3
5
1
5
1
3
3
5
7
1
5
7
1
3
7
1
3
5
1
3
5
7
1357
1375
1537
1573
1735
1753
3157
3175
3517
3571
3715
3751
5137
5173
5317
5371
5713
5731
7135
7153
7315
7351
7513
7531
AB
AC
AD
AE
BC
BD
BE
CD
CE
DE
B
C
D
E
C
D
E
D
E
E
A
B
C
D
E

En una comunidad que está formada por 20 veci-
nos, se quiere elegir una junta formada por un pre-
sidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas
formas se puede elegir la junta?
De una baraja española de 40 cartas se cogen
4 cartas sin devolución. ¿De cuántas formas se
pueden coger?
¿De cuántas formas se pueden colocar 6 personas
alrededor de una mesa circular?
a) C10,5 b) C15,7
3. Experimentos aleatorios simples
Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 3, 5, 7, 9},
B = {3,6,9}.Calcula:
a) A ഫ B
b) A പ B
c) ¿A y B son compatibles o incompatibles?
d) A
–
e) B
–
Halla la probabilidad de obtener múltiplo de 3 al
lanzar un dado de 6 caras.
Se sabe que P(A) = 2/5. Halla P(A
–
)
Se lanzan 100 chinchetas al aire y 66 quedan con la
punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de
que la chincheta no quede con la punta hacia arriba.
Se sabe que:
P(A) = 3/4, P(B) = 2/5 y P(A ഫ B) = 8/9
Calcula:
P(A പ B)
Solución:
3/4 + 2/5 – P(A പ B) = 8/9
P(A പ B) = 47/180
48
Solución:
34
f(No ) = — = 0,34
100
47
Solución:
P(A
–
) = 1 – 2/5 = 3/5
46
Solución:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {3, 6}
P(A) = 2/6 = 1/3
45
Solución:
a) {1, 3, 5, 6, 7, 9}
b) {3, 9}
c) A y B son compatibles.
d) {2, 4, 6, 8, 10}
e) {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
44
Solución:
a) 252 b) 6435
43
Solución:
a) E = {1, 2, 3, 4, …, 6}, m = 6. Dos ejemplos significa-
tivos son: 123456, 123564, p = 6
b) Influye el orden, entran todos los elementos y no
puede haber repetición ò Permutaciones circu-
lares.
c) PC6 = 5! = 120
42
Solución:
cativos son: 1579, 1568, p = 4
40
c) C40,4 = ( )= 91390
4
41
Solución:
cativos son: 529, 517, p = 3
narias.
c)V20,3 = 20 · 19 · 18 = 6840
40
Solución:
a) E = {A, B, C, D, E}, m = 5. Dos ejemplos significati-
vos son:AB, BC, p = 2
b) No influye el orden ò Combinaciones.
c) C5,2 = 5 · 4/2 = 10

424 SOLUCIONARIO
4. Experimentos aleatorios compuestos
Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados
de 4 caras numeradas del 1 al 4 la suma de números
obtenidos sea 6. ¿Qué suma es la más probable?
Se extrae una bola de una urna que contiene
6 bolas rojas y 4 verdes, se observa si ha sido roja
y se vuelve a introducir; luego se extrae otra bola.
¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas?
Se extraen de una vez dos bolas de una urna que
contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. ¿Cuál es la pro-
babilidad de que las dos sean rojas?
Una máquina produce 100 tornillos de los que 3
son defectuosos. Se coge un tornillo, se mira si es
defectuoso y se devuelve. Halla la probabilidad de
que al coger aleatoriamente el segundo sea defec-
tuoso, con la condición de que el primero también
haya sido defectuoso. ¿Cómo son ambos sucesos,
dependientes o independientes?
Una familia tiene tres hijos. Halla la probabilidad de
que uno sea varón.
Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabili-
dad de que las tres sean cruz.
Solución:
compuesta.
P(XXX) = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8
54
Solución:
Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(VMM) + P(MVM) + P(MMV) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
53
Solución:
P(D/D) = 3/100
El segundo suceso D/D es independiente del prime-
ro D, pues no depende de si ha salido D o no D
52
Solución:
P(RR) = 6/10 · 5/9 = 1/3
51
Solución:
P(RR) = 6/10 · 6/10 = 9/25
50
Solución:
P(6) = 3/16
El más probable es el 5, porque es el que más veces
aparece.
49
3 1
1
3
2 4
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
1 2 3 4
6
6
6
6 R
4V
6 R
4V
6 R
4V
R
V
R
V
6/10
4/10
4/10
6/10
3 D
97 no D
3/100
D
3 D
97 no D
no D
no D
3/100
D
DD
3 D
97 no D
VVV
VVM
VMV
VMM
MVV
MVM
MMV
MMM
V
M
V
M
V
M
V
M
V
M
V
M
V
M
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
CCC
CCX
CXC
CXX
XCC
XCX
XXC
XXX
C
X
C
X
C
X
C
X
C
X
C
X
C
X
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
6 R
4V
5 R
4V
4 R
4V
R
V
R
V
6/10
4/10
4/9
5/9

Calcula mentalmente los siguientes números com-
binatorios:
50
a) ( )0
50
b) ( )50
Calcula mentalmente los siguientes números com-
binatorios:
100
a) ( )1
100
b) ( )98
¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras se
pueden formar?
¿Cuántos números diferentes de cinco cifras se
pueden formar con las cifras impares de forma
que no se repita ninguna cifra? ¿Cuántos de ellos
son impares?
Un alumno de 4º B tiene 5 camisetas, 4 pantalones
y 3 pares de zapatillas de deporte. ¿De cuántas for-
mas diferentes puede vestirse para ir a entrenar?
Si lanzamos al aire un dado y una moneda, ¿cuántos
resultados diferentes podemos obtener?
Cinco amigos van al cine y sacan las entradas
seguidas. ¿De cuántas formas se pueden sentar?
Con las letras de la palabra MESA, ¿cuántas pala-
bras se pueden formar, tengan o no sentido?
Calcula el valor de x en la siguiente igualdad:
5 5
( )= ( )2 x
63
Solución:
a) E = {A, E, M, S}, m = 4. Dos ejemplos significativos
son: MESA, ESMA, p = 4
puede haber repetición ò Permutaciones ordi-
narias.
c) P4 = 4! = 24
62
Solución:
a) E = {1, 2, 3, 4, 5}, m = 5. Dos ejemplos significativos
son: 12345, 54123, p = 5
narias.
c) P5 = 5! = 120
61
Solución:
6 · 2 = 12 resultados diferentes.
60
Solución:
5 · 4 · 3 = 60 formas diferentes.
59
narias.
c) P5 = 5! = 120
Son impares los que terminan en número impar;
en este caso, todos.
Solución:
son: 13597, 53197, p = 5
58
Solución:
cativos son: 1122, 2135, p = 4
b) Influye el orden, no entran todos los elementos y
puede haber repetición òVariaciones con repeti-
ción.
Hay que quitar todos los que son menores de
1000
c)VR10,4 – 1000 = 104 – 1000 = 9000
57
Solución:
a) 100
b) 4950
56
Solución:
a) 1
b) 1
55
Para ampliar

426 SOLUCIONARIO
Vx,3 = 30x
Vx,4 = 6Vx,2
Px = 20Px – 2
2Cx,2 =Vx,2
Una urna contiene 7 bolas rojas, 5 verdes y
3 azules. Si se extrae una bola, ¿qué probabilidad
hay de que
a) sea verde?
b) no sea roja?
c) sea roja o verde?
Se lanza un dado con forma de dodecaedro y las
caras numeradas del 1 al 12. Halla la probabilidad
de que el número obtenido sea múltiplo de 3
Se extrae una carta de una baraja española de 48
cartas. Calcula la probabilidad de que sea un nueve.
En una familia con dos hijos, ¿qué probabilidad tie-
ne de que sean
a) los dos varones?
b) uno varón y el otro mujer?
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad
compuesta.
P(VV) = 1/2 · 1/2 = 1/4
71
Solución:
E = {48 cartas}
A = {9O, 9C, 9E, 9B}
P(A) = 4/48 = 1/12
70
Solución:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A = {3, 6, 9, 12}
P(A) = 4/12 = 1/3
69
Solución:
E = {7R, 5V, 3A}
a) P(verde) = 5/15 = 1/3
b) P(no roja) = 8/15
c) P(roja o verde) = 12/15 = 4/5
68
Solución:
2x(x – 1)/2 = x(x – 1)
x(x – 1) = x(x – 1)
Vale cualquier x > 1
67
Solución:
x! = 20(x – 2)!
x(x – 1) = 20
x = 5
66
Solución:
x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 6x(x – 1)
Se simplifican ambos miembros entre x(x – 1), ya
que x > 3
x2 – 5x + 6 = 6
x = 5
65
Solución:
x(x – 1)(x – 2) = 30x
x2 – 3x + 2 = 30
x = 7
64
Solución:
x = 2, o bien x = 3
12
11
8
7
5
4
1
2
3
4 5
6
7
12
8
9 10
11
VV
VM
MV
MM
V
M
V
M
V
M
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2

Una urna contiene 3 bolas rojas y 3 verdes. Se
extrae una bola y se observa el color; se vuelve a
introducir y se extrae otra bola. Calcula la proba-
bilidad de que sean las dos rojas.
Se extraen de una vez dos cartas de una baraja
española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de
que las dos sean de espadas.
Se lanzan al aire dos dados de 4 caras numeradas
del 1 al 4. Calcula la probabilidad de que la suma de
los números obtenidos sea mayor que 5
Se lanzan al aire dos monedas. Calcula la probabili-
dad de obtener a lo sumo una cara.
En un dado de quinielas, halla la probabilidad de no
obtener el 2
Con calculadora
Halla, utilizando la calculadora:
a)V9,4 b)VR3,15
a) P12 b) PC9
a) C12,5 b) C12,7
Solución:
a) 792 b) 792
79
Solución:
a) 12! = 479001600 b) 8! = 40320
78
Solución:
a) 3024 b) 14348907
77
Solución:
E = {1, 1, 1, X, X, 2}
P(no obtener 2) = 5/6
76
Solución:
P(CC) = 1/2 · 1/2 = 1/4
P(a lo sumo una cara) = 1 – P(CC) = 1 – 1/4 = 3/4
75
Solución:
P(más de 5) = 6/16 = 3/8
74
Solución:
compuesta.
P(EE) = 1/4 · 9/39 = 3/52
73
Solución:
compuesta.
P(RR) = 1/2 · 1/2 = 1/4
72
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad
total.
P(VM) + P(MV) = 1/4 + 1/4 = 1/2
3 R
3V
3 R
3V
3 R
3V
R
V
R
V
1/2
1/2
1/2
1/2
cc
cx
xc
xx
c
x
c
x
c
x
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
10 E
30 no E
1/4
E
9 E
30 no E
no E
no E
9/39
E
EE
8 E
30 no E
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
1 2 3 4
6
6
7
6
7
8

428 SOLUCIONARIO
En la carta de un restaurante se puede elegir un
menú compuesto de un primer plato, un segundo
plato y un postre. Hay para elegir 8 primeros pla-
tos, 5 segundos y 6 postres. ¿Cuántos menús dife-
rentes se pueden elegir?
Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de
cinco cifras se pueden formar sin repetir los dígi-
tos? ¿Cuántos de ellos son pares?
En un trofeo de verano juegan cuatro equipos. ¿De
cuántas formas se pueden emparejar?
Existen 5 pueblos colocados en los vértices de un
pentágono regular, y se quiere construir una carre-
tera para unir cada dos pueblos. ¿Cuántas carrete-
ras hay que hacer?
El AVE que va de Madrid a Sevilla tiene 5 estacio-
nes. ¿Cuántos billetes diferentes se pueden sacar?
Un byte está formado por ceros y unos,y en total son
8. ¿Cuántos bytes diferentes se pueden presentar?
Tenemos siete clases de fruta para obtener bati-
dos de tres sabores. ¿Cuántos sabores se pueden
obtener?
En un certamen literario hay tres premios: ganador,
finalista y accésit. Si se presentan 10 personas, ¿de
cuántas formas se pueden dar los tres premios?
¿Cuántas banderas de tres colores diferentes se
pueden formar con 8 colores?
88
Solución:
a) E = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, m = 10. Dos ejemplos
significativos son:AGC, CGA, p = 3
narias.
c)V10,3 = 10 · 9 · 8 = 720
87
Solución:
a) E = {A, B, C, D, E, F, G}, m = 7. Dos ejemplos signi-
ficativos son: BDE, BFG, p = 3
7 · 6 · 5
c) C7,3 = ——— = 35
3 · 2 · 1
86
Solución:
a) E = {0, 1}, m = 2. Dos ejemplos significativos son:
10010111, 11111111, p = 8
y puede haber repetición. ò Variaciones con
repetición.
c)VR2,8 = 28 = 256
85
Solución:
vos son:AC, CA, p = 2
narias.
c)V5,2 = 5 · 4 = 20
84
Solución:
vos son:AC, BC, p = 2
c) C5,2 = 5 · 4/2 = 10
83
Solución:
a) E = {A, B, C, D}, m = 4. Dos ejemplos significativos
son:AB,AC, p = 2
b) No influye el orden. ò Combinaciones ordinarias.
c) C4,2 = 4 · 3/2 = 6
82
Solución:
son: 23541, 31524, p = 5
narias.
c) P5 = 5! = 120
Serán pares todas las que terminen en 2 y 4
2 · P4 = 2 · 4! = 48
81
Solución:
8 · 5 · 6 = 240 menús.
80
Problemas

Una familia tiene 5 hijos. ¿Cuántas posibilidades
hay con respecto al sexo de los hijos?
Con las letras de la palabra RATON, ¿cuántas pala-
bras de cinco letras se pueden formar, tengan o no
sentido? ¿Cuántas empiezan por consonante?
Calcula la probabilidad de acertar una quiniela de
pleno al 15 si se cubre una apuesta.
En un grupo de 80 personas, 50 escuchan la radio,
60 ven la televisión y 30 escuchan la radio y ven la tele-
visión.Halla la probabilidad de que,elegida una perso-
na al azar, no escuche la radio ni vea la televisión.
Una urna contiene 5 bolas rojas y 5 verdes. Se
extrae una bola y se observa el color, se vuelve a
introducir y se extrae otra bola. Calcula la proba-
bilidad de que una sea roja y otra sea verde.
Se extraen de una vez tres cartas de una baraja
española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de
que las tres sean de bastos.
Se compran 50 ordenadores de una marca A y
70 de una marca B. De la marca A hay 2 que no
funcionan; y de la marca B hay 3 que no funcionan.
Si se elige al azar uno de los ordenadores, ¿cuál es
la probabilidad de que no funcione?
95
Solución:
compuesta.
P(BBB) = 1/4 · 9/39 · 8/38 = 3/247
94
Solución:
total.
P(RV) + P(VR) = 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2 = 1/4 + 1/4 =
= 1/2
93
P(T) = 60/80 = 3/4
P(R പT) = 30/80 = 3/8
P(R ഫT) = 5/8 + 3/4 – 3/8 = 1
P(no escuchar la radio, ni ver la televisión) =
= 1 – P(R ഫT) = 1 – 1 = 0
Solución:
P(R) = 50/80 = 5/8
92
Solución:
E tieneVR3,15 = 315 = 14348907 posibilidades.
P(acertar) = 1/14348907
91
Solución:
a) E = {A, N, O, R,T }, m = 5. Dos ejemplos significati-
vos son: RATON, NOTAR, p = 5
narias.
c) P5 = 5! = 120
Empiezan por consonante: 3 · P4 = 3 · 4! = 72
90
Solución:
a) E = {V, M}, m = 2. Dos ejemplos significativos son:
VVVMM, MMMMM, p = 5
tición.
c)VR2,5 = 25 = 32
89
Solución:
a) E = {A, B, C, D, E, F, G, H}, m = 8. Dos ejemplos sig-
nificativos son:ADE, DAE, p = 3
narias.
c)V8,3 = 8 · 7 · 6 = 336
5 R
5V
5 R
5V
5 R
5V
RR
R
V
R
V
1/2
1/2
1/2
1/2
5 R
5V
RV
5 R
5V
5 R
5V
VR
R
V
1/2
1/2
5 R
5V
VV
10 B
30 no B
1/4
B
9 B
30 no B
no B
no B
9/39
B
BBB
8 B
30 no B no B
8/38
B
7 B
30 no B

En una clase hay 15 chicos y 10 chicas. Si se eligen
dos alumnos al azar, calcula la probabilidad de que
los dos sean chicas.
Una persona cruza dos semáforos para ir al trabajo.
La probabilidad de que cada uno de ellos esté rojo
es de 0,4; de que esté ámbar, 0,2, y de que esté ver-
de, 0,4. Calcula la probabilidad de que uno esté
verde y el otro rojo.
Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad
de 0,6 de hacer un triple. Si hace dos lanzamien-
tos de triple, ¿qué probabilidad tiene de que no
enceste ninguno?
Para profundizar
Un equipo de fútbol está formado por 11 jugado-
res. 6 se ponen de pie, y delante los otros cinco
agachados. ¿De cuántas formas se pueden colocar
para hacer una foto si el portero siempre está de
pie el primero por la izquierda?
¿De cuántas formas puede elegir un equipo de fút-
bol, formado por un portero, tres defensas,
2 medios, 2 extremos y 3 delanteros, un entrena-
dor que tiene 25 jugadores, de los que 3 son por-
teros; 6, defensas; 4, medios; 4, extremos, y el resto,
delanteros?
¿Cuántas matrículas totales se pueden hacer con el
sistema actual, que está formado de cuatro núme-
ros y tres letras. Las letras disponibles son 20.
101
Solución:
C3,1 · C6,3 · C4,2 · C4,2 · C8,3 = 3 · 20 · 6 · 6 · 56 =
= 120960
100
Solución:
Dejaremos el portero fijo y no lo tendremos en
cuenta a la hora de contar.
a) E = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, m = 10. Dos ejemplos
significativos son:AGCDEFBIJH, IGECABDFHJ,
p = 10
narias.
c) P10 = 10! = 3628800
99
Solución:
compuesta.
P(NN) = 0,4 · 0,4 = 0,16
98
Solución:
total.
P(RV) + P(VR) = 0,4 · 0,4 + 0,4 · 0,4 = 0,32
97
Solución:
compuesta.
P(MM) = 2/5 · 9/24 = 3/20
96
Solución:
total.
P(AN) + P(BN) = 50/120 · 2/50 + 70/120 · 3/70 =
= 1/24
430 SOLUCIONARIO
A 50
B 70
48 S
2 N
A
B
N
50/120
70/120
2/50
N
3/7067 S
3 N
EE
EN
NE
NN
E
N
E
N
E
N
0,6
0,4
0,6
0,4
0,6
0,4
VV
VM
MV
MM
V
M
V
M
V
M
3/5
2/5
14/24
10/24
15/24
9/24
R
A
V
R
A
V
R
A
V
R
A
V
0,4
0,2
0,2
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,2
0,2
0,4

Una bolsa tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Saca-
mos una bola, anotamos el número y la volvemos a
introducir; volvemos a repetir el proceso otras
dos veces. ¿Cuántos resultados distintos se pue-
den dar?
Una bolsa tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Saca-
mos tres bolas de una vez. ¿Cuántos resultados
distintos se pueden presentar?
Con las cifras impares, ¿cuántos números de
3 cifras se pueden formar sin repetir ninguna?
¿Cuántos son mayores de 500?
Se extraen, de una baraja española de 40 cartas,
tres cartas al azar. Calcula la probabilidad de que
sean caballos las tres.
Se lanzan al aire dos dados, uno de 6 caras nume-
radas del 1 al 6 y el otro de 4 caras numeradas del
1 al 4. ¿Qué probabilidad hay de que sumen 7?
En un cajón tenemos 8 calcetines blancos y
6 negros. Si sacamos dos aleatoriamente, ¿cuál es la
probabilidad de que los dos sean de distinto color?
Solución:
total.
P(BN) + P(NB) = 8/14 · 6/13 + 6/14 · 8/13 = 48/91
107
Solución:
P(9) = 4/24 = 1/6
106
Solución:
compuesta.
P(CCC) = 1/10 · 3/39 · 2/38 = 1/2470
105
Solución:
son: 975,795, p = 3
narias.
c)V5,3 = 53 = 125
Serán mayores de 500 todos los que empiecen por
5, 7 o 9
3 ·VR4,2 = 3 · 42 = 48
104
Solución:
son: 125, 235, p = 3
c) C5,3 = 5 · 4/2 = 10
103
Solución:
son: 22323, 33222, p = 5
tición.
c)VR5,5 = 55 = 3125
102
Solución:
VR10,4 ·VR20,3 = 104 · 203 = 10000 · 8000 =
= 80000000
4 C
36 no C
1/10
C
3 C
36 no C
no C
no C
3/39
C
CCC
2 C
36 no C no C
2/38
C
1 C
36 no C
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
6
7
8
9
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6
7
7
7
7
8 B
6 N
7 B
6 N
6 B
6 N
BB
B
N
B
N
8/14
6/14
6/13
7/13
7 B
5 N
BN
8 B
5 N
7 B
5 N
NB
B
N
5/13
8/13
8 B
4 N
NN

432 SOLUCIONARIO
Se tienen dos máquinas produciendo tornillos.
Una produce 100 tornillos, de los que 3 son defec-
tuosos, y la otra produce 200 tornillos, de los que
5 son defectuosos. Si se escoge al azar uno de los
300 tornillos, ¿cuál es la probabilidad de que sea
defectuoso?
Se elige aleatoriamente una ficha de un dominó.
¿Qué probabilidad hay de que sea doble?
Se ha trucado un dado de forma que:
P(1) = P(3) = P(5), P(2) = P(4) = P(6) = 2P(1)
a) Halla la probabilidad de obtener un 3
b) Halla la probabilidad de obtener un 6
Solución:
P(1) = P(3) = P(5) = x
P(2) = P(4) = P(6) = 2x
3x + 6x = 1 ò x = 1/9
a) P(3) = 1/9
b) P(6) = 2/9
110
Solución:
P(doble) = 7/28 = 1/4
109
Solución:
total.
P(AD) + P(BD) = 1/3 · 3/100 + 2/3 · 5/200 = 2/75
108
A 100
B 200
3 D
97 N
A
B
D
1/3
2/3
3/100
D
5/2005 D
195 N

Aplica tus competencias
¿Cuántas palabras hay de 8 caracteres?
Solución:
VR2, 40 = 240 = 1 099 511 627 776, que se conoce
con el nombre de 1 Tb (Terabyte).
115
Solución:
VR2, 30 = 230 = 1 073 741 824, que se conoce con
el nombre de 1 Gb (Gigabyte).
114
Solución:
VR2, 20 = 220 = 1 048 576, que se conoce con el
nombre de 1 Mb (Megabyte).
113
Solución:
VR2, 10 = 210 = 1 024, que se conoce con el nom-
bre de 1 Kb (Kilobyte).
112
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
111

Escribe el enunciado de la regla de Laplace y pon
un ejemplo.
Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números
de tres cifras se pueden formar sin repetir ningu-
na? ¿Cuántos son mayores de 300?
Con las letras de la palabra LIBRO, ¿cuántas
palabras, tengan o no sentido, se pueden formar?
En una clase hay 25 alumnos y se quiere hacer
una comisión formada por tres alumnos. ¿De
cuántas formas se puede elegir?
Se sabe que:
P(A) = 3/5, P(B) = 2/5 y P(A പ B) = 1/3
Halla:
P(A ഫ B)
Se lanzan al aire dos dados de seis caras numera-
das del 1 al 6 y se suman los puntos obtenidos.
¿Qué suma de puntuaciones tiene mayor proba-
bilidad? Halla su probabilidad.
Solución:
La suma de puntuaciones que tiene mayor proba-
bilidad es 7, porque es el resultado que más veces
se presenta.
P(7) = 6/36 = 1/6
6
Solución:
P(A ഫ B) = 3/5 + 2/5 – 1/3 = 2/3
5
Solución:
a) E = {1, 2, 3 …, 25}, m = 25. Dos ejemplos sig-
nificativos son: 358, 258, p = 3
b) No influye el orden ò Combinaciones ordi-
narias.
25 · 24 · 23
c) C25, 3 = ————— = 2300
3 · 2 · 1
4
b) Influye el orden, entran todos los elementos y
no puede haber repetición ò Permutaciones
ordinarias.
c) P5 = 5! = 120
Solución:
a) E = {B, I, L, O, R}, m = 5. Dos ejemplos signifi-
cativos son: LIBRO, ROBIL, p = 5
3
Solución:
a) E = {1, 2, 3, 4, 5}, m = 5. Dos ejemplos signifi-
cativos son: 134, 341, p = 3
y no puede haber repetición ò Variaciones
ordinarias.
c) V5, 3 = 5 · 4 · 3 = 60
Serán mayores de 300 los que empiecen por 3,
4 o 5
3 · V4, 2 = 3 · 4 · 3 = 36
2
Solución:
La regla de Laplace dice que la probabilidad de
un suceso A, de un espacio muestral E, formado
por sucesos elementales equiprobables, es igual al
número de casos favorables dividido por el número
de casos posibles.
Nº de casos favorables al suceso AP(A) = —————————————
Nº de casos posibles
Sucesos equiprobables
Los sucesos elementales de un espacio muestral son
equiprobables si tienen la misma posibilidad de pre-
sentarse; sólo en estos casos se puede aplicar la
regla de Laplace.
Ejemplo
Halla la probabilidad de obtener un número pri-
mo al lanzar un dado de seis caras.
Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suceso A = {2, 3, 5}
3 1P(A) = — = — = 0,5
6 2
1
434 SOLUCIONARIO
Comprueba lo que sabes
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
7
7
7
7
7
7

Se prueba en 30 personas una vacuna A contra la
gripe y enferman 5. Se prueba en 20 personas
otra vacuna B y enferman 4. Si se elige una de las
personas al azar, ¿qué probabilidad hay de que
no haya enfermado?
Un jugador de fútbol mete 4 goles de cada 10 ti-
ros a puerta. Si tira 3 tiros a puerta, halla la pro-
babilidad de que, al menos, meta un gol.
Solución:
P(NNN) = 6/10 · 6/10 · 6/10 = 27/125
P(al menos 1 gol) = 1 – P(NNN) =
= 1 – 27/125 = 98/125
8
Solución:
total.
P(no E) = 30/50 · 25/30 + 20/50 · 16/20 = 41/50
7
A 30
B 20
30/50
25/30
A
no E
16/20
no E
B
20/50
25 no E
5 E
16 no E
4 E

436 SOLUCIONARIO
Investiga sobre la Ley de los grandes números:
simula el lanzamiento de un dado con forma de
tetraedro con las caras numeradas del 1 al 4. Haz
distintos lanzamientos, cuenta el número de éstos
y las frecuencias absolutas de obtener una de las
caras, por ejemplo el 3. Calcula las frecuencias
relativas y represéntalas en un gráfico de líneas.
¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas,
lo que en definitiva es la probabilidad?
Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige
Matemáticas, curso y tema.
117
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
116
Paso a paso
Windows Excel

Linux/Windows Calc
En la Hoja2 del mismo libro investiga sobre la Ley
de los grandes números: simula el lanzamiento de
un dado de forma cúbica con las caras numeradas
del 1 al 6. Realiza distintos lanzamientos y cuenta
el número de éstos y las frecuencias absolutas de
obtener una de las caras, por ejemplo el 5. Calcula
las frecuencias relativas y represéntalas en un gráfico
de líneas. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias
relativas, lo que en definitiva es la probabilidad?
En la Hoja3 del mismo libro, haz otro estudio
análogo al anterior para un dado de forma octaé-
drica, con las caras numeradas del 1 al 8, y obte-
ner, por ejemplo, el 6. ¿Hacia qué valor tienden
las frecuencias relativas, lo que en definitiva es la
probabilidad?
análogo al anterior para un dado de forma de
dodecaedro, con las caras numeradas del 1 al 12,
y obtener la cara 9. ¿Hacia qué valor tienden las
frecuencias relativas, lo que en definitiva es la
probabilidad?
análogo al anterior para un dado de forma de
icosaedro, con las caras numeradas del 1 al 20, y
obtener, por ejemplo, el 15. ¿Hacia qué valor tien-
den las frecuencias relativas, lo que en definitiva
es la probabilidad?
Al final, guarda el libro en tu carpeta personal
con el nombre 4C14 completo con todas las
hojas de cálculo.
Solución:
Haz clic en el icono Guardar
122
Solución:
Las frecuencias relativas tienden hacia la probabili-
dad de 0,05 = 1/20
121
Solución:
dad de 0,083 = 1/12
120
Solución:
dad de 0,125 = 1/8
119
Solución:
dad de 0,17 = 1/6
118
Practica

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