Matematica06

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Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología de la Nación
Cuadernos para el aula: Matemática 6. - 1a ed. - Buenos Aires:
Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007.
200 p.; 22 x 17 cm.

ISBN 978-950-00-0628-6

1. Formación Docente. I. Título
CDD 371.1

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Presidente de la Nación
Dr. Néstor Kirchner

Ministro de Educación, Ciencia y Tecnología
Lic. Daniel Filmus

Secretario de Educación
Lic. Juan Carlos Tedesco

Subsecretaria de Equidad y Calidad Educativa
Lic. Alejandra Birgin

Directora Nacional
de Gestión Curricular y Formación Docente
Lic. Laura Pitman

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología

Serie
Cuadernos para el aula
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Subsecretaría de Equidad y Calidad Educativa

Área de producción pedagógica Cuadernos para el aula
Coordinación y supervisión pedagógica general
Adela Coria

Equipo del Área de Matemática, de la Dirección Nacional de Gestión
Curricular y Formación Docente
Coordinación y supervisión pedagógica
Mónica Agrasar
Silvia Chara
Graciela Chemello

Autores
Yudith Murugarren
Olga Vírgola

Área de producción editorial
Coordinación de Publicaciones
Raquel Franco

Brenda Rubinstein, Asistencia de coordinación
Silvana Franzetti, Edición
Félix De las Mercedes, Corrección
Carolina Mikalef, Alejandro Luna, Dirección de arte
Geni Espósito, Coordinación gráfica
Alberto Caut, Diagramación
Mariana Pereyra, Gastón Caba, Eugenia Mas, Ilustración
María Celeste Iglesias, Documentación

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Presentación

En las décadas pasadas, diversos procesos económicos, sociales y políticos que
tuvieron lugar en nuestro país pusieron en crisis el sentido de nuestra democra-
cia. Aún la sociedad argentina es profundamente desigual a lo largo y a lo ancho
de nuestro territorio. Estamos realizando importantes esfuerzos en materia de
políticas públicas que revelan indicios alentadores en el proceso de contribuir a
revertir esas desigualdades. Pero ello no ha sido hasta ahora suficiente. Niñas,
niños y jóvenes son parte de una realidad donde la pobreza y la exclusión social
expresan todavía de manera desgarradora la enorme deuda que tenemos con
ellos y con su futuro.
Las brechas sociales se manifiestan también en la fragmentación de nues-
tro sistema educativo, en la desigualdad de trayectorias y aprendizajes, y en las
dificultades que enfrentan los docentes al momento de enseñar.
En las circunstancias más difíciles, las escuelas se sostuvieron como uno de
los lugares en los que se continuó albergando un sentido de lo público, res-
guardando las condiciones para que hayamos podido volver a pensar en la posi-
bilidad de un todos. Maestros y maestras redoblan sus esfuerzos, persisten en
la búsqueda de alternativas, y todos los días ponen en juego su saber en la cons-
trucción de nuevas prácticas.
Al reasumir desde el Estado la responsabilidad de acompañar el trabajo coti-
diano de los docentes, buscamos recrear los canales de diálogo y de aprendi-
zaje, afianzar los espacios públicos y garantizar las condiciones para pensar
colectivamente nuestra realidad y, de este modo, contribuir a transformarla.
Creemos que es preciso volver a pensar nuestra escuela, rescatar la impor-
tancia de la tarea docente en la distribución social del conocimiento y en la
recreación de nuestra cultura, y renovar nuestros modos de construir la igualdad,
restituyendo el lugar de lo común y de lo compartido, y albergando a su vez la
diversidad de historias, recorridos y experiencias que nos constituyen.


Serie
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Transitamos una época de incertidumbre, de cuestionamientos y frustracio-
nes. No nos alcanza con lo que tenemos ni con lo que sabemos. Pero tenemos
y sabemos muchas cosas, y estamos vislumbrando con mayor nitidez un horizon-
te alentador.
Como educadores, nos toca la inquietante tarea de recibir a los nuevos alum-
nos y de poner a disposición de todos y de cada uno de ellos nuestras mejores
herramientas de indagación, de pensamiento y de creación. En el encuentro que
se produce entre estudiantes y docentes reside la posibilidad de la transmisión,
con todo lo que ello trae de renovación, de nuevos interrogantes, de replanteos
y de oportunidades para cambiar el mundo en el que vivimos.
Lo prioritario hoy es recuperar y consolidar la enseñanza como oportunidad
de construir otro futuro.
Frente a ese desafío y el de construir una sociedad más justa, las escuelas
tienen encomendada una labor fundamental: transmitir a las nuevas generacio-
nes los saberes y experiencias que constituyen nuestro patrimonio cultural.
Educar es un modo de invitar a los niños y a los jóvenes a protagonizar la histo-
ria y a imaginar mundos cada vez mejores.
La escuela puede contribuir a unir lo que está roto, a vincular los fragmentos,
a tender puentes entre el pasado y el futuro. Estas son tareas que involucran de
lleno a los docentes en tanto trabajadores de la cultura. La escuela también es
un espacio para la participación y la integración; un ámbito privilegiado para la
ampliación de las posibilidades de desarrollo social y cultural del conjunto de
la ciudadanía.
Cada día, una multitud de chicos y chicas ocupa nuestras aulas. Cada día, las
familias argentinas nos entregan a sus hijos, porque apuestan a lo que podemos
darles, porque confían en ellos y en nosotros. Y la escuela les abre sus puertas.
Y de este modo no solo alberga a chicos y chicas, con sus búsquedas, necesi-
dades y preguntas, sino también a las familias que, de formas heterogéneas,
diversas, muchas veces incompletas, y también atravesadas por dolores y reno-
vadas esperanzas, vuelven una y otra vez a depositar en la escuela sus anhelos
y expectativas. Nuestros son el desafío y la responsabilidad de recibir a los nue-
vos, ofreciéndoles lo que tenemos y, al mismo tiempo, confiando en que ellos
emprenderán la construcción de algo distinto, algo que nosotros quizás no ima-
ginamos todavía.
En la medida en que nuestras aulas sean espacios donde podamos someter
a revisión y crítica la sociedad que nos rodea, y garantizar el derecho de todos
los niños, niñas, jóvenes y adultos de acceder a los saberes que, según creemos,
resultan imprescindibles para participar en ella, podremos hacer de la educación
una estrategia para transformarla.
La sanción de la Ley de Educación Nacional inscribe en el plano legal ese
sentido de apuesta por un futuro más justo, y plasma en sus principios y

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decisiones fundamentales, un fuerte compromiso de los Estados nacional y pro-
vinciales por construir ese horizonte de igualdad al que aspiramos como ciudada-
nos. La definición de los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios forma parte así de
una política educativa que, en la firme perspectiva de un mediano plazo, busca
garantizar una base común de saberes para todos los chicos del país. Detrás de
esta decisión, existe una selección deliberada de conocimientos fundada en apre-
ciaciones acerca de cuáles son las herramientas conceptuales que mejor con-
densan aquello que consideramos valioso transmitir en la escuela. También, una
intención de colocar la enseñanza en el centro de la deliberación pública sobre el
futuro que deseamos y el proyecto social de país que buscamos.
Es nuestro objetivo hacer de este conjunto de saberes y del trabajo en torno
a ellos una oportunidad para construir espacios de diálogo entre los diversos
actores preocupados por la educación, espacios que abran la posibilidad de
desarrollar un lenguaje y un pensamiento colectivos; que incorporen la experien-
cia y los deseos de nuestros maestros y maestras, y que enfrenten el desafío de
restituir al debate pedagógico su carácter público y político.

Lic. Alejandra Birgin Lic. Daniel Filmus
Subsecretaria de Equidad Ministro de Educación,
y Calidad Educativa Ciencia y Tecnología


Serie
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Para dialogar con los

La serie Cuadernos para el aula tiene como propósito central aportar al diálo-
go sobre los procesos pedagógicos que maestros y maestras sostienen cotidia-
namente en las escuelas del país, en el trabajo colectivo de construcción de un
suelo compartido y de apuesta para que chicos y chicas puedan apropiarse de
saberes valiosos para comprender, dar sentido, interrogar y desenvolverse en el
mundo que habitamos.
Quienes hacemos los Cuadernos para el aula pensamos en compartir, a tra-
vés de ellos, algunos “hilos” para ir construyendo propuestas para la enseñanza
a partir de los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. Así, estos Cuadernos bus-
can tramar algunos saberes priorizados en múltiples itinerarios de trabajo, dejan-
do puntas y espacios siempre abiertos a nuevos trazados, buscando sumar
voces e instancias de diálogo con variadas experiencias pedagógicas. No nos
mueve la idea de hacer propuestas inéditas, de “decir por primera vez”. Por el
contrario, nos mueve la idea de compartir algunos caminos, secuencias o recur-
sos posibles; sumar reflexiones sobre algunas condiciones y contextos especí-
ficos de trabajo; poner a conversar invenciones de otros; abrir escenas con múl-
tiples actores, actividades, imágenes y lecturas posibles.
Con ese propósito, el Ministerio Nacional acerca esta serie que progresiva-
mente se irá nutriendo, completando y renovando. En esta oportunidad, damos
continuidad a la colección presentando un nuevo libro para el Nivel Inicial y uno
para cada campo de conocimiento priorizado para el Segundo Ciclo de la
EGB/Nivel Primario: uno de Lengua, uno de Matemática, uno de Ciencias
Sociales y uno de Ciencias Naturales para cada año/grado. En tanto propuesta
abierta, los Cuadernos para el aula también ofrecen aportes vinculados con
otros saberes escolares. En esta oportunidad, se suma una propuesta para tra-
bajar en los dos primeros ciclos de la escolaridad primaria en el área Tecnología.
En todos los casos, siempre incluyendo reflexiones que traman los aspectos
específicos de las disciplinas escolares con reflexiones sobre temas pedagógico-
didácticos que constituyen renovadas preocupaciones sobre la enseñanza.
Sabemos que el espacio de relativa privacidad del aula es un lugar donde
resuenan palabras que no siempre pueden escribirse, que resisten todo plan:
espacio abierto al diálogo, muchas veces espontáneo, otras ritualizado, donde se
condensan novedades y rutinas, silencios y gestos, lugar agitado por preguntas

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o respuestas impensadas o poco esperadas, lugar conocido y enigmático a la
vez, lugar de la prisa. En esos vaivenes de la práctica, paradójicamente tan rei-
terativa como poco previsible, se trazan las aristas que definen nuestra comple-
ja identidad docente. Una identidad siempre cambiante -aunque imperceptible-
mente- y siempre marcada por historias institucionales del sistema educativo y
sociocultural más general; una identidad que nos hace ser parte de un colectivo
docente, de un proyecto pedagógico, generacional y ético-político.
Desde los Cuadernos para el aula, como seguramente podrá ocurrir desde
muchas otras instancias, nos proponemos poner en foco las prácticas desplega-
das cada día. En ese sentido, la regulación y el uso del tiempo y el espacio en el
aula y fuera de ella, las formas que asumen la interacción entre los chicos y chi-
cas, las formas en que los agrupamos para llevar adelante nuestra tarea, la mane-
ra en que presentamos habitualmente los conocimientos y las configuraciones
que adopta la clase en función de nuestras propuestas didácticas construidas
para la ocasión son dimensiones centrales de la vida en el aula; una vida que
muchas veces se aproxima, otras niega y otras enriquece los saberes cotidianos
que construyen los chicos en sus ámbitos de pertenencia social y cultural.
Queremos acercarnos a ese espacio de las prácticas con una idea importante.
Las propuestas de los Cuadernos para el aula dialogan a veces con lo obvio,
que por conocido resulta menos explorado. Pero al mismo tiempo parten de la
idea de que no hay saberes pedagógico-didácticos generales o específicos que
sean universales y por tanto todos merecen repensarse en relación con cada
contexto singular, con cada historia de maestro y de hacer escuela.
Este hacer escuela nos reúne en un tiempo en el que subsisten profundas
desigualdades. Nuestra apuesta es aportar a superarlas en algún modesto sen-
tido, con conciencia de que hay problemas que rebasan la escuela, y sobre los
cuales no podemos incidir exclusivamente desde el trabajo pedagógico. Nuestra
apuesta es contribuir a situarnos como docentes y situar a los chicos en el lugar
de ejercicio del derecho al saber.
Desde ese lugar hablamos en relación con lo prioritario hoy en nuestras
escuelas y aulas; desde ese lugar y clave de lectura, invitamos a recorrer estos
Cuadernos. Sabemos que es en el patio, en los pasillos, en la sala de maestros
y maestras y en cada aula donde se ponen en juego novedosas búsquedas, y
también las más probadas respuestas, aunque las reconozcamos tentativas. Hay
siempre un texto no escrito sobre cada práctica: es el texto de la historia por
escribir de los docentes en cada escuela.
Esta serie precisamente pretende ser una provocación a la escritura. Una escri-
tura que lea y recree, una escritura que discuta, una escritura que dialogue sobre
la enseñanza, una escritura que seguirá agregando páginas a estos Cuadernos.

El equipo de Cuadernos para el aula

Índice

12 Enseñar Matemática en el Segundo Ciclo
14 Palabras previas
14 Pensar la actividad matemática en la ciencia y en la escuela
15 Reconsiderar el sentido de la Matemática en la escuela
16 Priorizar un tipo de trabajo matemático
17 Elegir los problemas
18 Los contextos
20 Los significados
20 Las representaciones
21 Las relaciones entre preguntas y datos
22 Construir condiciones para resolver problemas
23 Las situaciones de enseñanza
24 La gestión de la clase
28 Evaluar para tomar decisiones
29 Avanzar año a año en los conocimientos de Segundo Ciclo
32 Articular el trabajo en la clase de 6º año/grado

34 Eje: Número y Operaciones
36 Los saberes que se ponen en juego
38 Propuestas para la enseñanza
38 Para analizar las relaciones entre los números y
entre las representaciones
41 Plantear situaciones para comparar cantidades y números
48 Plantear situaciones para analizar distintas
escrituras de un número
57 Plantear situaciones para analizar relaciones y
propiedades de los números
59 Para avanzar en el uso de las operaciones con distintos
tipos de números
62 Plantear situaciones para operar con distintos significados
y en distintos portadores
72 Plantear situaciones para analizar relaciones de proporcionalidad
84 Plantear situaciones para sistematizar relaciones numéricas
y propiedades de las operaciones
88 Plantear situaciones para analizar las relaciones
de múltiplo y divisor
99 Para avanzar en los procedimientos de cálculo
con distintos tipos de números
101 Plantear situaciones para elaborar y comparar diferentes
procedimientos de cálculo

105 Plantear situaciones para sistematizar estrategias
de cálculo
112 Para trabajar con la información
113 Plantear situaciones para establecer relaciones
entre datos e incógnitas
117 Plantear situaciones para obtener y organizar datos

122 Eje: Geometría y Medida
124 Los saberes que se ponen en juego
125 Propuestas de enseñanza
125 Para establecer y representar relaciones espaciales
127 Plantear situaciones para ubicar puntos en
un sistema de referencia
127 Secuencia para avanzar en el uso de coordenadas:
“ubicar posiciones”
133 Plantear situaciones para producir e
interpretar representaciones a escala
136 Para avanzar en el conocimiento de las figuras
y de los cuerpos geométricos
138 Plantear situaciones para comparar y describir
figuras y cuerpos
142 Plantear situaciones para construir figuras
con distintos procedimientos
147 Plantear situaciones para sistematizar propiedades
de figuras y cuerpos
153 Para avanzar en el conocimiento del proceso de medir
155 Plantear situaciones para estimar, medir y
expresar cantidades
170 Plantear situaciones para avanzar en la exploración
de relaciones entre perímetros y áreas
179 Plantear situaciones para analizar la escritura
de cantidades
183 Para trabajar con la información

184 En diálogo siempre abierto
185 Las propuestas y la realidad del aula
185 Para ampliar el repertorio y recrear las actividades
187 Para construir espacios de debate

190 Bibliografía

Enseñar
Matemática
en el Segundo Ciclo


Serie
14

Enseñar
Matemática
en el Segundo Ciclo
Palabras previas

Quienes enseñamos necesitamos revisar permanentemente qué hacemos y
para qué lo realizamos. Sabemos, por una parte, que cada una de nuestras expe-
riencias tiene características singulares e irrepetibles; así, cada año, un nuevo
grupo de alumnos nos plantea un desafío renovado. Por otra parte, los conoci-
mientos que enseñamos y nuestras estrategias de enseñanza también se modi-
fican; y son, además, cajas de resonancia de múltiples transformaciones y nece-
sidades que tienen lugar en la sociedad, en sentido amplio y, en particular, en los
campos de saber.
Por eso, en estas páginas volvemos sobre ciertos aspectos de la tarea de
enseñar que seguramente no son nuevos, pero sí centrales para promover mejo-
res aprendizajes.
Preguntarse qué significa aprender Matemática; qué se entiende por enseñar
mediante la resolución de problemas y qué se concibe como problema; analizar cómo
influye la gestión de la clase en el tipo de aprendizaje que logren los alumnos; estar
actualizado respecto de algunos avances de las investigaciones didácticas; todo ello
puede ayudarnos a realizar una relectura de las prácticas habituales, encontrar nue-
vos sentidos para lo que hacemos y reinventar así nuestras propuestas.

Pensar la actividad matemática en la ciencia y en la escuela

El conocimiento matemático, como ocurre con otros conocimientos y con las
producciones culturales en general, ha ido generándose y transformándose en
diferentes momentos históricos, en diálogo permanente con problemas que tie-
nen lugar en los distintos entornos sociales y culturales.
Cuando se quiere estudiar una determinada situación o interactuar con ella
desde la Matemática, se formulan preguntas que pueden referirse tanto al
mundo natural y social como a la misma Matemática. Para responderlas, se uti-
lizan modelos matemáticos conocidos o se elaboran conjeturas y se produ-
cen nuevos modelos. En todos, las conclusiones que se elaboran se interpretan
para determinar si responden o no a las preguntas planteadas inicialmente.

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Matemática 6
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También forma parte de este proceso mejorar la eficacia de los modelos que se

Enseñar Matemática
en el Segundo Ciclo
crean y de las formas de comunicar los descubrimientos, así como establecer
relaciones entre lo nuevo y lo que ya se conoce.
El proceso de construcción y las conclusiones resultantes tienen rasgos espe-
cíficos: un modo particular de pensar y proceder, y conocimientos con caracterís-
ticas particulares. Estos conocimientos permiten anticipar el resultado de algunas
acciones sin realizarlas efectivamente. Por ejemplo, para determinar de cuántas
formas distintas puedo combinar 5 entradas, 12 platos centrales y 10 postres
diferentes en un restaurante, es posible calcular el producto 5 x 12 x 10 sin
necesidad de armar las diferentes posibilidades y contarlas. Por otra parte, los
resultados se consideran necesariamente verdaderos si, para obtenerlos, se han
respetado reglas matemáticas. Por ejemplo, para la multiplicación planteada en el
problema anterior, se puede justificar que 5 x 12 x 10 = 5 x 2 x 6 x 10 = (5 x 2) x
x 10 x 6 = 10 x 10 x 6, aplicando propiedades de la multiplicación. En el mismo
sentido, al trabajar con figuras en Geometría es posible afirmar, aun sin hacer nin-
gún dibujo, que si se construye un cuadrilátero cuyas diagonales son distintas, este
no puede ser un cuadrado pues, si lo fuera, tendría sus diagonales iguales.
A la vez, la obtención de nuevos resultados conlleva la necesidad de crear un
lenguaje para comunicarlos. Los números, las figuras y las relaciones tienen
representaciones cuyo uso se conviene entre los matemáticos.
De esta manera, la actividad matemática en la ciencia está muy fuertemente
ligada a la resolución de problemas y a un modo particular de razonar y comu-
nicar los resultados.
Esta forma de trabajar en Matemática debería ser también la que caracterice
la actividad en el aula desde los inicios de la escolaridad. Se trata de que los
alumnos entren en el juego matemático, es decir, que se ocupen de producir
conocimientos nuevos (para ellos) frente a los problemas que se les planteen, y
que debatan para validarlos. Luego, con la intervención del maestro, los recono-
cerán como conocimientos que forman parte de la Matemática. Así, en la escue-
la, los niños deberían ser introducidos en la cultura matemática, es decir, en las
formas de trabajar “matemáticamente”.
Desde esta perspectiva, entendemos que saber Matemática requiere domi-
nar los conocimientos de esta disciplina para utilizarlos como instrumentos en la
resolución de problemas, y también para definirlos y reconocerlos como objetos
de una cultura.

Reconsiderar el sentido de la Matemática en la escuela

La concepción que cada persona se va formando de la Matemática depende del
modo en que va conociendo y usando los conocimientos matemáticos. En este
proceso, la escuela tiene un rol fundamental, ya que es allí donde se enseña y se


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aprende de un modo sistemático a usar la Matemática. El tipo de trabajo que se
realice en la escuela influirá fuertemente en la relación que cada persona constru-
ya con esta ciencia, lo que incluye el hecho de sentirse o no capaz de aprenderla.
Cuando la enseñanza de la Matemática, en lugar de plantearse como la
introducción a la cultura de una disciplina científica, se presenta solo
como el dominio de una técnica, la actividad en el aula se limita a reconocer,
luego de las correspondientes explicaciones del maestro, qué definición usar,
qué regla hay que aplicar o qué operación “hay que hacer” en cada tipo de pro-
blema. Se aprende qué hacer, pero no para qué hacerlo ni en qué circunstan-
cia hacer cada cosa. Esta enseñanza ha derivado en dificultades que ya cono-
cemos: por una parte, aunque permite que algunos alumnos logren cierto nivel
de “éxito”, cuando el aprendizaje se evalúa en términos de respuestas correc-
tas para problemas tipo, deja afuera a muchos alumnos que no se sienten
capaces de aprender Matemática de este modo. Por otra parte, lo así apren-
dido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata de
usar los conocimientos para resolver situaciones diferentes de aquellas en las
que se aprendieron.
Otras veces, la actividad en el aula incluye la resolución de problemas diversos, y
se pasa de uno a otro y a otro sin un trabajo reflexivo que vuelva sobre lo realizado.
Trabajar solo resolviendo problemas, sin explicar o fundamentar “matemáticamente”,
también es insuficiente. El trabajo que implica volver sobre lo realizado, por uno
mismo o por los compañeros, exige siempre una explicitación, un reconocimiento y
una sistematización del conocimiento que se pone en juego en la resolución de los
problemas, en las formas de obtenerlo y de validarlo. Sin este proceso, los conoci-
mientos matemáticos aprendidos en la escuela (las nociones y las formas de traba-
jar en Matemática) no tendrán, a futuro, las mismas posibilidades de reutilización, ya
que quedarían asociados a su uso en algunos casos particulares.
En síntesis, “cómo” se hace Matemática en el aula define, al mismo tiempo,
“qué” Matemática se hace, y “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que
plantea una disyuntiva central en relación con la construcción de las condicio-
nes que posibilitan el acceso a la Matemática de unos pocos o de todos.

Priorizar un tipo de trabajo matemático

Resulta pues vital que prioricemos en la escuela, desde el momento en que los
niños se inician en el estudio de la Matemática, la construcción del sentido de
los conocimientos por medio de la resolución de problemas y de la reflexión
sobre estos, para promover así un modo particular de trabajo matemático que
esté al alcance de todos los alumnos y que suponga para cada uno:
• Involucrarse en la resolución del problema presentado, vinculando lo que se
quiere resolver con lo que ya se sabe y plantearse nuevas preguntas.

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• Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus compañeros consi-

en el Segundo Ciclo
derando que los procedimientos incorrectos o las exploraciones que no los llevan
al resultado esperado son instancias ineludibles y necesarias para el aprendizaje.
• Discutir sobre la validez de los procedimientos realizados y de los resultados
obtenidos.
• Reflexionar para determinar qué procedimientos fueron los más adecuados o
útiles para la situación resuelta.
• Establecer relaciones y elaborar formas de representación, discutirlas con los
demás, confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notación con-
vencional.
• Elaborar conjeturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de ejemplos
o justificarlas utilizando contraejemplos o propiedades conocidas.
• Reconocer los nuevos conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos.
• Interpretar la información presentada de distintos modos, y pasar de una forma
de representación a otra según su adecuación a la situación que se quiere resolver.
• Producir textos con información matemática avanzando en el uso del vocabu-
lario adecuado.

Elegir los problemas

Estamos afirmando que el sentido de los conocimientos matemáticos se cons-
truye al resolver problemas y reflexionar sobre ellos. Esto nos plantea, en princi-
pio, algunos interrogantes centrales: ¿qué problemas presentamos?, ¿cómo con-
viene seleccionar el repertorio de actividades para un determinado contenido y
un grupo particular de alumnos?
En principio, la posibilidad de dominar una noción matemática con suficiente
nivel de generalidad como para poder utilizarla en distintas situaciones dependerá
de que la variedad de problemas considerados al estudiarla sea representativa de
la diversidad de contextos de uso, de significados y de representaciones asocia-
dos a la noción. También habrá que tener en cuenta que la noción que se quiere
enseñar surja como una “herramienta necesaria” para resolver el problema y no
como una definición que hay que aplicar, y que la presentación de la información
no fomente ideas estereotipadas acerca de los modos de resolución.
Consideramos que cada actividad constituye un problema matemático para
un alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conoci-
mientos matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del pro-
blema y, para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nocio-
nes que tiene disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones.
En este sentido, la actividad que puede resultar problemática para un alumno
no lo es necesariamente para otro, puesto que depende de los conocimientos
de que dispone. Así, para atender la heterogeneidad en cada grupo de alumnos


Serie
18

respecto de sus conocimientos iniciales y dar a todos la posibilidad de construir
una solución es necesario plantear buenas preguntas, confiar en que todos los
niños pueden responderlas de algún modo, admitir diferentes procedimientos y,
luego, trabajar con los conocimientos que surjan para avanzar hacia los que se
quiere enseñar por medio del planteo de nuevas preguntas.

Los contextos

Se parte de la idea de que una noción matemática cobra sentido a partir del con-
junto de problemas en los cuales resulta un instrumento eficaz de resolución.
Esos problemas constituyen el o los contextos para presentar la noción a los
alumnos. Por ejemplo, el cálculo de puntos en un juego, la construcción de una
figura, la elaboración de un procedimiento para realizar un cálculo son contex-
tos posibles para presentar la suma, los rectángulos o la propiedad conmutativa.
Para cada noción es posible considerar diferentes contextos que nos permi-
tan plantear problemas en los que la resolución requiera su uso. Estos contex-
tos podrán ser matemáticos o no, incluyendo entre estos últimos los de la vida
cotidiana, los ligados a la información que aparece en los medios de comunica-
ción y los de otras disciplinas.
Por ejemplo, la noción de multiplicación de decimales es frecuentemente trata-
da por medio de la resolución de problemas, como ¿Cuál es el precio de 2,5 kg
de carne sabiendo que el kg vale $ 8,7? En este caso, se trata de un contexto
no matemático de la vida cotidiana. También habrá que plantear que calculen
el área de un rectángulo de 2,5 de base y 8,7 de altura (expresadas en una
unidad arbitraria de longitud), que también requiere realizar una multiplicación.
En este caso se trata de un contexto matemático. En los dos casos, la multi-
plicación es el instrumento que resuelve el problema: la noción está contextua-
lizada y “funciona” en esos casos particulares.
En este sentido, al producir la solución, el alumno sabe que en ella hay cono-
cimiento matemático, aunque no logre identificar cuál es. Para que pueda reco-
nocerlo, tendremos que intervenir nombrando las nociones del modo en que se
usa en la disciplina y reformulando las conclusiones alcanzadas por el grupo con
representaciones lo más próximas posibles a las convencionales, es decir reco-
nociendo como conocimientos matemáticos los que se usaron como instrumen-
to de resolución, ahora independientemente del contexto. Asimismo, se podrán
relacionar esos conocimientos con otros que fueron trabajados anteriormente.
Al presentar cada noción en diferentes contextos, y descontextualizarla cada vez,
se amplía el campo de problemas que los alumnos pueden resolver con ella. De este
modo, con cada nuevo problema, los chicos avanzan en la construcción de su sentido.
En todos los casos, los contextos tendrán que ser significativos para los
alumnos, es decir que implicarán un desafío que puedan resolver en el marco de

Nap

Matemática 6
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sus posibilidades cognitivas y sus experiencias sociales y culturales previas.

en el Segundo Ciclo
Asimismo, los conocimientos involucrados en el problema deberán cobrar inte-
rés para ellos y ser coherentes desde el punto de vista disciplinar.
Al interactuar en su vida social, los niños aprenden las prácticas habituales de
cada comunidad y construyen saberes, algunos de los cuales están ligados a la
Matemática. Son estos saberes los que debemos recuperar en la escuela para
vincularlos con los conocimientos que deben aprender, ya sea para reconocer-
los como parte de ellos y sistematizarlos, como para utilizarlos en nuevos con-
textos. De este modo, es esperable que los alumnos puedan incorporar en su
vida cotidiana nuevas prácticas superadoras y valorar el aporte brindado por la
escuela para su adquisición.
Los resultados de investigaciones realizadas sobre el uso de conocimientos
matemáticos en situaciones de la vida cotidiana, como hacer compras de alimen-
tos, dan cuenta de los múltiples factores que determinan las decisiones que toma-
mos acerca de “cuánto” compramos y muestran que a veces no utilizamos
conocimientos matemáticos. Por ejemplo, tenemos en cuenta las preferencias o
necesidades de los integrantes de la familia y no solo la relación precio/cantidad
o restringimos la compra a la cantidad de dinero disponible. Al formular ese tipo de
problemas con propósitos de enseñanza, seleccionamos algunos datos que inter-
vienen en la situación o contexto real. Así, las relaciones que se establecen entre
los datos para encontrar la respuesta están más relacionadas con los conocimien-
tos que se quieren enseñar que con la situación real que da origen al problema.
Al elegir los problemas, también es esencial revisar los enunciados y las pre-
guntas que presentamos, pues muchas veces se incluyen preguntas que care-
cen de sentido en sí mismas, pues no aluden a problemas reales o verosímiles.
Por ejemplo, si en un enunciado se habla de la suma de las edades de dos her-
manos o de la cantidad de hormigas de dos hormigueros, cabe preguntarse
quién puede necesitar estos valores y para qué.
Un contexto muy utilizado en la clase de Matemática es el de los juegos. El
sentido de incluirlo va más allá de la idea de despertar el interés de los alumnos.
Jugar permite “entrar en el juego” de la disciplina matemática, pues se eligen
arbitrariamente unos puntos de partida y unas reglas que todos los participan-
tes acuerdan y se comprometen a respetar. Luego, se usan estrategias que anti-
cipan el resultado de las acciones, se toman decisiones durante el juego y se
realizan acuerdos frente a las discusiones.
No debemos perder de vista que, al utilizar el juego como una actividad de
aprendizaje, la finalidad de la actividad para el alumno será ganar, pero nuestro
propósito es que aprenda un determinado conocimiento. Por eso, el hecho de
jugar no es suficiente para aprender: la actividad tendrá que continuar con un
momento de reflexión durante el cual se llegará a conclusiones ligadas a los
conocimientos que se utilizaron durante el juego. Luego, convendrá plantear pro-


Serie
20

blemas de distinto tipo en los que se vuelvan a usar esos conocimientos: parti-
das simuladas, nuevas instancias de juego para mejorar las estrategias, tareas a
realizar con los conocimientos descontextualizados.

Los significados

Cada noción matemática resuelve un cierto conjunto de problemas; sin embar-
go, no tiene el mismo significado en todos los casos. Por ejemplo, el número
racional 3/4 es respuesta a distintos problemas. Veamos algunos: Si de 4 boli-
tas, 3 son negras, ¿qué parte de las bolitas es negra?; María tiene 3 tortas
para repartir en partes iguales entre sus 4 hijos, ¿cuánto come cada uno?; si
el segmento A mide 3 cm y el segmento B mide 4 cm, ¿cuál es la medida de
A en relación a B? En estos problemas se establecen diferentes relaciones
entre las cantidades involucradas. En el primer problema, 3 /4 representa la
relación entre una parte (en este caso subconjunto de cardinal 3) con el todo
(conjunto de cardinal 4). En el segundo problema, 3 /4 indica el resultado de
dividir 3 entre 4 (en este caso repartir 3 entre 4), mientras que en el tercer pro-
blema, indica la medida de un objeto, resultado de la comparación entre los
tamaños del segmento A y del segmento B.
Cada uno de estos significados exige y pone en funcionamiento aspectos diver-
sos del concepto de número racional y también de distinto orden de complejidad.
Esto obliga a pensar en cómo es posible organizar su abordaje en el tiempo.
A lo largo de su recorrido por el Segundo Ciclo, los alumnos deben ir traba-
jando con estos significados, pero a su vez en cada uno de ellos se requiere del
planteo de distintos problemas que permita tratar aspectos relativos al orden de
racionales, a la equivalencia, a la operatoria aditiva y multiplicativa. Esto indica
que para cada significado es necesaria la construcción de un conjunto de pro-
blemas de diferentes niveles de complejidad.

Las representaciones

En el conjunto de problemas que seleccionamos también es necesario tener en
cuenta las distintas representaciones posibles de la noción que queremos ense-
ñar, ya que la posibilidad de avanzar en la comprensión de una noción implica
reconocerla en sus distintas representaciones pudiendo pasar de una a otra y
elegir la más conveniente en función del problema a resolver.
Es importante señalar que, por ejemplo, cuando no se articulan las distin-
tas representaciones del mismo número racional, muchos niños conciben “las
fracciones” como objetos distintos de “los números decimales”. Para repre-
sentar un mismo número racional se pueden escribir las siguientes expresio-
nes: 1 + 1 / 2 ; 1 1/2; 3 / 2 ; 3 x 1 / 2 ; 1,5 y 1,50, utilizar la recta numérica,

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Matemática 6
21

establecer equivalencias con otras expresiones fraccionarias y decimales o

en el Segundo Ciclo
expresiones como: 1 + 5 x 1/10 o 150%. Sin embargo, y aunque podrían ser
usadas indistintamente en tanto refieren al mismo número, los contextos de
uso y las estrategias de cálculo suelen determinar la conveniencia de utilizar
una u otra representación.
Otras representaciones de las fracciones que suelen aparecer en las produc-
ciones de los alumnos son distintas formas gráficas, como círculos o rectángu-
los. En estos casos, deberían ser analizadas en el grupo, socializadas, para dar-
les un lugar entre los conocimientos construidos en la clase y, posteriormente,
incluirlas en las actividades que presentemos. El tiempo que aparentemente se
“pierde” en este trabajo de analizar las representaciones en función del proble-
ma que se está resolviendo, se “gana” en la significatividad que cobran para el
alumno. Del mismo modo, el uso o no de materiales “concretos” debería ser deci-
dido por el alumno en función de sus necesidades, que estarán ligadas al esta-
do de sus conocimientos.
Asimismo, en Geometría, para representar una figura se usan dibujos, textos
que describen el conjunto de propiedades que cumple e instructivos que permi-
ten construirla. Durante este Ciclo, habrá que propiciar discusiones acerca de las
características de estas distintas representaciones, y la transformación de una en
otra, para que los alumnos avancen en la conceptualización de los objetos mate-
máticos y los diferencien de sus representaciones. En este caso, el obstáculo fun-
damental es la identificación de una figura con un dibujo particular.
Al plantear los problemas, deberemos promover que la representación que cada
alumno utilice sea una forma de expresar lo que está pensando, y que el debate
posterior a las producciones sobre la pertinencia y economía de estas permita su
evolución hacia las representaciones convencionales. Que los alumnos vayan evo-
lucionando en el uso de las representaciones será una tarea a largo plazo.

Las relaciones entre preguntas y datos

Algunos de los problemas que se presentan y funcionan como contexto para utili-
zar una noción permiten trabajar lo que denominamos tratamiento de la informa-
ción. En estos casos, tanto para los contenidos del Eje “Número y Operaciones”,
como para el de “Geometría y Medida”, lo que se pone en juego es la relación entre
las preguntas y la construcción de datos para responderlas.
Muchas veces, detectamos que los alumnos intentan resolver un problema
aritmético buscando la operación que deben realizar para solucionarlo. Esa
forma de enfrentarse al problema está fomentada por la estructura y el conteni-
do de muchos enunciados que forman parte de la tradición escolar y por el tra-
tamiento que se les da en clase. En ellos suelen aparecer todos los datos nece-
sarios para responder a la pregunta que se hace y esta se refiere al resultado


Serie
22

de una operación entre ellos. En muchos casos, además, el maestro que ya
enseñó los cálculos propone a los alumnos que identifiquen “la” operación y
espera que resuelvan el problema sin dificultad.
La resolución de problemas requiere, en cambio, generar en los chicos la
necesidad de leer e interpretar el enunciado o la información que se presenta
para construir una representación mental de la situación que les permita plan-
tearse alguna estrategia inicial para su resolución. Esta necesidad se puede ins-
talar variando tanto la forma de presentación del enunciado como el tipo de
tarea que el alumno debe realizar, e incluyendo problemas que tengan una,
varias o ninguna solución.
Los enunciados pueden ser breves relatos o textos informativos de otra área
de conocimiento, tener datos “de más” e incluir imágenes. Las preguntas tam-
bién serán variadas: algunas no se podrán contestar, otras se contestarán con
un dato y sin operar, y otras requerirán hacer una operación, pero la respuesta
podrá ser una información diferente del resultado de la misma. También los
alumnos podrán proponer problemas, para lo cual se puede dar información y
pedir que formulen preguntas o presentar datos y respuestas para elaborar una
pregunta que los relacione. A la vez, tendremos que organizar la clase de modo
que cada alumno pueda interpretar el problema y tomar una primera decisión
autónoma a propósito de su resolución.
En Geometría, la tradición escolar solo incluye problemas para el caso de
cálculos de medidas, como el perímetro, la superficie y el volumen, y su trata-
miento es el mismo que el mencionado.
La propuesta de este enfoque es problematizar el trabajo con las construccio-
nes, considerándolas un medio para conocer las propiedades geométricas. En este
sentido, las actividades de reproducción de figuras permiten a los alumnos poner en
juego en forma implícita las propiedades involucradas y avanzar luego hacia otras
que requieran su explicitación. Además, en Segundo Ciclo es importante proponer
problemas con una, varias o ninguna solución, como por ejemplo determinar cuáles
son las figuras que cumplen un conjunto de condiciones iniciales.

Construir condiciones para resolver problemas

Para que cada alumno se involucre en el juego matemático, además de elegir un
problema desafiante pero adecuado para sus conocimientos, y en el que la
noción a enseñar sea un instrumento eficaz de resolución, es necesario tener en
cuenta un conjunto de condiciones: cuáles son los materiales necesarios, qué
interacciones prevemos derivadas de la forma de organizar la clase y nuestras
intervenciones durante su transcurso.
Cuidar estas condiciones, anticiparlas al planificar la clase es, en realidad, uno
de nuestros grandes desafíos como maestros.

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Matemática 6
23

en el Segundo Ciclo
Las situaciones de enseñanza

En algunas ocasiones, la tarea que se propone al alumno puede presentarse
solo mediante el enunciado de un problema o con una pregunta para un conjun-
to bien elegido de cálculos o con un interrogante que deba ser respondido a par-
tir de una información publicada en el diario o en un texto de Ciencias Naturales
o de Ciencias Sociales. En otras ocasiones, habrá que proporcionar los instru-
mentos de Geometría para realizar una construcción o los materiales para un
juego –por ejemplo dados y tablas para anotar puntajes–, el croquis de un reco-
rrido, un mapa, etc. En todos los casos, una primera condición es asegurarnos
de tener disponibles los materiales a utilizar.
También habrá que anticipar cuál es el tipo de interacciones que queremos
que se den para organizar distintos momentos de la clase: las de cada alumno y
el problema, las de los alumnos entre sí y las de los alumnos con el maestro. Para
ello, habrá que proponer, según convenga y de manera no excluyente, momentos
de trabajo en forma individual, en pequeños grupos o con toda la clase.
Los niños podrán realizar diferentes tareas. En algunas ocasiones, trabajarán
usando los conocimientos matemáticos de manera implícita, sin nombrarlos ni
escribirlos, por ejemplo, al medir, construir, decidir cómo jugar o calcular. En otras,
utilizarán los conocimientos matemáticos de manera explícita: tendrán que descri-
bir cómo midieron o calcularon, qué instrumentos usaron para construir y qué hicie-
ron en cada paso, o producirán un instructivo para que otro construya una figura o
realice un cálculo, explicarán por qué decidieron utilizar un procedimiento u otro,
cómo pueden comprobar que un resultado es adecuado. También darán razones
para convencer a otro compañero de que los números encontrados o las figuras
dibujadas cumplen con las condiciones del problema; tendrán que argumentar
sobre si un procedimiento es o no correcto. En otras oportunidades, será el maes-
tro el que presente una afirmación para que los alumnos discutan sobre su validez.
En Segundo Ciclo, es importante también que los alumnos comiencen a ana-
lizar el nivel de generalidad que tienen las respuestas a los problemas que
resuelven. Así, comprobar que se pueden obtener dos triángulos iguales plegan-
do un cuadrado de papel glasé no es suficiente para afirmar que las diagonales
de cualquier cuadrado son congruentes. Asimismo, habrá que descubrir y expli-
citar que algunas afirmaciones son verdaderas en un campo numérico, o para un
conjunto de figuras, y no lo son para otros. Por ejemplo, el producto de una mul-
tiplicación es mayor que cualquiera de sus factores, siempre que se opera con
números naturales, pero esto no es cierto si, por ejemplo, los factores son núme-
ros racionales menores que 1.
Al anticipar el desarrollo de la clase y prever las condiciones necesarias para
que ocurran las interacciones que nos interesan, diseñamos una situación pro-
blemática a propósito del conocimiento que queremos enseñar. Esta situación


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24

incluye un conjunto de elementos y relaciones que estarán presentes en la
clase: el problema, los materiales, una cierta organización del grupo, un desarro-
llo con momentos para distintos intercambios. Al planificar, también anticipamos
los diferentes procedimientos y las representaciones que podrán usar los alum-
nos, nuestras preguntas y las conclusiones matemáticas posibles.

La gestión de la clase

Hemos planteado ya que, para que los alumnos desarrollen el tipo de trabajo
matemático que buscamos promover, serán fundamentales las intervenciones
del docente durante la clase.
El trabajo de resolución de problemas que se propone en este enfoque gene-
ra muchas veces inseguridad. Pensamos: ¿cómo voy a presentar este problema
si no muestro antes cómo hacerlo?, ¿cómo voy a organizar la clase si cada uno
responde de una manera distinta? o ¿cómo voy a corregir si hay distintos pro-
cedimientos en los cuadernos? Respecto de la primera pregunta, para iniciar el
aprendizaje de un nuevo conocimiento en el proyecto de cada año escolar ten-
dremos que presentar un problema asegurándonos de que todos hayan com-
prendido cuál es el desafío que se les propone. Para que cada alumno acepte
ocuparse de él, es esencial generar el deseo de resolverlo. Este tipo de interven-
ción, que busca que el alumno se haga cargo de la resolución, es siempre parte
del inicio de la clase, pero puede reiterarse en distintos momentos, toda vez que
sea necesario y oportuno. Es una invitación para que el chico resuelva por sí solo
y no una orientación sobre cómo debe hacerlo o qué debe hacer.
Para comenzar, los niños lo resuelven de manera individual o en pequeños
grupos, con diferentes procedimientos, según los conocimientos de los que dis-
pone cada uno. Por ejemplo, en 4º año/grado, aunque aún no se haya trabaja-
do sobre las cuentas de dividir es posible plantear a los niños un problema como:
Los lápices se venden en paquetes de a 10, ¿cuántos paquetes se deben
comprar para dar un lápiz a los 127 niños de la escuela? ¿Y si fueran 250
niños? Los niños podrán recurrir a una variedad de procedimientos para resol-
verlo: procedimientos aditivos o sustractivos, de a diez, de a dobles; o procedi-
mientos multiplicativos.
Luego, habrá que dar lugar a un intercambio donde participen todos los
alumnos y en el que se vayan explicando las diferentes aproximaciones al cono-
cimiento que se quiere enseñar, y debatir sobre ellas. Al analizar las diferentes
soluciones, tendremos que valorizar de igual modo todas las producciones, ya
sea que permitan o no arribar a una respuesta al problema planteado.
Al dar lugar a la presentación y explicación de los procedimientos utilizados por
los chicos, es necesario animarlos a dar razones de lo realizado, a explicar
por qué lo hicieron de cierta forma, a argumentar sobre la validez de sus produc-

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25

ciones. Esto les permitirá volver sobre lo que han pensado, para analizar sus acier-

en el Segundo Ciclo
tos y errores, y controlar, de este modo, el trabajo. Alentarlos a hablar o participar
a aquellos que no lo hacen espontáneamente significa trabajar suponiendo que
los chicos pueden progresar y no que van a fracasar.
En algún caso, recuperar todas las producciones escritas distintas, y presen-
tarlas en conjunto para compararlas y discutir cómo mejorar cada una, puede
contribuir a “despersonalizar” las mismas, focalizando el análisis en su validez o
nivel de generalidad y no en los conocimientos de quienes las elaboraron. Así el
“error” de unos se capitaliza en la reflexión de todos.
Este trabajo incorpora a los alumnos en el proceso de evaluación en un lugar
diferente del habitual, donde quedan a la espera de la palabra del docente que
les ratifica de inmediato si lo que hicieron está bien o no. Si han asumido como
propia la tarea de resolución, querrán saber si lo producido es o no una respues-
ta a la pregunta que organizó el quehacer matemático en el aula. El debate del
conjunto de la clase dará por válida o no una respuesta, y llevará a la modifica-
ción de los procedimientos que conducen a errores.
En un comienzo, las razones que los alumnos den al debatir se apoyarán en
ejemplos, comprobaciones con materiales como plegar papeles o tomar medi-
das, entre otros casos, para luego avanzar hacia el uso de propiedades.
A la vez, estas últimas se enunciarán con distintos niveles de generalidad; por
ejemplo, pasaremos de: Podés hacer 4 + 3 y te da lo mismo que 3 + 4, en el Pri-
mer Ciclo, a: Al sumar es posible cambiar el orden de los números, en el
Segundo Ciclo.
Con la intervención del maestro, se reconocerán y sistematizarán los saberes
que se van descubriendo. Esta tarea de establecer relaciones entre las conclu-
siones de la clase y el conocimiento matemático al que se pretende llegar, intro-
duciendo las reglas y el lenguaje específicos, y entre los conocimientos ya incor-
porados y los nuevos, es una tarea que está siempre a cargo del maestro y que
resulta imprescindible para que los alumnos identifiquen qué han aprendido.
Para esto, no tenemos que basarnos en ningún esquema rígido. Esas interven-
ciones pueden darse en distintos momentos, siempre que sean oportunas; es
decir que lleguen después de que los alumnos hayan desplegado sus propios
razonamientos.
El camino propuesto no implica diluir la palabra del maestro. Cuando los
chicos están resolviendo los problemas solos o con su grupo, el maestro podrá
pasar cerca de cada uno, atendiendo lo que van haciendo, los términos que usan,
lo que escriben, quiénes no participan y quiénes siguen atentamente –aun sin
hablar– lo que hacen sus compañeros. De tal modo, el maestro tendrá un regis-
tro del conjunto de conocimientos que se despliegan en la clase. Esta informa-
ción será fundamental para tomar decisiones en el momento del debate: ¿qué
grupo conviene que hable primero?, ¿cuáles tienen una respuesta similar?,


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26

¿qué procedimiento es el más potente para hacer avanzar el debate hacia el
conocimiento que se espera enseñar? Esto permitirá optimizar el tiempo dedica-
do a la puesta en común, de manera que no resulte tediosa para los alumnos ya
que, cuando los procedimientos son muy similares, bastará con tomar como
objeto de análisis la producción de uno solo de los grupos.
El docente tampoco queda al margen del debate de la clase, puesto que es él
quien lo conduce. A veces, las conclusiones a las que los chicos llegan en con-
junto son parcialmente válidas. Allí, el maestro podrá decir, por ejemplo: Por ahora
acordamos que resolvemos así; en la próxima clase lo seguiremos viendo. De
esta manera, interviene en el proceso sin anticiparse, pero dejando marcas, plan-
teando la provisoriedad de lo acordado o alguna contradicción que queda pen-
diente por resolver. Así, no invalidaremos el trabajo de la “comunidad clase”, pero
dejaremos instalado que hay alguna cuestión que hay que seguir discutiendo.
En relación con el modo de organizar la clase frente a las distintas respues-
tas y tiempos de trabajo de los niños, los docentes muchas veces planteamos
situaciones para que sean resueltas por todo el grupo, lo que nos permite valo-
rar, corregir, hacer señalamientos a las intervenciones de los alumnos.
Es cierto que es más fácil llevar adelante el trabajo colectivo sobre un único
procedimiento, pero de este modo se corre el riesgo de que solo un grupo de
alumnos participe activamente siguiendo al maestro, mientras otros se quedan
al margen de la propuesta; y aunque todos lo siguieran, lo aprendido se limita a
una única manera de pensar.
La alternativa que proponemos a la organización habitual de la clase, según
nuestros objetivos, será armar la actividad de distintas maneras: individual, por
pares o grupos de más alumnos, y aun con distintos tipos de tareas para cada
grupo o dentro del mismo grupo, alentando la movilidad de los roles y estando
atentos a la posible configuración de estereotipos que, lamentablemente, algu-
nas veces hacen que la discriminación se exprese en la clase de Matemática.
Tanto los momentos de trabajo individual como los compartidos en grupo apor-
tan al alumno un tipo de interacción diferente con el conocimiento, por lo que
ambos deberán estar presentes en la clase.
Muchas veces, cuando estamos a cargo de un plurigrado, separamos a los
niños según el año/grado que cursan, y vamos atendiendo a un grupo por vez.
Sin embargo, a la hora de realizar adaptaciones a las actividades presentadas,
es importante tener en cuenta el enfoque de enseñanza, de manera de no per-
der la riqueza de las propuestas que ofrecemos. Por ejemplo, para alcanzar
determinados aprendizajes, es indispensable generar espacios de debate en
los que deberían participar alumnos que compartan repertorios de conocimien-
tos y niveles de análisis similares. Sin embargo, ocurre muy frecuentemente
que en estos escenarios haya solo uno o que sean muy pocos los alumnos en
alguno de los años/grados, lo que hace imposible organizar un verdadero deba-

Nap

Matemática 6
27

te entre ellos. En estos casos, proponemos agrupar niños de varios años/gra-

en el Segundo Ciclo
dos y organizar actividades con un contexto común, proponiendo una tarea dis-
tinta a cada grupo, de modo que los desafíos sean adecuados a los distintos
conocimientos de los alumnos. Esto permite que en el momento de la confron-
tación todos los alumnos puedan entender las discusiones que se generen e
incluso puedan participar de las mismas, aunque no sean originadas por la acti-
vidad que le correspondió a su grupo. Por ejemplo, se podría proponer para gru-
pos armados con niños de 4º, 5º y 6º años/grados un juego como “La escoba
del uno”1 de cartas con fracciones, diferenciando la complejidad a la hora de
analizar las partidas simuladas.
En esta propuesta, el cuaderno o la carpeta tiene diferentes funciones: en
él, cada chico ensaya procedimientos, escribe conclusiones que coinciden o no
con su resolución y, eventualmente, registra sus progresos, por ejemplo, en
tablas en las que da cuenta del repertorio de cálculos que ya conoce. De este
modo, el cuaderno o la carpeta resultan un registro de la historia del aprendiza-
je y los docentes podemos recuperar las conclusiones que los alumnos hayan
anotado cuando sea necesario para nuevos aprendizajes.
En este sentido, conviene además conversar con los padres que, acostumbra-
dos a otros usos del cuaderno, pueden reclamar o preocuparse al encontrar en
él huellas de errores que para nosotros juegan un papel constructivo en el
aprendizaje. De todos modos, es recomendable discutir con el equipo de cole-
gas de la escuela cómo se registra en el cuaderno la presencia de una produc-
ción que se revisará más adelante.
También el pizarrón tiene diferentes funciones. Allí aparecerá todo lo que sea
de interés para el grupo completo de la clase, por ejemplo: los procedimientos
que queremos que los alumnos comparen, escritos por un representante del
grupo que los elaboró o por el maestro, según lo que parezca más oportuno.
Convendrá usar también papeles afiche o de otro tipo para llevar el registro de
las conclusiones, como tablas de productos, acuerdos sobre cómo describir una
figura, etc., para que el grupo las pueda consultar cuando sea necesario.
Promover la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos en
el aprendizaje, de generar confianza en las propias posibilidades de aprender y
de poner en evidencia la multiplicidad de formas de pensar frente a una misma
cuestión, así como la necesidad de acordar cuáles se consideran adecuadas en
función de las reglas propias de la Matemática.

1
Actividad propuesta en este Cuaderno.


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Es muy importante instalar en la escuela las condiciones necesarias para que
los niños sientan que los errores y los aciertos surgen en función de los cono-
cimientos que circulan en la clase, es decir que pueden ser discutidos y validados
con argumentos y explicaciones. Es así como pretendemos que los chicos vayan
internalizando progresivamente que la Matemática es una ciencia cuyos resulta-
dos y progresos se obtienen como consecuencia necesaria de la aplicación de
ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no como una prácti-
ca de la adivinación o del azar o un saber que no sufre transformaciones.
De todos modos, sabemos que seleccionar problemas y secuencias de acti-
vidades que puedan ser abordadas por los alumnos de la clase con distintas
herramientas, e intervenir convenientemente para que todos puedan avanzar,
supone para nosotros una dificultad mucho mayor que la de presentar un pro-
blema que la mayoría resuelve de la misma manera. Quizá nos dé un poco de
tranquilidad saber que a trabajar en grupo se aprende y que, en el inicio de este
aprendizaje, hay que tolerar una cuota de desorganización, hasta que los alum-
nos incorporen la nueva dinámica.
Una cuestión ligada a la organización de la enseñanza que conviene tener en
cuenta es la de articular, en cada unidad de trabajo, algún conjunto de actividades
que formen una secuencia para desarrollar cierto contenido. El criterio que utilizamos
al presentar algunos ejemplos en el apartado “Propuestas para la enseñanza” es que
en cada nueva actividad de una misma secuencia se tome como conocimiento de
partida aquel que haya sido sistematizado como conclusión en la anterior.
Otra cuestión también ligada a la elaboración de una unidad de trabajo, y que
permite mejorar el uso del tiempo de clase, es la articulación de contenidos.
Algunos contenidos relacionados con distintos NAP pueden abordarse en una
misma unidad y aún en una misma secuencia. Por ello, es conveniente tener en
cuenta que la presentación de los NAP no indica un orden de enseñanza y que,
antes de armar las unidades, es indispensable tener un panorama de la totalidad
de la propuesta.

Evaluar para tomar decisiones

En cuanto a los objetivos con que presentamos los problemas, podemos plantear
distintas opciones: para introducir un tema nuevo, para que vuelvan a usar un cono-
cimiento con el que trabajaron pero en un contexto distinto o con un significado o
representación diferentes, o para recuperar prácticas ya conocidas que les permi-
tan familiarizarse con lo que saben hacer y lo hagan ahora con más seguridad. Pero
los problemas son también un tipo de tarea que plantearemos para evaluar.
Sin desconocer que cada maestro tomará decisiones de promoción y acre-
ditación en función de acuerdos institucionales y jurisdiccionales sobre criterios
y parámetros, queremos poner énfasis en la idea de que un sentido fundamen-

Nap

Matemática 6
29

tal de la evaluación es recoger información sobre el estado de los saberes

en el Segundo Ciclo
de los alumnos, para luego tomar decisiones que permitan orientar las estra-
tegias de enseñanza.
Las producciones de los niños dan cuenta tanto de los resultados derivados
de nuestras propias estrategias de enseñanza, como de lo que aprendieron y
de sus dificultades.
El modo de trabajo propuesto en estas páginas introductorias permite tomar per-
manentemente información sobre qué saben los chicos acerca de lo que se ha
enseñado o se desea enseñar. Los problemas seleccionados para iniciar cada tema
pueden funcionar para tener algunos indicios de los conocimientos del grupo y con-
siderarlos en un sentido diagnóstico para terminar de elaborar la unidad didáctica.
De este modo, la evaluación diagnóstica, en lugar de focalizarse en el inicio del año,
se vincula con la planificación de cada unidad y de cada secuencia de trabajo.
Al considerar las producciones de los alumnos, pueden aparecer errores de
diferente origen, pero muchas veces los que llamamos “errores” no son tales.
Algunos de ellos están vinculados con una distracción circunstancial, como copiar
mal un número del pizarrón que solo habrá que aclarar. Otros, en cambio, estarán
mostrando una forma de pensar provisoria, por ejemplo, cuando los chicos dicen,
frente al dibujo de un cuadrado, Esta figura no es un rectángulo. Esto último no
es cierto si se considera que el cuadrado es un paralelogramo con cuatro ángu-
los rectos, condición que caracteriza a los rectángulos. Sin embargo, las primeras
clasificaciones que realizan los niños parten de la idea de que un objeto pertene-
ce a una única clase: si una figura es un cuadrado, no puede ser un rectángulo.
Frente a los “errores” descubiertos será necesario analizarlos, intentar compren-
der cómo y por qué se producen y plantear actividades de distinto tipo. Tanto en el
caso de cuestiones presentes en las producciones de muchos alumnos del grupo
como respecto de algunas ideas provisorias como las mencionadas respecto de la
multiplicación de números racionales y de las relaciones entre cuadrado y rectán-
gulo, habrá que volver sobre la noción involucrada en ese momento, cuestionán-
dolos con ejemplos que contradigan sus ideas. No es evitando los “errores” como
se acorta el proceso de aprendizaje, sino tomándolos como se enriquece.

Avanzar año a año en los conocimientos de Segundo Ciclo

La mayoría de las nociones matemáticas que se enseñan en la escuela llevan
mucho tiempo de elaboración, por lo que es necesario delinear un recorrido pre-
cisando el punto de partida y atendiendo al alcance progresivo que debiera tener
el tratamiento de las nociones en el aula.
El Eje “Número y Operaciones” incluye como aprendizajes prioritarios, duran-
te el Segundo Ciclo, avanzar en el conocimiento del sistema de numeración y de
fracciones y decimales; y en el uso de las operaciones y las formas de calcular


Serie
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con naturales, fracciones y decimales para resolver problemas. Al finalizar el
Ciclo, se espera lograr que los chicos puedan analizar las relaciones entre las
distintas clases de números y sus distintas representaciones, iniciando la siste-
matización de relaciones numéricas y propiedades de las operaciones.
Para ello, en relación con los números naturales y según lo abordado en el
Primer Ciclo, en el Segundo Ciclo se parte de los conocimientos que los niños
tienen sobre las relaciones entre la serie numérica oral y la serie numérica escri-
ta hasta el orden de las unidades de mil y las vinculaciones entre la descompo-
sición aditiva y la descomposición aditiva y multiplicativa de los números (456 se
puede descomponer como 400 + 50 + 6 y como 4 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1)
para trabajar con números más grandes, analizando equivalencias de escrituras,
procedimientos de orden y comparación basados en distintas representaciones
y la conveniencia de una u otra, según el problema puesto en juego.
Con respecto a los números racionales, en 3er año/grado los niños han teni-
do aproximaciones a algunas fracciones y algunos decimales surgidas al abordar
situaciones del Eje “Geometría y Medida”. En 4º año/grado se usan expresiones
fraccionarias y decimales de los números racionales asociadas a contextos que
les dan significado, como el de la medida, el de sistema monetario, situaciones de
reparto y partición, para resolver problemas de equivalencia, orden, comparación,
suma y resta o producto por un natural. También se inicia el trabajo con proble-
mas en contexto matemático que se profundiza en 5º y 6º años/grados.
A partir de 5º año/grado, se aborda la equivalencia entre expresiones fraccionarias
y decimales, y se incluye la representación en la recta numérica. En 6° año/grado se
incorpora la escritura porcentual y se avanza en la transformación de una expresión
en otra, reconociendo además la conveniencia del uso de unas u otras según los pro-
blemas a resolver. Además, se inicia el reconocimiento de que las reglas del sistema
de numeración estudiadas para los naturales se extienden a los racionales.
Otro aprendizaje prioritario del Eje “Número y Operaciones” es el de las ope-
raciones básicas, tanto en relación con los problemas aritméticos que deben
resolver los niños, como con las formas de calcular. En Segundo Ciclo, es espe-
rable que los alumnos avancen en nuevos significados de la suma, la resta, la
multiplicación y la división de los números naturales, y que calculen en forma
exacta y aproximada con distintos procedimientos, incluyendo la construcción de
otros más económicos. Este trabajo contribuirá a lo largo del Ciclo a sistemati-
zar relaciones numéricas y propiedades de cada una de las operaciones.
En particular, se iniciará en 5º año/grado la explicitación de las relaciones
de múltiplo/divisor en la resolución de problemas, así como la relación entre
dividendo, divisor, cociente y resto en contextos matemáticos.
También comienzan a tratarse en forma sistemática las relaciones de pro-
porcionalidad, ligadas inicialmente a la operatoria multiplicativa y avanzando
hacia el análisis de sus propiedades. Los problemas que incluyen la representa-

Nap

Matemática 6
31

ción de un conjunto organizado de datos mediante gráficos estadísticos (gráfi-

en el Segundo Ciclo
cos de barras, circulares y de líneas) resultan de interés para enriquecer los con-
textos de uso de estas relaciones.
En relación con las formas de calcular, es importante considerar como inicio
del trabajo el uso de diferentes procedimientos en función de los conocimientos
disponibles de los alumnos sobre los números involucrados y sobre las operacio-
nes, antes de analizar y utilizar procedimientos más económicos.
La evolución de las formas de calcular con números naturales dependerá de
la disponibilidad que tengan los alumnos tanto del repertorio multiplicativo como
de las propiedades, de las intervenciones del docente, y de las comparaciones y
validaciones que se hagan de las distintas formas de calcular que conviven en
la clase. En particular, el cálculo escrito de la división debiera evolucionar desde
estrategias de sucesivas aproximaciones en 4º año/grado, hasta lograr aproxi-
maciones al dividendo en menos pasos.
La operatoria aditiva y la multiplicación por un entero con fracciones y deci-
males se inicia en 4º año/grado ligada a los contextos que le dan sentido. La
misma avanza en 5º y 6º años/grados, tanto con las expresiones fraccionarias
como con las decimales, con la intención de elaborar y comparar procedimien-
tos de cálculo para llegar a sistematizarlos.
Al hablar de tratamiento de la información en relación con los contenidos
del Eje “Número y Operaciones”, nos referimos a un trabajo específico que per-
mita a los alumnos desplegar en forma progresiva ciertas capacidades, como
interpretar la información que se presenta en diferentes portadores (enunciados,
gráficos, tablas, etc.), seleccionar y organizar la información necesaria para res-
ponder preguntas, diferenciar datos de incógnitas, clasificar los datos, planificar
una estrategia de resolución, anticipar resultados.
La lectura y organización de la información, así como su eventual recolección
a partir de experiencias significativas para los alumnos, se iniciará en 4º año/
grado y avanzará en el Ciclo en las formas de representación en gráficos, fina-
lizando en 6º año/grado con problemas que requieran tomar decisiones entre
distintas alternativas de organización y presentación de datos.
En el Eje “Geometría y Medida” incluimos el estudio del espacio. Las referen-
cias espaciales construidas en el Primer Ciclo se articulan progresivamente en
un sistema que permite ubicar los objetos en el espacio sensible, y en la repre-
sentación de ese espacio en el plano. En este Ciclo se avanza en el tamaño del
espacio que se representa y en las referencias que se usen, comenzando por la
elección de referencias por parte del alumno en 4º año/grado, y evolucionando
hacia la inclusión de representaciones convencionales en función de un sistema
de referencia dado, en 6° año/grado.


Serie
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En paralelo con el estudio del espacio, se estudian los objetos geométricos,
es decir las formas de dos y tres dimensiones. Para ello, es posible trabajar con
las figuras y los cuerpos sin relacionarlos necesariamente con objetos del
mundo sensible.
El avance de los conocimientos geométricos, en este Ciclo, no se plantea en
relación con el repertorio de figuras y cuerpos, sino en función de las propiedades
que se incluyan. Se inicia en 4° año/grado la consideración de bordes rectos o cur-
vos, número de lados y de vértices, ángulos rectos o no para las figuras, y de las
superficies curvas o planas, número y forma de las caras para el caso de los cuer-
pos. Para las figuras se avanza incluyendo el paralelismo de los lados y las propie-
dades de las diagonales. Se evolucionará también en el tipo de argumentaciones
que se acepten como válidas –desde las empíricas hacia otras basadas en propie-
dades–, lo que irá en paralelo con la conceptualización de las figuras como obje-
tos geométricos y con el uso de un vocabulario cada vez más preciso.
Los problemas del Eje “Geometría y Medida” en el Segundo Ciclo en princi-
pio funcionan como articuladores entre la Aritmética y la Geometría, porque
permiten atribuir sentido a los números racionales y cuantificar ciertos atribu-
tos de los objetos y de las formas. Los problemas reales de medición efectiva
de longitudes, capacidades, pesos y tiempo que se incluyan en cada año deben
permitir al alumno elaborar una apreciación de los diferentes órdenes de cada
magnitud y utilizar instrumentos para establecer diferentes medidas.
En este Ciclo se hace necesario, además, un trabajo profundo en relación
con los cambios de unidades. En 4º año/grado habrá que establecer, a propó-
sito de diferentes magnitudes, qué relación existe entre las unidades elegidas
y las medidas correspondientes. Luego, se hace necesario avanzar en la com-
prensión de la organización decimal de los sistemas de unidades del SIMELA,
lo que constituye un soporte interesante para la comprensión de la escritura
decimal de los racionales. En 6° año/grado habrá que explicitar las relaciones
de proporcionalidad involucradas en la expresión de una misma cantidad con
distintas unidades.

Articular el trabajo en la clase de 6º año/grado

Al organizar unidades de trabajo, es necesario tener en cuenta, además de las
decisiones didácticas que tome el docente, las vinculaciones matemáticas entre
las nociones que se enseñan y que tienen que ver con su origen y, por lo tanto,
con las características que le son propias.
El trabajo con los contenidos vinculados a “Número” y los vinculados a “Ope-
raciones” supone, tanto para los naturales como para las fracciones y decimales,
considerar relaciones de distinto tipo. El trabajo sobre numeración se relaciona
con el de cálculo, dado que los métodos de cálculo, redondeo, aproximación y

Nap

Matemática 6
33

encuadramiento están ligados a la estructura del sistema de numeración decimal.

en el Segundo Ciclo
Por su parte, las diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado dependen
del significado que se les da a las operaciones en los distintos contextos.
En relación con los contenidos vinculados a “Geometría” y los vinculados a
“Medida”, es necesario considerar que el estudio de las propiedades de las figu-
ras y los cuerpos incluye nociones de medida, por ejemplo, las longitudes de los
segmentos o las amplitudes de los ángulos.
A su vez, los contenidos de “Medida” se relacionan con los de “Número y
Operaciones”, ya que la noción de número racional, entendida como cociente
entre enteros, surge en el contexto de la medición de cantidades. Por lo tanto,
habrá que avanzar simultáneamente con la comprensión de los usos de los
números racionales y del proceso de medir.
En relación con las decisiones didácticas, solo señalaremos en este apartado
que los contenidos de tratamiento de la información son transversales a todas
las unidades de trabajo. Presentar la información de diferentes modos en los
problemas y variar la tarea, tanto en los problemas aritméticos como geométri-
cos, dará lugar a que los alumnos no conciban la idea de problema de una mane-
ra estereotipada, tanto en lo que se refiere a la forma de los enunciados como
a las formas de resolución y el número de soluciones a investigar.

nap El reconocimiento y uso de los números naturales, de expresiones decimales
y fraccionarias, de la organización del sistema decimal de numeración y la
explicitación de sus características.

El reconocimiento y uso de las operaciones entre números naturales,
fracciones y expresiones decimales, y la explicitación de sus propiedades


EJE
Serie

Número y
Operaciones

Los saberes que se ponen en juego

Para que los alumnos puedan aprender los saberes incluidos en los Núcleos de
Aprendizajes Prioritarios, en la escuela tendremos que proponer situaciones de
enseñanza en las que se pongan en juego distintos aspectos de estos. Se trata
de que los conocimientos matemáticos se introduzcan en el aula asociados con
los distintos problemas que permiten resolver, para luego identificarlos y siste-
matizarlos.
• Interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades y números tanto para
los números naturales como para fracciones y/o expresiones decimales y
eligiendo la representación más adecuada en función del problema a resolver.
• Argumentar sobre la equivalencia de distintas representaciones y descompo-
siciones de un número1.
• Comparar la organización del sistema decimal con la de otros sistemas,
atendiendo a la posicionalidad y a la función del cero.
• Comparar fracciones y/o expresiones decimales a través de distintos proce-
dimientos, incluyendo la representación en la recta numérica e intercalando
fracciones y decimales entre otros números.
• Analizar afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que diferencian los
números naturales de las fracciones y las expresiones decimales.

1
Se incluyen tanto las descomposiciones ligadas a la estructura del sistema de numeración como
la conversión de expresiones fraccionarias, decimales y porcentajes usuales (50 % = 1/2 = 0,5).

Nap

Matemática 6
37

• Operar seleccionando el tipo de cálculo y la forma de expresar los números

EJE
Número y
Operaciones
involucrados2 que resulten más convenientes en función de la situación y eva-
luando la razonabilidad del resultado obtenido.
• Elaborar y comparar distintos procedimientos –incluyendo el uso de la cons-
tante de proporcionalidad– para calcular valores de cantidades que se corres-
ponden o no proporcionalmente, evaluando la pertinencia del procedimiento en
relación con los datos disponibles.
• Explicitar las características de las relaciones de proporcionalidad directa.
• Analizar relaciones entre cantidades y números para determinar y describir
regularidades, incluyendo el caso de la proporcionalidad.
• Argumentar sobre la validez de un procedimiento o el resultado de un cálcu-
lo usando propiedades de las operaciones en distintos campos numéricos.
• Producir y analizar afirmaciones sobre relaciones numéricas vinculadas a la
divisibilidad y argumentar sobre su validez.
• Interpretar y organizar información presentada en textos, tablas y distintos
tipos de gráficos, incluyendo los estadísticos.
• Elaborar y comparar procedimientos3 de cálculo –exacto y aproximado, men-
tal, escrito y con calculadora– de multiplicaciones de fracciones y expresiones
decimales incluyendo el encuadramiento de los resultados entre naturales y
analizando la pertinencia y economía del procedimiento en relación con los
números involucrados.
• Sistematizar resultados y estrategias de cálculo mental para operar con
números naturales, fracciones y expresiones decimales.

2
Seleccionar la forma de expresar los números implica decidir si se va a operar con fracciones o
con expresiones decimales y, en este último caso, evaluar la cantidad de cifras decimales que se
necesitan para expresar el resultado en función de la situación.
3
Se incluye la comparación de procedimientos elaborados por los alumnos y de estos con otros,
como estimaciones, representaciones gráficas, uso de escrituras aditivas y/o multiplicativas o
equivalencias.


Serie
38

Propuestas para la enseñanza

En este apartado, intentamos precisar el alcance y el sentido de los conocimien-
tos que se priorizan en el Eje “Número y Operaciones” a partir de algunos ejem-
plos de actividades para desarrollar en el aula y de producciones de los niños.
Además, presentamos posibles secuencias de actividades que apuntan al apren-
dizaje de un contenido y muestran el tipo de trabajo matemático propuesto
desde el enfoque explicitado al inicio de este Cuaderno, en el apartado
“Enseñar Matemática en el Segundo Ciclo”.4

Para analizar las relaciones entre los números y entre las representaciones

Sin duda las concepciones numéricas constituyen una de las construcciones
cognitivas más importantes de la escolaridad. La apropiación de los conocimien-
tos numéricos es un proceso largo y complejo. Al respecto, Gerard Vergnaud,5
psicólogo dedicado al aprendizaje matemático, afirma:
Si las propiedades más elementales del concepto de número comienzan a
ser comprendidas a la edad de 3 o 4 años, la plena comprensión de los
números relativos (los enteros) y de los números racionales no está adquiri-
da para la mayoría de los alumnos de 15 años; y es bien claro que les queda
a los alumnos un largo camino por recorrer aún, para comprender todas las
propiedades de los números reales.
Es posible inferir entonces que la evolución, desde las primeras ideas intuiti-
vas que tienen los niños hasta el conocimiento de carácter algebraico que pue-
den lograr en algún momento de la escuela media, se desarrolla en un tiempo
prolongado. En este sentido, resulta valioso que las propuestas estén orientadas
a dar significado a los nuevos números que van apareciendo en las diferentes
etapas de la escolaridad.
Conocer los números implica no solo conocer los modos de referirse a ellos en
forma escrita u oral, es decir, sus representaciones (con símbolos numéricos, en la
recta numérica), sino también sus propiedades, las relaciones que pueden estable-

4
Recomendación de lectura: en reiteradas ocasiones se propondrán actividades a partir de lo
que se ha realizado el año/grado anterior. En los casos en que los chicos no hayan realizado
dicho trabajo u otro similar, es conveniente consultar Cuadernos para el aula: Matemática 5,
para que, en función de los conocimientos del grupo, el docente decida cómo adaptar la pro-
puesta que allí se incluye.
5
“L’appropriation du concept de nombre: un processus de lounge halaine”, en: Bideau, J., Meljac,
M. y Fisher J. P. (1991), Les chemins du nombre, París, Presses Universitaires de Lille.

Nap

Matemática 6
39

cerse entre ellos (de orden, aditivas o multiplicativas), cómo intervienen en los cál-

EJE
Número y
Operaciones
culos, cómo se usan en las operaciones que resuelven problemas y, más adelante,
el tipo de estructura que forman.
En este apartado, nos referiremos a los números naturales y racionales, sus
diferentes formas de representación y también a sus propiedades y las relacio-
nes de orden entre ellos. El número es un objeto matemático que remite a un
cierto número de relaciones lógico matemáticas y existen diferentes tipos de
números que permiten dar respuesta a diferentes tipos de problemas. Entre
ellos, los números naturales se comienzan a estudiar desde los primeros años
de la escolaridad primaria y los números racionales, abordados como fracciones
y como números decimales, se incorporan entre 3er y 4° año/grado.
Las formas de representación de los números con símbolos y las reglas para
combinarlos, es decir, los sistemas de numeración, son productos culturales. A lo
largo de la historia, distintos pueblos han producido sistemas de numeración con
diferentes símbolos y reglas. Entre ellos, el sistema de numeración decimal se
estudia desde el inicio de la escolaridad para representar, primero, los números
naturales y, luego, los números decimales. En consecuencia, en 6° año/grado ya
es posible reflexionar sobre sus características, comparándolo con otros sistemas.
Con respecto a los números racionales, una mirada sobre el origen de las
fracciones y de los decimales, para conocer qué problemas permitieron resolver
y cómo aparecieron sus representaciones numéricas, nos permitirá focalizar las
decisiones didácticas tomadas al proponer las actividades para el aula.
Las fracciones de numerador 1 ya se conocían en la Antigüedad. El proble-
ma de expresar las partes de un todo y la necesidad de medir cantidades con-
tinuas constituyeron para los antiguos egipcios el motor de la invención de las
fracciones, dado que los números naturales resultaban insuficientes.
Posteriormente, cuando se descubrió que al operar con ellos se cumplían las
mismas propiedades que en las operaciones con enteros, los matemáticos las
consideraron números.
Cuando se descubrieron las fracciones llamadas decimales, se advirtió poco
a poco que se podía utilizar la numeración de posición para expresar cantidades
menores que la unidad, introduciendo la coma para separar la parte entera de la
decimal. Esto permitió expresar esas fracciones sin dificultad y los enteros apa-
recieron como fracciones particulares: aquellas cuya representación no lleva nin-
guna cifra después de la coma. Casi a fines del siglo XVI, Simón Stevin publica
el primer libro de la historia que trata únicamente de los números decimales: La
Disme, que significa la décima. Esta obra, dirigida a todos los lectores de la
época que utilizaban números, como astrólogos, agrimensores y comerciantes,
tuvo como propósito mostrar que los cálculos y las medidas pueden simplificar-
se considerablemente con la utilización de los decimales. Para expresar cantida-
des menores que la unidad, Stevin propone fraccionar la unidad en décimas,


Serie
40

centésimas, milésimas, adoptando un criterio de posición, en lugar de usar los
denominadores para indicar las partes de la unidad. En consecuencia, cuando
hablamos de números decimales, nos referimos a los racionales, para los cuales
se puede encontrar una fracción decimal representante, cuyo denominador
es una potencia de 10. De esta manera, es posible utilizar un sistema de repre-
sentación decimal posicional, que sea equivalente al sistema definido para los
números naturales.
El interés por la representación decimal de las fracciones decimales se debe
a la posibilidad que ofrece esta forma de escritura de utilizar los algoritmos de
cálculo definidos para los naturales. Los números decimales se han convertido
en protagonistas de todos los cálculos debido a la disponibilidad creciente del
uso de las calculadoras.
En este sentido, uno de los propósitos de la enseñanza de las fracciones y los
decimales es que los estudiantes reconozcan ambos sistemas numéricos de

Efectivamente, aunque los numerales 0,75 y _ representan la misma cantidad,
notación como modos de representar los mismos conceptos, y que puedan

en algunos contextos es más fácil pensar en _ y en otros es más adecuada
determinar cuál es el que tiene ventajas en la utilización, según la situación.
3
4
3
4
la expresión decimal.
Además, en relación con los problemas que permiten resolver las fracciones
y los decimales, presentaremos algunos problemas de contexto extramatemáti-
co6, donde se deben expresar las partes de un todo y medir cantidades conti-
nuas, como se planteó en el origen de estos números, y otros problemas de con-
texto intramatemático que incluirán también la representación de los números
como puntos en la recta numérica.
En cuanto al establecimiento de relaciones de orden entre fracciones y deci-
males, deberemos precisar cuáles son los criterios que permiten determinar este
orden cuando se comparan distintos tipos de escrituras, pues para los niños que

tiene más cifras. O bien que _ no es el siguiente de _ , y esta situación se com-
intentan conservar y extender los conocimientos adquiridos en relación con los

_ . 5 idea de que no hay un
números naturales, no es fácil advertir que 0,0867 no es mayor que 1,2 aunque
4 3
5
1
plica aún más cuando se trata de comparar 1,5 y 5 La
racional que sea “el siguiente” de otro dado, supone un salto en la manera de
pensar y usar los números.

6
Recomendación de lectura: véase el apartado “Los contextos”, en “Enseñar Matemática en el
Segundo Ciclo” de este Cuaderno.

Nap

Matemática 6
41

La comprensión de los números racionales implica disponer de diversas

EJE
Número y
Operaciones
nociones relacionadas: fracciones, razones, decimales como así también una rica
y compleja variedad de situaciones de uso y formas de representación.
Asimismo, su comprensión implica concebir los números naturales como parte
de los racionales y, para ello, debemos saber qué ideas de las conocidas para
los naturales pueden extenderse al nuevo campo numérico y cuáles pueden
modificarse. Para que los alumnos adquieran estos conocimientos, es importan-
te proponer situaciones7 que permitan a los alumnos explorar, ensayar, buscar
nuevas estrategias y argumentos para validar su propio trabajo, con el propósi-
to de que vayan logrando cada vez un trabajo más autónomo.

Plantear situaciones para comparar cantidades y números

En Cuadernos para el aula: Matemática 5 se han presentado situaciones para
explorar y explicitar los límites de utilización de diferentes criterios de compara-
ción de fracciones y de fracciones con números naturales, cuando estas se
representan en forma numérica. Asimismo, se ha explicitado cómo comparar dos
racionales, cuando uno está representado como fracción y el otro como decimal.
En 6° año/grado, es interesante que las actividades para comparar cantidades
(expresadas con un número y la unidad correspondiente) y números incluyan tanto
las comparaciones de fracciones entre sí y con los números naturales, las de
números decimales entre sí y con los números naturales, como así también aque-
llas que implican comparar fracciones con números decimales y naturales. En
todos los casos, esas actividades estarán orientadas a que los alumnos elaboren
sus propias estrategias y propiciarán el planteo de distintas tareas, como ordenar
fracciones o números decimales, ubicar fracciones o decimales entre naturales o
intercalar una fracción entre otras dadas, o un decimal entre otros dados.
Una situación como la siguiente, ya planteada en años anteriores, puede pro-
vocar una discusión interesante acerca de las estrategias propias de compara-
ción de números decimales que utilizan los alumnos.

• Colocá el signo mayor, menor o igual según corresponda.
0,2 ....... 0,12
1,20 ........ 1,050
2,324 ....... 5,54

7
Recomendación de lectura: véase el apartado “Las situaciones de enseñanza”, en “Enseñar
Matemática en el Segundo Ciclo” de este Cuaderno.


Serie
42

Al corregir esta actividad en forma conjunta, es conveniente detenernos solo en
los resultados que no coinciden. En estos casos, promoveremos que, en sus
argumentaciones, los alumnos utilicen la ubicación en la recta numérica o se val-
gan de la posicionalidad de las cifras (décimas, centésimas, etc.).
Algunos chicos cometen errores cuando trasladan propiedades de los núme-
ros naturales a los números decimales. Por esto, es conveniente que al elegir los
pares de números a comparar, incluyamos aquellos que pueden poner en evi-
dencia algunos de estos errores8.
Para avanzar en la comprensión de los números decimales, podríamos pre-
sentar situaciones que promuevan el análisis y la reflexión de los conceptos a
partir de la problematización de estos errores. Por ejemplo:

• Un grupo de alumnos resolvió la actividad anterior, dando diferentes
argumentos para cada caso. Estos son dos argumentos. Analizalos y
respondé.
a) Ana dice que 0,2 es menor que 0,12 porque 2 es menor que 12.
¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?
b) Pedro y María no están de acuerdo en sus respuestas. Pedro quiere
convencer a María de que 1,20 es menor que 1,050.
¿Cuál creés que pudo ser el argumento que utilizó Pedro para convencer a
María? ¿Quién creés que tiene razón?

• ¿Estás de acuerdo con alguna de las siguientes argumentaciones? ¿Por qué?
a) Dos coma trescientos veinticuatro es mayor que cinco coma cincuenta
y cuatro porque tiene más cifras.
b) El número 2,324 es menor que 5,54 porque la parte entera 2 es
menor que 5.
c) 2,324 es mayor que 5,54, porque el 324 es mayor que el 54.

En la puesta en común de una actividad como la anterior, el docente podrá orientar
la discusión hacia cuáles son las estrategias válidas para comparar números deci-
males y cuál es la utilidad de pensar en la equivalencia de números decimales.
Otro recurso que resulta útil para comparar fracciones, y también para deter-
minar entre qué números naturales se encuentra una fracción y para encontrar
fracciones entre dos dadas, es la recta numérica. Sin embargo, es necesario

8
Recomendación de lectura: Panizza, M. (1997), “Aproximación al análisis del error desde una
concepción constructivista del aprendizaje”, en: Bressan, A. M. y otros (1997), Los CBC y la
Matemática, Buenos Aires, AZ.

Nap

Matemática 6
43

reconocer la dificultad que supone para los alumnos comprender este tipo de

EJE
Número y
Operaciones
representación9. La comprensión de la noción de recta numérica implica que los
alumnos construyan la idea de que un punto representa un número, y que ese
número representa, a la vez, la distancia al cero en la escala elegida, o bien la
diferencia entre ese número y cero. Por otro lado, tienen que ir aceptando la idea
de que a un número le corresponden diferentes escrituras y más tarde tendrán
que llegar a la generalización de que los números racionales equivalentes tienen
la misma ubicación en la recta numérica. Una ventaja de la representación lineal
es que las fracciones comienzan a “rellenar” los huecos dejados por los núme-
ros naturales en la recta numérica.
Dada la complejidad del trabajo con esta representación, posiblemente resul-
te beneficioso comenzar con situaciones de contexto extramatemático, para
luego presentar otras de contexto intramatemático. Los siguientes10 podrían ser
ejemplos del primer tipo de situaciones:

• En este dibujo se ha representado una ruta que va desde la ciudad C
hasta la ciudad M. A lo largo del camino, se han colocado carteles
indicadores de la distancia del cartel hasta la ciudad C.

¿Qué deberían decir los carteles ubicados en los puntos señalados?

a) la ciudad B, que se encuentra a 1 _ km de T.
• En este caso, está representada la ruta entre la ciudad T y la ciudad A.

_ km 3de T.
Teniendo en cuenta el cartel que indica 1 km, ubicá los carteles que indiquen:
2

1
b) la ciudad G, que se halla a 2 6

9
Recomendación de lectura: bajo el título “Juego de la tele”, en la página 42 del Cuadernos
para el aula: Matemática 4, se analiza el uso de la recta numérica como recurso para el encua-
dramiento de números naturales. Este constituye un antecedente útil que se puede retomar a
propósito del encuadramiento de números racionales.
10
Recomendación de lectura: estas situaciones son tomadas o adaptadas de las que se incluyen
en Sadovsky, P. (coord.), Lamela, C., Carrasco, D. (2005), Matemática. Fracciones y Números
decimales. 6º grado. Apuntes para la enseñanza. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires,
Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula.


Serie
44

El contexto de la ruta y la referencia de 1 km permitirá a los alumnos pensar en
la ubicación de los carteles en kilómetros enteros y fracciones de los mismos, a
partir de la representación gráfica.
En el contexto intramatemático, los conocimientos que es necesario invertir para
establecer cuál es el número correspondiente a una cierta posición en la recta pue-
den ser muy diversos y, como ocurre en otras situaciones, dependen de la informa-
ción que se dé y de la que se pide. Por ejemplo, en las siguientes situaciones, donde
hay que averiguar a qué números corresponden las siguientes letras.

• Encontrá los números “escondidos” en la recta numérica que sigue:

representa _ y está explicitada en la recta. Puede ser que, para descubrir el
En este caso, dado que la unidad está representada en la recta, la ubicación de
los “números escondidos” es bastante directa, ya que la división más pequeña

guen a asignarle a A el valor de _ . Luego, es probable que le asignen a B _ y
1
5

_ llegando al valor de C como 10 , que
_ 5
número que está escondido en A, los niños cuenten de quinto en quinto y así lle-
4 7
5
5
que al pasar por la unidad, la nombren 5 5

números naturales, como _ y 10 . Otros alumnos pueden considerar que la uni-
_
es equivalente a 2 enteros. En esta estrategia es importante la discusión que

_ ,5 entonces retrocederán un quinto para llegar a _ y
podamos impulsar respecto de las fracciones que se corresponden con los

_ , y luego al 10 ó 2. En estos casos, es importante en la
_
5
5
5 4
dad se corresponde con 5 5
7
avanzarán para llegar a 5 5
discusión establecer relaciones entre cada número natural con su expresión

_
fraccionaria equivalente.

_ o que A es 1 menos _ . En este último caso, podremos interve-
De igual forma, es posible que para descubrir C trasladen el segmento uni-
tario y encuentren que C es 2, sin que piensen en el 2 como 10 o que digan que
5

y analizar la expresión mixta de las fracciones mayores que la unidad (1 _ y _ ).
2 1
B es 1 más 5 5
nir recuperando los conceptos de fracciones menores y mayores que la unidad,
2 7
5 5
Cuando los alumnos formulen sus estrategias, es posible que muchas de ellas
se combinen, pero la riqueza de la actividad estará dada por la discusión que el
maestro puede plantear respecto de los contenidos que se fueron utilizando:
conteo de fracciones de igual denominador, expresiones fraccionarias que
representan enteros, expresión mixta de un número fraccionario, inclusión de los
naturales en los números fraccionarios, etc.

Nap

Matemática 6
45

Para complejizar la actividad, podríamos proponer a los alumnos que encuen-

EJE
Número y
Operaciones
tren un número que está escondido en la mitad, en la cuarta parte de A y 1, y
avanzar en la idea que entre dos puede haber otros.

• Observá esta recta y encontrá los números escondidos en A y en B.

En este ejemplo, el hecho de que la unidad no esté dividida en parte iguales
hace que la actividad sea más compleja (entre 0 y 1 está dividida en sextos y
entre uno y dos está dividida en cuartos). Además, no están presentes todas las
divisiones en cada unidad.

lo (0;1), que es _ . De igual manera, para B, en el intervalo (1; 2), hay que encon-
Para encontrar el número escondido en A, es necesario descubrir la parte que
representa de la unidad, es decir la menor división que se explicitó en el interva-
1
6
trar el valor de la parte en la que se dividió el entero. En estos casos, se juegan
relaciones que pueden ser expresadas como la tercera parte de la mitad es _ y 1
6

tando de mitad en mitad hasta llegar a _ , o bien contando de _ en _ hasta
la mitad de la mitad es un cuarto.

_ , lo que permitirá discutir sobre estas equivalencias. Puede ser que
Para encontrar el número escondido en B, puede ser que lo descubran con-
3 3 3
2 6 6

el 1 como cuatro cuartos, y que luego cuenten para llegar a _ o que vean al 2
9
llegar a 6

_ y que retrocedan para llegar a _ .
reconozcan que este intervalo (1; 2) está dividido en cuartos y que piensen en
6
4
8 6
como 4 4
En el momento de la confrontación, podremos proponer situaciones simuladas
que permitan discutir otras relaciones a partir de la situación anterior. Por ejemplo:

a) Pedro dice que en A está escondido _ .
_ y 1 se puede ubicar _ .
• ¿Qué opinás acerca de lo que dicen Juan y Pedro? Justificá tu respuesta.
1
3
1 3
b) Juan dice que entre 2 4

En el primer caso, se pretende que los alumnos busquen justificaciones utilizan-
do equivalencias de fracciones o que procedan trasladando el segmento OA y
así descubran que está contenido 3 veces en (0;1) y puedan ver, en la recta, que
a la tercera parte de la mitad le corresponde el mismo lugar en la recta que a la
sexta parte de un entero. En el segundo caso, nuevamente, se juega la idea de
intercalar una fracción entre otros dos números, pero se complejiza, porque esa
unidad ya está dividida en sextos. Si bien los alumnos pueden estar pensando


Serie
46

en la mitad del intervalo ( _ ;1), hay que hacer jugar la relación mitad de mitad.
Puede ocurrir que vean el 1 como _ y retrocedan un cuarto para decir que hay
1
2
4
4
tres cuartos o que superpongan las divisiones de la primera mitad del segmen-
to (tercios) a la división en cuartos.
Estas son otras actividades que podemos proponer para trabajar con la
recta numérica.

• ¿Dónde está el 0?

• ¿Dónde está el 1?

igual denominador, podrían variarse utilizando _ y _ ó _ y _ o combinar expre-
En la primera actividad, se propone que a partir de la información disponible
logren indicar donde está el 0. Si bien en este caso se presentan fracciones de
2 9 3 3
3 6 4 2
siones fraccionarias y decimales. Otra posibilidad es brindar como información
solo la ubicación de las dos fracciones, quedando a cargo de los chicos la ubi-
cación de la unidad para luego indicar donde está ubicado el 0.

representa _ de la unidad que no está marcada. En este caso, el numerador
En la segunda actividad, el problema está centrado en poder establecer que
el segmento del intervalo dado debe dividirse en ocho partes, y que cada parte
1
5
estaría informando que ese segmento contiene 8 de esas partes (quintos), que

nes de igual denominador o de diferente denominador: por ejemplo, entre _ y _
es necesario encontrar para identificar la unidad.

_ y _ . De manera similar, se podría proponer la misma actividad traba-
También podremos proponer que encuentren el 0 y el 1, dando dos fraccio-

_ _
1 5
4 4
1 3
o entre 2 4
jando con fracciones lejanas a la unidad, como 27 y 29 y pedir a los alumnos que
4 4
encuentren los dos enteros más próximos al número. Como puede observarse,
para resolver estas actividades los alumnos usarán distintos procedimientos
según la información disponible en cada caso.
Otra propuesta interesante para trabajar con la recta numérica es el
siguiente juego:

Nap

Matemática 6
47

“Un mensaje para cada punto”: ubicar puntos en la recta numérica

EJE
Número y
Operaciones
Materiales: cada equipo debe recibir dos hojas lisas, una en blanco para
escribir el mensaje y otra con dos rectas numéricas graficadas en las que
aparecen marcados los puntos 0 y 1 (a 12 cm de distancia) y un punto M o
P, incluido en dicho intervalo. Es importante que estos números representen
fracciones conocidas.
Organización de la clase: se dividirá en un número par de equipos,
integrados por 2 ó 3 alumnos. Cada equipo desempeñará los roles de
emisor y receptor, ya que debe enviar un mensaje y recibir otro.
Desarrollo: a la mitad de los grupos se le entrega la representación de
una recta numérica, donde se ha marcado el punto M. Y a la otra mitad se
le entrega la representación de una recta numérica donde se ha marcado
el punto P.
Pediremos a los alumnos que, en unos pocos minutos, escriban un mensaje
para que el otro grupo pueda marcar el punto que le indicarán, en el mismo
lugar. Dicho mensaje no puede incluir dibujos.
Cuando todos los alumnos terminan de escribir el mensaje, se lo entregan
al grupo receptor, quien tiene que marcar el punto M o el P.
Luego, los alumnos analizan si los puntos marcados por los equipos
receptores coinciden con los que tienen marcados los equipos emisores en
sus respectivas rectas. En caso de que no haya coincidencia, emisores y
receptores discutirán si la causa está en la interpretación del mensaje o en
la fracción explicitada en el mensaje.

A continuación, organizaremos una puesta en común en la que recuperaremos los
mensajes o soluciones al problema que consideremos más ricos para la discusión.
En aquellos casos en que hubo errores en los mensajes o en la interpreta-
ción, sería interesante que los pongamos a consideración de la clase, para rea-
lizar un análisis que permita establecer alguna conclusión con respecto a las
estrategias que conviene utilizar para decir qué fracción está representada en el
punto indicado (M ó P). Por último, propondremos que analicen los mensajes que
fueron bien elaborados por los emisores e interpretados por los receptores, ya
que permitieron marcar el punto en el mismo lugar.
Un tipo de actividad en la que los chicos pueden invertir la representación de
fracciones en la recta es la de comparar fracciones entre sí y con números natu-
rales. En estas actividades también convendrá recuperar los procedimientos
de comparación conocidos desde el año anterior. Para ello, podremos proponer
la comparación en forma abierta, con el fin de que los alumnos decidan, entre
los diferentes recursos de que disponen, cuál utilizar en función de los números
involucrados. Así, es posible proponer una actividad como la siguiente.


Serie
48

_y_ _y_ _y_
• Decidí cuál es la fracción menor en los siguientes pares de fracciones.

_y_ _ y_ _y_
2 4 106 3 5
3 5 8 4 8 12

3 5 5 6 65
5 7 11 13 107

En la puesta en común, será oportuno retomar los diferentes recursos de compa-
ración utilizados en cada caso (representar en la recta, ubicar las fracciones entre
los dos enteros más próximos y entre el entero y el medio más próximo, transfor-
mar en fracciones equivalentes de igual numerador o igual denominador) y dis-
cutir la conveniencia de su uso en función de los números involucrados11.

Plantear situaciones para analizar distintas escrituras de un número

Uno de los propósitos de la enseñanza de las fracciones y de los números deci-
males es que los alumnos reconozcan que ambos tipos de escritura son formas
diferentes de representar los mismos números. Es necesario que, en la ense-

chicos ya reconocen que 0,75 y _ representan la misma cantidad, a la hora de
ñanza de los decimales, se incluyan experiencias que lleven a los alumnos a

_ con otros números decimales como 0,743 ó 0,8, pueden pensarlo
establecer relaciones o conexiones entre los dos sistemas. Por ejemplo, si los
3
4
3
comparar 4
como 0,75 y valerse, entonces, de esta relación para determinar que 0,743 es
menor que 0,75 y que 0,8 es mayor.
El significado que el alumno da a un número se enriquece progresivamente a
medida que aumenta la cantidad de situaciones en que ese número tiene sen-
tido para él. Por ejemplo, el 0,1 puede surgir en el contexto de la medida para
materializar la décima parte del metro, para representar el resultado de repartir
1 entre 10, para aproximar el valor de una medida dividiendo una unidad cual-
quiera en 10 partes iguales, para escribir números menores que 1 al extender el
sistema de numeración, etc. Es importante que el alumno comprenda que el
objeto matemático (el número 0,1) es el mismo en todas las situaciones. En con-
secuencia, desde el trabajo del aula, es necesario que dediquemos especial
atención a presentar actividades que den lugar a que los niños conozcan los dis-
tintos significados de cada una de las representaciones utilizadas para los
números racionales.

11
Si bien todas estas actividades se presentaron con expresiones fraccionarias, las mismas pue-
den proponerse con escrituras decimales o combinando ambas representaciones.

Nap

Matemática 6
49

Los modos de representación son instrumentos para construir comprensión,

EJE
Número y
Operaciones
comunicar información y trabajar con ella. La utilización de diferentes modos de
representación para comunicar las ideas matemáticas y saber transformar una
en otra, permite que los niños aprendan a elegir formas alternativas de repre-
sentar sus ideas y poder decidir acerca de la validez de las representaciones uti-
lizadas por sus compañeros.

ción entre ambos. Por ejemplo, si los niños reconocen que _ es la misma can-
Para comprender la relación entre los dos sistemas de representación, la
fraccional y la decimal, es conveniente que las actividades favorezcan la traduc-

menos que _ y que 0,6 es un poco más que _ . Las actividades se centrarán en
1
2
tidad que 0,5 pueden utilizar esta relación para saber que 0,4 ó 0,45 es un poco
1 1
2 2
instalar y favorecer en los alumnos la significación que dan a los símbolos en las
escrituras y demás representaciones que utilizan.
Para favorecer el dominio de las diferentes formas de representación, es
posible proponer un juego como el que sigue.

“¿Qué parte?”: establecer relaciones entre distintas representaciones de
un número.
Materiales: papel para escribir mensajes y cuadrados de papel
cuadriculado de 10 x 10.
Organización de la clase: equipos integrados por 2 ó 3 alumnos, que
actuarán como emisores primero y como receptores luego.
Desarrollo: el docente entrega a cada equipo una tarjeta distinta con la
representación gráfica de una fracción. Por ejemplo:


Serie
50

Cada equipo tiene que escribir un mensaje con la expresión fraccionaria que
corresponda a la representación que recibió. Cuando todos los equipos terminan
de escribir el mensaje, cada uno lo entrega a otro, para que la represente
nuevamente en forma gráfica y, además, escriba la expresión decimal.
Luego, analizan entre los equipos si la representación gráfica realizada por
el equipo receptor es la misma o es equivalente a la que recibió el equipo
emisor al inicio de la jugada. En caso de error, emisores y receptores,
discutirán si la causa está en la escritura fraccionaria del mensaje emitido o
en la representación gráfica de los receptores. Además, podrán discutir si la
escritura decimal es la “traducción” de la fraccionaria.

En una puesta en común, los grupos expondrán las diferentes representaciones
que obtuvieron de un mismo número. Si hubiera errores, propondremos el análisis
necesario para que los alumnos los descubran. Es importante que los momentos
de confrontación permitan que los niños vayan avanzando en sus concepciones.

Nap

Matemática 6
51

Se puede jugar varias veces con distintas variantes, cambiando la represen-

EJE
Número y
Operaciones
tación del número elegido en la tarjeta que se entrega, en lugar de gráficos
incluir escrituras fraccionarias, o se pueden proponer también escrituras deci-
males o expresiones coloquiales. En estos casos, habrá que cambiar en la con-
signa la forma de representación que se usa para escribir en el mensaje, como
así también la que usarán los receptores al “traducir”.
Luego, como siempre después de un juego, conviene que propongamos
situaciones simuladas que permitan a los niños seguir enfrentando problemas
dentro de un contexto que conocen, en el que ya actuaron y que funciona con
reglas de las que ya se apropiaron. Un ejemplo es el siguiente.

• Cuando la maestra preguntó qué habían representado en la cuadrícula, los
chicos de un grupo discutían así:
Tomás dijo: –Yo representé una décima.
Javier, rápidamente aclaró: –Yo pinté el 10 %12.
Mayra expresó: –Yo pienso igual que Tomás, pinté 0,1 (cero coma uno).
Sofía afirmó: –A mí me parece que se trata de 0,10.
Antonio dijo: –Yo, en cambio, pienso que la representación corresponde a _ .
2
20
Discutí con tu grupo quién o quiénes tienen razón. Justifiquen sus
respuesta.

En la puesta en común que seguirá a esta actividad sería interesante establecer
discusiones acerca de que es posible representar un mismo número con dife-
rentes escrituras, así como la equivalencia entre las expresiones y alguna de las
representaciones gráficas asociadas (por ejemplo los décimos) se pueden ver
en el gráfico como la tirita de diez cuadraditos o cada veinteavo como una tirita
de cinco cuadraditos, etc. El material puede resultar útil, como soporte, para jus-
tificar las argumentaciones de los alumnos y reflexionar sobre los errores fre-
cuentes. Por ejemplo, si un alumno piensa que 0,10 es diferente a 0,1 porque
no tiene en cuenta la estructura global de la expresión numérica y considera las
cifras decimales como si fueran números naturales, la representación con mate-
rial le permitirá comprobar la equivalencia.
Otro tipo de situaciones que favorecería que los alumnos comiencen a inter-
pretar y dar significado a las diferentes representaciones y escrituras de canti-
dades podrían ser:

12
Es habitual que en el desarrollo de los contenidos de 6º año/grado se aborden primero los
números racionales y, luego, la proporcionalidad incluyendo el porcentaje como un caso especí-
fico de proporcionalidad. Por tanto, la relación con el porcentaje surgirá en la medida que se
haya trabajado el concepto previamente. El docente evaluará si puede adaptar esta actividad o
la presentará en el momento oportuno tal como está.


Serie
52

• Completá, en cada caso, el espacio en blanco para que cada escritura
corresponda al siguiente gráfico:

_
.. . .. _
. .. _
...
4 1000 20

veinticinco . . . 0, 2 . . . ... 5 %

• Controlá tus respuestas con un compañero. En los casos en los que no
coincidan, discutan hasta llegar a un acuerdo.

En estos casos, es posible cambiar la cantidad y la forma de la parte sombre-
ada, (siempre sobre la cuadrícula de 10 x 10 como soporte), para que los niños
tengan que cambiar las justificaciones, ampliando el significado de la cantidad
representada.

_ , o cambiar la cuadrícula por otra, por ejemplo de 4 x 4 (cuadrada o rectangu-
También puede resultar interesante, para que los niños avancen en la cons-
trucción de argumentos, que incorporemos otras fracciones, como por ejemplo
3
12
lar), esto les exigiría tener que explicar cómo hacer para ver los doceavos, las
centésimas, etc., utilizando las equivalencias entre las expresiones numéricas. Lo
mismo sucederá si incorporamos gráficos circulares.
Cuando los alumnos han realizado este tipo de actividades, es sumamente
valioso el momento de la puesta en común en la que se comunican los signifi-
cados atribuidos a las representaciones y el docente plantea la discusión para
que los alumnos avancen en la construcción de argumentos propios.
En este sentido, es importante tener en cuenta que para que los dibujos lle-
guen a ser representaciones, los alumnos deben darles significado. Por otra
parte, las representaciones no deben ser enseñadas como un fin en sí mismo,
sino como una herramienta para construir la comprensión y comunicar informa-

Nap

Matemática 6
53

ción. La construcción e interpretación de representaciones son dos actividades

EJE
Número y
Operaciones
que apoyan los procesos de comunicación y la construcción de imágenes
(representaciones internas). Comprender una representación incluye conocer
que puede haber diferentes interpretaciones asociadas.
Para llevar a los chicos a pensar en las diferentes formas de escribir un núme-
ro a partir de su expresión oral, es posible presentar situaciones simuladas como
la siguiente, en la que el análisis los llevará a validar soluciones correctas e iden-
tificar escrituras incorrectas de un número.

• La señorita dictó una serie de números. Entre otros números, dijo:
doscientos dos centésimos. Aquí aparecen algunas de las escrituras que
hicieron los chicos para ese número. Decidí cuáles son correctas y justificá
tu respuesta.
202
2,02 202,100 0,202
100
En este tipo de situaciones, es muy interesante la reflexión que se puede plan-
tear luego del análisis individual o de los grupos pequeños acerca del significa-
do de los centésimos y su relación con los décimos, los milésimos o la unidad,
que se pone de manifiesto al escribir un número decimal. Además, resultará
valioso que los alumnos formulen sus propias estrategias para escribir números
a partir del dictado. Para favorecer el dominio de las relaciones de equivalencia
entre las diferentes escrituras, es posible proponer juegos13 como el siguiente.

“Memotest de fracciones y decimales”: relacionar escrituras equivalentes.
Materiales: un mazo de 36 cartas con distintas escrituras numéricas, como
las que aparecen a continuación, lápiz y papel para anotar el puntaje.

13
Recomendación de lectura: para encontrar otras propuestas de juegos, se sugiere consultar
Chemello, G. (coord.), Hanfling, M. y Machiunas, V. (2001), El juego como recurso para apren-
der. Juegos en Matemática EGB 2 (Material para docentes y recortable para alumnos), Buenos
Aires, Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología (también en Internet) y Fuenlabrada, I.,
Block, D., Balbuena H., Carvajal, A. (2000), Juega y aprende Matemática. Propuestas para
divertirse y trabajar en el aula, Buenos Aires, Novedades Educativas.


Serie
54

Organización de la clase: cuatro jugadores o dos parejas.
Desarrollo: se colocan las cartas boca abajo, de modo que formen una
disposición rectangular. Por turno, cada jugador levanta dos cartas y se las
muestra al resto de los integrantes del grupo. Si reconoce en esas cartas
dos representaciones de un mismo número, lee en voz alta ambas tarjetas.
Si los otros tres integrantes acuerdan, entonces el que levantó se lleva las
cartas y se anota ese número como puntaje. Si alguien no acuerda, se

Nap

Matemática 6
55

discute en el grupo para ver quién tiene razón. Si la lectura de alguna de

EJE
Número y
Operaciones
las cartas es incorrecta, se anota la mitad del valor de la carta. Si el
integrante que levantó las cartas considera que estas no corresponden a
representaciones del mismo número, las vuelve a colocar en el mismo lugar,
boca abajo. En ambos casos, le toca el turno al compañero siguiente.
El juego finaliza cuando ya no quedan más tarjetas sobre la mesa. Para
determinar quién ganó, cada jugador suma los números que anotó como
puntaje. Gana el jugador que obtuvo la suma mayor.

Este juego propone a los alumnos utilizar procedimientos para que identifiquen
equivalencias entre diferentes escrituras de un mismo número racional. Mientras
los alumnos juegan, podremos recorrer los bancos observando las interacciones
de los chicos, respondiendo dudas, pero sin sugerir o indicar los procedimientos
que podrían utilizar. En caso de desacuerdo, es importante que promovamos, en
los pequeños grupos, la discusión y justificación de sus afirmaciones.
Cuando todos los grupos hayan terminado de jugar, organizaremos una pues-
ta en común con el fin de que los alumnos cuenten los procedimientos que uti-
lizaron para decidir si las dos cartas que levantaron representan el mismo
número. Formularemos preguntas, recuperando alguna de las discusiones que
hayamos escuchado al recorrer los grupos. Es importante que conozcamos los
procedimientos que usaron los chicos antes de la puesta en común, porque a
partir de sus producciones podremos hacerlos avanzar en sus conocimientos.
Una discusión interesante que podríamos plantear es cuáles fueron las escri-
turas usadas para anotar los puntajes de cada jugador. Probablemente, en la pri-
mera partida, aparecerán las distintas representaciones, lo que hace difícil la
suma. Por otro lado, es posible reflexionar respecto de cuál de las representacio-
nes facilita la suma. Por tanto, en nuevas partidas, los alumnos optarán por hacer
la conversión a medida que van registrando. Luego de la situación de juego, sería
interesante simular situaciones donde se problematicen cuestiones que lleven a
la reflexión acerca de los conocimientos puestos en juego. Por ejemplo:

que dio vuelta es _ ?
• ¿Qué cartas pudo haber levantado Juan para llevarse ambas, si la primera

• María levantó dos tarjetas cuyas escrituras eran: _ y 20 %, y se las lleva,
1
8

1
5
porque dice que son equivalentes. Juan estuvo en desacuerdo.
¿Quién tiene razón? Explicá por qué.

• La maestra les pidió que dibujen tres cartas diferentes de las que están
en el juego que representen 0,8. ¿Cuáles pudieron haber dibujado?


Serie
56

Con respecto a los números naturales, es necesario que los chicos puedan com-
parar diferentes escrituras pues esto contribuye, como ocurre con todos los
objetos matemáticos, a diferenciar determinado número natural y sus represen-
taciones, y también a reconocer la idea de que un sistema de numeración impli-
ca la elección de una forma particular de representación con símbolos y reglas
que le son propias.
Para ello, es posible incluir el estudio de otros sistemas de numeración, con
otros símbolos y otras reglas, como por ejemplo el sistema romano de numera-
ción, cuya enseñanza es parte de la tradición escolar y que tiene como interés
particular que su presencia aún persiste en el uso para numerar siglos, relojes y
volúmenes de colecciones de libros.
Sin embargo, desde el punto de vista de la caracterización del sistema deci-
mal, es más interesante su comparación con un sistema como el egipcio, que
tiene otros símbolos y otras reglas de combinación entre ellos. Para escribir un
número, es necesario considerar la suma de los valores de cada símbolo y saber
que se puede repetir hasta 9 veces, puesto que al tener 10 símbolos iguales, se
sustituyen por otro que los representa. Este es un sistema aditivo y decimal, y
dado que el valor de los símbolos no depende de la posición, el cero no se nece-
sita. Por ejemplo, 121.200 se escribe

100 + 100 + 1000 + 10.000 + 10.000 + 100.000

También es interesante comparar nuestro sistema con otro sistema posicional,
pero con símbolos y base diferentes al nuestro, como el sistema maya. En este
sistema, se empleaban tres símbolos básicos: el punto representaba una unidad,
la raya representaba cinco unidades y una concha representaba el cero.

10 18

Las cifras (puntos y rayas) se escriben por niveles, colocados verticalmente, y en
el nivel superior cada símbolo tiene un valor 20 veces mayor. Por ejemplo,

Nap

Matemática 6
57

EJE
Número y
Operaciones
20 220

El objetivo del trabajo con otros sistemas no se vincula con transformar a los
alumnos en “escritores de números en otros sistemas”, sino que apunta a refle-
xionar sobre las semejanzas y diferencias entre los sistemas. ¿Cuántos símbo-
los utiliza?, ¿de a cuántos se agrupan los elementos?, ¿tienen el cero?, si se
cambian las cifras de lugar, ¿cambia el número?, ¿hay alguna relación entre
la cantidad de cifras y el tamaño del número? o, lo que es lo mismo, ¿es cier-
to que a mayor cantidad de cifras el número es más grande?

Plantear situaciones para analizar relaciones y propiedades de los números

Luego de realizar actividades de ubicación de puntos en la recta numérica como
los propuestos en el apartado “Plantear situaciones para comparar cantidades y
números”, es posible plantear problemas que den lugar a discutir una diferencia
fundamental entre los números naturales y los números racionales. Mientras que
para los naturales se puede encontrar siempre el número siguiente, para los
racionales esta relación no existe, pues siempre es posible encontrar un nuevo
número racional entre otros dos que se elijan.
Para comenzar a discutir con los chicos esta cuestión, podremos comenzar
proponiendo una actividad de intercalación de números en la recta, como la
siguiente.

• En cada recta numérica, intercalá cinco números entre los números
indicados.


Serie
58

Los números propuestos se han elegido para que los alumnos empleen diferen-
tes estrategias para encontrar números que pueden intercalarse entre los dos
dados. Para el primer ejemplo, puede ocurrir que en las respuestas solo aparez-

En el caso de _ y _ , es posible que las transformen en fracciones equiva-
can números naturales, pero ya el segundo par de números los obliga a pensar

lentes de denominador cuatro ( _ y _ ), que las expresen como fracciones deci-
en fracciones o decimales.

_ y 50 ); o bien como expresiones decimales (0,25 y 0,50), y encuen-
_
1 1
2 4
1 2
4 4
25
males ( 100 100
tren otras fracciones comprendidas entre esas. En el cuarto par de números, se
hace necesario que piensen en las milésimas para poder justificar los números
que escriban. En estos dos últimos ejemplos, la recta numérica ofrece un sopor-
te que a veces es limitado desde el plano físico, pero que permite a los alumnos
pensar en la ampliación de la longitud con que se representa el intervalo numé-
rico, como acercando una lupa para incorporar más divisiones y como conse-
cuencia, la posibilidad de pensar en más números comprendidos entre otros dos.
Otra posibilidad es proponer actividades donde se presenten explicaciones
realizadas por otra persona sobre cuál es el número siguiente para analizar,
como por ejemplo:

• Ramiro dice que el siguiente de doscientos treinta y seis milésimos es
doscientos treinta y siete milésimos. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?

Es importante que en la puesta en común se plantee la discusión sobre las razo-
nes por las que se está o no de acuerdo con la explicitación de Ramiro. Esto
dará lugar a reflexiones sobre el límite de esta relación en los números raciona-
les. El límite, en este caso, está dado por cuál es la cantidad de cifras decimales
de los números que se consideran; efectivamente, si se consideran solo los
números decimales que tienen hasta tres cifras decimales, entonces 0,237 es
el siguiente de 0,236. Esta cuestión se vincula con las propiedades de “discre-
titud” para el conjunto de los números naturales y “densidad” para el conjunto de
los números racionales.
También habrá que discutir sobre las relaciones entre los números naturales y
los números racionales, por ejemplo, planteando cuestiones como la siguiente.

• Guillermo dice que un número natural siempre se puede escribir como una
fracción y también como un número decimal. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?

• Gabriela se pregunta si al revés es cierto. ¿Qué le contestarías?

Nap

Matemática 6
59

En la puesta en común14 es importante que los chicos, además de dar ejemplos

EJE
Número y
Operaciones
de números naturales escritos como fracción y como decimal, y de responder a
las preguntas del docente respecto de otros ejemplos con números alejados de
los de los ejemplos que aparecieron, expliciten las razones por las que piensan
que Guillermo tiene razón. En este sentido, podrían decir, por ejemplo, que siem-
pre que una fracción tenga el numerador y el denominador iguales será igual
a 1 y que si el numerador es múltiplo del denominador, al simplificar queda
un número natural. Con respecto a la escritura como número decimal, si bien es
posible, en muchas ocasiones no tiene sentido usarla. Sin embargo, cuando se
plantea un cálculo de resta entre un número natural y uno decimal, como 4 – 2,55
se suele escribir el 4 como 4,00.
Con respecto a la respuesta a la pregunta de Gabriela, además de los ejem-
plos de fracciones y decimales que no se pueden escribir como naturales, se
puede discutir si con esos ejemplos alcanza para afirmar que no es cierto que
siempre un número decimal o una fracción se puede escribir como un número
natural. Es decir, comenzar a hacer circular en la clase la regla según la cual un
contraejemplo alcanza para asegurar la falsedad (no es cierto) de una afirmación
(siempre un número decimal o una fracción se puede escribir como un número
natural). Asegurar que “siempre se cumple” es afirmar que es cierto para “todos”
los números decimales y fracciones, y esto es cierto solo en algunos casos.
Una formulación de la conclusión a la que se pretende arribar con esta acti-
vidad es que todo número natural se puede escribir como racional, pero la
inversa no es cierta. Sin embargo, habrá que considerar que esta es una formu-
lación general y que, en muchas ocasiones, no es planteada ni comprendida
como tal por los alumnos de 6o año/grado.

Para avanzar en el uso de las operaciones con distintos tipos de números

Los alumnos irán construyendo el significado de las operaciones en la medida que
tengan la oportunidad de trabajar con problemas en diferentes contextos donde
las mismas cobren sentido. Al respecto, Ronald Charnay15 plantea lo siguiente:
haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resol-
ver problemas es como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo
después, estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas.

14
Recomendación de lectura: véase el apartado “La gestión de la clase”, en “Enseñar
15
Recomendación de lectura: véase Charnay, R. (1994), “Enseñar matemática a través de la
resolución de. problemas”, en: Parra, C. y Saiz, I. (comps.) (1994), Didáctica de las Matemáticas.
Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós.


Serie
60

En el caso de las operaciones, deberemos tener en cuenta, para cada una, distin-
tos aspectos con el fin de dar oportunidad a los alumnos de construir su sentido.
Así, los niños deberán tener conocimientos disponibles para:
• reconocer en qué situaciones esa operación es una herramienta útil para
resolverla, y también reconocer sus límites, es decir reconocer en qué situacio-
nes no es una herramienta adecuada de resolución;
• establecer relaciones entre los diferentes significados de esa operación;
• elegir las estrategias más económicas según el problema que esté resolviendo;
• decidir qué procedimiento utilizar para realizar los cálculos y
• utilizar mecanismos de control sobre los resultados.
La propuesta de trabajo con operaciones de 6o año/grado deberá contemplar
los campos de problemas aditivos y multiplicativos incluyendo problemas que
involucren tanto cantidades discretas (que se expresan con naturales) como
continuas (que se expresan con fracciones y decimales). En principio, debere-
mos retomar brevemente los problemas aditivos (que se resuelven con sumas
y/o restas) y centrarnos más ampliamente en la resolución de problemas del
campo multiplicativo (que se resuelven con la multiplicación y división), que dan
lugar a la aparición de los números racionales. Este campo incluye problemas de
producto de medidas, proporcionalidad, combinatoria, reparto e iteración
(repetir una cantidad cierto número de veces), así como aquellos que, funda-
mentalmente en contextos intramatemáticos, dan lugar a la puesta en juego de
las propiedades de las operaciones y las relaciones de divisibilidad.
Los números racionales aparecen en el campo multiplicativo considerando los
distintos significados de la división. Así, los problemas que incluyen magnitudes
continuas en contextos de medida plantean la necesidad de incorporar fraccio-
nes y expresiones decimales. Por otra parte, la comprensión de estos números
aporta a la comprensión de las operaciones aritméticas con ellos.
En cuanto a los números racionales y sus operaciones, es fundamental
tener en cuenta que su aprendizaje supone una “ruptura” con lo que el niño
sabe hasta el momento, dado que al resolver problemas con este tipo de
números no siempre pueden usar los mismos procedimientos que usaban con
los naturales. Por ejemplo, falla el conteo de colecciones que utilizaba con los
números naturales y que está en la base de la suma y de la multiplicación con
esos números, porque en este nuevo campo numérico no hay un número
racional siguiente a otro dado y, además, la idea de multiplicación no está aso-
ciada a la de “veces”. Asimismo, trabajar con números grandes o con números
menores que la unidad, en determinadas situaciones, hace que resulte más
difícil el control sobre los resultados o la significación de los mismos. Sabemos
que la multiplicación 0,5 x 2 = 1 da un resultado menor que uno de los facto-
res (1 > 0,5 y 2 > 1) y esto pone en cuestión el sentido de la multiplicación
que se construyó con los números naturales. Es decir, que la práctica y el dis-

Nap

Matemática 6
61

curso que se ponen en juego con los números racionales suponen un salto

EJE
Número y
Operaciones
importante en la manera de pensar y usar los números, y esto origina dificul-
tades en muchos alumnos.
Para que los chicos puedan construir significados de las fracciones y de
los números decimales, tendrán que apoyarse en una red de conceptos que
se relaciona con la reconstrucción de la unidad, la comparación de partes con-
gruentes, el valor de posición del sistema de numeración decimal (para los déci-
mos, centésimos, milésimos) y la correspondencia entre diferentes escrituras de
un número (expresiones decimales, porcentuales, fraccionarias). Esto les dará la
posibilidad de realizar apreciaciones sobre la razonabilidad de resultados al
resolver problemas, generar algoritmos convencionales y relacionar fracciones y
decimales con las propiedades de las operaciones.
Al trabajar en el campo de las fracciones y decimales también es preciso
tener en cuenta que, para los alumnos, operar con magnitudes continuas supo-
ne una representación mental menos inmediata de la situación que operar con
magnitudes discretas en el campo de los naturales. Hay magnitudes continuas
que admiten una medición directa, como la longitud, la capacidad y el peso, y
otras magnitudes cuyo tratamiento es más complejo, como en el caso de la
superficie o de la velocidad. La superficie, si bien puede medirse directamente,
también puede calcularse como el producto de dos magnitudes y la velocidad
surge como el cociente entre dos magnitudes.
Con respecto a los algoritmos de las operaciones con fracciones y decima-
les, si bien podemos enseñar técnicas para que los alumnos logren cierta des-
treza en el cálculo del denominador común para sumar o restar, y multiplicar o
dividir fracciones sencillas, esta forma de trabajo implica algunos riesgos. Por un
lado, ninguna de las técnicas ayuda a los alumnos a pensar sobre el significado
de las operaciones o por qué funcionan y, por otro lado, es posible que los alum-
nos pierdan rápidamente ese dominio, porque corren el riesgo de confundir u
olvidar las reglas tan rápido como las aprendieron. Entonces, es primordial que
los problemas permitan a los alumnos avanzar en la comprensión del tipo de
situaciones, para cuya resolución son útiles determinadas operaciones. Así, irán
construyendo estrategias de cálculo mental antes de llegar a la sistematización
de los algoritmos16.

16
Recomendación de lectura: véase Sadovsky, P. (coord.), Broitman, C., Itzcovich, H., Quaranta,
M. E. (2001), “Acerca de los números decimales. Una secuencia posible”, en el documento
Aportes para el Desarrollo Curricular. Matemática, Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires
(también disponible en Internet).


Serie
62

Plantear situaciones para operar con distintos significados
y en distintos portadores

Tal como hemos dicho, el aprendizaje de los números racionales es un largo pro-
ceso que abarca varios años de escolaridad. Por eso, es importante que a medi-
da que los alumnos avancen en este Ciclo vayamos proponiendo problemas con
diferente nivel de complejidad, con el fin de poner en juego los distintos senti-
dos de las operaciones.
En Cuadernos para el aula: Matemática 4, se proponen problemas para
favorecer en los alumnos la construcción de los sentidos de la suma y de la resta
de números racionales. En 5º año/grado, se avanza con situaciones que le dan
sentido a la multiplicación y división de un racional por un número natural, abor-
dando los significados de las cuatro operaciones ya presentados para los núme-
ros naturales. En 6° año/grado, avanzaremos hacia las situaciones que le dan
sentido a la multiplicación y división de dos números racionales.
El significado de combinatoria que funcionaba para la multiplicación de núme-
ros naturales ya no se mantiene, es decir, no tiene sentido para el caso de las
fracciones y de los decimales. Tampoco la idea de reparto con divisor racional. En
cambio, sí tienen sentido los significados de proporcionalidad y de producto de
medidas. En general, podemos decir que los problemas de combinatoria involu-
cran magnitudes discretas y números naturales, mientras que los problemas de
producto de medidas y los de proporcionalidad pueden trabajarse con magnitu-
des discretas o continuas y con números naturales o racionales.
Podremos complejizar los problemas de combinatoria que se vienen plante-
ando desde el Primer Ciclo incluyendo algunos con más de dos variables y otros
con repetición de elementos.

• Mariela está preparando una fiesta de disfraces y quiere ayudar a sus
invitados a diseñar los disfraces de payasos. Si tiene cinco chaquetas,
cuatro pantalones, dos pares de zapatos y tres gorros todos distintos,
averiguá cuántos disfraces diferentes se pueden formar.

• ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden armar con las cifras 5, 6, 7?

El problema de los disfraces involucra cantidades discretas: multiplicando los núme-
ros que expresan la cantidad de chaquetas por el número que expresa la cantidad
de pantalones por el que expresa la cantidad de gorros y por el que expresa la can-
tidad de zapatos, da como resultado el número de disfraces posibles de armar. En
este caso, es esencial considerar el papel de las representaciones gráficas como
diagramas de árbol o tablas para favorecer que los alumnos reconozcan la estruc-
tura multiplicativa de este tipo de problemas y puedan recurrir al cálculo.

Nap

Matemática 6
63

En el segundo problema, para armar todos los números posibles hay que con-

EJE
Número y
Operaciones
siderar que los números se pueden repetir y que cada uno de ellos se puede
repetir hasta cuatro veces. Aquí será interesante que promovamos la discusión
con los chicos acerca de las diferentes maneras de sistematizar la búsqueda,
para asegurarse de que esta ha sido exhaustiva.
Con respecto a los problemas de proporcionalidad directa, los chicos vie-
nen resolviendo algunos problemas simples desde 2º año/grado que en los
libros de texto habitualmente se presentan como “de multiplicación” o “de divi-
sión”. Por ejemplo, ¿cuántas pastillas hay en 36 paquetes, si en cada paquete
hay 12 pastillas? Si 360 caramelos masticables se envasan en 36 paquetes,
¿cuántos caramelos masticables hay en cada uno? En una caja de 12 paquetes
hay 144 caramelos, ¿cuántos caramelos hay en 30 paquetes?
Sin duda, los dos primeros problemas son más simples, dado que se resuelven
con una sola operación (12 pastillas por paquete x 36 paquetes = 432 pastillas,
y 360 caramelos : 36 paquetes = 10 caramelos por paquete), mientras que el
tercero puede pensarse como la composición de dos problemas, uno “de multi-
plicar” y otro “de dividir”. Asimismo, los tres responden a las relaciones de propor-
cionalidad directa. En este sentido, y tal como hemos afirmado en Cuadernos
anteriores, es esencial que la proporcionalidad no se presente como un conteni-
do nuevo sin conexión con lo aprendido hasta este momento sobre multiplicación
y división. Al respecto Panizza y Sadovsky17 plantean:
[...] no se trata de que el docente anuncie en los primeros años que estos
son problemas elementales de proporcionalidad. Se trata de recuperar explí-
citamente tales problemas en el momento en que la proporcionalidad
adquiere el status de un contenido para aprender.
Desde 5o año/grado, se propone avanzar incluyendo problemas en los que las
cantidades que se vinculan estén expresadas con expresiones decimales y frac-
cionarias, relacionadas a través de constantes de proporcionalidad con valores
naturales. En 6o año/grado, avanzaremos con constantes de proporcionalidad
racionales, haciendo hincapié en el estudio de la constante.
Inicialmente, podremos plantear problemas que se puedan resolver aplican-
do las propiedades de la proporcionalidad directa conocidas ya desde 5° año/
grado, en los que se pueden incluir números racionales y constante de propor-
cionalidad natural. Por tanto, para la resolución, será necesario plantear multi-

17
Recomendación de lectura: véase “Proporcionalidad: del dogma a la construcción de los pro-
cedimientos”, en: Ponce, H. (2000), Enseñar y aprender matemática, Propuestas para el
Segundo Ciclo, Buenos Aires, Novedades Educativas y Panizza, M. y Sadovsky, P. (1991),
El papel del problema en la construcción de los conocimientos matemáticos, Buenos Aires,
FLACSO.


Serie
64

plicaciones y divisiones de fracciones o expresiones decimales por un núme-
ro natural. Si además, se elige que la constante sea racional, las operaciones
para resolver serán entre racionales. El siguiente es un ejemplo de este últi-
mo tipo de problemas.

personas, en la que los ingredientes son 8 huevos, _ kg de azúcar y _ l
• Para preparar un flan para 7 personas, Jimena usa una receta para 4
1 1
4 2
de leche. ¿Qué cantidades de cada ingrediente debe utilizar?

La resolución de este problema puede dar lugar a pensar primero en los ingre-

cada por _ , que es la constante de proporcionalidad. Se deberá resolver enton-
dientes necesarios para una persona, dividiendo por 4, y luego los necesarios

_ x 84 para averiguar la cantidad de huevos, _ x _ , para averiguar cuánto
para 7 personas, multiplicando por 7, con lo que cada cantidad resulta multipli-

_ x _ , para saber cuánto de leche. Como veremos más adelante
7

7 7 1
ces 4 4 4
7 1
de azúcar, y 4 2
en este mismo apartado, esto implica calcular la parte de una cantidad, en el
caso de los huevos y la parte de una parte, en el caso del azúcar y de la leche.

En el apartado “Plantear situaciones para analizar relaciones de proporcionali-
dad” se desarrollará el trabajo que se podría realizar en 6° año/grado con pro-
blemas de proporcionalidad que dan sentido a las multiplicaciones y divisiones
de fracciones o expresiones decimales.

Los problemas de producto de medidas son aquellos donde intervienen tres
magnitudes. Es el caso, por ejemplo, de los problemas donde intervienen el
ancho, el largo y el área de un rectángulo, o el área de la base, la altura y el volu-
men de un prisma, o la velocidad de un móvil, el espacio que recorre y el tiem-
po que tarda en hacerlo. En 6° año/grado, podemos plantear algunos problemas
de este tipo, como los siguientes.

• ¿Cómo hacer para averiguar la cantidad de baldosas de un patio
rectangular, sabiendo que tiene 30 baldosas de ancho y 45 baldosas de

• Calculá el área de un rectángulo de 3 _ de largo y 2 _ de ancho.
largo?

1 1
2 4

Nap

Matemática 6
65

El problema de las baldosas que cubren un patio puede resolverse multiplican-

EJE
Número y
Operaciones
do el número de baldosas de ancho por el número de baldosas de largo, para
obtener el total de baldosas.
También se puede abordar este problema con una relación de proporcionali-
dad, pensando que son 45 filas de 30 baldosas cada una. Por ejemplo:
Nº filas 1 10 5 40 45

Nº baldosas 30 300 150 1200 1350

El cálculo de la medida de una superficie (un área) planteado en el segundo pro-

expresiones fraccionarias o decimales, pues habrá que resolver 3 _ x 2 _ , ó
blema es un ejemplo con el largo y el ancho expresados en fracciones. El cálcu-

_ x _ , ó 3,5 x 2,25, que nos remite al cálculo de la parte de una parte. Antes de
lo del área resulta un contexto que aporta significado a la multiplicación de
1 1
2 4
7 9
2 4
avanzar sobre cómo se podría pensar este problema, veamos qué se ha realiza-
do en 5° año/grado en relación con esto.
En Cuadernos para el aula: Matemática 5 se señaló que algunos problemas
ligados a la multiplicación refieren al cálculo de una parte de una cantidad.
Esto se planteó en situaciones de reparto en partes iguales, al calcular la cuar-

flan, planteado en la página anterior, donde la búsqueda de los _ de 8 huevos
ta parte, la mitad o las tres cuartas partes, usando escrituras fraccionarias. En
6° año/grado, podremos retomar este tema proponiendo problemas como el del

parte 7 veces, lo que supone pensar a _ como el séptuplo de la cuarta parte o
7
4

_.
puede pensarse como dividir el 8 por 4, para buscar la cuarta parte y tomar esa
7
4
1
7 veces un cuarto, es decir 7 x 4
En este año, la tarea nueva es calcular la parte de otra parte, tanto en proble-

En el problema del flan, para los _ del medio litro de leche es interesante
mas de proporcionalidad, por ejemplo el de los flanes, como en los de producto
de medidas, por ejemplo el del área del rectángulo.
7
4

multiplicación. En efecto, si se calcula primero la cuarta parte de _ (_ ) y luego se
observar que, al igual que cuando se calcula la parte de una cantidad entera, es

_ ), se obtiene el mismo resultado que si se calcula primero el
indistinto respecto del resultado qué operación se hace primero, si la división o la

séptuplo de _ (_ ) y después la cuarta parte (_ ), aunque el significado de lo que
1 1
2 8
7
hace el séptuplo ( 8
1 7 7
2 2 8
se hace sea distinto.


Serie
66

En el caso del problema del área, se puede pensar 3 _ x 2 _ , expresando cada
1
2
1
4
número racional como número mixto con una suma y usando la propiedad dis-
tributiva.

( 3 + _ ) x ( 2 + _ ) = (3 x 2) + (3 x _ ) + (2 x _ ) + ( _ x _ ) =

=6+_ +_ +_ +_ +_ +_ =
1 1 1 1 1 1
2 4 4 2 2 4

=6+_ +1+_ =
1 1 1 1 1 1
4 4 4 2 2 8

=7+_ +_ =
3 1
4 8

= 7 + _ = 56 + _ = 63
_ 7 _
3 1
4 8

7
8 8 8 8

También se puede pensar expresando cada número racional como una fracción
y vinculando cada una con el producto de un natural por una fracción de nume-
rador 1. En ambos casos, hay que advertir que la parte sombreada es la cuarta
parte de la mitad, o la mitad de la cuarta parte.

Nap

Matemática 6
67

3_ x2_ =_ x _ =

=7x_ x9x_ =
1 1 7 9

EJE
Número y
Operaciones
2 4 2 4

=7x9x_ x_ =
1 1
2 4

= 63 x _ = 63
_
1 1
2 4

1
8 8

La cuestión del cálculo de un área donde aparecen medidas con números
decimales también puede ser presentada con una tarea diferente para los chicos,
la de analizar procedimientos de resolución realizados por otros. Por ejemplo:

• Antonio, Pedro y Ana debían calcular el área que se ha pintado en un
rectángulo de 3 cm por 5 cm.

Discutí con tus compañeros si las siguientes formas que eligió cada uno

sumó 4 mitades de _ cm2 para formar 2 cm2 más (6 cm2 + 2 cm2 = 8 cm2)
para calcular el rectángulo son válidas.

y luego contó y sumó al resultado anterior los _ cm2. El resultado le dio
a) Antonio contó todos los cuadrados de 1 cm2 y llegó a 6 cm2, a estos

_ cm2.
1
2
3
4
3
8 cm y 4
2


Serie
68

_ cm2 x _ cm2 = 7 x _ x 5 x _ = 35 x _ x _ = 35 x _ = 35 cm2. _
b) Pedro usó la fórmula del rectángulo y multiplicó el largo por el ancho
usando fracciones
7 5 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 4 4

c) Ana multiplicó 3,5 cm2 x 2,5 cm2 = 8,75 cm2.

tar los _ cm2, reconstruyeron 1 cm2 en forma gráfica y pintaron sobre el mismo
Al plantear este problema18, durante la discusión se observó que los alumnos:

los tres cuadraditos de _ ;
- entendieron fácilmente cómo Antonio había medido los 8 cm2 y, para interpre-

- asociaron la expresión fraccionaria _ a la expresión decimal 0,75;
3
4

_
1
4
3
4
- dividieron la expresión fraccionaria 35 y la asociaron con la expresión deci-
4
mal 8,75;
- al recurrir al gráfico para interpretar la expresión decimal 8,75 reconocieron la
parte entera pero tuvieron dificultades para interpretar 0,75;
- solo luego de la intervención del docente, pudieron entender que 0,75 cm2 repre-
sentaba 75 mm2. En este caso, el docente se valió del papel milimetrado y las
argumentaciones de los alumnos respecto de la estrategia planteada por Antonio.
Los problemas de proporcionalidad y de producto de medidas aportan signi-
ficado también a la división de dos números racionales. Para ello, será posi-
ble plantear, por ejemplo, un problema de área de una figura donde se informa
el área y una de las dimensiones y se pregunta por la otra o un problema con
magnitudes directamente proporcionales en el que se dan cantidades corres-
pondientes y no se conoce la constante19.
Entre los problemas que se puedan resolver con una división es importante
presentar situaciones en las que los cocientes sean exactos, como también
otras en las que los cocientes se expresen en fracciones o decimales. Es con-
veniente que los alumnos vayan, poco a poco, tomando decisiones acerca de
cuándo es conveniente utilizar la división exacta o la división entera (es decir, con
restos) en función de la situación que modelizan, lo que les permitirá avanzar en
la construcción del sentido de esta operación.
Cuando propongamos situaciones que se resuelvan utilizando la división
entera, es importante que estas no solo exijan calcular los cocientes, sino tam-
bién el análisis de los restos y la relación entre el divisor, el cociente y el resto.

18
Las respuestas fueron dadas en el marco de Prácticas III del Profesorado de EGB 1 y 2 del
Instituto Superior de Formación Docente Nº 803 de Puerto Madryn, por alumnos de la “Escuela
de la Costa” de Puerto Madryn, provincia de Chubut.
19
Recomendación de lectura: véase Pujadas, M. y Eguiluz, M. L. (2000), Fracciones, ¿un que-
bradero de cabeza? Sugerencias para el aula, Buenos Aires, Novedades Educativas.

Nap

Matemática 6
69

Algunos ejemplos de este tipo de problemas son los siguientes.

EJE
Número y
Operaciones
• Analía tiene que acomodar 245 discos compactos en estuches en los que
caben 24. ¿Cuántos estuches necesitará si tiene que guardarlos a todos?

fundas y _ de otro. ¿Cuántos discos tiene Pedro?
• Pedro dice que acomodó todos sus discos y llenó dos estuches de 24
3
4

• La maestra repartió un block de hojas entre sus 32 alumnos, dándoles 5
hojas a cada uno y le sobraron 20 hojas ¿Puede ser que el block tuviera
180 hojas?

Ante el primer problema es posible que los alumnos digan que Analía necesita

En el caso del segundo problema, los _ vinculan el resto y el cociente. Los
10 estuches porque el cociente de dividir 245 : 24 es igual a 10, sin reparar en

_ partes de la capacidad que tiene el estuche (24), que
que es necesario guardarlos a todos, por lo tanto hay que analizar el resto.
3
4

_
3
tres cuartos implican las 4
es el resto (18) de la división por 24, es decir que ese cociente es un número
mixto (2 18 ).
24

24
D = (24 x 2) + 18 2
18

También en la tercera situación, se pone en juego la relación D = d x c + r que
se verifica en la división entera. Para resolverla, los alumnos pueden dividir 180
dividido 32 y constatar que el cociente es 5 y el resto 20 o bien multiplicar 32
x 5 y sumar 20 con lo que podrán dar la respuesta.
Es interesante también que el análisis se centre en cómo varía el cociente en fun-
ción de los restos, si se divide por el mismo número un intervalo de números conse-
cutivos. La situación que sigue exige no solo el análisis del resto, sino también el aná-
lisis acerca de qué ocurre con el cociente si se aumentan unidades al dividendo.

• Una lancha transporta pasajeros de una orilla del río a la otra. En cada
viaje, transporta como máximo 24 personas.
a) ¿Cuántos viajes hará para transportar 360 pasajeros? ¿Y si se suman 24
más a los anteriores?
b) ¿Cuantos viajes hará para transportar 270 pasajeros? ¿Y 271?
c) ¿Hasta cuántos pasajeros se pueden agregar a los 271, sin que sea
necesario aumentar el número de viajes?


Serie
70

• Virginia y Agustín discuten acerca de la siguiente situación.
El quiosquero de la escuela tiene 280 caramelos y 15 bolsas. Si en cada
una quiere poner 20 caramelos, ¿cuántos caramelos le faltan para
completar todas las bolsas?
Agustín dice que para resolver la situación anterior no es necesario hacer
una división. Virginia dice que sí. ¿Quién de los dos tiene razón?

• Cuatro amigos van a la heladería y deciden comprar entre todos un kilo de
helado que cuesta $22. ¿Cuánto dinero tiene que aportar cada uno, si
acuerdan en que todos van a pagar lo mismo?
Al día siguiente, solo vuelven tres amigos a la heladería y deciden comprar
igual un kilo de helado. ¿Cuánto dinero tendrá que aportar cada uno para
reunir lo necesario?

Para resolver la situación de los viajes en lancha, los alumnos podrán utilizar la divi-
sión o aproximar productos de 25 por un número, hasta llegar a 360. En el caso
de que usen la división, comprobarán que el resto es cero, y que si se aumenta al
menos un pasajero, ya aumenta el número de viajes, porque no pueden quedar
pasajeros sin viajar. Por otro lado, analizar hasta cuántos pasajeros se pueden
aumentar sin que aumente el número de viajes, implica ir analizando el resto.
La discusión de Virginia y Agustín, como hemos planteado en otras situacio-
nes similares, aporta a la construcción del sentido de la división, pues los alum-
nos tienen que analizar si esa operación es útil o no para resolverlas. Además, en
esta situación es posible discutir sobre el resto de la división, ya que con los 280
caramelos se podrá colocar 18 caramelos en cada bolsa y sobran 10 caramelos.
Como en este problema se trabaja con cantidades discretas, aunque al dividir
aparecen restos, para este caso el cociente es 18,66..., entonces no es posible
“bajar decimales” y vemos que el 0,66... no tiene sentido en este contexto.
En el problema de la compra de helados, en cambio, las cantidades son continuas
y es posible expresar el cociente con un número decimal. Además, esta cuestión
plantea el tema del número de cifras decimales. Para la primera pregunta, un proce-
dimiento posible es que los alumnos utilicen la división 22 : 4, cuyo cociente entero
es 5, pero la situación implica la necesidad de “sacar decimales”, con lo que se obtie-
ne un cociente exacto: $ 5,50. En el segundo caso, al dividir 22 : 3 se obtiene cocien-
te 7 y resto 1 y, como es necesario reunir el dinero, se tienen que obtener cifras
decimales. Sin embargo, aquí las cifras decimales son infinitas. Es interesante plan-
tear la discusión acerca de si es posible que cada uno aporte $ 7,33 en función de
nuestro sistema monetario, donde las monedas de 1 centavo no son de uso corrien-
te y si en el caso de poder hacerlo, se reuniría el dinero para la compra.
Estas relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto, también se pueden
analizar en situaciones de contexto intramatemático como las siguientes.

Nap

Matemática 6
71

• Marisa y Pablo están haciendo cuentas de dividir.

EJE
Número y
Operaciones
a) Marisa dice que en una división el divisor es 5, el cociente es 25 y el
resto es cero. ¿Cuál es el dividendo? ¿Cuál sería el dividendo, si el resto
fuera 2? ¿Cuál sería el dividendo, si el resto fuera el máximo posible para
una división con el mismo divisor y cociente de los que habla Marisa?

b) Pablo le dice a Marisa que si divide 125, 126, 127, 128 y 129 por 5, el
cociente es siempre el mismo, solo cambia el resto. ¿Vos que pensás?
Si en la división 125 : 5 el dividendo tuviera 7 unidades menos, ¿cuál es el
valor del resto? ¿Se puede determinar sin hacer la cuenta?

c) Marisa dividió un número por otro y obtuvo cociente 20 y resto 12.
¿Cuáles pueden ser los números que dividió?

d) Pablo dice que resolvió la división 37 : 4 con la calculadora y en el visor
apareció como cociente 9,25. Si la maestra le pidió el cociente y el resto sin
sacar decimales, ¿cómo puede hacer Pablo para calcular el resto?

Con este conjunto de problemas se apunta a trabajar las relaciones que se dan
en la división entera: D = d x c + r con r < d. Al plantearlos, damos lugar a tomar
como objeto de estudio las cuentas de dividir que se resuelven desde los prime-
ros años de la escuela.
En la cuenta que plantea Marisa en el primer problema, hay un único dividen-
do posible, el 125. Sin embargo, si se pregunta a los alumnos si es posible
encontrar otro dividendo, es frecuente observar que emprenden la búsqueda,
pues aún no han elaborado la idea de que, cuando se han determinado tres de
los números, el cuarto es único. En el resto de las preguntas, se propone el aná-
lisis de cómo se modifica uno de esos números cuando se modifica otro (el resto
y el dividendo) si se dejan fijos el cociente y el divisor.
En el segundo problema, son dos los números que faltan: el divisor y el divi-
dendo. El divisor debe cumplir con el requisito de ser mayor que el resto, de
modo que esto permite asegurar que el divisor debe ser 13, o cualquier otro
número natural mayor que él. En consecuencia, el problema tiene muchas (infi-
nitas) soluciones.
En cuanto al último problema, se puede calcular el resto pensando en la dife-
rencia entre el dividendo y el producto del divisor y la parte entera del cociente,
37 – 9 x 4 = 1, o como el producto de la parte decimal del cociente por el divi-
sor, 0,25 x 4 = 1.


Serie
72

Plantear situaciones para analizar relaciones de proporcionalidad

En 6° año/grado nuestro desafío será ofrecer a los alumnos la oportunidad de
avanzar en los procedimientos de resolución de los problemas donde intervienen
magnitudes directa e inversamente proporcionales. Reflexionar sobre las propie-
dades que actúan como instrumentos de resolución en los problemas de propor-
cionalidad y dominarlas para decidir cuál usar según los números que aparecen,
significará para los alumnos contar con herramientas cada vez mejores.
Creemos que no ayudará a los alumnos comunicar y mostrar cómo funciona
la regla de tres para resolver este tipo de problemas para que luego ellos la apli-
quen, sino que nuestra tarea será generar situaciones donde estas estrategias
se puedan poner en juego. Luego, habrá que proponer el análisis de esas estra-
tegias para separarlas del problema con el propósito de que puedan reinvertir-
las en otras situaciones.
Para que los alumnos puedan analizar las relaciones involucradas en los pro-
blemas donde intervienen magnitudes directamente proporcionales, habrá
que considerar, en primera instancia, que avancen en los procedimientos de
resolución utilizando conocimientos no tratados hasta 5° año/grado, ya que solo
después de haberlos utilizado podrán reflexionar sobre ellos. En este caso, para
los problemas donde intervienen magnitudes directamente proporcionales, lo
nuevo es la propiedad de la constante de proporcionalidad.
Para caracterizar estos problemas consideremos uno como el siguiente, donde
los chicos podrían comenzar a resolver usando propiedades de la proporcionalidad
conocidas desde 5° año/grado y que muestra cómo, en muchos casos, no tiene
sentido el pasaje por la unidad. Teniendo un par de valores de la tabla, 15 y $ 1,5,
es posible preguntar por el precio de diferentes cantidades de fotocopias.

• Calculá el costo de las cantidades de fotocopias que aparecen en la tabla.

Cantidad de fotocopias 15 60 10 5 1 27
Precio ($) 1,5

Si la cantidad de fotocopias es múltiplo de 15, como ocurre para 60, los alum-
nos podrán usar las siguientes estrategias:
• pensar en multiplicar por 4 las fotocopias: 15 x 4 = 60; y su precio:
$ 1,5 x 4 = $ 6;
• pensar en el valor de 30 fotocopias, porque es más fácil calcular el doble de
1,5 y luego volver a duplicar las 30 fotocopias, y así obtener el costo de las 60
fotocopias.

Nap

Matemática 6
73

En los dos procedimientos anteriores se pone en juego la propiedad Si en

EJE
Número y
Operaciones
una relación de proporcionalidad directa se multiplica una cantidad de una
magnitud por un número la cantidad correspondiente, en la otra magnitud
queda multiplicada por el mismo número.
Algunos chicos podrían usar esta otra estrategia:
• pensar en el valor de 30 fotocopias, porque es más fácil que calcular el doble
de 1,5 y luego sumar 30 + 30 para llegar a 60 y $ 3 + $ 3.
Este procedimiento en cambio, involucra otra propiedad: En una relación de
proporcionalidad directa, se cumple que a la suma de dos cantidades de una
misma magnitud, le corresponde la suma de las cantidades correspondientes
en la otra magnitud.
Si tomamos como dato el mismo par de valores de la tabla, y pedimos el pre-
cio de 27 fotocopias, es posible que los chicos lo resuelvan con dos tipos de
estrategias:
• pensar en dos pasos, dividir primero por 15 para saber el precio de una foto-

cantidad de fotocopias y el precio es _ , es decir, que si se multiplica por _
copia y luego multiplicar por 27 para calcular el costo total.
• advertir que, para todos los pares de1valores de la tabla, la relación entre la 1
10 10
la cantidad de fotocopias se obtiene el precio.
El primer procedimiento implica el “paso por la unidad” o búsqueda del valor
unitario, y el segundo involucra el uso de la propiedad En una relación de pro-
porcionalidad directa, se cumple que el cociente entre los pares de cantida-
des correspondientes a ambas magnitudes es constante.
Podemos pensar el segundo procedimiento como una generalización del pri-
mero, pues en uno se busca la relación entre dos cantidades (15 fotocopias y
$ 1,5) y en el otro, la relación entre todos los pares de cantidades.
El análisis de este problema nos ha permitido ver que, al cambiar los datos,
se modifican los conocimientos que se pueden utilizar para resolverlo. De este
modo, el mismo problema permite, con unos datos, revisar propiedades conoci-
das y con otros, dar lugar al uso de otras nuevas.

_
La situación anterior muestra que entre las magnitudes directamente propor-
cionales que intervienen se pueden establecer dos tipos de relaciones:
15
• una relación entre cantidades de una misma magnitud, relación escalar ( 60 ).
• una relación funcional, que vincula magnitudes diferentes como es
precio/fotocopia (precio por fotocopia) y que refleja el sentido de la unidad de
razón o la constante de proporcionalidad.
A medida que presentemos en la clase problemas como el anterior, con tablas
de números proporcionales, los alumnos harán explícitas, mediante los procesos de
resolución y comunicación de procedimientos, las dos relaciones que caracteri-
zan a la proporcionalidad: la constancia de las relaciones escalares y la constante


Serie
74

de proporcionalidad. La reflexión por parte de los chicos al usar estas relaciones,
tanto de manera cuantitativa como cualitativa, les permitirá avanzar en la con-
ceptualización de la proporcionalidad.
Consideremos dos nuevos ejemplos:

haciendo solo una cuenta con su máquina de calcular. Si _ kg cuesta
• Don Juan desea completar la siguiente lista de precios del queso sardo,
1
2
$ 12,20, ¿qué cuenta podría hacer para saber cuánto debe cobrar?

_ kg _ kg _ kg 1 kg 2 kg 4 kg 5 kg 100 g 150 g
Completá la tabla.

1 1 3
Peso 2 4 4

Precios $12,20

• Una industria posee una máquina que produce en 4 horas, 752 barras de
aluminio. El gerente de producción desea saber lo que puede producir la
máquina, si se trabaja en forma continua durante los tiempos indicados en
la siguiente tabla:

Tiempo 4 hs 5 hs 6 hs 8 hs 1 día 1 mes
Número de barras 752

En el primer caso, pedir la realización de una sola cuenta favorecerá centrar las
discusiones, especialmente en la relación que permite determinar la constante de
proporcionalidad. Este valor permitirá a los alumnos determinar los diferentes pre-
cios con solo multiplicar el valor de dicha constante por las diferentes cantidades.
Al preguntar, además, por 100 g ó 150 g se plantea la necesidad de conocer las
relaciones entre las unidades de medida, en este caso que 1 kg = 1000 g.
En el segundo problema, preguntar, por ejemplo, ¿qué pasaría si la máquina
dejara de funcionar? o ¿cómo expresamos simbólicamente el día que la
máquina no tuvo producción?, nos permitiría avanzar sobre la idea de que si no
hay producción, al cero de una magnitud le corresponde el cero en la otra.
Además, como parte del análisis, nuevamente podremos propiciar la discusión
en relación con los siguientes aspectos.
- la cantidad de datos dados y cuántos calcularon a partir de los mismos,
- las magnitudes que se involucran, para luego concluir que a partir de dos
datos se pueden encontrar otros, relacionando magnitudes (horas y cantidad de
barras producidas), siempre que la máquina funcione en forma constante.
- la conveniencia de utilizar las relaciones escalares (aditivas o multiplicativas)
y las relaciones funcionales para obtener los diferentes resultados.
- las relaciones entre la diferentes unidades de tiempo que aparecen.

Nap

Matemática 6
75

Cuando se aborda el trabajo sobre proporcionalidad en el aula, es interesan-

EJE
Número y
Operaciones
te proponer actividades que planteen la discusión acerca de las características
que hacen que determinado problema pueda ser considerado de proporcionali-
dad, por ejemplo, el análisis de varios problemas en los que se den relaciones de
proporcionalidad y otros en los que no. Esto ayudará a los alumnos a aproximar-
se al sentido del concepto de razón y comprender el significado de los símbolos
utilizados para expresar proporciones.
Por ejemplo, si preguntamos qué planta ha crecido más en esta semana si
los registros nos dicen que la planta A medía 8 cm y ahora mide 12 cm y que
la planta B medía 10 cm y ahora mide 14 cm, podríamos tener dos respuestas:
- Ambas plantas crecieron lo mismo (si se miran solo los cambios absolutos).
- La planta A creció 4 cm más de los 12 cm que medía inicialmente y la planta B
creció 4 cm de los 14 cm que medía, por lo tanto creció más la planta A ya que
_ es mayor que _ .
4 4
12 14
Cuando se razona sobre situaciones en las que se ponen en juego relaciones de
proporcionalidad, es importante pensar que en las relaciones aditivas y multiplicativas
hay cambios absolutos y cambios relativos. La habilidad de pensar en términos rela-
tivos se vincula con el razonamiento proporcional. La noción de razón como índice
comparativo entre dos cantidades fundamenta este segundo tipo de aproximación.
Una actividad cuyo propósito es analizar la existencia o no de la proporciona-
lidad podría ser la siguiente.

a) Analizá los siguientes problemas e indicá cuáles creés que son de
proporcionalidad.
1. La receta para preparar milanesas de soja dice que con 200 gramos
de soja preparamos milanesas para tres porciones. ¿Cuánta soja se
necesitará para 5 porciones?
2. Cuando cumplió 6 meses, Federico pesaba 9 kg. ¿Cuánto habrá
pesado al cumplir 1 año?
3. Si por 5 CD pagué $ 9, ¿cuánto dinero necesitaré para comprar 12?
4. Si para recorrer 25 km mi auto consume 2 litros de nafta, ¿cuánto
combustible consumirá para recorrer 200 km?
5. Si al nacer, Juliana medía 0, 52 m, ¿cuánto medirá a los tres meses?
¿Y al año?
6. Cuando Javier cumplió 3 años, su papá tenía 28 años. ¿Cuántos
tendrá el papá cuando Javier cumpla el triple?
b) Discutí con tu grupo los resultados a los que llegó cada integrante para
llegar a un acuerdo.
c) Por último, buscá con los integrantes de tu grupo un argumento que
convenza a los otros grupos acerca de la clasificación que hicieron.


Serie
76

Analizar cómo y cuánto cambia una cantidad en relación a otra ayuda a com-
prender qué sucede en estos problemas, ya que hay relaciones no proporciona-
les, pero que parecen serlo. De hecho, el análisis de la constante resulta una
herramienta útil para decidir si existe o no proporcionalidad.
Los problemas anteriores se plantean en diferentes contextos, algunos de los
cuales permiten evidenciar más claramente la no existencia de una constante de
proporcionalidad. Por ejemplo, en el segundo problema, los alumnos saben que
no es posible que una persona aumente 9 kg por cada seis meses. Utilizar esta
relación para resolver el problema haría que el niño, al año, pese 18 kg, a los dos
años 36 kg a los 3 años 54 kg, etc. El conocimiento que tienen de la relación
que existe entre el aumento del peso de una persona respecto del tiempo, les
permitirá descartar un razonamiento de tipo proporcional para resolverlo.
Otros ejemplos de relaciones de proporcionalidad directa son aquellas situa-
ciones en las que la constante de proporcionalidad representa un índice com-
parativo de cantidades de la misma magnitud.20

• Para hacer jugo de frutilla, Juana vierte 3 litros de agua en 1 jarra donde
previamente colocó 2 cucharadas de jugo concentrado. Para la fiesta de su
hermana, Juana necesita calcular cantidades mayores. Decide hacer una
tabla como la siguiente y así saber cuántos litros de agua necesita para las
siguientes cantidades de jugo concentrado, de manera que el jugo tenga el
mismo sabor. Completá la tabla.

Cantidad de cucharadas de jugo concentrado 2 4 6 12 20
Cantidad de litros de agua 3

• Antes de preparar la pintura, Carlos lee las siguientes instrucciones:

b. ¿Y si usa _ kg de polvo?
a. ¿Qué cantidad de agua necesita

_4 kg de polvo?
Carlos si usa 1 kg de polvo?
1

3
c. ¿Y si usa 4

20
Tomado de Sadovsky, P. (coord.), Lamela, C., Carrasco, D. (2005), Matemática. Fracciones y
Números decimales. 6º grado. Apuntes para la enseñanza. Gobierno de la Ciudad de Buenos
Aires, Secretaría de Educación. Dirección General de Planeamiento. Dirección de Currícula.

Nap

Matemática 6
77

¡Una ayudita! Podés construir una tabla como la siguiente:

EJE
Número y
Operaciones
_ _ _

_
1 1 3
Cantidad de polvo en kg 2
1 4 4

3
Cantidad de agua en litros 4

• Se necesita reducir este plano. Para eso, hacé 3 cm por cada 4 cm.
10 cm

6 cm
4 cm

2 cm

En el primer problema, más allá de las diferentes estrategias para completar la
tabla, se recupera el concepto de equivalencia asociado a la conservación de la
proporción entre las partes de jugo concentrado y agua, y no a la conservación de
la cantidad de jugo. Los pares de números que aparecen en la tabla son fraccio-

Siendo esta relación la constante de proporcionalidad _ (1,5 de agua por cada
nes equivalentes cuyo significado está asociado ahora a la concentración del jugo
o a la mezcla entre las cucharadas de jugo concentrado y la cantidad de agua.
3
2
cucharada de jugo) que queda explícita cuando es necesario determinar el valor
que se corresponde con el 1 (en este ejemplo, expresa la cantidad de litros de
agua por cada cucharada de jugo).
En el segundo problema, que la constante sea una fracción exige que los
alumnos busquen formas de encontrar resultados a los productos de dos frac-
ciones, en función de relaciones como: el doble, la cuarta parte, la mitad…
En el tercer problema, se trabaja con escalas. En este caso, las fracciones
son un índice comparativo de una misma magnitud. Cuando se resuelven pro-
blemas de escalas de mapas, ampliaciones o reducciones es interesante anali-
zar el significado del valor de la constante en relación a lo que su aplicación pro-
duce, si es menor que la unidad se vincula a una reducción y si es mayor que la
unidad da como resultado una ampliación.


Serie
78

Una actividad interesante para proponer a nuestros alumnos es la ampliación
del rompecabezas que se adapta de una secuencia diseñada por Brousseau21 y
que seguramente han visto en otros textos.

“Agrandar el rompecabezas entre todos”: analizar el valor de la
constante.
Materiales: un rompecabezas por grupo y uno de mayor tamaño completo
para colocar en el pizarrón.
Organización de la clase: grupos de 6 integrantes.
Desarrollo: podemos comenzar con una consigna oral, como la siguiente:
Tienen que ampliar el rompecabezas, de modo que lo que en cada pieza
mide 4 cm en el rompecabezas que les di, mida 5 cm en el que hacen
ustedes. Cada integrante tiene que hacer una pieza. Como las piezas
son cinco, habrá un alumno que será el observador, cuya tarea será
anotar todo lo que se diga o discuta en el grupo. Antes de empezar a
trabajar elijan quién será el observador.

En muchos casos, los chicos creen que a cada pieza tienen que agregarle 1 cm
y se sorprenden cuando las piezas no encajan. Esto les exige dudar sobre su
construcción, pero la mayoría piensa que no usó bien los instrumentos de medi-
ción y vuelven a construir las piezas, porque no siempre ponen en duda el crite-
rio que usaron en la confección de las piezas.

21
Brousseau, G. (1994), Problemas en la Enseñanza de los decimales. Problemas de didáctica
de los decimales. Publicación de IMAF, Universidad Nacional de Córdoba. Traducción realizada
por Dilma Fregona y Rafael Soto con autorización del autor. Brousseau, G. (1981), “Problemes
en didactique des décimaux”, en: Recherches en didactique des mathématiques, La Pensée
Sauvage, Vol. 2, Nº 1.

Nap

Matemática 6
79

Si la consigna fuera que los lados de las piezas que miden 4 cm deberán

EJE
Número y
Operaciones
medir 8 cm en el nuevo rompecabezas, seguramente lo ampliarán sin dificultad,
dado que la relación del doble no exige pensar otras relaciones y las piezas
resultan ampliadas proporcionalmente. Los alumnos reconocen que el modelo
de proporcionalidad les es útil para ampliar el rompecabezas cuando se dan
cuenta de que tienen que averiguar la imagen de 1 cm para poder encontrar las
nuevas medidas da cada pieza.
En el caso del rompecabezas, se pone de manifiesto que la relación entre cada
lado y su imagen es una constante. Esto ocurre en cualquier situación de escalas,
dado que una escala presenta información sobre una relación que se establece
entre una medida en una representación gráfica y una medida de la realidad.22

Los problemas de escalas pueden plantearse a propósito del trabajo en otras
áreas, como Ciencias Sociales. Por un lado, se puede continuar confeccionan-
do planos de espacios de diversas dimensiones y por otro se puede promover
la interpretación de mapas. Por ejemplo, al comparar las distancias entre dos
pares de localidades en mapas representados en distintas escalas.

En otros problemas, la constante de proporcionalidad está expresada con frac-
ciones y representan un índice comparativo que vincula dos magnitudes dife-
rentes. Veamos dos ejemplos.

• Un caminante recorre 5 km en 2 horas. Suponiendo que mantiene la

_
velocidad de la marcha, completá la tabla que sigue:

3
Tiempo de marcha del caminante en hs 2 4 6 4

Distancia recorrida en km 5

• En la siguiente tabla, se muestra el consumo de nafta de un automóvil al
recorrer cierta cantidad de kilómetros. Completá la tabla sabiendo que el
automóvil consume lo mismo por cada kilómetro recorrido.

22
Recomendación de lectura: véase Ponce, H. (2000), “Proporcionalidad: entre los procedimien-
tos y la búsqueda de regularidades”, en: Enseñar y aprender matemática, Propuestas para el
Segundo Ciclo, Buenos Aires, Novedades Educativas.


Serie
80

_ _
_
1 3
Kilómetros recorridos 1 2 3 5 2 2
1
Consumo de nafta en litros 10

En el caso de las velocidades, las dos magnitudes son el espacio recorrido en
una unidad de longitud (km, m, millas, nudos) y el tiempo utilizado en una unidad
de tiempo (horas, segundos, minutos), en tanto que las unidades correspondien-

En el primer problema, la constante de proporcionalidad _ permite “pasar” de
tes a las velocidades son compuestas: km/h, m/seg, etc. En el caso del consu-
mo de nafta, la unidad compuesta expresa el rendimiento en litros/km.

el caso de saber la distancia que recorre un automóvil en _ de hora, da sentido
5
2
tiempo a distancia. Este problema pone en juego el concepto de fracción y en
3
4
a la multiplicación de fracciones. Si bien los alumnos aún no han sistematizado
la multiplicación de fracciones, estarán en condiciones de averiguar dicha dis-
tancia utilizando las propiedades de la proporcionalidad directa.
En el segundo problema,23 los alumnos podrán completar sin dificultad las

calcular 10 por _ porque aún no han multiplicado fracciones, pero sin embargo
_
casillas de la tabla que representan números enteros, dado que son productos

podrán calcular cuánto consume en _ kilómetro como así también la mitad de
de una fracción por un número natural. Es posible que la dificultad se dé para

lo que consume en 1 kilómetro. Y si para _ la cantidad que le corresponde es
1 3
2

_ , para _ será _ . A partir de aquí, podremos proponer otros casos, para dar a
1
2
1
2
1 3 3
20 2 20
los alumnos la oportunidad de ir construyendo estrategias para multiplicar dos
fracciones a partir de herramientas propias.
En el caso de porcentaje, aparece nuevamente la fracción como índice com-
parativo o constante de proporcionalidad. Al tratar de interpretar el 50 % de 20,
estamos comparando las partes con el todo. Así, buscamos vincular la relación
50 por cada 100 con una fracción equivalente de denominador 20.

En el apartado “Plantear situaciones para obtener y organizar datos”, se propo-
ne el trabajo con gráficos circulares en los que el uso de los porcentajes cobra
especial sentido.

23
Recomendación de lectura: véase Sadovsky, P. (coord.), Lamela, C. y Carrasco, D. (2005),
Matemática. Fracciones y números decimales. 6º grado. Apuntes para la enseñanza, Gobierno
de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación. Dirección General de Planeamiento.
Dirección de Currícula.

Nap

Matemática 6
81

• En la ciudad de Trelew se realizaron los juegos deportivos interescolares

EJE
Número y
Operaciones
en los que participaron 80 alumnos. De acuerdo con las diferentes
categorías y juegos, lograron estos premios:
- 3 alumnos obtuvieron el primer puesto en salto en largo y 5 alumnos el
primer puesto en velocidad,
- 2 equipos de fútbol (22 alumnos) lograron el segundo puesto y
- 15 alumnos obtuvieron los terceros puestos en diferentes juegos.
Decidí, haciendo cálculos mentales, cuáles de las siguientes afirmaciones
de los chicos son ciertas:
1. Más del 50% de los alumnos trajeron premios.
2. El 10% logró estar en los dos primeros puestos.
3. Más del 25% de los alumnos alcanzó el segundo puesto.

en forma sencilla, si se asocia el 50% con _ , el 25% con _ y el 10% con la déci-
En este problema se incluyen porcentajes que se pueden calcular mentalmente
1 1
2 4
ma parte.
También es interesante analizar algunos problemas en los que es habitual
suponer algunos datos que no están explicitados en el enunciado y que permiten
profundizar el sentido de la proporcionalidad directa. Veamos varios ejemplos:

• Este mes, la biblioteca de la escuela recibió 48 libros nuevos. Si se quieren
acomodar en 4 estantes, ¿cuántos libros se colocan en cada uno?

• Una persona que vive a 15 cuadras del trabajo, paga un boleto de $ 0,90.
¿Cuánto pagará otra persona que toma el mismo micro y vive a 40 cuadras
del trabajo?

• Si cinco litros de aceite cuestan $ 18,50, ¿cuánto pagaremos por 10 litros?

En el primer caso, el dato supuesto es la repartición en partes iguales, aunque
esta no sea una condición expresada en el enunciado. En el segundo caso,
puede cuestionarse un procedimiento de proporcionalidad, ya que el contexto
que permite imaginar la situación nos hace saber que la tarifa de los colectivos
no depende de la cantidad de cuadras que nos traslada. Normalmente, la tarifa
corresponde a tramos o a un recorrido completo. En el último caso, es bastante
habitual considerar la existencia de la constante cuando no existe alguna con-
dición por la cual se hace algún descuento como en el caso de las ofertas
(pagué 9 litros y llevé 10).


Serie
82

En esta clase de problemas, deberemos discutir sobre las condiciones que se
debieran agregar o cambiar a las distintas situaciones y, con este fin, tendremos
que pedir a los alumnos que agreguen los datos necesarios para resolverlos, uti-
lizando el concepto de proporcionalidad. De este modo, daremos lugar a discu-
tir sobre los datos necesarios para poder utilizar el concepto de proporcionali-
dad directa como modelo de resolución como así también reflexionar sobre los
límites24 que tiene el concepto.
Otro contexto que favorece la discusión sobre la utilidad del modelo de pro-
porcionalidad es el de las ofertas. También aquí el análisis de la constante resul-

• Lorena fue a comprar _ kg de
ta una herramienta útil para decidir si existe o no proporcionalidad.

3
4
helados y en el cartel figuraban los
precios de la lista.
Lorena pensaba pagar $ 7,50 y el
heladero le dijo que debía pagar $ 10.
a) ¿Por qué pensó Lorena que
debía pagar $ 7,50?
b) ¿Cómo habría explicado el
heladero cómo calculó el valor de
$ 10?
c) Modificá el enunciado de la
situación para evitar la confusión.

unitario y calculó el valor de los _ kg utilizando la proporcionalidad, en tanto
que el heladero sumó los precios de _ kg más _ kg ($ 6 + $ 4) independien-
En esta actividad, los chicos pueden responder que Lorena pensó en el precio
3
4
1 1
2 4
temente de cualquier relación de proporcionalidad. Es interesante que promova-
mos la discusión acerca de que, en los datos de la lista de precios, cuando la

tante que permitirá determinar los valores de _ y _ . De los datos, resulta que
cantidad del helado es menor, el costo es menor, pero el mismo no disminuye en

_ kg hay 3 precios posibles: $ 12, $ 10 y2 $ 7,50. Además, conviene com-
la misma relación; por otra parte, el precio por cada kilo no representa la cons-
1 1
4
3
para 4
prar 1 kg y no dos medios kilos, pues la suma de los costos de los dos medios

24
Recomendación de lectura: en Matemática. Propuestas para el aula. EGB 2. Materiales para
el docente, Programa Nacional de Innovaciones educativas del Ministerio de la Nación,
Propuesta Nº 5, se plantea una actividad para discutir acerca de los límites y la utilidad del con-
cepto de la proporcionalidad directa en problemas de oferta (también disponible en Internet).

Nap

Matemática 6
83

porcionalidad, considerando el costo unitario, el _ kilo debería valer $ 5 y el _
kilos es mayor que el precio por kilo. Por otra parte, si la relación fuera de pro-

EJE
Número y
Operaciones
1 1
2 4
kilo $2,50. Por último, en la lista de precios podríamos agregar alguna inscrip-
ción, como Oferta: ¡lleve 1 kg y pague solo $ 10!
El análisis de los precios de diferentes artículos presentados en distintos
tamaños (gaseosa, aceites, jabón en polvo, yerba, etc.) en las góndolas de los
supermercados favorecerá la lectura inteligente de la información y la toma de
decisiones respecto de la presencia o no de ofertas.
En cuanto a los problemas donde intervienen magnitudes inversamente
proporcionales, es necesario plantear primero su resolución para luego consi-
derar el análisis de las relaciones involucradas. Los problemas de fraccionamien-
to y envasado de productos proporcionan un contexto que permite otorgarles
significado. Por ejemplo, los siguientes.

• Una pequeña bodega, en la provincia de La Rioja, decidió fraccionar en
envases de menor capacidad el contenido de 80 damajuanas de 5 litros
cada una. Averiguá qué cantidad de cada tipo de envases sería necesaria,

_ _
según las capacidades que aparecen indicadas en la tabla.

1 3
Capacidad del envase (litros) 5 2 1 2 4

Cantidad de envases 80

A partir del primer par es posible hallar el correspondiente de 1 litro pensando
que, si el envase tiene 5 veces menos capacidad, serán necesarias 5 veces más
unidades, por lo que habrá que hacer 80 x 5 = 400. En este caso, se usa una
relación escalar, es decir donde se multiplica una cantidad y se divide otra, en

correspondiente de _ , convendrá calcular primero el de _ .
ambos casos, por el número 5 sin unidades. Todos los demás pares podrán ser
completados utilizando relaciones escalares y advirtiendo que para saber el
3 1
4 4
También se podría resolver calculando la constante de proporcionalidad. En
este caso, la constante representa la cantidad total de litros a envasar, y se
puede obtener haciendo 5 litros por envase x 80 envases = 400 litros. Esta es
una relación funcional que vincula magnitudes diferentes, la capacidad de cada
envase con el número de envases necesarios.
La situación anterior muestra que entre las magnitudes inversamente propor-
cionales se pueden establecer dos tipos de relaciones:
• una relación entre cantidades de una misma magnitud, es decir una relación
escalar.
• una relación funcional que vincula magnitudes diferentes y que refleja el sen-
tido de la unidad de razón o la constante de proporcionalidad.


Serie
84

Estas relaciones pueden explicitarse del siguiente modo:
a) Si en una relación de proporcionalidad inversa se multiplica una canti-
dad de una magnitud por un número, la cantidad correspondiente en la otra
magnitud queda dividida por el mismo número.
b) En una relación de proporcionalidad inversa, el producto de las cantida-
des correspondientes es constante.

Las relaciones entre bases y alturas de rectángulos que tienen la misma área
(ver el apartado “Plantear situaciones para avanzar en la exploración de rela-
ciones entre perímetros y áreas”) o las relaciones entre la distancia recorrida y
el tiempo necesario al aumentar la velocidad son otros contextos en los que se
establecen relaciones de proporcionalidad inversa.

Plantear situaciones para sistematizar relaciones numéricas
y propiedades de las operaciones

Las actividades de cálculo mental, es decir aquellas donde se realizan cálculos
sin los algoritmos convencionales, invitan a reflexionar sobre las propiedades de
los números y de las operaciones. Al plantearlas, propiciaremos que los alumnos
avancen en el conjunto de relaciones que se pueden establecer entre determi-
nados grupos de fracciones, entre ciertas fracciones y enteros, y entre los núme-
ros decimales.
Si permitimos y favorecemos que los niños resuelvan explorando a su propio
modo, seguramente inventarán procedimientos mediante los cuales utilizarán las
propiedades de las operaciones, y recurrirán a descomponer los números y a
escribirlos de diferentes formas. Para poder resolver este tipo de actividades, los
niños se suelen apoyar en los cálculos que tienen disponibles (el repertorio

ejemplo _ es el doble de _ ) y en diferentes expresiones escritas de números
memorizado de productos de naturales, de sumas y restas de fracciones senci-

racionales (0,25 es lo mismo que _ ).
llas y de números decimales) en las relaciones entre números que conocen (por
1 1
2 4
1
4
Al proponer a los chicos estas actividades, podemos avanzar en dos sentidos:
analizar las propiedades y relaciones de las operaciones y números que ya
usaron para sistematizarlas, y luego, discutir sobre la economía de los procedi-
mientos que desarrollaron y su validez cuando se quieren utilizar con otros
números. En este apartado nos ocuparemos del primer aspecto y en el aparta-
do “Para avanzar en los procedimientos de cálculo con distintos tipos de núme-
ros” del segundo.

Nap

Matemática 6
85

La actividad que se plantea a continuación, de completamiento de recua-

EJE
Número y
Operaciones
dros, permitirá discutir el “efecto” de operar con 0 cuando se suma y cuando
se multiplica.

• Sin cambiar las operaciones, en cada tira, ¿qué variaciones es necesario
hacer en los números, si partiéramos desde el cero?

1 + 1999 2000 - 1500 500 : 500 1

1 x 2000 2000 :4 500 : 500 1

El 0 es el “elemento neutro” para la suma y el “elemento absorbente” para la
multiplicación. En el primer caso, al comenzar con el 0, el número que va es el
1999, es decir el mismo, En esta operación, el cero es neutro. En el segundo
caso, cuando solo hay operaciones de multiplicación y de división, es imposible
encontrar un número que multiplicado por 0 permita continuar con la secuencia,
porque el 0 “absorbe” cualquier otro y siempre el resultado será cero.
También es interesante plantear una actividad resuelta para problematizar algunas
posibles soluciones de completado de recuadros, como por ejemplo la siguiente:

• Un grupo de chicos debía resolver el siguiente problema.
Escribí un número y una operación en cada recuadro para obtener el resultado:

2000 500 1

Para el primer recuadro, encontraron las expresiones siguientes:
2000 - 1500 = 500 2000 : 4 = 500
__
_
2000 - 3000 = 500 2000 x _ = 500
1
2000 x 0,25 = 500
2 4

a) Discutí con tu grupo si estas opciones son verdaderas o falsas y justificá
tus respuestas.
b) Algunos alumnos dijeron que pasar de 500 al 1 es más fácil y lo
explicaron haciendo las siguientes afirmaciones. ¿Estás de acuerdo?
Para obtener 1 divido por el mismo número.
Para obtener 1 hay que restar el anterior.
Para obtener 1 multiplico por el inverso de 500 siempre da 1.
c) Las explicaciones que dieron los alumnos, ¿se cumplen para otros
números enteros, fraccionarios o decimales?


Serie
86

- dividir por 4 es equivalente a multiplicar por _ o por 0,25,
A propósito de la misma situación, podremos proponer la discusión sobre las
relaciones entre las operaciones
1
4
- dividir por el mismo número siempre dará uno y es equivalente a multiplicar
por el inverso del número.
Asimismo, si extendemos dichas relaciones a todos los números de un campo
numérico obtendremos la generalización, es decir, podremos presentarlas a los
alumnos como propiedades.
También es posible variar la actividad para completar recuadros, presentando
ciertas restricciones, por ejemplo utilizando las cuatro operaciones y números
decimales, o fraccionarios. Esto implicaría una complejidad en la actividad, pero
favorecería la utilización de expresiones equivalentes de un número. O bien podrí-
amos pensar en la utilización de algunas relaciones entre las operaciones, por
ejemplo para pasar de 1 al 2000, la restricción puede ser que no podrán sumar
al 1 el anterior de 2000, lo que los conducirá a elegir la división 1 : 2000.
Otras actividades, como las de realizar cálculos sin usar los algoritmos conoci-
dos, promueven que los alumnos busquen estrategias propias y pongan en juego
propiedades que ya han verificado que “funcionan”. Por ejemplo, la siguiente.

• Sin hacer la cuenta convencional, resolvé 70,5 x 5 y explicá cómo lo hiciste.

Para esta actividad, es posible que aparezcan en las carpetas algunas produc-
ciones como las que comentamos a continuación:

En esta primera estrategia, aparece la descomposición del número en su parte
entera y en su parte decimal, y la propiedad distributiva de la multiplicación.
Además, aunque no esté escrito, para hacer 70 x 5, pudo pensarse en la des-
composición del número 70 en dos factores 70 = 10 x 7, y luego en tres fac-
tores 70 = 2 x 5 x 7. A continuación se pudo haber pensado en reemplazar el
producto a realizar 70 x 5 = 2 x 5 x 7 x 5. Luego, pudo haberse asociado
70 x 5 = 10 x 35, para simplificar el cálculo utilizando productos que tienen dis-
ponibles como 7 x 5 = 35 y regularidades tales como la de agregar un cero a
la derecha al multiplicar por 10.

Nap

Matemática 6
87

EJE
Número y
Operaciones
En este caso, se ha expresado setecientas cinco décimas como fracción deci-
mal y luego aparece la multiplicación de dos naturales 705 x 5, conocida por los
alumnos, y la utilización de la regularidad de la división seguida de ceros. Este
ejemplo permite discutir por qué vale cambiar el orden según el cual primero se
divide por 10 y luego se multiplica por 5 por el orden mediante el cual primero
se multiplica por 5 y luego se divide por 10, que justificaría poder usar el segun-
do signo igual entre las expresiones.
La discusión para determinar la validez de estos procedimientos nos permiti-
rá compararlos con los algoritmos convencionales y acercarnos a su compren-
sión, ya que hay aspectos de los procedimientos que los alumnos utilizan que
también se juegan en el algoritmo convencional. Por ejemplo, conectando la pri-
mera expresión y la última en 70,5 x 5 = 325,5, se puede ver que se podría mul-
tiplicar como si fueran enteros y luego correr la coma.
Además, si ponemos en cuestión algunos procedimientos o partes de los mis-
mos posibilitaremos el trabajo con otros conceptos. Por ejemplo, separar el
número decimal en parte entera y en parte decimal (expresado como fracción o
como decimal), para luego multiplicar ambas partes por 5, nos permitiría explici-
tar el uso la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Se pone de manifiesto aquí la importancia de propiciar el uso y la explicitación
de propiedades conocidas y su aplicación para resolver cálculos nuevos. Así, se
ponen en juego ciertos conocimientos, como la aplicación de cálculos mentales
al interior de cálculos parciales, la utilización de ciertos productos o divisiones
básicas y la habilidad para descomponer cantidades de diversas formas.
En este sentido, las discusiones podrán estar orientadas por la pregunta ¿cómo
vale transformar una cuenta en otra que dé el mismo resultado, pero sea más
fácil de hacer? Las conclusiones que se buscará obtener tendrán formulaciones
del tipo: Para multiplicar y para sumar puedo descomponer en factores o
sumandos y conmutar. Para restar y dividir es posible usar equivalentes.


Serie
88

Plantear situaciones para analizar las relaciones de múltiplo y divisor

La escuela pitagórica25, cuyo pensamiento fundamental es que todos los fenó-
menos del universo se pueden explicar mediante números, se dedicó a la explo-
ración de los números, de sus propiedades y de sus relaciones con otras ramas
del saber, como la geometría y la música. En esa búsqueda, los filósofos pitagó-
ricos estudiaron muchos tipos de números a partir de ciertas relaciones y diver-
sas regularidades. Entre ellas, las relaciones numéricas de múltiplo y divisor.
Si bien desde el Primer Ciclo los niños comienzan a descubrir en forma intui-
tiva ciertas características de las series numéricas, por ejemplo la cadencia de
0, 5, 0, 5 en la serie 0, 5, 10, 15, 20, 25…, que luego ponen en juego en situa-
ciones de cálculo mental, el estudio de las propiedades de los números primos
y compuestos que se reconoce como “divisibilidad” se inicia en el Segundo Ciclo
y se profundiza en el Tercer Ciclo. Esto es así, porque los problemas que involu-
cran este tipo de relaciones numéricas pertenecen al campo multiplicativo y
resulta necesario que los alumnos hayan iniciado el estudio de las nociones de
multiplicación y división y sus propiedades para construir las nociones que se
ponen en juego en la divisibilidad.
Desde las propuestas de aula es necesario que propongamos problemas que
permitan la progresiva comprensión de la reversibilidad de las relaciones de múl-
tiplo y divisor a partir de otras relaciones, como doble-mitad, triple-tercio y otras.
Por otra parte, los problemas que involucran los conceptos de división exacta y
entera, así como el estudio del resto, permiten, durante el Tercer Ciclo, una apro-
ximación al concepto de congruencia. Asimismo, el reconocimiento de las regu-
laridades numéricas en las situaciones que se propongan favorecerá la sistema-
tización posterior de los criterios de divisibilidad o las propiedades de múltiplos
y divisores.

Secuencia para establecer relaciones de reversibilidad: “Múltiplos y divisores”

Con el fin de favorecer la comprensión de la reversibilidad entre “múltiplo” y “divi-
sor”, se puede proponer una secuencia de actividades como la que sigue.

25
Corriente filosófica y matemática presocrática fundada por Pitágoras, en el siglo VI a. C.

Nap

Matemática 6
89

EJE
Número y
Operaciones
Actividad 1

“Los nueve divisores”: encontrar 20 9 36
divisores comunes.
Materiales: una cuadrícula como la 24
siguiente para cada alumno y un
dado por grupo. 25
Organización de la clase: grupos
de cuatro alumnos. 30
Desarrollo: antes de comenzar el juego,
se decide quién va a tirar el dado. En el
desarrollo del juego se irá tirando el dado en forma sucesiva y “cantando” el
número. Cada jugador escribe el número cantado en uno de los nueve lugares
posibles dentro de la cuadrícula, siempre que el número sea divisor de uno de los
números que encabezan las filas o las columnas o de ambos a la vez.
El dado se tira nueve veces. Cuando se escribe un número en la casilla, no
se puede cambiar.
Gana el integrante que obtiene mayor 20 9 36
puntaje, que se obtiene así: 2 puntos
por cada número que es divisor del 24 42p 32p 62p
que encabeza la fila y del que
encabeza la columna; 1 punto si el 10 52p 31p 22p
número es divisor solo del número
que encabeza la fila o la columna; 0 18 22p 0p
62p
punto por las casillas vacías.

Transcribimos, a continuación, algunas expresiones que dijeron los chicos luego
de jugar varias veces con la cuadrícula anterior. Es interesante observar cómo
en estas expresiones los alumnos ponen en juego las relaciones entre múltiplos
y divisores cuando aún no las han formalizado. Por ejemplo:
—El uno es el comodín, puede ir en cualquier lugar o en el casillero corres-
pondiente al 10 - 9, porque los demás números del dado nunca te permi-
ten sumar 2 puntos en ese casillero.
—Conviene que el cinco salga una sola vez. El primer cinco que sale hay
que ponerlo en el casillero 10 - 20 solo ahí suma 2 puntos.
—En los lugares que puede ir el cuatro también puede ir el dos.
—Hay que guardar los lugares del cuatro y no usarlos con el dos, porque
para el dos tenés más opciones.
—Si a la fila del 20 y del 24 la ocupás con los dos y después te salen varios
cuatros, no podés ponerlos. Conviene guardar la fila del 24, ahí los cuatro
dan más puntos.


Serie
90

—Los primeros tres que te salen te conviene ponerlos en la columna del 9,
pero no en el medio. Arriba y abajo (en 24 - 9 y 18 - 9) suman 2 puntos.

Actividad 2

Luego de que los alumnos se han familiarizado con el juego y han explorado
relaciones entre los múltiplos y divisores, podremos proponer actividades que
lleven a reflexionar sobre estrategias para establecer relaciones y propiedades
de los múltiplos y divisores.
En las actividades que propongamos, es importante variar algunos de los
números que encabezan las filas y las columnas, para que los chicos transfieran
algunas relaciones conocidas y piensen en otras. Por ejemplo:

• Ubicá en la cuadrícula los 20 9 36
números 1 y 5 para obtener el
mayor puntaje posible. 24 6 2 4

• Observá la cuadrícula e indicá los 25 1
números que encabezan la fila y la
columna, donde el 6 suma dos 30 2 1 3
puntos. ¿En cuántos casilleros
diferentes puede escribirse el
número 6? ¿Qué números cambiarías para que en todos los casilleros
donde puede ir el número el 6 se sumen 2 puntos?

En los casos anteriores, los alumnos tendrán que decidir por un casillero donde
1, 5, 6 son divisores de dos números diferentes a la vez. Tener que cambiar los
números que encabezan las filas o columnas los lleva a pensar en números que
sean múltiplos de un mismo divisor.

Actividad 3

• Completá con diferentes
números el cabezal de cada fila
y de cada columna sabiendo 1 5 6
que todos los números que están
escritos te dan 2 puntos. 6 2 3

4 2 3

Nap

Matemática 6
91

• Al completar la tabla, Juan iba a

EJE
Número y
Operaciones
colocar el 12 en el casillero que
encabeza la fila con los divisores 4, 1 5 6
2 y 3 y se dio cuenta de que ya lo
había escrito en la columna de 6 2 3
divisores 1, 6, 4. Entonces dijo:
Escribo cualquier otro número 4 2 3
que sea múltiplo de 12.
¿Estás de acuerdo?, ¿por qué?
¿Qué números pudo escribir Juan?

Completar los números que encabezan cada fila y cada columna, bajo una con-
dición (sumar 2 puntos), implica tener distintas posibilidades para resolver y
esto hay que tenerlo en cuenta para la puesta en común. Así, los chicos debe-
rán pensar en esos números utilizando las relaciones de múltiplo y divisor, para
luego descentrarse de la producción propia y analizar las producciones de sus
compañeros y validarlas.
Es posible que la situación que se plantea involucrando a Juan sea parecida
a lo que les pasó a ellos, ya que el 12 admite ser colocado en 4 de los 6 núme-
ros que encabezan las filas o columnas. Elegir otros múltiplos de doce nos per-
mite instalar que: Si un número es múltiplo de otros (4, 2, 3) los múltiplos del
primero son múltiplos de los segundos.

Actividad 4

• En esta cuadrícula, se necesita 10 9 6
cambiar el 6 para que no se repita.
6
a) Si se cambia el 6 por el 0 y por
el 18, ¿qué opción da más 30
posibilidades?
b) Discutí con tus compañeros 6
qué otros números pueden
sustituir al 6. ¿Cuántos hay?
c) Ana dijo que podían ser los múltiplos de 6. ¿Qué te parece?


Serie
92

En esta situación, incluir el cero implica ponerlo en discusión para ver que el
mismo admite como divisores a todos los números (del dado y otros), ya que es
múltiplo de todos los números. Al preguntar por la cantidad de números que
pueden ser solución, llevamos a los alumnos a pensar en un conjunto de núme-
ros tal, que la mejor forma de comunicar lo que tienen en común es haciendo
referencia a todos aquellos que son múltiplo de 6. La afirmación de Ana ayuda
a volver sobre la respuesta elaborada por los chicos para poder generalizarla.

Actividad 5

• De manera individual armá un nuevo tablero escribiendo los 6 números
que encabezan las filas y columnas para que luego se puedan comparar las
diferentes producciones. Tratá que el tablero te permita obtener el mayor
puntaje posible. Luego, respondé con tus compañeros de grupo a las
siguientes preguntas.
a) Si al tirar el dado sale siempre uno, ¿cuál es máximo puntaje que se
puede obtener? ¿Y el mínimo? Pensá en los distintos tableros. ¿Varían las
respuestas si cambian los números que encabezan cada fila y cada
columna? ¿Por qué?
b) Si al tirar el dado salen todos cincos, ¿cuál es máximo puntaje que se
puede obtener? ¿Y el mínimo? ¿Varían tus respuestas si cambiás los
números cabezales de cada fila y cada columna? ¿Por qué?
c) Armá un nuevo tablero que te permita obtener un puntaje final elevado,
escribiendo los números que encabezan las filas y las columnas.

En ambas situaciones, podremos discutir sobre todos los números que pudieron
escribir y preguntar por otros que no aparezcan (números de una cifra, de dos,
de tres, el cero, etc.). Esto permitiría acercarnos a la conclusión de que los núme-
ros que encabezan las filas y las columnas podrían ser todos, inclusive el cero.
También podríamos recuperar la idea de que el uno es divisor de cualquier
número. A diferencia de la situación donde salen todos unos, la segunda lleva a
concluir que las soluciones posibles son todos los números que son múltiplos
de 5 inclusive el cero.
Si variamos esta actividad, cambiando los números que se mencionan en el
punto a) (al tirar los dados salen todos dos, o todos tres, o cuatros o seis), nos
llevaría a darle un mayor grado de generalidad a la propiedad del uno como divi-
sor de todos los números. También podríamos dar lugar, por ejemplo en el caso
de todos divisores dos, a discusiones que refieran a que los números posibles
para el dos como divisor pueden ser los múltiplos de 4 o de 6 y así avanzar en
relaciones tales como si un número es múltiplo de 4, también es múltiplo de
2 o si un número es múltiplo de 6 también lo es de 2.

Nap

Matemática 6
93

También es posible en 6º año/grado avanzar en el estudio de otras propiedades

EJE
Número y
Operaciones
ligadas a la noción de divisor. Es el caso de todo divisor de un divisor de un núme-
ro es divisor de ese número, que puede trabajarse a partir del juego siguiente:

“¿Es divisor de….?”: establecer la relación divisor del divisor.
Materiales: dos dados para cada pareja, dos tableros iguales, uno para
cada jugador y fichas.

3 2 5 5 3 7 11

5 7 3 3 13 5 2

11 2 2 2 5 2 3

5 5 3 7 2 3 13

2 7 2 11 5 3 2

7 2 17 5 3 7 3

5 11 3 5 2 19 7

Organización de la clase: dividida en parejas.
Desarrollo: cada jugador tira primero un dado y luego otro que compondrá
un número de dos cifras, considerando que el primer número que sale en el
dado es el de las decenas.
El jugador elige una casilla desocupada en la que haya un divisor del
número formado. Por ejemplo, si el número es 36, puede poner la ficha en
el 3. Hace el cociente entre 36 y 3, es 12. Entonces busca un divisor de
12, por ejemplo 2 y pone allí otra ficha. Hace el cociente entre 12 y 2, es 6.
Busca un divisor de 6, por ejemplo 3 y pone una ficha en él. Hace el
cociente entre 6 y 3, es 2. Como ya puso una ficha allí, no agrega otra.
Sigue así hasta que no encuentre más divisores. Entonces le toca el turno
al otro jugador.
Si el número formado por las dos cifras resultara primo y el jugador se da
cuenta, debe decirlo y puede tirar de nuevo los dados. Pero si no lo descubre,
le tiene que ceder el turno al otro jugador. En cambio, si el jugador dice que el
número es primo y no lo es, el contrincante podrá poner fichas en los
divisores que descubra de ese número y a continuación le toca su turno.
Gana el jugador que logra completar una fila y una columna.


Serie
94

Con este juego se pretende que los alumnos utilicen estrategias propias para
encontrar los divisores de un número. La discusión posterior al juego permitirá
plantear las relaciones entre los números y divisores que los alumnos hayan uti-
lizado. Esto quedará explícito cuando los ganadores cuenten cómo fueron
encontrando los divisores. A partir de esos comentarios, podremos intervenir con
preguntas tales como Si un número tiene varios divisores, ¿es lo mismo ele-
gir cualquiera? ¿Cuál conviene elegir primero? De esta manera, los alumnos
sacarán conclusiones y se aproximarán a formular la propiedad Si 14 es divisor
de 28 y 7 es divisor de 14, entonces 7 es divisor de 28.
Como siempre que se plantea un juego, es interesante plantear problemas
donde intervengan situaciones simuladas, como las siguientes.

• Javier y Sofía jugaron al juego de los divisores. Al tirar los dados, Javier
obtuvo el 51, y dijo que es un número primo. Sofía dijo que no, y colocó
fichas en el 3 y en el 17. ¿Quién de los dos tiene razón?

• En otra partida, Sofía había colocado fichas en las casillas que se
muestran en la columna 2 y en la fila 3. ¿Con qué números podría
completar las casillas que le faltan para ganar en solo dos jugadas más?
¿Y en una?

3 2G 5 5 3 7 11

5 7G 3 3 13 5 2

11 2G 2G 2G 5G 2G 3

5 5 3 7 2 3 13

2 7G 2 11 5 3 2

7 2 17 5 3 7 3

5 11 G 3 5 2 19 7

También es importante que planteemos problemas extramatemáticos, donde los
chicos puedan poner en juego las relaciones entre múltiplos y divisores. Estos
son algunos ejemplos de situaciones problemáticas en diferentes contextos.

Nap

Matemática 6
95

• El kiosquero de la escuela tiene 48 chupetines de leche y 30 de frutilla.

EJE
Número y
Operaciones
Si quiere embolsarlos colocando en cada bolsa la misma cantidad, pero
de modo que cada una contenga la mayor cantidad posible, no se
mezclen los gustos y no sobren chupetines. ¿Cuántos tiene que colocar
en cada bolsa?

• Tres amigos Facundo, Romina y Federico ponen sus relojes en hora a las
trece horas del día martes. Pero se sabe que el reloj de Romina adelanta 8
minutos, el de Federico adelanta 10 minutos y el de Facundo 12. ¿A qué
hora de ese día volverán a tener la misma hora los tres? ¿Y del día
siguiente?

• Don Juan, el dueño del kiosco de la esquina de la escuela, tiene una caja
de bolitas. Para venderlas, las quiere colocar en bolsitas que contengan la
misma cantidad. Si coloca 2 en cada bolsita, le queda una suelta. Pero si
coloca 3 en cada una le sobran 2. En cambio si coloca 4 les sobran 3.
Al fin descubre que si coloca 5 no le sobra ninguna. ¿Cuántas bolitas había
en la caja de Don Juan si se sabe que había más de 80 y menos de 100?
Escriban cómo lo pensaron.

Otro tipo de actividades que resultan interesantes son aquellas en que se pro-
pone validar situaciones que han sido resueltas por otro. Estas situaciones favo-
recerán el desarrollo del pensamiento reflexivo, siempre que se planteen en
relación a problemas que ponen en juego conocimientos sobre los que se está
trabajando. Algunos ejemplos son los siguientes.

• Mayra y Luciana discuten acerca de lo que les planteó la maestra. Mayra
dice: Si se suman dos números que son divisibles por 3, el resultado
también es un número divisible por 3. Luciana dice: Si un número no es
divisible por 6, entonces tampoco puede ser divisible por 2.
¿Vos qué pensás acerca de lo que expresa cada una?

• En un grupo, los chicos discutían. María dijo: Quiero encontrar un número
que sea divisible por 8 pero que no sea divisible por 4. Federico le
contestó: Yo creo que no lo vas a encontrar porque no hay. Agustín dijo:
Yo creo que sí es posible que lo encuentre, porque yo encontré un
número que es divisible por 4 y no lo es por 6: el 16.
¿Qué pensás acerca de lo que discuten los chicos? ¿Quién tiene razón?
Explicá tus respuestas.
• Mariano dice: Si 6 x 4 me da 24, eso significa que todos los múltiplos


Serie
96

de 24, serán divisibles por 4 y también por 6.
¿Es cierto lo que dice Mariano? ¿Hay números que sean divisibles por 4 y
por 6 a la vez?

Proponer este tipo de situaciones en el aula favorece que los alumnos vayan
reconociendo que la revisión y el análisis forman parte del quehacer matemáti-
co. Son recursos muy eficaces para que los alumnos busquen argumentos para
validar mientras promovemos que actúen, hablen, registren, comenten o discu-
tan sus producciones, lo que favorece sin duda la construcción del sentido.
Como ejemplo del trabajo con múltiplos y divisores ofrecemos una adaptación
de una situación problemática diseñada por la profesora Esther Grossi26. Los
alumnos de la clase se organizan en grupos de 4 o 5 integrantes, y se reparte
en cada uno el mazo de cartas como el de la página siguiente. La actividad se
inicia entregando un mazo de cartas con señales y se formula la consigna:

• A cada mazo de cartas que les entregué se le ha perdido algunas cartas.
Dado que es un mazo de 50 cartas, después de analizarlo, ustedes tienen
que dibujar las cartas que faltan.

Cuando se propone esta situación en la clase, en general los alumnos comien-
zan ordenando las cartas por decenas. Con este ordenamiento empiezan a
manifestar por ejemplo que todas las cartas terminadas en 2, 4, 6, 8 tienen
puntos. También observan fácilmente que a las cartas terminadas en 5 o en 0
les falta una esquina. A medida que van encontrando estas regularidades,
empiezan a realizar formulaciones, por ejemplo para construir la carta 48 dicen
que la carta no tiene una esquina cortada. Saben que tiene que llevar puntos
porque termina en 8 y discuten sobre la cantidad de puntos dado que también
han observado que algunas cartas tienen uno, dos, tres y hasta cuatro puntos.
Otro procedimiento que suelen utilizar los chicos es apilar las cartas que tienen

26
La profesora e investigadora brasileña Esther Pilar Grossi fundó el Geempa, en Porto Alegre
(inicialmente Grupo de Estudios sobre Enseñanza de las Matemáticas de Porto Alegre y actual-
mente Grupo de Estudios sobre Educación, Metodología de Encuestas y Acción). Realizó su
Maestría en La Sorbonne y su Doctorado en Psicología de la Inteligencia en la École des
Hautes Études en Sciences Sociales, Universidad de París (Francia). Se destaca por la búsque-
da de soluciones para los grandes problemas de la escuela pública brasilera.

Nap

Matemática 6

EJE
Número y
97

Operaciones


Serie
98

las mismas marcas, por ejemplo todas las que tienen puntos, todas las que tie-
nen rayas debajo, o las que tienen figuras geométricas iguales, por ejemplo las
que tienen cuadrados o triángulos o círculos. Esto hace que aparezcan algunas
reflexiones como las siguientes:
—Cada punto vale dos. Y señalan las marcas sobre las cartas del 2, 4, 8, 16
diciendo dos por dos, cuatro; y luego dos por dos, cuatro y por dos ocho.
En tanto que para el 16 dicen: dos por dos, cuatro; por dos, ocho y por dos
dieciséis, y con el 32 confirman su regla.
—Cada raya abajo del número es tres. En la carta del nueve, señalan cada
raya diciendo: tres por tres es nueve.
—Mirá la del seis, tiene punto y raya abajo, entonces es como tener dos por
tres, que es seis. Y de manera análoga explican para los números 12, 18 y
24. En tanto que para la del 48 dicen: la carta del 48 tiene una raya más que
la del 24, es como la del 16.
—La del veinticinco tiene dos cortes, significa cinco por cinco, o sea que la
del cincuenta tiene que ser con dos cortes y con punto.
—Los números que tienen un punto están en la tabla del dos, los números
en las cartas con cortes están en la tabla del cinco, los que tienen raya
abajo están en la tabla del tres.
Luego de las discusiones y de encontrar algunas dificultades cuando tienen
marcas diferentes, empiezan a observar las que solo tienen una marca y dicen:
—La raya de abajo indica que son los de 3 en 3, el corte en la carta los de
5 en 5, el cuadrado lo tienen los que van de 7 en 7. La raya a la derecha
la tienen los de 11 en 11. Los de 13 en 13, tienen un óvalo debajo, el cua-
drado arriba a la derecha es el 17, etc.
Luego conjugan algunas de estas afirmaciones y prueban con alguna de las
cartas que tienen diferentes marcas, por ejemplo: Mirá, el 14 es dos (señalan el
punto) por siete (señalan el cuadrado de abajo). De forma similar, ven si se cum-
ple para el 10,12 y otros.
En los comentarios que realizan los chicos en sus grupos, se puede escuchar
que algunos hablan de que la tabla sigue, es decir que se dan cuenta de que los
números de la tabla del 2, por ejemplo siguen de 20, porque 22, 24,26, etc., tie-
nen el mismo símbolo.
Es importante que en el momento de la discusión permitamos que los alum-
nos expliciten los diferentes procedimientos y las respuestas encontradas.
Este será el momento en el que podremos recuperar lo que ha surgido en los
grupos y decidiremos sobre qué discutir: si aquello que los alumnos han pues-
to en juego acerca de los conjuntos de múltiplos o acerca de los factores pri-
mos de un número.

Nap

Matemática 6
99

El desarrollo de la actividad nos permite observar cómo los alumnos, aún sin

EJE
Número y
Operaciones
utilizar un lenguaje adecuado, nos muestran que tienen muchos conocimientos
acerca de factores y múltiplos. Por eso es esencial que en el cierre de la clase
recuperemos esos conocimientos e introduzcamos los términos apropiados de
aquellos conceptos que adquirieron significado para los alumnos.
También es interesante organizar la clase para que en algunos grupos falte el
48 y en otros el 50, de tal manera que se involucren diferentes números, o pro-
poner a los alumnos que confeccionen otras cartas (60, 61...) para ampliar el
mazo. Si proponemos, por ejemplo, que diseñen la carta número 47 suelen apa-
recer dificultades, ya que por ser primo deben inventar una nueva marca.

Para avanzar en los procedimientos de cálculo con distintos
tipos de números

Concebimos el cálculo mental como un conjunto de procedimientos no algorít-
micos para encontrar resultados de cálculo que se apoyan en las propiedades
del sistema de numeración decimal y en las leyes que rigen el funcionamiento
de las operaciones.
La característica principal es la de ser un cálculo pensado, reflexionado, inde-
pendientemente de que pueda ser un cálculo realizado con lápiz y papel y de
que sea más rápido que la aplicación del algoritmo. La posibilidad de plantear el
uso o no del papel como soporte del cálculo pensado puede ser una variable
didáctica que proponga el docente. Podríamos decir que en el cálculo mental
pensado:
- existen muchas técnicas o procedimientos entre los que hay que elegir el que
mejor se adapte,
- hay variaciones de una persona a otra,
- se hace un uso más explícito y conciente de las propiedades,
- se logra que los alumnos dispongan de la traza de la red de relaciones entre
los conceptos que usan, lo que permite una mejor movilización de los mismos,
- se permite la anticipación de un resultado y provoca una vigilancia conciente
sobre el error en situaciones de estimación y aproximación.
En el cálculo algorítmico, en cambio, se observa que el funcionamiento es
homogéneo, igual en cada individuo. Las propiedades aparecen en forma implí-
cita (no es fácil el reconocimiento de las mismas), es más tranquilizador, pero
cuando hay errores, son más difíciles de detectar.


Serie
100

El cálculo mental y el cálculo algorítmico son dos formas de calcular que
deben interactuar y complementarse, si se quiere asegurar un buen dominio del
cálculo. Como se explicó en Cuadernos anteriores, un objetivo de la enseñanza
del cálculo mental es que el alumno se apropie de los conocimientos necesa-
rios, para que, de forma autónoma, pueda elegir procedimientos apropiados,
encontrar resultados y juzgar la validez de las respuestas.
Si las actividades se orientan a lograr mayor fiabilidad de los resultados, lle-
gará el momento en que el cálculo algorítmico o con calculadora puede ser
“supervisado” por el cálculo mental. Es importante que los alumnos aprendan a
evaluar en qué casos es conveniente usar la calculadora, en qué casos pueden
resolver la operación mediante cálculos mentales y en qué casos conviene usar
los algoritmos usuales.
La capacidad de los alumnos para resolver problemas diversos depende, en
parte, del dominio progresivo de recursos de cálculo. Para favorecer tal dominio,
es necesario que planteemos un trabajo ya sea a partir de procedimientos para
resolver problemas o bien de actividades específicas del campo numérico.
Numerosas investigaciones muestran la posibilidad que tienen los niños de crear
estrategias de cálculo, pero es importante que el desarrollo del cálculo mental
no quede solo bajo la responsabilidad del alumno.
El conocimiento de una mayor cantidad de relaciones numéricas facilita el
cálculo mental, pero a su vez el planteo de actividades para cálculo mental per-
mite desarrollar el conocimiento de las relaciones y propiedades. Como ya
hemos dicho, el cálculo puede ser trabajado desde diversas situaciones proble-
máticas ante las cuales los alumnos pueden usar diferentes procedimientos. La
propuesta es tomar estos procedimientos como objetos de trabajo, compararlos,
mejorarlos y también vincularlos con los algoritmos convencionales.
Son muchas las situaciones vinculadas al cálculo mental: la estimación de
los gastos de una compra de supermercado para no exceder el dinero que se
quiere gastar, el cálculo de los ingredientes de una receta para el doble de
personas, la decisión para comprar o no una oferta, el redondeo de precios y
situaciones vinculadas específicamente con las propiedades y relaciones
entre los números.
Los avances en el estudio de los números y las operaciones en los campos
natural y racional, requieren establecer relaciones multiplicativas entre núme-
ros. La construcción de estas relaciones (repertorio multiplicativo) se inicia en
el Primer Ciclo y debe continuar en el Segundo Ciclo. Construir el “repertorio”
significa no solo memorizar, sino también trabajar sobre las propiedades, esta-
blecer relaciones, organizar resultados, analizar la pertinencia de los mismos
según la situación etc. Dentro de las relaciones que los chicos necesitan dis-
poner, además de las “tablas” hasta el nueve, se incluyen, entre otras, las mul-
tiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros y las propiedades de

Nap

Matemática 6
101

las operaciones (asociativa, conmutativa y distributiva). Estas relaciones son

EJE
Número y
Operaciones
particularmente útiles para la aproximación de productos y para la estimación
de cocientes.
El trabajo que proponemos implica promover en nuestros alumnos la utilización
de diversos procedimientos de cálculo favoreciendo la discusión, la justificación
de opciones, el esfuerzo por lograr formulaciones adecuadas. Al organizar la
puesta en común, tendremos en cuenta los siguientes aspectos:
- coordinar que los alumnos expliciten los procedimientos utilizados, tanto los
correctos como los incorrectos,
- favorecer la comparación de diversas estrategias y el análisis de los errores,
- promover la invención de nuevas estrategias entre los alumnos.

Plantear situaciones para elaborar y comparar diferentes
procedimientos de cálculo

Muchas veces, frente a un problema de cálculo que se presenta fuera de la
escuela, hemos escuchado a un niño que dice: no puedo hacer esta cuenta, por-
que todavía no me enseñaron a multiplicar decimales. Desde la perspectiva que
se sostiene en estos Cuadernos, no se pretende que los alumnos aprendan algo-
ritmos que se aplican mecánicamente, sino que, frente a un desafío de cálculo, y
en función de los números involucrados, puedan elegir una estrategia que resul-
te útil para resolverlo apoyándose en los conocimientos que ya tienen. Ahora bien,
para que esto sea posible, es necesario ofrecer situaciones que permitan cons-
truir un repertorio de propiedades y resultados memorizados con los que se
pueda contar. En este sentido, habrá que dar oportunidades para utilizar escritu-
ras equivalentes de un número, dobles, mitades y complementos para llegar al
entero más próximo de expresiones decimales y fracciones.
Comparar procedimientos propios con los de otros niños, o con alguno pre-
sentado por nosotros, permitirá tomar distancia de la urgencia por hallar el resul-
tado y analizar para explicitar las propiedades que los sostienen. Este tipo de tra-
bajo permitirá, luego, sistematizar las distintas estrategias de cálculo, entre las
que se podrán incluir los algoritmos tradicionales.
En relación con el repertorio aditivo, podrán proponerse, entre otras, activida-
des como las siguientes.

• Completá haciendo cálculos mentales:
a) 1, 06 + ....... = 1,12

d) _ + ........ = 2
b) 1,05 + ....... = 1,1

_ + ........ = 1 _
c) 2,30 + ....... = 3
3
4
1
e) 3 4
4


Serie
102

• Sin escribir ninguna cuenta, decidí cuánto hay que agregar o quitar al
número de la izquierda para que se verifique la igualdad.

5,21 …… = 5,31 1,97 …… = 1

_ …… = 2
10 …… = 9,991 1,97 …… = 0,06

1
4
1,97 …… = 0,9

• Respondé y justificá respuestas:
a) ¿Cuántas centésimas hay que sumar a nueve décimas para obtener la
unidad?
b) ¿Qué resultado se obtiene si a 0,8 le sumamos 0,20; 1; 0,28; 0,10 ó 1,00?

En el análisis de las situaciones anteriores pondremos de manifiesto la relación
de equivalencia entre unidad, décimos, centésimos y milésimos y la reconstruc-
ción de la unidad a partir de adicionar o quitar. Por ejemplo, en la consigna b) del
primer problema, es importante discutir sobre la equivalencia entre décimos y
centésimos, ya que hay que agregar 5 centésimos y el resultado está expresa-
do en décimos.
En la consigna c) del primer problema, se puede descomponer 2,30 y pensar
que a treinta centésimos le faltan setenta centésimos para formar una unidad

Para _ + ........ = 2 los alumnos podrían, por ejemplo, afirmar que tres cuartos
más. Este modo de pensar también es útil para alumnos que, acostumbrados a
aplicar el algoritmo tradicional, se equivocan cuando encolumnan.
3
4
y un cuarto más es uno, así que hay que agregar uno y un cuarto apoyándo-
se sobre la reconstrucción del entero o sobre las relaciones de equivalencia: dos
es ocho cuartos, que menos tres cuartos da cinco cuartos.
En el caso e) del primer problema, podrían aparecer estrategias que permitan
discutir sobre el significado de la fracción mayor que la unidad expresada
como número mixto o sobre ciertos cálculos que combinen la descomposición
del número con fracciones equivalentes convenientes, tal como se expresa en el
siguiente diálogo.

Nap

Matemática 6
103
Uno es cuatro cuartos, y un cuarto
más... cinco cuartos, así que lo que Tres cuartos es un medio más
le falta es dos cuartos. un cuarto. Si agrego medio más,
llego a uno y un cuarto más.

EJE
Número y
Operaciones
componer para resolver 7, 05 – 4,98 ó _ + _ + 2.
Luego de resolver estas actividades, es conveniente indagar si estas estrategias
pueden usarse en otros casos. Por ejemplo, plantear de qué modo conviene des-
4 1
5 2
En las actividades siguientes, se pretende que los alumnos puedan encontrar
el resultado de multiplicaciones que no han resuelto antes, estableciendo rela-
ciones con un cálculo del que se conoce el resultado.

• Conociendo que 4 x 2,5 = 10, elegí el o los resultados que consideres
correctos y justificá:
a) 2 x 2,5 = 4,10 5 __ ;
50
10

b) 40 x 2,5 = 82,0 100 10 __
100
10

c) 0,2 x 2,5 = 0,410 0,05 0,50 __
50 __
50
10 100

d) 4 x 0,25 = 10 1 100 0,100;

e) 0,4 x 0,25 = 10 1 0,010 0,01

• Sabiendo que 2,4 x 1,5 = 3,6 resolvé las siguientes operaciones haciendo
cálculos mentales. Después controlá tus resultados usando la calculadora.
2,4 x 0,75 = 2,4 x 4,5 =

4,8 x 0,75 = 4,8 x 1,5 =

257,5 x 0,1 = 25 + _ =
• Seleccioná las operaciones cuyo resultado sea 25,75. Justificá en cada caso.
__
75
25 + 1000 = 0,2575 x 100 = 3
257,5 : 10 =
4


Serie
104

En la puesta en común, promoveremos que los alumnos formulen sus estrate-
gias y los modos de verificar los resultados y puedan registrar las propiedades
que se han puesto en juego. Por ejemplo: si uno de los factores se duplica el
resultado dado también se duplica.
Las situaciones en las que se trata de determinar la validez de las afirmaciones
producidas por otros, promueven en los alumnos la búsqueda de argumentos y jus-
tificaciones muy valiosas a la hora de establecer relaciones y formular conclusiones.
Estas son algunas propuestas.

• En un grupo, los chicos discuten sobre cuál es el mayor de estos dos
números: 4,15 ó _ .
17
4
_ 1 _
Analía dice: Yo pensé que 17 : 4 es igual a 16 + 4 y eso es 4 + 0,25 o
4
_ es igual que 4,25, que es mayor que 4,15.
17
sea 4
Pablo explica: Yo hice 4,15 = __ y __ = __ , por lo tanto este es el mayor.
415
100
17
4
425
100
Belén afirma: Yo dividí 17 : 4 y eso me dio 4,2... y no seguí porque ese
dos ya me dice que este número es mayor que 4,15.
¿Cuál de estos razonamientos creés que es correcto? ¿Por qué?

Es importante que recuperemos las nociones que se usaron en estos razona-
mientos: equivalencia de fracciones, comparación del valor de las décimas en
una expresión decimal, descomposición de una fracción mayor que la unidad en

equivalentes _ = 0,75 = __ , multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros y
fracciones equivalentes, utilizando la fracción equivalente a números naturales.
Con una estructura similar, la actividad siguiente permitirá usar expresiones
3 75
4 100
argumentar sobre la equivalencia entre dividir por 10 o multiplicar por 0,1.

• ¿Estás de acuerdo con las siguientes justificaciones que hicieron algunos
chicos para decir que 257,5 x 0,1 = 257,5 : 10?
Marcela: 257,5 x 0,1 y 257,5 : 10 son equivalentes, porque multiplicar
por un décimo es lo mismo que dividir por 10.
Adrián: 257,5 x 0,1 y 257,5 : 10 son lo mismo, porque en la primera
multiplico por uno y me da el mismo número, y después pienso qué
décimo por décimo me da centésimo en el denominador y eso es ___ x 10 .
2575 _
10
1

Olivia: En el segundo veo 257,5 x 1:10, y 257,5 es el primer número y
(1: 10) = 0,1 como en el primero, entonces me da el mismo resultado.

• ¿Qué conocimientos usaron los chicos que hicieron estas justificaciones?

En estas actividades, las descomposiciones y escrituras equivalentes de los núme-
ros y las propiedades de las operaciones permiten controlar la validez de los resul-
tados que se obtienen. La posibilidad de avanzar en la sistematización de

Nap

Matemática 6
105

estrategias de cálculo para multiplicar y dividir fracciones y expresiones decimales

EJE
Número y
Operaciones
requerirá además, pensar las fracciones como cocientes y recuperar la idea de

De modo análogo, para calcular _ x _ los alumnos pueden descomponer en
“parte de parte”. Así, en la actividad anterior, un alumno puede asegurar que déci-

_ x 5 x _ , conmutar y pensar en4 la sexta parte de la cuarta parte de tres por
mo por décimo da centésimo, porque piensa en la décima parte de la décima parte.
3 5
6
1 1
3x 4 6
cinco. En este caso, algún alumno podría pensar que la cuenta no se puede
hacer, porque la cuarta parte de quince no da justo, lo que llevará a expresar el
resultado como 24 x 15 = __ , volviendo una vez más sobre la idea de fracción
_
1 15
24
como cociente. Este mismo tipo de razonamiento permite avanzar en la multipli-
cación de expresiones decimales.

Plantear situaciones para sistematizar estrategias de cálculo

Tal como ya señalamos en el apartado anterior, para lograr que los alumnos com-
prendan algunos de los algoritmos usuales es esencial que propongamos pro-
blemas de exploración en los que utilicen diferentes procedimientos para poner
en juego las propiedades de los números y de las operaciones. Este trabajo es
posible si los alumnos se han habituado a utilizar cálculos mentales, a elegir
entre diversos procedimientos, a disponer de diferentes recursos de estimación
y control de los resultados de las operaciones y a usar la calculadora.
Este proceso de resolución y análisis por parte de los alumnos contribuirá al
progreso de la utilización de estrategias más económicas de cálculo y a su sis-
tematización. Las cuentas se convierten así en objeto de reflexión y estudio
compartido en el aula y en este trabajo se negocian los avances y se realizan
acuerdos tendientes al dominio de algunos algoritmos.
A continuación, se transcribe una secuencia de actividades en la que un
grupo de alumnos de 6° grado/año inició el trabajo comparando distintas formas
_8
de escribir 12 para terminar acordando una regla para sumar fracciones.
Inicialmente, a cada grupo se le entregó una hoja donde aparecía un rectán-
gulo con una parte pintada y un papel afiche para registrar las producciones, con
la siguiente consigna: Expresar la parte sombreada mediante fracciones y ope-
raciones entre fracciones (no está permitido hacer nuevas divisiones).

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3


Serie
106

Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6

Cuando el maestro consideró que el tiempo trabajado era suficiente, unos quin-
ce minutos, les pidió a los grupos que expusieran la hoja con la parte sombrea-
da y el afiche con los registros de las producciones. Luego observaron y regis-
traron semejanzas, diferencias, aciertos y errores de las diferentes producciones
y se fue discutiendo y reelaborando lo trabajado en los pequeños grupos.
A modo de ejemplo, se transcriben algunas producciones y expresiones de
los alumnos.

Nap

Matemática 6
107

EJE
Número y
Operaciones
—Las operaciones que más aparecen en primer lugar son sumas, luego restas.
—En todos los gráficos se pintó ocho doceavos.

_ - _ = _ como erróneo, ya que no ven la equivalencia entre _ y _ ).
—El resultado de todas las operaciones que aparecen debe dar ocho docea-
vos, si no da es porque hay algo mal. (Algunos alumnos identifican
3 1 2 8 2
3 3 3 12 3
—Las sumas de denominador doce son las que más aparecieron porque
son más fáciles.
En general, el orden en el que aparecían las fracciones escritas y las ope-

_ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ , los alumnos argumentaron que es válido, pero que
raciones, estaba muy condicionado por cómo estaban dispuestas las partes
sombreadas. Es más, cuando se comentó que en ningún afiche aparece
1 1 1 1 1 1 1 1
12 12 12 12 12 12 12 12
es más cómodo asociar. Otros niños afirmaron que en las partes pintadas no se
veía eso, porque los cuadraditos están pintados juntos.

También se discutieron otras cuestiones, ligadas al vínculo entre el cálculo y
el gráfico:
—Nos parece que algunas cuentas las ponen para que les dé ocho doceavos
y que no tienen relación con lo pintado, como en ( _ . _ ) . 2. ¿Para qué ave-
4
6 2
1

riguan la mitad si luego multiplican por dos?


Serie
108

Disponer de un repertorio de distintos cálculos de los que se sabe el resulta-
do permite analizarlos y establecer relaciones entre los numeradores y denomi-
nadores. De las producciones presentadas por los grupos y de los aportes rea-
lizados en plenario, el docente fue rescatando aquellas preguntas y afirmaciones
que consideró más potentes para avanzar hacia la sistematización de las estra-
tegias de cálculo que se explicitaron. A modo de ejemplo se transcriben algunos
registros de lo ocurrido en clase.

Registro de clase

Docente: —¿Por qué les parece que la suma de fracciones es la operación
que más aparece?
(Los alumnos comentan en pequeños grupos y luego se da el espacio para
que un representante del grupo, elegido por la docente, exponga la respuesta.)
Alumno del grupo 1: —Porque es más fácil ir tomando partes e ir agregando
otras y luego sumarlas, que pensar en un todo y luego quitar lo que no está
pintado.
Alumno del grupo 2: —Porque las sumas con denominador 12 son más
fáciles porque se suman los numeradores.
Alumno del grupo 3: —Porque si tomamos todas las de igual denominador,
que representan todas las partes iguales, se suman la cantidad de partes
iguales por eso este tipo de sumas son las que más aparecen.
Alumno del grupo 4: —Algunos ejemplos están repetidos en los afiches y faltan
otros que también podrían ser ejemplos. Solo hace falta asociar o disociar.
_ _ _ _ _
1 1 1 2 3
(Escribe 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = en el pizarrón.)
Docente: —Registren en sus carpetas 6 o más sumas de igual denominador.
(Durante el trabajo individual, aunque físicamente sentados en grupo, se
observa que algunos chicos copian los ejemplos que están en los afiches,
_
8
otros inventan nuevas sumas, controlando que el resultado sea 12 y en un
grupo se escuchan estos comentarios.)
Alumno 1: —Es más fácil inventarlas que copiarlas del pizarrón.
Alumno 2: —Sí, las de igual denominador.
_
… _
… _
… _ _
… 8
Alumno 3: —Hay que poner 12 + 12 + 12 + 12 = 12 dos, tres, cuatro sumandos
y luego poner los numeradores a cada uno para que te de 8.
Alumno 4: —Yo puedo simplificar el 12 y me da igual a _ . _ , no tiene
_8 2 2
3 3
denominador 12.
Alumno 3: —Te da de igual denominador que se puede simplificar o no. Si te
pinto siete doce, no se puede simplificar y te queda de igual denominador.
Si todas las fracciones tienen igual denominador, sumás los numeradores y
_
listo. Si te da una suma que da 12 , el resultado simplificado te da 1, uno no
12
es una fracción, pero se lo puede escribir como fracción 12 ._
12

Nap

Matemática 6
109

EJE
Número y
Operaciones
(En otro grupo se escuchan estos comentarios.)
Alumno 5: —Si todas tienen igual denominador se suman los numeradores
y listo.
Alumno 6: —Claro porque cuando el denominador es igual es porque la
parte que representa es igual y entonces se puede sumar los numeradores
que indican cuantos de esas partes hay.
Alumno 5: —¿Y cuánto me da, como en aquel caso, que tienen distintos los
denominadores?
Alumno 6: —Escribís en lugar de las fracciones que son equivalentes a esas,
hasta tener a todas de igual denominador.
Docente: —Vamos a recuperar el trabajo que acaban de hacer. Mientras
ustedes trabajaron, yo fui escuchando comentarios interesantes y quiero
someterlos a discusión. Si las fracciones que se suman tienen el mismo
denominador, el resultado, ¿tiene que expresarse con ese denominador?
¿puede escribirse de otra manera? Es más, ¿puede no ser una fracción?
(En plenario se acuerda que: para sumar fracciones es necesario que todas
tengan el mismo denominador, porque eso significa que las partes son
iguales. Entonces, se suman los numeradores y el resultado se puede
escribir con una fracción de igual denominador, o con otra equivalente de
distinto denominador o ser un número entero que también se lo puede
expresar como fracción. El docente pide que escriban las conclusiones en
las carpetas y, a continuación, que agreguen los ejemplos.)

En otra clase, el docente propuso avanzar un poco más retomando algunas pre-
guntas que habían surgido sobre cómo operar cuando las fracciones no tienen
el mismo denominador.
Después de acordar en sus grupos de trabajo, los alumnos expusieron sus
conclusiones.

Registro de clase

Alumno 1: —Si las fracciones son de distinto denominador, hay que hacer
otro paso más para hallar las equivalentes a las otras.
Alumno 2: —Se busca el común denominador, se escriben las fracciones
equivalentes a cada una de ellas, y al final cuando todas tienen igual
denominador recién se suman los numeradores.
Alumno 3: —En ese caso hay que encontrar fracciones equivalentes a las
dadas, todas de igual denominador.
(Otros alumnos manifiestan acuerdos, con las expresiones anteriores.)
Docente: —Registren en sus carpetas al menos seis de las sumas que
están en los afiches que tienen distinto denominador y expliquen por


Serie
110

escrito cómo se puede realizar la cuenta cuando no se conoce el
resultado.
(Dos alumnos que “inventaron otras”, las escribieron en el pizarrón para que
todos pudieran resolverlas.)

En clases posteriores, se siguió trabajando con preguntas como: Si los siguien-
tes números son denominadores de distintas fracciones: 6, 12, 24, 36, 96.
¿Cuál es el denominador común que eligen? ¿Por qué ese y no otro? En este
proceso, que llevó casi una semana de trabajo, los alumnos fueron acercándose
al algoritmo de manera reflexiva, apoyándose en sus conocimientos anteriores,
lo que resulta fértil tanto en términos del tipo de trabajo matemático que se rea-
liza como de la disponibilidad de distintas estrategias de cálculo.
Otra actividad para analizar distintas estrategias de cálculo y compararlas con
los algoritmos usuales, es pedir a los alumnos que elaboren un mensaje que dé
cuenta del procedimiento utilizado para resolver un cálculo. Cada grupo de alum-
nos recibe una tarjeta con una cuenta y deben decidir entre todos cómo escri-
bir un mensaje para que otro grupo pueda hacer esa cuenta siguiendo el mismo
procedimiento.
Es importante destacar que debemos armar las tarjetas teniendo en cuenta
las estrategias que han utilizado los alumnos en otras oportunidades y las pro-
piedades que conocen, pero también debemos incluir nuevas escrituras o modos
de organizar el cálculo para generar un problema. En este caso, mostramos
ejemplos de tarjetas preparadas para analizar la multiplicación con expresio-
nes decimales.

Las estrategias que se presentan a los grupos A y C se apoyan en la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

Nap

Matemática 6
111

EJE
Número y
Operaciones
La estrategia que se presenta al grupo B se basa en la descomposición en fac-

analizar la equivalencia entre 0,25 y _ , aplicar luego la conmutatividad de la mul-
tores y la aplicación de las propiedades asociativa y conmutativa de la multipli-
cación. En la estrategia que se propone al grupo D se recupera la posibilidad de
1
4
tiplicación y reconocer la fracción como el cociente. En el caso del grupo E, el
procedimiento utilizado es prácticamente el algoritmo convencional.
Si la idea de parte de parte está disponible, la multiplicación entre dos expre-
siones decimales no presentará dificultades, pues los alumnos ya han discutido
antes que, por ejemplo, la décima parte de la centésima parte en la milésima
parte y, por lo tanto:
6,4 x 4,25 =
64/10 x 425 /100 = 1/10 x 64 x 1/100 x 425 =
1/10 x 1/100 x 64 x 425 = 1/1000 x 64 x 425 = 64 x 425 : 1000

En el caso de los algoritmos para la división, si se recupera la idea de divi-
siones equivalentes, no hace falta diferenciar los casos en los que el dividendo, el
divisor, o ambos, son enteros o decimales. Solo basta con transformar el dividen-
do y el divisor, de modo de obtener una división equivalente con divisor entero.
Es decir, una vez más, la técnica experta y general se presenta como el cie-
rre de los aprendizajes obtenidos a partir de todo un proceso de enseñanza que
dura varios años y que, en este caso, se ha iniciado en 4º año/grado con los
números naturales.


Serie
112

Para trabajar con la información

En este apartado incluimos propuestas que toman la idea de tratar la informa-
ción desde una perspectiva amplia que implica no solo cómo trabajar con los
datos, sino también como obtener, organizar y representar conjuntos de datos.
En principio, y como ya se ha expresado en Cuadernos anteriores, cada vez
que se resuelve un problema se trata información. Por lo tanto, el análisis de los
datos en un contexto es un aspecto propio de la resolución del problema, así
como el modo en que estos se presentan (con enunciado verbal, gráficos o
tablas), selección de incógnitas, número de soluciones (una, varias, ninguna,
etc.). En este sentido, la variación en la presentación y en las preguntas asegu-
ra una mejor posibilidad de resolución de situaciones fuera de la escuela, pues
en general, los problemas que se deben resolver en estos casos, no se presen-
tan con un enunciado. Además, modificar la tarea que debe realizar el alumno,
también adecua la forma de trabajo de las situaciones con su tratamiento fuera
de la escuela. Por ejemplo, muchas veces, para una cierta pregunta, no tenemos
toda la información que permite elaborar su respuesta.
Por otra parte, en el Segundo Ciclo las actividades ligadas a la obtención,
organización y representación de conjuntos de datos enfrentan a los chicos con
nociones que luego invertirán al estudiar estadística.
Estas actividades, ya propuestas para años anteriores, comienzan con la inter-
pretación de tablas y gráficos ya confeccionados, proponiendo luego pasar la
información de una forma de presentación a otra incluyendo tablas, gráficos de
barras y pictogramas. Estas representaciones permiten, con una sola mirada,
establecer relaciones de proporcionalidad entre los elementos intervinientes en
una situación determinada, asociándola visualmente con alguna característica
de los mismos. En este año/grado, se podrá incluir también la interpretación de
gráficos circulares sencillos.
Los procedimientos que cuentan con el recuento de objetos (diagramas de
árbol, tablas de frecuencia, etc.) y las formas de agruparlos o combinarlos (per-
mutaciones o combinaciones) pueden ser trabajados por los alumnos a partir de
situaciones que promuevan ese tipo de procedimientos, sin entrar en las defini-
ciones formales de conceptos de estadística o de probabilidad.

Plantear situaciones para establecer relaciones entre datos e incógnitas

Una tarea interesante es la producción de problemas a partir de diferentes infor-
maciones. Así, cuando un alumno produce un problema o lo transforma, inclu-
yendo otros datos o ideando posibles preguntas, intervienen en el proceso tanto
su posibilidad de interactuar con la información como el sentido matemático que
le otorga a las nociones involucradas en el contexto planteado.

Nap

Matemática 6
113

Por ejemplo, podríamos dar informaciones con referencia a un contexto y

EJE
Número y
Operaciones
pedir a los chicos que formulen preguntas que se puedan responder con esos
datos. También podemos ofrecerles cálculos realizados con algunos datos apor-
tados por el contexto elegido y que ellos deban responder, si es posible, utilizan-
do la información brindada o buscando nueva información.

• Alicia quiere comprar una caja de sopa instantánea y encuentra en la
góndola del supermercado dos del mismo gusto con información diferente.
Lee las fechas de vencimiento y encuentra que ambas están en
condiciones, pero al compararlas supone que la caja B fue elaborada con
posterioridad a la caja A. Respondé a las preguntas que se hace Alicia.

CAJA A CAJA B
Contenido: 5 sobres de 10 g Contenido: 5 sobres de 11 g

Información nutricional Información nutricional

Valor energético (en kilocalorías) 29 Valor energético (en kilocalorías) 33,2

Proteínas (en g) 0,5 Proteínas (en g) 0,94

Glúcidos (en g) 5,5 Glúcidos (en g) 6,28

Lípidos (en g) 0,6 Lípidos (en g) 0,46

Fibra alimentaria (en g) 0,8 Fibra alimentaria (en g) 0,85

a) Al comparar el contenido de un sobre de ambas cajas, Alicia ve que los
sobres de la caja B contienen 1 g más, y que las calorías pasaron de 29 a
33,2 y piensa: ¿es verdad que el peso aumentó en un 10 %?
b) Alicia sigue leyendo y se pregunta: ¿las calorías aumentaron en la
misma proporción? ¿y los otros componentes?
c) En la caja A, se informa que la sopa reúne el equilibrio nutricional
propuesto por la pirámide alimentaria. Conseguí la información que
necesites para analizar si esa información es cierta.
d) ¿Sería posible incluir esa información en la caja B?

En este caso, las preguntas son variadas y requieren que los alumnos realicen
distintos trabajos, como analizar la validez de una afirmación, dar una respuesta
aproximada, buscar información adicional. También es posible realizar una acti-
vidad similar, a partir de los prospectos de medicamentos, como se presenta a
continuación.


Serie
114

• El médico le ha dado a Juan Ignacio el siguiente recetario con las
respectivas indicaciones. ¿Son suficientes las cajas indicadas en el recetario?

En este caso, se hace necesario comparar información a través del cálculo para
decidir una respuesta que no es numérica (alcanza, no alcanza, alcanza justo
etc.), es decir, hace falta contextualizar en la situación los resultados numéricos.
Otro análisis interesante sería averiguar cuáles son los datos irrelevantes, para
dar respuesta a la pregunta planteada (125 mg; 5 mg).
Como hemos planteado en Cuadernos anteriores, también es importante pre-
sentar problemas donde la pregunta tiene más de una respuesta, para que los chi-
cos no construyan la idea de que un problema tiene siempre una única solución.
Para iniciar a los alumnos en un trabajo de probabilidad, es posible propo-
ner un juego como el siguiente y promover luego el análisis de datos y la extrac-
ción de inferencias.

Nap

Matemática 6
115

“¿Qué sumas me convienen?”: armar conjeturas a partir de datos.

EJE
Número y
Operaciones
Materiales: cada grupo contará con un par de dados y una cuadrícula
como la siguiente.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12.

Organización de la clase: grupos de 4 ó 5 integrantes.
Desarrollo: antes de comenzar a jugar, cada alumno elegirá dos columnas
encabezadas por un posible resultado de la suma de ambos dados. Los
números que no hayan sido elegidos por los alumnos serán representantes
de “jugadores fantasmas” y se marcará un punto en el cuadrito respectivo
cada vez que salgan esos números.
A su turno, cada jugador tira los dados y canta la suma obtenida. El
integrante que eligió dicha columna pinta un cuadradito.
Gana el jugador cuyo número haya completado las 10 casillas de su columna.

Luego de jugar, promoveremos que los alumnos, mirando los distintos tableros
completos del juego, respondan a la pregunta Si ahora volviéramos a jugar, qué
números elegirían. Es probable que al comparar los diferentes tableros se
observe que en general ganan las sumas que dan 6, 7 y 8.
A continuación transcribimos un fragmento de una clase y algunas expresio-
nes que aparecieron en la puesta común, luego que el docente preguntara: ¿Por
qué creen ustedes que en muchos grupos ganaron las sumas, 6, 7 y 8?


Serie
116

Registro de clase

Javier: —Yo elegí el 2 y solo esperaba que saliera el 1 + 1, en cambio Juan
eligió el 6 y tenía más suerte porque le podía salir 3 + 3, 4 + 2 o 5 + 1.
Sandra: —Porque siempre tiraba Juan.
Docente: —Pero... ¿En los demás grupos, tiraban otros chicos?
Marcos: —Porque tiramos pocas veces....
Docente: —Podríamos jugar a tirar más veces... Pero miremos en todos los
cuadros: si sumáramos las tiradas de todos los grupos vemos que el dos
salió mucho menos. Pensemos en el argumento que dijo Javier y discutan
con sus compañeros: ¿cuántas sumas pueden dar 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
,11 y 12?
(En el trabajo de los pequeños grupos se escuchan breves diálogos como
los siguientes.)
Alumno 1: —Nos conviene 6, 7, 8 porque tenés tres sumas que dan 6, tres
que dan 7 y tres que dan 8.
Alumno 2: —Sí, pero puede ser que no te salga.
Alumno 3: —Entonces, cuanto más grande, tenés más posibilidades de que
te salga.
Alumno 4: —¡No! El dado tiene hasta 6.
Alumno 3: —A nosotros nos salió muchas veces 6 + 6... ¡eso fue suerte!
Alumno 4: —Sí, pero si elegís primero, ¿elegís el 12?
Alumno 5: —No te conviene elegir el 2 y el 3, y tampoco el 11 y el 12,
porque tenés una sola suma que te dan esos números.
Alumno 6: —Van en orden los dos primeros (Se refieren a las sumas que dan
2 y 3.), tienen una sola suma posible, los dos que le siguen (Se refieren a
las sumas que dan 4 y 5.) tienen dos sumas posibles y los del medio (Se
refieren a las sumas que dan 6, 7 y 8.) tienen tres sumas posibles, después
les siguen los que tienen dos sumas (Se refieren a las sumas que dan 9 y
10.) y con los dos últimos tienen la misma posibilidad que los dos primeros.

En el momento de discusión se recuperarán algunas de las conclusiones expre-
sadas por los grupos que permiten iniciar a los alumnos en el análisis de datos
y en la extracción de inferencias, llegando a conclusiones tales como:
—Hay números que tienen las mismas posibilidades de ganar o perder. Los
números que te dan menos posibilidades de ganar son los números de los
extremos, pero aunque elijas el 6, 7 o el 8 también podés perder.
Queda todavía por discutir que si bien para el 2 y el 3 tienen una sola suma
posible, al tirar los dados, el 2 tiene una única posibilidad de salir (1 en cada
dado) y el 3 tiene dos posibilidades (2 + 1 y 1 + 2).

Nap

Matemática 6
117

Así, este juego favoreció la conveniencia de interpretar información analizan-

EJE
Número y
Operaciones
do datos concretos y formulando preguntas que los inicia en nuevos problemas
donde se pueden hacer predicciones y contrastarlas con los resultados.

Plantear situaciones para obtener y organizar datos

Desde su origen, la estadística se ocupó del registro ordenado y sistemático de
datos, pero sin embargo estuvo más relacionada con la política y la economía
que con la matemática.
En la sociedad tecnológica actual, la destreza en la lectura crítica de datos es
una necesidad, ya que diariamente se encuentran tablas y gráficos en la prensa
y otros medios de comunicación referidos tanto al comercio, como a temáticas
de otras disciplinas. ¿Quién no ha visto un gráfico de barras que ilustre la evo-
lución del precio del petróleo año a año, o los canales de TV más vistos por los
argentinos, o un gráfico circular que muestra el porcentaje de votos que obtuvo
cada candidato?
Es precisamente la estadística la que brinda la oportunidad de dominar estos
conjuntos de datos y hacerlos utilizables. Para ello, es necesario llevar a cabo un
proceso de organización y análisis que permita comprender el funcionamiento
de ciertas poblaciones.
El trabajo de estadística27 en el aula podría estar vinculado a discutir y resol-
ver el problema de definir y describir una muestra como así también inferir con-
clusiones a partir de los datos que se han representado. En el análisis de la
información, es importante distinguir si los datos hacen referencia a todos los
elementos que son objeto de estudio o solo a una parte de ellos. Si la informa-
ción da cuenta de la totalidad de los elementos del conjunto en cuestión, se trata
de una “población”. Si, en cambio, se ha elegido un subconjunto de la población
que permite inferir características de esta, se ha trabajado con una “muestra”.
En el Primer Ciclo, cuando los chicos juegan a los dados o se realiza una vota-
ción, por ejemplo, para elegir el nombre de la biblioteca del aula, y se registran
en una tabla los puntos o votos obtenidos, se inician las actividades para obte-
ner y organizar datos.
Otras actividades implican la interpretación de tablas y gráficos ya confeccio-
nados. En este sentido, en 5º año/grado, se han incluido actividades para inter-
pretar los gráficos estadísticos denominados gráficos de barra y pictogramas.

27
Recomendación de lectura: véase “Nociones de estadística”, en: Ponce, H. (2000),
Enseñar y aprender Matemática. Propuestas para el Segundo Ciclo, Buenos Aires,
Novedades Educativas.


Serie
118

En 6º año/grado, es posible incluir la interpretación y producción de gráficos de
torta o circulares. Esta representación, al igual que los gráficos de barra y los
pictogramas, permite apreciar las variaciones en forma rápida y visual, pues se
usan escalas que conservan la proporcionalidad entre las magnitudes que inter-
vienen en la situación.
En el caso de los gráficos de torta, intervienen dos variables, una cualitativa que
se suele representar con distintos colores para cada valor y otra variable cuantita-
tiva. Esta última se representa con diferentes amplitudes de sectores circulares,
que se traducen antes en porcentajes de la magnitud correspondiente, conside-
rando con 100% los 360° de la vuelta completa.
En este sentido, podemos proponer actividades de interpretación de diferen-
tes niveles de complejidad. Una primera alternativa es considerar la representa-
ción del resultado de una votación que tiene la ventaja en términos de
asignación de significado por parte de los alumnos, de ser similares a las que
aparecen en los medios de comunicación cuando se realizan elecciones de
autoridades. En este caso, la variable cualitativa o nominal es “la lista por la que
vota” y la cuantitativa “el número de votos obtenidos”, con números naturales.

• El siguiente gráfico muestra la información recogida, al comenzar las
clases, por el profe de Educación Física, quien preguntó a sus alumnos de
6º año cuál es su deporte favorito. Ningún alumno dejó de responder y cada
uno eligió un solo deporte como favorito. Analizá el gráfico y luego
respondé a las preguntas.

a) ¿Cuántos alumnos respondieron la pregunta?
b) ¿Cuáles son los deportes favoritos de los alumnos?

Nap

Matemática 6
119

c) ¿Cuál es el deporte que menos les gusta?

EJE
Número y
Operaciones
d) ¿Qué deportes les gustan menos que el voley?
e) ¿Cuántos alumnos prefieren basquetball o voley?
f) ¿Cuántos alumnos prefieren los deportes de equipo?
g) ¿Qué deporte es preferido por el triple de los alumnos que ahora
prefieren natación?

Algunas preguntas se pueden responder comparando simplemente la altura de
las barras en tanto que otras apuntan a obtener información numérica, como a),
e), f) y g). También podemos pedir que formulen preguntas que se puedan res-
ponder a partir de este u otros gráficos.
Con el fin de cuestionar uno de los supuestos que los alumnos sostienen al
resolver situaciones respecto de si una afirmación es “la falsa” entonces la otra
es la verdadera, es posible dar interpretaciones erróneas del gráfico para que
los chicos analicen la veracidad de las mismas. Por ejemplo, a partir de la
siguiente consigna.

• Juan dice que el triple de los alumnos prefieren basquetball a maratón y
Gabriel dice que el triple de los alumnos prefieren natación a handball.
¿Quién tiene razón?

En este caso, ambas afirmaciones son falsas, pero los errores cometidos apun-
tan en un caso a la lectura del eje vertical y en otro a la interpretación del texto.
A partir de esta actividad, es posible proponer a los alumnos que realicen la
misma encuesta en otro año/grado. Si la información recogida pretendiera ser
usada por alumnos que escribirán artículos para el periódico escolar con los
siguientes títulos Qué deporte es el más elegido entre los chicos, Las nuevas
generaciones y los deportes grupales o bien Todos los chicos practican depor-
tes, sería posible abrir la discusión respecto de la elección del tipo de represen-
tación según la información que se pretende mostrar más claramente.
Otra opción es presentarles 2 ó 3 gráficos diferentes y sin datos, y pedirles
que indiquen cuál es el que corresponde a una situación determinada.


Serie
120

Cabe destacar que muchas veces se manipula la información mediante el uso
intencional de determinadas formas de representación. En algunos casos, el tipo
de gráfico hace que se distorsione la información. Así, por ejemplo, en un gráfico
circular es diferente si es bidimensional que si está en 3D y en perspectiva. En
otros casos, cuando se utilizan gráficos de barras o columnas, lo que muestran los
gráficos depende de la escala que se elija y del origen de coordenadas.28
Un ejemplo de actividad de mayor complejidad que la anterior es el que resul-
ta de incluir números racionales. En este sentido, se podrían proponer distintas
actividades a partir de tablas como las siguientes.

• Analizá los siguientes cuadros y luego respondé.

Gases fundamentales Superficie de la Tierra cubierta
de la atmósfera por cada océano
Nitrógeno (N2) 78,08 % Océanos Superficie (km2)

Oxígeno (O2) 20,95 % Pacífico 165.000.000

Argón (Ar) 0,93 % Atlántico 82.000.000

Neón, Helio, Kriptón 0,0001 % Índico 73.000.000

Antártico 20.000.000

Ártico 14.000.000

a) ¿Es posible construir un gráfico circular que muestre con claridad la
información de cada tabla? ¿Por qué?
b) Cuando sea posible, construí el gráfico.
c) ¿Qué relación tienen los componentes de la atmósfera con las
posibilidades de vida sobre la Tierra?
d) Conseguí la información que necesites y construí un gráfico de torta que
permita comparar a simple vista la superficie de la Tierra cubierta de agua
con la que corresponde a los continentes.

28
En Propuestas para el aula. Material para el docente. Matemática. EGB 2. Programa Nacional
de Innovaciones educativas del Ministerio de Nación. En la propuesta ¡Salven la merluza!, se pro-
pone una actividad interesante al respecto.

Nap

Matemática 6
121

Los valores expresados en la primera tabla son muy diferentes, por tanto resul-

EJE
Número y
Operaciones
ta complejo incluir todos los valores de la variable nominal en el gráfico circular.
Al intentar volcar la información en un gráfico circular, una discusión que no
puede faltar consistiría en la necesidad de aproximar algunas cantidades para
hallar los porcentajes que facilitarían la confección de los mismos.

En Ciencias Naturales, en el Eje “La Tierra, el Universo y sus cambios” es posi-
ble que aparezca información organizada de diferente manera, tabla, gráfico
circular, de barras o pictograma. Una intervención posible, en esos casos, es
preguntar si dicha información era posible representarla de otra manera y qué
ventajas podría tener hacerlo.

nap El reconocimiento y uso de relaciones espaciales
y de sistemas de referencia.

El reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos y la producción
y el análisis de construcciones considerando las propiedades involucradas.

La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes
expresiones posibles para una misma cantidad.

El análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos
para estimar y calcular medidas


EJE
Serie

Geometría
y Medida

Los saberes que se ponen en juego

Para que los alumnos puedan aprender los saberes incluidos en los Núcleos de
Aprendizajes Prioritarios es necesario que propongamos situaciones de ense-
ñanza en las que se pongan en juego distintos aspectos de los mismos. Se trata
de que los conocimientos matemáticos se introduzcan en el aula asociados con
los distintos problemas que permiten resolverlos, para luego identificarlos y sis-
tematizarlos. Esto es:

• Ubicar puntos en el plano en función de un sistema de referencia dado.
• Interpretar, elaborar y comparar representaciones del espacio (croquis, pla-
nos) explicitando las relaciones de proporcionalidad utilizadas; teniendo en
cuenta las relaciones espaciales entre los elementos representados.
• Describir, comparar y clasificar figuras en base a las propiedades conocidas.
• Producir y comparar desarrollos planos de cuerpos argumentando sobre su
pertinencia.
• Copiar y construir figuras1 a partir de diferentes informaciones sobre propie-
dades y medidas utilizando compás, regla y transportador y escuadra evaluando
la adecuación de la figura obtenida.
• Ampliar y reducir figuras explicitando las relaciones de proporcionalidad invo-
lucradas.
• Componer y descomponer figuras y argumentar sobre las propiedades de las
figuras obtenidas utilizando las de las figuras iniciales.
• Analizar afirmaciones2 acerca de las propiedades de las figuras y argumentar
sobre su validez.

1
La complejidad de la tarea estará dada por el repertorio de figuras y propiedades involucradas y
por los materiales que se utilicen.
2
La complejidad de las afirmaciones estará dada por el repertorio de figuras y propiedades invo-
lucradas, promoviendo el avance desde comprobaciones empíricas (plegados, superposiciones,
comparación de dibujos o usando regla o compás, mediciones) hacia argumentaciones más
generales, utilizando propiedades conocidas.

Nap

Matemática 6
125

• Estimar y medir efectivamente cantidades, eligiendo el instrumento y la uni-

EJE
Geometría
y Medida
dad en función de la precisión requerida3.
• Argumentar sobre la equivalencia de distintas expresiones para una misma
cantidad, utilizando las relaciones de proporcionalidad que organizan las unidades
del SIMELA.
• Calcular cantidades, estimando el resultado que se espera obtener y evaluan-
do la pertinencia de la unidad elegida para expresar el resultado.
• Elaborar y comparar procedimientos para calcular áreas de polígonos, estable-
ciendo equivalencias entre figuras de diferente forma mediante composiciones y
descomposiciones para obtener rectángulos.
• Analizar la variación del perímetro y del área de la figura cuando varía la lon-
gitud de sus lados.

Propuestas de enseñanza

En este apartado, intentamos precisar el alcance y el sentido de los conocimien-
tos que se priorizan en el Eje “Geometría y Medida”. Para ello, proponemos algu-
nos ejemplos de actividades para desarrollar en el aula y de producciones de los
niños. Además, presentamos posibles secuencias de actividades que muestran
el tipo de trabajo matemático propuesto desde el enfoque explicitado en el ini-
cio de este Cuaderno.4

Para establecer y representar relaciones espaciales

Cuando se habla de “enseñanza de la Geometría”, en la escuela generalmente se
hace referencia a dos campos de conocimientos: el de los conocimientos que el
niño necesita para controlar sus relaciones habituales con el espacio, conocido
como “estructuración del espacio” y el de los “conocimientos geométricos propia-
mente dichos”. A pesar de las diferencias entre el conocimiento geométrico y el
conocimiento espacial, ambos están fuertemente vinculados. El estudio histórico
muestra que la geometría euclidiana surgió a partir de la resolución de problemas
espaciales ligados a la medida de espacios físicos. Sin embargo, la Geometría se

3
Se incluyen las construcciones de figuras geométricas y la elaboración de gráficos estadísticos.
4
En reiteradas ocasiones se propondrán actividades a partir de lo que se ha realizado en el
año/grado anterior. En los casos en que los chicos no hayan realizado dicho trabajo u otro simi-
lar, es conveniente consultar Cuadernos para el aula: Matemática 5 para que, en función de los
conocimientos del grupo, el docente decida cómo adaptar la propuesta que allí se incluye.


Serie
126

desarrolló desprendiéndose de sus orígenes espaciales y su objeto de estudio es,
actualmente, un espacio ideal con objetos teóricos que obedecen a las reglas del
trabajo matemático.
La construcción del espacio, considerado como un proceso cognitivo de interac-
ciones, se desarrolla desde un espacio intuitivo en el que se manipulan objetos, se
efectúan desplazamientos, medidas, cálculos espaciales de un espacio conceptua-
lizado o abstracto, relacionado con la capacidad de representar internamente el
espacio, reflexionando y razonando propiedades geométricas, adoptando diferentes
sistemas de referencia y anticipando relaciones. El dominio del espacio, es decir, la
posibilidad de control eficaz de las relaciones del sujeto con el espacio sensible, se
facilitará si dispone de los conocimientos geométricos que podrá poner en juego
para resolver los problemas a los que se enfrente. La resolución de problemas se
apoya en la modelización del espacio en cuestión. El mundo físico tiende a ser expli-
cado a través de modelos matemáticos y la Geometría es muy útil en estos casos.
La Geometría se ha constituido en parte como una modelización del espacio físico.
A ella le compete la particular relación entre los datos que se obtienen a través de la
percepción y la medición del espacio físico y de los objetos teóricos (figuras, cuerpos,
etc.), así como la formulación de sus propiedades que funcionan en la Matemática.
Podemos afirmar, entonces, que el sentido del espacio se inicia en los niños
a través de la experiencia directa con los objetos del espacio circundante, pero
es necesario enriquecer esos conocimientos a través de actividades que impli-
quen representaciones del espacio, transformaciones, discusión de ideas, con-
jeturas y comprobación de hipótesis, priorizando la anticipación y el control de
las acciones sobre el espacio.
El trabajo en el aula tendrá la intencionalidad de que los alumnos logren
desarrollar una concepción del espacio que les permita un control adecuado de
sus relaciones espaciales a partir de plantearles problemas relativos al espacio
que puedan resolver a partir de sus concepciones espontáneas. Como ya
hemos afirmado al comienzo de este Cuaderno, el sentido de un conocimien-
to está vinculado a las nociones que se ponen en juego para resolver un pro-
blema. En este caso, las situaciones pueden ser tomadas de la vida cotidiana o
del contexto propio de la Geometría5.
La propuesta para 6º año/grado es continuar el trabajo ya iniciado sobre las
representaciones del espacio, para avanzar en el uso de sistemas de referencia
para la ubicación de puntos en el plano.

5
Recomendación de lectura: véase el apartado “Los contextos” en “Enseñar Matemática en el
Segundo Ciclo” de este Cuaderno.

Nap

Matemática 6
127

EJE
Geometría
y Medida
Plantear situaciones para ubicar puntos en un sistema de referencia

Las experiencias de ubicación de objetos en el espacio realizadas en años ante-
riores sirven de base para determinar la posición de un punto en el plano o en
el espacio. Si bien cada una de las relaciones espaciales es importante en sí
misma, para la estructuración del espacio y para los saberes prácticos de los
alumnos, la construcción de un sistema de coordenadas es el modelo matemá-
tico que resuelve el problema de la representación. Hay diferentes maneras de
definir un sistema. Por ejemplo, para ubicar una ciudad sobre la superficie de la
Tierra, se usan dos coordenadas: latitud y longitud, definidas a partir del sistema
dado por el Ecuador y el meridiano de Greenwich. Asimismo, para ubicar la posi-
ción de una ciudad sobre una ruta, se indica el número de la ruta y la distancia
a partir de un punto de origen que, en el caso de nuestras rutas nacionales, es
el Congreso de la Nación, en la Ciudad de Buenos Aires. En tanto que para ubi-
car un punto en el plano, usualmente se utiliza el sistema de coordenadas rec-
tangulares, también llamado sistema de coordenadas cartesianas debido al filó-
sofo y matemático René Descartes que introdujo su uso hacia 1600.
A veces, se desea establecer mediante coordenadas una calle o un edificio
en el plano de la ciudad y se usa un sistema de referencias combinando núme-
ros y letras. Si los alumnos no conocen este tipo de sistema, es conveniente que
lo exploren antes de trabajar sobre la localización de puntos.
Con el fin de que los alumnos adviertan la necesidad de definir dos coorde-
nadas para determinar un punto en el plano en un sistema de referencias y
puedan apropiarse de la noción de par ordenado, podemos proponer actividades
como las que se incluyen en la siguiente secuencia.

Secuencia para avanzar en el uso de coordenadas: “Ubicar posiciones”

Si los alumnos hubieran trabajado en años anteriores con cualquiera de las pro-
puestas más sencillas del tipo “Batalla naval” y “Batalla geométrica”6, en las que
utilizaron referencias que combinan una letra y un número para ubicar una cua-
drícula determinada, es posible recordar dicha actividad y comenzar esta
secuencia desde la segunda actividad. En caso contrario, se recomienda comen-
zar por la primera actividad.

6
Recomendación de lectura: estas propuestas se encuentran en el apartado “Plantear situacio-
nes para ubicar posiciones en función de distintas referencias”, en “Para establecer y represen-
tar relaciones espaciales”, de Cuadernos para el aula: Matemática 4 y Cuadernos para el aula:
Matemática 5.


Serie
128

Actividad 1
Se les plantea a los chicos que, en pequeños grupos, discutan cómo armar un
código secreto para enviar mensajes utilizando, por ejemplo, una cuadrícula
como la siguiente:

9 C F R G L O M I H K
8 B D J H N Ñ Z X V U
7 A T S R P J K E O G
6 H Q N Y U V B U S N
5 O G U M S I W R D X
4 T E K S A T F M J V
3 R P O C Q E L N U Y
2 J U L Z H Q I A P E
1 Ñ M V X O I T L C Q
0 E W S B D R G Z F A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Se puede proponer a los alumnos que luego elaboren un mensaje para que otro
grupo pueda descifrarlo, utilizando los números del tablero como referencias
para localizar las letras. Durante el primer intercambio habrá que discutir la nece-
sidad de acordar en qué orden se usan los números, ya que para este tablero,
por ejemplo, el par (2; 5) podría indicar una U o una Q.

Actividad 2

“Descubrir la clave”: ubicar puntos en el plano.
Materiales: cada grupo contará con papel del tamaño de una cartulina y un
cartoncito o varilla de madera de 10 cm que funcionará como unidad.
Organización de la clase: la clase se dividirá en un número par de grupos,
de 4 ó 5 integrantes cada uno.
Desarrollo: como se trata de un juego de comunicación, antes de
comenzar a jugar se enumeran los grupos y se establece quiénes
intercambiarán entre sí sus producciones. Cada grupo recibirá una tarjeta
distinta con cinco consignas, que deberán ser resueltas en la cartulina.
Por ejemplo:

Nap

Matemática 6
129

• Dibujen:

EJE
Geometría
y Medida
a) Un punto a a una distancia de 4 unidades con respecto al borde inferior.
b) Un punto b a una distancia de 3 unidades con respecto al borde vertical
derecho.
c) Un punto c a una distancia de 5 unidades con respecto al borde vertical
izquierdo.
d) Un punto d a una distancia de 2 unidades con respecto al borde vertical
izquierdo y de 4 unidades con respecto al borde inferior.
e) Un punto e a una distancia de 3 unidades con respecto al borde vertical
izquierdo y a 5 unidades con respecto al borde inferior.

Una vez que los distintos grupos hayan resuelto las consignas, se
intercambian las cartulinas. Cada grupo receptor deberá producir el mensaje
que supone que recibió el grupo que marcó los puntos en la cartulina. Se
escriben las consignas y se entregan al grupo emisor. Cada grupo obtiene
un punto por cada consigna bien escrita. Gana el grupo que obtenga el
mayor puntaje.

Seguramente, una de las primeras dificultades de los grupos será determinar
cuál se considera el borde inferior de la cartulina, cuestión que podría discutirse
al plantear las consignas.
En el momento de reflexión posterior al juego podremos plantear preguntas
como las siguientes:
¿En qué casos hubo diferencias entre las consignas? ¿Por qué?
¿En qué casos pudieron determinar los puntos sin dificultad?
¿Cuántos datos es necesario definir para ubicar un punto en la hoja de papel?
¿Qué ocurre si se cambia el orden de los datos en relación al punto que se
determina?
El objetivo del juego es que los alumnos descubran que para fijar un punto en
el plano hay que definir dos coordenadas, dado que con solo una hay infinitas
posiciones del punto y que cada coordenada indica la distancia del punto en
relación con cada borde de la cartulina, que luego se vincularán con los ejes7.

7
Recomendación de lectura: véase el apartado “Las representaciones” en “Enseñar


Serie
130

Según los conocimientos disponibles de los alumnos, podríamos incluir con-
signas con expresiones fraccionarias, como dibujen un punto M a 3 unidades
y media con respecto al borde inferior o dar unidades de distinta longitud, para
concluir luego que la posición del punto queda determinada en función de las
unidades que se definen para los ejes.
En este punto del trabajo es necesario precisar que el sistema de coordena-
das es una convención con ciertas condiciones. Así, por ejemplo, el sistema de
coordenadas cartesianas ortogonales está formado por un par de ejes per-
pendiculares sobre los que se define un segmento unidad y, en forma equidistan-
te, se representan los números. Es decir, son dos rectas numéricas que se cortan
en un punto llamado origen del sistema. El eje horizontal es el de las abscisas y
el eje vertical, el de las ordenadas.
Todo punto del plano puede ubicarse por medio de un par ordenado de núme-
ros llamados coordenadas del punto. Para ubicar, por ejemplo, el punto P (3; 2),
tomamos el primer elemento del par, 3, como la abscisa del punto y el segundo
elemento del par, 2, como la ordenada del punto.

Actividad 3
Otra actividad que podemos plantear, para que los chicos utilicen lo aprendido y
ubiquen puntos en el sistema de ejes, es un juego como el siguiente.

“Un mensaje con puntos”: ubicar los vértices de figuras geométricas.
Materiales: cada grupo contará con una tarjeta con una determinada figura
sobre un sistema de ejes, y otra tarjeta en la que solo esté dibujado el sistema
de coordenadas de las mismas dimensiones que el sistema anterior. Por
ejemplo:

Nap

Matemática 6
131

EJE
Geometría
y Medida
Tarjeta 1 Tarjeta 2

Organización de la clase: en un número par de grupos, de 4 ó 5
integrantes.
Desarrollo: cada grupo recibirá una tarjeta con una figura del tipo de la
tarjeta 1 y tendrá que elaborar un mensaje para que el grupo receptor
pueda construir la figura. El mensaje no podrá contener dibujos ni el
nombre de la figura. Al intercambiar los mensajes, los grupos que ahora
funcionan como receptores recibirán otra tarjeta como la 2 en la que estará
dibujado el sistema de ejes sobre el que dibujarán la figura. Cuando hayan
terminado de dibujar la figura, los emisores y receptores que forman el
mismo equipo se reunirán para comparar las producciones.

Este tipo de actividad promueve que los alumnos reconozcan que las coordena-
das de un punto son un recurso útil para definir los vértices que permiten la
construcción de la figura.

Para complejizar esta actividad, podemos tener en cuenta los contenidos abor-
dados en otros apartados, como “Plantear situaciones para comparar cantida-
des y números” donde se debe ubicar el vértice entre dos valores enteros
determinados en los ejes o en “Plantear situaciones para reproducir figuras”, ya
que las figuras pueden ser variadas: cóncavas y convexas.

Si quisiéramos aprovechar el trabajo sobre coordenadas para avanzar en el estu-
dio de las propiedades de las figuras podríamos incluir actividades como las
siguientes.


Serie
132

• a) Julián y Marina estaban jugando al juego de los mensajes, y al ver las
coordenadas de los vértices de la figura que recibieron en el mensaje,
dijeron que es una figura simétrica. ¿Vos que pensás?, ¿tienen razón Julián
y Marina?

b) Los chicos que recibieron el mensaje de Julián y María dicen que antes
de dibujar la figura, ya saben que es un cuadrado. ¿Cómo creés que se
dieron cuenta?

• a) Completá las coordenadas de los puntos que faltan para que la figura
sea un cuadrado.
A: (5;10) B: (5;4) C: (…;…) D: (…;…)
b) Completá las coordenadas de los puntos que faltan para que la figura
sea un rectángulo.
M: (0;3) N: (…;…) P: (6;5) Q: (…;…)
c) Explicá por escrito cómo pensaste en a) y en b) y luego discutí tu
propuesta con un compañero.
d) Discutí en grupo cómo se definirían las coordenadas de los vértices de
un rombo. Escriban entre todos un ejemplo y luego verifíquenlo, dibujando
el rombo en un sistema de coordenadas.

Nap

Matemática 6
133

Cuando, en la discusión final explicitemos los procedimientos de los alumnos

EJE
Geometría
y Medida
resultará interesante que propongamos la discusión acerca de dónde se ubican
los puntos cuando una de las coordenadas es cero. Como así también las seme-
janzas y diferencias de las coordenadas de los puntos que definen lados con-
gruentes de una figura.

Plantear situaciones para producir e interpretar representaciones
a escala

En 6º año/grado, los alumnos seguramente ya han interpretado algunas repre-
sentaciones a escala, como mapas o planos8, pero es probable que no hayan
explicitado las relaciones de proporcionalidad que han utilizado. El trabajo plan-
teado en el Eje “Número y Operaciones”, a propósito de la proporcionalidad, nos
habilita ahora a realizar un análisis con mayor profundidad que, a la vez, permite
articular estos ejes y ampliar el sentido de las nociones involucradas. En princi-
pio, y para profundizar el conocimiento de los sistemas de coordenadas, se
podría analizar la importancia de mantener una escala en dichos sistemas plan-
teando una actividad como la siguiente.

• Observá la figura que sigue:

8
Recomendación de lectura: actividades de este tipo pueden encontrarse en el apartado
“Plantear situaciones para producir e interpretar representaciones del espacio bi y tridimensio-
nal” incluido en “Para establecer y representar relaciones espaciales” de Cuadernos para el
aula: Matemática 5.


Serie
134

a) Discutí con un compañero cómo resultará la figura, si cambian la escala
de los ejes así:
- conservando la unidad en el eje x y reduciendo a la mitad la unidad del eje y.
- reduciendo a la mitad la unidad del eje x y conservando la del eje y.
b) Una vez que acuerden cómo piensan que van a quedar las figuras,
verifíquenlo dibujando los sistemas y las figuras con las mismas
coordenadas que las dadas.

Las figuras obtenidas por los alumnos no mantendrán la forma original.

Una vez realizada esta exploración, podremos pedir a los niños que anticipen qué
ocurre con la figura, si ambas escalas se modifican respetando la misma regla,
por ejemplo la mitad de la unidad para el eje x y para el eje y. También se podrí-
an presentar ampliaciones y reducciones de la figura para que los alumnos
determinen cuál es la constante de proporcionalidad utilizada y adviertan cómo
se modifica el tamaño si este número es mayor o menor que 1.

En el apartado “Plantear situaciones para analizar relaciones de proporcionali-
dad” de este Cuaderno se afirmó que nuestra tarea no consiste en comunicar
y mostrar a los alumnos cómo funciona la regla de tres para aplicarla a este
tipo de problemas, sino que deberemos generar situaciones, en este caso, de
ampliaciones y de reducciones, donde estas estrategias se pongan en juego y
promover la reflexión sobre las propiedades que actúan como instrumentos de
resolución. Solo de esta manera los chicos podrán dominar las reglas para
luego decidir cuál usar según los números que aparecen.

Nap

Matemática 6
135

Si consideramos que la figura es muy compleja, podríamos reemplazarla por un

EJE
Geometría
y Medida
cuadrado, un rectángulo u otro polígono. Esto permitiría, a la vez, analizar cuá-
les son las propiedades de la figura que se mantienen (amplitud de los ángu-
los, paralelismo de los lados) y cuáles se modifican (longitud de los lados),
cuando se realizan ampliaciones o reducciones. Estos aspectos también podre-
mos retomarlos cuando se analicen las actividades planteadas en los aparta-
dos “Plantear situaciones para construir figuras con distintos procedimientos” y
“Plantear situaciones para avanzar en la exploración de relaciones entre perí-
metros y áreas” en este mismo Eje.
Podríamos complejizar las actividades sobre planos, por ejemplo al incluir la
consideración de la escala en la siguiente consigna:

• Ubicá en este plano, en el que se representa una sala de computación y
video de 7 m de ancho por 15 m de largo, los siguientes objetos: cinco
mesas de computadora, de 1 m x 60 cm, a la derecha de la puerta de entrada,
otras 2 mesas en la pared donde están las ventanas, una mesa rectangular de
1 m x 2,50 m con 8 sillas alrededor, en el centro de la sala y por último, una
mesa para ubicar la TV y la reproductora de videos en una esquina.

En este caso, los alumnos tendrán que descubrir la escala utilizada en el plano
que se adjunta, para luego aplicarla al mobiliario que deben incluir en dicho salón.

Podríamos aprovechar el trabajo realizado en Ciencias Sociales a propósito de
la interpretación de mapas y el uso de distintas escalas. Por ejemplo, en
Cuadernos para el aula: Ciencias Sociales 6, en el Eje “Las sociedades a través
del tiempo”, se estudian las políticas impulsadas por el Estado nacional para
desarrollar la economía agroexportadora. Asimismo, en los mapas con redes
ferroviarias de Argentina, se puede observar su confluencia en Buenos Aires y la
mayor densidad en la zona pampeana que en otras regiones.


Serie
136

Para avanzar en el conocimiento de las figuras y de los
cuerpos geométricos

Pensar en una propuesta de enseñanza acerca de las figuras bi y tridimensiona-
les nos lleva a plantearnos ciertos interrogantes: ¿Qué significa estudiar figuras?
¿Reconocerlas, recordar sus nombres? ¿Enunciar sus propiedades o clasificar-
las? ¿Cómo favorecer en los alumnos la construcción del concepto de cuerpo
geométrico?9
Cuando los niños ingresan en la escuela, consideran las figuras como dibu-
jos, es decir que su reconocimiento está basado en la percepción; así, por ejem-
plo, reconocen al cuadrado en forma global sin percibir las propiedades que lo
caracterizan.
Las relaciones entre dibujo y figura son complejas y se van modificando en
función de los conocimientos que los niños van elaborando: cada uno identifica
en el dibujo las propiedades del objeto geométrico de acuerdo a los conocimien-
tos que posee y, a medida que evolucionan sus conceptualizaciones, las propie-
dades del objeto geométrico que ese dibujo representa se tornan más observa-
bles. Esta evolución es producto de un proceso de aprendizaje que supone la
resolución de problemas que exijan y posibiliten la elaboración del conocimien-
to del que los niños tienen que apropiarse.
Muchos autores han hecho explícitas las diferencias entre dibujo y figura.
Entre ellos, Parzysz10: afirma que la figura es el objeto geométrico descrito por
el texto que la define, una idea, una creación del espíritu, en tanto que el dibu-
jo es una representación de este objeto.
A propósito de las relaciones entre dibujo y figura es también interesante
destacar que, muchas veces, un dibujo no da cuenta de todas las propiedades y
relaciones planteadas en un problema. En otros casos, los alumnos infieren pro-
piedades del dibujo que no forman parte del objeto geométrico que están ana-
lizando. Por ejemplo, la posición del dibujo con respecto a la hoja de papel. Para
muchos niños, un cuadrado “torcido”, deja de ser cuadrado.
Si bien en el Primer Ciclo el tratamiento de las figuras como dibujos será pre-
ponderante, es importante que en el Segundo Ciclo, desde la propuesta de
enseñanza, los alumnos tengan oportunidad de enfrentarse a situaciones que
les exijan hacer anticipaciones, tomar decisiones basadas en conocimientos

9
Recomendación de lectura: véase Itzcovich, H. (2005), Iniciación al estudio didáctico de la
Geometría, Buenos Aires, Libros del Zorzal.
10
Citado en Laborde, C. y Capponi, B. (1994), “Cabri-Geometre Constituant d´un millieu por
láprentissage de la notion de Figure géometrique”. Recherches en Didactique des
Mathématiques, Vol. 14, 12. París, La Pensée Sauvage Editions.

Nap

Matemática 6
137

geométricos y encontrar la manera de validarlas. En ese proceso, las construc-

EJE
Geometría
y Medida
ciones ocupan un lugar esencial y el dominio de ciertas habilidades, como el uso
de instrumentos o la precisión en el trazado, debe estar subordinado al aprendi-
zaje de los conceptos y relaciones.
Entre los problemas que podemos proponer, distinguiremos los que implican
construcciones, para los cuales es preciso que los alumnos elaboren las propie-
dades de las figuras, de otros problemas, en los que se usan las propiedades ya
conocidas. Para resolver los primeros, buscaremos que los alumnos anticipen
resultados sin recurrir a la experiencia de medir. El hecho de no recurrir a la
experiencia sensible implica asumir que las relaciones que se establecen son
independientes de las medidas.
De modo similar, la actividad de clasificación de figuras (de triángulos o de
cuadriláteros) quedará a cargo de los alumnos y nuestra tarea será seleccionar
el universo de figuras sobre el que se va a trabajar, promoviendo que sean los
alumnos los que esbocen criterios de clasificación, los pongan a prueba, los
reformulen.
Los dibujos sobre el papel constituyen una poderosa herramienta para la
resolución de problemas, y también un paso intermedio entre los objetos teóri-
cos y los objetos reales. Estas representaciones se construyen en un juego de
acuerdos y desacuerdos entre los datos que se apoyan en la percepción y los
que responden a las condiciones teóricas del problema y que pueden oponerse
a la evidencia. Con esta propuesta de enseñanza deseamos lograr que los alum-
nos aprendan a interpretar el dibujo como una referencia y a considerar solo las
relaciones dadas en el texto.
En general, todos lo docentes nos preocupamos por lograr que los niños sean
hábiles en el manejo de instrumentos. En este sentido, creemos que es intere-
sante enfrentar a los niños con actividades que les permitan ir logrando cada vez
más destrezas en el uso de los instrumentos pero es necesario tener en cuen-
ta que ese logro no es el objeto de la enseñanza. La precisión en el uso de los
instrumentos de geometría debe estar al servicio de la resolución de problemas
y de las conceptualizaciones que sí son objeto de estudio de la Geometría.
Autorizar o no el uso de un determinado instrumento es una de las variables que
podemos utilizar para poner condiciones a los problemas, de manera que en su
solución se involucren diferentes relaciones entre los elementos de las figuras.
En 6º año/grado, continuaremos con la sistematización de las propiedades de
lados, ángulos y diagonales de triángulos, cuadriláteros y polígonos de más de cua-
tro lados. En cuanto a los cuerpos, profundizaremos el estudio de poliedros.


Serie
138

Plantear situaciones para comparar y describir figuras y cuerpos

Retomar el juego de adivinar figuras o cuerpos favorece que los alumnos pue-
dan observar nuevas propiedades de las mismas. Cuando los chicos disponen
de unos primeros conocimientos sobre los elementos de las figuras y de los
cuerpos, y algunas de sus propiedades, van descubriendo nuevas relaciones que
hasta el momento no podían advertir. Por ejemplo, frente a una colección de cua-
driláteros, muchos alumnos podrían preguntar ¿tiene lados opuestos iguales? y
luego ¿tiene ángulos iguales?, sin advertir que si un cuadrilátero tiene lados
opuestos congruentes, los ángulos opuestos también son congruentes. Así, es
posible volver a jugar para favorecer nuevos aprendizajes a partir de un análisis
más profundo de las preguntas. Sin embargo, es necesario tener en cuenta que
al repetir un mismo tipo de actividad, los alumnos pueden perder interés y, en
ese sentido, es importante averiguar si nuestro grupo ya conoce este juego y si
lo ha jugado ya varias veces.
Para el caso de los cuerpos, es posible entonces proponer el juego para
advertir la relación entre la forma y números de sus caras.

“Adivinar el cuerpo”: establecer relaciones entre la forma y el número de
las caras de distintos cuerpos geométricos.
Materiales: una caja de cuerpos geométricos que incluya poliedros
(prismas y pirámides) conos y cilindros.
Organización de la clase: grupos de cuatro integrantes cada uno.
Desarrollo: el maestro elige un cuerpo del conjunto de cuerpos de la caja.
Cada grupo va realizando por escrito, de a una, las preguntas que hará al
maestro para adivinar el cuerpo elegido. El maestro solo responde por sí o
por no a cada pregunta. Gana el grupo que descubre el cuerpo con la
menor cantidad de preguntas.

En otro momento, podríamos proponer que uno de los integrantes de cada
grupo sea quien elige el cuerpo y responda a las preguntas que le hacen sus
compañeros. Esto implica que quien responde por sí o por no, tiene que analizar
las propiedades del cuerpo elegido.
Si el grupo ya ha realizado este tipo de juego, entonces es posible que no
aparezcan preguntas como: ¿Cuántas caras tiene? o ¿qué forma tienen sus
caras laterales? que no pueden responderse por sí o por no. Pero sí es posible
que los alumnos formulen preguntas referidas a las propiedades de los cuerpos
que ya han sido descartadas con las preguntas anteriores. Por ello, resulta inte-
resante que, para organizar la discusión posterior, contemos con el registro de
las preguntas y propiciemos el análisis de su pertinencia en relación con las con-
diciones necesarias y suficientes para descubrir el cuerpo elegido. A partir de la

Nap

Matemática 6
139

discusión instalada en el grupo, se pueden registrar en un afiche aquellas pre-

EJE
Geometría
y Medida
guntas necesarias y suficientes para descubrir el cuerpo elegido. Una variante
para jugar en otras ocasiones, puede ser limitar el número de preguntas para
exigirles a los chicos que identifiquen las propiedades esenciales de cada cuer-
po o figura elegido.
Otra variante, si los alumnos ya han trabajado antes sobre representaciones
de cuerpos, es pedir que el que adivina tenga que hacer un esquema para com-
parar luego el dibujo con el cuerpo. Es importante advertir que, si bien las repre-
sentaciones en perspectiva de los cuerpos ya aparecen en los libros de texto de
Primer Ciclo, la interpretación de estas representaciones requiere un trabajo
específico ya que, por ejemplo, algunas propiedades del cuerpo no se observan
en el dibujo. Por ejemplo, podremos entregar una fotocopia con un cubo dibuja-
do y una pregunta como la siguiente:

• ¿Podríamos asegurar que este
dibujo representa un cubo, si solo
una cara es cuadrada, en las otras
no se observan ángulos rectos y
los lados no son todos
congruentes?

En este sentido será necesario que propongamos situaciones en las que los
alumnos deban dibujar cuerpos desde distintos puntos de vista y discutir luego
qué propiedades se “ven” en las distintas representaciones y cuáles no.
Luego, ofreceremos situaciones simuladas como las que siguen.

• Leticia y María Emilia juegan a adivinar un cuerpo. Leticia le dice a María
Emilia:
—Ya elegí uno de estos cuerpos. Para adivinarlo, solo podés hacerme tres
preguntas.

María Emilia pregunta: ¿Tiene alguna cara curva? ¿Termina en punta?
a) Si las dos respuestas de Leticia son sí, ¿es necesario hacer otra pregunta?
b) Si suponés que la dos repuestas son no, ¿qué pregunta harías para
saber de qué cuerpo se trata? Explicá cómo lo pensaste.


Serie
140

En la discusión posterior analizaremos cómo las respuestas afirmativas o negativas
hacen variar el cuerpo elegido y sobre todo propiciaremos que los alumnos descu-
bran cuáles son las propiedades que permiten identificar a uno y otro cuerpo.
Este juego se puede proponer también con figuras, por ejemplo con el con-
junto de los cuadriláteros, para que los alumnos pongan en juego las propieda-
des ya exploradas: lados o ángulos congruentes, lados paralelos, ángulos rectos.
Así, podrán avanzar en el descubrimiento de otras propiedades, como lados
opuestos paralelos y congruentes, ángulos opuestos congruentes, diagonales
congruentes y perpendiculares, que permiten identificar cada cuadrilátero. Es
interesante poner condiciones, por ejemplo: no se puede preguntar por ángu-
los rectos o lados iguales para que surjan otras propiedades.
Otro tipo de actividades que podremos plantear para describir cuerpos, esta-
bleciendo relaciones entre sus elementos es, por ejemplo, la que sigue.

• Analizá los siguientes desarrollos planos y señalá con cuáles es posible
armar el prisma dibujado. Explicá cómo lo pensaste.

Nap

Matemática 6
141

• Decí con cuál de los desarrollos planos, sin recortarlos, se puede construir

EJE
Geometría
y Medida
un farolito de cartulina en forma de pirámide de base cuadrada. Explicá por
escrito cómo lo pensaste en cada caso.

Las actividades de este tipo favorecen que los alumnos establezcan conclusio-
nes sobre la relación entre la forma de la base de una pirámide y la cantidad
de triángulos que constituyen las caras laterales. Si bien esperamos que la vali-
dación realizada por los alumnos sea de tipo argumentativo en un primer
momento, también existe la posibilidad de verificar lo que piensan recortando y
armando los cuerpos.
Otras actividades relacionadas con la descripción de las propiedades esen-
ciales de las pirámides son aquellas en las que se dan algunas de las caras late-
rales y la base, y se pide que completen el plano para que sea posible armar una
pirámide. Los juegos de comunicación en los que los alumnos tienen que elabo-
rar mensajes para dictar una figura o describir un cuerpo, de modo que el que
recibe el mensaje pueda construir uno exactamente igual son actividades muy
apropiadas para promover no solo que exploren las propiedades esenciales, sino
que favorecen la apropiación del vocabulario específico cuando se confrontan
las características explicitadas en los mensajes.
Para profundizar el análisis de las propiedades que definen cuerpos o figuras,
que ya se inició en años anteriores, es necesario plantear también situaciones
en las que los alumnos tienen que validar mensajes realizados para describir
figuras o cuerpos o completarlos para abordar explícitamente el trabajo sobre la
argumentación. Otro factor de complejización es considerar las relaciones entre
propiedades, por ejemplo, analizar si es posible que un cuadrilátero tenga, a la
vez, dos pares de lados paralelos y ángulos opuestos no congruentes.


Serie
142

• Cecilia eligió una de estas figuras y escribió este mensaje. Analicen si lo
que escribió alcanza para saber cuál es la figura que eligió.

El tipo de mensajes que presentemos a los alumnos dependerá de los conoci-
mientos que se hayan explicitado hasta el momento. En tal sentido, habrá que
articular estas propuestas con las que se presentan más adelante, en el aparta-
do “Plantear situaciones para sistematizar propiedades de figuras y cuerpos”.

Plantear situaciones para construir figuras con distintos procedimientos

Cuando planteamos que las actividades que proponemos desde la enseñanza
tienen que favorecer la construcción de los conocimientos por los alumnos y en
este caso en particular favorecer la elaboración de las propiedades de las figu-
ras y cuerpos geométricos, las construcciones ocupan un lugar esencial. En este
caso, estamos considerando las construcciones, no como las utilizamos en nues-
tra escolaridad, sino como un recurso muy valioso para la exploración y el des-
cubrimiento de propiedades y relaciones a partir del análisis y de la posibilidad
de anticipar, conjeturar, confrontar para avanzar en los conocimientos. Estamos
pensando en que esas construcciones representen genuinos problemas y no
algoritmos que hay que saber repetir.
En este sentido, podremos, a través de las actividades, inhibir el uso de algu-
nos instrumentos para habilitar otros que exijan a los alumnos desplegar proce-
dimientos diferentes para resolver una situación.
Las actividades de dictado de figuras y copiado a partir de pedir datos
involucran construcciones y dan al alumno la oportunidad de buscar las relacio-
nes y los elementos necesarios, como así también discutir acerca de la posibili-
dad de construcción y la cantidad de soluciones.

Nap

Matemática 6
143

• a) Mariana dibujó un cuadrilátero cuyas diagonales miden 4 y 7 cm.

EJE
Geometría
y Medida
Cada una corta a la otra en el punto medio. Ahora dibujá vos un
cuadrilátero con esas características.
b) ¿Podés asegurar que la figura
que dibujaste es igual a la que hizo
Mariana? ¿Por qué?
• Para que Mariana pudiera construir
esta figura sin verla, los chicos
escribieron estos mensajes. ¿Cuál
creés que permite construir la figura?

En actividades como las anteriores, centraremos la discusión en distinguir qué
propiedades caracterizan a una figura y cuáles caracterizan a más de una figu-
ra. Por ejemplo, si bien el romboide cumple las condiciones del mensaje de
Javier, también hay otras figuras, infinitas, que lo cumplen.

En este caso, será necesario que los alumnos agreguen alguna condición para
que el mensaje sea efectivo. Esta tarea es compleja, pues requiere establecer
relaciones entre clases de figuras y llevará más o menos tiempo de clase,


Serie
144

dependiendo del repertorio de figuras que deseemos abarcar. En este sentido,
actividades como las de la siguiente secuencia podrían adaptarse para estudiar
otros polígonos.

Secuencia para determinar propiedades de una figura: “Construir rectángulos”

Actividad 1
Se organiza la clase en grupos. Propondremos a los alumnos discutir lo que indi-
ca la consigna.

a) En grupo, analicen cada caso y definan si es posible construir una única
figura, si se pueden construir figuras diferentes o si no se puede construir
ninguna figura.
I. Un rectángulo que tenga un lado de 3 cm y otro de 5 cm.
II. Un rectángulo que tenga dos lados de 5 cm.
III. Un rectángulo que tenga una diagonal de 8 cm.
IV. Un rectángulo cuyo perímetro mida 16 cm.
V. Un cuadrilátero que tenga sus diagonales que miden 4 y 7 cm.
VI. Un cuadrilátero que tenga sus diagonales iguales.
b) En los casos en que sea posible construir más de una figura, modifiquen
los datos para que sea posible construir una única figura.

Esta actividad exige que, a partir de las condiciones dadas, los alumnos antici-
pen las construcciones posibles y sobre todo determinen si se trata de una única
figura o no. Será importante promover en los grupos no solo la anticipación, sino
la justificación de sus afirmaciones. En una puesta en común propondremos
registrar las primeras conclusiones sobre las propiedades del rectángulo.

Actividad 2
Para recuperar las propiedades de las diagonales que seguramente surgieron de la
actividad anterior, podremos continuar con la siguiente actividad de construcción.

a) Construí un rectángulo de modo que el segmento AB sea una diagonal.
A
B
b) ¿Podés construir otro rectángulo distinto que también tenga a AB como
diagonal?
c) ¿Cómo podés asegurar que la figura que obtuviste es un rectángulo?

Nap

Matemática 6
145

EJE
Geometría
y Medida
Actividad 3
A continuación, podremos ofrecer una tarea diferente, que consiste en analizar
afirmaciones de otros.

• Considerá las siguientes afirmaciones y decidí si estás de acuerdo o no
con lo que dicen los chicos.

Para hacer un Si las diagonales
cuadrado, las Para hacer un son perpendiculares,
diagonales tienen cuadrado, las no puede ser un
que ser iguales. diagonales tienen rectángulo.
que ser
perpendiculares.

María Luz Ramiro Jessica

Actividad 4
La siguiente es una actividad de síntesis. En la puesta en común, convendrá que
solicitemos a los chicos que expliquen por qué creen en cada caso que la figu-
ra resulta un rectángulo, e iremos registrando las razones que dan, en las que
irán explicitando las propiedades involucradas.

• Discutí con tu grupo y anotá qué procedimientos conocen para construir
un rectángulo. En cada caso, indicá qué datos y qué instrumentos se
necesitan para construirlo.


Serie
146

A continuación, se transcriben algunos procedimientos que utilizaron alumnos
de 6º año/grado para realizar la actividad 2 de la secuencia. Para resolverla,
podían recortar, calcar, y disponían de una caja de geometría donde se encon-
traban todos los instrumentos: escuadras, reglas, transportador y compás.

Procedimiento 1:
Desplazando la escuadra construyeron un triángulo rectán-
gulo. Luego, con dos triángulos, compusieron el rectángulo.
Cuando terminaron, miraron la figura e intentaron nueva-
mente, porque... nos salió cuadrado, justificaron.

Reprodujeron el mismo procedimiento trasladando la escua-
dra hasta visualizar el rectángulo, ahora sí es rectángulo,
afirmaron.

Procedimiento 2:
Trazaron paralelas por los extremos del segmento, luego las perpendiculares y
remarcaron el rectángulo.

Procedimiento 3:
Marcaron la mitad de AB, trazaron otro segmento congruente con AB y dibuja-
ron el rectángulo.

Al comunicar los procedimientos y tratar de justificar la construcción del rectán-
gulo se explicitan contenidos tales como el trazado de paralelas y perpendicula-
res con escuadra, la descomposición del rectángulo en dos triángulos
rectángulos iguales, el reconocimiento del paralelismo de los lados opuestos y
de la congruencia de diagonales y lados.

Nap

Matemática 6
147

En un primer momento, y si bien los rectángulos que se obtienen son distin-

EJE
Geometría
y Medida
tos, los alumnos atribuyen esta variedad a la diferencia de procedimientos. Pero
es la discusión sobre el ítem b) de la actividad lo que permite descubrir que, con
esa diagonal, pueden construirse tantos rectángulos como se desee11. Ante la
pregunta ¿Cómo pueden asegurar que es un rectángulo? aparecen respues-
tas como: los lados opuestos son paralelos y sus ángulos son rectos, tiene
ángulos rectos, tiene cuatro ángulos rectos, los lados opuestos son iguales y
los ángulos son rectos.
Si bien los alumnos siguen apoyándose todavía en comprobaciones empíricas,
también comienzan a usar las propiedades que conocen y consideran válidas para
justificar a partir de esas comprobaciones. Por ejemplo, pueden decir si tiene las
diagonales iguales, y que se cortan en el punto medio, seguro es un rectángu-
lo, aunque todavía no puedan argumentar sobre la validez de esa afirmación.
La actividad 3 permite avanzar en la identificación del cuadrado como un rec-
tángulo particular y volver sobre las propiedades de lados y diagonales de los
rectángulos, que podrán terminar de explicitarse en la actividad 4.
Otra forma de promover la explicitación de las propiedades es transformar la
consigna de la actividad 4 y que los alumnos tengan que producir un mensaje
para que otro alumno construya un rectángulo. Puede ocurrir que los chicos
usen como datos la longitud de los lados, el valor de los lados y la diagonal, o
solo el valor de la diagonal, por este motivo es interesante que en el espacio de
reflexión propiciemos el análisis sobre la relación entre los mensajes, los datos
aportados y las figuras resultantes.

Plantear situaciones para sistematizar propiedades de figuras y cuerpos

Para avanzar en el aprendizaje de las propiedades de las figuras tendremos que
proponer, durante bastante tiempo, situaciones en las cuales los niños puedan
elaborarlas. Se trata de un proyecto a largo plazo, en el que los alumnos tendrán
la oportunidad de enfrentarse a situaciones que les exijan hacer anticipaciones,
tomar decisiones basadas en los conocimientos geométricos que tengan dispo-
nibles y encontrar nuevas maneras de validar.
Como ya hemos afirmado, describir una figura y construirla a partir de su des-
cripción textual hace posible que los alumnos pongan en juego sus concepcio-
nes y busquen nuevas relaciones que les permitirán ir sistematizando ciertas

11
Recomendación de lectura: también es posible construir un rectángulo utilizando como diagona-
les dos diámetros cualesquiera de una circunferencia. Una secuencia completa al respecto puede
encontrarse en el documento de trabajo Nº 5. La enseñanza de la geometría en el Segundo
Ciclo. Subsecretaria de Educación de la Ciudad de Buenos Aires, Dirección de Curricula, 1998.


Serie
148

relaciones y conceptos que la escuela se compromete a enseñar. La reproduc-
ción de figuras supone la búsqueda de relaciones y elementos que las caracte-
rizan, aunque permanezcan implícitas, pero las actividades de comunicación exi-
gen que esas relaciones se hagan explícitas.
Tanto la decisión de pedir datos como de explicitarlos supone, por parte de
los alumnos, no solo el trabajo de identificación de ciertas relaciones sino la anti-
cipación de algún procedimiento. Aceptar este modo de proceder supone un
avance importante en la posibilidad de generalizar las relaciones que se estable-
cen a propósito de las figuras.
Actividades como las siguientes, en las que los alumnos tienen que analizar
procedimientos elaborados por otros o enunciar las propiedades que caracteri-
zan o no a una figura, promueven la puesta en juego de sus representaciones
mentales acerca de los conocimientos geométricos. Luego de realizar activida-
des de observación, acción, reflexión e interiorización es posible avanzar hacia la
generalización.

“¡A dibujar figuras!”: enunciar las propiedades de distintas figuras.
Materiales12: 20 tarjetas como las que se muestran a continuación. Papel liso y
lápiz para dibujar.
Organización de la clase: grupos de no más de cuatro integrantes.
Desarrollo: se mezclan las tarjetas y se reparten cuatro a cada jugador. Cada
jugador analiza sus tarjetas y dibuja a mano alzada una sola figura que cumpla
la mayor cantidad posible de propiedades de las tarjetas que recibió. Cuando
muestra la figura dibujada al resto del grupo, si estos acuerdan que es válida,
obtiene un punto por cada tarjeta tenida en cuenta.

12
Otras cartas con propiedades de diferentes figuras geométricas están disponibles en Chemello,
G. (coord.), Hanfling, M. y Machiunas, V. (2001), Juegos en Matemática EGB 2. El juego como
recurso para aprender (Material recortable para alumnos). En el Material para docentes pueden
encontrarse otras propuestas que permiten trabajar en el mismo sentido.

Nap

Matemática 6
149

EJE
Geometría
y Medida
Luego del juego, se realiza una puesta en común donde se analizará qué tarje-
tas fueron usadas más frecuentemente y cuáles solían no ser utilizadas. A con-
tinuación, y para profundizar las relaciones establecidas a partir del juego, se
pueden proponer situaciones simuladas, como la siguiente.

• ¿En qué figura estaba pensando Federico si cuando recibió las siguientes
tarjetas, dijo: Con estas tarjetas no puedo formar más de tres puntos.

Según el grupo de tarjetas elegidas, en este caso es posible dibujar un parale-
logramo, un trapezoide y un trapecio escaleno recto. La pregunta abierta da
lugar a que los alumnos den respuestas diferentes, y sobre esas respuestas se
podrá seguir discutiendo para llegar a conclusiones que les permiten avanzar en
las conceptualizaciones13.
Además de analizar un conjunto de elementos y propiedades, también pode-
mos considerar procedimientos de construcción, como por ejemplo:

13
Recomendación de lectura: véase Fuenlabrada, I., Block, D., Balbuena H., Carvajal, A. (2000),
Juega y aprende Matemática. Propuestas para divertirse y trabajar en el aula, Buenos Aires,
Novedades Educativas. Es posible encontrar otras propuestas de juego para trabajar en el
mismo sentido.


Serie
150

• Estos son los mensajes que escribieron los alumnos para algunas figuras.
Hay que encontrar cuál puede ser el mensaje que corresponde a cada figura.

Nap

Matemática 6
151

Los mensajes formulados admiten, por su nivel de generalidad, la identificación

EJE
Geometría
y Medida
de más de una figura. Por ejemplo, las condiciones del mensaje 5 hacen que la
figura, independientemente del tamaño, sea un cuadrado. En cambio, el mensa-
je 2 admite un conjunto de figuras: A, B, C, F, G, H, I y J.
Podremos centrar la discusión en el análisis que permita visualizar el atributo de
una clase, es decir que varias figuras pueden pertenecer a un mismo conjunto y
que una misma figura puede pertenecer a distintos conjuntos. La comparación del
mensaje 2 con el 4 permitirá ver que, por ejemplo, el paralelogramo propiamente
dicho pertenece a una clase de figuras por tener dos pares lados iguales y tam-
bién a otra clase de figuras ya que sus diagonales no son iguales ni perpendicu-
lares. Estas ideas posibilitan ir trabajando de una manera dinámica la inclusión de
las clases según los criterios que las definen.
Otro tipo de situaciones que favorecerá la sistematización de las propiedades
puede ser una como la siguiente.

• Justificá la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones, utilizando
contraejemplos en el caso de que sean falsas.
- Un cuadrilátero que tiene todos sus lados iguales es un cuadrado.
- Un cuadrilátero que tiene dos pares de lados iguales es un rectángulo.
- Una figura de cuatro lados que tiene un ángulo recto es un trapecio rectángulo.
- Una figura que no es paralelogramo y tiene sus diagonales
perpendiculares es el romboide.

La justificación a través de contraejemplos lleva a pensar en las representacio-
nes internas que se han ido construyendo a propósito de diferentes conjuntos
de figuras. Esta actividad puede concluirse proponiendo que los alumnos com-
pleten afirmaciones del tipo:

En un conjunto de cuadriláteros cuyas diagonales son iguales puede haber
un…………;
En un conjunto de cuadriláteros cuyos lados paralelos son iguales puede
haber un…………

El objetivo de estas actividades es que los alumnos realicen clasificaciones
explicitando los criterios que determinan las clases. Por ejemplo: lados iguales y
ángulos rectos; diagonales perpendiculares y lados opuestos iguales....
En todos los casos, habrá que ordenar las conclusiones a las que se aborde en
las distintas actividades en forma de cuadros, listas de propiedades, esquemas, etc.


Serie
152

Tal como lo señalamos antes, en este Cuaderno se ha desarrollado en pro-
fundidad el caso de los cuadriláteros para presentar el sentido del trabajo con
las figuras, representadas tanto a través de un texto como de un dibujo, pero las
actividades podrían adaptarse para abordar las propiedades de otros polígonos.
En relación con los triángulos, hay dos propiedades que es posible trabajar
en 6° año/grado: la propiedad triangular y la de la invariancia de la suma de los
ángulos interiores. Para la primera, es posible proponer un análisis de casos
que los lleve a elaborar una conjetura. Es conveniente que los niños realicen la
generalización a partir del análisis de casos, por ejemplo planteando estas con-
signas de trabajo.

a) Usando segmentos de 3 cm, 4 cm, 6 cm y 9 cm como lados, indicá dos
triángulos que se pueden construir y dos que no se puedan construir.
b) Juan encontró en un libro la siguiente afirmación: Para que se pueda
construir un triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados
debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Esto debe cumplirse para
las tres sumas posibles.
Comprobá si todos los triángulos que construiste cumplen dicha condición.

Para la segunda propiedad, podremos proponer problemas en las que los chicos
partan de propiedades conocidas.

Sabiendo que ABCD es un cuadrado y que MNOP y RSVQ, STUV y RTUQ
son rectángulos, calculá el valor de todos los ángulos marcados.

Para resolver esta situación los chicos pueden razonar a partir de sus conoci-
mientos sobre lados y ángulos de cuadrados, rectángulos y triángulos isósceles
y discutir, por ejemplo, por qué MNQ y ONP son triángulos iguales. Luego
podrán debatir sobre el valor de la suma de los ángulos interiores de todos los
triángulos dibujados.

Nap

Matemática 6
153

EJE
Geometría
y Medida
Para avanzar en el conocimiento del proceso de medir

La medida de magnitudes es importante tanto desde el punto de vista social como
científico, ya que cumple un rol esencial en la interpretación del mundo físico.
En la resolución de los problemas de medida que enfrentamos a diario se
involucran también muchos conocimientos geométricos, como cuando se dise-
ña un mueble o un folleto, se tiene que cubrir una superficie o se calculan el
volumen de una pileta o una distancia en un mapa. Los conocimientos acerca de
la medida de magnitudes permiten que los alumnos interpreten y usen datos
(relaciones comerciales, lectura de diarios) para tomar decisiones acordes a la
realidad, y favorecen de este modo la educación para el consumo.
Desde un punto de vista didáctico, en los Cuadernos anteriores la construc-
ción de los contenidos tanto geométricos como de medida se desarrollan por
caminos diferentes. Pero es posible llegar a un punto de encuentro cuando se
trata de calcular la medida de perímetros, áreas o volúmenes de determinadas
figuras o cuerpos geométricos.
Dado el uso social de la medida, en muchas ocasiones la escuela ha descui-
dado la enseñanza de estos saberes por considerar que pueden aprenderse en
relación con el medio. Asimismo, es frecuente que la enseñanza de la medida se
centre en las equivalencias entre unidades y en la estructura decimal del siste-
ma de unidades de medida. Muchas veces se evitan las prácticas efectivas de
medición y se usa el sistema métrico legal como un saber ya construido, sin dar
la posibilidad de compararlo con otros sistemas no convencionales. Los alumnos
realizan conversiones de unidades apoyándose en reglas mecánicas, y es fre-
cuente encontrar reflexiones como Para pasar de m a km, ¿voy para la dere-
cha o voy para la izquierda?
Desde las propuestas curriculares actuales se fundamenta la necesidad de
prestar más atención a la estimación y a la medición efectiva para resolver pro-
blemas que a la memorización y a la manipulación de fórmulas14. En principio, es
necesario distinguir las magnitudes físicas vinculadas al espacio, como la longi-
tud, la capacidad y la superficie, en las que se ponen en juego el marco geomé-
trico de otras magnitudes donde la forma de los objetos no influye como varia-
ble a tener en cuenta, como en el caso del peso y de la masa. Diferenciar las
distintas magnitudes requerirá plantear problemas específicos, ya que es difícil
comprender que un objeto es más pesado que otro usando solo la vista, que un

14
Un atributo medible es la característica de un objeto que se puede cuantificar. Los segmentos
de la recta tienen longitud, las figuras planas tienen superficie, los objetos físicos tienen masa,
peso, etc.


Serie
154

recipiente tiene más o menos capacidad sin haber hecho trasvasamientos o que
una superficie tiene igual área que otra de diferente forma sin haber recortado,
compensado o haber hecho cubrimientos.
Toda medición tiene un margen de error. Si se mide el ancho de una hoja varias
veces se puede obtener 19 cm, 19,2 cm, 18,9 cm, aun cuando se utilice el mismo
instrumento. En el acto de medir se juegan errores provocados por los defectos de
la escala del instrumento (errores sistemáticos), errores que se originan en las lec-
turas de la persona que esta midiendo (errores de apreciación) o errores que no
son previsibles (errores casuales), como la temperatura, la presión, etc.
Algunas situaciones que favorecen la construcción del sentido de las medi-
ciones son aquellas que permiten trabajar sobre:
- la medición efectiva de los atributos medibles de los objetos (longitud, peso,
capacidad, área), abordando la inexactitud de la resultados de las medidas (atri-
buida al instrumento de medición o al error humano);
- la necesidad de seleccionar una unidad de medida y un instrumento adecua-
do a la cantidad que se quiere medir, comparando unidades arbitrarias y conven-
cionales para comprender las regularidades del sistema de medición y
- la construcción de referentes comunes de medidas, para hacer comparacio-
nes y estimaciones.
La comprensión y el descubrimiento de las relaciones entre unidades se favore-
cerá siempre que los alumnos puedan resolver problemas tanto en el marco aritmé-
tico como en el geométrico. Abordar las características del Sistema Métrico Legal sin
haber realizado mediciones y tratado la expresión de sus resultados con distintas uni-
dades, puede dificultar la comprensión de las regularidades propias del sistema.
De manera general, podríamos decir que al abordar la enseñanza de las distin-
tas magnitudes deberemos incluir actividades que pongan en evidencia la necesi-
dad de determinar una unidad de medida, utilizar referentes en relación a medidas
de objetos familiares o unidades antropométricas, usar unidades no convenciona-
les con múltiplos y submúltiplos de esa unidad, y reflexionar sobre las ventajas de
la comunicación al contar con unidades legales y con los múltiplos y submúltiplos
de esas unidades. Vale aclarar aquí, y en particular en este año/grado, que la pre-
sentación del trabajo con distintos tipos de unidades (no convencionales, sean o
no antropométricos, y convencionales) no debe entenderse necesariamente en el
orden de su evolución histórica ya que solicitar el uso de unidades no convencio-
nales para realizar una medición puede resultar forzado cuando los alumnos cono-
cen y disponen de instrumentos convencionales. Así, deberemos cuidar que las
consignas para el trabajo con mediciones efectivas tengan en cuenta que el valor
que se busca debe tener sentido en función de la necesidad de tomar alguna deci-
sión en la resolución de un problema y que podrá resolverse usando distintas uni-
dades o instrumentos según lo requiera la situación y no, solamente, en función de
una necesidad escolar de trabajar los distintos tipos de unidades.

Nap

Matemática 6
155

EJE
Geometría
y Medida
Si bien en el apartado “Plantear situaciones para analizar las escrituras de can-
tidades15” se desarrolla casi al finalizar este Cuaderno, el tratamiento de las
equivalencias entre expresiones para una misma cantidad, que llevará en años
posteriores a sistematizar la estructura de los sistemas de unidades, debe
abordarse de manera articulada con las actividades de los otros apartados del
Eje “Geometría y Medida”. Este trabajo de análisis de escrituras requiere que
las equivalencias hayan sido producidas por los propios alumnos al resolver
problemas que involucren mediciones o cálculos de medidas.

Plantear situaciones para estimar, medir y expresar cantidades

La estimación es una estrategia de pensamiento, es un proceso mental en el
que confluyen la intuición y la lógica para resolver problemas de la vida cotidia-
na. Si bien el término “estimación” tiene múltiples usos, podemos decir que la
estimación en Matemática es el juicio de valor del resultado de una operación
numérica o de la medida de una cantidad, en función de circunstancias indivi-
duales del que lo emite16.
Estimar la medida de una cantidad es el proceso por el cual se obtiene una
medición sin necesidad de utilizar instrumentos. En algunos casos, la estimación
consiste en comparar dos cantidades, como cuando un conductor estima si es
posible estacionar su auto en el espacio que hay entre otros dos. En otros casos,
requiere del empleo de unidades de medida, como cuando le explicamos a una
persona la distancia a la que se encuentra de un determinado centro turístico.
Los procesos de estimación son muy frecuentes en las actividades de nuestra
vida diaria, la mayor parte de las personas realizan estimaciones y algunas llegan
a ser expertas en la tarea de estimar en determinados contextos. Así, por ejem-
plo, habitualmente utilizamos o escuchamos expresiones como En quince minu-
tos podés llegar caminando; Queda a diez cuadras, es casi un kilómetro; Esta
mesa no va a pasar por esa abertura, mide más de 1,20 m de ancho; Juan no
pasa por esa puerta, mide más de dos metros; Luego de tres minutos de coc-
ción, el huevo está listo para comer; La temperatura es bajo cero, el pasto está
congelado; Con cinco litros de pintura les alcanza para pintar las habitaciones
de la casa; Le doy 4 manzanas grandes, eso es aproximadamente un kg.

15
El citado apartado es el último de este Eje.
16
En Segovia, I. Castro, E., Castro, E. y Rico, L. (1989), Estimación en cálculo y medida. Madrid,
Síntesis.


Serie
156

En determinados oficios o profesiones el uso de la estimación es importante
para realizar diversas tareas, lo que implica una interiorización de determinadas
unidades y referentes17 que permiten llegar a estimaciones de cantidades con
una gran precisión. Por ejemplo:
- La compra o venta de un fertilizante, un insecticida, un abono o semillas,
supone una estimación previa por parte del agricultor, del jardinero o del comer-
ciante. Dicha estimación lo llevará a comprar o vender la cantidad mínima, pero
que sea la suficiente. El abono se compra por kilo, pero a la hora de distribuirlo
en cada planta, suele ser complicado pesar para cada planta 1 o 2 kg. Para solu-
cionarlo, muchas veces se recurre a la cantidad de abono que puede contener,
por ejemplo, una lata, entonces se utiliza el recipiente como unidad de referen-
cia, y para tal fin se lo pesa y se lo utiliza para estimar la cantidad de latas que
se deben echar por cada planta (una lata, una lata y media).
- La información que nos llega a través de los servicios meteorológicos sobre la
temperatura en tal o cual ciudad, nos dice, por ejemplo que la máxima fue de x gra-
dos centígrados, pero no se da a conocer exactamente el lugar de medición o las
condiciones en las que se tomó. No es extraño, entonces, que en otros puntos de
la misma ciudad, la temperatura difiera en varios grados. La velocidad del viento o
la lluvia caída también son datos aproximados, puesto que el viento no tiene siem-
pre la misma velocidad ni llueve en forma uniforme en todos los lugares.
- La compra de comida, el equilibrio del presupuesto familiar, la previsión de
gastos extras, la búsqueda constante de comercios donde los gastos se minimi-
cen son otras actividades donde es necesario estimar.
Los procesos de estimación son importantes para incluirlos en la enseñanza
por su utilidad práctica, y por la formación que propicia en el alumno en relación
con el conocimiento de la medida. Además, ofrecen una visión según la cual en
Matemática son válidos los resultados aproximados, siendo esta razón tan váli-
da como las anteriores.
Con el fin de que los alumnos realicen estimaciones, es necesario que estén

de _ o 10 metros, las baldosas, los azulejos, el papel glasé (1 dm2), la cuadra, el
_
familiarizados con una buena colección de referentes. Algunos referentes pue-
den ser su propio peso, altura, longitud de su pie o la palma de su mano, la tira
1 1
2
balde de 10 litros, latas de pintura (1 dal), el litro (jarras o botellas), el tanque de
agua de las casas (1000 litros), el termotanque (1 hl). Conocer el orden de mag-

17
Recomendación de lectura: véase Bressan, A. M., Bogisic, B. (1996), La estimación, una
forma importante de pensar en matemática, Documento curricular N° 1. En dicho documento
se explicita que los referentes son objetos usuales (tazas, baldosas, goteros, etc.) o partes de
nuestro cuerpo (brazos, palmas, pies, etc.) con los cuales es posible establecer una corres-
pondencia con las unidades convencionales.

Nap

Matemática 6
157

nitud de su propia altura, de la longitud de sus pasos (normales), de la capaci-

EJE
Geometría
y Medida
dad de una copa, de una taza, de ciertas distancias domésticas o geográficas,
etc., permitirá realizar estimaciones.
Por ejemplo, al estimar la altura de la puerta se puede pensar que es de 1m
y un poco más (más o menos) en relación al referente (altura de la persona). Si,
por ejemplo, la altura de una persona es de 1,60 m, entonces la altura de la
puerta será de 1,60 m más 40 cm, es decir aproximadamente de dos metros, o
por ejemplo, para estimar la altura de una ventana se puede pensar es más de
la mitad de mi altura ( _ partes), aproximadamente 1,20 m.
3
4
Todo lo expuesto hasta aquí fundamenta sin duda la inclusión de la estima-
ción en la enseñanza de la Matemática. Su importancia no radica solo en poder
obtener una respuesta aproximada antes de efectuar un cálculo, sino también
como herramienta de comprobación de resultados, como recurso para la ense-
ñanza de la medida y para determinar si una respuesta es o no razonable al
resolver un problema.
Por otra parte, la estimación permite a los alumnos considerar en el cálculo
matemático el doble carácter de exacto y aproximado. Para ello, es importante
que propongamos actividades que permitan apreciar en qué situación conviene
utilizar una u otra. Algunos términos, como aproximadamente, casi, más cerca
de, entre, un poco menos que dan cuenta de que la Matemática no se funda solo
en la exactitud. Las siguientes, son algunas actividades que podrían proponerse.

• En un negocio donde hay un cartel que dice rebajas del 5 % por fin de
temporada, una camisa cuesta $ 165. Si Juan tiene $ 150, ¿le alcanzará
para comprarla?

• Ana pinta una pared en 2 horas. María pinta la misma pared en 4 horas, si
las dos trabajan juntas, ¿cuánto tiempo emplearán?

En el primer problema, al hacer la estimación del precio para saber si es posible
comprar la camisa, es importante observar con los alumnos que se deben des-
contar $15 para poder comprarla. Pensar en el 10 % (se puede calcular fácil-
mente $16,5) puede servir para pensar que el 5 % es la mitad, en cuyo caso
el descuento será un poquito más de $ 8, pero es menor que los quince pesos
de descuento que necesita.
En el caso del cálculo de tiempo, un error frecuente de los alumnos consiste
en aplicar mecánicamente el promedio y decir que demoran 3 horas. En este
caso, es necesario discutir respecto del resultado, ya que ambas personas pue-
den trabajar en forma conjunta de manera tal que si una persona demora
dos horas y tiene alguien que la ayude, seguramente empleará menos de las dos
horas, por lo que el modelo de la proporcionalidad puede no ser adecuado para


Serie
158

dar una respuesta precisa en cuanto a la relación trabajo manual, cantidad de
personas y tiempo.
Otra actividad en la que se propone analizar estrategias de estimación es la
siguiente situación:

• Juan estaba entusiasmado leyendo un libro, y se dio cuenta de que en
una hora había leído 20 páginas. Entonces, quiso saber cuántas palabras
por minuto era capaz de leer. Para empezar a resolver el problema, a Juan
se le ocurrieron distintos procedimientos:
- Cuento todas las palabras de las diez hojas, y las divido por 60
minutos.
- Cuento las palabras que puede haber en una página, luego las
multiplico por las 20 páginas y al final divido por los 60 minutos.
- Cuento los renglones de una página (varias veces para estar
seguro), luego las palabras que hay en un renglón (varias veces) y en
distintos renglones. Y multiplico ambos números. A ese resultado lo
multiplico por las 20 páginas que leí y lo divido por 60.
¿Qué opinás acerca de las estrategias que pensó Juan? ¿Le permitirán
resolver el problema? ¿Cuál elegirías?

A continuación, presentamos una transcripción del trabajo con la consigna ante-
rior, realizado por un grupo de alumnos de 6º año/grado.

Registro de clase

En la clase, se producen discusiones en pequeños grupos respecto de las
tres estrategias. En un grupo donde discutieron la primera estrategia dijeron:
Alumno A: —No podés contar todas las palabras... de todas las hojas.
Alumno B: –Son muchas para contar una por una, no terminás nunca y
seguro que te confundís.
En el grupo, cuando discutieron la segunda estrategia dijeron:
Alumno C: –Yo ya probé, te perdés.
Alumno D: –Contemos callados, y vemos si nos da parecido.
Alumno E: –Me dio como quinientas.
Alumno F: –Mirá que no siempre te va a dar igual la cantidad de palabras...,
(Se ponen de acuerdo entre ellos.)
Alumno C: –Vos contá renglones de la página 1, vos de la 2 y nosotros dos
contamos las palabras que hay en 5 renglones.
En el tercer grupo, al considerar la última estrategia dijeron:
Alumno G: –Esta forma me parece más rápida y segura.
Alumno H: –Renglones por cada página hay 42, 39, 40, 40, porque en

Nap

Matemática 6
159

EJE
Geometría
y Medida
alguna hojas hay títulos y espacios..., redondeamos en 40, más o menos.
Alumno I: –Las palabras dan 10, 11,13, 12, 12, 11, 12, 11, 13 y..., hagamos
las cuentas con 12. Estos resultados van a ser más o menos...,
no son exactos..., tampoco leemos tanto, porque al final te cansás.
Alumno J: –Nos da 12 x 40 = 480 en una página, en 20 nos daría 9600
palabras... ¡tantas! Eso es en una hora entonces… entonces en un minuto…
dividí por 60... te da 160 palabras.
Alumno K: —A mí me da 11 por 42, que es igual 462 palabras en una
página, entonces en 20 da 9240 y al dividir por 60 minutos te da 154
palabras en un minuto.
Luego, la maestra organizó la discusión en plenario. Se debatió sobre
algunos cálculos, llegando a la conclusión de que el resultado está cercano a
los ciento cincuenta. Los alumnos observaron que los resultados están en el
orden de magnitud de las 154, 160, 164 palabras por minuto y que varían
entre 4, 6 y 10 palabras.
Los resultados expresan que esta cantidad de palabras es menor (en
promedio) que la cantidad de palabras que hay en un renglón. Algunos
alumnos propusieron verificar si más o menos el resultado es razonable,
midiendo el tiempo. Sugirieron que en los diferentes grupos unos integrantes
leyeran silenciosamente una hoja, y que otros integrantes midieran el tiempo
(un minuto). La docente dio lugar a dicha propuesta, porque consideró que
los resultados obtenidos necesitaban de una validez experimental. Además,
les propuso averiguar este dato, ya que había una propaganda de TV sobre
lectura veloz, donde seguramente aparecía el mismo.

En esta actividad se trabaja con magnitudes discretas (cantidad de palabras,
renglones) y con una magnitud cociente que es la cantidad de palabras por
minuto que mide la velocidad de lectura. En el trabajo que realizaron los alum-
nos se observaron expresiones que dan cuenta de las posibilidades que brinda
esta situación para que discutan especialmente sobre la estrategia que llevará a
estimar la cantidad de palabras por página, calcular la cantidad de palabras en
las 200 páginas, reflexionar sobre resultados aproximados, distribuir tareas para
recuperar datos, extrapolar resultados de una muestra, pensar en la razonabili-
dad de los resultados y procedimientos óptimos, necesidad de construir referen-
tes a través de la experiencia.


Serie
160

Tal como se afirmó al desarrollar el Eje “Número y Operaciones”, es en las
situaciones de estimación, medición efectiva y cálculo de medidas que las
expresiones fraccionarias y decimales adquieren sus primeros significados
para los chicos, ya que el uso social más difundido de estas escrituras está
asociado a medidas de longitud, superficie, peso, capacidad y tiempo.

Otras actividades, como la siguiente, permiten avanzar en la conformación de un
repertorio de referentes para las distintas magnitudes.

• Subrayá las respuestas más razonables para cada caso y explicá tus
razonamientos.
a) El número de alumnos de una clase de escuela es:
5 25 100 250
b) Juan recorre 60 km en auto y demora:
5 minutos 1 hora 300 minutos 10 horas
c) Para coser una cinta en los bordes de un repasador hay que comprar:
15 m de cinta 15 dm de cinta 15 cm de cinta 1,5 m de cinta
d) En un kg de naranjas entran:
5 naranjas 50 naranjas 8 naranjas

En estos casos, podemos proponer discutir si las soluciones son o no razona-
bles en función de un contexto. Para el caso a) la experiencia personal de los
alumnos hace que elijan el 25 como respuesta más razonable respecto a la
capacidad del aula, argumentando que sería imposible que entren 100 ó 250
alumnos en un aula, pero sí podrían ser 5 los alumnos de una clase aunque no
sea lo más normal. Para el caso b), algunos argumentos posibles se referirán a
la imposibilidad de realizar 60 km en 5 minutos, una hora sería razonable, aun-
que si se hace una pausa en el camino, también se podría demorar 5 horas (300
minutos) o 10 horas. Para el caso c), se descartan 15 m y 15 cm en función de
la representación del tamaño del repasador y eligen 1,5 m o 15 dm. Es proba-
ble que descarten 15 dm, ya que no es común tener la representación de esa
cantidad como un valor de referencia. Luego, la reflexión acerca de cuántos dm
hay en un metro, permitirá discutir sobre las equivalencias de dichas expresio-
nes e incorporar esa respuesta como razonable. Para el caso d) es posible des-
cartar fácilmente las 50 naranjas, no así para el caso de 5 y de 8 naranjas, pues-
to que habría que recurrir a mediciones o contar con alguna experiencia previa
que nos permita dar la respuesta.

Nap

Matemática 6
161

En la actividad siguiente, los alumnos tendrán la posibilidad de estimar y mejo-

EJE
Geometría
y Medida
rar sus estimaciones a partir de determinar los referentes y confrontar datos.

• Resolvé en forma individual
En un campamento escolar se prepara comida para 300 chicos. Para el
postre se quieren servir naranjas y para eso necesitan calcular cuántos kilos
tienen que comprar como mínimo para que no le falta a nadie. La
encargada de la cocina se plantea estas preguntas: ¿cuánto puede pesar
una naranja? ¿Cuántas naranjas entran en un kilo?
• Formen un grupo y armen una tabla con los datos que aporta cada uno.

Plantearles a los alumnos esta situación podrá generar la discusión acerca de
cómo hacer para estimar el peso de una naranja y qué caminos se pueden reco-
rrer. Es posible que los alumnos comenten: No sé cuánto pesa una naranja, No
todas las naranjas son iguales, por lo tanto pesarán distinto; Hay naranjas más
chicas que otras; Si son grandes, entran menos en el kilo. Los alumnos podrán
concluir que aún pesando una naranja no es posible generalizar y por lo tanto la
respuesta será aproximada.
Como tarea para el hogar, el docente podrá pedir que los chicos pesen una
naranja y un kilo de naranjas y cuenten cuántas entran en el kilo.

• Con los datos que trajo cada uno de los integrantes de tu grupo
confeccionen una tabla como la siguiente:

Alumno Peso de 1 naranja Cantidad por kg

a) Analicen la tabla y respondan
- El peso de una naranja, ¿entre qué valores está?
- El número de naranjas que entran en un kilo, ¿entre qué valores está?
b) Comparen los datos de las dos tablas y elijan valores para responder a
las preguntas que se hizo la encargada de la cocina

En la reflexión final de la actividad sería interesante plantear por qué el prome-
dio es una estrategia válida y cuáles son los referentes que sirven en este caso
para lograr una mejor aproximación.


Serie
162

Con respecto a las actividades que favorecen la comprensión del proceso de
medición, tal como se afirmó en Cuadernos para el aula: Matemática 5, en
cuanto a longitudes, pesos y capacidades proponemos continuar con el uso de
equivalencias de unidades para estimar el resultado de un cálculo, la equivalen-
cia de cantidades, la reflexión y el análisis de las escrituras, y avanzar sobre algu-
nos conocimientos de las magnitudes bidimensionales, como la superficie.
La incorporación de nuevos contextos llevará a conocer nuevas unidades y
equivalencias para enriquecer el repertorio conocido, sin necesidad de presen-
tar, por ejemplo, las unidades de capacidad para usarlas luego en la resolución
de algunos ejercicios sobre equivalencias.

En el apartado “Plantear situaciones para analizar la escritura de cantidades”
se desarrollan actividades en las que se avanza recuperando las unidades que
se utilizaron en la resolución de distintos problemas para completar luego las
que falten apoyándose en la estructura decimal de los agrupamientos.

En relación con el tratamiento de las magnitudes de superficie y volumen,
Vergnaud18 y sus colaboradores afirman que pueden ser tratadas de dos formas:
- de modo unidimensional: es esencial que este aspecto unidimensional sea
organizado como objeto de estudio y de reflexión. En este caso, la medida se
obtiene por comparación directa de dos cantidades de magnitudes homogéneas,
por ejemplo una superficie con una baldosa, para saber cuántas baldosas entran
en una superficie y así determinar el área en función de esa unidad.
- como producto de medidas: en este caso, para encontrar el área de un rec-
tángulo, multiplicamos la medida de sus lados y para el caso de hallar el volu-
men de un paralelepípedo, multiplicamos la medida de sus tres dimensiones.

18
Vergnaud, G. (1990), “La théorie des champs conceptuels”, en: Recherches en Didactique des
Mathématiques, Vol. 10 N° 23, pp. 133-170.

Nap

Matemática 6
163

EJE
Geometría
y Medida
Los problemas de productos de medidas nos permiten profundizar el sentido
de la multiplicación de dos números racionales en el contexto de la medida. La
medición produce nuevos significados para los números y las operaciones, por
ejemplo para la determinación del área de un rectángulo se involucran el pro-
ducto de medidas.

En 5º año/grado, los alumnos seguramente trabajaron con cubrimientos19 por
ejemplo, observar y discutir sobre las formas planas que mejor cubren la figura
dada, subdividir una figura en partes e iterar la misma para medir. También es
posible que hayan realizado comparaciones directas e indirectas después de
descomponer y realizar trasformaciones para conservar el área o para obtener
figuras con áreas, dobles mitades, triplos, etc. Para eso, se pueden proponer
actividades como las siguientes.

• a) ¿Cuáles de las siguientes figuras pueden ser transformadas en el
rectángulo A?

b) Partiendo del rectángulo A, encontrá y dibujá otras figuras diferentes a
las anteriores.

• Tomando como base los triángulos A, B, C y D contruí cuadriláteros cuya
área sea igual al doble de las de cada uno.

19
Recomendación de lectura: actividades de este tipo pueden encontrarse en el apartado
“Plantear situaciones para estimar, medir y expresar cantidades” de Cuadernos para el aula:
Matemática 5.


Serie
164

• ¿Qué relación existe entre el área de la figura pintada y la figura base?
Explicá cómo lo pensaste.

• Analizá, para cada par de figuras, si es cierto que para hacerlas se
necesita la misma cantidad de cartulina.
a. b.

Asimismo, podremos ofrecer actividades en las que haya que cubrir el plano con
diferentes unidades para discutir sobre la forma más adecuada para medir el
área de una figura dada, y otras en las que se usen unidades convencionales,
como el cm2, trabajando por ejemplo sobre papel cuadriculado, y se expliciten
algunas las relaciones de los múltiplos y submúltiplos del m2. En este caso, tam-
bién se puede incluir la medición de formas irregulares, aproximando el valor de
cantidad y utilizando diferentes unidades de medida. Por ejemplo, calcular la
superficie de la palma de la mano en una hoja centimetrada y milimetrada.
En 5º año/grado los alumnos seguramente ya calcularon el área de cuadrados
y rectángulos, utilizando una “multiplicación” que tiende a la sistematización del
procedimiento para multiplicar el largo por el ancho, que luego será la fórmula del
área. En 6º año/grado es importante recuperar y fomentar el desarrollo y la refle-
xión de diferentes estrategias, aditivas y multiplicativas. Sabemos que cuando los
lados del rectángulo son números enteros, la unidad de área (1 u2) es el cuadra-
dito cuyo lado mide 1 u y para determinar el
área de un rectángulo, pueden aparecer proce-
dimientos aditivos, donde se cuenta la cantidad
de cuadraditos: hay tres filas de cinco es decir
5 + 5 + 5 (o cinco columnas de tres), o proce-
dimientos multiplicativos.
Si, en cambio, planteamos un problema para calcular el área de un rectángu-

pensemos en hallar el área de un rectángulo cuya base mide _ de unidad y la
lo, donde las medidas de los lados son números no enteros, racionales o deci-

_ de unidad.
males, la comprensión de la medida del área no resulta simple. Por ejemplo,
3
5
1
altura 2

Nap

Matemática 6
165

( _ ) parte del cuadrado “unidad”. La fórmula
El área pintada del rectángulo son 3 cuadra-

EJE
Geometría
y Medida
ditos, donde cada uno representa la décima

válida ( _ x _ = _ ) pero es poco evidente en
1
10
que permite calcular el área sigue siendo

dad. Cada rectangulito sombreado ahora es _ del cuadrado unidad, y es difícil
1 3 3
2 5 10
lo que respecta a la interpretación de la misma, ya que hay un cambio de uni-
1
10
comprender esta relación sin tener la referencia de esta nueva unidad.
Para comprender este problema, es necesario que los niños estén familiari-
zados con el concepto de medida, tengan experiencias de mediciones directas
del área, y hayan explorado la relación entre las medidas de los lados y el área
para valores enteros.

En el apartado “Plantear situaciones para elaborar y comparar diferentes proce-
dimientos de cálculo” de este Cuaderno se han analizado procedimientos que
los niños elaboran para multiplicar fracciones. Este contexto permite darle sen-
tido a dicha operatoria y avanzar hacia la sistematización del procedimiento.

Para avanzar en la sistematización de otros procedimientos para el cálculo de
áreas es necesario que los alumnos puedan comprender que el producto de las
medidas de los lados de un rectángulo o cuadrado permite optimizar el cálculo
del área. Por ejemplo, para el caso del paralelogramo se propuso, en un
6º año/grado, la siguiente actividad.

• Dado un rectángulo de 4 cm de largo por 1,5 cm de alto y un
paralelogramo de igual base y altura a los lados del rectángulo, ¿es posible
utilizar lo que sabés del área del rectángulo para calcular el área del
paralelogramo?


Serie
166

Algunos alumnos encuentran que es posible transformar el paralelogramo en el
rectángulo, como se muestra en el siguiente dibujo, y luego miden los lados del

_ cm2 ó _ cm2.
nuevo rectángulo. Otros miden y luego multiplican los lados del paralelogramo
(4 cm x 2 cm = 8 cm2). También pueden hacer el conteo de los cm2 y de los
1 1
2 4

Ante la diferencia de los resultados, especialmente para la estrategia que multi-
plican los lados del paralelogramo, una docente planteó la siguiente discusión
respecto de la relación entre la medida de los lados del rectángulo y la de los
lados del paralelogramo.

Registro de clase

Docente: –¿Cómo es posible que el cálculo del área del rectángulo les de,
a algunos alumnos, 6 cm2 y a otros, 8 cm2?
Alumno A: –Nos da diferente porque multiplicamos lados diferentes
(4 x 1,5) y ellos 4 x 2,...).
Alumno B: –El lado del paralelogramo quedó adentro de la figura, es de
donde lo pegamos...
Alumno C: –Lo que mide 1,5 cm es este segmento (Señala el segmento
punteado de la primera figura.) por donde cortamos el triangulito que
trasladamos.
Docente: –¿Qué relación existe entre el ancho y el alto de ambas figuras?
Alumno D: –Las bases, lados de abajo, se mantienen cuando los
superponemos.
Alumno E: –Cuando superponemos las dos figuras, las bases coinciden y el
alto de las dos también es igual (1,5 cm) y eso te da la cantidad cuadrados
de 1cm2.

Estas reflexiones de los alumnos son las que permiten luego llegar a compren-
der que la expresión base por altura o ancho por alto es útil para calcular el área
del paralelogramo. La docente intervino recuperando las ideas respecto de la
altura de ambas figuras y explicitó que la altura del rectángulo es la misma que

Nap

Matemática 6
167

la altura del paralelogramo y que en el caso del rectángulo, el valor de uno de

EJE
Geometría
y Medida
los lados es el valor de la altura, lo cual no ocurre en el paralelogramo. Es decir,
el valor del lado y la altura del paralelogramo no son coincidentes.
Así, el trabajo de búsqueda de áreas equivalentes, dobles o mitades, las trans-
formaciones de unas figuras en otras de áreas equivalentes permiten el cálculo
de áreas de otros polígonos. Cabe señalar que no es necesario presentar las fór-
mulas, basta con poder explicitar las relaciones entre las datos iniciales, las
medidas de la figura transformada y la relación entre las áreas. La posibilidad de
generalizar20 un procedimiento para una misma clase de figuras, como por ejem-
plo los triángulos, aun cuando tengan distintas propiedades (isósceles o no,
obtusángulos, rectángulos o acutángulos) y establecer fórmulas, requiere una
exploración bastante intensa sobre casos particulares y de la discusión, a partir
de intervenciones específicas del docente, sobre la posibilidad de usar una
misma estrategia para figuras de distinta forma. Asimismo, habrá que variar las
medidas utilizando primero valores que permitan establecer relaciones fácilmen-
te para luego avanzar con otras expresiones.
Como ejemplo del tipo de trabajo que podemos plantear para otros polígonos
se presentan a continuación los procedimientos para calcular el área de un trián-
gulo isósceles de 3 cm de altura y 4 cm de base. Los procedimientos fueron rea-
lizados por tres grupos diferentes de niños y los relatos siguientes fueron expre-
sados por los representantes de dichos grupos.

Registro de clase

Leila: –Nosotros lo cortamos por la mitad y después pusimos uno al lado
del otro formando un rectángulo. La altura del rectángulo es la misma que la
del triángulo pero la base es la mitad, así que el área es dos por tres.

20
Recomendación de lectura: véase el apartado “La gestión de la clase” en “Enseñar


Serie
168

Ilan: –Nosotros armamos un rectángulo alrededor. La base del rectángulo
es de cuatro y la altura de tres, pero el rectángulo es más grande, es el
doble, así que después hay que hacer la mitad… doce. Dividido dos… seis.

Fernando: –El otro día hicimos el área de un rombo multiplicando las
diagonales y dividiendo por dos, así que nosotros armamos un rombo con
dos triángulos. Las diagonales son de seis y de cuatro, seis por cuatro
veinticuatro, dividido dos son doce. Como son dos triángulos, cada uno
mide seis.

A partir del análisis de estos procedimientos utilizados por los alumnos, la maes-
tra propuso a cada grupo que Escriban un instructivo para describir uno de los
tres procedimientos y luego se lo entreguen a otro grupo para que calcule el
área de MNP, sin hacer nuevos dibujos o recortes.

Nap

Matemática 6
169

EJE
Geometría
y Medida
En una discusión compartida por todo el grupo, compararon los instructivos y los
cálculos. Esto permitió comprobar la equivalencia entre lo realizado por cada
grupo de chicos y posibilitó que surgieran diferentes producciones, como por
ejemplo altura del triángulo x _ de la base del triángulo, o bien base del trián-
1
2
gulo x altura del triángulo, dividido 2 como así también _ de base del triángu-
1
2
lo x doble de la altura del triángulo dividido 2.
Para continuar, retomando los instructivos recientemente elaborados por los
grupos, se podría proponer discutir cuáles de esos instructivos sirven cuando
el triángulo no es isósceles o cuando se dan otros datos. De esta manera,
estamos iniciando una nueva exploración en la que primero promoveremos que
los alumnos anticipen y luego pasaremos a las comprobaciones que podrán ser
a través del cálculo sobre figuras de análisis y, eventualmente, a través de medi-
ciones o recortes de papel. Por ejemplo:

• a) ¿Qué medidas tendrías que tomar para calcular el área de OPQ,
sabiendo que OP = PQ y que PQ mide 5 cm?

b) Si PQ midiera 5 cm, pero el triángulo no fuera isósceles, ¿qué medidas
tomarías?


Serie
170

• Para calcular el área de este triángulo, Ana dice que lo transforma en un
rectángulo de base AB y divide por 2. Mirta afirma que es más fácil
transformarlo en un paralelogramo de base CB y también dividirlo por 2.
a) ¿Qué medidas toman Ana y Mirta?
b) ¿Qué cálculos hacen?

Otra posibilidad sería que elaboren instructivos para el nuevo triángulo, o bien
mostrar a los alumnos los procedimientos realizados por Leila, Ilan y Fernando y
pedirles que determinen si son correctos o no y por qué, para que luego elabo-
ren los nuevos instructivos correspondientes.
Un aspecto a tener en cuenta es el significado que dan los alumnos a las
expresiones base y altura, ya que cuando los dibujos se presentan siempre en
la misma posición esto lleva a asociar la base con un segmento horizontal y la
altura con uno vertical. Asimismo, habrá que descubrir que en un mismo triángu-
lo se pueden identificar tres pares de datos que permiten calcular el área.

Plantear situaciones para avanzar en la exploración de relaciones
entre perímetros y áreas

Al iniciar el trabajo con áreas y perímetros, un aspecto importante a considerar es
la diferenciación entre ambos conceptos. Esa confusión entre áreas y perímetros
provoca, muchas veces, que las medidas del perímetro y del área aparezcan inter-
cambiadas entre sí. Por ejemplo, el área muchas veces aparece expresada en cen-
tímetros y no en centímetros cuadrados, como si solo fuera un problema de
denominación. Por otro lado, los alumnos suponen la existencia de alguna vincula-
ción entre ambos y tienden a pensar que la variación de uno de estos atributos
implica la modificación del otro en la misma relación. Por ejemplo, si aumenta el
área, aumenta el perímetro, si mantenemos el área, se mantiene el perímetro.
Las actividades que abordan la conservación del área variando el perímetro y
las que presenten figuras isoperimétricas (de igual perímetro) en las que varíe el
área favorecerán la diferenciación entre ambas magnitudes. Un ejemplo podría
ser el conjunto de las dos actividades siguientes.
Para esta primera actividad, es posible organizar la clase en grupos de cua-
tro integrantes y entregar a cada grupo tarjetas con cuadrados del mismo tama-
ño divididos en cuatro partes de igual área.

Nap

Matemática 6
171

• ¿Es posible que las partes en las que se han dividido los distintos

EJE
Geometría
y Medida
cuadrados tengan igual área? ¿Cómo lo justificás?

Al resolver esta situación los chicos pueden desplegar algunas estrategias
tales como:
- Comparar las figuras A y B y justificar que las mitades en ambos casos son
iguales, ya sea porque las superponen o porque observan que ambas mitades
tienen la misma forma.
- Transformar la figura base de B, en la figura base de A, compensando la
superficie, trasladando “el cuadradito” (lo explican dibujando sobre la ficha o
recortando y trasladando).
- Tomar el cuadradito como “unidad de medida” y justificar diciendo este cua-
dradito entra cuatro veces en la figura base de B y también en la figura base
A (algunos alumnos se valen del papel cuadriculado para hacer la reproducción
de la figura y poder explicar sus argumentos).
- Justificar la congruencia de parte de la figura A y E, rotando una de las figu-
ras y descomponiendo en mitades los dos cuadrados para cubrir los otros dos
rectángulos.
- Compensar las áreas, por ejemplo al analizar la figura C dicen este trianguli-
to que sobra de acá falta allá para formar la letra ele (señalando la figura B).
- Reconocer la misma forma contenida cuatro veces en el cuadrado en las
figuras A, B, C y D
- Componer con distintas figuras diciendo: está formada por un rectángulo grande
y los triángulos de los costados, calcar y superponer para mostrar la congruencia.
Al desarrollar esta actividad, los alumnos suelen expresar sus conclusiones
con expresiones tales como:
- No parecía que todas fueran un cuarto del cuadrado.
- No parecía, porque tenían formas diferentes, pero midiendo (se refieren a las
compensaciones) nos dimos cuenta que valían lo mismo, la cantidad de cua-
draditos es la misma, cortados o enteros.
- Las mitades de D parecen más grandes que las de A, B, C y E, pero... las
dos son mitades y el cuadrado es el mismo... tienen que ser iguales...
- Si contás uno por uno (figura C) los cuadraditos que están enteros y des-
pués le sumás los que están en mitades te dan la misma cantidad.


Serie
172

En los casos en los que persistan las dudas, podremos sugerir que reproduz-
can las figuras en papel cuadriculado para verificar midiendo (contando los cua-
draditos que conforman cada figura base) o bien armar una cuadrícula sobre la
figura dada. De las discusiones planteadas es posible concluir que las figuras de
formas diferentes pueden tener igual área.
Esta segunda actividad apunta a focalizar sobre los perímetros de figuras de
diferente forma e igual área. Para desarrollarla, los alumnos deberán tener dis-
ponible papel cuadriculado, que pueden usar o no. Es importante aclarar que
todos los grupos tienen las mismas figuras.

• Las figuras A, B, C, D y E tienen diferentes formas pero igual área.
Averiguá si todas tienen el mismo perímetro. Justificá tu respuesta.

Al resolver esta consigna, los chicos suelen afirmar, por ejemplo, que para la
figura A hay 4 cuadraditos más 4 cuadraditos más los otros dos son diez cua-
draditos. Para aclarar esta confusión entre lados y cuadraditos es conveniente
que intervengamos preguntando ¿dónde están los diez cuadraditos? o bien, ¿y

ese valor a cm, tomando la longitud del cuadradito como _ cm.
esos 10 cuadraditos ¿cuántos cm son, aproximadamente? Al responder, es
posible que los chicos aclaren que se referían a la longitud del lado o traduzcan
1
2
Estos fueron algunos procedimientos que utilizaron los chicos para calcular el
perímetro de cada figura.

- Asocian los segmentos de igual longitud: 2 cm, 2 cm,
0,5 cm, 0,5 cm.
- Suman segmentos consecutivos: 2 cm + 0,5 cm + 2
cm + 0,5 cm.
Respuesta: 5 cm.

Nap

Matemática 6
173

- Asocian los segmentos de igual longitud: 1,5 cm + 1

EJE
Geometría
y Medida
cm + 1 cm + 0,5 cm + 0,5 cm + 0,5 cm.
- Suman segmentos consecutivos: (1,5 cm + 0,5 cm +
1 cm + 0,5 cm + 0,5 cm + 1 cm).
- Hacen otro tipo de asociaciones (2 cm + 1 cm + 1 cm
Respuesta: 5 cm. + 1 cm).

En la mayoría de los grupos, los alumnos discuten sobre
la longitud de los segmentos que están sobre las dia-
gonales del cuadrado (0,5 cm o más de 0,5 cm) y utili-
zan la regla diciendo que es un milímetro más (0,6 cm).

Respuestas: - 5 cm.
- Más de 5 cm.

En la puesta en común, podremos propiciar la discusión respecto del perímetro
de la figura C, ya que generalmente no les da a todos igual. Podremos acordar
que el valor del perímetro tiene una diferencia más o menos de 1 mm. Algunas
expresiones de los chicos suelen ser: tiene la culpa la regla; no se ve bien por-
que la rayita del lápiz es casi la diferencia o bien: Mirá, si me corro un poqui-
to para este lado, ya veo que mide más.... Esto permite aclarar que siempre que
medimos hay un error que se relaciona con el instrumento o con nosotros.
Con respecto a la figura D, los alumnos suelen asombrarse de las diferencias
que existen entre el perímetro del rectángulo y del cuadrado, y es habitual que
lo calculen varias veces. La discusión respecto de la variación de la forma y del
perímetro para figuras de igual área permite concluir que las figuras dadas que
tienen igual área, no tienen igual el perímetro.
Para continuar trabajando con la relación entre perímetro y área es posible pro-
poner una secuencia como la que sigue, con actividades en las que, a diferencia de
las anteriores, los alumnos producirán figuras con un área o perímetro indicado.

Secuencia para relacionar perímetros y áreas: “Dibujando figuras”

Actividad 1
Una primera propuesta consiste en que solicitar a los alumnos que dibujen figu-
ras de igual área y distinto perímetro. Los alumnos trabajarán por parejas y a
cada una se le dará una hoja de papel cuadriculado de malla 1cm2. Daremos una
consigna como la siguiente: En la hoja que les entregué tienen que dibujar
figuras de 12 cm2 de área pero que tengan diferente perímetro. Acuerden con
sus compañeros para que entre las producciones no se repita la forma de la
figura y calculen los perímetros.


Serie
174

Las que siguen son algunas respuestas de los alumnos al cumplir la consig-
na dada. Son figuras de área equivalente 12 cm2, en las que se ha variado la
forma y el perímetro.

Cuando los alumnos realizan estas producciones, en los intercambios con sus
compañeros es posible escuchar reflexiones como: Para lograr mayor perímetro
los cuadraditos deben estar más sueltos, así se aumenta el contorno de la figu-
ra, o Hay que hacer figuras con muchas vueltas, o Para tener menor perímetro
hay que ponerlos uno al lado del otro y uno arriba del otro, o En el rectángu-
lo, que ponés los cuadraditos uno al lado del otro tiene mayor perímetro que
el otro que ponés los cuadraditos uno al lado de otro y también arriba.
En la discusión final, propondremos que compartan las estrategias que utiliza-
ron los alumnos. Es posible que al observar el registro de las figuras en el pizarrón
y los valores de los perímetros, los chicos intenten lograr figuras con el mayor o
menor perímetro posible, que traten de buscar figuras con medidas de perímetros
que no aparecieron, por ejemplo: 15 cm, 18 cm, 49 cm, etc., y realicen algunas afir-
maciones, tales como El valor más grande del perímetro es de 48 cm (apenas si
se tocan por un punto), o Siempre te da un número par el valor del perímetro.
En las figuras que realizan los chicos, generalmente se observa que las medi-
das de sus lados son números enteros.

Actividad 2
En función de las formulaciones de los alumnos, podremos continuar con la
segunda actividad. Pediremos la figura de menor y de mayor perímetro posible
para un área de 16 cm2. Este cambio en el valor del área permite que aparez-
ca el cuadrado como figura de menor perímetro pues solo se consideran por
ahora valores enteros para el lado de cuadrado.

Nap

Matemática 6
175

Si consideramos el caso del cuadrado para 12 cm2, habría que discutir el cálcu-

EJE
Geometría
y Medida
lo de la raíz cuadrada cuyo resultado no es un número entero, para averiguar la
longitud del lado.

Actividad 3
En esta actividad los alumnos continúan trabajando en parejas. Nuevamente,
les daremos papel cuadriculado de malla 1 cm2 y papel liso. La consigna de la
actividad consiste en que dibujen figuras de 12 cm de perímetro variando el
área. Propondremos que en cada grupo se pongan de acuerdo para que varíen
las formas y el área. En los dibujos de los alumnos pueden aparecer figuras
como las siguientes:

Para resolver esta actividad, es probable que aparezcan estrategias en las que
los chicos utilicen sumas y propiedades de las figuras, por ejemplo, plantear que
pueden hacer rectángulos de lados 5 cm y 1 cm (5 + 5 +1 + 1), ó 4 cm y 2 cm
(4 + 4 + 2 + 2), o un cuadrado de lado 3 cm. También es probable que reutili-
zando lo realizado en las actividades anteriores, realicen los cuadrados en dia-
gonal o los cuadrados que se tocan por un vértice de lados 1 cm (4 + 4 + 4).
Es interesante comparar esta figura y el cuadrado, ya que sus áreas son 3 cm2
y 9 cm2 respectivamente.
Otros alumnos, sin realizar ninguna anticipación, van construyendo las figuras
sobre la cuadrícula contando hasta llegar a 12 cm. Esta estrategia los conduce
en varias oportunidades a no poder cerrar la figura y a preguntarse si esas for-
mas tienen área, y se dan cuenta de que no pueden decir cuál es el área, por-
que la figura no es cerrada.


Serie
176

Algunos alumnos seguramente utilizarán el papel liso y la regla, lo que les per-
mitirá realizar otras figuras con formas diferentes.
En la puesta en común, es conveniente ordenar según la variación de las
áreas las figuras de 12 cm de perímetro, para orientar la reflexión de los alum-
nos hacia la relación que se establece cuando el perímetro permanece cons-
tante y las áreas toman valores diferentes. El análisis sobre sus conjeturas o la
problematización de las mismas permitirá avanzar en los conceptos de períme-
tros y áreas.
En general, con actividades de estas características, los problemas de conser-
vación de alguna de las dos magnitudes (longitud y superficie) se ponen en juego
a través de trasformaciones que se observan al mantener invariante una de ellas.

Actividad 4
También es importante explorar la variación del perímetro de una figura cuando
varían las dimensiones de sus lados.

• Un grupo de alumnos construyó figuras con la condición dada por la
maestra. Hicieron lo siguiente.

a) ¿Cuál creés que fue la condición que les dio la maestra?
b) ¿Qué relación encontrás entre los lados de la figura A y los de la figura C?
c) ¿Es posible obtener los lados de la figura B conociendo los lados de la
figura A? ¿Cómo?
d) Si el perímetro de la figura A es 12 cm, ¿es posible con una sola
operación obtener el perímetro de la figura C? ¿Cuál es esa operación?

Nap

Matemática 6
177

• En otro grupo, los chicos tuvieron que construir una figura cualquiera con

EJE
Geometría
y Medida
la misma consigna que en la actividad anterior. En este caso, la maestra les
dio las medidas de los lados en una tabla. Completá los valores que faltan.

LADOS
FIGURA
AB BC CD DE EF
P 4 6 8 3
R 10 15 25

Reproducir una figura a escala diferente, es decir achicar o agrandar una figura,
implica para los alumnos lograr que las relaciones de la figura dada se conser-
ven en la reproducción. En el ejemplo se plantea la necesidad de descubrir la
relación multiplicativa de proporcionalidad entre los datos de una y otra figura.

En el apartado “Plantear situaciones para operar con distintos significados y
en distintos portadores” de este Cuaderno se analizan situaciones en las que
la constante de proporcionalidad asume valores naturales como racionales.

Otro tipo de actividades que podremos plantear para avanzar en el análisis de
variaciones en contextos geométricos y que permiten, a la vez, reinvertir lo
aprendido sobre propiedades de las figuras es, por ejemplo, la siguiente:

• Para cada figura analizá cómo aumenta el perímetro cuando la longitud de
los segmentos que miden 3 cm se duplica, se triplica, se reduce a la mitad
o se reduce a la cuarta parte.
a) ¿En algún caso podrías decir que la longitud del lado y el perímetro se
relacionan de forma proporcional?
b) ¿Cambia la respuesta que diste en el ítem a) si en los casos II y IV todos
los lados aumentan el doble, el triple, etc.?


Serie
178

I. II.

III. IV.

Una vez más los alumnos podrán justificar sus respuestas utilizando dibujos,
mediciones, cálculos y la elección dará cuenta de los conocimientos que tienen
disponibles tanto en relación con las propiedades de las figuras y el cálculo del
perímetro como con la proporcionalidad. La variación de las figuras y de las con-
diciones permitirá que los alumnos encuentren ejemplos de variaciones de perí-
metros tanto proporcionales como no proporcionales.

Plantear situaciones para analizar la escritura de cantidades

Habitualmente, utilizamos el término cantidad para referirnos al valor que toma
una magnitud en un objeto particular, por ejemplo, el largo de una varilla. Pero
esa longitud también hace referencia a cualquier objeto que pueda superponer-
se exactamente con el largo de esa varilla.
Para comunicar cantidades sin necesidad de tener a la vista las unidades que
se usaron para medir, se crea un sistema de unidades. Si bien cualquier sistema
podría ser válido y cómodo para expresar las mediciones, hay razones que justi-
fican el uso de un sistema regular común acordado universalmente. En la actua-
lidad, el sistema métrico decimal de uso más extendido es aquel que realiza los
cambios de diez en diez, en las magnitudes lineales, y según las potencias de
diez en las otras magnitudes.

Nap

Matemática 6
179

La utilización de cambios regulares es, precisamente, lo que asemeja el siste-

EJE
Geometría
y Medida
ma de medidas al sistema de numeración y, en ambos casos, se hace necesaria
la comprensión de los diferentes órdenes de unidades para entender y elaborar
escrituras numéricas. La escritura de la medida tiene su equivalente en lo que
refiere a la descomposición de un número en unidades, decenas y centenas, etc.
El dominio de las escrituras de cantidades a partir de un sistema regular de
medidas es objeto de trabajo en 6º año/grado. El problema de las escrituras
equivalentes es complejo, ya que en su comprensión se involucran otros concep-
tos, por ejemplo el valor de posición y la importancia del cero. A los problemas
relativos a los números decimales se añaden los propios de la medida en lo refe-
rente a escrituras con diferentes unidades. Frecuentemente, los alumnos suelen
cometer errores para pasar de la lectura a la escritura de cantidades cuando
estas tienen ceros.
La siguiente actividad, que presentaremos eventualmente con modificaciones
teniendo en cuenta las unidades ya conocidas por la clase, tiene como propósi-
to favorecer en los alumnos el establecimiento de relaciones entre los distintos
órdenes de magnitud.

• Dadas las siguientes cantidades, agrupalas según sean mayores que un
metro o menores que un metro.
0,1 km 900 cm 86.000 mm 750 dm 1,6 hm 12 dam

Luego de un tiempo breve de trabajo individual, es posible realizar un plenario
para discutir sobre las respuestas de los alumnos. En un grupo de 6º año/grado,
los alumnos manifestaron, por ejemplo:
- Todas las cantidades son mayores que un metro.
- Hay una menor (0,1 km) y el resto son mayores que un metro.
- Hay tres menores (señalando 900 cm, 86.000 mm, 750 dm) y las demás
son mayores.
Entre las justificaciones que dan los alumnos es posible observar que algunos
consideran la medida sin tener en cuenta la unidad, por ejemplo 0,1 km es
menor que un metro porque 0,1 es menor que 1. Otros tienen presente la uni-
dad de medida, independientemente de la medida: 0,1 km es mayor que el
metro porque tiene el km y 900 cm, 86.000 mm, 750 dm las agrupan como
menores que el metro. Para el caso del 1,6 hm, en general aparece como mayor
que el metro, ya sea porque consideraron la unidad de medida o la medida.


Serie
180

En el momento de la discusión, podremos intervenir con preguntas o proble-
matizaremos las afirmaciones de los alumnos para favorecer la posibilidad de
imaginar o concretar esas cantidades, de pensar en la relación que existe entre
la medida y la unidad de medida y también de buscar información respecto de
las equivalencias conocidas.
Seguramente, nos encontraremos con reflexiones como las siguientes:
- Te engaña, ¿viste?, te parece que es más chica que el metro porque decís
centímetro y no te fijás en el número.
- Hay que mirar bien los dos, porque puede ser un número grande con una
unidad chiquita (la del mm) o un número chiquito con la unidad grande (1
km). Pero cuando las dos son grandes, seguro que es mayor que un metro
(1,6 hm y 12 dam).
- Para estar seguro hay que pensar cuanto es de largo, con algo que conocés.
Para seguir trabajando con estas relaciones, continuando con esta propues-
ta, es posible pedirles a los chicos que ordenen de mayor a menor las cantida-
des anteriores. En este caso, no es suficiente compararlas con un metro para
encontrar la respuesta, deberán comparar las cantidades entre ellas.
Es posible que la mayoría de los alumnos expresen las cantidades en metros
y luego las ordenen. En este caso, una intervención posible es: si un chico
expresa todas las cantidades en otra unidad, van a quedar ordenadas de igual
manera e incluso podremos pedirles que anticipen cómo será el tamaño de los
números en función de la unidad elegida: Si pasamos todos a hm o dm, ¿en
qué caso los números serán más grandes?

_
Para analizar diversos procedimientos, si es que no surgieron espontáneamen-
te en el grupo, es posible intervenir diciendo Un chico leyó en letras: la décima
1
parte de un kilómetro y escribió en números: 0,1 km = 10 de 1000 m = 100 m.
¿Es correcto?
O bien, Un chico dijo dijo que 1 hm es una cuadra, es decir 100 metros,
entonces 1,6 hm son 160 metros. ¿Están de acuerdo?
A partir de esta actividad, es posible concluir: para ordenar cantidades o
compararlas es conveniente expresarlas siempre en una sola unidad de medi-
da, no tiene porque ser siempre el metro, pueden ser otras.
Para avanzar en las relaciones que explicitaron los alumnos en relación a
cuánto más chica es la unidad de medida, mayor es la medida y viceversa,
podremos plantear situaciones donde se pongan en juego las equivalencias
entre cantidades y se expliciten las relaciones entre medidas y unidades de
medidas, como en la siguiente.

Nap

Matemática 6
181

• Teniendo en cuenta lo discutido sobre unidades y medidas respondé a las

EJE
Geometría
y Medida
preguntas.
a) ¿Será verdad que si elegimos unidades mayores el valor de la medida
será menor? ¿Por qué?
b) ¿En qué unidad expresarías 86 m, sin variar la cantidad, para que la
medida sea mayor que la dada?
c) La siguiente cantidad: 25 cm, se quiere expresar en una unidad de
medida 100 veces mayor. ¿Cuál es la unidad? ¿Cuántas veces más
pequeña es la medida?
d) ¿En que unidad expresarías la cantidad 86.000 mm para que la medida
(el número) sea más pequeño y no varié la longitud?

En estas actividades, observaremos que los alumnos suelen poner en juego algu-

metro: 1 m = 100 cm, 1 m = _ dam.
nas relaciones y conocimientos que han aprendido anteriormente, por ejemplo:
- Las relaciones entre múltiplos y submúltiplos en relación específica con el
1
10
- La relación 1 cuadra igual a 100 metros a partir de la experiencia cotidiana.
Asocian como si fueran sinónimos la cuadra y el hectómetro, o la regla del aula

narias y decimales de los números y las relaciones _ ó 0,5 metro equivale
tiene 100 centímetros.

a 50 centímetros; 1 cuadra es un hectómetro, 100 metros; _ cuadra
- Las correspondencias entre la numeración hablada y las escrituras fraccio-

_ de cuadra son 25 metros; dos cuadras y media son
1
2
1
2
1
equivale a 50 metros; 4
250 metros (2,5 hm = 250 m).
Otras actividades que podemos proponer para avanzar en la explicitación de
la estructura del sistema métrico son las siguientes:

• Dado el segmento A y sabiendo que este segmento tiene el
doble de longitud que el segmento U, construí y ordená en forma creciente
las longitudes de los segmentos A, B, C, D, E, F, G.
B=2A C = 2,5 A D=4U
E = 1/2 A + 1 U F=2A+1U G=5U

Para realizar la actividad, los alumnos tendrán que interpretar las relaciones de
las escrituras que se presentan, para luego poder construir los segmentos. Al
ordenarlos, y con la ayuda que les proporciona el dibujo, los chicos podrán deter-
minar tres grupos de segmentos de igual longitud y establecer relaciones como
las siguientes.


Serie
182

A=E B=D E menor que B
C=F F=G D menor que C

En plenario, es importante que dirijamos la reflexión sobre:
- Las relaciones entre las unidades de medida y los valores de las medidas.
- Al utilizar las unidades A o U los números de las medidas varían en relación

- Las diferentes escrituras de la medida 1 U = _ A = 0,5 A, utilizando núme-
inversa, porque si A es el doble que U, la medida expresada en A es la mitad de
la medida expresada en U.
1
2
ros enteros o no (expresión fraccionaria o decimal) en función de la unidad de

una unidad) en relación con las escrituras complejas 2 A + _ U y sus equiva-
medida elegida.

_ U = 5 U = 2,5 A.
- Los significados de las escrituras unificadas, por ejemplo, 5 U (respecto de
1
2
1
lencias 2 A + 2
- Las lecturas de las escrituras equivalentes y la significación que estas pue-
den aportar para imaginar una cantidad. Por ejemplo, pensar que C es dos veces
y media el segmento A es más simple que pensar que C es dos veces el seg-
mento A más una vez el segmento U.
Otras actividades que favorecerían la construcción de estas relaciones podrí-
an ser las siguientes.

• Indicá en cada caso qué relación encontrás entre U y M.
a) 2 U = 8 M b) 6 U = 3 M
c) 10 U = 100 M d) 1 U = 1000 M

• Dadas las siguientes equivalencias, ¿cuántas veces mayor o menor son U,
M, y P que la unidad A? Justificá tu respuesta.
a) 2 A = 6 U b) 10 A = 1 M c) 5 A = 50 P

Como ya lo mencionamos, en todos estos casos es importante la reflexión
permanente sobre las equivalencias de cantidades de diferentes magnitudes,
utilizando unidades no convencionales y convencionales con las relaciones de
décimas, centésimas, etc.

Nap

Matemática 6
183

De forma similar, podemos proponer actividades como la anterior para poner en

EJE
Geometría
y Medida
juego las relaciones que se establecen en el Sistema Legal de medidas. Por ejemplo:

• Completá para que las expresiones resulten equivalentes.
10 cm = … m 10 cm = … 0,1…
10 … = 0,1 m … cm = 0,1…

Si bien los ejemplos anteriores se han desarrollado teniendo en cuenta la longi-
tud, que es la magnitud que con mayor frecuencia aborda el tratamiento esco-
lar y permite comprobaciones empíricas muy accesibles, el mismo tipo de traba-
jo puede plantearse para situaciones que se refieran a capacidades o pesos.
Cabe advertir que para los alumnos no es directa la generalización: si 1 kilóme-
tro equivale a 1000 metros, kilolitro equivale a mil litros y kilogramo a mil gra-
mos, o que si para expresar una misma cantidad la unidad se reduce a la déci-
ma parte la medida resulta 10 veces mayor, tanto para longitudes como para
capacidades y pesos. En este sentido, no basta con trabajar en profundidad la
longitud para pasar luego a sistematizar las relaciones entre unidades para otras
magnitudes sin desarrollar antes actividades específicas al respecto.

Para trabajar con la información

Tal como hemos planteado, el trabajo sobre el tratamiento de la información es
transversal a los ejes de contenidos. En el caso de los problemas espaciales,
geométricos y de medida, este trabajo también concierne a la consideración de
aspectos que pueden ser retomados en algunas de las actividades planteadas.
Es el caso de la actividad con el plano de la sala de video de una escuela, presen-
tada en el aparado “Plantear situaciones para producir e interpretar representaciones
a escala”, donde se presenta información en un dibujo y en un texto. Aquí, la informa-
ción del dibujo permite determinar la ubicación de las ventanas. Si no se diera el dibu-
jo, no se conocería el lugar en el que colocar las mesas en relación con la ventana.
Otro caso es el de la consideración del número de respuestas, por ejemplo
en “Plantear situaciones para analizar la escritura de cantidades”, al completar
… cm = 0,1 … Se podría discutir con los alumnos si este problema tiene una
única respuesta y promover una búsqueda exhaustiva de todos los completa-
mientos posibles.
Si bien aquí hemos mostrado solo dos ejemplos, combinar los modos de pre-
sentar la información y analizar cuando sea pertinente el número de soluciones
son aspectos que permitirán al docente enriquecer el trabajo con problemas.

Nap

Matemática 6
185

En diálogo
siempre abierto
Las propuestas
y la realidad del aula

Para ampliar el repertorio y recrear las actividades

Al desarrollar el enfoque para trabajar en la clase de Matemática hemos insisti-
do en las elecciones que debemos realizar respecto de los tipos de problemas,
sus modos de presentación y su secuenciación. También hemos señalado que
la gestión de la clase será determinante respecto del sentido que los alumnos
construyen sobre las nociones matemáticas, tanto por las interacciones que el
docente promueva entre los alumnos y con las situaciones como por sus pro-
pias intervenciones a lo largo del proceso de enseñanza.
Por otra parte, hemos planteado que es necesario incorporar, más allá de la
resolución de problemas, otras actividades, pues este no debiera ser el único
tipo de práctica matemática que funcione en el aula, ya que es fundamental que
las clases incluyan instancias de reflexión sobre lo que se ha realizado. En estas
instancias, podrán plantearse, por ejemplo, actividades de comparación de pro-
blemas realizados con alguna operación, o de comparación de diferentes estra-
tegias para resolver un cálculo, algunas acertadas y otras no. También se podrá
poner en consideración de los alumnos la recuperación de las propiedades de
cada una de las figuras que han estudiado, a modo de síntesis.
Para comparar problemas es posible revisar lo trabajado en el cuaderno duran-
te una semana y señalar todos los problemas que se resolvieron con una determi-
nada operación para comparar los enunciados, encontrar semejanzas y diferen-
cias1 y pensar nuevos enunciados que podrían resolverse con la misma operación.
En el caso de querer comparar estrategias de cálculo se puede recuperar, por
ejemplo, el repertorio de sumas de fracciones que ya hayan memorizado todos
los alumnos y registrarlo a modo de síntesis en un afiche que se cuelgue en el
aula para luego utilizar esos resultados como ayuda para resolver otros cálculos.

1
Un ejemplo de este tipo de actividad se presenta en este Cuaderno, en el apartado “Plantear
situaciones para operar con cantidades expresadas en fracciones o decimales con distintos
significados”, en el que se presenta un fragmento de registro de clase.


Serie
186

Entre ellos, se podrá señalar cuáles son los que ya conocen de memoria y cada
chico podría ir armando una tarjeta con todos los cálculos que él sabe o las pro-
piedades que conoce y, de este modo, tomar conciencia de su progreso.
Asimismo, en este apartado queremos avanzar sobre actividades que forman
parte de la tradición escolar: las tareas para el hogar, y precisar algunas cues-
tiones relacionadas con el Segundo Ciclo. Estas tareas, pensadas para que el
alumno las desarrolle fuera de la escuela, renuevan su sentido en relación con
los aprendizajes prioritarios y con el tiempo necesario de apropiación individual
de los conocimientos trabajados en clase.
La realidad compleja con la que hoy interactúa la escuela presenta aspectos
que pueden hacer difícil llevar adelante el estudio. Sin embargo, aun en este esce-
nario, es posible plantear alguna actividad desafiante para resolver fuera del aula.
En este sentido, es imprescindible asegurarnos de que todos hayan comprendido
cuál es el desafío que se propone, para evitar la creación de un obstáculo excesi-
vo para los niños, o para los adultos que los acompañan cuando realizan sus ta-
reas, que podrían intervenir en una dirección distinta de la que pretendemos.
Deberemos ser muy claros para distinguir si la tarea debe hacerse con o sin
ayuda y, en este último caso, precisar cuál es la ayuda que se espera. En el caso
de los alumnos del Segundo Ciclo, a diferencia de los de Primer Ciclo, es posi-
ble pensar en una mayor independencia de los adultos en la realización de estas
tareas. Esto requiere que los mayores comprendan la importancia de este plan-
teo y, al mismo tiempo, exige que las características de las actividades sean lo
suficientemente similares y, a su vez, diferentes respecto de las discutidas en
clase, de tal manera que todos los alumnos comprendan lo que se espera de
ellos como producción; que tengan asegurado un lugar de importancia en el pro-
yecto de aprendizaje del docente y que se garanticen con ellas verdaderas situa-
ciones de aprendizaje para los alumnos.
Las actividades que se pueden plantear para realizar fuera de la clase tam-
bién podrán ser de distinto tipo. Por ejemplo, se podría seleccionar un conjunto
de cuentas ya resueltas y pedir la comparación de los números que intervienen
en los cálculos y los resultados para analizar semejanzas y diferencias y adver-
tir regularidades. O también, proponer partidas simuladas sobre un juego que se
realizó en clase en donde intervengan los números y cálculos con los que se
estuvo trabajando y que den lugar a la práctica del cálculo mental.
En cualquier caso, recuperar lo producido fuera de la escuela supone
mucho más que “corregir” la tarea: se trata, en cambio, de organizar una
nueva actividad diseñada de modo que tome como punto de partida lo reali-
zado fuera de clase. Así, también es una excelente oportunidad para una inte-
racción más personalizada con los alumnos y sus dificultades. Nos estamos
refiriendo a plantear una tarea focalizada en aquellos aspectos que necesite
profundizar cada niño o cada grupo. Todo esto permite que el alumno perci-

Nap

Matemática 6
187

ba que se valora su producción individual, al mismo tiempo que él mismo valo-

En diálogo
siempre abierto
re el tiempo que dedica para su estudio individual como una instancia más de
su proceso de aprendizaje.

Para construir espacios de debate

Todas las actividades propuestas en este Cuaderno están sostenidas y funda-
mentadas en una concepción del aprendizaje que implica una idea de lo que
pensamos que debiera significar “hacer matemática” para los alumnos. Sin
embargo, para transmitir y sistematizar esta idea del quehacer matemático a los
niños y las niñas no es suficiente proponerles actividades “interesantes” que pro-
picien en los alumnos aprendizajes diferentes y que los desafíen a buscar estra-
tegias propias de resolución. Esperamos también que los alumnos desarrollen
recursos de control sobre sus procedimientos y los ajenos, puedan fundamentar
sus estrategias y argumentar en favor de ellas, descentrarse de sus produccio-
nes e introducirse en las de sus compañeros, siendo capaces de apoyarlas o cri-
ticarlas con fundamentos matemáticos.
Hay momentos de la clase que son especialmente propicios para lograr este
tipo de aprendizaje. Por eso afirmamos que además de la buena selección de
actividades es fundamental tener en cuenta la organización y gestión de la clase
que el docente es capaz de llevar a cabo para alcanzar estos objetivos. Los
espacios de debate, como la confrontación de procedimientos, ponen a los
alumnos en la situación de tener que dar cuenta de las estrategias utilizadas y
de entender estrategias ajenas. Cuando los niños tienen que explicar a sus com-
pañeros algo que no entienden, o hacerles entender por qué dicen que “está
mal” o “está bien” tal o cual cosa, es cuando se les genera la necesidad de pen-
sar la forma más clara de comunicar sus argumentos y fundamentos. Este es un
plus frente a la actividad de resolver un problema, porque implica un trabajo de
comprensión y dominio de la situación mucho mayor que solo resolverlo. El
hecho de justificar “qué se hizo”, “cómo se hizo” “por qué se hizo” “si está mal o
bien” implica de hecho una reflexión sobre la tarea realizada y una nueva mira-
da sobre el problema, pero desde la posición de alguien que ya lo ha “desmenu-
zado”, porque ya lo ha resuelto. Es decir, lo que les pedimos a los alumnos en
estos momentos de debate involucra un aprendizaje diferente (y más complejo)
del que implica la resolución de la actividad planteada. De aquí que la falta de
gestión de estos espacios de debate limite los aprendizajes matemáticos en los
alumnos. Desde la perspectiva de esta concepción del aprendizaje, no es lo
mismo realizar una confrontación que no hacerlo, pues estos espacios son el
corazón mismo de la diferencia en los aprendizajes que esperamos propiciar en
los alumnos desde esta propuesta.


Serie
188

La organización y gestión de estos espacios de debate entre los alumnos
implica también un aprendizaje por nuestra parte, ya que debemos aprender
cómo intervenir, de manera de propiciar este tipo de aprendizajes en los alum-
nos. Cuando los alumnos comienzan a producir solos y aparecen diferentes pro-
cedimientos, de diferentes niveles de complejidad, con diferentes tipos de
errores, se presenta la dificultad para nosotros, por un lado, para decidir qué dis-
cutir y, por el otro, para saber cómo hacer para que los alumnos hablen y se pon-
gan a discutir acerca de sus producciones. Decidir cuáles podrían ser buenas
preguntas y cuáles desorientan más aun al alumno en este nuevo tipo de traba-
jo en el que estamos embarcándolo es un desafío permanente. Es muy útil y
conveniente en un primer momento no realizar preguntas abiertas como A ver,
Juan, ¿qué te parece este procedimiento?, ya que la amplitud de la pregunta
hace que un alumno que se está iniciando en este tipo de trabajo no pueda ima-
ginarse cuál podría ser una respuesta razonable en este caso. En cambio, pre-
guntas como A ver, Juan, fijate en lo que hizo Martín en esta cuenta, ¿qué son
estos números?, ¿manzanas?, ¿cajones?, ¿qué tiene que ver esta cuenta con
el enunciado del problema? ¿Para qué creés que la hizo?, son más concretas
y más fáciles para imaginarse una posible respuesta.
También es conveniente que estemos atentos especialmente a que estos
debates no se transformen en una corrección de los procedimientos utilizados,
en los que nuestra intervención esté asociada al control de lo realizado. Si es el
docente el que finalmente tiene la palabra y queda depositado solo en él dar o
no por válido lo que se hizo, los alumnos no sienten la necesidad de emitir su
opinión más que para rendir examen frente al maestro y frecuentemente no se
muestran interesados en responder a las preguntas que este formula en ese
momento de trabajo colectivo. En ese caso, la Matemática sería vivida como una
serie de reglas y definiciones predeterminadas que hay que reconocer y aplicar.
Si, en cambio, nuestra intervención en el debate intenta recuperar lo que los
alumnos están haciendo y promovemos la discusión alrededor de esas produc-
ciones, habrá un verdadero espacio de discusión, una situación genuina de
comunicación en la que intercambiarán distintos puntos de vista, para llegar a
una conclusión aceptada por el conjunto de la clase. En este caso, el trabajo se
valida por la comunidad clase, y el maestro interviene conduciendo el debate
entre los chicos o introduciendo preguntas nuevas y sistematizando las conclu-
siones a las que se arribe; en principio, estas conclusiones podrán ser registra-
das tal como las formulen los alumnos aunque su expresión no se ajuste com-
pletamente a las expectativas del docente. En una etapa posterior se podrán
revisar estas enunciaciones y, por ejemplo, compararlas con lo que se dice al
respecto en un libro de texto, para avanzar en el uso del vocabulario específico
y/o discutir cuestiones ligadas al uso de distintas anotaciones. Asimismo se

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189

podrá volver sobre estos enunciados para analizar su “campo de validez” y modi-

En diálogo
siempre abierto
ficarlos, si fuera necesario, para avanzar en el nivel de generalidad de lo que se
afirma, ya que algunas afirmaciones son verdaderas en un campo numérico, o
para un conjunto de figuras, y no lo son para otro.
Si esta práctica forma parte de lo que queremos enseñar, es imprescindible
considerar que necesita construirse a lo largo de toda la escolaridad, teniendo
en cuenta las características propias de los niños en cada etapa.
Las propuestas incluidas en este Cuaderno forman, sin duda, una pequeña
colección de casos con algunas sugerencias para su implementación y gestión.
Su uso en el aula dependerá de las decisiones que, al respecto, se tomen en
cada institución, atendiendo tanto a los proyectos institucionales como a las par-
ticularidades de cada grupo de alumnos y de la comunidad.
En muchas ocasiones, la lectura y discusión de estos casos derivará, segura-
mente, no en la “aplicación” de los ejemplos analizados, sino en nuevas propues-
tas adaptadas tanto a los conocimientos del grupo de alumnos como a la forma
de trabajo del docente que las desarrolle.
En este sentido, resultará muy interesante el debate que se genere en el
equipo de la escuela a propósito de su uso, los intercambios de lo ocurrido en
las puestas en aula con los colegas y la sistematización de las nuevas propues-
tas que se puedan formular.
Del mismo modo, la consulta de los materiales recomendados en la sección
“Bibliografía” de este Cuaderno permitirá ampliar la perspectiva presentada,
multiplicar la variedad de propuestas y abrir nuevas preguntas sobre la enseñan-
za de la Matemática.

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Matemática 6
191

Bibliografía recomendada para docentes

Bibliografía
BRESSAN, A. M. y BOGISIC, B. (1996),
La estimación. Una forma importante de
pensar en matemática. Desarrollo Curricular, Consejo Provincial de Educación
de Río Negro. (También disponible en Internet.)

BROITMAN, C. (COORD.), ESCOBAR, M. y SALGADO, M. (2007), División en 5º y 6º
años de la escuela primaria. Una propuesta para el estudio de las relaciones
entre dividendo, divisor, cociente y resto, Documento de apoyo para la capaci-
tación, DGCyE / Subsecretaría de Educación. (También disponible en Internet.).

CHARNAY, R. (1994), “Enseñar matemática a través de la resolución de proble-
mas” en: PARRA, C. y SAIZ, I. (comps.) (1994), Didáctica de las Matemáticas.
Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós.

CHEMELLO, G. (COORD.), HANFLING, M. y MACHIUNAS, V. (2001), Juegos en
Matemática EGB 2, El juego como recurso para aprender. (Material para
docentes y recortable para alumnos), Buenos Aires, Ministerio de Educación
Ciencia y Tecnología. (También en Internet.)

FUENLABRADA, I., BLOCK, D., BALBUENA H., CARVAJAL, A. (2000), Juega y aprende
Matemática. Propuestas para divertirse y trabajar en el aula, Buenos Aires,
Novedades Educativas.

GARCÍA, A. M., ZORZOLI, G. (1998),
Revista Lápiz y papel. Matemática, La medi-
da, Buenos Aires, Tiempos Editoriales.

PANIZZA, M. (1997), “Aproximación al análisis del error desde una concepción
constructivista del aprendizaje”, en: BRESSAN, A. y OTROS (1997), Los CBC y la
Matemática, Buenos Aires, AZ.

PANIZZA, M. (2003),
“Reflexiones generales acerca de la enseñanza de la
Matemática”, en: Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de
la EGB. Análisis y propuestas, Buenos Aires, Paidós.

PANIZZA, M. y SADOVSKY, P. (1991),
El papel del problema en la construcción de
los conocimientos matemáticos, Buenos Aires, FLACSO.


Serie
192

PONCE, H. (2000), “Proporcionalidad: del dogma a la construcción de los pro-
cedimientos”, “Proporcionalidad: entre los procedimientos y la búsqueda de
regularidades” y “Nociones de estadística” en: Enseñar y aprender matemáti-
ca. Propuestas para el Segundo Ciclo, Buenos Aires, Novedades Educativas.

PUJADAS, M. y EGUILUZ, M. L. (2000),
Fracciones, ¿un quebradero de cabeza?
Sugerencias para el aula, Buenos Aires, Novedades Educativas.

SADOVSKY, P (COORD.) LAMELA, C., CARRASCO, D. (2005),
Matemática. Fracciones
y números decimales. 6º grado. Apuntes para la enseñanza. Gobierno
de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación. Dirección General de
Planeamiento. Dirección de Currícula.

SADOVSKY, P. (COORD.), BROITMAN, C.; ITZCOVICH, H., QUARANTA, M. E. (2001),
“Acerca
de los números decimales. Una secuencia posible”, en: Aportes para el
Desarrollo Curricular Matemática, Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.
(También disponible en Internet.)

Documentos curriculares para Nivel Primario – EGB 2, en Internet

La enseñanza de la división en los tres ciclos.
La enseñanza de la geometría en la EGB.
La enseñanza de la multiplicación en los tres ciclos.
En: http://abc.gov.ar/LaInstitucion/SistemaEducativo/EGB/default.cfm

Matemática. Documento de trabajo Nº 4. Actualización curricular, 1997.
Matemática. Documento de trabajo Nº 5. Actualización curricular, 1998.
En: http://www.buenosaires.gov.ar/educacion/docentes/planeamiento/primaria.php

Matemática, fracciones y números decimales. 6º grado. Apuntes para la
enseñanza.
En: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/plan_pluri.php

Enseñar Geometría en el 1° y 2° Ciclo. Diálogos de la capacitación.
En: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/cepa/geometria.pdf

Acerca de los números decimales. Una secuencia posible.
En: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/primaria.php

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Matemática 6
193

Bibliografía
Desarrollo curricular Nº 1.
Una forma de uso de la proporcionalidad: las escalas. Desarrollo curricular Nº 2.
Las regularidades: fuente de aprendizaje matemático. Desarrollo curricular Nº 3.
La medida, un cambio de enfoque. Desarrollo curricular Nº 4.
La división por dos cifras: un mito escolar Desarrollo curricular Nº 5.
La estimación, una forma importante de pensar en Matemática.
En: http://www2.educacion.rionegro.gov.ar/v2005/gcurri/matematica/matemat.htm

Propuestas para el aula. Material para docentes. Matemática EGB 2.
Juegos en Matemática EGB 2. El juego como recurso para aprender (material
para alumnos). Subsecretaría de Educación Básica, Ministerio de Educación.
Juegos en Matemática EGB 2. El juego como recurso para aprender (material
para docentes). Subsecretaría de Educación Básica, Ministerio de Educación.
En http://www.me.gov.ar/curriform/matematica.html

Bibliografía general de consulta

(1996), “La medida”, Revista de Didáctica de las Matemáticas Uno
A.A.V.V.
Nº 10, Barcelona, Graó.

ARTIGUE, M., DOUADY, R. y OTROS (1995), Ingeniería didáctica en educación
matemática, Bogotá, Grupo Editorial Iberoamericano.

BERTHELOT, S. (1993), “La enseñanza de la Geometría en la escuela primaria”
Artículo de la Revista Grand Nº 53, traducido para el PTFD, Ministerio de
Educación.

BIDEAU, J.; MELJAC, M. y FISHER J. P. (1991),
“L’appropriation du concept de nom-
bre: un processus de lounge halaine” en: Les chemins du nombre, Lille,
Presses Universitaires de Lille.

BRESSAN, A. M., BOGISIC, B. y CREGO, K. (2000),
Razones para enseñar
Geometría en la Educación Básica, Buenos Aires, Novedades Educativas.

BROUSSEAU, G. (1987), Fundamentos y métodos de la didáctica de la
Matemática, Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía y Física,
Universidad Nacional de Córdoba.


Serie
194

BROUSSEAU, G. (1994), “Problemas de la enseñanza de los decimales.
Problemas de didáctica de los decimales”, Córdoba. IMAF, Universidad
Nacional de Córdoba. Traducción: Dilma Fregona y Rafael Soto (1981).
´
“Problemes en didactiques des décimaux” en: Recherches en didactique des
mathématiques, Vol. 2, Nº 1, Grenoble, La Pensée Sauvage Editions.

CAMUYRANO M. B., CRIPPA, A. y OTROS (1998), Matemática. Temas de su
Didáctica, PRO CIENCIA Conicet, Programa de perfeccionamiento docente,
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación.

CENTENO PÉREZ, J. (1988), Números decimales, ¿Por qué? ¿Para qué? Nº 5
Madrid, Síntesis.

CHAMORRO, M. del C. (2003), Didáctica de las Matemáticas, Madrid, Pearson
Prentice Hall.

CHAMORRO, M. del C.; BELMONTE, J. M. (1994), El problema de la medida, Madrid,
Síntesis.

CHEVALLARD, I. (1997), La transposición didáctica. Del saber sabio al saber
enseñado, Buenos Aires, Aique.

CHEVALLARD, I., GASCÓN, J. y BOSCH, M. (1997),
Estudiar Matemática. El eslabón
perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, Barcelona, Ice-Horsori.

CORBALÁN, F. (1995), La matemática aplicada a la vida cotidiana, Barcelona,
Graò.

FIOL MORA, M. L., FORTUNY AYMEMI, J. (1990), Proporcionalidad directa. La forma
y el número. Nº 20, Madrid, Síntesis.

IFRAH, G. (1987), Las cifras. Historia de una gran invención, Madrid, Alianza.

ITZCOVICH, H. (2005), Iniciación al estudio didáctico de la Geometría, Buenos
Aires, Libros del Zorzal.

LABORDE, C. Y CAPPONI, B. (1994), “Cabri-Geometre Constituant d´un millieu por
láprentissage de la notion de Figure géometrique” en: Recherches en didacti-
que des mathématiques, Vol. 14, Nº 12,. París, La Pensée Sauvage Editions.

Nap

Matemática 6
195

Superficie y Volumen Nº 19, Madrid, Síntesis.

Bibliografía
OLMO ROMERO Y OTROS (1993),

PANIZZA, M. (COMP.) (2003), Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y el Primer
Ciclo de la EGB. Análisis y propuestas, Buenos Aires, Paidós.

PARRA, C. Y SAIZ, I. (COMPS.) (1994), Didáctica de las Matemáticas. Aportes y
reflexiones, Buenos Aires, Paidós.

SEGOVIA ALEX, I.; CASTRO MARTINEZ, E.; RICO ROMERO, L. (1989), Estimación en
cálculo y medida. Nº 9, Madrid, Síntesis.

SIERRA VÁZQUEZ, M. y OTROS (1991), Divisibilidad Nº 7, Madrid, Síntesis.

VERGNAUD, G. (1991), El niño, la matemática y la realidad, México, Trilla.

——————— (1997) (COMP.), Aprendizajes y didácticas: qué hay de nuevo, Buenos
Aires, Edicial.

——————— (1990). “La théorie des champs conceptueles” en: Recherches en
didactique des mathématiques, Vol. 10, París, La Pensée Sauvage Editions.
(También es posible encontrar la Traducción de Juan D. Godino en Internet.)

Se terminó de imprimir
en el mes de enero de 2007 en
Gráfica Pinter S.A.,
México 1352
Ciudad Autónoma de Buenos Aires

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