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PRIMER
CICLO EGB /
NIVEL PRIMARIO

SERIE
CUADERNOS
PARA EL AULA


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Presidente de la Nación
Dr. Néstor Kirchner

Ministro de Educación, Ciencia y Tecnología
Lic. Daniel Filmus

Secretario de Educación
Prof. Alberto Sileoni

Subsecretaria de Equidad y Calidad
Prof. Mirta Bocchio de Santos

Directora Nacional
de Gestión Curricular y Formación Docente
Lic. Alejandra Birgin

Coordinadora Áreas Curriculares
Dra. Adela Coria


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6 Cuadernos para el Aula

Dirección Nacional de Gestión Curricular y Formación Docente

Área de producción pedagógica
Coordinación y supervisión
pedagógica general
Adela Coria, Coordinadora Áreas Curriculares

Asesoramiento didáctico
Beatriz Alen
Nora Alterman

Equipo del Área de Matemática
Coordinación y supervisión pedagógica
Mónica Agrasar
Graciela Chemello

Autores
Graciela Zilberman
Adriana Castro
Silvia Chara

Lectura crítica
Ana Encabo
Mabel Sueldo, directora de escuela Proyecto 108 escuelas, Córdoba.

Área de producción editorial
Raquel Franco, Coordinadora editorial
Natalia Ginzburg, Edición
Norma Sosa, Corrección
Carolina Mikalef, Alejandro Luna, Dirección de arte
Araceli Gallego, Coordinación
Alberto Caut, Diagramación
Gastón Caba, Ilustración
Alejandro Peral, Fotografía
Guillermo Ueno, Fotografía
Fernando Roca, Retoque digital
Rafael Blanco, Documentación fotográfica


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Presentación

Durante los últimos treinta años, diversos procesos económicos, sociales y políti-
cos que tuvieron lugar en nuestro país pusieron en crisis el sentido de nuestra
democracia. Sabemos que hoy la sociedad argentina es profundamente desigual
a lo largo y a lo ancho de nuestro territorio. Estamos realizando importantes esfuer-
zos en materia de políticas públicas que van revelando indicios alentadores en el
proceso de contribuir a revertir esas desigualdades. Pero ello aún no es suficien-
te. Niños y jóvenes son parte de una realidad donde la desocupación, la pobreza y
la exclusión social siguen expresando todavía de manera desgarradora la enorme
deuda que tenemos con ellos y con su futuro.
La educación no es ajena a esta injusticia. El crecimiento de las brechas
sociales se manifiesta también en la fragmentación que atraviesa nuestro siste-
ma educativo, en las desiguales trayectorias y aprendizajes que produce, y en las
múltiples dificultades que enfrentan los docentes al momento de enseñar.
Pese a ello, en las escuelas, maestros y maestras insisten en redoblar sus
esfuerzos, persisten en la búsqueda de alternativas, y todos los días ponen en
juego su saber en la construcción de nuevas prácticas, frente a una crisis que,
por cierto, excede al sistema escolar.
Frente al desgarro social y sus huellas dolorosas, y frente a la necesidad de
garantizar la supervivencia, los docentes fueron responsables de que la escuela se
sostuviera como uno de los pocos lugares –si no el único para amplios sectores–
en el que el Estado continuó albergando un sentido de lo público, resguardando las
condiciones para que hoy podamos volver a pensar en la posibilidad de un todos.
Así, reasumimos desde el Estado la responsabilidad de acompañar el trabajo
cotidiano de los docentes, recrear los canales de diálogo y de aprendizaje, afian-
zar los espacios públicos y garantizar las condiciones para pensar colectivamen-
te nuestra realidad y, de este modo, contribuir a transformarla.
Creemos que es preciso volver a pensar nuestra escuela, rescatar la impor-
tancia de la tarea docente en la distribución social del conocimiento y en la
recreación de nuestra cultura, y renovar nuestros modos de construir la igualdad,
restituyendo el lugar de lo común y de lo compartido, y albergando a su vez la
diversidad de historias, recorridos y experiencias que nos constituyen.


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Transitamos una época de incertidumbre, de cuestionamientos y frustraciones.
No nos alcanza con lo que tenemos ni con lo que sabemos. Pero tenemos y sabe-
mos muchas cosas y vislumbramos con mayor nitidez un horizonte alentador.
Como educadores, nos toca la inquietante tarea de recibir a los nuevos alumnos
y de poner a disposición de todos y de cada uno de ellos nuestras mejores herra-
mientas de indagación, de pensamiento y de creación. En el encuentro que se
produce entre estudiantes y docentes reside la posibilidad de la transmisión, con
todo lo que ello trae de renovación, de nuevos interrogantes, de replanteos y de
oportunidades para cambiar el mundo en el que vivimos.
Lo prioritario hoy es recuperar la enseñanza como oportunidad de construir
otro futuro.
Frente a ese desafío y el de construir una sociedad más justa, las escuelas
tienen encomendada una labor fundamental: transmitir a las nuevas generacio-
nes los saberes y experiencias que constituyen nuestro patrimonio cultural.
Educar es un modo de invitar a los niños y a los jóvenes a protagonizar la histo-
ria y a imaginar mundos cada vez mejores.
La escuela puede contribuir a unir lo que está roto, a vincular los fragmentos, a
tender puentes entre el pasado y el futuro. Estas son tareas que involucran de lleno
a los docentes en tanto trabajadores de la cultura. La escuela también es un espa-
cio para la participación y la integración; un ámbito privilegiado para la ampliación
de las posibilidades de desarrollo social y cultural del conjunto de la ciudadanía.
Cada día, una multitud de chicos ocupa nuestras aulas. Cada día, las familias
argentinas nos entregan a sus hijos, porque apuestan a lo que podemos darles,
porque confían en ellos y en nosotros. Y la escuela les abre sus puertas. Y de este
modo no solo alberga a chicos y chicas, con sus búsquedas, necesidades y pre-
guntas, sino también a las familias que, de formas heterogéneas, diversas, muchas
veces incompletas, y también atravesadas por dolores y renovadas esperanzas,
vuelven una y otra vez a depositar en la escuela sus anhelos y expectativas.
Nuestros son el desafío y la responsabilidad de recibir a los nuevos, ofrecién-
doles lo que tenemos y, al mismo tiempo, confiando en que ellos emprenderán
la construcción de algo distinto, algo que nosotros quizás no imaginamos toda-
vía. En la medida en que nuestras aulas sean espacios donde podamos some-
ter a revisión y crítica la sociedad que nos rodea, y garantizar el derecho de todos
los niños, niñas, jóvenes y adultos de acceder a los saberes que, según creemos,
resultan imprescindibles para participar en ella, podremos hacer de la educación
una estrategia para transformarla.
La definición de los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios forma parte de una
política educativa que busca garantizar una base común de saberes para todos
los chicos del país. Detrás de esta decisión, existe una selección deliberada de


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conocimientos fundada en apreciaciones acerca de cuáles son las herramientas
conceptuales que mejor condensan aquello que consideramos valioso transmitir
en la escuela. También, una intención de colocar la enseñanza en el centro de la
deliberación pública sobre el futuro que deseamos y el proyecto social de país
que buscamos.
Es nuestro objetivo hacer de este conjunto de saberes y del trabajo en torno
a ellos una oportunidad para construir espacios de diálogo entre los diversos
actores preocupados por la educación, espacios que abran la posibilidad de
desarrollar un lenguaje y un pensamiento colectivos; que incorporen la experien-
cia, los saberes y deseos de nuestros maestros y maestras, y que enfrenten el
desafío de restituir al debate pedagógico su carácter público y político.

Lic. Alejandra Birgin Lic. Daniel Filmus
Directora Nacional de Gestión Curricular Ministro de Educación
y Formación Docente


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Para dialogar con los
Cuadernos para el aula

La serie Cuadernos para el aula tiene como propósito central aportar al diálogo sobre
los procesos pedagógicos que maestros y maestras sostienen cotidianamente en las
escuelas del país, en el trabajo colectivo de construcción de un suelo compartido y de
apuesta para que chicos y chicas puedan apropiarse de saberes valiosos para com-
prender, dar sentido, interrogar y desenvolverse en el mundo que habitamos.
Quienes hacemos los Cuadernos para el aula pensamos en compartir, a través
de ellos, algunos “hilos” para ir construyendo propuestas para la enseñanza a partir
de los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. Así, estos Cuadernos buscan tramar
algunos saberes priorizados en múltiples itinerarios de trabajo, dejando puntas y
espacios siempre abiertos a nuevos trazados, buscando sumar voces e instancias
de diálogo con variadas experiencias pedagógicas. No nos mueve la idea de hacer
propuestas inéditas, de “decir por primera vez”. Por el contrario, nos mueve la idea
de compartir algunos caminos, secuencias o recursos posibles; sumar reflexiones
sobre algunas condiciones y contextos específicos de trabajo; poner a conversar
invenciones de otros; abrir escenas con múltiples actores, actividades, imágenes y
lecturas posibles.
Con ese propósito, el Ministerio Nacional acerca esta serie que progresivamente se
irá nutriendo, completando y renovando. En esta oportunidad, abrimos la colección pre-
sentando un libro para Nivel Inicial y uno para cada campo de conocimiento priorizado
para el Primer Ciclo de la EGB/Nivel Primario: uno de Lengua, uno de Matemática, uno
de Ciencias Sociales y uno de Ciencias Naturales para cada año/grado.
En tanto propuesta abierta, los Cuadernos para el Aula también ofrecerán apor-
tes vinculados con otros saberes escolares: Educación Tecnológica, Formación Ética
y Ciudadana, Educación Artística y Educación Física, del mismo modo que se pro-
yecta aportar reflexiones sobre temas pedagógico-didácticos que constituyan reno-
vadas preocupaciones sobre la enseñanza.
Sabemos que el espacio de relativa privacidad del aula es un lugar donde resue-
nan palabras que no siempre pueden escribirse, que resisten todo plan: espacio
abierto al diálogo, muchas veces espontáneo, otras ritualizado, donde se condensan
novedades y rutinas, silencios y gestos, lugar agitado por preguntas o respuestas
impensadas o poco esperadas, lugar conocido y enigmático a la vez, lugar de la


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prisa. En esos vaivenes de la práctica, paradójicamente tan reiterativa como poco
previsible, se trazan las aristas que definen nuestra compleja identidad docente. Una
identidad siempre cambiante –aunque imperceptiblemente– y siempre marcada por
historias institucionales del sistema educativo y socio-cultural más general; una
identidad que nos hace ser parte de un colectivo docente, de un proyecto pedagó-
gico, generacional y ético-político.
Desde los Cuadernos para el aula, como seguramente podrá ocurrir desde
muchas otras instancias, nos proponemos poner en foco las prácticas desplegadas
cada día. En ese sentido, la regulación y el uso del tiempo y el espacio en el aula y
fuera de ella, las formas que asumen la interacción entre los chicos y chicas, las
formas en que los agrupamos para llevar adelante nuestra tarea, la manera en que
presentamos habitualmente los conocimientos y las configuraciones que adopta la
clase en función de nuestras propuestas didácticas construidas para la ocasión son
dimensiones centrales de la vida en el aula; una vida que muchas veces se aproxima,
otras niega y otras enriquece los saberes cotidianos que construyen los chicos en
sus ámbitos de pertenencia social y cultural.
Queremos acercarnos a ese espacio de las prácticas con una idea importante. Las
propuestas de los Cuadernos para el aula dialogan a veces con lo obvio que por
conocido resulta menos explorado. Pero al mismo tiempo parten de la idea de que
no hay saberes pedagógico-didácticos generales o específicos que sean universales
y por tanto todos merecen repensarse en relación con cada contexto singular, con
cada historia de maestro y de hacer escuela.
Este hacer escuela nos reúne en un tiempo en el que subsisten profundas
desigualdades. Nuestra apuesta es aportar a superarlas en algún modesto sen-
tido, con conciencia de que hay problemas que rebasan la escuela, y sobre los
cuales no podemos incidir exclusivamente desde el trabajo pedagógico. Nuestra
apuesta es contribuir a situarnos como docentes y situar a los chicos en el lugar
de ejercicio del derecho al saber.
Desde ese lugar hablamos en relación con lo prioritario hoy en nuestras escuelas y
aulas; desde ese lugar y clave de lectura, invitamos a recorrer estos Cuadernos.
Sabemos que es en el patio, en los pasillos, en la sala de maestros y maestras y en cada
aula donde se ponen en juego novedosas búsquedas, y también las más probadas res-
puestas, aunque las reconozcamos tentativas. Hay siempre un texto no escrito sobre
cada práctica: es el texto de la historia por escribir de los docentes en cada escuela.
Esta serie precisamente pretende ser una provocación a la escritura. Una
escritura que lea y recree, una escritura que discuta, una escritura que dialogue
sobre la enseñanza, una escritura que irá agregando páginas a estos Cuadernos.

El equipo de Cuadernos para el aula

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ÍNDICE

14 Enseñar matemática en el Primer Ciclo
16 Palabras previas
16 Pensar la actividad matemática en la ciencia y en la escuela
18 Reconsiderar el sentido de la matemática en la escuela
19 Priorizar un tipo de trabajo matemático
19 Elegir los problemas
21 Los contextos
23 Los significados
23 Las representaciones
25 Las relaciones entre datos e incógnitas
26 Construir condiciones para resolver problemas
26 Las situaciones de enseñanza
27 La gestión de la clase
31 Evaluar para tomar decisiones
33 Avanzar año a año en los conocimientos de Primer Ciclo
37 Articular el trabajo en la clase de 1er año/grado

40 EJE: Número y Operaciones
42 Los saberes que se ponen en juego
43 Propuestas para la enseñanza
43 Para leer y escribir los números naturales
44 Plantear situaciones para determinar cantidades y posiciones
46 Plantear situaciones para analizar la escritura de los números
49 Plantear situaciones para comparar y ordenar cantidades
y números
55 Para conocer el sistema de numeración
56 Plantear situaciones para analizar regularidades
60 Plantear situaciones para escribir los números de distintas formas
62 Para operar al resolver problemas con distintos procedimientos
63 Plantear situaciones para sumar y restar con distintos
significados

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66 Para calcular de diferentes formas
67 Plantear juegos para memorizar cálculos
71 Plantear situaciones para sumar y restar con otros números
74 Plantear situaciones para explorar relaciones numéricas
76 Para trabajar con la información
77 Plantear problemas a partir de diferentes datos

80 EJE: Geometría y Medida
82 Los saberes que se ponen en juego
82 Propuestas para la enseñanza
83 Para establecer relaciones espaciales
84 Plantear situaciones para interpretar, describir y representar
posiciones y trayectos
93 Para conocer las figuras y los cuerpos geométricos
93 Plantear situaciones para comparar y describir figuras
98 Plantear situaciones para construir y copiar formas
101 Para diferenciar las magnitudes y medir
102 Plantear situaciones para comparar longitudes, pesos
y capacidades e iniciarse en su medición
105 Plantear situaciones para ubicarse en el tiempo y
determinar duraciones

106 En diálogo siempre abierto
108 Las propuestas y la realidad del aula
108 Para ampliar el repertorio y recrear las actividades
109 Para construir espacios de debate

112 Bibliografía

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ENSEÑAR
MATEMÁTICA
EN EL
PRIMER CICLO

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16 Matemática 1

Enseñar Matemática
en el Primer Ciclo

Palabras previas
Quienes enseñamos necesitamos revisar permanentemente qué hacemos y
para qué lo realizamos. Sabemos, por una parte, que cada una de nuestras expe-
riencias tiene características singulares e irrepetibles; así, cada año, un nuevo
grupo de alumnos nos plantea un desafío renovado. Por otra parte, los conoci-
mientos que enseñamos y nuestras estrategias de enseñanza también se modi-
fican; y son, además, cajas de resonancia de múltiples transformaciones y nece-
sidades que tienen lugar en la sociedad, en sentido amplio y, en particular, en los
campos de saber.
Por eso, en estas páginas, volvemos sobre ciertos aspectos de la tarea de
enseñar que seguramente no son nuevos, pero sí centrales para promover mejo-
res aprendizajes.
Preguntarse qué significa aprender Matemática; qué se entiende por ense-
ñar mediante la resolución de problemas y qué se concibe como problema; ana-
lizar cómo influye la gestión de la clase en el tipo de aprendizaje que logren los
alumnos; estar actualizado respecto de algunos avances de las investigaciones
didácticas; todo ello puede ayudarnos a realizar una relectura de las prácticas
habituales, encontrar nuevos sentidos para lo que hacemos y reinventar así
nuestras propuestas.

Pensar la actividad matemática en la ciencia y en la escuela
El conocimiento matemático, como ocurre con otros conocimientos y con las
producciones culturales en general, ha ido generándose y transformándose en
diferentes momentos históricos, en diálogo permanente con problemas que tie-
nen lugar en los distintos entornos sociales y culturales.
Cuando alguien quiere estudiar una determinada situación o interactuar con
ella, se formula preguntas. Estas podrían referirse a las relaciones entre cier-
tas cantidades –como las distancias recorridas y los tiempos empleados en
hacerlo–, a las regularidades de una colección de formas o a la búsqueda de
los números que cumplan un condición dada. Para responder a estas pregun-
tas –que pueden referirse tanto al mundo natural y social como a la misma
matemática– se utilizan modelos matemáticos conocidos o se construyen

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nuevos. Ejemplos de modelos son: las operaciones con números naturales, las
propiedades que caracterizan a los cuadriláteros o una ecuación que determi-
ne un conjunto de números. En algunos casos, se aplican reglas conocidas; en
otros, se elaboran conjeturas y se producen nuevas reglas para comprobarlas.
En todos, las conclusiones que se elaboran se interpretan para determinar si
responden o no a las preguntas planteadas inicialmente. También forma parte
de este proceso mejorar la eficacia de los modelos que se crean y de las for-
mas de comunicar los descubrimientos, como también establecer relaciones
entre lo nuevo y lo que ya se conoce.
El proceso de construcción y las conclusiones resultantes tienen rasgos
específicos: un modo particular de pensar y proceder, y conocimientos con
características particulares. Estos conocimientos permiten anticipar el resulta-
do de algunas acciones sin realizarlas efectivamente; por ejemplo, si se ponen
en una bolsa vacía 4 chapitas y luego 3 chapitas, es posible asegurar que hay
7 chapitas dentro de la bolsa sumando 4 más 3, sin necesidad de contar las
unidades. Por otra parte, los resultados se consideran necesariamente verda-
deros si, para obtenerlos, se han respetado reglas matemáticas. Por ejemplo,
sabiendo que 4 + 3 = 7, podemos asegurar que 4 + 4 = 8 sin hacer la cuen-
ta, pues al comparar las sumas, como el segundo sumando tiene una unidad
más, el resultado tendrá una unidad más.
A la vez, la obtención de nuevos resultados conlleva la necesidad de
crear un lenguaje para comunicarlos. Los números, las figuras y las relacio-
nes tienen representaciones cuyo uso se conviene entre los matemáticos.
De esta manera, la actividad matemática en la ciencia está muy fuertemen-
te ligada a la resolución de problemas y a un modo particular de razonar y
comunicar los resultados.
Esta forma de trabajar en Matemática debería ser también la que caracteri-
ce la actividad en el aula desde los inicios de la escolaridad. Se trata de que
los alumnos entren en el juego matemático, es decir, que se ocupen de pro-
ducir conocimientos nuevos (para ellos) frente a los problemas que se les plan-
teen, y que debatan para validarlos o no como respuestas a las preguntas
formuladas. Luego, con la intervención del maestro, los reconocerán como
conocimientos que forman parte de la matemática. Así, en la escuela, los niños
deberían ser introducidos en la cultura matemática, es decir, en las formas de
trabajar “matemáticamente”.
Desde esta perspectiva, entendemos que saber matemática requiere domi-
nar los conocimientos de esta disciplina para utilizarlos como instrumentos en la
resolución de problemas, y también para definirlos y reconocerlos como objetos
de una cultura.

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18 Matemática 1

Reconsiderar el sentido de la matemática en la escuela
La concepción que cada persona se va formando de la matemática depende del
modo en que va conociendo y usando los conocimientos matemáticos. En este pro-
ceso, la escuela tiene un rol fundamental, ya que es allí donde se enseña y se
aprende de un modo sistemático a usar la matemática. El tipo de trabajo que se
realice en la escuela influirá fuertemente en la relación que cada persona constru-
ya con esta ciencia, lo que incluye el hecho de sentirse o no capaz de aprenderla.
Cuando la enseñanza de la matemática, en lugar de plantearse como la
introducción a la cultura de una disciplina científica, se presenta como el
dominio de una técnica, la actividad matemática en el aula se limita a recono-
cer, luego de las correspondientes explicaciones del maestro, qué definición
usar, qué regla hay que aplicar o qué operación “hay que hacer” en cada tipo
de problema. Se aprende qué hacer, pero no para qué hacerlo, ni en qué cir-
cunstancia hacer cada cosa.
La enseñanza que apunta al dominio de una técnica ha derivado en dificulta-
des que ya conocemos: por una parte, aunque permite que algunos alumnos
logren cierto nivel de “éxito” cuando el aprendizaje se evalúa en términos de res-
puestas correctas para problemas tipo, deja afuera a muchos alumnos que no
se sienten capaces de aprender matemática de este modo. Por otra, lo así
aprendido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata
de usar los conocimientos para resolver situaciones diferentes de aquellas en
las que se aprendieron.
Otras veces, la actividad en el aula incluye la resolución de problemas diver-
sos, y se pasa de uno a otro y a otro sin un trabajo reflexivo que vuelva sobre lo
realizado. Trabajar sólo resolviendo problemas, sin explicar o fundamentar
“matemáticamente”, también es insuficiente. Quienes trabajan de este modo, sin
duda, no aprenden lo mismo que quienes, tras resolver esos mismos problemas,
deben luego explicitar los procedimientos realizados y analizar las diferentes
producciones o, a partir de los cuestionamientos de otros compañeros, argu-
mentar sobre su propio punto de vista o dar razones sobre sus objeciones.
El trabajo que implica volver sobre lo realizado exige siempre una explicitación, un
reconocimiento y una sistematización del conocimiento implicado en la resolución de
los problemas, las formas de obtenerlo y validarlo. Sin este proceso, los conocimien-
tos matemáticos aprendidos en la escuela –las nociones y formas de trabajar en
matemática– no tendrán a futuro las mismas posibilidades de reutilización.
En síntesis, “cómo” se hace matemática en el aula define al mismo tiempo
“qué” matemática se hace, y “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que
plantea una disyuntiva central en relación con la construcción de las condicio-
nes que posibilitan el acceso a la matemática de unos pocos o de todos.

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Enseñar Matemática 19
en el Primer Ciclo

Priorizar un tipo de trabajo matemático
Resulta pues vital que prioricemos en la escuela, desde el momento en que los
niños se inician en el estudio de la matemática, la construcción del sentido de
los conocimientos por medio de la resolución de problemas y de la reflexión
sobre estos, para promover así un modo particular de trabajo matemático que
esté al alcance de todos los alumnos y que suponga para cada uno:

• Involucrarse en la resolución del problema presentado vinculando lo que
quiere resolver con lo que ya sabe y plantearse nuevas preguntas.
• Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus compañeros consi-
derando que los procedimientos incorrectos o las exploraciones que no los llevan
al resultado esperado son instancias ineludibles y necesarias para el aprendizaje.
• Discutir sobre la validez de los procedimientos realizados y de los resultados
obtenidos.
• Reflexionar para determinar qué procedimientos fueron los más adecuados
o útiles para la situación resuelta.
• Establecer relaciones y elaborar formas de representación, discutirlas con
los demás, confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notación
convencional.
• Elaborar conjeturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de ejemplos
o justificarlas utilizando contraejemplos o propiedades conocidas.
• Reconocer los nuevos conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos.
• Interpretar la información presentada de distintos modos, y pasar de una forma
de representación a otra según su adecuación a la situación que se quiere resolver.

Elegir los problemas
Estamos afirmando que el sentido de los conocimientos matemáticos se cons-
truye al resolver problemas y reflexionar sobre ellos. Esto nos plantea, en prin-
cipio, algunos interrogantes centrales: ¿qué problemas presentamos?, ¿cómo
conviene seleccionar el repertorio de actividades para un determinado conteni-
do y un grupo particular de alumnos?
Cuando el conjunto de problemas elegidos para tratar en clase una noción
matemática no es suficientemente representativo de la diversidad posible a abor-
dar en el año escolar correspondiente, es probable que los alumnos sólo puedan
utilizarla en contextos limitados, haciendo uso de representaciones estereotipa-
das y en situaciones muy similares a las que estudiaron en la escuela.
Es por ello que decimos que, al elegir o construir problemas para enseñar una
noción con el propósito de que los alumnos construyan su sentido, debemos
tener en cuenta una diversidad de contextos, significados y representaciones.

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20 Matemática 1

Asimismo, habrá que considerar distintas relaciones posibles entre datos e
incógnitas, para no fomentar una idea estereotipada de problema y cuidar que,
para ese conjunto de problemas, la noción que se quiere enseñar sea la “herra-
mienta matemática” más eficaz que permite resolverlos.
Consideramos que cada actividad constituye un problema matemático para
un alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conoci-
mientos matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del pro-
blema y, para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nocio-
nes que tiene disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones.
En este sentido, la actividad que puede resultar problemática para un alum-
no no lo es necesariamente para otro, dependiendo de los conocimientos de
que dispone. Así, para atender la heterogeneidad en cada grupo de alumnos
respecto de sus conocimientos iniciales y dar a todos la posibilidad de construir
una solución, es necesario plantear buenas preguntas, admitir diferentes proce-
dimientos para responderlas y, luego, discutir sobre ellos.
Por ejemplo, si en un grupo de alumnos de 2o año/grado se trata de avanzar
hacia el cálculo de multiplicaciones de números de 2 cifras por números de 1
cifra –habiendo resuelto ya problemas donde se multiplicaron dígitos entre sí y
dígitos por 10–, se les puede preguntar cuántas baldosas hacen falta para
armar un friso de 25 baldosas de largo y 4 de ancho. Algunos sumarán 4 veces
25; otros podrían sumar 4 + 25; otros pensarán que 2 frisos de 25 son 50 y
sumarán 50 + 50; otros multiplicarán y sumarán 10 x 4 + 10 x 4 + 5 x 4; mien-
tras que otros podrían hacer un dibujo con las filas y columnas de baldosas
como apoyo para cualquiera de los procedimientos anteriores o para contarlas.
El docente tendrá luego que plantear nuevas preguntas que pongan en eviden-
cia que algunos de los procedimientos utilizados son ineficientes, costosos o
inadecuados. Así, si en el ejemplo se quiere en una segunda instancia que los
procedimientos de conteo y suma de sumandos iguales sean dejados de lado
para avanzar hacia 25 x 4, se puede modificar la consigna pidiendo que la
resuelvan, por ejemplo, realizando cálculos con al menos una multiplicación.
En síntesis, presentar un problema requiere, por una parte, elegir una pre-
gunta adecuada a los conocimientos del grupo de alumnos y abrir su resolu-
ción a una variedad de estrategias, confiando en que todos los niños pueden
hacerlo de algún modo. Por otra parte, habrá que trabajar con los conocimien-
tos que surjan para avanzar hacia los que se quiere enseñar por medio del
planteo de nuevas preguntas.

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en el Primer Ciclo

Los contextos
Se parte de la idea de que una noción matemática cobra sentido a partir del con-
junto de problemas en los cuales resulta un instrumento eficaz de resolución.
Esos problemas constituyen el o los contextos para presentar la noción a los
alumnos. Por ejemplo, el cálculo de puntos en un juego, la construcción de una
figura, la elaboración de un procedimiento para realizar un cálculo son contextos
posibles para presentar la suma, los rectángulos o la propiedad conmutativa.
Para cada noción es posible considerar diferentes contextos que nos permi-
tan plantear problemas en los que la resolución requiera su uso. Estos contex-
tos podrán ser matemáticos o no, incluyendo entre estos últimos los de la vida
cotidiana, los ligados a la información que aparece en los medios de comunica-
ción y los de otras disciplinas.
Por ejemplo, la noción de multiplicación es frecuentemente introducida por
medio de la resolución de problemas en los que una misma cantidad se repite un
cierto número de veces, como cuando se pregunta por el precio total de varios
artículos del mismo precio. En este caso, se trata de un contexto no matemáti-
co de la vida cotidiana. También habrá que plantear por qué para calcular
3 + 3 + 3 + 3 es posible realizar una multiplicación, pero no se puede para
3 + 4 + 5. En este caso se trata de un contexto matemático.
En ambos planteos, la multiplicación es el instrumento que resuelve el pro-
blema: la noción está contextualizada y “funciona” en esos casos particulares.
En este sentido, al producir la solución, el alumno sabe que en ella hay conoci-
miento matemático, aunque no logre identificar cuál es. Para que pueda reco-
nocerlo, tendremos que intervenir nombrando las nociones del modo en que se
usan en la disciplina y reformulando las conclusiones alcanzadas por el grupo
con representaciones lo más próximas posibles a las convencionales, es decir,
reconociendo como conocimiento matemático el que se usó como instrumento
de resolución, ahora independientemente del contexto.
Al presentar cada noción en diferentes contextos, y descontextualizarla cada
vez, se amplía el campo de problemas que los alumnos pueden resolver con ella.
De este modo, los chicos avanzan en la construcción de su sentido.
En todos los casos, los contextos tendrán que ser significativos para los
alumnos, es decir que implicarán un desafío que puedan resolver en el marco de
sus posibilidades cognitivas y sus experiencias sociales y culturales previas.
Asimismo, los conocimientos involucrados en el problema deberán cobrar inte-
rés para ellos y ser coherentes desde el punto de vista disciplinar.
Al interactuar en su vida social, los niños aprenden las prácticas habitua-
les de cada comunidad y construyen saberes, algunos de los cuales están
ligados a la matemática. Son estos saberes los que debemos recuperar en la

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22 Matemática 1

escuela para vincularlos con los conocimientos que deben aprender, ya sea
para reconocerlos como parte de ellos y sistematizarlos, como para utilizar-
los en nuevos contextos. De este modo, es esperable que los alumnos pue-
dan incorporar en su vida cotidiana nuevas prácticas superadoras y valorar el
aporte brindado por la escuela para su adquisición.
Los resultados de investigaciones realizadas sobre el uso de conocimientos
matemáticos en situaciones de la vida cotidiana, como al hacer compras de ali-
mentos, dan cuenta de los múltiples factores que determinan las decisiones que
tomamos acerca de “cuánto” compramos y muestran que a veces no utilizamos
conocimientos matemáticos. Por ejemplo, tenemos en cuenta las preferencias o
necesidades de los integrantes de la familia y no sólo la relación precio/canti-
dad. Al formular ese tipo de problemas con propósitos de enseñanza, seleccio-
namos algunos datos que intervienen en la situación o contexto real. Así, las
relaciones que se establecen entre los datos para encontrar la respuesta están
más relacionadas con los conocimientos que se quieren enseñar que con la
situación real que da origen al problema.
Al elegir los problemas, también es esencial revisar los enunciados y las pre-
guntas que presentamos, pues muchas veces se incluyen preguntas que care-
cen de sentido en sí mismas, pues no aluden a problemas reales o verosímiles.
Por ejemplo, si en un enunciado se habla de la suma de las edades de dos her-
manos o de la cantidad de hormigas de dos hormigueros, cabe preguntarse
quién puede necesitar estos valores y para qué.
Un contexto muy utilizado en la clase de matemática es el de los juegos. El
sentido de incluirlo va más allá de la idea de despertar el interés de los alum-
nos. Jugar permite “entrar en el juego” de la disciplina matemática, pues se eli-
gen arbitrariamente unos puntos de partida y unas reglas que todos los
participantes acuerdan y se comprometen a respetar. Luego, se usan estrate-
gias que anticipan el resultado de las acciones, se toman decisiones durante el
juego y se realizan acuerdos frente a las discusiones.
No debemos perder de vista que, al utilizar el juego como una actividad de
aprendizaje, la finalidad de la actividad para el alumno será ganar, pero nuestro
propósito es que aprenda un determinado conocimiento. Por eso, el hecho de
jugar no es suficiente para aprender: la actividad tendrá que continuar con un
momento de reflexión durante el cual se llegará a conclusiones ligadas a los
conocimientos que se utilizaron durante el juego. Luego, convendrá plantear
problemas de distinto tipo en los que se vuelvan a usar esos conocimientos: par-
tidas simuladas, nuevas instancias de juego para mejorar las estrategias, tareas
a realizar con los conocimientos descontextualizados.

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en el Primer Ciclo

Los significados
Cada noción matemática resuelve un cierto conjunto de problemas; sin embar-
go, no tiene el mismo significado en todos los casos. Por ejemplo, si trabajamos
la suma de números naturales, podemos enunciar dos problemas que se pue-
dan resolver realizando el cálculo 4 + 5. En el problema “En el cumpleaños de
Jimena me regalaron 5 caramelos. Yo tenía 4 caramelos guardados, ¿cuántos
tengo ahora?”, las cantidades son 4 y 5 caramelos, es decir que son del mismo
tipo. En cambio en el problema “Para dar premios en un juego, llevamos a la
escuela algunas golosinas. Ale llevó 4 caramelos y 5 bombones. ¿Cuántas golo-
sinas llevó?”, las cantidades son de dos clases distintas –caramelos y bombo-
nes– que, sin embargo, pueden ser reunidos en una sola clase: golosinas.
Además, en ambos problemas, se establecen diferentes relaciones entre las
cantidades involucradas. En el primer problema, se trata de un aumento de la
cantidad de objetos de una colección inicial –aquí sumar significa agregar–;
mientras que en el segundo, se juntan los elementos de dos colecciones; en
este caso, sumar significa reunir. En estos ejemplos presentamos sólo dos de
los posibles significados de la suma, pero, al variar las relaciones que se pue-
den establecer entre las cantidades involucradas, es posible considerar otros
para esta operación.
Por otra parte, para el mismo significado de una operación es posible plan-
tear problemas en los que varíe el tamaño de los números –de una cifra, dos,
etc.– y las magnitudes correspondientes a las cantidades. En este sentido, es
importante incluir algunos en los que estas sean discretas, como la cantidad de
caramelos, y otros en los que sean continuas, como la longitud o el peso.
Al planificar es importante tener en cuenta que, a lo largo de su recorrido por
el Primer Ciclo, los alumnos deben ir trabajando con los diferentes significados
de las operaciones básicas, variando también el tamaño de los números y las
magnitudes involucradas, lo que supondrá construir un conjunto de problemas
de diferentes niveles de complejidad.

Las representaciones
En el conjunto de problemas que seleccionamos también es necesario tener en
cuenta las distintas representaciones posibles de la noción que queremos ense-
ñar, ya que la posibilidad de avanzar en la comprensión de una noción implica
reconocerla en sus distintas representaciones pudiendo elegir la más conve-
niente y pasar de una a otra en función del problema a resolver.

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24 Matemática 1

Por ejemplo, para representar una colección cualquiera de diecisiete elemen-
tos, es posible escribir, entre otras, las siguientes expresiones:

17 14 + 3 1 x 10 + 7 5x3+2 XVII

Entre todas las representaciones anteriores, en la escuela se enseña 17 o
14 + 3 desde 1er año/grado; 1 x 10 + 7 o 5 x 3 + 2 desde 2o y, por último, XVII.
En el aula pueden aparecer otras representaciones ligadas con los procedi-
mientos de resolución que realizan los alumnos. Por ejemplo, si los diecisiete
elementos se encuentran en el enunciado de un problema que requiere contar
objetos que están o no ordenados en forma rectangular –como las baldosas de
un patio o una cantidad de figuritas–, podrían aparecer la cuadrícula o los palitos.

En estos casos, las representaciones deberían ser analizadas en el grupo,
socializadas para darles un lugar entre los conocimientos construidos en la
clase, para que luego el docente pueda incluirlas en las actividades que presen-
te. Asimismo, a las representaciones producidas por los alumnos es posible
agregar otras cuyo tratamiento el maestro considere necesario.
Estas representaciones pueden tener sólo un valor local, es decir, particular
para ese problema o uno similar. Por ejemplo, dibujar palitos no resulta econó-
mico cuando hay que tratar con cantidades grandes ya que es más complejo
dibujar y contar muchos elementos.
Otras representaciones, en cambio, pueden evolucionar para adaptarse a
nuevos problemas. Por ejemplo, para representar productos de números más
grandes se puede dibujar un rectángulo y colocar los números de su ancho y su
largo sin necesidad de dibujar las líneas de la cuadrícula.
De ser posible, es preferible que la necesidad de usar otra representación sea
descubierta por el propio alumno frente a la insuficiencia de una anterior. El
tiempo que aparentemente se “pierde” en este trabajo de hacer evolucionar las
representaciones en función de la necesidad de “economía” se gana en signifi-
catividad de estas representaciones para el alumno.

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en el Primer Ciclo

Del mismo modo, el uso o no de materiales “concretos” debería ser decidido por
el alumno en función de sus necesidades, las que están ligadas al estado de sus
conocimientos. Por ejemplo, para trabajar con cantidades en los primeros años/gra-
dos, algunos alumnos usarán objetos como palitos de helado o tapitas; otros, mar-
cas sobre papel o los dedos, y otros emplearán números. Poner aquellos a su dis-
posición puede ser parte de la consigna, pero habrá que cuidar que en esta se dé
lugar al uso de otros caminos, pues, de lo contrario, no se estará promoviendo la
anticipación propia de la actividad matemática, que en este caso implica usar otras
formas de representación. Si se ha pedido que todos traigan tapitas de la casa, se
pueden ubicar en una caja de material común y plantear que cada uno las busque
cuando las necesite. Esto muestra el importante papel que tienen las consignas,
dado que sintetizan las condiciones para la resolución del problema.
Al plantear los problemas, deberemos promover que la representación que
cada alumno utilice sea una forma de expresar lo que está pensando, y que el
debate posterior a las producciones sobre la pertinencia y economía de estas
permita su evolución hacia las representaciones convencionales.
Cuando los chicos van avanzando en su disponibilidad de diferentes formas
de representación de una misma noción, será conveniente que sean ellos los
que elijan una u otra, en función de la situación que intentan resolver.
Que los alumnos vayan evolucionando desde las formas personales que usan
para resolver los problemas hasta las convencionales que se utilizan en
Matemática será una tarea a largo plazo.

Las relaciones entre datos e incógnitas
Algunos de los problemas que se presentan y funcionan como contexto para
utilizar una noción tienen el propósito de trabajar lo que denominamos trata-
miento de la información. En estos casos, lo que se pone en juego es la rela-
ción entre los datos y las incógnitas.
Muchas veces detectamos que los alumnos intentan resolver el problema que
les presentamos sin pensar el enunciado, buscando sólo qué operación deben
realizar para solucionarlo. Esa forma de enfrentarse al problema está fomenta-
da por muchos enunciados que forman parte de la tradición escolar y por el tra-
tamiento que se les da en clase. Suelen aparecer todos los datos necesarios
para responder la pregunta que se hace y esta se refiere al resultado de una
operación entre ellos. Asimismo, el maestro que ya enseñó los cálculos propo-
ne a los alumnos que identifiquen “la” operación y espera que resuelvan el pro-
blema sin dificultad.
Una manera de modificar esta cuestión es generar en los chicos la necesi-
dad de leer e interpretar el enunciado del problema y, por lo tanto, de construir

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26 Matemática 1

una representación mental de la situación que les permita encontrar algún pro-
cedimiento de resolución. Para ello, será necesario variar tanto la forma de pre-
sentación del enunciado como el tipo de tarea que el alumno debe realizar.
Los enunciados pueden ser breves relatos, tener datos “de más” e incluir imá-
genes. Las preguntas también serán variadas: algunas no se podrán contestar,
otras se contestarán con un dato y sin operar, y otras requerirán hacer una ope-
ración, pero la respuesta podrá ser una información diferente del resultado de
la operación. También los alumnos podrán proponer problemas, para lo cual se
puede dar información y pedir que formulen preguntas o presentar datos y res-
puestas para elaborar una pregunta que los relacione. A la vez, tendremos que
organizar la clase de modo que cada alumno pueda interpretar el problema y
tomar una primera decisión autónoma a propósito de su resolución.

Construir condiciones para resolver problemas
Para que cada alumno se involucre en el juego matemático, además de elegir
un problema desafiante pero adecuado para sus conocimientos, y en el que la
noción a enseñar sea un instrumento eficaz de resolución, es necesario tener
en cuenta el siguiente conjunto de condiciones: los materiales necesarios, las
interacciones derivadas de la forma de organizar la clase y nuestras intervencio-
nes durante su transcurso.
Cuidar estas condiciones, anticiparlas al planificar la clase, es, en realidad,
uno de nuestros grandes desafíos como maestros.

Las situaciones de enseñanza
En algunas ocasiones, la tarea que se propone al alumno puede presentarse
sólo mediante el enunciado de un problema, o con una pregunta para un con-
junto bien elegido de cálculos, o con un interrogante que deba ser respondi-
do a partir de una información publicada en el diario o en la publicidad de una
revista. En otras ocasiones, habrá que proporcionar los instrumentos de geo-
metría para realizar una construcción o los materiales para un juego –sean
estos cartas, dados y tablas para anotar puntajes, una pista numerada y fichas
para marcar las posiciones, el croquis de un recorrido, etc.–. En todos los
casos, una primera condición es asegurarnos de tener disponibles los mate-
riales a utilizar.
También habrá que anticipar cuál es el tipo de interacciones que queremos
que se den para organizar distintos momentos de la clase: las de los alumnos
con el maestro, de los alumnos entre sí, y entre cada alumno y el problema.
Habrá que proponer, según convenga y de manera no excluyente, momentos de
trabajo en forma individual, en pequeños grupos o con toda la clase.

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en el Primer Ciclo

Los niños podrán realizar diferentes tareas. En algunas ocasiones, trabajarán
usando los conocimientos matemáticos de manera implícita, sin nombrarlos ni
escribirlos, por ejemplo, al medir, construir, decidir cómo jugar o contar. En otras,
utilizarán los conocimientos matemáticos de manera explícita: tendrán que des-
cribir cómo midieron o contaron, qué instrumentos usaron para construir y qué
hicieron en cada paso, o producirán un instructivo para que otro construya una
figura o realice un cálculo, explicarán por qué decidieron utilizar un procedimien-
to u otro, cómo pueden comprobar que un resultado es adecuado. También
darán razones para convencer a otro compañero de que los números encontra-
dos o las figuras dibujadas cumplen con las condiciones del problema; tendrán
que argumentar sobre si un procedimiento es o no correcto, o en qué casos una
afirmación es verdadera.
Al anticipar el desarrollo de la clase y prever las condiciones necesarias para
que ocurran las interacciones que nos interesan, diseñamos una situación pro-
blemática a propósito del conocimiento que queremos enseñar. Esta situación
incluye un conjunto de elementos y relaciones que estarán presentes en la
clase: el problema, los materiales, una cierta organización del grupo, un desarro-
llo con momentos para diferentes intercambios. Al planificar, también anticipa-
mos los diferentes procedimientos y las representaciones que podrán usar los
alumnos, nuestras preguntas y las conclusiones posibles.

La gestión de la clase
Hemos planteado ya que, para que los alumnos desarrollen el tipo de trabajo
matemático que buscamos promover, serán fundamentales las intervenciones
del docente durante la clase.
El trabajo de resolución de problemas que se propone en este enfoque gene-
ra muchas veces inseguridad. Pensamos ¿cómo voy a presentar este problema
si no muestro antes cómo hacerlo?, ¿cómo voy a organizar la clase si cada uno
responde de una manera distinta? o ¿cómo voy a corregir si hay distintos pro-
cedimientos en los cuadernos?
Respecto de la primera pregunta, para iniciar el aprendizaje de un nuevo
conocimiento en el proyecto de cada año escolar, tendremos que presentar un
problema asegurándonos de que todos hayan comprendido cuál es el desafío
que se les propone. Para que cada alumno acepte ocuparse de él, es esencial
generar el deseo de resolverlo. Este tipo de intervención, que busca que el alum-
no se haga cargo de la resolución, es siempre parte del inicio de la clase, pero
puede reiterarse en distintos momentos, toda vez que sea necesario y oportuno.
Es una invitación para que el chico resuelva por sí solo y no una orientación
sobre cómo debe hacerlo.

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28 Matemática 1

Para comenzar, los niños lo resuelven de manera individual o en pequeños
grupos, con diferentes procedimientos, según los conocimientos de los que dis-
pone cada uno. Por ejemplo, en 1er año/grado, cuando aún no se enseñó a
sumar, es posible plantear a los niños que averigüen la cantidad de lápices que
quedaron en una caja luego de que un alumno puso allí 9 y otro sacó 5, contán-
dolos frente a todos en ambos casos. Los niños podrán recurrir a una variedad
de procedimientos para resolver la consigna: algunos usarán los dedos; otros,
dibujitos; otros, el material concreto disponible; unos, una tabla con números u
otros cálculos.
Luego, habrá que dar lugar a un intercambio del que participen todos los
alumnos y en el que se vayan explicando las diferentes aproximaciones al cono-
cimiento que se quiere enseñar, y debatir sobre ellas. Al analizar las diferentes
soluciones, tendremos que valorizar de igual modo todas las producciones, ya
sea que permitan o no arribar a una respuesta al problema planteado.
Al dar lugar a la presentación y explicación de los procedimientos utiliza-
dos por los chicos, es necesario animarlos a dar razones de lo realizado, a
explicar por qué lo hicieron de cierta forma, a argumentar sobre la validez de sus
producciones. Esto les permitirá volver sobre lo que han pensado para analizar
sus aciertos y errores y controlar, de este modo, el trabajo. Alentarlos a hablar o
participar a aquellos que no lo hacen espontáneamente significa trabajar supo-
niendo que los chicos pueden progresar y no que van a fracasar.
Este trabajo incorpora a los alumnos en el proceso de evaluación en un lugar
diferente del habitual, donde quedan a la espera de la palabra del docente que
les ratifica de inmediato si lo que hicieron está bien o no. Si han asumido como
propia la tarea de resolución, querrán saber si lo producido es o no una respues-
ta a la pregunta que organizó el quehacer matemático en el aula. Es en el deba-
te que el conjunto de la clase dará por válida o no una respuesta, lo que llevará
a la modificación de los procedimientos que conducen a errores.
En un comienzo, las razones que los alumnos den al debatir se apoyarán en
ejemplos, comprobaciones con materiales, como contar chapitas, plegar pape-
les o tomar medidas, entre otros casos, para luego avanzar hacia el uso de pro-
piedades. A la vez, estas últimas se enunciarán con distintos niveles de formali-
zación: por ejemplo, de “podés hacer 4 + 3 y te da lo mismo que 3 + 4”, en el
Primer Ciclo, a: “al sumar es posible conmutar”, en el Segundo Ciclo.
Con la intervención del maestro, se reconocerán y sistematizarán los saberes
que se van descubriendo. Esta tarea de establecer relaciones entre las conclu-
siones de la clase y el conocimiento matemático al que se pretende llegar, intro-
duciendo las reglas y el lenguaje específicos, y entre los conocimientos ya cono-
cidos y los nuevos, es una tarea que está siempre a cargo del maestro y que

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en el Primer Ciclo

resulta imprescindible para que los alumnos identifiquen qué han aprendido.
Para esto, no tenemos que basarnos en ningún esquema rígido. Esas interven-
ciones pueden darse en distintos momentos, siempre que sean oportunas; es
decir que lleguen después de que los alumnos hayan desplegado sus propios
razonamientos.
El camino propuesto no implica diluir la palabra del maestro. Cuando los
chicos están resolviendo los problemas solos o con su grupo, el maestro podrá
pasar cerca de cada uno, atendiendo lo que van haciendo, los términos que
usan, lo que escriben, quiénes no participan y quiénes siguen atentamente –aun
sin hablar– lo que hacen sus compañeros. De tal modo, el maestro tendrá un
registro del conjunto de conocimientos que se despliegan en la clase. Esta infor-
mación será fundamental para tomar decisiones en el momento del debate:
¿qué grupo conviene que hable primero?, ¿cuáles tienen una respuesta similar?
Esto permitirá optimizar el tiempo dedicado a la puesta en común de manera
que no resulte tediosa para los alumnos.
El docente tampoco queda al margen del debate de la clase, ya que es él quien
lo conduce. A veces, las conclusiones a las que los chicos llegan en conjunto son
parcialmente válidas, constituyen una respuesta provisoria a la pregunta plantea-
da. Allí, el maestro podrá decir, por ejemplo: Por ahora acordamos que resolve-
mos así; en la próxima clase lo seguiremos viendo. De esta manera, interviene
en el proceso sin anticiparse, pero dejando marcas, planteando alguna contradic-
ción. Así no invalidaremos el trabajo de la “comunidad clase”, pero dejaremos ins-
talado que hay alguna cuestión que hay que seguir discutiendo.
En relación con el modo de organizar la clase frente a las distintas respues-
tas y tiempos de trabajo de los niños, consideremos la forma habitual. Los
docentes usualmente planteamos situaciones para que sean resueltas por todo
el grupo, lo que nos permite valorar, corregir, hacer señalamientos como ayuda,
aceptando las intervenciones de los alumnos.
Es cierto que es más fácil llevar adelante el trabajo colectivo sobre un único
procedimiento, pero de este modo se corre el riesgo de que sólo un grupo de
alumnos participe activamente siguiendo al maestro, mientras otros se quedan
al margen de la propuesta; y aunque todos lo siguieran, lo aprendido se limita a
una única manera de pensar.
La alternativa que proponemos a la organización habitual de la clase, según
nuestros objetivos, será organizar la actividad de distintas maneras: individual,
por pares o grupos de más alumnos, y aun con distintos tipos de tareas para
cada grupo o dentro del mismo grupo, alentando la movilidad de los roles y
estando atentos a la posible configuración de estereotipos que, lamentable-
mente, algunas veces hacen que la discriminación se exprese en la clase de

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30 Matemática 1

Matemática. Tanto los momentos de trabajo individual como los compartidos en
grupo aportan al alumno un tipo de interacción diferente con el conocimiento,
por lo que ambos deberán estar presentes en la clase.
Muchas veces, cuando estamos a cargo de un plurigrado, separamos a los
niños según el año/grado que cursan y el tema sobre el que están trabajando,
y vamos atendiendo a un grupo por vez. Sin embargo, en ocasiones, convendría
agruparlos “entre” años, según los conocimientos disponibles y el criterio de
avance compartido, y trabajar con un mismo conocimiento. Aquí, lo importante
será variar los significados y/o los contextos de uso, para que cada grupo se
enfrente con la complejidad que exigen las diferentes posibilidades de aprendi-
zaje y de intereses.
En la propuesta, el cuaderno tiene diferentes funciones: en él, cada chico
ensaya procedimientos, escribe conclusiones que coinciden o no con su reso-
lución y, eventualmente, registra sus progresos, por ejemplo, en tablas en las
que da cuenta del repertorio de cálculos que ya conoce. De este modo, el cua-
derno resulta un registro de la historia del aprendizaje y los docentes podemos
recuperar las conclusiones que los alumnos hayan anotado cuando sea nece-
sario para nuevos aprendizajes.
En este sentido, conviene además conversar con los padres que, acostum-
brados a otros usos del cuaderno, pueden reclamar o preocuparse al encontrar
en él huellas de errores que para nosotros juegan un papel constructivo en el
aprendizaje. De todos modos, es recomendable discutir con el equipo de cole-
gas de la escuela cómo se registra en el cuaderno la presencia de una produc-
ción que se revisará más adelante.
También el pizarrón tiene diferentes funciones. Allí aparecerá todo lo que
sea de interés para el grupo completo de la clase, por ejemplo: los procedimien-
tos que queremos que los alumnos comparen, escritos por un representante del
grupo que lo elaboró o por el maestro, según lo que parezca más oportuno.
Convendrá usar también papeles afiche o de otro tipo para llevar el registro de
las conclusiones –como tablas de productos, acuerdos sobre cómo describir
una figura, etc.– para que el grupo las pueda consultar cuando sea necesario.
Promover la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos en
el aprendizaje, de generar confianza en las propias posibilidades de aprender y
de poner en evidencia la multiplicidad de formas de pensar frente a una misma
cuestión, así como la necesidad de acordar cuáles se consideran adecuadas en
función de las reglas propias de la matemática.
Es muy importante instalar en la escuela las condiciones necesarias para que
los niños sientan que los errores y los aciertos surgen en función de los cono-
cimientos que circulan en la clase, es decir que pueden ser discutidos y valida-

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en el Primer Ciclo

dos con argumentos y explicaciones. Es así como pretendemos que los niños
vayan internalizando progresivamente que la matemática es una ciencia cuyos
resultados y progresos se obtienen como consecuencia necesaria de la aplica-
ción de ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no como una
práctica de la adivinación o del azar o un saber que no sufre transformaciones.
De todos modos, sabemos que seleccionar problemas y secuencias de acti-
vidades que puedan ser abordadas por los alumnos de la clase con distintas
herramientas, e intervenir convenientemente para que todos puedan avanzar,
supone para nosotros una dificultad mucho mayor que la de presentar un pro-
blema que la mayoría resuelve de la misma manera. Quizá nos dé un poco de
tranquilidad saber que a trabajar en grupo se aprende y que, en el inicio de este
aprendizaje, hay que tolerar una cuota de desorganización, hasta que los alum-
nos incorporen la nueva dinámica.
Una cuestión ligada a la organización de la enseñanza que conviene tener en
cuenta es la de articular, en cada unidad de trabajo, algún conjunto de actividades
que formen una secuencia para desarrollar cierto contenido. El criterio que utili-
zamos al presentar algunos ejemplos en el apartado “Propuestas para la enseñan-
za” es que en cada nueva actividad de una misma secuencia se tome como cono-
cimiento de partida el que ha sido sistematizado como conclusión en la anterior.
Otra cuestión también ligada a la elaboración de una unidad de trabajo, y que
permite mejorar el uso del tiempo de clase, es la articulación de contenidos.
Por ejemplo, la “designación oral y representación escrita de números” y “la
identificación de regularidades de la serie numérica”, expresadas en los NAP de
1er año/grado, pueden abordarse en una misma unidad y aun en una misma
secuencia. Por ello, es conveniente tener en cuenta que la presentación de los
NAP no indica un orden de enseñanza y que, antes de armar las unidades, es
indispensable tener un panorama de la totalidad de la propuesta.

Evaluar para tomar decisiones
En cuanto a los objetivos con que presentamos los problemas, podemos plan-
tear distintas opciones: para introducir un tema nuevo, para que vuelvan a usar
un conocimiento con el que trabajaron pero en un contexto distinto o con un sig-
nificado o representación diferentes, o para recuperar prácticas ya conocidas
que les permitan familiarizarse con lo que saben hacer y lo hagan ahora con más
seguridad. Pero los problemas son también un tipo de tarea que plantearemos
para evaluar.
Sin desconocer que cada maestro tomará decisiones de promoción y acre-
ditación en función de acuerdos institucionales y jurisdiccionales sobre crite-
rios y parámetros, queremos poner énfasis en la idea de que un sentido funda-

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32 Matemática 1

mental de la evaluación es recoger información sobre el estado de los sabe-
res de los alumnos, para luego tomar decisiones que permitan orientar las
estrategias de enseñanza.
Las producciones de los niños dan cuenta tanto de los resultados derivados
de nuestras propias estrategias de enseñanza, como de lo que aprendieron y de
sus dificultades.
El modo de trabajo propuesto en estas páginas introductorias permite tomar
permanentemente información sobre qué saben los chicos sobre lo que se ha
enseñado o se desea enseñar. Los problemas seleccionados para iniciar cada
tema pueden funcionar para tener algunos indicios de los conocimientos del
grupo y considerarlos en un sentido diagnóstico para terminar de elaborar la
unidad didáctica. De este modo, la evaluación diagnóstica, en lugar de focalizar-
se en el inicio del año, se vincula con la planificación de cada unidad.
Al considerar las producciones de los alumnos, pueden aparecer errores de
diferente origen, pero muchas veces los que llamamos “errores” no son tales.
Algunos de ellos están vinculados con una distracción circunstancial como
copiar mal un número del pizarrón que sólo habrá que aclarar. Otros, en cambio,
estarán mostrando una forma de pensar provisoria, por ejemplo, cuando los chi-
cos dicen “al multiplicar siempre se obtiene un número mayor que cada factor”.
Esto último no es cierto si se considera el campo de los números racionales,
pero sí lo es para un chico del Primer Ciclo que lo piensa desde sus experien-
cias numéricas vinculadas al campo de los números naturales.
En otros casos, se considera como error que los niños utilicen una repre-
sentación distinta de la convencional. Por ejemplo, producir procedimientos
de cálculo para agregar 4 a 16, y escribir la serie 17, 18, 19, 20, en lugar de
16 + 4 = 20 sería un paso posible para evolucionar del conteo al cálculo y
no un error.
Frente a los “errores” descubiertos será necesario: analizarlos, intentar com-
prender cómo y por qué se producen y plantear actividades de distinto tipo. En
el caso de cuestiones presentes en las producciones de muchos alumnos del
grupo, habrá que volver sobre la noción involucrada en ese momento, cuestio-
nándolos con ejemplos que contradigan sus ideas. No es evitando los “errores”
que se acorta el proceso de aprendizaje, sino tomándolos que se enriquece.

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en el Primer Ciclo

Avanzar año a año en los conocimientos de Primer Ciclo
La mayoría de las nociones matemáticas que se enseñan en la escuela lleva
mucho tiempo de elaboración, por lo que es necesario delinear un recorrido
precisando el punto de partida y atendiendo al alcance progresivo que debiera
tener el tratamiento de las nociones en el aula.
El Eje “Número y Operaciones” incluye como aprendizajes prioritarios, duran-
te el Primer Ciclo, el uso de los números naturales en distintas situaciones y
el análisis del valor posicional de cada cifra en los números.
Para ello, en 1er año/grado se parte de los conocimientos que los niños tie-
nen del recitado de algún tramo de la serie numérica para contar, así como del
uso, en algunos contextos, de la numeración escrita y oral en función de cuál es
su entorno inmediato y de sus experiencias. Se avanza en el intervalo conocido
del recitado, en el uso de la serie oral para el conteo efectivo y en el conoci-
miento de la serie escrita.
Luego, las propuestas que apuntan a la idea de valor posicional se centran
en el análisis de regularidades en distintos tramos de la serie numérica y en la
producción de escrituras aditivas de los números. En tal sentido, propondremos
situaciones que apunten a vincular la serie oral con la escrita, reconociendo el
28 como del grupo de los “veinti…” o del grupo de “los que terminan en 8”, y
también como 20 + 8, o 20 + 5 + 3, o 10 + 10 + 8. Es esperable que los alum-
nos se apoyen luego en este tipo de descomposiciones para efectuar sumas y
restas de este número con otros.
En 2o y 3er año/grado se continuará el trabajo sobre las regularidades de la
serie numérica, utilizando números más grandes, pues los descubrimientos que
los alumnos han hecho en 1o para los números del 1 al 100 no los generalizan
a otros intervalos mayores de dicha serie, si no se trabaja sobre ellos. En
2o año/grado tendrán que analizar las regularidades en otras centenas (del 100
al 199, del 500 al 599, etc.) y en 3er año/grado, las que corresponden a los
miles. En 2º y 3er año/grado también se desarrolla un trabajo vinculado con el
pasaje de la descomposición aditiva a la descomposición aditiva y multiplicativa
de los números, por ejemplo, para pasar de pensar 456 como 400 + 50 + 6 a
pensarlo como 4 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1.
Otro aprendizaje prioritario del Eje “Número y Operaciones” es el de las
operaciones básicas, tanto en relación con los problemas aritméticos que
resuelven como con las formas de calcular. En el Primer Ciclo, es esperable
que los alumnos exploren los primeros significados de la suma, la resta, la mul-
tiplicación y la división de los números naturales y que calculen en forma exac-
ta y aproximada con distintos procedimientos, apoyándose en un repertorio de
cálculos memorizados.

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34 Matemática 1

En relación con los significados de las operaciones, ya desde 1er año/grado se
comienza con problemas de suma relativos a las ideas de agregar y reunir, y con
problemas de resta vinculados con las de quitar, perder y retroceder. Si bien en
este año/grado podemos iniciar el trabajo con problemas de complemento y dife-
rencia, estos serán abordados con mayor profundidad durante 2o y 3er año/grado.
Respecto de la multiplicación, en 2o año/grado se empieza con problemas
sencillos de proporcionalidad –donde se da como dato el valor unitario–; entre
ellos, se incluyen aquellos que admiten una organización rectangular de los ele-
mentos, es decir, los que pueden ser colocados ordenadamente en filas y
columnas. Estos continúan trabajándose en 3o, ampliando la propuesta con
problemas de combinatoria que involucren poca cantidad de elementos.
Simultáneamente a los problemas de multiplicación, se presentan los de división.
A partir de la relación entre ambos tipos de problemas, los niños irán recono-
ciendo en la multiplicación un conocimiento útil para resolver problemas de divi-
sión. Es esperable que durante 2o año/grado los alumnos logren resolver pro-
blemas de reparto por procedimientos de conteo, de reparto uno a uno y/o por
sumas o restas sucesivas. En 3er año/grado podrán utilizar, entre otros recursos,
el algoritmo de la multiplicación.
En relación con las formas de calcular, es importante considerar como ini-
cio del trabajo la utilización de diferentes procedimientos de cálculo en función
de los conocimientos disponibles de los alumnos sobre los números involucra-
dos y sobre las operaciones antes de comenzar con los algoritmos convencio-
nales que todos realizamos de la misma manera. Por otra parte, resultará inte-
resante evaluar con los niños la conveniencia de utilizar el cálculo mental, por
ejemplo, para 100 + 300, o el uso de algoritmos escritos, en el caso de que
estén en juego números como 128 + 46.
Un trabajo reflexivo sobre el cálculo debe incluir tanto actividades de produc-
ción y memorización de repertorios y reglas como un trabajo colectivo centrado
en la comparación de una variedad de procedimientos utilizados por distintos
alumnos frente a un mismo problema.
Cuando se trabajan los repertorios de cálculos memorizados –aditivo, sus-
tractivo, multiplicativo–, se propicia la toma de conciencia individual de cuáles
son aquellos disponibles y, a la vez, se proponen actividades tendientes a que
todos los alumnos dominen ciertos cálculos.
Asimismo es importante plantear a los alumnos situaciones que les permitan
diferenciar en qué ocasiones será suficiente con realizar un cálculo aproximado
–en este caso, se recurrirá a la estimación– y en cuáles será necesario una res-
puesta exacta. En particular, el cálculo aproximado permite anticipar y evaluar la
razonabilidad del resultado.

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>
en el Primer Ciclo

La construcción de los algoritmos en 1er año/grado está centrada en el
cálculo horizontal de sumas y restas con distintos procedimientos basados en
las descomposiciones aditivas. En 2o se continúa con lo iniciado en 1o y se
comienza el trabajo con los algoritmos de la suma y de la resta que se retoma-
rán en 3o. También en 2o, los niños podrán resolver multiplicaciones apelando a
sumas reiteradas. En 3er año/grado se abordará el algoritmo de la multiplicación
y se propiciará el avance de los procedimientos de resolución de problemas de
división, sin considerar el algoritmo usual.
Como parte del trabajo numérico, se considera central apuntar a la reflexión
sobre relaciones numéricas, tanto en series de números como en cálculos,
analizando semejanzas y diferencias y pudiendo establecer conclusiones, de
modo que, a largo plazo, los alumnos dispongan de una red de relaciones que
facilite el aprendizaje de otros conocimientos, entre ellos, nuevos cálculos. En
1er año/grado este trabajo se centra en pensar, por ejemplo, cómo cambia un
número cuando se le suma o se le resta 1 o 10 apoyándose en el estudio de
las regularidades de la serie numérica, cómo cambian dos sumandos que tienen
por resultado un mismo número como el 10, o cómo se modifica el resultado si
en una suma se cambia un sumando por el número siguiente. Dado que en
2o año/grado se continúa estudiando la serie numérica incluyendo otras regu-
laridades, es posible profundizar el trabajo iniciado en 1o planteando, por ejem-
plo, cómo cambia un número al sumar o restar 100. En 2o también se puede
considerar cuál es la regla que funciona en la serie de números de una tabla de
multiplicar y también qué ocurre al cambiar el orden de los números en una
suma y en una resta. En 3o se avanza trabajando en el mismo sentido con los
cálculos, como las sumas y restas de centenas, y relacionando las distintas
tablas de multiplicar entre sí.
Al hablar de tratamiento de la información, nos referimos a un trabajo
específico que permita a los alumnos desplegar ciertas capacidades, como
interpretar la información que se presenta en diferentes portadores (enuncia-
dos, gráficos, tablas, etc.), seleccionar y organizar la información necesaria para
responder preguntas, diferenciar datos de incógnitas, clasificar los datos, plani-
ficar una estrategia de resolución, anticipar resultados, etc. Para ello, es oportu-
no formular preguntas que involucren el uso de sólo algunos datos o que nece-
siten incluir datos que deberán investigarse pues no están presentes, que
tengan una, muchas o ninguna respuesta e, incluso, alguna que se responda
sólo identificando parte de la información presente.
La lectura y organización de la información y la recolección y organización de
la información obtenida puede iniciarse en 1er año/grado con propuestas en las
que la información se presente en imágenes (de un mercado, de una plaza) para

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36 Matemática 1

luego elaborar tablas o cuadros de doble entrada, etc. El registro de los puntajes
de un juego es un momento propicio para reflexionar acerca de cómo organizar
una información para que pueda ser entendida por todos con cierta rapidez. En 2o
y 3er años/grados continuaremos con lo iniciado en 1o y avanzaremos con situa-
ciones que requieran la interpretación de mayor cantidad de datos contenidos en
soportes, como en un gráfico de barras, proponiendo “leer” la información conte-
nida y estableciendo relaciones entre las diferentes magnitudes involucradas.
En el Eje “Geometría y Medida” incluimos el estudio del espacio. Los niños
construyen, desde pequeños, un conjunto de referencias espaciales median-
te la manipulación de objetos y de su progresiva posibilidad de moverse y
explorar espacios de diferentes tamaños. Esas referencias espaciales se arti-
culan progresivamente en un sistema que permite ubicar los objetos en el
espacio sensible.
Es por eso que en el Primer Ciclo planteamos problemas que ponen en con-
flicto la referencia inicial del propio cuerpo y que demuestran la insuficiencia de
estructurar el espacio sin otros referentes, permitiendo avanzar en la construc-
ción de nuevas referencias que articulen tanto la posición de los sujetos como
la de los objetos. Para resolver los problemas, los niños tendrán que describir e
interpretar relaciones que les permitan ubicar posiciones, realizar recorridos y
comenzar a conocer el espacio representado en diferentes croquis y planos.
En paralelo con el estudio del espacio, se estudian las formas de dos y tres
dimensiones. Para ello, es posible comenzar a trabajar con las figuras y los
cuerpos sin relacionarlos necesariamente con objetos del mundo sensible.
Entre los problemas que pueden presentarse, son fundamentales aquellos en
los que los niños deben describir una forma y los que apuntan a la copia, el dibu-
jo, la construcción de una figura o el armado de un cuerpo.
La diferencia en los problemas de descripción a lo largo del ciclo estará dada
por las propiedades de las figuras que se incluyan: bordes rectos o curvos,
número de lados y de vértices, y ángulos rectos o no, para el caso de las figu-
ras; superficies curvas o planas, número y forma de las caras para el caso de los
cuerpos.
En los problemas de copia, dibujo o construcción, la diferencia estará dada
no sólo por las propiedades de las figuras sino también por el tipo de papel con
que se trabaje, los instrumentos de geometría que se usen y los datos que se
den sobre la figura a construir.
En todos los casos, habrá que tener en cuenta diferentes conjuntos de figu-
ras en función de las actividades que se propongan. Al resolver estos proble-
mas, los alumnos irán construyendo algunas propiedades de esas figuras y
cuerpos, y apropiándose de un vocabulario específico.

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en el Primer Ciclo

En relación con la noción de medida, en el Primer Ciclo las actividades que
se desarrollan apuntan a considerar diversas situaciones en las que medir resul-
te absolutamente necesario. Se trata de introducir a los niños en esta problemá-
tica, provocar algunas conversaciones para que expresen sus ideas y ponerlas
en discusión. De esta manera, planteamos algunos problemas que permiten a
los alumnos construir el sentido de esta práctica social al variar los contextos
en los que se requiera la medición y analizando el proceso de medir.
En 1er año/grado, los niños se iniciarán en la medición de longitudes, capaci-
dades y pesos, y en el uso del calendario para ubicarse en el tiempo. En 2o,
resolverán problemas con el objetivo de conocer las unidades convencionales
más usuales: el metro, el centímetro, el litro, el kilogramo y el gramo, realizando
mediciones y estimaciones de las magnitudes mencionadas en objetos de su
entorno y discutiendo la forma de escribir la medida. En 3o se avanzará respec-
to de 2o mediante la inclusión de unidades que sean mitades y cuartas partes
de las unidades más usuales.
También, en relación con los conocimientos incluidos en este Eje, se podrá
realizar un trabajo de tratamiento de la información, planteando problemas con
datos presentados de diferentes formas: en un gráfico, a partir de instrucciones
ordenadas, con un enunciado que describe características de las figuras, de las
relaciones o de las cantidades, etc. Asimismo, convendrá que la respuesta invo-
lucre una, muchas o ninguna solución e, incluso, que alguna se responda sólo
identificando determinada información presente.

Articular el trabajo en la clase de 1er año/grado
Al organizar unidades de trabajo, es recomendable articular tanto los contenidos
propios del Eje “Número y Operaciones”, como los de este con los del de
“Geometría y Medida”.
En relación con el primer Eje, la articulación del trabajo supone, en principio,
ir complejizando la tarea en función del intervalo numérico considerado. Por
ejemplo, en el inicio del año escolar, habrá que considerar un cierto intervalo
numérico, como los números del 1 a 30, para plantear situaciones en las que
haya que registrar o interpretar cantidades y posiciones, y leer y escribir núme-
ros. En paralelo, se podrán presentar situaciones en las que se agregan o quitan
elementos en colecciones para que los alumnos las resuelvan con diferentes pro-
cedimientos, y recién después escribir una suma o una resta; pero en estas situa-
ciones convendrá comenzar con los primeros números de ese intervalo.
El avance en el conocimiento de la serie numérica progresará al considerar inter-
valos cada vez más amplios, mientras que el avance en las operaciones se dará en
relación con la variedad de problemas y no sólo con el tamaño de los números.

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38 Matemática 1

Para iniciar el trabajo sobre el cálculo, tanto de memorización como de re-
flexión, es necesario que los alumnos hayan explorado antes algunos problemas
para poder otorgarles un significado a las operaciones. Así, la posibilidad de
recordar las sumas de iguales o de discutir si es lo mismo hacer 8 + 2 que 2 + 8
requiere un apoyo de esos cálculos en contextos ya conocidos.
En cuanto a la articulación entre ambos ejes, es conveniente proponer pro-
blemas en donde los números se usen para expresar medidas, como parte de
los contextos posibles para presentar las operaciones.
Dado que el trabajo con las nociones espaciales y geométricas no requiere
el desarrollo previo de contenidos del Eje “Número y Operaciones”, su tratamien-
to puede iniciarse desde el comienzo del año escolar.
En lo referido a la articulación de los contenidos del Eje “Geometría y Medida”,
es posible considerar, por ejemplo, actividades que aborden la ubicación espacial
a partir de figuras de distintas formas combinadas en un dibujo que hay que copiar.

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nap El reconocimiento y uso de los números naturales, de su
designación oral y representación escrita y de la organización
del sistema decimal de numeración en situaciones problemáticas.

El reconocimiento y uso de las operaciones de adición y
sustracción en situaciones problemáticas.

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NÚMERO
Y OPERACIONES

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EJE
Número y operaciones

Los saberes que se ponen en juego

Para que los alumnos puedan aprender los saberes incluidos en los núcleos, en
la escuela tendremos que proponer situaciones de enseñanza en las que se
pongan en juego distintos aspectos de estos. Se trata de que los conocimientos
matemáticos aparezcan en el aula asociados con los distintos problemas que
permiten resolver, para luego identificarlos y sistematizarlos.
Esto es:

• usar números naturales de una, dos y más cifras, a través de su desig-
nación oral y representación escrita, al determinar y comparar cantidades y
posiciones;
• identificar regularidades en la serie numérica para leer, escribir y comparar
números de una, dos y más cifras, y al operar con ellos;
• usar las operaciones de adición y sustracción con distintos significados,
evolucionando desde procedimientos basados en el conteo a otros de cálculo;
• realizar cálculos exactos y aproximados de números de una y dos cifras,
eligiendo hacerlo en forma mental o escrita en función de los números
involucrados;
• usar progresivamente resultados de cálculos memorizados (sumas
de iguales, complementos de 10) para resolver otros;
• explorar relaciones numéricas* y reglas de cálculo de sumas y restas,
y argumentar sobre su validez, y
• elaborar preguntas a partir de distintas informaciones (ej.: imágenes,
enunciados incompletos de problemas, cálculos, ...).

* Las relaciones numéricas que se exploren estarán vinculadas con los conocimientos disponibles
sobre el sistema de numeración y/o las operaciones.

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43

Propuestas para la enseñanza

En este apartado intentamos precisar el alcance y el sentido de los saberes que
se priorizan en el Eje “Número y Operaciones” dando algunos ejemplos de acti-
vidades para desarrollar en el aula y de producciones de los niños.
Además, desarrollamos posibles secuencias de enseñanza que muestran el
tipo de trabajo matemático que se propone desde el enfoque explicitado en
“Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”.

Para leer y escribir los números naturales
Los números naturales se usan al contar los elementos de una colección para
determinar cuántos son o para saber en qué posición se encuentra alguno de
ellos cuando la colección está ordenada, es decir, con una función cardinal u
ordinal. Por otra parte, tanto la designación oral, o sea, la forma de nombrarlos,
como la escritura convencional con cifras, son formas de representación de los
números.
En algunos casos, los números se usan como símbolos para identificar un
elemento entre otros, por ejemplo, el número de la camiseta de un jugador lo
identifica en su equipo, o el número de la línea de un colectivo lo diferencia del
resto de los que circulan en una ciudad.
Para que los niños avancen en el conocimiento de los números, es importan-
te que ofrezcamos una amplia y variada gama de problemas. Entre ellos, algu-
nos en los que puedan: mejorar el dominio de la serie oral y del conteo efectivo,
registrar cantidades e interpretar registros realizados por otros, establecer rela-
ciones entre la serie oral y la serie escrita, y comparar y ordenar cantidades y
números.
Esta variedad de problemas deberá adecuarse a lo que ellos saben cuando
entran a 1er año/grado, ya sea por su experiencia cotidiana o a partir de sus
experiencias escolares. Sus conocimientos numéricos pueden ir desde el recita-
do de algún tramo de la serie numérica, la escritura de algunos números en
situación de registro de cantidades o la comparación de cantidades, hasta resol-
ver problemas que, por ejemplo, impliquen la transformación del número de ele-
mentos de una colección. Estos conocimientos son diferentes para cada chico,
y los docentes podremos proponer diversas actividades que permitan a cada uno
progresar respecto de sus puntos de partida. Es importante considerar que los
distintos conocimientos sobre los números y las operaciones se extienden gra-
dualmente para cada niño y el avance no se produce de manera uniforme. Por
ejemplo, los alumnos pueden, en un determinado momento, saber contar hasta

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44 Matemática 1

30, pero sólo operar hasta 10, o conocer la lectura y escritura de algunos núme-
ros aislados (su edad, el número de un colectivo, de su calle o de su casa) o bien
de algunos “nudos” de la serie numérica (10, 20, 30, 40, ...) pero no de los núme-
ros intermedios (15, 36, 48).
Es importante iniciar el trabajo numérico con un tramo de la serie numérica y
no con los números uno a uno, pues esto último limitaría la variedad de proble-
mas que pueden presentarse. Además, si queremos partir de lo que saben, no
se puede descartar que ellos ya disponen de conocimientos como los mencio-
nados. Por último, el trabajo con las regularidades de la serie numérica requiere
analizar tramos que contengan una cantidad de números que permitan estable-
cer relaciones.

Plantear situaciones para determinar cantidades y posiciones
Avanzar en la posibilidad de contar cantidades de manera efectiva supone poder
recitar la serie numérica oral ordenada y sin omisiones, asignar cada pala-
bra/número a cada uno de los objetos que se van a contar, de manera que nin-
gún elemento quede sin contar ni sea contado dos veces, y reconocer que el
último número enunciado expresa la cantidad total de objetos de esa colección,
es decir su cardinal.
Respecto del recitado de la serie numérica oral, si bien los niños ingresan
en el 1er año/grado conociendo algún intervalo de aquella, suele haber
muchas diferencias en el dominio que tienen de esos intervalos. Por ejemplo,
pueden contar hasta 10 comenzando desde 1, pero no contar desde 10 hasta
1, o hasta 10 comenzando desde 5.
Para conocer lo que saben sobre el recitado, podemos prestar atención a, por
ejemplo, la forma de contar cuando juegan a las escondidas o al contar para ver
cuánto tiempo tardan los chicos en hacer determinada actividad. Podremos
luego analizar las omisiones de ciertos números, las formas particulares de nom-
brar otros (los chicos suelen decir “dieciuno” en lugar de once) o las repeticio-
nes por desconocimiento de los nombres de las decenas enteras y su orden.1

1
Recomendación de lectura. Para ampliar la información sobre los modos de recitar la serie que
usan los niños en el inicio de 1er año/grado, se recomienda leer “La serie numérica oral”, en:
Orientaciones didácticas para el Nivel Inicial, en Internet. Los datos completos de todas las
obras citadas en este Cuaderno se hallan en la Bibliografía final.

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Eje

Número 45
y operaciones

Para ampliar los conocimientos de los alumnos sobre el recitado de la serie,
es posible proponer un juego como el siguiente.

“Pum al 50”: recitar la serie numérica.
Organización de la clase: los chicos se sientan en dos rondas.
Desarrollo: en cada una, van diciendo por turno, uno cada uno, los
números en orden. Los que deben decir 10, 20, 30, etc., en lugar del
nombre del número, dicen PUM. Si alguno se equivoca, el jugador siguiente
vuelve a empezar. Cada ronda gana un punto al llegar a 50. Después de un
tiempo determinado, gana la ronda que obtuvo más puntos.

Una situación en donde los números se usan para recordar la cantidad de
elementos de una colección es la de armar una colección que tenga tantos ele-
mentos como otra dada. Por ejemplo, una consigna podría ser Busquen en el
armario las tijeras que hagan falta para que cada compañero tenga una y sólo
una. En esta situación, los alumnos podrían recurrir a distintos procedimientos
como llevar de a una tijera por vez o tomar un montón, al azar, sin contar, y devol-
ver las que sobren o completar las que falten; o contar a los niños para luego
contar cuántas tijeras se deben traer. Todos los procedimientos de resolución
son válidos, pero los dos primeros no son tan económicos como el tercero. En
este caso, el conteo de los niños y el recordar el cardinal permiten construir una
nueva colección: la de tijeras necesarias para darle una a cada uno.
Para promover la evolución de los procedimientos y que todos los alumnos
usen el conteo, en otra clase podemos modificar la consigna agregando: Que
no sobre ni falte ninguna tijera y en un solo viaje.

Otra situación para usar los números –en este caso, para evocar el lugar ocu-
pado por un elemento en una lista ordenada sin tener que recordar toda la lista–
es ordenar un conjunto de tarjetas cada una de las cuales tiene un cuadrito de
una historieta. Antes de guardar las tarjetas, y explicando que al día siguiente
van a seguir trabajando con la historieta, se puede plantear la identificación de
la posición con un número para volver a armarla igual. Lo mismo podría ocurrir
si se ha tenido que armar una fila de chicos y se quiere conservar el orden de
sus posiciones, por ejemplo, en una muestra de Educación Física.
También es posible usar el conteo para anticipar el resultado de una acción
no realizada sobre la que se cuenta con información que permite resolverla. Es
el caso de anticipar el total cuando a una cantidad se le agrega otra, sobre lo
que daremos ejemplos en el apartado “Para operar al resolver problemas con
distintos procedimientos”, o el de anticipar la posición de un elemento en una

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>
46 Matemática 1

serie cuando se sabe de dónde se partió y cuánto hay que avanzar o retroceder.
Un ejemplo de situación para este último caso es la que sigue.

“Decir antes de mover”: anticipar la posición de una ficha en una serie
ordenada.
Materiales: una pista numerada como las del Juego de la Oca, una ficha
de color para cada jugador, un dado.
Organización de la clase: grupos de hasta cuatro chicos.
Desarrollo: en su turno, cada jugador tira el dado y debe anticipar en qué
casillero va a caer su ficha. Luego de decirlo, si sus compañeros acuerdan,
desplaza la ficha. Si no acuerdan, no la desplaza. Gana el que llega primero
a la meta.

Plantear situaciones para analizar la escritura de los números
Hay situaciones en las que la designación oral, la lectura y la representación
escrita de las cantidades aparece como una necesidad para resolverlas. Es el
caso de algunas situaciones cotidianas del aula, como la toma de asistencia o
la de inventariar los materiales de los que se dispone en el aula, para averi-
guar cuántos tenemos de cada uno para organizar el trabajo y tomar deci-
siones sobre cómo hacerlo si no alcanzan para todos. Esto puede hacerse en
relación con los útiles escolares, los libros de la biblioteca, los materiales para
plástica, etcétera.

También las situaciones en las que se anota el puntaje de diferentes juegos
dan oportunidad a los niños para producir registros de cantidades2 o interpretar
los realizados por otros. Puede, por ejemplo, proponerse un juego con dados
como el siguiente.

2
Recomendación de lectura. Otra situación donde los juegos se usan como un recurso para
anticipar cuándo a una cantidad se le agrega otra es el “Juego de la caja”, que se describe en Parra
(1992), Los niños, los maestros y los números documento de la Secretaría de Educación de la
Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires.

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Eje

Número 47
y operaciones

“Quién tiene más”: anotar y contar.
Materiales: un dado para el grupo, un lápiz y un hoja por chico.
Organización de la clase: grupos de cuatro chicos.
Desarrollo: cada uno de los cuatro jugadores debe tirar, en su turno, un
dado, y al cabo de tres vueltas, determinar cuál sumó la mayor cantidad de
puntos. El registro de los puntos que se van sacando se hace necesario con
el fin de saber lo que cada uno obtuvo cada vez.

En este contexto, los alumnos producen escrituras, tanto gráficas como
numéricas.

Algunas posibles notaciones.

Para avanzar en el reconocimiento de la serie escrita después de los primeros
números, es conveniente que los alumnos establezcan relaciones entre aquella y
la serie oral ya conocida. Un recurso que permite proponer problemas con este
propósito es la banda numérica. Se trata de una tira de cuadraditos con los núme-
ros de la serie escritos en orden desde el número 1, que se puede extender al
comenzar el año por lo menos hasta 30, y a la que se irán agregando intervalos
de la serie según el estado de conocimiento de los alumnos. Es importante que
la extensión inicial de la banda exceda la numeración que los niños ya dominan.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Cuando proponemos una actividad en la que los niños deben escribir núme-
ros o interpretarlos, si ya disponen de la herramienta del conteo, podrán consul-
tar la banda como si fuera un diccionario. Es decir que podrán recurrir a la ella
para relacionar la palabra-número con su signo correspondiente. Así, cuando un
alumno quiere saber cómo se escribe el 12, se acercará a la banda (que puede
estar en la pared del aula) y podrá efectuar un conteo –empezando desde el 1
o desde un número conocido– y establecer una correspondencia entre cada
palabra-número de la serie oral con un casillero hasta arribar al número busca-
do. También puede suceder a la inversa: si un chico quiere saber cómo se nom-

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48 Matemática 1

bra un número que se le presenta en forma escrita, habiéndolo reconocido en la
banda, podrá empezar a contar estableciendo la misma correspondencia hasta
llegar al casillero y así enunciar el nombre correspondiente de ese número.
Además, es conveniente que en un lugar accesible del aula haya algunas ban-
das “portátiles” disponibles para los alumnos que así lo requieran. Es recomen-
dable iniciar la banda con el uno (y no con cero) ya que si un niño, después de
contar una colección de elementos, quisiera saber cómo se escribe el 4 podría
señalar el 3 si la banda comenzara desde el 0.

A partir de considerar porciones de la serie, podremos proponer a los alum-
nos diversas actividades ligadas con el conocimiento de los números como parte
de la serie: el reconocimiento del anterior o del siguiente de un número dado y
el número entre otros dos. Por ejemplo:

Completá los números faltantes:
1 2 4 7

20 21 24 28

Descubrí el o los números incorrectos sabiendo que el remarcado es el que
está bien ubicado:
4 5 8 12

Identificá el o los números invertidos o mal ubicados sabiendo que el
remarcado está bien ubicado:
10 11 21 13 14 15 61 17 18

Para realizar estas actividades, es conveniente quitar o tapar la banda colga-
da en la pared del aula, para que cada alumno resuelva con sus propios conoci-
mientos. Luego de realizadas las consignas, los alumnos podrán confrontar
como completó cada uno y, en los casos en los que no haya acuerdo, podrán
recurrir a la banda con el fin de validar sus respuestas.
En cuanto a la lectura de números, también es importante garantizar la pre-
sencia en el aula de diferentes portadores de información numérica de uso
social, como calendarios, cintas métricas, termómetros, listas de precios, pues,
además de funcionar como referencia del uso social de los números, permiten
presentar diferentes problemas donde hay que leer números.

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Eje

Números 49
y operaciones

Plantear situaciones para comparar y ordenar cantidades y números
Entre las situaciones centradas en trabajar el orden de la serie numérica, se
encuentran aquellas donde hay que comparar cantidades o números.

Por ejemplo, el juego de cartas conocido por algunos chicos y grandes con el
nombre de “La Guerra” –al que nosotros denominamos “El mayor”– permite
comparar cantidades si se juega con cartas que tienen dibujos y números. Las
cartas con la doble representación (dibujos y números) permiten que compartan
el juego alumnos que poseen distintos conocimientos numéricos y que, por lo
tanto, utilizan estrategias iniciales diferentes. Para unos niños bastará con mirar
el número para saber cuál es la carta mayor; otros necesitarán contar todos los
elementos dibujados, y algunos recurrirán a la banda para comparar los núme-
ros, etc. Por otra parte, tampoco será lo mismo que intervengan dos, tres o cua-
tro jugadores. En el primer caso, sólo comparan dos números, con lo que la tarea
es menos compleja.

“El mayor”: comparar cantidades o números.
Materiales: un mazo de cartas españolas sin las figuras o un mazo
formado por dos cartas de cada uno de los dígitos del 1 al 9 por pareja.
Organización de la clase: en parejas.
Desarrollo: se reparten las cartas equitativamente entre los dos jugadores.
Cada uno coloca su mazo con los números y/o dibujos tapados y, al mismo
tiempo, ambos darán vuelta la carta de arriba. El que tiene la más alta se
lleva las dos (la propia y la de su compañero). Si hay empate, cada
participante debe colocar una segunda para definir quién ganó esa partida.
En este caso, el ganador se llevará cuatro cartas (dos propias y otras dos
del contrincante). El juego termina cuando se acaba el mazo inicial de cada
jugador y gana el que obtuvo mayor cantidad de cartas.

A medida que los niños avancen en el conocimiento de la serie numérica,
el mazo podrá contener los números hasta 100. Al analizar el juego, y también
utilizando la banda, se puede reflexionar con los chicos acerca de que a cada
número le corresponde un lugar en la serie ordenada, que cuanto más aleja-
do esté del inicio es mayor, que la serie se puede prolongar tanto como se
desee, etcétera.

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50 Matemática 1

Luego de cualquier propuesta de juego, es importante incluir situaciones pro-
blemáticas que evoquen la actividad lúdica recientemente efectuada.3
Algunas sugerencias de actividades para proponer después de este juego serían:

• Marcá la carta ganadora:

5 8
• Diego da vuelta una carta y saca 8. ¿Qué número tendrá que sacar
Nicolás para ganar?

A partir de la resolución de la segunda situación podemos generar una dis-
cusión acerca de si hay una única respuesta, tratando de que los niños funda-
menten sus conclusiones.

Una variante del juego anterior que permite trabajar con el orden y la compa-
ración de números más grandes que los dígitos, consiste en jugar a “El Mayor”
con cartas sin dibujos, con dígitos del 0 al 9 y cambiando las reglas. En este
caso, en cada jugada los alumnos darán vuelta dos cartas a la vez y tratarán de
armar el número más alto. Aquel que lo logre se lleva las cuatro cartas. Este
juego acepta otras variantes, por ejemplo, se puede modificar el objetivo a: el
menor gana o el número más cercano a 50 gana. En cada uno de estos casos
se podrá arribar a distintas conclusiones como: el que tiene la carta más alta
gana, el que tiene la más baja gana, conviene sacar un 4 o un 5. Otra posible
modificación para implementar con alumnos más avanzados es proponer que
saquen tres cartas cada uno y que elijan dos para formar el número más alto.
En este juego, entonces, la elección del tipo de cartas y de la cantidad de
jugadores serán variables a tener en cuenta para adaptar el juego a los conoci-
mientos de los alumnos.

3
En el apartado “Los contextos”, de “Enseñãr Matemática en el Primer Ciclo”, se plantea la
necesidad de articular el juego con otras actividades para que éste pueda constituirse en un
recurso de enseñanza.

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Eje

Número 51
y operaciones

Secuencia para contar y anotar cuántos hay: “Los coleccionistas”
La secuencia de “Los coleccionistas”4 incluye varias actividades para que los
alumnos puedan producir e interpretar escrituras numéricas, y para que se
inicien en situaciones de suma. Con la consigna adecuada, también permite
hacer evolucionar las estrategias de los alumnos del conteo al sobreconteo
(contar el total de dos cantidades sin volver a contar la primera desde 1) y
desde allí a distintas estrategias de cálculo.

Los materiales que se coleccionen podrían ser luego usados como insumo
para trabajar en otros campos de conocimiento. Por ejemplo, al desarrollar el
Eje “Los materiales y sus cambios” en el Cuaderno de Ciencias Naturales.

Actividad 1
Empezaremos por proponer a los alumnos que se conviertan en verdaderos
“coleccionistas”. Cabe aclarar que, en estas colecciones, todos los elementos
deberán pertenecer a la misma clase y ser diferentes entre sí. Por ejemplo,
tapas de distintos envases (bebidas, artículos de limpieza, de tocador,
lácteos...), piedras, caracoles, figuritas, bolitas, etc. Los objetos a coleccionar
deberán ser fáciles de conseguir y es recomendable evitar los frágiles, por
ejemplo, hojas secas de árboles, ya que no soportarían al reiterado conteo que
requiere la actividad.
Una vez que se conversa el tema, se pueden formar parejas y cada una
decidirá el tipo de elemento que va a coleccionar y, a partir de ese día, todos
juntarán la mayor cantidad posible de elementos para aumentar tanto su
colección como la de sus compañeros.
También se estipulará qué día de cada semana se realizarán el conteo y el
registro de cada colección.
Si es posible, puede resultar interesante invitar a un coleccionista para que les
explique a los niños las características de su hobby, cómo consigue los
elementos, cómo los guarda, cómo registra el aumento de su colección.

4
Adaptación de la “Propuesta III. Coleccionar”, en Broitman, C., Kuperman, C. y Ponce, H., 2003.

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>
52 Matemática 1

Actividad 2
Para el primer día en que se controla cuántos elementos juntó cada uno, cada
pareja realizará el conteo. Una pregunta que promueve la necesidad de
registrar la cantidad de elementos contados hasta ese momento es ¿cómo
hacer para no tener que volver a contarlos la semana siguiente? 5
Luego, cada chico de cada pareja recibe una hoja como la siguiente para llevar
su propio registro.

Actividad 3
Para el próximo día de control, los chicos deberán completar nuevamente sus
fichas individuales. Las consignas serán ¿cuántos elementos nuevos trajeron?
y ¿cuántos elementos tiene cada uno en la colección? En la ficha también
deben completar cómo hicieron para contarlos.

5
La importancia de que el conocimiento que se quiere enseñar sea un recurso necesario para
resolver los problemas que se presentan se explicita en el apartado “La gestión de la clase”, de
“Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”, en el comienzo de este Cuaderno.

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Eje

Número 53
y operaciones

Como se propone averiguar el total de lo juntado en las dos semanas, ya en
esta es esperable que aparezcan estrategias de sobreconteo, es decir, que los
chicos puedan contar a partir de una cantidad sin necesidad de volver a
empezar desde 1. Por ejemplo, si la primera semana tenía 20 y la segunda
semana agrega 8, para saber el total hace 20, 21, 22, 23 .... 28. Tendremos
que centrar la reflexión alrededor de las ventajas de este procedimiento y
tener en cuenta que, para desplegarlo, los alumnos deben poder continuar la
serie numérica desde un número cualquiera.
Cuando el docente lo considere oportuno, también puede proponer armar un
registro de todo el grupo, por ejemplo, en un afiche que se cuelgue en el aula y
que se vaya completando.

1a semana 2a semana 3a semana 4a semana

Martín y María (tapas)
Pablo y Juan (envoltorios de golosinas)
Diego y Pedro (tornillos)
Nati y Ana (botones)

Es necesario que, durante los momentos de trabajo de los chicos, circulemos por
el aula, atentos a sus diálogos y producciones numéricas, ya que ambos podrán
convertirse en el eje de la puesta en común de la actividad.
En el caso de esta propuesta podremos escuchar diálogos como el siguiente.6

Maestra: –Y vos, Gastón, ¿cuántas Martín: –¡Así nooo!
piedritas tenés en total? Maestra (dirigiéndose a toda la
Gastón: –Cincuenta y seis. clase): –A ver, veamos. Gastón
Maestra: –¿Querés pasar a escribió de esta manera el cincuenta
escribirlo en la tabla grande? (Alude y seis (señalando escritura 506) y
al cuadro de doble entrada escrito en Martín dice que no se escribe así.
un papel afiche colgado en el frente ¿Qué piensan los demás?
del aula y a la vista de todos. Gastón Camila: –Para mí, está bien porque
ubica el casillero que le corresponde mirá (acercándose a la tabla en el
en la tabla y anota 506.) papel afiche y señalando la escritura

6
En el apartado “La gestión de la clase” de “Enseñãr Matemática en el Primer Ciclo”, se precisa el
sentido del intercambio grupal en las puestas en común.

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54 Matemática 1

de Gastón), si vos decís “cincuenta” Camila (Pensativa.): –Yo creo que los
(marca con el dedo el 50 del 506) y dos tienen algo de razón… lo que
“seis” (ahora señala el 6), está todo. dice Martín es cierto, si él tiene más
Si decís el número en voz alta tapitas, no puede usar menos
“cincuenta y seis” (lo repite números que Gastón que tiene
lentamente) y comparás con lo que menos piedritas, pero no sé cómo
escribió Gastón, está bien, es escribirlo de otra manera…
igualito… Maestra: –¿Quién la puede ayudar?
Martín: –Pero yo tengo sesenta ¿En algún lugar del aula podemos
y tres tapitas que es más que encontrar escrito el número 56?
cincuenta y seis y lo escribí así Varios juntos: –En el cuadro de
(señala el 63 en la tabla). números, en el centímetro… (Se
Maestra: –Y entonces… ¿cuál es escucha que alguien menciona el
el problema, Martín? almanaque, pero inmediatamente
Martín: –Y que Gastón no puede usar otros alumnos le dicen que no llega
tres números para escribir la cantidad a ese número, que los meses tienen
de piedritas que tiene, mientras que como mucho 31 días.)
yo, que tengo más tapitas que él, usé Juan: –No hace falta ir a buscarlo; el
dos números nada más. cincuenta y seis se escribe así (Pasa
Maestra (A toda la clase.): y escribe en el pizarrón 56.)
–¿Escucharon lo que dice Martín? Maestra: –¿Cómo harías para
¿Qué piensan los demás? convencer a Gastón de que se
(Muchos hablan simultáneamente.) escribe de esa manera?
Maestra: –A ver, tratemos de hablar Juan (Dirigiéndose a Gastón.): –El
de a uno porque así no nos cincuenta está, pero el cero del
entendemos. Dale, Camila, contanos cincuenta no se ve porque quedó
qué pensás. tapado por el 6.

Los alumnos saben que frente a la comparación de números de diferente
cantidad de cifras “a mayor cantidad de cifras más grande es el número” y que
frente a la comparación de números de igual cantidad de cifras “el primero es el
que manda”. También saben que el 63 es mayor que el 56 porque lo digo des-
pués, porque está más lejos del 1.
Al mismo tiempo, para producir escrituras, se apoyan en las informaciones que
extraen de la numeración hablada y en su conocimiento de la escritura conven-
cional de los nudos o números redondos. Por eso, la escritura de Gastón denota
el carácter aditivo del número se dice 50 y 6 registrando 506. Frente a estas
situaciones es frecuente escuchar a los alumnos decir: te lo dice el número, 45
es cuarenta y cinco.

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Eje

Número 55
y operaciones

A partir de confrontar las diferentes escrituras numéricas de los alumnos y
atendiendo las argumentaciones que las fundamentan, es que estas hipótesis
entran en contradicción y les permiten avanzar hacia la notación convencional.7
Es importante que el docente no cierre las preguntas de los alumnos dando
su propia respuesta. Cuando la maestra pregunta: ¿qué piensan los demás? o
¿Cómo harías para convencer a Gastón de que se escribe de esa manera?,
devuelve la pregunta al grupo y promueve el intercambio.

Actividad 4
Al cabo de, por ejemplo, cuatro semanas, se puede proponer un control
de lo realizado hasta el momento, haciendo un “recuento de las colecciones”.
Teniendo en cuenta que cada colección es más grande, es posible que
aparezcan diferentes estrategias de conteo: agrupar según la conveniencia
de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10, hacer anotaciones parciales y organizar la
forma de contar más operativa. Esto dependerá de los conocimientos que
tenga cada pareja de alumnos.

Es importante tener en cuenta que durante el transcurso de la secuencia se
sostenga el interés de los alumnos por armar las colecciones, pues esto es lo
que le da sentido a la actividad. Si ello no ocurre, habrá que finalizarla y retomar
los contenidos no desarrollados en otras actividades.

Para conocer el sistema de numeración
Al analizar cómo se escriben los números en el sistema de numeración decimal
posicional, es posible tener en cuenta cómo se representa una cierta cantidad
cuando se agrupan sus elementos de a 10, luego esos grupos de a 10, y así
sucesivamente, y se escribe en orden de derecha a izquierda la cantidad de ele-
mentos sueltos (unidades), grupos de 10 elementos (decenas), grupos de gru-
pos de 10 (centenas), etcétera.
Otra manera de analizar la forma de escribir cantidades es considerar la serie
numérica o algún tramo de ella. En este caso, es posible advertir ciertas regula-
ridades, que se deben a la organización decimal del sistema de numeración en

7
Recomendación de lectura. Para profundizar en el conocimiento de las hipótesis de los
alumnos acerca de la escritura de los números se recomienda la lectura de el artículo de
Sadovsky y Lerner, “El sistema de numeración. Un problema didáctico”, en Parra y Saiz, 1994.

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56 Matemática 1

uso. Cuando la cantidad representada va aumentando de a 1, la cifra de las uni-
dades va cambiando desde 0 hasta 9 mientras se mantienen iguales las demás.
La cifra de las decenas se mantiene igual en 10 números seguidos antes de
cambiar al siguiente recorriendo también de 0 a 9, es decir, 10 números con 1,
10 con 2, etcétera.
Un análisis similar se puede hacer para las demás cifras y también para ana-
lizar qué cambia cuando se aumenta de a 10, de a 100, etcétera.
De la forma de leer los números, es posible derivar una forma de escribirlos
en forma aditiva que se relaciona también con el conocimiento del sistema de
numeración. Por ejemplo, si leemos “veinticuatro” para 24, es posible pensar en
escribirlo como 20 + 4.
La explicitación y el análisis sobre las regularidades de nuestro sistema de
numeración, así como la composición y descomposición aditiva de cantidades,
irán dando lugar a que los alumnos construyan la idea de valor posicional de un
modo incipiente, y llevará varios años de la escolaridad lograr una comprensión
más acabada de esta noción.
En este 1er año/grado, se sugiere no introducir las nociones de unidad, dece-
na y centena ya que considerar, por ejemplo, que en el número 35 hay 3 dece-
nas y 5 unidades supone la descomposición 3 x 10 + 5 que implica la multipli-
cación (aún cuando esta escritura no se presente), tema que se comenzará a
trabajar en 2o año/grado.

Plantear situaciones para analizar regularidades
El trabajo de reconocimiento de las regularidades de la serie numérica puede
realizarse por medio de un cuadro de números hasta el 100 organizados como
indica la figura 1. Algunas regularidades de la serie escrita que podemos traba-
jar en 1er año/grado son: que en la última cifra de esos números se da una
secuencia siempre repetida de 0 a 9; que la anteúltima cifra se mantiene igual
para diez números y también cambia de 0 a 9; y que si agrego 10 a un número
y en el cuadro “voy al casillero de abajo” aumenta en uno la anteúltima cifra.
Para trabajar esto con los alumnos, es conveniente apoyarse en el conoci-
miento de la serie oral con el que cuentan los niños (la forma de decir los
números es en ocasiones aditiva: para decir 43, se dice cuarenta y tres y no
una expresión que nombre cada cifra en la posición que ocupa cuatro tres) y
apuntar al descubrimiento de las regularidades de la serie oral (veinti, treinti, ...)
y de sus relaciones con la serie escrita (20, 21, 22, 23, ... comienzan con 2, y
30, 31, 32, 33 comienzan con 3).

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Eje

Número 57
y operaciones

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

100

Figura 1

A partir del cuadro numérico, podremos plantear distintas preguntas que
orienten la exploración y la reflexión de dichas regularidades, como por ejemplo:
¿qué características comunes tienen los números de una misma fila? o ¿y de
una misma columna?, ¿en qué se diferencian los números de la primera con
los de la tercera fila?, etcétera.
Conviene que tengamos en cuenta que disponer de un recurso como el cua-
dro con varios tramos de la serie escrita facilitará el establecimiento de esas
regularidades y que en parte de la segunda fila la relación entre la serie oral y
la escrita es diferente. Cuando los chicos cuentan en voz alta: ... nueve, diez,
dieciuno, diecidos... están intentando “regularizar“ los nombres de ese tramo
de la serie.
Las regularidades pueden constituirse en un conocimiento en el que los
alumnos se apoyen para resolver situaciones de comparación de números (32
es mayor que 23 porque en la serie primero están los “veinti” y después los
“treinti”), y también para escribir los números como adiciones (17 + 16 = 17 +
10 + 6) y sustracciones (25 – 12 = 25 – 10 – 2). Esto aumenta las posibilida-
des futuras de los alumnos en relación con su dominio del cálculo.

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58 Matemática 1

Secuencia para identificar regularidades: “El castillo”
La secuencia del juego “El castillo”8 es una propuesta para trabajar sobre las
regularidades, ya que permite que los chicos enuncien frases como: en esta
columna todos los números terminan en…; en esta fila todos comienzan
con...; todas las filas terminan en 9; después de los casilleros terminados en
9 viene uno que termina en 0; si bajo un casillero es lo mismo que sumar
10; si subo un casillero es lo mismo que quitar 10, etcétera.
El nombre de la secuencia se debe a que se puede presentar el cuadro de
números hasta 100, como el registro de las 100 habitaciones que tiene un castillo.

Actividad 1
Se presenta el cuadro con algunos números tapados para que los niños
averigüen cuáles son (figura 2). Deben decir cuál es el número o escribirlo
y explicar cómo se dieron cuenta.

0 1 2 3 4 5 6 7 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 15 16 17 18 19 10
20 21 22 24 26 27 28 29 20
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 30
40 41 42 43 44 45 47 48 49 40
50 52 53 54 55 56 57 58 50
60 61 62 63 65 66 67 68 69 60
70 71 72 73 74 75 76 77 79 70
80 81 83 84 85 86 87 88 89 80
90 91 92 93 94 95 96 98 99 90
100 100

Figura 2 Figura 3

Por ejemplo, algunas verbalizaciones de los alumnos pueden ser: es el 24
porque viene después del 23 y/o antes del 25; porque conté desde el
principio; porque está en la fila del veinte y conté cuatro lugares; porque
está en la fila de los veinti y en la columna de los que terminan en 4.

8
Adaptación de Parra, C., Los niños, los maestros y los números, op. cit.

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Eje

Número 59
y operaciones

Confrontando las argumentaciones que dan los distintos chicos se podrán
generar acuerdos acerca de la conveniencia de utilizar una u otra estrategia
según el número en cuestión. Por ejemplo, comenzar a contar desde 0 puede
resultar eficaz para averiguar los números pequeños que estén tapados, pero
no así cuando se trata de números más grandes, como el 97.

Actividad 2
Se presentan tablas incompletas como la de la figura 3 y se les pide a los
alumnos que completen los casilleros marcados. Se pretende que ellos utilicen
como procedimiento el establecimiento de relaciones entre los números que
encabezan las filas y las columnas. Por ejemplo, un alumno lo puede pensar así:
si el casillero está en la columna de los terminados en 2 y en la fila de los
cincuenti... es el 52. Otro lo puede pensar contando desde 50: 50, 51, 52.

Actividad 3
Avanzados en el trabajo, se pueden presentar extractos de cuadros para com-
pletar como: completá los casilleros marcados teniendo en cuenta un solo
dato: el número indicado (fig. 4) y encontrá el/los números mal ubicados
sabiendo que el remarcado es correcto (fig. 5). Aquí, es necesario hacer hin-
capié en que se presenta sólo una parte de un cuadro y no un cuadro de 5 por
5, pues de lo contrario pueden suponer que el 25 está ubicado correctamente.

18 10 12 13

20 24

25

45

Figura 4 Figura 5

Los cuadros de números hasta 100 también pueden ser un recurso para el
trabajo con las escalas ya que se puede pedir que: coloreen los casilleros en
los que se va a caer si se cuenta de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10, comen-
zando a partir de distintos números.

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60 Matemática 1

Las actividades que integran la secuencia apuntan a que los alumnos reco-
nozcan los números por su escritura, localicen los números en una tabla organi-
zada en filas de 10, usen los nombres de las decenas para leer números y tomen
conciencia del valor de cada cifra en la escritura de un número.
Cabe destacar que es importante memorizar un intervalo para reflexionar
sobre las regularidades, pero, al mismo tiempo, que conocer las regularidades
contribuye a la memorización.

Plantear situaciones para escribir los números de distintas formas
El trabajo realizado en torno de la escritura de un mismo número con diferen-
tes sumas y restas apunta a que los alumnos conciban los números relaciona-
dos entre sí a modo de una red. Así, el 12, por ejemplo, podrán ir asociándolo,
entre otras sumas y restas, con 10 + 2; 11 + 1; 6 + 6, 5 + 5 + 2, y también
con 13 – 1; 20 – 8. Esta red podrá ampliarse en otros años con expresiones
multiplicativas que darán lugar al establecimiento de nuevas relaciones entre
números, como las de múltiplo y divisor.

En 1er año/grado, un recurso que apunta a que los alumnos produzcan escri-
turas aditivas de números y, entre ellas, la que expresa el valor posicional de sus
cifras, es el trabajo con billetes y monedas. Este contexto tiene la ventaja de
resultar familiar para muchos niños y permite comprobar los resultados obteni-
dos por medio del cálculo.
Para poder iniciar el trabajo con dinero, es condición que los alumnos diferen-
cien la cantidad de billetes o monedas del valor que ellos representan, es decir,
saber que tener diez billetes de diez no implica tener más dinero que tener uno
de cien. Al proponer situaciones en las que los alumnos tengan que buscar dis-
tintas maneras de formar una misma cantidad de dinero, daremos lugar a una
variedad de descomposiciones aditivas de un número dado.
Por ejemplo, ante una lista de precios de una juguetería como la siguiente, se
pueden proponer diferentes preguntas.

El cartel de esta actividad u otros materiales que utilicemos para los problemas
pueden tener o no dibujos de juguetes (u otros elementos); en caso de no
tenerlos, podremos leer con los chicos el nombre de cada uno. De este modo,
es posible articular el trabajo de contenido matemático con el Eje de “Lectura”
de Cuaderno para el aula: Lengua 1.

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Eje

Número 61
y operaciones

Respondé las preguntas a partir de la lista de precios.

Muñeco superhéroe: . . . . $ 25 Auto: . . . . . . . . . . . . . . $ 18

Pelota: . . . . . . . . . . . . . . . . $ 12 Juego de mesa: . . . . . $ 37

1. Los chicos van a la juguetería a elegir un premio para la rifa que organizaron.
Elegí uno y buscá diferentes formas de pagarlo con billetes y monedas.
2. ¿Qué cuesta más: el auto o el muñeco?
3. Después de pagar el auto con

y el muñeco con

Tomás dice que el auto cuesta más que el muñeco porque para comprarlo
necesita más billetes. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?
4. Completá lo que le falta a cada chica que vende rifas para llegar a $ 20.

Ana __________________

Lucía __________________

Julia __________________

Para responder a la pregunta 1, si eligen el juego de mesa que cuesta $ 37,
podrían escribir:

$ 37 = 30 + 7
$ 37 = 20 + 10 + 5 + 2
$ 37 = 10 + 10 + 5 + 5 + 5 + 1 + 1
$ 37 = 10 + 10 + 10 + 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
$ 37 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5+ 5 + 1 + 1
$ 37 = 20 + 10 + 5 + 1 + 1

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62 Matemática 1

Las preguntas 2 y 4 también requieren de la composición aditiva de cantida-
des, y la pregunta 3 apunta a la discusión de un argumento que, como hemos
planteado, en este año puede dar origen a diferentes respuestas. Cuando se
usan billetes de $ 10 y monedas de $ 1, las descomposiciones se pueden rela-
cionar con la estructura del sistema de numeración.

Para operar al resolver problemas con distintos procedimientos
Respecto de las operaciones de suma y resta con números naturales, es impor-
tante destacar que comprender una operación implica no solamente saber hacer
una “cuenta”, sino también poder usar las cuentas para resolver situaciones dife-
rentes. Ambos aspectos están ligados, pues la posibilidad de evaluar la razona-
bilidad del resultado obtenido al calcular está dada por la situación que esta
resuelve, y en este sentido habrá que prestar particular atención a los enuncia-
dos de los problemas que se presentan.9

Considerando el conjunto variado de problemas aritméticos que una opera-
ción permite resolver, es importante señalar que una misma expresión numéri-
ca resuelve problemas aritméticos que resultan de diferente complejidad para
los niños. Por ejemplo, no es lo mismo sumar 3 + 4 para resolver jugando a las
figuritas primero perdí 3 y después perdí 4 que hacerlo para resolver tenía
3 figuritas y me regalaron 4. Decimos entonces que la suma tiene significados
diferentes: en un caso se suma para componer dos transformaciones negati-
vas (perdí y perdí), y en el otro se trata de agregar una cantidad a otra que ya
tengo. La primera situación es más compleja pues, frente a la idea de perder
asociada a la resta, hay que comprender que el total de una pérdida se puede
averiguar sumando.
También es importante tener en cuenta que un mismo problema puede ser
resuelto con diferentes operaciones, y aun con procedimientos en los que no se
escriben números.
En 1er año/grado, se abordan fundamentalmente las situaciones que apuntan
a construir los primeros significados de la suma y la resta. Los alumnos pueden
reconocer el uso de la suma en situaciones donde hay que agregar elementos a

9
En el apartado “Los contextos” de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” hemos planteado
la importancia de que los enunciados incluyan preguntas que aludan a situaciones reales
o verosímiles.

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Eje

Número 63
y operaciones

una colección que ya se tiene, juntar elementos de dos colecciones (reunir-unir)
y avanzar posiciones en una serie; y el uso de la resta con significado de quitar
elementos a una colección y retroceder posiciones en una serie.10
Conviene revisar los significados de los problemas que habitualmente hemos
planteado para completarlos con otros donde las operaciones tengan un signi-
ficado diferente, y discutir con los chicos distintos procedimientos de resolución.

Plantear situaciones para sumar y restar con distintos significados
Para abordar distintos significados de la suma y la resta, podremos proponer en
distintos momentos del año problemas como los siguientes. Si bien estos se
resuelven con los mismos cálculos: 5 + 4 = y 15 – 6 = respectivamente, en cada
situación la operación asume un significado distinto, como se indica en cada uno.

• Agregar. Tenía guardados 5 caramelos y cuando la abuela vino de visita me
regaló otros 4. ¿Cuántos tengo ahora?
• Juntar o reunir. María invitó a sus amigos y compró 5 caramelos y 4 chupe-
tines. ¿Cuántas golosinas compró?
• Avanzar. En el juego de La Oca, Juan tiene su ficha en el casillero 5. Si saca
4 en el dado, ¿a qué casillero deberá mover su ficha?
• Quitar. Cuando me reuní a jugar con mis amigos, tenía 15 figuritas y perdí 6.
¿Cuántas me quedaron?
• Retroceder. En el juego de la Oca mi ficha estaba en el casillero 15. Debo
retroceder 6 casilleros. Indicá en que casillero colocaré mi ficha.

Luego de resolverlos, en otras clases, habrá que discutir sobre sus diferen-
cias y semejanzas a partir de plantear preguntas como: ¿a qué se refieren los
números que intervienen?, o: si se pueden juntar caramelos y chupetines,
¿también se pueden juntar caramelos y figuritas? ¿Por qué?
Al resolver problemas como los planteados, los alumnos utilizan diferentes
procedimientos de resolución. Analicemos algunos de los que pueden utilizar los
alumnos ante el problema “Tenía guardados 5 caramelos y cuando la abuela vino
de visita me regaló otros 4. ¿Cuántos tengo ahora?”.

10
En el apartado “Los significados”, de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”, nos referimos a
los diferentes significados que pueden asociarse a una misma noción.

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64 Matemática 1

Los alumnos pueden sustituir las colecciones por otros elementos (dedos y
chapitas) y cuentan el total.

Pueden representar gráficamente o con símbolos las colecciones y utilizar
también el conteo.

Otros pueden combinar una representación gráfica y una numérica y recurrir
al sobreconteo.

En cambio, en los siguientes casos los alumnos optan por la representación
numérica y emplean diferentes estrategias de cálculo.

En el segundo caso recuperan un resultado ya conocido, y en el tercero se
apoyan en un resultado memorizado, 4 + 4, para averiguar uno desconocido.

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Eje

Número 65
y operaciones

En el caso del problema “Cuando me reuní a jugar con mis amigos, tenía 15
figuritas y perdí 6. ¿Cuántas me quedaron?”, algunos de los procedimientos que
podrían utilizar los alumnos son:
Contar el total de elementos y separar físicamente el número menor.

Representar gráficamente las colecciones y tachar tantos elementos como
indica el número menor.

Representar el número a restar con los Apoyarse en resultados de sumas
dedos y realizar un “conteo hacia atrás”. conocidos hasta ir aproximándose al
número buscado.

,

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66 Matemática 1

Utilizar un resultado ya memorizado Recuperar un resultado ya conocido.
(15 – 5) para averiguar uno desconoci-
do, descomponiendo el número.

En este año es importante que los procedimientos que usan los alumnos para
averiguar el resultado de una suma o una resta evolucionen desde el conteo al
sobreconteo y luego a la posibilidad de efectuar cálculos.
Para que los niños avancen, es necesario que propongamos el análisis de los
diferentes procedimientos que surjan en la clase, teniendo en cuenta que cada
alumno resolverá según los conocimientos de que disponga en cada momento
y usando, o no, “materiales concretos”.11
Al dar lugar a la presentación y explicación de los procedimientos utilizados,
es recomendable animar a los chicos a argumentar y fundamentar lo realizado,
lo que les permitirá volver sobre lo que han pensado, y analizar sus aciertos y sus
errores. Esto posibilitará que esos aprendizajes sean reinvertidos en nuevas
situaciones que así lo requieran.
Es necesario que tengamos en cuenta que no se trata de imponer un rápido
pasaje al cálculo sino de permitir que los niños evolucionen progresivamente
desde procedimientos más primitivos hacia otros de mayor elaboración.12

Para calcular de diferentes formas
Sabemos que en la escuela es necesario trabajar con el cálculo de modo que
los alumnos puedan ir disponiendo, a lo largo de la escolaridad, de algunos ins-
trumentos básicos: un repertorio memorizado de cálculos, unas formas de hacer
los cálculos por escrito, y un uso inteligente de la calculadora. Para que esto
alcance a todos los alumnos es que hoy se piensa en la enseñanza del cálculo
con diferentes actividades.

11
Recomendación de lectura. En Pensando en la enseñanza. Preguntas y respuestas, de la
Secretaría de Educación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires, se puede
encontrar un interesante análisis sobre el uso de material concreto en la enseñanza de la
operaciones en 1er año/grado (en Internet).
12
En el apartado “La gestión de la clase”, de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”, se señala
la necesidad de promover la diversidad de producciones y de analizarlas con todo el grupo.

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Eje

Número 67
y operaciones

Una idea importante es que los cálculos pueden hacerse con diferentes pro-
cedimientos y que el más rápido y económico depende de los números que
intervienen en cada caso. Por ejemplo, para resolver 30 + 30 basta hacerlo
mentalmente y no es necesario “hacer la cuenta parada”.
En cuanto a los algoritmos conocidos debe decirse que tienen un nuevo lugar
en la enseñanza: son formas de cálculo con las que culmina un trabajo previo de
producción y análisis de distintos procedimientos originales elaborados por los
mismos alumnos. Al pensar la enseñanza de este modo, el repertorio de cálcu-
los memorizados que cada alumno tiene sigue ocupando un lugar importante ya
que es un insumo para las tareas de producción y análisis de procedimientos.
El cálculo, entonces, además de ser estudiado como una herramienta útil para
resolver situaciones problemáticas de distinto tipo, también debe ser abordado
como un “objeto de estudio” en sí mismo. Ambos trabajos son fundamentales en
1er año/grado y es importante que destinemos un tiempo considerable para su
tratamiento.13
Por medio de diversas actividades, promoveremos que los alumnos avancen
en sus estrategias de cálculo, que construyan un repertorio memorizado de
resultados de sumas y restas, que utilicen esos cálculos para resolver otros, y
que establezcan relaciones entre los números que intervienen. Las formas de
cálculo se irán complejizando en la medida en que se modifiquen los números
involucrados.
Cuando se quiere avanzar en el trabajo con cálculo de números más grandes, sin
plantear el trabajo previo que se propone, se conduce a los chicos hacia el dominio
de una técnica, lo que hace aún más complejo el aprendizaje.14

Plantear juegos para memorizar cálculos
En 1er año/grado, habrá que asegurarse de que los niños trabajen de manera sos-
tenida sobre algunos resultados particularmente útiles para resolver cálculos más
complejos. En este sentido se priorizan:
– las sumas de sumandos iguales de una cifra (1 + 1, hasta 9 + 9)
– las sumas de decenas enteras (10 + 10, hasta 90 + 90),
– las sumas que dan 10 (1 + 9; etc.)
– las sumas de decenas enteras que dan 100 (20 + 80).

13
Como se plantea en el apartado “Elegir los problemas” de “Enseñar Matemática en el Primer
Ciclo”, el análisis de cálculos es un tipo de problema de contexto matemático.
14
Recomendación de lectura. Para ampliar la propuesta sobre cálculo mental se puede leer el
artículo de Cecilia Parra, “El cálculo mental”, en: Parra y Saiz, 1994.

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68 Matemática 1

Ya hemos planteado que cuando decimos que los niños aprenden jugando no
estamos pensando en la mera acción lúdica sino en el juego como una actividad
de aprendizaje que es parte de una secuencia. En este sentido, no es sólo un
entretenimiento sino un recurso útil para que el alumno aprenda determinados
contenidos. Jugar no es suficiente para aprender; es la intención didáctica del
docente la que convertirá el juego en un recurso de enseñanza. Es por eso que
cada uno de los juegos debería formar parte de una secuencia como la siguiente.

Secuencia para memorizar cálculos: “La cajita de los diez”
La cajita de los diez15 es una propuesta interesante para encontrar los distintos
procedimientos que llevan a determinar los complementos a 10 y,
posteriormente, memorizarlos.

Actividad 1
La clase se organiza en grupos de cuatro niños. A cada equipo se le entrega
una cajita de fósforos grande con una ranura en el cartón que divide la parte
de adentro y 10 bolitas en su interior.
Por turno, cada chico mueve la caja
cerrada para provocar el pasaje
de bolitas de un lado a otro de la caja
y, luego de apoyarla sobre la mesa,
la abre hasta la mitad. Cuenta las bolitas
que quedaron a la vista y anticipa
cuántas hay en la mitad tapada. El resto
del equipo expresa si está o no de
acuerdo y luego se abre la caja para
verificarlo. En caso de ser correcta la anticipación, el jugador gana un punto.
Luego, el alumno debe realizar el registro del cálculo y pasa el turno al
siguiente compañero. Después de cuatro vueltas, gana el alumno que anotó
más puntos.
A continuación, el docente solicita a los chicos que le dicten los distintos
cálculos que fueron registrando y se colocan en un afiche, a la vista de todos.

15
Adaptación de la secuencia elaborada por Irma Saiz y Celia Lodoli, 1993, mimeo.

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Eje

Número 69
y operaciones

Cuando se analizan las producciones de los alumnos, es importante reconocer
los conocimientos matemáticos que ellos usan en forma implícita para, sobre
esa base, intervenir adecuadamente.

Actividad 2
Se propone a los alumnos que escriban los cálculos del afiche en dos
columnas: una con los cálculos que les resultaron fáciles (suelen decir: 5 + 5;
9 + 1, etc.), y otra con los que les resultaron difíciles (partir del 3 para anticipar
el 7, del 2 para el 8).
Luego se les pide que piensen cómo hacer más fáciles los cálculos difíciles.
Los niños podrán decir: para encontrar el 7 a partir del 3, conviene contar
para atrás desde el 10; 9, 8, 7, o bien para encontrar el 4 a partir del 6,
digo 6 y cuento 7, 8, 9 y 10, dije 4 números.
Por otra parte, al observar el registro de los diferentes cálculos podrán darse
cuenta de que aparecen cálculos que tienen los mismos sumandos en distinto
orden. Ellos harán uso de la propiedad sin necesidad de nombrarla. Si,
en este caso, se pregunta: ¿qué tienen de diferente esos cálculos?
¿Conocen otros donde pase lo mismo?, los niños descubren una regla que
denominamos propiedad conmutativa de la suma. Una pregunta que puede
plantearse para que usen esta regla práctica que descubrieron es: ¿cómo
conviene ordenar los números de una suma cuando uno es más grande
que otro? Así, podrán arribar a la conclusión de que: conviene colocar el
número más grande primero.

Actividad 3
En otra clase, pueden jugar nuevamente con la cajita de los 10 para utilizar
alguno de los procedimientos analizados en la clase anterior, y avanzar así en la
memorización de los complementos a 10.

Actividad 4
Una actividad que da lugar a la reutilización de los cálculos es la resolución de
problemas en los que se simulan situaciones del juego, y otros en los que los
cálculos están descontextualizados, como en la última de estas actividades.
Por ejemplo:

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70 Matemática 1

1. ¿Cuántas bolitas hay en la mitad tapada de estas cajas?

2. Maite dice que en la mitad tapada hay 8 bolitas. ¿Cuántas habrá en la
parte que ella miró?
3. Rodrigo ve 4 bolitas y dice que en la mitad tapada hay 7, ¿será cierto?
4. Completá las sumas siguientes.

2 + ..... = 10 4 + ..... = 10 ..... + 7 = 10

Otros juegos para memorizar cálculos son los siguientes.16

“El mayor con dados”: sumar con sumandos hasta 6.
Materiales: dos dados comunes por pareja.
Organización de la clase: se puede empezar con grupos de dos chicos
para luego jugarlo en grupos de a cuatro.
Desarrollo: cada alumno tira dos dados y gana el que obtiene el puntaje
mayor a partir de la suma de los dos resultados. En este caso, se apunta a
la construcción de un repertorio aditivo con sumandos hasta 6 (Ejemplos:
4 + 2; 3 + 3; 6 + 1). Los alumnos realizarán un registro de todos los
cálculos que vayan saliendo para decidir el ganador después de cinco
jugadas. Los registros podrán ser utilizados luego del juego para reflexionar
acerca de cuáles son los cálculos que resultaron más fáciles o difíciles.

“Suma 100”: sumar decenas enteras que dan 100.
Materiales: un mazo de 18 cartas con las decenas enteras: dos con el 10,
dos con el 20 y así hasta 90.
Organización de la clase: en grupos de a dos alumnos.
Desarrollo: se colocan en el centro de la mesa cuatro cartas boca arriba y
el resto del mazo boca abajo. Cada jugador en su turno saca del mazo una

16
Recomendación de lectura. Para ampliar el repertorio de juegos, se recomienda la consulta
del material para alumnos y docentes de El juego como recurso para aprender, de Graciela
Chemello, Mónica Agrasar y Silvia Chara, 2001.

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Eje

Número 71
y operaciones

carta e intenta sumar 100 entre esa carta y una de las de la mesa. Si lo
logra, se lleva las dos cartas. En caso contrario, deja su carta boca arriba
sobre la mesa. En este juego también se puede efectuar el registro de los
cálculos y luego plantear preguntas para que los chicos establezcan
relaciones entre aquellos. Por ejemplo: 40 + 60 es lo mismo que 60 + 40.

“Inventar cálculos”: escribir cuentas que dan entre 1 y 20.
Materiales: 20 tarjetas con los números del 1 al 20, papel y lápiz.
Organización de la clase: en grupos de a cuatro chicos.
Desarrollo: en cada vuelta, un jugador saca una tarjeta del mazo colocado
boca abajo. Durante dos minutos, a su turno, cada uno escribe la mayor
cantidad de cálculos diferentes que den como resultado el número de la
tarjeta que le tocó. Se anotan 10 puntos por cada cálculo original y 5
puntos por los repetidos.

Estos juegos son fácilmente adaptables a distintos conocimientos de partida
de los alumnos pues solo habrá que cambiar los números que aparecen en las
tarjetas o dados que se usen. Por lo tanto, su implementación en el plurigrado
resulta pertinente.

Plantear situaciones para sumar y restar con otros números
A medida que los alumnos vayan memorizando cierto repertorio aditivo, es
importante avanzar en la propuesta de nuevos cálculos con dígitos y también
con números más grandes. Los alumnos trabajarán, en estos casos, apoyándo-
se en los cálculos conocidos para resolver los nuevos.
Por ejemplo, para resolver 6 + 5, los alumnos que conozcan las sumas de
dobles podrán pensarlo como el doble de 5 más uno 5 + 5 + 1, o bien pensar-
lo como el doble de 6 menos 1, apoyándose en: 6 + 6 – 1. También, en la medi-
da en que hayamos trabajado con las sumas que dan 10, estas serán conside-
radas por los niños como un apoyo “cómodo” para utilizarlo en otros cálculos. Por
ejemplo, para resolver 9 + 4, algunos alumnos podrán pensarlo descomponien-
do el 4 de la siguiente manera: 9 + 1 + 3 = 10 + 3 = 13.

Un primer juego que se puede plantear para encarar este tipo de cálculos
y avanzar hacia la construcción de otros nuevos a partir de los conocidos es
el siguiente.

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72 Matemática 1

“El mayor doble con cartas”: sumar con sumandos hasta 9.
Materiales: un mazo de cartas españolas sin las figuras por cada grupo.
Organización de la clase: en grupos de cuatro chicos.
Desarrollo: se reparten las cartas y cada jugador da vuelta dos por turno.
Se lleva las cartas el que logra la suma mayor.

A continuación, se les puede proponer nuevamente que escriban los cálculos
que hicieron para jugar en dos columnas: la de los fáciles y la de los difíciles. Al
pedirles que expliquen por qué los ponen en una u otra columna, la actividad
dará lugar a identificar los cálculos que cada grupo tiene memorizados y las
estrategias que usan para “resolverlos sin escribir” aquellos que ya lo pueden
hacer, de modo de socializarlas.
Luego, podemos proponer actividades como la siguiente para que los alum-
nos las resuelvan de manera individual en sus cuadernos y hacer, posteriormen-
te, una puesta en común, centrándonos en cómo lo pensaron. Por ejemplo:

Resolvé los siguientes cálculos usando los del cartel.

4+5= 3+3=6

6+5= 6 + 6 = 12

4+3= 4 + 6 = 10

5+7= 5 + 5 = 10

10 – 6 =

Otra posibilidad es proponer actividades para armar o desarmar números utili-
zando las decenas enteras, lo que puede resultarles familiar a los niños si hemos
trabajado con situaciones de composiciones aditivas con billetes. Por ejemplo:

Armá los números:

20 + 5 = 30 + 8 = 90 + 7 =

Desarmá los números:

39 = 30 + … 25 = 20 + … 78 = … + …

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Eje

Número 73
y operaciones

También podremos presentar problemas aritméticos donde los chicos puedan
hacer cálculos con números más grandes de modo que deban recurrir a diferen-
tes procedimientos. Los problemas podrían ser como el siguiente.

Averiguá el gasto del comedor de la escuela si se pagaron $ 48 por la
leche y $ 21 por el pan.

Algunos de los procedimientos posibles se apoyan en descomposiciones adi-
tivas de uno o de los dos números. El tercer procedimiento se apoya en el cua-
dro numérico, lo que puede suceder cuando trabajaron antes con ese cuadro
reflexionaron sobre qué cálculo hago para pasar de un casillero al siguiente
en la misma fila o en la misma columna.

Si hemos planteado problemas como los anteriores y, por lo tanto, han apare-
cido diferentes formas de hacer los cálculos, las conocidas en la escuela como
“cuentas con dificultad” no serán más difíciles para los alumnos pues podrán
resolverlas con los mismos procedimientos que ya utilizan para la suma y la resta.

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74 Matemática 1

En los ejemplos, se advierte que los alumnos han utilizado “árboles”, que son
representaciones no matemáticas.17 Estas deberían ser analizadas en el grupo y
socializadas si resultara conveniente. Pero habrá que tener en cuenta que su uso
no necesariamente debe ser adoptado por todos los alumnos de la clase, pues
forzar estas descomposiciones podría llevar a error. Por ejemplo, en el caso de
la resta, y para 72 – 43, los alumnos podrían descomponer en 70 + 2 – 40 + 3,
y luego resolver sumando 3 en lugar de restarlo.

En este año/grado, es necesario que incluyamos también, propuestas de esti-
mación de resultados, pues los niños necesitan ir adquiriendo estrategias que
les permitan controlar el resultado de los cálculos. Por ejemplo, se puede propo-
ner el siguiente problema.

Pensá, antes de hacer el cálculo, si el resultado de 28 + 42 será mayor o
menor que 50. Explicá cómo lo pensaste.

Frente a este problema, es esperable que los niños digan: es mayor porque el
resultado de 20 + 40 se pasa del 50. Luego podrán hacer la cuenta y verificar si
su estimación fue acertada.
Pedir a los niños que expliquen el porqué de sus respuestas da lugar a expli-
citar los conocimientos que usaron para resolver. Esta explicitación es la que
hará posible que se nombren los conocimientos utilizados para que todos los
reconozcan y el docente pueda luego sistematizarlos.

Plantear situaciones para explorar relaciones numéricas
Hemos planteado que, al conocer los números, los alumnos deberían ir estable-
ciendo entre ellos una red de relaciones que les permita utilizar diferentes escritu-
ras de aquellos. Una parte importante de este trabajo consiste en establecer rela-
ciones entre los cálculos. En 1er año/grado, es posible pensar cómo cambia un
número cuando se le suma o se le resta otro. Por ejemplo, en sumas del tipo:

…+1=… … + 10 = … … + 20 = …

17
Tal como se ha planteado en el apartado “Las representaciones”, en “Enseñar Matemática en el
Primer Ciclo”, cuando el alumno produce una solución utiliza representaciones personales que
pueden o no coincidir con las convencionales.

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Eje

Número 75
y operaciones

y restas del tipo:

…–1=… … – 10 = … … – 20 = …

En estos casos, los alumnos podrán arribar a conclusiones tales como: “si sumo
1, obtengo el siguiente, y si le resto 1, el anterior”, “si sumo 10, aumenta 1 la cifra
de los dieces”, etc. Será importante que los chicos registren en sus cuadernos las
conclusiones a las que arribaron para que puedan volver a ellas en caso de que
una nueva situación así lo requiera.18

Para que los alumnos reflexionen sobre estas relaciones, es recomendable
plantear listas convenientes de cálculos como las de estas producciones.

18
En el apartado “La gestión de la clase”, en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”, se
consideran los distintos usos del cuaderno en la clase de Matemática.

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76 Matemática 1

También se puede plantear este tipo de trabajo a partir de una tabla de sumas
como la que sigue y pedirles que la completen ajustándose a consignas como estas:

1. Completá la columna de los + 1. Compará los números de esa columna
con los de la columna anterior. ¿Qué característica tienen estos números?
Indicá en qué fila se repetirán los números de la segunda columna.
2. Completá la fila de los + 10. Compará los números que completaste con
los de la primera columna. ¿Qué característica tienen estos números? Indicá
en qué fila se repetirán estos números.
3. ¿Cuál es el mayor número que podrías completar en esta tabla? ¿Dónde lo
ubicarías? ¿Y el menor?
4. Completá los casilleros remarcados. ¿Cómo son los sumandos?
5. ¿Cuáles son los cálculos que dan 9 en esta tabla? ¿Y 13? ¿Hay otras
maneras de obtener 13 que aquí no estén incluidas? (Respuestas posibles:
11 + 2 y 12 + 1).

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Para trabajar con la información
Algunos de los problemas aritméticos que se presenten deberán realizarse con
el propósito de favorecer los procesos ligados al tratamiento de la información
involucrados en la resolución de problemas o en la transformación de la infor-
mación para su comunicación, tales como analizar la información dada, los datos,
relacionarla con la información que se busca, las incógnitas, planificar una estra-
tegia de resolución y analizar la razonabilidad de los resultados.

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Eje

Números 77
y operaciones

Al presentar más datos de los necesarios para responder a una pregunta, o
una variedad de datos para que los alumnos elaboren diferentes preguntas, e
incluso una pregunta para que seleccionen los datos para responderla, se les
proponen tareas diferentes pero, en todos los casos, ellos deberán establecer
relaciones entre datos e incógnitas.
Este tipo de trabajo apunta a ampliar las posibilidades de los niños para la
interpretación de los problemas, más allá de solo pensar en buscar una palabra
en el enunciado que indique qué operación hacer con todos los datos presentes.19

Plantear problemas a partir de diferentes datos
En este año/grado, se inicia el trabajo del tratamiento de la información. Un
aspecto de este tratamiento está vinculado con la recolección y organización de
datos, para lo cual podremos utilizar situaciones que se viven a diario en el
aula como, por ejemplo, el registro de la cantidad de alumnos presentes y
ausentes. Para poder responder a preguntas del tipo: ¿quién faltó más veces a
lo largo de un mes?; ¿quién menos veces?, será necesario acordar con los
niños la manera más clara de organizar y registrar la información de la asisten-
cia diaria de modo que pueda ser entendida por todos y que permita, a la vez,
encontrar los datos que se precisan para responder las preguntas planteadas.
Se podrá utilizar el pizarrón o un afiche para que la información sea accesible a
todos los alumnos.

Otro aspecto está relacionado con la lectura e interpretación de la informa-
ción contenida en diferentes portadores numéricos utilizados. Para esto, pode-
mos usan recursos tales como una lista de precios de comidas de una rotisería
o restaurante, una factura sencilla, boletos, envases, etc., para que los alumnos
“lean” la información matemática, es decir, para que interpreten qué significan
los números que aparecen y seleccionen los datos que les permitan resolver dis-
tintas preguntas que se planteen.20

19
Explicitamos la importancia de generar condiciones para que los alumnos se enfrenten con
distintos tipos de problemas en el apartado “Las relaciones entre datos e incógnitas”, en
“Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”.
20
Recomendación de lectura. Otras actividades para trabajar con la informacion se encuentran
en Propuestas para el aula, material elaborado por el Equipo de Gestión curricular del Ministerio
de Educación (2000).

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78 Matemática 1

• Con envases de alimentos
Se puede analizar los diferentes números que aparecen con información diversa
y las distintas formas de escribirlos: identificar el número de código, la fecha de
elaboración y de vencimiento, la capacidad o el peso (medida), la cantidad de ele-
mentos que contiene (por ejemplo, en los paquetes de pastillas), el valor, etcétera.

• Con pasajes de transportes de corta y larga distancia
En los pasajes se pueden identificar distintos datos. Según el tipo de boleto,
podrán responder preguntas tales como: ¿cuánto costó? ¿Qué día se usó?
¿Dónde se sentó? ¿En qué horario viajó? ¿Qué colectivo tomó?

Otra opción es presentar láminas que incluyan diversas informaciones numé-
ricas o no, como, por ejemplo, las que pueden hallarse en una plaza, una esqui-
na de alguna ciudad, un circo, un negocio.

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Eje

Número 79
y operaciones

Podremos, entonces, pedirles a los alumnos que formulen preguntas a partir
de la imagen. Aquellas podrán anotarse en el pizarrón para luego clasificarlas
según sean preguntas que se pueden contestar con solo mirar la lámina (como
la pregunta 1), que se contestan a partir de contar elementos (como la 2) o que
se contestan haciendo un cálculo (como la 3), o preguntas que no se pueden
contestar (como la 4).

1. ¿Cuál es el precio de la entrada de un niño? (respuesta numérica) ¿Hay
cola para sacar la entrada? (respuesta no numérica)
2. ¿Cuántas personas hay en la ilustración? ¿Cuántos chicos hay en la cola?
3. ¿Cuánto cuestan 3 entradas para chicos?
4. ¿Cuántas entradas se vendieron?

Para este tipo de trabajo, es conveniente, además, terminar la clase con la
puesta en común de las producciones individuales.

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nap El reconocimiento y uso de relaciones espaciales en espacios
explorables o que puedan ser explorados efectivamente en la
resolución de situaciones problemáticas.

El reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos a partir
de distintas características en situaciones problemáticas.

La diferenciación de distintas magnitudes y la elaboración
de estrategias de medición con distintas unidades en
situaciones problemáticas.

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GEOMETRÍA
Y MEDIDA

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EJE
Geometría y Medida

Los saberes que se ponen en juego

Para que los alumnos puedan aprender los saberes incluidos en los núcleos de
aprendizajes prioritarios, en la escuela habremos de proponer situaciones
de enseñanza en las que se pongan en juego distintos aspectos de esos sabe-
res. Se trata de que los conocimientos matemáticos aparezcan en el aula aso-
ciados con los diferentes problemas que permiten resolver, para luego identifi-
carlos y sistematizarlos. Esto es:

• usar relaciones espaciales al interpretar y describir en forma oral y gráfica
trayectos y posiciones de objetos y personas para distintas relaciones y referencias;
• construir y copiar modelos hechos con formas bi y tridimensionales, con
diferentes formas y materiales (ej.: tipos de papel e instrumentos);
• comparar y describir figuras según su número de lados o vértices, presencia
de bordes curvos o rectos, para que otros las reconozcan;
• comparar y medir efectivamente longitudes (capacidades, pesos) usando
unidades no convencionales, y
• usar el calendario para ubicarse en el tiempo y determinar duraciones (mes
en curso y día de la semana).

Propuestas para la enseñanza

En este apartado intentamos precisar el alcance y el sentido de los conocimien-
tos que se priorizan en el Eje “Geometría y Medida” por medio de algunos ejem-
plos de actividades para desarrollar en el aula y de producciones de los niños.
Además, desarrollamos secuencias de actividades que muestran el tipo de
trabajo matemático que se propone desde el enfoque explicitado en “Enseñar
Matemática en el Primer Ciclo”.

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83

Para establecer relaciones espaciales
Las razones por las que las nociones espaciales están en este Eje de conteni-
dos son tanto de orden matemático como pedagógico.
Las razones matemáticas surgen de una mirada histórica. Esta muestra que
la geometría euclidiana surgió, en gran parte, por la resolución de problemas que
involucran las medidas y la representación plana de distintos espacios. A los
griegos se atribuye la construcción de la geometría matemática y, desde enton-
ces, esta se desarrolló cada vez más hacia una geometría separada de sus orí-
genes espaciales.
Las investigaciones didácticas sobre la adquisición de conocimientos refieren
que, mediante la manipulación de objetos y de su progresiva posibilidad de
moverse y explorar espacios de diferentes tamaños, los niños construyen desde
bebés un conjunto de referencias espaciales ligadas, en principio, a su propio
cuerpo. Pasan varios años hasta que, al enfrentarse a distintas experiencias,
construyen un sistema de referencias respecto del cual pueden considerar
todas las posiciones en el espacio de tres dimensiones, estén o no estos ocu-
padas por objetos.
Algunos chicos llegan a la escuela con una gran experiencia ligada a mover-
se en espacios grandes, como al hacer largos recorridos por los cerros, cruzar
esteros, bordear ríos. Otros, muy tempranamente, tiene experiencias con el
espacio de una hoja de tamaño similar a la del cuaderno, pues, por vivir
en espacios reducidos, la propuesta familiar de juego incluye dibujar o pintar en
ellas. Es importante que en la escuela brindemos oportunidades para que todos
los alumnos desarrollen experiencias en espacios de distintos tamaños: redu-
cidos como el de la hoja o la pantalla de la computadora; espacios de tamaño
intermedio, como el de las habitaciones, aulas y otras dependencias del edifi-
cio escolar, y en otros más amplios, como por ejemplo, las cuadras del barrio o
parajes cercanos a la escuela.
Cuando ingresan a la EGB/primaria, los niños ya pueden utilizar relaciones
como adelante, debajo de, atrás de, arriba de, considerándose a sí mismos como
la referencia necesaria para darles sentido. Estas relaciones les han permitido
resolver situaciones en su vida cotidiana vinculadas con la búsqueda de objetos y
la localización de lugares, pero, en otras situaciones, las relaciones con el propio
cuerpo no son suficientes. Estos son conocimientos que los alumnos tienen dis-
ponibles y que pueden ser reutilizados en la escuela para avanzar a partir de ellos.
Cada objeto del espacio y cada persona en él pueden ser tomados como
referencia para estructurar el espacio que los rodea. Por ejemplo, en un aula, la
mesa del maestro puede ser un referente y, a partir de ella, según la posición del
sujeto que lo describe, hay una zona a la derecha, otra a la izquierda, y otras ade-

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84 Matemática 1

lante, atrás, arriba y debajo. Aparecen entonces conflictos entre las diferentes
descripciones posibles de una posición en el espacio según el referente que se
considere y la ubicación de quien lo mira.1
Desde su ingreso a 1er año/grado, entonces, los niños deberán enfrentarse
con problemas que pongan en conflicto la referencia del propio cuerpo y que
demuestren la insuficiencia de estructurar el espacio solo con esa referencia,
permitiendo a la vez avanzar en la construcción de nuevas referencias que arti-
culen tanto la posición de los sujetos como la de los objetos, para así enrique-
cer el uso de relaciones espaciales.
En los problemas, propondremos a los alumnos interpretar consignas dadas
por otros y también producirlas. Por otra parte, algunos los plantearemos para
realizar acciones en el espacio y otros para trabajar en el espacio representado.
En relación con este último, los niños se iniciarán en la interpretación de repre-
sentaciones ya realizadas y también comenzarán a armar croquis.

Plantear situaciones para interpretar, describir y representar
posiciones y trayectos
En 1er año/grado plantearemos un conjunto de situaciones que permita a los
niños construir un marco de referencia que posibilite resolver problemas vincu-
lados con la orientación espacial.
Para la selección de situaciones didácticas elegimos, por una parte, aquellas
en las que los chicos deberán decidir qué referente tener en cuenta para inter-
pretar la posición de un objeto o un trayecto que les presentamos por medio de
una consigna oral o de una representación gráfica. Por otra parte, plantearemos
situaciones para que los chicos identifiquen posiciones y trayectos y los descri-
ban (o comuniquen) en forma oral o gráfica, así como para que ellos represen-
ten objetos y espacios.
En general, en diversas actividades cotidianas, los niños deben interpretar
indicaciones que les dan los adultos u otros niños. Estas aluden tanto a sus des-
plazamientos: andá a… como a las indicaciones para ubicar un objeto que se
busca; está en… En cambio, son pocas las actividades cotidianas en
las que les solicitamos que describan posiciones expresando las relaciones y

1
Estas situaciones pueden ser concebidas como problemas en el sentido presentado en el
apartado “Elegir los problemas” de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”.

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Eje

Geometría 85
y Medida

referencias en forma oral y con el uso de un lenguaje específico. Se trata, por
tanto, de plantear en la escuela situaciones para promover en los niños la nece-
sidad de describir en forma precisa la ubicación de objetos en el espacio. Si bien
podremos hacerlo a partir de situaciones de rutina escolares, al pedirles que nos
indiquen, por ejemplo, en qué lugar de la biblioteca se encuentra un libro deter-
minado o que le expliquen a un compañero dónde dejaron un cuaderno olvida-
do, también podremos incluir actividades especialmente diseñadas en las que
sean ellos los que deban describir determinada ubicación o bien formular pre-
guntas para averiguar el lugar de que se trata.

Secuencia para describir posiciones de objetos: “Averiguar dónde está”

Actividad 1
Mientras un alumno, o el docente, sale del aula, los que quedan en el salón
esconden un objeto, por ejemplo, un muñeco, en algún lugar conocido por todos.
Luego, entra quien salió y, por turno, le dan indicaciones en forma de pistas
para que identifique el lugar en el que se encuentra el objeto escondido.
Para favorecer la expresión oral de las posiciones, es importante que
aclaremos que en este juego no se puede señalar, cuestión que les resulta
muy costosa a los niños pequeños.

Actividad 2
Introducimos una variante a la actividad del primer día al plantear que el
alumno que salió va a investigar en qué lugar está escondido el objeto por
medio de preguntas que formulará al resto del grupo. La condición que
plantearemos es que estas preguntas se puedan responder por sí o por no.

Otra posibilidad es dividir la clase en dos grupos: un grupo esconde el objeto
y el otro grupo formula las preguntas.
Para descubrir el lugar en el que se encuentra escondido el objeto,
inicialmente los alumnos suelen preguntar acerca de lugares puntuales, pero
sin identificar con claridad la posición que desean comunicar, por ejemplo,
¿está en el armario? Si el objeto estuviera arriba del armario, es posible que
algunos niños duden si deben responder sí o no, lo que será interesante
discutir después de terminado el juego.
La forma de preguntar y de responder evolucionará según el tipo de
intervenciones que hagamos: si nosotros escondemos el objeto, podemos
elegir lugares que impliquen el uso de relaciones que nos interesa trabajar; en
el caso del armario: arriba de, debajo de, atrás de, delante de.

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86 Matemática 1

Por otra parte, para que evolucione el tipo de referencia que los alumnos utili-
zan para la designación de una posición, es recomendable que escribamos en el
pizarrón todas las preguntas tal como los niños las hayan formulado para anali-
zarlas posteriormente. Veamos un ejemplo de este tipo de análisis colectivo.

Maestro: –Ayer, cuando jugaron al Varios niños: –Estaba debajo del
juego de esconder el muñeco, escritorio…
hicieron algunas preguntas que me Maestro: –Escondido detrás de la
gustaría leerles para que, cuando pata del escritorio. ¿Y cómo
juguemos hoy, no se repitan algunos podemos preguntar para precisar
problemas. esta ubicación? Hay muchos lugares
Juan: –Sí, ayer Lucía dijo que en el escritorio para esconder el
estaba en el escritorio ¡y no muñeco.
estaba…! (El docente se acerca al pizarrón y
Maestro: –¿Se acuerdan de la escribe las preguntas que le dictan
pregunta que hizo Juan? Se las leo: los niños.)
“¿Está en el escritorio?”. Y Lucía ¿Está arriba del escritorio?
respondió que “Sí”, pero… ¿dónde ¿Está debajo del escritorio?
estaba? ¿Está adentro del cajón del escritorio?
¿Está detrás de los cuadernos?

Luego de esta discusión, los niños pueden escribir en sus cuadernos la posición
exacta en la que estaba el muñeco escondido con frases como: hoy el muñeco
estaba escondido detrás de una de las patas del escritorio.

Actividad 3
Con el propósito de que los alumnos comiencen a considerar la información
que es posible extraer de las preguntas formuladas, se puede introducir la
regla de no formular más de seis preguntas para averiguar el lugar en que
se encuentra el muñeco.
Antes de comenzar el nuevo juego, se pueden leer todas las preguntas del día
anterior y generar un momento de análisis sobre ellas para descartar las que
se repiten, las que dan demasiada o poca información, etcétera.
Al realizar el juego, se escriben en el pizarrón todas las preguntas para que los
niños controlen si son seis, de acuerdo con la consigna, y puedan recordar la
información ya obtenida. Tal vez tengamos que releer todas las preguntas
antes de que los niños vuelvan a formular una nueva; esto dependerá del nivel
de aproximación a la lectura que hayan alcanzado.

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Eje

Geometría 87
y Medida

Es importante jugar varias veces cambiando tanto el lugar en que se plantea
el juego como los roles que rotarán entre los diversos alumnos. La repetición del
juego tiene como objetivo que los niños construyan un conjunto de referencias
ligadas a los diferentes espacios y objetos de esos espacios. Esto es porque
esconder un objeto en el salón de clase o en un espacio de mayores dimensio-
nes, como el patio o la plaza próxima a la escuela, dará lugar a aprendizajes dife-
rentes. En cada caso, el tipo de referencias estará directamente ligado a esos
lugares y a la distribución espacial de los niños.

Esta secuencia de actividades, con la misma o con una organización grupal
similar, se puede llevar a cabo para identificar un objeto en una construcción
–como un tren o una casa– realizados con cajas o bloques de madera. Esto
permitirá no solo poner en juego las cuestiones ya analizadas referidas a la
orientación espacial y a la construcción de esquemas de referencias compar-
tidos y articulados, sino también nombrar esas formas.

El dictado de maquetas2 es otra situación en la que los niños construirán las
referencias necesarias para comunicar las posiciones de los objetos tratados
teniendo en cuenta:

• sus propias posiciones,
• la de los intérpretes de la descripción, y
• los tres planos que determinan la orientación de cada objeto: arriba/abajo,
derecha/izquierda, adelante/atrás.

Este problema introduce nuevos desafíos y posibilidades de discusiones
entre pares, ya que el trabajo se puede organizar en pequeños grupos. Así, no
solo se favorece una mayor participación de todos los alumnos sino que se da
lugar a la confrontación de puntos de vista y a la necesidad de argumentar para
convencer.3 Conviene que esta actividad se realice en el marco de algún proyec-

2
Recomendación de lectura. En el artículo de Saiz, ¿A la derecha de quién?”, en: Panizza, 2003,
del cual se adaptó esta actividad, se reflexiona sobre la representación del espacio y la
enseñanza de la geometría.
3
La importancia de la discusión entre grupos se desarrolla en el apartado “La gestión de la clase”
en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”.

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>
88 Matemática 1

to de trabajo que le otorgue sentido. Por ejemplo, la escritura colectiva de un
cuento con la ayuda del maestro.
Una vez realizado el cuento, se identifican tres escenas que den cuenta de
“cómo empezó”, “lo que pasó después” y “cómo terminó”, y se propone construir
maquetas de esas escenas para intercambiar con otra escuela junto con el cuen-
to, para hacer una muestra itinerante por los hogares de los chicos o para man-
dar a un concurso. Para guardar una copia de cada una en la escuela, habrá que
realizar un par de cada una. Después de elegir las escenas, los chicos se organi-
zan en seis grupos y discuten qué elementos van a necesitar para hacerlas.

Las escenas del cuento: elaborar consignas para construir una maqueta.
Materiales: cada par de grupos de chicos debe tener dos hojas oficio o
bases de cartón o bandejas rectangulares y dos colecciones idénticas de 5
o 6 objetos (elementos de cotillón o modelos fabricados por los niños con
cajitas, corchos, tapitas, etc.) para poder representar la escena elegida de
modo que haya dos objetos de cada tipo. Por ejemplo, si se tratara de la
“habitación donde viven las hijas del rey”, podrían tener cuatro camas, dos
mesitas, dos sillas y dos armarios. También deberán contar con un cartón
que, a modo de pantalla, oculte a cada grupo lo que el otro hace.
Organización de la clase: la clase se divide en seis grupos.
Desarrollo: en cada par de grupos, la tarea se organiza del siguiente modo. Un
grupo arma la maqueta distribuyendo espacialmente sobre la base los elementos
que tiene y el otro debe armar lo mismo cuando el primero se lo “dicte”. Para ello,
una vez armada la maqueta, los niños del primer grupo se deben poner de
acuerdo sobre el mensaje que van a emitir para indicar al otro grupo, oralmente,
las posiciones de los objetos en función de los referentes elegidos para que los
demás logren realizar la misma maqueta. El grupo receptor deberá interpretar las
indicaciones y tomar las decisiones pertinentes de acuerdo con las indicaciones
que están escuchando para ubicar cada uno de los objetos.
Al finalizar la tarea, se analizan las semejanzas y diferencias entre las
maquetas. Para esto, es posible colocarlas “una al lado de la otra” o
“enfrentadas”, lo que implica distinto nivel de dificultad para compararlas.
Al realizar el análisis, se vuelve sobre los errores y los aciertos mientras
se reflexiona sobre las indicaciones dadas y las dificultades con las que se
enfrentaron, tanto al producir como al interpretar los mensajes.

Conviene que el docente registre las indicaciones y los hallazgos de los niños
para hacerlos presentes en otras actividades, haciendo hincapié en el uso y el
perfeccionamiento del vocabulario que permita avanzar en la precisión de la

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Eje

Geometría 89
y Medida

referencia dada. Por ejemplo: un grupo de niños dictó la mesita está a la dere-
cha considerando su propia posición como referencia y esto generó una serie
de discusiones en el grupo receptor. Posiblemente, en una puesta en común,
se formule el siguiente acuerdo que podría escribirse en un papel afiche: si
decimos arriba, a la derecha, abajo etc., tenemos que decir también a la
derecha de qué o arriba de qué o debajo de qué, a modo de memoria de los
acuerdos construidos.4

Para trabajar la representación gráfica de ciertos espacio, podemos plantear
actividades en las que las referencias dadas se planteen en un dibujo o esque-
ma. Por ejemplo, un tipo de trabajo con representaciones gráficas es la lectura
y confección de planos como el del aula y otros espacios comunes de un
ambiente. Conviene que estas actividades se realicen a propósito de algún pro-
yecto de trabajo que le otorgue sentido, por ejemplo, pensar cómo organizar
algún espacio de la escuela para una fiesta escolar o cómo reorganizar el aula
para un tipo de actividad que no se realiza allí todos los días.
Al elegir las actividades y considerar las posibles producciones de los alum-
nos, habrá que tener en cuenta que el conocimiento del uso social de planos
en espacios rurales y urbanos no es uniforme.5 Incluso el contacto previo puede
estar asociado con las experiencias familiares de los chicos aunque vivan en un
mismo espacio. Por ejemplo, en el espacio urbano será diferente el acerca-
miento de los hijos de profesionales de la construcción –arquitectos, albañiles–
al de personas que trabajan en los servicios de transporte –remiseros, camio-
neros–. Además, tal vez algunos de estos espacios carezcan de representaciones
mediante planos. Estos usos diversos y ausencias son un dato importante a
considerar por el docente al proponer interpretar o representar espacios inme-
diatos con chicos que tengan distintos grados de familiaridad con los planos.
Otra cuestión a sopesar es si se dispone o no de representaciones convencio-
nales ya producidas de espacios conocidos que introduzcan pistas sobre cómo
resolver algunas problemáticas de la representación, por ejemplo, la perspecti-
va, el uso de códigos o de referencias, etc., para confrontar con las produccio-
nes de los niños.

4
Las intervenciones del docente a propósito de la sistematización de los saberes que los alumnos
van descubriendo se abordan en el apartado “La gestión de la clase” en “Enseñar Matemática en
el Primer Ciclo”.
5
Delprato, 2002.

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90 Matemática 1

Se sugiere articular estas y otras actividades relacionadas con la interpretación
de planos y la representación del espacio con el trabajo propuesto en el
Cuaderno para el Aula: Ciencias Sociales 1, en el Eje “Las actividades huma-
nas y la organización social”.

Al considerar la elaboración de planos, los alumnos son desafiados a construir
recursos válidos para representar objetos vistos desde arriba, como también
algunos que casi no se ven desde esa posición, pero que se sabe que están y
son considerados importantes como referencias para la ubicación espacial de
otros lectores, por ejemplo, puertas y ventanas. También en estos problemas, los
alumnos enfrentarán la dificultad de considerar un único punto de vista para
representar todos los objetos. Por otra parte, necesitarán abstraer ciertas carac-
terísticas de los objetos que los representan de modo que todos se den cuenta
de qué objeto es. Es decir que, si se mira el plano de una cocina, la pileta puede
estar representada con un rectángulo y un óvalo adentro, la cocina con un cua-
drado con cuatro círculos interiores, etcétera.
En relación con esta tarea, los alumnos de los primeros años/grados, realizan
representaciones características de la edad, al utilizar en el mismo plano variados
puntos de vista. Por ejemplo, dibujan una mesa como si la vieran de frente y otra
desde arriba, pero le dibujan sus cuatro patas de diferente modo: hacia los cos-
tados o las representan con puntos o círculos sobre la tabla.6

Distintas representaciones de mesas.

6
Recomendación de lectura. Para conocer otras actividades sobre representación de objetos o
configuraciones desde distintos puntos de vista, se puede consultar “Vistas”, en: Bressan, Reyna,
y Zorzoli, 2003.

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Eje

Geometría 91
y Medida

Una actividad de análisis de planos permite poner en evidencia ante la totalidad
del grupo la diversidad de resoluciones y fomentar la necesidad de llegar a acuer-
dos a modo de “convención compartida” para que todos representen con las mis-
mas reglas, tal como sucede con este tipo de representaciones fuera de la escue-
la. Para ello, entregaremos varias copias de planos realizados por otros niños para
analizar cómo se dibujan determinados objetos en una y otra representación.

Dos representaciones de un aula.

Tal vez sea necesario focalizar en algunos objetos significativos del espacio
representado. Plantearemos por ejemplo: miren las mesas y los bancos en
cada plano. ¿Qué ven de diferente y de parecido en cada uno? ¿Cómo se
dieron cuenta de que ésos son bancos y mesas?

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92 Matemática 1

Escribiremos en el pizarrón el producto de la observación de los niños. Luego
se acordará entre todos ¿qué partes de un banco y de una mesa se ven si se
los mira desde arriba? ¿Qué no se ve? Posteriormente, ofreceremos hojas en
blanco para que ensayen sus representaciones de bancos y mesas; luego, ele-
girán uno de esos ensayos para pegar en el cuaderno con una leyenda debajo
que recuerde el acuerdo a que se llegó: este es un banco visto desde arriba.
A modo de ensayo, tal vez sea útil que los niños vean efectivamente un
banco desde arriba, para lo cual quizá deban pararse sobre una mesa o colo-
carlo en un nivel más bajo (un patio, un pasillo por el que se puedan asomar sin
peligro, etc.).

También podemos plantear actividades que impliquen la realización y represen-
tación de recorridos, tanto dentro como en las cercanías de la escuela.
Si se tratara de recorridos fuera del edificio escolar, habría que considerar que
los referentes usados socialmente para describirlos y ubicar espacios no son los
mismos en áreas urbanas y rurales. Así, en el ámbito urbano, la necesidad de
organizar un espacio “denso” ha demandado la instauración de referentes por
convención (nombres de calles y de espacios verdes, numeración de los edifi-
cios, etc. En el espacio rural, probablemente, los referentes sean elementos
naturales (pasando la lomada), destinos (cuando llega al camino de la escuela),
familias (una vez que pasa el campo de los López).
Para trabajar con un recorrido dentro de la escuela, podríamos proponer-
les a los niños, por ejemplo, explicar a un visitante cómo llegar a un cierto
punto del predio escolar: al salón de actos, a la dirección, a la huerta, etc. Los
alumnos elaborarán el mensaje en forma oral, y los docentes seremos los
encargados de escribir las indicaciones en un texto que, en un principio, será
redactado tal como los alumnos lo digan. Al describir el recorrido, ellos orga-
nizarán secuencialmente su relato, estableciendo un comienzo y un fin. Estas
descripciones podrían contener información con referentes en el trayecto,
por ejemplo: el mástil, una puerta; direcciones y sentidos del movimiento:
seguís derecho, doblás hacia la bandera; medidas de distancias: 5 pasos
hacia delante, etcétera.
Luego, para perfeccionar el mensaje, se recorre el camino mientras se lo lee
en voz alta para que todo el grupo escuche, y, cuando aparecen dudas sobre
cómo seguir o desvíos en el itinerario esperado para llegar al punto final, el
maestro registra los problemas que tiene el mensaje. Al volver al aula, se podrá
perfeccionar la redacción incluyendo las correcciones que los mismos niños
quieran incorporarle para que se entienda.

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Eje

Geometría 93
y Medida

En una segunda actividad, es interesante reflexionar a partir de dos descrip-
ciones distintas del mismo recorrido al variar los referentes empleados. Para
tener otro relato, es posible, si hay dos aulas de 1er año/grado en la escuela, que
ambos maestros propongan la misma actividad e intercambien luego los men-
sajes; si no hay otro 1er año/grado, el maestro puede elaborar uno diferente del
de los chicos para confrontar.
La construcción del vocabulario adecuado para la resolución de este tipo
de situaciones espaciales se producirá a partir de las discusiones colectivas y de
las intervenciones pertinentes para estimular el uso de las nociones espaciales
más adecuadas. Por ejemplo, ante la dificultad de comprender una indicación
podemos plantear: ¿cómo se puede decir esto para que se entienda fácilmen-
te?, y registrar todas las respuestas que ofrezcan los niños.

Para conocer las figuras y los cuerpos geométricos
El abordaje de los contenidos geométricos en el 1er año/grado permitirá ofrecer
a los niños oportunidades para el estudio sistemático de las figuras y los cuer-
pos geométricos, tanto relacionándolos con objetos de la vida cotidiana como
sin relacionarlos con ellos.
En efecto, lo que se busca es promover la exploración y la reflexión sobre
diferentes figuras y cuerpos a partir del planteo de situaciones problemáticas
para que los alumnos describan, identifiquen entre varias figuras y/o cuerpos,
construyan, dibujen y/o reproduzcan alguna de estas formas.
Al resolver estos problemas, los niños podrán empezar a construir algunas
conceptualizaciones sobre las características de estas figuras y cuerpos al tiem-
po que se van apropiando de un lenguaje matemático. Al hablar de característi-
cas, nos estamos refiriendo a las propiedades que permiten definir o caracteri-
zar una figura o un cuerpo.

Plantear situaciones para comparar y describir figuras
Para favorecer la descripción y comparación de figuras según los distintos
elementos que los caracterizan, se pueden proponer juegos con la estructura del
“Memotest”, es decir, juegos de memoria perceptiva en los que, por lo general,
hay que buscar el idéntico y formar parejas, o como el juego de “La casita roba-
da”, en el que también se arman pares de cartas teniendo en cuenta alguna
característica común.
Por ejemplo, los chicos podrán formar parejas porque tienen igual canti-
dad de puntas (vértices), porque las esquinas son iguales (ángulos), porque
parecen flechas. Este último argumento, si bien es válido en tanto el grupo
lo acepte, no alude a ninguna característica geométrica.

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94 Matemática 1

En estas actividades, es conveniente que los chicos verbalicen las caracterís-
ticas que reconocieron en las figuras haciendo explícito el conocimiento puesto
en juego y, por ello, habrá que contemplar esta condición al dar la consigna.
Los mazos de cartas se armarán con diversas figuras geométricas, según las
características de las figuras que se quieren trabajar. Por ejemplo, un mazo
puede contener figuras que permitan formar pares de la misma imagen en dis-
tintos tamaños o en distintas posiciones.7

Dos cartas con el mismo cuadrado Dos cartas con cuadrados
en distinta posición. de distinto tamaño.

También se puede armar un mazo con polígonos que tengan distinta cantidad
de lados, como los siguientes: un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo
propiamente dicho, un rombo, un trapecio, un romboide, dos pentágonos, dos
hexágonos y dos triángulos.

7
Recomendación de lectura. Para ampliar estas propuestas véase Juegos en Matemática
EGB 1. El juego como recurso para aprender. Material para docentes (Chemello, Agrasar y
Chara, 2001). Entre los materiales para los alumnos que acompañan este recurso se encuentran
distintos mazos de cartas.

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Eje

Geometría 95
y Medida

Con un mazo como el de la actividad anterior también se podría proponer el
siguiente juego.

“Parejas cantadas”: identificar características de las figuras.
Materiales: un mazo para cada chico.
Organización de la clase: se juega entre cuatro niños.
Desarrollo: mantienen el mazo tapado y se reparte una carta para cada
uno. Por turno, arman un par con la carta propia y la de algún compañero,
explicando ante los demás jugadores el criterio según el cual han
construido esa pareja. Si el grupo acuerda, el jugador se lleva el par. Se dan
nuevas cartas a los jugadores que perdieron la suya y sigue la ronda. Gana
el que tiene más cartas cuando todas se terminan.

Tal como lo planteamos en el apartado “La gestión de la clase”, en “Enseñar
Matemática en el Primer Ciclo”, es posible organizar secuencias tomando
como conocimiento de partida de una actividad el saber que ha sido sistema-
tizado como conclusión en la anterior.

Luego del juego, es importante plantear algunas actividades que favorezcan
la discusión sobre los criterios utilizados, lo que llevará a diferenciar las caracte-
rísticas geométricas propias de las figuras de las que no lo son. Los docentes
deberemos intervenir, por ejemplo, del modo siguiente, para ir incorporando el
vocabulario apropiado.

Los niños están trabajando en parejas. son iguales y por qué son distintas.
(Una vez armadas las parejas, los
Docente: –Hoy vamos a trabajar con niños van levantando la mano.)
las cartas de figuras, pero no vamos Julia: –Nosotros levantamos estas
a jugar. Van a colocar todas las (cuadrado y rectángulo) porque las
cartas boca arriba frente a ustedes. dos son cuadradas.
Luego, van a juntar dos cartas, una Doc.: –¿Qué quiere decir que son
de cada uno, que se parezcan en cuadradas? No entiendo…
algo y también que sean distintas Santiago: –Porque son de cuatro…
en algo. No pueden ser iguales, es Julia: Cuatro puntas…
decir, no pueden armar parejas con Doc.: –Porque tienen cuatro de algo.
la misma forma. Cuando terminen, Otros chicos: –Tienen cuatro líneas.
levanten la mano para decir por qué Doc.: –Ustedes quieren decir que

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96 Matemática 1

tienen cuatro vértices y cuatro lados. (señalando los lados).
¿Y en qué son diferentes? Doc.: –¿Los demás están de acuerdo?
Julia: –En que en esta (rectángulo) Otros chicos: –Sí, es verdad. Dos
dos son largos y dos son cortos y el cortos y dos largos…
cuadrado tiene todos cortos Doc.: –Bien, pasemos a otra pareja.

Por medio de esta actividad se estará favoreciendo que los alumnos diferen-
cien las características exploradas de las formas geométricas y que las puedan
formular mediante la construcción de un vocabulario adecuado.

Este tipo de actividades es fácilmente adaptable a diferentes conocimientos
de partida de los alumnos pues, para hacerlo, solo habrá que cambiar el con-
junto de figuras sobre el que se trabaja. Esta característica permite su imple-
mentación en el plurigrado ya que es posible presentar problemas adecuados
para distintos grupos con consignas y materiales similares.

Otra actividad para describir las figuras por sus características diferenciales
consiste en un juegos como el siguiente.

“Adivinanzas con figuras”: identificar una figura entre otras.
Materiales: tarjetas con figuras geométricas.
Organización de la clase: toda la clase juega con el maestro
o se organizan pequeños grupos de alumnos.
Desarrollo: un alumno o el maestro elige una tarjeta sin mostrárselas a los
demás. Por medio de preguntas, el resto de los alumnos debe averiguar
cuál fue la figura seleccionada.
El docente indica en la consigna que las preguntas que se formulen solo se
pueden responder con sí o con no, para que los alumnos tengan
necesariamente que explicitar alguna característica. Para que esto sea así y
los alumnos no pregunten ¿se parece a una flecha? y se avance en el uso
de características geométricas, esta actividad puede realizarse luego de la
anterior, lo que permite esa diferenciación. En este caso, algún compañero
o el docente mismo, podrá aclarar: no hay que decir a qué se parece sino
cómo es.

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Geometría 97
y Medida

Avanzados en el año, este tipo de tarea puede plantearse entre grupos
pequeños. Uno de los integrantes elige la tarjeta y el resto del grupo pregunta
para averiguar cuál fue la elegida.
Una vez más, de la elección que hagamos del conjunto de figuras depende-
rán las características que se puedan trabajar. Por ejemplo, si se trata de “el
número de lados” se incluirán polígonos de tres, cuatro y más lados; y si se trata
de identificar “lados rectos y curvos”, se incluirán polígonos, círculos, semicírcu-
los y otras figuras con lados rectos y curvos.
De este modo, esperamos que los alumnos avancen desde una identificación
global de las figuras hacia la consideración de sus características geométricas
(numero de lados, de vértices, tipo de lados, etc.), lo que indica un salto concep-
tualmente significativo.

Otra actividad para que los niños vuelvan a utilizar la descripción de las carac-
terísticas de las figuras, y también su posición en una cuadrícula, es la siguiente.

“Figuras para jugar”: localizar figuras en una cuadrícula y describirlas.8
Materiales y organización de la clase: cada pareja de dos jugadores
debe tener dos cuadrículas y figuras recortadas del tipo de las que se
presentan a continuación.

8
En: Penas, F. (2004).

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98 Matemática 1

Desarrollo: los jugadores se ubican uno al lado del otro y separados por un
objeto o tabique para que ninguno vea lo que hace su compañero. Cada
jugador, por turnos, elige una de las figuras y la pone en uno de los sectores
de su cuadrícula. Luego, da las indicaciones al compañero para que él
seleccione la misma figura y la ponga en el mismo cuadro. Si al levantar el
tabique, las figuras están ubicadas en el cuadro correcto, los dos jugadores
ganan 1 punto. Se juega nuevamente, pero cambiando los roles.

Como en los juegos anteriores, se apunta a que la descripción que hagan los
niños de las figuras incluya la explicitación de sus características, por ejemplo,
no será suficiente decir “la estrella” sino que tendrán que describir a qué estre-
lla se refieren.
La ubicación de la figura en la cuadrícula genera intentos y discusiones a
propósito de las distintas posiciones. Por ejemplo, algún niño puede decir, la
estrella de cuatro puntas va en el cuadrado de arriba, indicación que será insu-
ficiente si se considera que hay dos posibilidades para esa posición. Otros niños
pueden decir la estrella de cuatro puntas va en el cuadrito del lado del tabi-
que y esto puede provocar diferencias en el armado si están sentados uno al
lado del otro y con el tabique en el medio, porque para uno al lado del tabique
es a su derecha, y para otro, a su izquierda. En este caso, la diferencia está dada
por la elección del referente respecto del cual se da la posición (el tabique) y
esto puede ser aprovechado para discutir sobre los referentes que se eligen.
En este juego de dictado, la rotación de los roles de emisores y receptores
de consignas es central para que todos los niños aprendan los contenidos selec-
cionados.
Utilizar una cuadrícula de 3 x 2 y una cantidad de figuras mayor que el núme-
ro de espacios para colocarlas permite plantear una variante de esta actividad,
de mayor complejidad.

Plantear situaciones para construir y copiar formas
Las actividades que se proponen a los chicos para que analicen las caracterís-
ticas de las caras de los distintos cuerpos inician el trabajo de construir cuerpos
a partir de desarrollos planos que se hará en otros años.

Podemos comenzar planteando una variante de una actividad que suele
hacerse en la escuela, diciendo que se va a confeccionar una guarda sobre tela
para adornar el salón, y que se realizará mojando cuerpos en pintura y dejando
“huellas sobre la tela”. Durante el análisis de las “huellas” que dejan los cuerpos

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Geometría 99
y Medida

esperamos que los niños exploren y anticipen la forma de la “huella” que resul-
tará en función de la observación de las caras con las que se hagan. Podemos
usar dos o tres cuerpos que puedan dejar huellas con distinta forma y que los
niños dibujen las formas que piensan que resultará para cada una de las caras
de cada cuerpo.
Para continuar, podemos dar como materiales iniciales una guarda que que-
remos continuar y los cuerpos cuyas huellas se pueden usar para hacerlo. La
propuesta será investigar qué cuerpos deben elegir para continuarla. De este
modo, los niños deberán seleccionar los cuerpos que creen que dejarán un tipo
de huella determinada y también qué cara de ese cuerpo tendrán que usar. Por
ejemplo, podrán continuar el siguiente modelo seleccionando los cuerpos ade-
cuados si el maestro propone van a tener que seguir esta guarda eligiendo
entre estos cuerpos.

Al completar la guarda, se podrá discutir con los alumnos si se han respeta-
do las formas, el orden y la posición en que quedaron las figuras, y qué cuerpos
y caras eligieron, planteando si la guarda está bien según el modelo.
También es posible proponer un copiado de guardas o dibujos con el propó-
sito de que los alumnos construyan formas geométricas usando instrumentos
geométricos, como la regla en 1er año/grado.

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Se puede comenzar dando un dibujo similar al de la figura 1, o una guarda
sencilla como la de la figura 2.

Figura 1

Figura 2

En ambos casos, si el original está hecho en papel cuadriculado, convendrá
que los segmentos que forman las figuras tengan lados rectos cuyos vértices
sean los puntos de intersección de las líneas de la cuadrícula.
La propuesta será copiar del modo indicado más arriba, y los niños trabajarán
en forma individual. Para ello, el docente deberá proporcionar a cada uno el
modelo original y una hoja cuadriculada en blanco para que ellos copien. Al
hacer el copiado, los niños tomarán decisiones y, al terminar, deberán superpo-

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Eje

Geometría 101
y Medida

nerlo con la guarda original para controlar el resultado de sus decisiones, es
decir, podrán tomar conciencia de los problemas que tuvieron para resolver la
situación. Luego se podrá discutir si es necesario usar o no regla, si la línea rea-
lizada es muy corta o muy larga, poniendo el acento en las longitudes de los seg-
mentos (3 cuadraditos, etc.).9
Inicialmente, los niños no consideran la regla o la escuadra como materiales de
utilidad para realizar la reproducción de modelos sobre una cuadrícula, pero esto
se puede discutir con ellos si se incluye en la consigna de copiado la indicación de
que al superponer este con el modelo no se deberá percibir ninguna diferencia.
Al analizar las producciones de manera colectiva, se genera la necesidad de incor-
porar los instrumentos de geometría a la tarea. Del mismo modo, las sucesivas
copias perfeccionan el dominio en el manejo de estos instrumentos.
Al terminar, cada niño pegará el trabajo en su cuaderno.
También es posible proponer la actividad de copiado usando papel liso y
recortes de cartulina o plantillas de las figuras de la guarda para copiarlas. En
este caso, las figuras podrán tener distintas posiciones en la hoja.
Se puede reflexionar, entonces, en la puesta en común de los trabajos, acer-
ca de que la posición en la hoja no es una característica propia de las figuras,
sino una elección de quien hace el dibujo.10

Para diferenciar las magnitudes y medir
En relación con la medida, una primera cuestión a considerar en el Primer Ciclo
es la diferenciación entre aquellos atributos de los objetos que se pueden medir,
denominados magnitudes. Por ejemplo, de una lata de tomate es posible medir
entre otros, el peso, la longitud de su altura, la longitud de la circunferencia de
la tapa, su capacidad.
Para saber entre dos objetos cuál mide más al considerar una magnitud, en
ocasiones es posible realizar una comparación directa, por ejemplo, comparar la
longitud del paso de dos personas que están próximas. Si, en cambio, no están
en el mismo ámbito, la manera de comparar tendrá que ser indirecta, es decir,
comparando con otra longitud que sea común a ambas mediciones. Se usan, en
este caso, elementos intermediarios de diferentes tipos. Por ejemplo, para medir

9
En el apartado “La gestión de la clase”, en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”, explicitamos
cómo dar a los alumnos la responsabilidad de controlar la validez de sus producciones.
10
Otras actividades se pueden consultar en el artículo de Broitman e Itzcovich, “Geometría en los
primeros años de la EGB: problemas de su enseñanza, problemas para su enseñanza”, en
Panizza, 2003.

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102 Matemática 1

dos pasos de distinta longitud, se puede usar una soga y marcar ambas longitu-
des sobre ella. Otros intermediarios son los instrumentos de medida que tienen
señaladas en una escala diferentes unidades, como en el caso de una regla.
En este año/grado, se podrán proponer a los alumnos problemas para avan-
zar en la comparación de cantidades e iniciarlos en su medición. La práctica de
la medición efectiva es necesaria para comprender los diferentes aspectos liga-
dos a la medida, entre otros: qué unidad elegir, cómo medir, con qué instrumen-
to y cómo escribir la medida.

Plantear situaciones para comparar longitudes, pesos y capacidades
e iniciarse en su medición
Los niños pueden haber trabajado con situaciones de comparación directa de
medidas de longitud. Por ejemplo, cuando los niños se miden entre ellos para
establecer quién es el más alto del grupo, quién le sigue, etc. En la escuela habrá
que avanzar dándoles la oportunidad de resolver situaciones con objetos no
móviles (la puerta no es móvil y la mesa sí) que requieran la realización de una
comparación indirecta a partir de encontrar un elemento transportable que fun-
cione como intermediario para la comparación.
Por ejemplo, si se trata de saber si se podrá entrar en el aula una mesa rec-
tangular para exponer trabajos realizados en Plástica. Ante el planteo de este
tipo de situaciones, propiciaremos que los mismos niños discutan diferentes
alternativas para resolver el problema y, en lo posible, las lleven a la práctica. Tal
vez, en forma grupal, se tome la decisión de utilizar una soga y hacer una marca
sobre ella para comparar el ancho de la mesa y el ancho de la puerta del aula o
medir con alguna unidad de longitud menor que lo que se quiere medir, por
ejemplo, con lápices.
En el caso de elegir unidades como los lápices, es frecuente que se manifies-
te un modo de pensar propio de los chicos de esa edad. Los niños de 1er año/grado
suelen utilizar distintas unidades a la vez, sin verificar que sean de la misma lon-
gitud –distintos lápices, uno al lado del otro– , o transportan la misma unidad sin
considerar que cada vez deben partir desde el punto al que llegaron.
Otras situaciones que se ofrezcan darán lugar a que los alumnos realicen
mediciones de los mismos objetos o distancias con diferentes unidades, para
poder discutir con ellos las relaciones entre unidades y medidas. Por ejemplo, se
puede dividir la clase en dos equipos y plantear la siguiente cuestión: hay que
dividir el patio para que en cada parte juegue un equipo. Cada equipo tiene
que elegir un compañero para determinar la línea divisoria de un patio en dos
canchas. Para decidir dónde va la línea, los compañeros designados por cada
equipo tienen que partir de dos bordes opuestos del patio e ir caminando de

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Eje

Geometría 103
y Medida

modo que en cada paso, cada pie se ponga donde termina el otro, mientras
va diciendo “pan, queso, pan, queso, ...” la misma cantidad de veces hasta que
se encuentran. ¿A quiénes conviene elegir?
Con esta situación se busca que la discusión en los grupos se centre en la
relación entre la longitud de la unidad elegida y la distancia total: los pies de los
compañeros deben ser de la misma longitud para que las canchas sean iguales.
El siguiente registro de un intercambio entre el docente y los niños muestra
cómo piensan los niños sobre las mediciones. Se trata de una clase en la que el
docente plantea al grupo de chicos cómo hacer para que todos los pequeños
grupos tiren la pelota del juego de los bolos desde la misma distancia. Uno de
los alumnos plantea que todos los compañeros de los diferentes grupos se
saquen una zapatilla y las coloquen una detrás de la otra. Dado el alto nivel de
consenso que tiene la propuesta, el docente pide que lo hagan así. Cuando ter-
minan, el docente pregunta:

Docente: –Entonces, ¿desde dónde Doc.: –¿Después de cualquier
hay que pararse para no hacer esto zapatilla o bien siempre de la
cada vez que decidimos jugar…? misma?
(Luego de algunas dudas y respuestas Niño: –Las zapatillas no importan,
aleatorias, uno de los niños responde después de las zapatillas de todos.
dando cuenta de cierta lógica implícita Doc.: –¿Y si jugamos con nenes
en la resolución dada.) más grandes que tienen zapatillas
Niño: –Hay que pararse después de más grandes?
las zapatillas. Niño: –Sí, también.

En el ejemplo se advierte que los niños aún no consideran que la unidad de
medida debe ser la misma reiterada varias veces y sin superposición.11 Así, tam-
bién se puede observar la imposibilidad de considerar cómo influye en el resul-
tado de la medición la unidad utilizada: mientras más grande es la unidad utili-
zada, menor es la medida que se obtendrá ya que es menor la cantidad de veces
que entrará en la longitud que se está midiendo.

11
Es interesante destacar, tal como lo señalamos en el apartado “La gestión de la clase”, en
“Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”, que los errores y aciertos surgen en función de los
conocimientos del grupo.

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104 Matemática 1

Muchos niños apelan al uso de instrumentos convencionales ante la comple-
jidad planteada porque saben que así medimos los grandes, aunque no sepan
en profundidad qué están haciendo al usar un metro como instrumento de medi-
da. Es decir, dan una respuesta aproximada al problema utilizando el metro o una
regla como intermediario.
Será importante ofrecer a los niños variadas oportunidades para anticipar qué
instrumento de medición seleccionar en función del objeto que se pretende
medir. De este modo, frente al problema de la construcción del telón de un reta-
blo para hacer títeres, los alumnos deberán buscar el instrumento que permita
medir telas y, a la vez, considerar la necesidad de ir al negocio a pedir la cantidad
que se requiere, lo que vinculará a los niños con las unidades de medida conven-
cionales acordes con esta situación, desde el uso que de ellos hacen los adultos.

Una opción interesante es recibir la visita de algunas personas cuyo trabajo se
vincule con la solución de los problemas planteados y les muestre a los niños
tanto los instrumentos que utiliza como los procedimientos que lleva a cabo en
su oficio o profesión. Por ejemplo, podrán recibir la visita de un tendero para
que les muestre cómo y con qué mide las telas o cintas.

Otras visitas podrían dar lugar al planteo de nuevas preguntas sobre la medi-
da: un carpintero que debe arreglar una mesa o silla del aula, el vidriero que
reemplaza el vidrio roto del patio, un agrimensor que explique cómo mide un
campo o un técnico del INTA, cómo pesa semillas.
Si se consiguen, se pueden explorar en el aula diferentes balanzas que se
usan para pesar personas en diferentes contextos o, si se pueden visitar los
lugares donde se usan, se podrá pedir a los chicos que las dibujen para analizar
las diferencias y que realicen algunas mediciones del peso de diferentes obje-
tos o de ellos mismos. Por ejemplo, el tipo de balanzas que usa el médico para
pesar bebés es diferente de la que se usa para pesar niños y de las que se usan
en las farmacias. También las balanzas para pesar alimentos son diversas, entre
ellas, las de cocina y las que se usan en las carnicerías o verdulerías.

En síntesis, el trabajo alrededor de las medidas de longitud, peso y capacidad
en 1er año/grado considerará algunos aspectos propios de las comparaciones en
diversas situaciones en las que medir resulte absolutamente necesario. Se trata
de introducir a los niños en esta problemática, poner algunas ideas en discusión,
provocar algunas conversaciones para que expresen las propias. Plantearemos

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Eje

Geometría 105
y Medida

algunos problemas que les permitan a los niños construir el sentido de esta
práctica social a partir de variar los contextos en los que se requiera la medición,
analizando las magnitudes que se quieren tratar –qué se mide–, los instrumen-
tos que se utilizan –con qué se mide– y el proceso de medir trasladando siem-
pre la misma unidad convencional –cómo se mide.

Plantear situaciones para ubicarse en el tiempo y determinar duraciones
Los niños utilizarán el calendario como un portador de información en el que
están registrados los días del año. Podremos plantear problemas para interpre-
tar la información que contiene. Por ejemplo, dado un calendario individual que
pegarán en la última hoja de su cuaderno, señalarán fechas significativas para
el grupo, calcularán los días que faltan para un evento determinado (como
fechas de cumpleaños, días de excursiones), etc. También se puede promover la
identificación de los meses del año y su distinción entre los que son de vacacio-
nes de aquellos en los que hay clases. Para un mismo mes, identificarán el
número de semanas, los días de clase y los del fin de semana y los feriados.
Es importante tener presente este tipo de trabajo para no hacerlo muy aisla-
damente y con poca frecuencia; la idea es trabajar las cuestiones temporales
acompañando los diversos acontecimientos del año y de la vida escolar de nues-
tros alumnos.
Del mismo modo, para comenzar a incorporar el uso del reloj, conviene tener
uno en el aula. Su presencia genera la atención de los niños y favorece que
comiencen a interesarse por la lectura horaria. Para esto, el docente podrá inser-
tarlo como un objeto más que permite dar respuesta a algunos problemas que
se presentan cotidianamente. Por ejemplo, es habitual que los niños de primero
pregunten varias veces cuánto falta para irse a su casa o para el recreo, y el
docente podrá explicar qué se tiene que leer para saber cuándo llega ese
momento.12

12
Recomendación de lectura. Otras actividades de iniciación en la medida pueden encontrarse
en: Bressan (1999), La medida, un cambio de enfoque.

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EN DIÁLOGO
SIEMPRE ABIERTO

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108 Matemática 1

Las propuestas
y la realidad del aula

Para ampliar el repertorio y recrear las actividades

Al desarrollar el enfoque para trabajar en la clase de matemática, hemos insisti-
do en las elecciones que debemos realizar respecto de los tipos de problemas,
sus modos de presentación y su secuenciación. También hemos señalado que
la gestión de la clase será determinante respecto del sentido que los alumnos
construyen sobre las nociones matemáticas, tanto por las interacciones que el
docente promueva entre los alumnos y con las situaciones como por sus propias
intervenciones a lo largo del proceso de enseñanza.
Por otra parte, hemos planteado que es necesario incorporar, más allá de la
resolución de problemas, otras actividades, pues aquella no debiera ser el único
tipo de práctica matemática que funcione en el aula, ya que es fundamental que
las clases incluyan instancias de reflexión sobre lo que se ha realizado. En estas
instancias, podrán plantearse, por ejemplo, actividades de comparación de pro-
blemas realizados con la suma, o de comparación de diferentes estrategias para
resolver un cálculo, algunas acertadas y otras, no.
Para comparar problemas, es posible revisar lo trabajado en el cuaderno
durante una semana y señalar todos los problemas que se resolvieron con
sumas, para comparar los enunciados, encontrar semejanzas y diferencias y pen-
sar nuevos enunciados de problemas que podrían resolverse con esa operación.
Si un problema resultó complejo, puede ser conveniente volver a discutirlo,
buscar otras formas de resolverlo e intentar precisar por qué resultó difícil.
En el caso de querer comparar estrategias de cálculo, se puede recuperar el
repertorio de sumas cuyo resultado ya se ha obtenido y registrarlo a modo de
síntesis en un afiche que se cuelgue en el aula para luego utilizar esos resulta-
dos como ayuda para resolver otros cálculos. Entre ellos, se podrá señalar cuá-
les son los que ya se conocen de memoria y cada chico podría ir armando una
tarjeta con todos los cálculos que él sabe y, de este modo, tomar conciencia de
su progreso.

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109

Asimismo, en este apartado queremos avanzar sobre actividades que forman
parte de la tradición escolar: las tareas para el hogar. Estas tareas, pensadas
para que el alumno las desarrolle fuera de la escuela, renuevan su sentido en
relación con los aprendizajes prioritarios y con el necesario tiempo de apropia-
ción individual de los conocimientos trabajados en clase.
El estudio fuera de la clase requiere, de parte del alumno, un trabajo perso-
nal que se apoye en el deseo de progresar en sus conocimientos matemáticos,
y de parte del docente, el diseño de las tareas y su posterior recuperación en la
clase, otorgándoles un sentido dentro del proyecto de enseñanza.
La realidad compleja con la que hoy interactúa la escuela contiene factores
que pueden hacer difícil llevar adelante el estudio. Sin embargo, aun en este
escenario, es posible plantear alguna actividad desafiante para resolver fuera del
aula y luego discutir en clase los diferentes caminos que encontraron para res-
ponder la cuestión planteada. En este sentido, es imprescindible asegurarse de
que todos hayan comprendido cuál es el desafío que se propone para evitar la
creación de un obstáculo excesivo para el niño o para los adultos que lo acom-
pañan cuando realiza sus tareas y que podrían intervenir en una dirección dis-
tinta a la que pretende el docente. Habrá que ser muy claro para determinar si
la tarea debe hacerse con o sin ayuda y, en este último caso, precisar cuál es la
ayuda que se espera. En el caso de tener alumnos que no disponen de alguien
que los ayude o acompañe, sería deseable promover la organización de un espa-
cio a cargo, por ejemplo, de algún estudiante del profesorado que pueda asistir
en el contraturno.
Las actividades que se pueden plantear para realizar fuera de la clase tam-
bién podrán ser de distinto tipo. Por ejemplo, se podría seleccionar un conjunto
de cuentas ya resueltas y pedir la comparación de los números que intervienen
en los cálculos y los resultados para analizar semejanzas y diferencias y adver-
tir regularidades. O, también, proponer juegos de cartas y dados en los que inter-
vengan los números con los que se ha trabajado y que den lugar a la práctica
del cálculo mental.
En cualquier caso, recuperar lo producido fuera de la escuela supone mucho
más que “corregir” la tarea: se trata, en cambio, de organizar una nueva actividad
diseñada de modo que tome como punto de partida lo realizado fuera de la
clase. Esto permite que el alumno valore el tiempo que dedica para su estudio
individual como una instancia más de su proceso de aprendizaje.

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110 Matemática 1

Para construir espacios de debate

En todas las actividades, resulta importante prestar particular atención a aque-
llas intervenciones en clase que realizamos frecuentemente o con cierta siste-
maticidad dado que van marcando qué es, para los alumnos, hacer matemática.
En este sentido, es posible preguntarse cómo administramos los momentos de
trabajo colectivo y cómo aparece nuestra palabra en la clase.
El estilo más frecuente es asociarla al control de lo realizado en términos de
evaluación por lo correcto e incorrecto. Si es así, aun cuando solicitemos que se
expongan los resultados y procedimientos utilizados al resolver un problema
dado en clase o de tarea y se haga una lista de ellos en el pizarrón, queda depo-
sitado solo en el maestro dar o no por válido lo que los alumnos hicieron. Cuando
esto ocurre, es frecuente que los chicos no se muestren interesados en respon-
der las preguntas que formula el docente en ese momento de trabajo colectivo,
y la matemática sea vivida como una serie de reglas y definiciones predetermi-
nadas que hay que reconocer y aplicar.
Si, en cambio, la intervención del docente en la puesta en común intenta recu-
perar lo que los alumnos están haciendo y pensando para promover la discusión
alrededor de esas producciones, habrá un verdadero espacio de debate, una
situación genuina de comunicación en la que se intercambiarán distintos puntos
de vista para llegar a una conclusión aceptada por el conjunto de la clase. En
este caso, el trabajo se valida por la comunidad clase, y el maestro interviene
conduciendo el debate entre los chicos o introduciendo preguntas nuevas. Este
tipo de práctica requiere de un proceso de construcción a largo plazo que impli-
ca, entre otras cosas, escuchar al otro, establecer relaciones entre las distintas
afirmaciones de los demás y entre ellas, y lo que cada uno piensa. También
requiere poder expresarse con claridad creciente y aceptar el intercambio de
ideas y la necesidad de llegar a un acuerdo que puede coincidir o no con las pro-
pias ideas iniciales, así como la incorporación progresiva de algunas reglas para
discutir en matemática. Por ejemplo, el acuerdo de la mayoría no garantiza la
validez de una afirmación. Si esta práctica forma parte de lo que queremos ense-
ñar, es imprescindible comenzar a desarrollarla desde el Primer Ciclo, teniendo
en cuenta las características propias de los niños en esta etapa.
Las propuestas incluidas en este Cuaderno forman, sin duda, una pequeña colec-
ción de casos. Su uso en el aula dependerá de las decisiones que, al respecto, se
tomen en cada institución atendiendo tanto a los proyectos institucionales como a
las particularidades de cada grupo de alumnos, de la escuela y de la comunidad.

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Las propuestas 111
y la realidad del aula

En muchas ocasiones, la lectura y discusión de estos casos derivará, segura-
mente, no en la “aplicación” de los ejemplos analizados sino en nuevas propues-
tas adaptadas tanto a los conocimientos del grupo de alumnos como a la forma
de trabajo del docente que las desarrolle.
Al respecto, resultará muy interesante el debate que se genere en el equipo
de la escuela a propósito de su uso, los intercambios de lo ocurrido en las pues-
tas en aula con los colegas y la sistematización de las nuevas propuestas que
se puedan formular.
De la misma manera, la consulta de los materiales recomendados en la
Bibliografía permitirá ampliar la perspectiva presentada en este Cuaderno, mul-
tiplicar la variedad de propuestas y abrir nuevas preguntas sobre la enseñanza
de la Matemática.

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BIBLIOGRAFÍA

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Orientaciones didácticas para el Nivel Inicial – 2a parte: La serie
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Documentos curriculares para Nivel Primario – EGB 1 en Internet
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Se terminó de imprimir
en el mes de marzo de 2006 en
Gráfica Pinter S.A.,
México 1352
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