2010.029

Cuadernillo de apuntes Teor´ıa de la
computaci´on
Magaly Gonz´alez Mota
30 de junio de 2010

Índice general
1. INTRODUCCION 5
1.1. Autómatas computabilidad y complejidad . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Representaciones estructurales . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Autómatas y la complejidad . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Nociones Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Funciones y relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Cadenas y lenguajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Lenguajes regulares 25
2.1. Autómatas finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1. Autómatas finitos deterministicos AFD . . . . . . . . . 26
2.1.2. Autómatas finitos no deterministicos AFND . . . . . . 29
2.2. Expresiones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Lenguajes Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Lenguajes libres de contexto 37
3.1. Gramáticas libres de contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Árboles de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Formas normales de Comsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4. Forma normal de Greibach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5. Ambigüedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6. Autómatas de Pila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7. Lenguajes no regulales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Máquinas de Turing 61
4.1. Definición de una Máquina de Turing . . . . . . . . . . . . . . 63
3

4 ÍNDICE GENERAL
4.2. Construcción modular de una MT . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3. El lenguaje de una Máquina de Turing . . . . . . . . . . . . . 70
4.4. Variantes de una Máquina de Turing . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.1. Máquina de Turing con varias cintas . . . . . . . . . . 71
4.4.2. Máquinas con pilas multiples . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.3. Máquinas contadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5. Decibilidad 77
5.1. Lenguajes Decidibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2. El problema de Halting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3. Decibilidad de teor´ıas lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6. Reducibilidad 83
6.1. Problemas insolubles para la teor´ıa de lenguajes . . . . . . . . 83
6.2. Un problema simple insoluble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.1. Algoritmo de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3. Funciones computables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Cap´ıtulo 1
INTRODUCCION
Objetivo de la Unidad Situar la importancia del estudio de los
autómatas dentro del proceso de desarrollo de software, y algunas aplica-
ciones. Presentar las nociones básicas de matemáticas necesarias para comen-
zar a estudiar la materia.
1.1. Autómatas computabilidad y compleji-
dad
Se conoce como teor´ıa de autómatas el estudio de las máquinas o dispos-
itivos abstractos con capacidad de computación.
En la decada de 1930 el matemático ingles Alan Mathison Turing estudió una
máquina con el objetivo de determinar con presición cuál era la frontera entre
lo que podia o no pod´ıa hacer una máquina computadora.
En las decadas de 1940 y 1950 se estudiarón otro tipo de máquinas
sencillas conocidas con el nombre de autómatas finitos, los cuales inicial-
mente pretendian modelar las funciones cerebrales. A finales de la decada de
1950 el lingüista estadounidense Noam Chomsky comenzó el estudio de las
gramáticas formales, las cuales no son máquinas, pero son componentes de
software importantes por su relación con los autómatas abstractos. En 1969
el matemático estadounidense Stephen Arthur Cook separo los problemas
que se pueden resolver de manera eficiente en una computadora de aquellos
que en la practica necesitarian tanto tiempo que no tendr´ıa utilidad emplear
una computadora, salvo en casos particulares, a los cuales llamo problemas
5

6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION
NP-dificiles.
Algunos de los conceptos de autómatas y gramáticas se emplean en el
diseño y construcción de aplicaciones de software, o decidir sin un problemas
es factible de ser resuelto mediante el uso de un algoritmo computable.
Entre las razones por las cuales es conveniente estudiar la teoria de autómatas,
están:
1. El diseño y verificación del comportamiento de circuitos digitales (soft-
ware)
2. El analizador léxico de un compilador (la parte del compilador que des-
compone el texto inicial en unidades lógicas tales como identificadores,
palabras reservadas y signos de puntuación).
3. Software para encontrar apariciones de ciertas palabras, frases u otros
patrones en textos grandes dentro de paginas web.
4. Software para comprobar la corrección de cualquier tipo de sistemas
que tengan un número finito de estados diferentes, como los protocolos
de comunicación o los protocolos para el intercambio seguro de infor-
mación.
Existen muchos sistemas o componenetes de los cuales se puede decir en
todo momento que estan en cierto estado entre un número finito de ellos.
El objetivo de un estado es recordar la parte significativa de la historia de
un sistema. Dado que solo disponemos de un número finito de estados, nor-
malmente no es posible recordar la historia completa, por lo cual el sistema
deberá ser diseñado de tal forma que recuerde las cosas que son importantes
y omita las que no lo son.
Ejemplo 1 Un interruptor de encendido y apagado, el cual es capaz de recor-
dar si está en el estado de encendiddo o apagado, y permite que el usuario
pulse el boton consiguiendo efectos diferentes que dependen de cual era el
estado del interruptor.
Algunas veces, un estado recuerda cosas más complejas. Por ejemplo el
autómata finito cuyo trabajo sea reconocer la palabra reservada while, para
lo cual necesitará 6 estados, cada uno de los cuales representa una posición
dentro de la palabra, desde la palabra vac´ıa (estado inicial), y donde cada uno

1.2. NOCIONES MATEM ÁTICAS 7
produce una transición desde el prefijo existente hasta la siguiente letra de
la palabra (cada estado está etiquetado con el prefijo de la palabra while que
ya se analizo), el estado denominado while, es alcanzado cuando el autómata
ha deletreado la palabra while, y el estado while es el único aceptado por el
automata.
1.1.1. Representaciones estructurales
Existen otros dos tipos de notaciones que desempeñan un papel impor-
tante en el estudio de los autómatas y sus aplicaciones
1. Las gramáticas que se emplean para el desarrollo de software destinado
a procesar datos con estructura recursiva, por ejemplo el analizador
sintáctico que se ocupa de las caracteristicas recursivas de los lenguajes
de programación, como las expresiones aritméticas, condicionales etc.
2. Las expresiones regulares que nos indican la estructura de los datos,
principalmente cadenas de texto.
1.1.2. Autómatas y la complejidad
Los autómatas nos sirven para resolver dos pregntas muy importantes en
la computación que son:
¿Qué puede hacer una computadora?
Qué puede hacer una computadora eficientemente?
El como nos permite determinar la respuesta a éstas preguntas será parte
del estudio de nuestro curso y se abordara principalmente en la unidad 5 y
6.
1.2. Nociones Matemáticas
1.2.1. Conjuntos
Para el estudio de los autómatas es necesario recordar algunos de los con-
ceptos vistos en Matemáticas para computadora, debido a que muchas de
las definiciones relacionados con los autómatas estan dados en terminos de

conjuntos, a continuación se presenta un breve recordatorio.
Definición 1 Conjunto es una colección de objetos que puede ser finito o in-
finito. Totalidad de los elementos o cosas poseedores de una propiedad común,
que los distingue de otros.
En el caso de ser finito y si el conjunto no es muy extenso se puede
representar mediante todos sus elementos.
A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
Si es finito o tiene muchos elementos se representa de la siguiente forma
B = {xx es un número entero positivo}
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
La colección de elementos debe estar bien definida.
Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, gene-
ralmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite
se contará sólo una vez.
El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
Notación 1 A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B,
C,... y a los elementos con letras minúsculas a, b, c,...
Tipos de conjuntos
Conjunto vac´ıo o nulo: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por
∅ o { }, por ejemplo:
A = x2
+ 1 = 0x ∈ R
El conjunto A, es un conjunto vac´ıo por que no hay ningún número real
que satisfaga x2
+ 1 = 0. Una propiedad imortante del conjunto vac´ıo
es que está contenido en cualquier conjunto.
Conjunto universal: Es el conjunto de todos los elementos considerados en
una población o universo, en un problema en especial. No es único,
depende de la situación, y se representa por U o Ω.

Relaciones u operaciones entre conjuntos
Pertenencia: Si un elemento esta en la descripción de un conjunto, se dice
que pertenece al conjunto, y se denota por el s´ımbolo ∈
x ∈ A
Para denotar que un elemento no pertence a un conjunto escribimos
x /∈ A
Cardinalidad:Es el número de elementos de un conjunto y se denota por
|A|
por ejemplo si A es el conjunto de los d´ıas de la semana entonces |A| = 7
Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mis-
mos elementos es decir, si cada elemento que pertenece a A también
pertenece a B y viceversa si cada elemento que pertenece a B pertenece
también a A.
A = B
Subconjunto: Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de
un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B, y se
denota por el s´ımbolo ⊂.
A ⊂ B o B ⊂ A
Subconjunto propio: Se dice que B es un subconjunto propio de A s´ı todos
los elementos de un conjunto B se encuentran incluidos en él A, y se
denota por el s´ımbolo ⊆.
A ⊆ B o B ⊆ A
Conjunto potencia: La familia de todos los subconjuntos de un conjunto
se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos,
entonces el conjunto potencia tendrá 2n
subconjuntos. Un conjunto es
subconjunto de el mismo,y el vacio es subconjunto de cualquier con-
junto.
A = {0, 1}
El total de subconjuntos es: 22
= 4 los cuales son:
P(A) = {{1, 2} , {1} , {2} , ∅}

Unión: Es una operación entre dos conjuntos A y B y está formada por
todos los elementos que pertencen a el conjunto A o al conjunto B o
ambos y se representa de la siguiente manera:
A ∪ B = {xx ∈ A o x ∈ B}
Intersección: Es una operación entre dos conjuntos A y B y está formada
por todos los elementos que pertenecen a el conjunto A y también al
conjunto B y se representa de la siguiente forma
A ∩ B = {xx ∈ A y x ∈ B}
Conjuntos disjuntos: Son aquellos que no tienen elementos en común, es
decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos, y se rep-
resenta de la siguiente forma:
A ∩ B = ∅
Por ejemplo F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y G = {a, b, c, d, e, f} son disjuntos.
Partición: Cuando un conjunto X es dividido en subconjuntos que no se
intersectan entre si y que además al unirlos forman todo el conjunto
X, se le denomina partición.
Diferencia de dos conjuntos A−B: Consta de todos los elementos de A que
no están en B y se representa de la siguiente forma:
A − B = {xx ∈ A y x /∈ B}
Complemento: Dado el conjunto universo y un subconjunto A del universo
el complemento de A es el conjunto de todos los elementos del universo
que no pertenecen a A y se denota por:
Ac
= U − A
Ejemplo 2 Sea U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} el conjunto universo y
A = {0, 2, 4, 6} , B = {1, 3, 5, 7, 9} , C = {1, 2, 3, 4, 5} y D = {6, 7, 8, 9}
subconjuntos de U
A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

B ∩ C = {1, 3, 5}
D − B = {6, 8, 0}
Ac
= {1, 3, 5, 7, 8, 9}
A ∩ B = ∅
de donde podemos concluir que A y B son disjuntos.
Ejemplo 3 Sea A = {a, b, c, d}
|A| = 4 entonces la cardinalidad del conjunto potencia es |P(A)| = 24
= 16
P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {d} , {a, b} , {a, c} , {a, d} , {b, c} , {b, d} , {c, d} , {a, b, c} ,
{c, d} , {a, b, c} , {a, b, d} , {b, c, d} , {a, c, d} , {a, b, c, d}}
Los siguientes son ejemplos de algunas particiones del conjunto A
P1 = {{a, b} , {c, d} , ∅}
P2 = {{a, b, ∅} , {c, d}}
P1 = {{a} , {b, d, c} , ∅}
Actividad 1 Realice lo siguiente:
1. Los conjuntos también se pueden representar de manera gráfica medi-
ante los diagramas de Veen, investigar que son y como se representan
las diferentes operaciones entre conjuntos por medio de diagramas de
Veen.
2. Investigar la biografia de Georg Cantor y mencionar cuales fuerón sus
aportaciones a la teor´ıa de conjuntos.
3. Investigar las leyes de D’Morgan para conjuntos.
4. Sea U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j } el conjunto universo y A =
{a, b, e, i, j}, B = {f, b, c, g, j}, C = {a, c, d, h, j} y D = {h, i, j, c}
Calcular

a) A ∪ B
b) B ∩ D
c) A ∪ C
d) C ∩ B
e) Ac
f) (A ∪ B)c
g) (Ac
∩ B) ∪ C
h) (A ∪ B) ∩ (C ∩ D)
i) ((A ∪ B) ∩ (C ∩ D))c
j) (D ∩ (B ∪ A)c
) ∪ (Ac
∩ B)
1.2.2. Funciones y relaciones
Definición 2 Una pareja ordenada es un par de números los cuales se pueden
encontrar en el plano cartesiano, donde el orden de los terminos que la con-
forman si es importante y se denota por
(a, b)
Actividad 2 Investigar como se da la igualdad de las parejas ordenadas,
cual es su inverso aditivo y cual es su neutro multiplicativo La razón por la
cual son de nuestro interes las aprejas ordenadas es porque nos ayudan a
definir una operación entre conjuntos llamada producto cartesiano.
Definición 3 El producto cartesiano de dos conjuntos X y Y se define como:
X × Y = {(x, y)x ∈ X y y ∈ Y }
Ejemplo 4 Si X = {1, 2, 3}, Y = {a, b} entonces:
X × Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, b), (3, a)}
Y × X = {(b, 1), (a, 1), (b, 2), (a, 2), (b, 3), (a, 3)}
Y × Y = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
X × X = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
En este ejemplo se obsreva que X × Y = Y × X

Actividad 3 Dados C = {a, c, d, h, j}, A = {α, β, γ} y D = {h, i, j, c}
hallar
1. C × D
2. A × C
3. D × D
4. Si X × Y × Z = {(x, y, z)x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z} hallar
a) C × D × A
b) A × D × C
Teorema 1 Para cualquier par de conjuntos finitos no vac´ıos A y B
|A × B| = |A| |B|
Una Relación es un conjunto de pares ordenados, donde el primer ele-
mento está relacionado con el segundo elemento del par ordenado, mas for-
malmente
Definición 4 Una Relación (binaria) R de un conjunto X en un conjunto Y
es un subconjunto del producto cartesiano X × Y . Si (x, y) ∈ R, escribimos
xRy y decimos que x está relacionado con y; además si X = Y entonces
decimos que R es una relación binaria sobre X
Ejemplo 5 Sean X = {1, 2, 3, 4}, Y = {2, 4, 5} dos conjuntos, definimos la
relación R como
R = {(x, y) x + y sea par}
entonces
R = {(1, 5), (3, 5), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}
Definición 5 Al conjunto
{x ∈ X(x, y) ∈ R para algun y ∈ Y }
se le conocee con el nombre de Dominio de la relación (DR) y al conjunto
{y ∈ y(x, y) ∈ R para algun x ∈ X}

se le conoce con el nombre de Rango o imagen de la relación (ImR)
Para el ejemplo anterior tenemos que:
DR = {1, 2, 3, 4}
ImR = {2, 4, 5}
Propiedades de las relaciones
Definición 6 Una relación binaria sobre X tiene las siguientes propiedades:
Una relación R sobre un conjunto X es reflexiva si (x, x) ∈ R para cada
x ∈ X
Una relación R sobre un conjunto X es irreflexiva si (x, x) /∈ R para cada
x ∈ X
Una relación R sobre un conjunto X es simétrica si para todo x, y ∈ X y
si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R
Una relación R sobre un conjunto X es antisimétrica si para todo x, y ∈ X,
si (x, y) ∈ R y si x = y, entonces (y, x) /∈ R
Una relación R sobre un conjunto X es transitiva si para toda x, y, z ∈ X,
si (x, y) y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R
Una relación R sobre un conjunto X es un orden parcial si R es reflexiva,
transitiva y antisimétrica
Una relación R sobre un conjunto X es una relación de equivalencia si R
es reflexiva, transitiva y simétrica
Sea R una relación de X en Y . La inversa de R que se denota por R−1
, es
la relación de Y a X definida como:
R−1
= {(y, x)(x, y) ∈ R}
Sea R1 una relación de X a Y y R2 una relación de Y a Z, la composición
de R1 y R2 que se denota por R2 ◦R1 es una relación de X a Z definida
como
R2 ◦ R1 = {(x, z)(x, y) ∈ R1 y (y, z) ∈ R2 para alguna y ∈ Y }

No hay que olvidar que las relaciones son conjuntos, por lo cual se pueden
aplicarles las operaciones entre conjuntos.
Ejemplo 6 Consideremos la siguiente relación sobre X = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {(x, y)x + y es par}
R = {(1, 1), (1, 3) (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
De la relación se tiene lo siguiente
DR = {1, 2, 3, 4, 5}
ImR = {1, 2, 3, 4, 5}
Además: la relación es reflexiva pues las parejas (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),
(5, 5) pertenecen a la relación.
La relación es simetrica pues
(1, 3) ∈ R y también (3, 1) ∈ R
(1, 5) ∈ R y también (5, 1) ∈ R
(3, 1) ∈ R y también (1, 3) ∈ R
(3, 5) ∈ R y también (5, 3) ∈ R
(5, 1) ∈ R y también (1, 5) ∈ R
(2, 4) ∈ R y también (4, 2) ∈ R
(4, 2) ∈ R y también (2, 4) ∈ R.
La relación es transitiva pues
(1, 1) ∈ R y (1, 3) ∈ R (x = 1, y = 1 y z = 3) entonces (1, 3) ∈ R

Como nuestra relación es simétrica entonces no puede ser antisimétrica,
es importante observar que si la relación no es simetrica no necesariamente
sera antisimetrica.
en otros casos tampoco es necesario probar si todos los elementos de la
relación cumplen con encontrar uno que no cumpla ser transitivo, reflexivo,
simétrico o antisimétrico (dependiendo de que estemos buscando) la relación
ya no tendra la propiedad buscada.
Por último y como conclusión de nuestro ejemplo la relación por ser transi-
tiva, reflexiva y simetrica es una relacvión de equivalencia.
Actividad 4 en los siguientes ejercicios determine: los elementos de la relación,
la inversa de la relación, el dominio e imagen de la relación, si es reflexiva,
simétrica, antisimétrica, transitiva, relación de equivalencia o es una relación
de orden parcial.

Sea X = {1, 2, 3, 4, 5}
1. R = {(x, y) 3 divide a x − y}
2. R = {(x, y) ; x + y ≤ 6}
3. R = {(x, y) x − y < 3}
4. R = {(x, y) x2
≤ y}
5. R = {(x, y) x divide a 2y}
Funciones
Definición 7 Una función de X a Y es una relación que posee las siguientes
propiedades
El dominio de f es X
Si (x, y) y (x, y ) ∈ f, entonces y = y
Actividad 5 1. Buscar 5 ejemplos de relaciones binarias que son fun-
ciones y 5 ejemplos de relaciones binarias que no lo sean y explicar
cual de las dos condiciones de la definición no se cumplen y porque.
2. Investigar que es una función inyectiva (o uno a uno), suprayectiva (o
sobre) y biyectiva.
La razón por la cual no nos adentramos mucho mas en el estudio de las
funciones es porque las hemos empleado en los cursos de matemáticas que se
imparten a lo largo del tronco común en el tecnológico.
1.2.3. Inducción matemática
En computación, a veces es necesario que los programas se prueben de
manera formal, y sin perder de vista su objetivo. La materia de teor´ıa de la
computación se caracteriza por ser una materia con un enfoque conceptual,
donde todos los resultados que se presentan se fundamentan en demostra-
ciones formales, empleando principalmente el método inductivo, esto debido

a que tanto las cadenas como los autómatas son elementos de conjuntos fini-
tos.
Existen varios métodos para realizar demostraciones en matemáticas entre
los cuales destacan:
Demostraciones deductivas: Las cuales consisten en una secuencia de afir-
maciones o proposiciones, cuya validez nos conduce a una conclusión,
a partir de las proposiciones iniciales llamadas hipótesis o postulados.
Las hipótesis se suponen falsas o verdaderas al inicio de la demostración
y con la ayuda de proposiciones, postulados o deducciones anteriores
se verifica la veracidad de la mismas. La hipótesis estan formadas por
varias afirmaciones independientes que se relacionan entre si mediante
un operador lógico.(Los teoremas demostrados mediante este método
normalmente tienen la forma si “H” entonces “C” y se dice que C se
deduce de H )
Demostración de equivalencias entre conjuntos. En ocaciones se debe probar
que dos o más conjuntos son iguales o representan lo mismo, para este
tipo de demostraciones se deberan pobrar las siguientes proposiciones
A ⊂ B y B ⊂ A, y una vez que se demostrarón podermos concluir la
igualdad.
Demostración por contradicción: Está es similar a el método deductivo,
solo que en lugar de probar si “H” entonces “C”, probamos si no “C”
entonces “H”, que es su proposición contradictoria (no confundirla con
la inversa de la proposici’ón).
Demostración por reducción al absurdo: Está demostración comienza suponien-
do que son ciertas tanto la hipótesis H como la negación de la conclusión
C y la demostración se completa probando algo que se sabe falso y que
se deriva de la proposición “H” y no“C”(la cual implica falsedad).
Contraejemplos: En programación (sobre todo para estructuras recursivas)
no siempre es posible demostrar todos los casoso que se nos presenten,
sin embargo con probar que uno o más casos no se cumplen podemos
demostrar que una afirmación es falsa. Por ejemplo la afirmación de
que todos los números primos son impares es falsa pues el número 2 es
par y es un número primo.

1.3. CADENAS Y LENGUAJES 19
Otra forma de demostración importante para nuestra materia es la de-
mostración por inducción; este método ayuda principalmente cuando tenemos
definiciones recursivas árboles, expresiones regulares, cadenas etc. Primero
que nada es necesario explicar que este método se emplea para proposiciones
que ocurren una, dos, tres, . . ., n veces y que tiene un patron que se repite en
cada una de las veces a dicha proposición la denotamos mediante S(n), donde
n nos dira en que número de repetición nos encontramos. El procedimiento
que se emplea en este método es el siguiente:
Supongase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la
cual es verdadera o falsa, necesitamos probar dos cosas:
1. Base: debemos probar que la proposición es cierta (o falsa) para n =
0 y n = 1, o para los valores a partir de los cuales se marque que
esta es verdadera ( en el caso de que existen afirmaciones que no son
ciertas para números pequeños), en terminos matemáticos S(i) es cierta
cuando i = 0 o i = 1
2. Paso de inducción: en este paso suponemos que para algun valor n
arbitrario la proposición S(n) es cierta, y posteriormente procedemos
a probar que esta proposición también se cumple para su consecutivo
S(n + 1)
Por ejemplo las filas de fichas de dominó cuando caen: hemos demostrado
que la primera ficha cae (primer paso), y que si cae una ficha también debe
caer la siguiente (si es cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso). La
idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y si cuando
un número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los
números lo cumplen.
Actividad 6 Investigar 5 ejemplos en los que se empleen demostraciones
por el método inductivo
1.3. Cadenas y lenguajes
Si nosotros observamos las siguientes l´ıneas podemos observar algunas
cosas en común:
Programas escritos en lenguajes de alto nivel.

Palabras o frases en español.
Los números usados por una calculadora
Lo primero que podemos observar es que cada una de ellas está compuesta
por una secuencia de s´ımbolos que pertenecen a algún conjunto finito; para
el caso de la segunda l´ınea el conjunto {a, b, c, ..., x, y, z} junto con todos los
s´ımbolos de puntuación correspondientes, de manera análoga para la tercera
l´ınea, donde el conjunto son los d´ıgitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Los progra-
mas escritos en lenguajes de alto nivel también están compuestos por un
conjunto finito de palabras reservadas, identificadores y s´ımbolos especiales
(como fin de archivo, abrir archivo, retorno de carro etc.)
En general cada una de ellas está formada por una secuencia de elementos
de un conjunto finito no vac´ıo llamado alfabeto que denotaremos por Σ; a los
elementos de dicho alfabeto los llamaremos letras y los denotaremos por σ,
además supondremos que las letras se escriben con un solo carácter.
Ejemplo 7 Entre los alfabetos más comunes en computación se encuentran
Σ = {0, 1} el alfabeto binario.
El conjunto de todos los caracteres ASCII, o el conjunto de todos los
caracteres ASCII imprimibles.
Definición 8 Sea Σ un alfabeto, una palabra o cadena sobre el alfabeto es
una secuencia finita de s´ımbolos del alfabeto Σ. En caso de que no se ten-
ga ningun caracter la cadena será llamada cadena vac´ıa y la denotaremos
mediante la letra λ.
Ejemplo 8 001101010, 110101, 1, 00, son cadenas del alfabeto binario
Entre las cadenas es posible hacer operaciones, a continuación describi-
mos algunas de ellas:
Sea Σ un alfabeto, se define la concatenación de palabras como una ope-
ración:
· : Σ∗
× Σ∗
→ Σ∗
para todo ω, ϕ ∈ Σ∗
: ω · ϕ = (ω1, ω2, . . . , ωnϕ1, ϕ2, . . . , ϕn)

En la palabra resultante, a la palabra ω la llamaremos prefijo y a la palabra
ϕ, la llamaremos sufijo Si ω = hola y ϕ = peluza entonces
ω · ϕ = holapeluza
aqui el prefijo es hola mientras que el sufijo es peluza, y de este mismo
ejemplo podemos observar que
ϕ · ω = peluzahola
de donde podemos concluir que la concatenación de cadenas no es conmuta-
tiva
ϕ · ω = ϕ · ω
a menos que una de las palabras sea la palabra vac´ıa
λ · ω = ω · λ = ω
En ocaciones es útil clasificar las cadenas por su longitud, es decir el número
de caracteres que conforman la cadena, por ejemplo la cadena
for(i = 1; i <= 40; i + +)
tiene 18 caracteres, de manera más formal:
Definición 9 Sea Σ un alfabeto y ω = (ω1, ω2, ..., ωn) una palabra sobre Σ.
La longitud de una palabra de Σ es una función: |·| : Σ∗
→ N definida as´ı:
|ω| = n
Derivado de la definición tenemos lo siguiente
1. La longitud de la cadena vac´ıa es cero |λ| = 0
2. La longitud de la concatenación de dos cadenas es la suma de las lon-
gitudes de cada cadena,si ϕ, ω ∈ Σ: |ω · ϕ| = |ω| + |ϕ|
A continuación se muestra un ejemplo de como se usa el método inductivo
en la teoria de autómatas, para desmostrar la última afirmación
Demostración:

Procederemos por inducción sobre ϕ
Base: Si ϕ = λ entonces
|ω · ϕ| = |ω · λ| = |ω| + 0 = |ω| + |λ| = |ω| + |ϕ|
Hipótesis de inducción: Supongamos que para cualquier palabra α, |α| ≤ n
se tiene que:
|ω · α| = |ω| + |α|
Ahora sea ψ = α · β una palabra de longitud n + 1 con α ∈ Σ∗
y β ∈ Σ
|ϕ · ψ| = |ϕ · α · β| = |ϕ · α| + 1 = |ϕ| + n + 1 = |ϕ| + |α · β| = |ϕ| + |ψ|
Actividad 7 Investigar las propiedades de asociatividad e identico entre
concatenación de cadenas
Definición 10 Si Σ es un alfabeto podemos expresar el conjunto de todas las
cadenas del alfabeto empleando la siguiente notación Σk
que es el conjunto de
todas las cadenas de longitud k, tales que todos los s´ımbolos que las conforman
pertenecen a el alfabeto Σ
Ejemplo 9 si Σ = {0, 1} entonces:
Σ0
= λ
Σ1
= {0, 1}
Σ2
= {00, 01, 10, 11}
Σ3
= {000, 001, 010, 011, 100, 101 110, 111}
y as´ı sucesivamente.
Es importante hacer enfásis en el hecho de que Σ y Σ1
no son lo mismo, el
primero representa el conjunto formado por los s´ımbolos 0 y 1 y del segundo
sus miembros son las cadenas 0 y 1, cada una de las cuales tiene longitud
uno.
Definición 11 Al conjunto de todas las cadenas tomadas de un alfabeto lo
llamaremos lenguaje. El lenguaje compuesto por todas las palabras sobre el
alfabeto, se le conoce como diccionario y se denota por Σ∗
, donde:
Σ∗
= Σ0
∪ Σ1
∪ Σ2
∪ Σ3
∪ . . .

En el caso de que el diccionario no incluya la cadena vac´ıa se escribira como
Σ+
y tenemos que Σ∗
= Σ+
∪ {λ}
Algunos ejemplos de lenguajes son:
El conjunto de los números binarios que representan un número primo
El lenguaje de programación C
el conjunto de todas las cadenas con igual cantidad de ceros y unos.
Una aplicación de los lenguajes es un analizador léxico de un compilador
de algun lenguaje de programación particular, en el cual se proporciona una
cadena ASCII y deseamos saber si dicha cadena pertenece o no al conjunto
de todos los programas validos para el lenguaje de programación.

Cap´ıtulo 2
Lenguajes regulares
Objetivo de la unidad: Conocer el concepto de expresón regular, su
representación mediante autómatas finitos y sus aplicaciones en procesos de
computo y el entorno donde se desenvuelve el alumno
2.1. Autómatas finitos
Para iniciar esta unidad se presentará un ejemplo práctico, tomado del
libro Introducción a la teor´ıa de autómatas, lenguajes y computación, de John
E.Hopcroft
Ejemplo 10 Los protocolos que ayudan a manejar el dinero electrónico (son
archivos que se utilizan para pagar compras en Internet y que el vendedor
recibe con la garant´ıa de que el dinero es real)
La parte de asegurar el dinero le corresponde al banco el cual debera encriptar
sus archivos para garantizar que la falsificación no sea un problema, además
de mantener una base de datos con todo el dinero valido que ha emitido, para
asegurar que el dinero que va a dar a la tienda sea real (es decir que en la
cuenta del cliente existan fondos), este proceso de compra, venta e intercam-
bio de dinero puede ser modelado mediante autómatas finitos
Otro ejemplo de un proceso que podemos modelar empleando autómatas
finitos es el siguiente
Ejemplo 11 Las máquinas expendedoras de refrescos, dulces o café requieren
25

26 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES
que se introduzca cierto importe para poder despachar algún producto, primero
requieren de selecciónar el producto posteriormente se necesita insertar la
cantidad de dinero necesario dependendiendo de la selección realizada, la
maquina debera contabilizarlo para guardar en un estado la cantidad de dinero
que fue introducido y en caso de que sea necesario dar cambio y que éste sea
devuelto correctamente, en este caso la entrada de nuestro autómata es no
tener dinero acumulado ni opción seleccionada, después se siguen una se-
cuencia de movimientos que nos llevan a obtener nuestro producto finaluna
vez que se ha completado la cantidad que cuesta el producto (este ejemplo se
analizará con más detalle en el transcurso del cápitulo)
En muchas otras máquinas se emplean los autómatas, as´ı que necesitamos
estudiar ?Qué es? y todas sus caracter´ısticas.
Actividad 8 Investigue dos ejemplos donde sea posible modelar un compor-
tamiento mediante autómatas.
2.1.1. Autómatas finitos deterministicos AFD
Para comenzar mencionares que el autómata finito deterministico es aquel
que siempre está en un sólo estado después de leer cualquier secuencia de
entradas; la palabra determinista nos dice que para cada entrada existe un
único estado al que el autómata puede llegar partiendo del estado actual;
comencemos dando la definición formal
Definición 12 Un Autómata Finito Determin´ıstico (AFD) es una quintu-
pla: M = (Q, Σ, q0, f, F), donde
Q Es un conjunto finito no vac´ıo (los elementos de Q son llamados estados)
Σ es un conjunto de s´ımbolos de entrada al que llamaremos alfabeto.
qI ∈ Q, es un estado al que llamaremos estado inicial.
f Es una función Q×Σ → Q que se llama función de transición; ésta recibe
como argumentos un estado y una entrada y devuelve un estado.
qF ⊂ Q es un conjunto de estados a los cuales llamaremos estados finales o
de aceptación.

2.1. AUT ÓMATAS FINITOS 27
Un autómata puede ser representado mediante un grafo dirigido (digrafo)
el cual se conoce como diagrama de transiciones, donde los vértices del mismo
corresponden a los estados del autómata, en el caso del estado inicial éste
tendrá una flecha que apunta hacia él, y los estados finales se representarán
mediante un c´ırculo con l´ınea doble; si existe una transición del estado q al p
sobre la entrada a entonces existe un arco con etiqueta a que va del estado q
al estado p en el diagrama de transición. El autómata acepta una cadena ω
si la secuencia de transiciones correspondientes a los s´ımbolos de ω conducen
del estado inicial a un estado final.
Ejemplo 12 Sea Q = {q0, q1, q2, q3} el conjunto de estados, qI = {q0} el
estado inicial, qF = {q0} el conjunto de estados finales, Σ = {0, 1} el alfabeto
de entrada y la función
f q0 q1 q2 q3
q0 ∅ 1 0 ∅
q1 1 ∅ ∅ 0
q2 0 ∅ ∅ 1
q3 ∅ 0 1 ∅
El digrafo asociado al automata anterior es:
Figura 2.1: Grafo asociado a un autómata
la función de transición también se puede escribir de la siguiente forma
f(q0, 1) −→ q1
f(q0, 0) −→ q2
f(q1, 1) −→ q0
f(q1, 0) −→ q3
f(q2, 1) −→ q3
f(q2, 0) −→ q0
f(q3, 1) −→ q2
f(q3, 0) −→ q2
o mediante la siguiente

Definición 13 Sea M = (Q, Σ, q0, f, F) un AFD definimos la iteración de
f sobre Σ∗
as´ı:
f∗
: Q × Σ → Q
∀q ∈ Q : f∗
(q, λ) := q
∀q ∈ Q ,∀σ ∈ Σ y ∀ϕ ∈ Σ∗
: f∗
(q, σϕ) := f∗
(f (q, σ) , ϕ)
Algo que es importante en la teor´ıa de autómatas, es como decide si acepta
o no una secuencia de s´ımbolos de entrada (cadena). El lenguaje de un AFD
es el conjunto de todas las cadenas que acepta el autómata, formalmente:
Definición 14 Sea M = (Q, Σ, q0, f, F) un AFD, el lenguaje de M se define
como:
L(M) := {w ∈ Σ∗
|f∗
(q0, w) ∈ F}
Observación 1 Sean L(A) y L(B) dos lenguajes sobre el alfabeto Σ, en-
tonces L(A) = L(B) si y sólo si L(A) ⊆ L(B) y L(B) ⊆ L(A).
Observación 2 Sean L(A) y L(B) dos lenguajes sobre el alfabeto Σ, en-
tonces
(L(A) · L(B))R
= L(B)R
· L(A)R
.
Definición 15 Dos autómatas finitos se dicen equivalentes si reconocen el
mismo lenguaje, es decir: Dados Mp = (Q, Σ, p0, f, F), Mq = (Q, Σ, q0, f, F)
AFD
MP ≡ Mq ⇔ L(Mp) = L(Mq)
2.1.2. Autómatas finitos no deterministicos AFND
Ahora, si se modifica el modelo del autómata finito, para permitirle ningu-
na, una o más transiciones de un estado sobre el mismo s´ımbolo de entrada,
al nuevo modelo lo conoceremos como autómata finito no determin´ıstico.
Definición 16 Un Autómata Finito No Determin´ıstico (AFND) es una quin-
tupla M = (Q, Σ, I, R, F), donde

2.1. AUT ÓMATAS FINITOS 29
Q es un conjunto de estados
Σ es un alfabeto.
I ⊂ Q es un conjunto de estados a los cuales llamaremos estados iniciales.
R es una relación sobre Q × Σ × Q que se llama relación de transición.
F ⊂ Q es un conjunto de estados a los cuales llamaremos estados finales.
Observación 3 Si I se reduce a un solo estado y R es tal que sus elementos
pueden escribirse mediante una función entonces el autómata será deter-
min´ıstico.
Definición 17 Sea M un AFND y sea ω ∈ Σ∗
un camino que empieza en
q0, inducido por ω = σ1σ2, · · · , σn en un autómata es una n + 1-ada de es-
tados (q0, q1, · · · , qn) tales que ∀k ∈ [1, 2, · · · , n], (qk−1, σk, qk) ∈ R. También
diremos que el camino empieza en q0 e induce λ es (q0).
Definición 18 Una palabra ω se dice reconocida por un AFND M, si ω
induce un camino que empieza en un estado inicial y termina en algún estado
final.
Definición 19 El lenguaje del AFND M, es el conjunto de todas las palabras
en Σ∗
que son reconocidas por M
L(M) = {ω ∈ Σ∗
|ω induce un camino (q0, · · · , qn) tal que q0 ∈ I y qn ∈ F}
Observación 4 Dado un AFND M = (Q, Σ, I, R, F) entonces existe un
AFD M tal que L(M) = L(M ).
Ejemplo 13 Sea M = ({q0, q1} , {0, 1} , δ, q0, {q1}) un AFND en el que :
δ (q0, 0) = {q0, q1}
δ (q0, 1) = {q1}
δ (q1, 0) = ∅
δ (q1, 1) = {q0, q1}

Podemos construir un AFD M = (Q, {0, 1} , δ , [q0] , F) que acepte a L (M)
de la siguiente forma: Q esta dado por todos los subconjuntos de {q0, q1}, a
los cuales denotaremos as´ı:
[q0] , [q1] , [q0, q1] , ∅
como δ (q0, o) = {qo, q1}
tenemos: δ ([q0] , 0) = [q0, q1] de la misma forma:
δ ([q0] , 1) = [q1]
δ ([q1] , 0) = ∅
δ ([q1] , 1) = [q0, q1]
δ (∅, 0) = δ (∅, 1) = ∅
Por lo tanto el conjunto de estados finales es {[q1] , [q0, q1]}
2.2. Expresiones regulares
Las expresiones regulares son importantes porque también pueden ser
consideradas como un lenguaje de programación, que nos permite realizar
acciones importante como las de busqueda de elementos en los compiladores
(errores como la falta de signos de puntuación o palabras reservadas mal
escritas). Las expresiones regulares estan directamente relacionadas con los
autómatas finitos deterministicos y no deterministicos, y en muchas oca-
ciones son empleadas para describir componentes de software debido a que
son más faciles de entender que los autómatas finitos. Otras caracteristicas
importantes de las expresiones regulares es que estas nos permiten definir a
los lenguajes descritos por las distintas familias de autómatas, los lenguajes
regulares, con la ventaja de que las expresiones regulares ofrecen una forma
declarativa de expresar las cadenas que pretendemos aceptar, lo que permite
que se utilicen como lenguaje de entrada en muchos sistemas de proceso de
cadenas.
Definición 20 Las Expresiones regulares sobre un alfabeto, se definen as´ı :
1. ∅ es una expresión regular.

2.2. EXPRESIONES REGULARES 31
2. {λ} es una expresión regular y se escribe: λ
3. ∀σ ∈ Σ : σ es expresión regular y se escribe: σ.
Ahora, si α y β son expresiones regulares, entonces también lo serán:
4. α ∪ β que escribiremos: α + β
5. α · β
6. α∗
Sólo las expresiones que se obtienen por composición finita de las reglas
anteriores son expresiones regulares.
Proposión 1 Sea α una expresión regular. Entonces αR
también es una
expresión regular
Demostración:
Se procederá por inducción sobre la construcción de expresiones regulares
1. ∅R
= ∅
2. λR
= {λ}R
= λR
= {λ} = λ
3. Sea σ ∈ Σ entonces por la definición de inversa)
σR
= (σλ)R
= λR
σ = λσ = σ
por lo tanto
σR
= {σ}R
= {σR
} = {σ} = σ
(1), (2) y (3) son expresiones regulares.
4. Supongamos que α, β, son expresiones regulares y que αR
, βR
también
lo son, entonces
(α + β)R
= {ωR
|ω ∈ α + β} = {ωR
|ω ∈ α} ∪ {ωR
|ω ∈ β} = αR
∪ βR
por lo tanto (α + β)R
es expresión regular.

5. Si ϕ, ψ son palabras queremos probar que ψR
ϕR
= (ϕψ)R
Base: si ϕ = λ
(ϕψ)R
= (λψ)R
= ψR
= ψR
λ = ψR
λR
= ψR
ϕR
Hipótesis de inducción: Sea α ∈ Σ∗
con |α| = n, n ≥ 1 entonces
(ϕψ)R
= {βR
|β ∈ ϕψ} = {βR
|β = a · b, a ∈ ϕ, b ∈ ψ} = ψR
ϕR
Ahora para α, σ ∈ Σ∗
((ασ) ψ)R
= (σ (αψ))R
= (αψ)R
σ
por la hipótesis de inducción
(αψ)R
σ = ψR
αR
σ = ψR
(σα)R
que es una expresión regular.
6. (α∗
)R
= αR ∗
base (α0
)
R
= λn
= λ = αR 0
hipótesis de inducción (α∗
)R
= αR ∗
Para n + 1
αn+1 R
= (αn
α)R
= αR
(αn
)R
= αR
αR n
= αR n+1
ahora
(α∗
)R
=
∞
n=0
αn
R
=
∞
n=0
(αn
)R
=
∞
n=0
αR n
= (αn
)∗
que es una expresión regular.
Por lo tanto, la inversión de una expresión regular es una expresión regular.

2.2. EXPRESIONES REGULARES 33
Probablemente la definición anterior nos haga pensar que las expresiones
regualres no son tan comprensibles, pero quiza el siguiente ejemplo permita
que se pueda cambiar de opinión
Ejemplo 14
01∗
+ 10∗
denota el lenguaje de todas las cadenas que comienzan con cero y estan
seguidas por cualquier cantidad de unos o comienzan con uno y estan seguidas
de cualquier cantidad de ceros.
Cerradura de Kleene
La Cerradura o clausura o estrella de Kleene de un lenguaje se denota por
L∗
y representa el conjunto de las cadenas que se pueden formar tomando
cualquier número de cadenas de L, por ejemplo si L = {0, 11}, L∗
consta de
aquellas cadenas de ceros y unos en las que los unos se encuentran en pares,
como 001, 11110; sin embargo cadenas como 101 y 01011 no estan dentro de
la cerradura.
Ejemplo 15 Si L = {a, bb} entonces
L0
= {λ}
L1
= {a, bb}
L2
= {aa, abb, bba, bbbb}
L3
= {aaa, aabb, abba, abbbb, bbbbbb, bbbba bbaabb, bbaa}
observe que aqui a corresponde a un caracter y bb corresponde a otro caracter.
Para calcular L∗
debemos calcular Li
para todo i y hacer la unión de
estos lenguajes.
Construcción de expresiones regulares
Se mostrará un ejemplo de como se construyen las expresiones regulares
utilizando la definición de las mismas

Ejemplo 16 Sea E el conjunto formado por todas las cadenas que tienen
cero o más repeticiones de la cadena 01 alternados. Primero se desarrolla
una expresión regular para el lenguaje formado por la cadena única 01, pos-
teriormente con ayuda del operador ∗, podermos obtener una expresión para
todas las cadenas de la forma 010101010 . . . 0101010
Lo primero que se debe contemplar es que por la definición de expresión reg-
ular 0 y 1 son expresiones regulares, y representan los lenguajes {0} y {1},
por el inciso 5 de la definición la concatenación de expresiones regulares es
una expresión regular, por lo cual 01 es una expresión regular que generael
lenguaje {01}. Para obtener todas las cadenas que constan de ceros y unos
usamos 6 de la definición y obtenemos la expresión regular (01)∗
. Sin em-
bargo el lenguaje asociado a (01)∗
sólo reconoce cadenas que empiecen con
cero y terminan en uno, pero que pasa con las cadenas que comienzan en
uno y terminen con cero o con uno, para contemplar todas las posiblilidades
será necesario construir tres expresiones regulares más
(10)∗
0(10)∗
1(01)∗
y la expresión regular completa será
(01)∗
+ (10)∗
+ 0(10)∗
+ 1(01)∗
aqui el operador + nos ayuda a unir los cuatro lenguajes formados por cada
una de las expresiones regulares.
Es importante denotar que los operadores en las expresiones regulares y
en las expresiones regulares conservan cierta precedencia dada de la siguiente
forma
El operador ∗ tiene la mayor precedencia, se aplica sólo a la secuencia
más pequeña de s´ımbolos a su izquierda que constituyen una expresión
regular bien formada.
El siguiente en precedencia es el operador concatenación; una vez apli-
cados todos los ∗ aplicamos la concatenación.
Por último se aplican los operadores de unión.

2.3. LENGUAJES REGULARES 35
2.3. Lenguajes Regulares
Los Lenguajes regulares son elementos de la teor´ıa de la computación que
estan directamente vinculados con las expresiones regulares y los autómatas
finitos deterministicos. Aunque las expresiones regulares describen los lengua-
jes de manera diferente a como lo hacen los autómatas finitos, ambas nota-
ciones representan exactamente el mismo conjunto de lenguajes (lenguajes
regulares), además también se vio que es posible construir autómatas finitos
deterministicos asociados a autómatas finitos no deterministicos, con lo cual
los lenguajes regulares también se encongraran vinculados con ésta clase de
autómatas.
Todo lenguaje definido mediante un autómata finito deterministico,
también puede definirse mediante una expresión regular.
Todo lenguaje definido por una expresión regular también puede definirse
mediante un autómata finito deterministico.
Definición 21 Un conjunto A ∈ Σ∗
se dice regular si existe un AFD M tal
que L(M) = A
Observación 5 Sea M un autómata finito, entonces existe una expresión
regular r para la cual L(r) = L(M)
Observación 6 Un lenguaje es regular si y sólo si es aceptado por un autóma-
ta finito
Es importante recordar que los lenguajes son conjuntos, con lo cual se
les pueden aplicar las operaciones asociadas a los conjuntos y describir medi-
ante las mismas algunas propiedades que nos ayuden a construirlos y enten-
derlos de manera mas sencilla; a continuación mencionamos algunas de las
propiedades de los lenguajes regulares
1. La unión de dos lenguajes regulares es regular.
2. La intersección de dos lenguajes regulares es regular.
3. El complemento de un lenguaje regular es regular.
4. La diferencia de dos lenguajes regulares es regular.
5. La reflexión de un lenguaje regular es regular.

6. La cerradura de Kleen de un lenguaje regular es regular.
7. La concatenaci´on de dos lenguajes regulares es regular.

Cap´ıtulo 3
Lenguajes libres de contexto
Objetivo de la unidad: Conocer el concepto de lenguaje independiente
del contexto, cuales son las caracteristicas que posee y sus aplicaciones
Las Gramáticas independientes del contexto o libres de contexto juegan un
papel muy importante en la tecnologia de las computadoras desde la decada
de 1960, ya que optimizaron e hicieron más barata la tarea de implementar
el analizador sintáctico de los compiladores; posteriormente nos permitieron
describir formatos de documentos mediante la definición del tipo de docu-
mentos en la red.
3.1. Gramáticas libres de contexto
El lenguaje es el medio de comunicación entre los seres humanos a través
de signos orales y escritos que poseen un significado. Para que exista el lengua-
je se requieren ciertos factores como la sintaxis, que da estructura al lenguaje
y la semántica, que le da significado al lenguaje. Además de manera conjun-
ta con los lenguajes tenemos la gramática que estudia los elementos de un
lenguaje y sus combinaciones. As´ı como es importante podernos comunicar
con otras personas, actualmente también es importante podernos comunicar
con las computadoras; es decir establecer un lenguaje y una gramática para
facilitar el uso de las mismas. Introduciremos de manera natural el concepto
de gramática mediante una analog´ıa con el lenguaje español y su gramática.
37

38 CAPÍTULO 3. LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTO
Ejemplo 17 Suponga que tenemos la siguiente frase:
La gata gris duerme en la cama diariamente
Observamos que la frase se divide en dos partes esenciales sujeto y predicado;
el sujeto a su vez se divide en art´ıculo, sustantivo y adjetivo; y el predicado se
divide en verbo, preposición, art´ıculo y advervio. Nosotros podemos decir que
existe una variable llamada < frase > que genera 2 variables < sujeto > y
< predicado > es decir:
< frase >−→< sujeto >< predicado >
(sustituimos la palabra produce por la flecha) a su vez las variables
< sujeto >−→< articulo >< sustantivo >< adjetivo >
< predicado >−→< verbo >< preposicion >< articulo >< advervio >
por último las variables
< articulo >−→ la | el
< sustantivo >−→ gata | cama
< adjetivo >−→ gris
< verbo >−→ duerme
< preposicion >−→ en
< advervio >−→ diariamente
a las variables la, el, gata, cama, gris, duerme, en, diariamente las llamamos
s´ımbolos terminales, mientras que a las variables escritas entre < > las
conocemos como s´ımbolos no terminales; el proceso que sustituye unas vari-
ables por otras se le conoce como producción y a la variables < frase > se
le conoce como s´ımbolo inicial.
De manera formal tenemos
Definición 22 Una Gramática es una cuadrupla G = (N, T, P, S) donde
N es un alfabeto a cuyos s´ımbolos llamamos no terminales.
T es un alfabeto a cuyos s´ımbolos llamamos terminales.

3.1. GRAM ÁTICAS LIBRES DE CONTEXTO 39
P es un subconjunto finito de (N T)∗
×N∗
→ N∗
y a los elementos (u, v)de
P los conocemos como producciones de G.
S es el s´ımbolo inicial.
En el párrafo previo a la definición se describe cuales son los conjuntos
N, y T as´ı como cual es el elemento S y las producciones correspondientes
al ejemplo (2).
Notación 2 A los s´ımbolos no terminales se les representa mediante letras
mayúsculas, mientras que los s´ımbolos terminales serán representados medi-
ante letras minúsculas.
Definición 23 Para ω, ω ∈ N∗
escribimos ω =⇒ ω si existen x, y ∈ N∗
y
una producción u −→ v en P tal que
ω = xuy
y
ω = xvy
Decimos que ω deriva ω
Escribimos ω
∗
=⇒ z si ω = z o existen ω1, ω2, · · · , ωn con n ≥ 2 en N∗
tales que
ω = ω1, z = ωn y ωi =⇒ ωi+1
sin pérdida de generalidad a esta transformación la llamaremos derivación
en G y decimos que ω deriva a z.
Definición 24 El lenguaje L(G) generado por G es el conjunto de palabras
en T, que puede ser derivado a partir de S
L(G) = ω ∈ T∗
|S
∗
=⇒ ω
Ahora, regresando al ejemplo anterior observamos que las producciones
pueden generar frases como la siguiente
El cama gris duerme en la gata diariamente
La cual no es semánticamente aceptable, pues carece de significado, pero
es aceptada por la sintaxis de la gramática; debido a este comportamien-
to será necesario hacer modificaciones para que el lenguaje sólo reconozca
oraciones que posean significado (es decir analizar el contexto de la oración).

Definición 25 Una gramática es regular si cada producción P es de la forma
α −→ xβ con (x ∈ T∗
, α, β ∈ N T)
o de la forma
α −→ y con (α ∈ N T, y ∈ T∗
)
Decimos que una gramática G es independiente del contexto si todas las
producciones son de la forma
α −→ z con z ∈ (T ∪ N)∗
Ejemplo 18 Sea G = (N, T, P, S) donde T = {a, b} N T = {S, B} y P
consiste de las producciones
S −→ aSb | λ
entonces L(G) = {an
bn
|n ≥ 1} que es un lenguaje independiente del contexto.
Ejemplo 19 Sea G = (N, T, P, S) con T = {a, b}, N T = {S} y P tenga
las producciones
S −→ aSa | bSb | a | b | λ
Tenemos que L(G) = ω ∈ T∗
|ω = ωR
que es el lenguaje de los pal´ındro-
mos, en el alfabeto T.
Definición 26 Sea G una gramática independiente del contexto, una produc-
ción A −→ α en la gramática se llama regla de G. El s´ımbolo no terminal
A es la parte izquierda de la regla, y la cadena α es la parte derecha de la regla.
En una producción de la forma A −→ xβ, la letra x ∈ N ∪ T se llama
manipuladora de la producción. Una producción de la forma A −→ B con A
y B s´ımbolos no terminales, se llama producción no generativa. Si G permite
la derivación
A
∗
=⇒ Aϕ
entonces la letra no terminal A se dice recursiva izquierda. Si G permite la
derivación
A
∗
=⇒ ϕA
entonces A se dice recursiva derecha. Si G permite la derivación
A
∗
=⇒ A
en uno o más pasos entonces se dice que A es un no terminal c´ıclico.

3.2. ÁRBOLES DE DERIVACI ÓN 41
3.2. Árboles de derivación
Cuando trabajamos con un lenguaje de alto nivel en una computadora
es necesario usar traductores que permitan a la máquina interpretar las ins-
trucciones que el usuario programa; en los traductores de lenguajes se usan
varios estados de procesamiento. Cuando las frases o instrucciones válidas
del lenguaje son especificadas por una gramática de estructura de frases, el
primer estado del proceso de traducción construye un árbol de derivación
para la frase dada; una vez que esta es clara tendrá asignado un único árbol
de derivación para cada tipo sintáctico, de esta manera es posible asociar un
significado a cada frase de acuerdo con la gramática de la misma. Al análisis
anterior se le conoce con el nombre de análisis de sintaxis.
Cuando tenemos una gramática independiente del contexto es muy útil
presentar sus producciones mediante árboles de derivación; sus vértices están
etiquetados con s´ımbolos terminales o variables de la gramática.
Sea G = (N, T, P, S) una gramática independiente del contexto, un árbol
se llama de derivación (o de análisis gramatical) para G si:
1. Cada vértice tiene una etiqueta que es un s´ımbolo de N ∪ T ∪ .
2. La etiqueta de la ra´ız es S.
3. Si un vértice es interior y tiene etiqueta A, entonces A debe de estar
en N.
4. Si el vértice n tiene etiqueta A y los vértices n1, n2, n3, . . . , nk son los
hijos del vértice, de izquierda a derecha con etiquetas x1, x2, x3, . . . , xk
respectivamente, entonces A −→ x1|x2|x3| . . . |xk debe ser una produc-
ción de P.
5. Si el vértice n tiene etiqueta , entonces es una hoja y es el único hijo
de su padre.
Ejemplo 20 G = ({S, A} , {a, b} , P, S) en donde:
S −→ aAS | a
A −→ SbA | SS | ba

Figura 3.1: ´Arbol de derivaci´on

3.2. ÁRBOLES DE DERIVACI ÓN 43
Podemos extender el ordenamiento desde la izquierda de los hijos para
producir un ordenamiento de izquierda a derecha de todas las hojas.
Un árbol de derivación es una descripción natural de una oración parti-
cular de la gramática G; si leemos las etiquetas de las hojas de izquierda a
derecha se tendrá dicha oración y la cadena resultante será el producto del
árbol de derivación.
Un subárbol de un árbol de derivación es un vértice particular con todos
sus descendientes, las aristas que los conectan y sus etiquetas; la diferencia
es que la ra´ız puede no ser el s´ımbolo inicial de la gramática. Si en cada paso
de una derivación se aplica una producción a la variable que se encuentra
más a la izquierda la derivación se llama extrema izquierda, esto se aplica de
manera análoga para la derecha.
Si ω ∈ L(G) tiene al menos un árbol de análisis gramatical particular, ω
tiene una derivación izquierda y derecha únicas. Como puede existir más de
un árbol de derivación para ω puede haber varias derivaciones izquierda y
derecha.
Una gramática independiente del contexto G de la que alguna palabra ten-
ga dos árboles de análisis gramatical se dice que es ambigua. No hay que
perder de vista que es posible que una gramática produzca derivaciones que
nos lleven a una cadena compuesta únicamente de s´ımbolos terminales, pero
que no necesariamente representan una oración con significado alguno, o no
representan la instrucción que el programa necesita, como se observa en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 21 Consideremos la siguiente gramática:
GE : S → A
S −→ if B then A else S
B −→ A = A
A −→ T
A −→ T + A
T −→ x|y|z

Ahora empleando la gramática anterior construyamos un árbol de derivación
para la instrucción:
if x = y then x else x + y
trazaremos los pasos de la producción de la frase anterior
S −→ if B then A else S
−→ if A = A then A else S
−→ if T = A then A else S
−→ if x = A then A else S
−→ if x = T then A else S
−→ if x = y then A else S
−→ if x = y then T else S
−→ if x = y then z else S
−→ if x = y then z else A
−→ if x = y then z else T + A
−→ if x = y then z else x + A
−→ if x = y then z else x + T
−→ if x = y then z else x + y
Cada cadena en los pasos de derivación comienza con el s´ımbolo S; pero
observamos que para la producción
E −→ A
E −→ if x = y then x else x + y
tenemos dos candidatos, y será necesario elegir qué producción usar alternan-
do con las diferentes posibilidades. Hasta agotar todas y llegar a la secuencia
de movimientos que acepten la cadena correcta (esto es importante pues es
posible obtener frases como la siguiente: if x = y then x = y else x = y, que

3.3. FORMAS NORMALES DE COMSKY 45
es diferente a la frase que se va a revisar). A dicho método se le conoce con el
nombre de arriba a abajo1
porque la derivación comienza a construirse desde
el nodo ra´ız al tope del árbol bajando a través de los niveles. Al proceso
inverso se le conoce como de abajo a arriba2
.
3.3. Formas normales de Comsky
Una gramática formal está en Forma normal de Chomsky si todas sus
reglas de producción son de alguna de las sigientes formas:
A −→ BC
o
A −→ α
donde A, B y C son elementos del conjunto de s´ımbolos no terminales y α es
un s´ımbolo terminal.Además es importante mencionar que todo lenguaje de
programación que no posee a la cadena vac´ıa, se puede expresar por medio
de una gramática en la forma normal de Chomsky, y dada una gramática
independiente del contexto es posible construir a partir de ella una gramática
de Chomsky que reconozca el mismo lenguaje, para lo cual necesitaremos
realizar ciertos pasos:
1. Hay que eliminar los s´ımbolos inutiles: las variables o s´ımbolos termi-
nales que no aparecen en ninguna derivación de una cadena terminal
que parta del s´ımbolo inicial.
2. Hay que eliminar las producciones con la forma A −→ para alguna
variable A.
3. Hay que eliminar las producciones unitarias de la forma A −→ B para
las variables A y B.
3.4. Forma normal de Greibach
Existe otra forma normal interesante para los lenguajes independientes
del contexto no vac´ıos y sin la palabra vac´ıa. Se dice que una gramática
1
en ingles top-down
2
en ingles buttom-up

independiente del contexto está en Forma normal de Greibach, si todas y
cada una de sus reglas de producción tienen un consecuente que empieza
por un s´ımbolo terminal. Formalmente, cualquiera de las reglas tendrá la
estructura:
A −→ αω
aqui α será un s´ımbolo terminal y ω una cadena de cero o más terminales
Existe un teorema que prueba que cualquier GIC, cuyo lenguaje no con-
tiene a la palabra vac´ıa, si no lo está ya, se puede transformar en otra equiv-
alente que s´ı esté en forma normal de Greibach.
3.5. Ambigüedad
En secciones anteriores, se menciono que una palabra derivada de una
gramática puede ser representada mediante un árbol de derivación, pero
en muchas ocaciones el árbol de derivación asociado a la palabra no es
único, existen dos o mas derivaciones, esto nos genera una estructura que
llamamos Gramática ambigua. Sea G = {{E, I} , T, P, E} donde T =
{+, ∗, (, ), a, b, 0, 1} con producciones
(1) E −→ I
(2) E −→ E + E
(3) E −→ E ∗ E
(4) E −→ (E)
(5) I −→ a
(6) I −→ b
(7) I −→ Ia
(8) I −→ Ib
(9) I −→ I0
(10) I −→ I1
Esta gramática nos permite generar expresiones con cualquier secuencia de
operadores ∗ y + y las producciones dos y tres en el orden que nosotros
deseemos.

3.6. AUT ÓMATAS DE PILA 47
Ejemplo 22 Observe que la cadena E+E∗E puede derivarse de dos formas
diferentes
E =⇒ E + E =⇒ E + E ∗ E
E =⇒ E ∗ E =⇒ E + E ∗ E
en el primer caso reemplazamos la segunda E por E ∗ E, mientras que en
la segunda reemplazamos la primera E por E + E, esto generará dos árboles
de derivación diferentes, si nosostros asociaramos valores númericos a estos
dos diferentes derivaciones generariamos diferentes resultados, pues en la
primera solicita que la primera operación que se realice sea la multiplicación
y luego la sum, mientras que la otra realiza primero la suma y después mul-
tiplica el resultado de la suma.
Para que sea posible utilizar ésta gramática dentro de un compilador es
necesario modificarla, para que seleccione o propiorcione unicamente agru-
pamientos adecuados.
¿Cómo eliminar la ambigüedad de la gramáticas?
No existe un algorimto que nos permita eliminar la ambigüedad de las
gramáticas en general, sin embargo exiten proceso que nos permiten en al-
gunos casos eliminarla; para ésto es necesario detectar primero cuales son las
causas más importantes que generan la ambigüedad en una gramática
No se respeta la precedencia de los operadores.
Una secuencia de operadores idénticos puede agruparse desde la izquier-
da o desde la derecha.
El primer problema se resuelve introduciendo más variables cada una
de las cuales representa las expresiones que comparten el mismo nivel, y
el segundo problema se resolvera, respetando sólo un tipo de derivación de
preferencia izquierda.
3.6. Autómatas de Pila
En el cap´ıtulo anterior se menciona que las expresiones regulares tienen
asociado un autómata finito; de manera análoga las gramáticas independien-
tes del contexto también tienen asociado un autómata al cual conoceremos

como Autómata de Pila. Debido a esta similitud con las gramáticas indepen-
dientes del contexto necesitaremos emplear dos estructuras que son funda-
mentales en la definición y uso de los autómatas de pila.
La primera es la cinta de entrada que es un arreglo en donde será guarda-
da la cadena de s´ımbolos terminales que acepta el autómata, se guardará un
s´ımbolo por casilla del arreglo y se tendrá una marca en la siguiente casilla
del último s´ımbolo escrito en la cinta; la segunda es una pila, en la cual es-
cribiremos los s´ımbolos pertenecientes al alfabeto de la pila, para que estos
a su vez puedan ser sustituidos o revisados por los s´ımbolos terminales en
la cinta de entrada. En la pila el s´ımbolo que se encuentre más a la derecha
será el tope de la pila.
En los autómatas de pila se producen dos tipos de movimientos: el primero
introduce o saca un s´ımbolo de la pila, y dependiendo de cual sea la acción
realizada el tope de la pila avanzará o retrocederá un lugar. El segundo
movimiento no afecta directamente el tope de la pila, pero revisa un s´ımbolo
de la cinta de entrada.
Es posible definir un lenguaje para los autómatas de pila para lo cual exis-
ten dos maneras; la primera consiste en definir el lenguaje aceptado como el
conjunto de todas las entradas para las cuales una sucesión de movimientos
provoca que el autómata de pila vac´ıe su pila. La segunda manera consiste en
designar algunos estados como estados finales y definimos el lenguaje acepta-
do como el conjunto de todas las entradas para las cuales alguna selección de
movimientos provoca que el autómata alcance un estado final. Ambas formas
son equivalentes en el sentido de que si un conjunto es aceptado mediante
el vaciado de la pila por algún autómata, puede ser aceptado mediante el
acceso de un estado final por otro autómata y viceversa.
Definición 27 Un Autómata de Pila (AP) se define como una sextupla
M = (Q, S, U, P, I, F)
donde:
Q es un conjunto finito de estados
S es un alfabeto al que llamaremos alfabeto de entrada.

U es un alfabeto al que llamaremos alfabeto de pila .
P es el programa de M
I ⊆ Q es el conjunto de estado iniciales
F ⊆ Q es el conjunto de estados finales.
Definición 28 La forma de representar un estado válido en un autómata de
pila es la siguiente: (qi, ϕ, σ) a la cual llamaremos configuración, donde el
estado en que nos encontramos o estado de control está dado por qi, ϕ es el
prefijo que se encuentra en la cinta de entrada y ya fue revisada y σ es la
cadena contenida en la pila.
El programa P tiene una secuencia finita de instrucciones con las siguien-
tes formas
q]scan(s, q )
La cual aplicada en la configuración (qi, ϕ, σ), (con ϕ la cadena ya
revisada en la cinta de entrada) escribe el s´ımbolo s en la primera
casilla a la derecha después del último s´ımbolo de ϕ; y nos lleva al
estado qi, esta transformación se representa de la siguiente forma:
(qi, ϕ, σ)
s
−→ (qi, ϕs, σ)
En otras palabras esta instrucción revisa el s´ımbolo que entra en la cinta
y lo coloca inmediatamente después de la palabra que ya se encontraba
guardada.
q]write(u, q )
La cual aplicada en la configuración (qi, ϕ, σ) mueve el tope de la pila
una posición a la derecha y escribe un s´ımbolo u en esa nueva posición,
pasando al estado qi dicho movimiento es representado de la siguiente
forma:
(qi, ϕ, σ)
w
−→ (qi, ϕ, σu)
Este movimiento introduce a la pila un nuevo s´ımbolo.
q]read(u, q )

La cual aplicada en la configuración (qi, ϕ, σ u) mueve el tope de la pila
a la izquierda y entra en el estado qi, dicho movimiento es representado
de la siguiente forma:
(qi, ϕ, σ)
r
−→ (qi, ϕ, σ)
Este movimiento sacará un s´ımbolo de la pila.
Notación 3 Es posible representar una secuencia de instrucciones en un
autómata de pila
(q0, ϕ0, σ0) −→ (q1, ϕ1, σ1) −→ · · · −→ (qk, ϕk, σk)
donde cada movimiento es un movimiento de lectura, escritura o revisión se
denotará de la siguiente forma:
(q0, ϕ0, σ0) =⇒ (qk, ϕk, σk)
Un autómata de pila comienza su funcionamiento con el tope de la pi-
la y de la cinta de entrada en la primera posición. La cadena que analiza
pasa a través de una secuencia de movimientos, mientras la secuencia no sea
rechazada; si en algún momento todos los s´ımbolos de la cadena ya fueron
revisados, la pila se encuentra vac´ıa, y la última posición de la cinta de en-
trada corresponde a un estado final; entonces concluimos que la cadena es
reconocida.
Definición 29 Una configuración inicial válida para un autómata de pila es
una configuración (q, λ, λ) en donde q es un estado inicial del autómata; y
la configuración final es (q , ϕ, λ), donde q es un estado final, ϕ la cadena
escrita en la cinta de entrada, de donde decimos que una cadena es aceptada
por el autómata sólo si M tiene la secuencia de movimientos:
(q, λ, λ) =⇒ (q , ϕ, λ)
Donde q es el estado inicial, q es un estado final; el conjunto de cadenas
aceptadas será el lenguaje reconocido por el autómata.
Ejemplo 23 Sea Mcm un autómata de pila con S = {a, b, c} y U = {a, b} el
alfabeto de la pila, el programa del autómata será el siguiente:

1]scan (a,2)(b,3)(c,4)
2]write(a,1)
3]write(b,1)
4]scan (a,5)(b,6)
5]read (a,4)
6]read (b,4)
Donde el estado 1 es el estado inicial a menos que se especifique otra cosa;
y el estado final es el 6.
En la figura a cada estado se le colocó una etiqueta la cual está relacionada
con el nombre de la instrucción del programa que ejecuta.
El lenguaje reconocido por el autómata de pila es:
Lcm = ϕcϕR
ϕ ∈ (a ∪ b)∗
a este lenguaje lo conocemos como el lenguaje del reflejo con el centro mar-
cado o lenguaje de los pal´ındromos con el centro marcado.
Observamos que en este lenguaje la letra c está en el centro de la cadena
y su sufijo es igual a la inversa de su prefijo, con lo cual aceptará cadenas
como abcba mediante la siguiente secuencia de movimientos:
(1, λ, λ)
s
→ (2, a, λ)
w
→ (1, a, a)
s
→ (3, ab, a)
w
→ (1, ab, ab)
s
→ (4, abc, ab)
s
→ (6, abcb, ab)
r
→ (4, abcb, a)
s
→ (5, abcba, a)
r
→ (4, abcba, λ)
La cual es una secuencia de movimientos aceptada por el autómata.
El lenguaje Lcm es generado por la gramática independiente del contexto:
Gcm : Σ → S
S → aSa
S → bSb
S → c

Figura 3.2: AP para el lenguaje del pal´ındromo con el centro marcado

Movimientos propios y autómatas sin ciclos
En los autómatas de pila existen varias subclases entre las que se encuen-
tran los autómatas con buen comportamiento, los cuales sin pérdida de gen-
eralidad reconocen los mismos lenguajes que toda la clase de los autómatas
de pila; a esta subclase se le conoce como Autómatas de pila propios y a con-
tinuación se presenta una justificación de la equivalencia entre esta subclase
y los autómatas de pila.
Autómatas de pila propios
Cuando se ejecuta el programa de un autómata de pila se pueden producir
comportamientos que carecen de sentido y son improductivos, en particular:
1. Revisar más allá del fin de la cadena en la cinta de entrada.
2. Intentar leer un s´ımbolo como primer movimiento en la pila, es decir,
intentar mover el tope de la pila a la izquierda en el inicio de la pila.
3. Escribir un s´ımbolo en la pila, y que el siguiente movimiento sea la
lectura del mismo s´ımbolo.
· · · (q, ϕ, σ)
w
−→ (q , ϕ, σu)
r
−→ (q , ϕ, σ)
Observamos que el único efecto es movernos del estado q al estado q , lo
cual sólo puede ocurrir si el autómata tiene una instrucción de escritura
q]write(u, q )
para la cual la etiqueta del estado q es la instrucción read.
4. Repetición infinita de movimientos de escritura (un ciclo).
Los primeros tres tipos se analizarán en esta sección, el último tipo de
movimiento improductivo se analizará en la siguiente sección.
Definición 30 En el programa de un autómata de pila M una instrucción
de escritura es impropia, si el siguiente estado al que apunta está etiquetado
con una instrucción de lectura. Un autómata se dice propio si no contiene
movimientos impropios.

Las instrucciones impropias pueden ser eliminadas sin que esto altere el
lenguaje reconocido por el autómata, es decir, dado un autómata M es posi-
ble construir un autómata propio M , añadiendo y borrando instrucciones de
la siguiente forma:
Paso 1: Sean q y q dos estados para los cuales el autómata tiene la secuencia
de movimientos
(q, ϕ, σ)
k mov write
=⇒ (q , ϕ, στ)
k mov read
=⇒ (q , ϕ, σ)
tenemos k movimientos de escritura seguidos del mismo número de mo-
vimientos de lectura, en otras palabras, el contenido de la pila no se
modifica del estado q al estado q y además no se revisa ningún s´ımbolo
en la cinta de entrada.
Siempre que
p ] mov (−, q)
con mov un movimiento permitido por el programa del autómata, sea
una instrucción en M, añadimos la instrucción
p ] mov (−, q )
En caso de que el estado q sea el estado inicial en M entonces q será el
estado inicial en M . El procedimiento anterior puede realizarse para
cada par de estados q y q para los cuales M presenta una secuencia de
movimientos impropios.
Paso 2: Borrar cada instrucción impropia. Las instrucciones restantes son
el programa de M
Proposión 2 Sea M un autómata de pila con movimientos impropios; es
posible construir un autómata de pila M propio tal que L(M) = L(M ).
Autómatas de pila sin ciclos
El último tipo de movimiento impropio se analizará en esta sección.
Definición 31 Un autómata de pila propio M se dice sin ciclos si el progra-
ma de éste no contiene ciclos de instrucciones de escritura:

3.7. LENGUAJES NO REGULALES 55
q0]write(u0, q1)
q1]write(u1, q2)
...
qn]write(un, qn + 1) · · ·
Suponga que se tiene un autómata con un ciclo de instrucciones de escrit-
ura, estas imprimen los s´ımbolos u0, u1, · · · , un · · · de manera infinita, as´ı los
estados: q0, q1, · · · , qn no pueden aparecer como una secuencia de movimientos
aceptados.
Proposión 3 Para algún autómata de pila determin´ıstico M es posible cons-
truir un autómata de pila M sin ciclos tal que L(M) = L(M ).
3.7. Lenguajes no regulales
Los lenguajes no regulares o lenguajes independientes del contexto están
vinculador con las gramáticas independientes del contexto y además tienen
propiedades de cerradura similares a las de los lenguajes de las expresiones
regulares, las cuales se presentan a continuación.
Primero se estudiará la intersección de los lenguajes independientes del
contexto L con el conjunto regular R.
Sea
Mf = (Qf , T, Pf , If , Ff )
un autómata finito para R y
Mp = (Qp, T, U, Pp, Ip, Fp)
un autómata de pila para L. Al realizar la intersección de estos dos autómatas
obtenemos el autómata de pila
M = (Q, T, U, P, I, F)
donde Q = Qp × Qf , I = Ip × If , F = Fp × Ff
El programa de M será el siguiente:

Si Mp tiene y Mf tiene entonces M tiene
q]scan(s, q ) p
s
−→ q (q, p)]scan(s, (q , p ))
q]write(u, q ) p ∈ Qf (q, p)]write(u, (q , p))
q]read(u, q ) p ∈ Qf (q, p)]read(u, (q , p ))
Cuadro 3.1: Programa de L(Mp) ∩ L(Mf )
Teorema 2 El autómata M reconoce la secuencia de movimientos para ω
((q, p).λ, λ)
T
=⇒ ((q , p ), ω, λ)
con (q, p) ∈ y (q , p ) ∈ F si y sólo si
(q, λ, λ)
T
=⇒ (q , ω, λ)
está en Mp y
p
ω
=⇒ p
está en Mf
Puesto que el complemento de un conjunto regular es regular, y L − R =
L ∩ Rc
entonces L − R será un lenguaje independiente del contexto. Para
poder trabajar con la cerradura de los lenguajes independientes del contexto
y las operaciones de conjuntos (unión, concatenación e inversa) utilizamos su
relación con las gramáticas independientes del contexto.
Dadas dos gramáticas
G1 = (T, N1, P1, Σ1)
G2 = (T, N2, P2, Σ2)
dos gramáticas independientes del contexto con el mismo alfabeto terminal
T, pero con conjuntos no terminales disjuntos, N1 ∩ N2 = ∅ entonces la
gramática para el lenguaje resultante de concatenar L = L(G1) · L(G2) se
obtendrá usando nuevos s´ımbolos terminales A1, A2 en lugar de Σ1, Σ2 y
añadiendo la producción
Σ −→ A1A2
a la únion de P1 y P2, y para completar agregamos la producción Σ −→ λ si
G1 tiene Σ1 −→ λ y Σ2 −→ λ.

La clase de los lenguajes independientes del contexto no son cerradas bajo
las operaciones de intersección y complemento, lo cual demostraremos por
medio de un contraejemplo; sean
L1 = {an
bn
cm
|m, n ≥ 0}
L2 = {am
bn
cn
|m, n ≥ 0}
La intersección de L1 y L2 es
L1 ∩ L2 = {an
bn
cn
|n ≥ 0} = Ldm
el lenguaje de doble correspondencia, el cual no es independiente del contex-
to.
Ahora, si el complemento de un lenguaje independiente del contexto fuera
siempre independiente del contexto, podr´ıamos demostrar la cerradura bajo
intersección usando las leyes de De Morgan.
L1 ∩ L2 = (Lc
1 ∪ Lc
2)c
con lo cual el complemento no es independiente del contexto.
Para estudiar el traductor de estado finito de un lenguaje independiente
del contexto es útil pensar en términos de un autómata de pila que genere
lenguajes independientes del contexto, un autómata de pila generador (APG)
es un autómata en el cual consideramos la cinta de entrada como cinta de
salida (impresión) y reemplazamos cada movimiento scan
q]scan(s, q )
con un movimiento print
q]print(s, q )
que escribe el s´ımbolo s en la cinta de salida. Claramente el APG genera una
cadena ω (esto es, escribe ω en la cinta de salida) por la traves´ıa
(q, λ, λ)
T
=⇒ (q , ω, λ)
si y sólo si la máquina que representa un autómata reconoce ω por la misma
secuencia de movimientos.
El autómata generador
Mg = (Qg, S, U, Pg, Ig, Fg)

genera cadenas en L que son procesadas por un traductor secuencial genera-
lizado.
Mt = (Qt, S, R, Pt, It, Ft)
La combinación de Mg y Mt es un nuevo APG
M = (Q, R, U, P, I, F)
con
q = Qg × Qt, F = fg × Ft, I = Ig × It
que justamente generan las cadenas en R∗
que son traducidas por M en
cadenas en L. Esto es, M genera ϕ, por la traves´ıa
((q, p), λ, λ)
T
=⇒ ((q , p ), ϕ, λ)
con (q, p) ∈ I, (q , p ) ∈ F si y sólo si Mg genera alguna cadena ω por la
traves´ıa
(q, λ, λ)
T
=⇒ (q , ω, λ)
y ϕ es la traducción de ω para M
p
ω/ϕ
=⇒ p
el programa de M se especifica en la tabla (3.2) y se añade una instrucción
adicional
q]null(q )
La cual nos coloca en el estado q del autómata sin hacer movimientos en el
tope de la pila. La instrucción null es análoga a la transición λ en un autómata
de estado finito y puede ser reemplazada con el par de instrucciones
q]write(u, q )
q ]read(u, q )
donde q es un nuevo estado auxiliar y u es un s´ımbolo arbitrario en la pila
(los movimientos impropios después pueden ser eliminados)

Teorema 3 La clase de los lenguajes independientes del contexto con al-
fabeto terminal T es cerrada bajo las operaciones de unión, concatenación,
cerradura e inversión (reversa), intersección y diferencia con un conjunto
regular. Esto es si L1 y L2 son lenguajes independientes del contexto y R es
un conjunto regular entonces
L1 ∪ L2 LR
1 L1 · L2
L1 ∩ R L∗
1 L1 − R
son independientes del contexto, sin embargo
L1 ∩ L2 L∗
1 = T∗
− L1
no necesariamente son independientes del contexto.
Si Mg tiene y Mt tiene Entonces M tiene
q]write(u, q ) p ∈ Qt (q, p)]write(u, (q , p))
q]read(u, q ) p ∈ Qt (q, p)]read(u, (q , p))
q]print(s, q ) p]scan(s, p ) (q, p)]null(q , p )
q ∈ Qg p]print(r, p ) (q, p)]print(r, (q, p ))
Cuadro 3.2: Especificación del programa de un APG para la traducción de
L(Mg) por M

Cap´ıtulo 4
Máquinas de Turing
Objetivo de la unidad: Comprender y conocer el funcionamiento de
una máquina de Turing y para que se puede utilizar
Ahora vamos a abordar la cuestión de que lenguajes pueden definirse por
medio de dispositivos computacionales, sean cuales fueren. Esta cuestión es
equivalente a preguntarnos que pueden hacer los computadores, dado que el
reconocimiento de las cadenas que forman parte de un lenguaje es un modo
formal de expresar cualquier problema y la resolución es un equivalente ra-
zonable de lo que hacen los computadores.
Un problema que ningún computador puede resolver se denomina inde-
cidible. Supongamos que se desea determinar si un computador puede re-
solver o no algún otro problema. Podemos intentar escribir un problema que
lo resuelva, pero, si no se nos ocurre como hacerlo, podr´ıamos intentar que
tal programa no puede existir. Quizá ser´ıa posible demostrar que este nue-
vo problema es indecidible suponiendo que existe un programa que resuelve
el problema y desarrollar otro programa paradójico que tenga que efectuar
dos acciones contradictorias. Supongamos que se debe que el problemaP1 es
indecidible y que P2 es un programa nuevo que nos gustar´ıa demostrar que
también es indecidible. Supongamos que existe un programa representado
en la siguiente imagen por el rombo con la etiqueta decide que imprime si
o no dependiendo de si la codificación del problema P2 (que constituye su
entrada) pertenece o no al lenguaje de dicho problema.
Para demostrar que el problema P2 es indecidible, es necesario que nos in-
ventemos un procedimiento de construcción, representado por la caja cuadra-
61

62 CAPÍTULO 4. M ÁQUINAS DE TURING
Figura 4.1: Reducción de un problema P1 a un problema P2
da de la figura que convierta los problemas P1 en problemas P2 que tengan la
misma respuesta. Esto es cualquier cadena del lenguaje P1 se convertirá en
una cadena perteneciente a P2, y cualquier cadena construida sobre el alfa-
beto de P1 que no esté en el lenguaje P1 se convertirá en una cadena que no
forme parte del lenguaje P2. Una vez que disponemos de este procedimiento
de construcción P1 se puede resolver como sigue:
1. Dado un problema P1, esto es dado una cadena ω que no puede pertenecer
al lenguaje P1, se aplica el algoritmo de construcción para producir una
cadena x.
2. Se comprueba x está en P2, y se aplica la misma respuesta a ω y P1.
Si ω esta en P1, entonces x esta en P2, asi que este algoritmo dice si; si ω
no esta en P1, entonces x no esta en P2, y el algoritmo dice no. De cualquier
modo dice la verdad acerca de ω. Dado que sabemos que no existe ningún
algoritmo capaz de decidir la pertenencia de una cadena P1, disponemos
de una demostración por reducción al absurdo de que no existe el algoritmo
hipotético de decisión, para P2 o, lo que es lo mismo, de que P2 es indecidible.
¿Puede realmente una computadora hacer todo esto? Al examinar
un programa podr´ıamos preguntarnos si en realidad, buscar contraejemplos
es útil. Si el contraejemplo más pequeño estuviera en el orden de magnitud
de los billones, se producirá un error de desbordamiento antes de que fuera
posible encontrar una posible solución. De hecho, se podr´ıa argumentar que
un computador con 128 megabytes de memoria principal de memoria prin-
cipal y 30 gigabytes de disco sólo tiene 2563
0128000000 estados, y es, por
lo tanto, un autómata finito. Sin embargo, no es productivo considerar que
los computadores se comporten como autómatas finitos, como tampoco lo es
considerar que el cerebro lo hace (aunque la idea original del autómata finito
fuera esta). El número de estados implicados es tan grande, y los limites tan
poco claros, que no se obtendrá ninguna conclusión útil. De hecho, existen
razones para creer que es posible expandir el conjunto de estados de una
computadora tanto como se quiera.
Es un error habitual intentar demostrar que un problema P2 es indecidible
mediante la reducción de P2 a algún problema P1 que se sabe que es inde-
cidible. Esto equivale a demostrar la proposición si P1 es decidible, entonces

4.1. DEFINICI ÓN DE UNA M ÁQUINA DE TURING 63
P1 es decidible. Esa proposición, aunque ciertamente es verdadera, no es útil,
ya que su hipótesis, P1 es decidible, es falsa. La única manera de demostrar
que un problema nuevo P2 es indecidible es reducir a P2 un problema P1
que se sabe es indecidible. De esta forma se demuestra la proposición si P2
es decidible, entonces P1 es decidible. La conversión contradictoria de esta
proposición es si P1 es indecidible, podemos deducir que P2 es indecidible.
Dado que sabemos que P1 es indecible, podemos deducir que P2 es indecidi-
ble.
4.1. Definición de una Máquina de Turing
La teor´ıa de los problemas indecidibles no solo tiene por objeto estable-
cer la existencia de dichos problemas, sino proporcionar a los programadores
una gu´ıa sobre lo que se puede o no llevar a cabo mediante la programación.
Esta teor´ıa también tiene un gran impacto práctico si se trata de discu-
tir, problemas que, aun siendo decidibles, requieren un tiempo muy grande
para su resolución. Para los programadores y diseñadores de sistemas, estos
problemas, llamados problemas intratables tienden a presentar más dificul-
tades que los problemas indecidibles. La razón para ello es que, mientras que
suele ser obvio que los problemas indecidibles efectivamente lo son y, en la
práctica, raramente se intentan resolver, los problemas intratables aparecen
continuamente. Además, a menudo dan lugar a pequeñas modificaciones de
los requisitos o a soluciones heur´ısticas. Por tanto, los diseñadores tienen que
enfrentarse frecuentemente al hecho de tener que decidir si un problema es o
no intratable, y que hacer si lo es.
A finales del siglo XIX, el matemático David Hilbert se pregunto si
era posible encontrar un algoritmo para determinar la verdad o falsedad de
cualquier proposición matemática. En particular, se preguntaba si existir´ıa
un modo de determinar si cualquier fórmula del cálculo de predicados de
primer orden, aplicada a enteros, es verdadera. Dado que el cálculo de predi-
cados de primer orden sobre los enteros es suficientemente potente como para
expresar frases como esta gramática es ambigua, si Hilbert hubiera tenido éxi-
to, existir´ıan algoritmos para dichos problemas, que ahora sabemos que no
existen ésta proposición se conoce con el nombre de problema de Hilbert.
En 1963, Alan Mathinson Turing propuso la máquina que lleva su nombre

como modelo de cualquier computación posible. Este modelo se parece más a
una computadora que a un programa, aunque las verdaderas computadoras
electrónicas, o incluso los electromecánicas, tardaron varios años en ser con-
struidas.
La máquina de Turing consta de una unidad de control, que pueda estar
en cualquier estado tomado de un conjunto infinito. Hay una cinta dividida
en cuadrados o casillas, y cada casilla puede contener un s´ımbolo, tomado de
otro conjunto infinito. Inicialmente, se sitúa en la cinta de entrada, que es
una cadena de s´ımbolos de longitud infinita, elegidos del alfabeto de entrada.
El resto de las casillas de la cinta, que se extiende infinitamente hacia la
derecha y hacia la izquierda, contiene, inicialmente, un s´ımbolo denominado
espacio en blanco. El espacio en blanco es un s´ımbolo de cinta, pero no un
s´ımbolo de entrada, y puede haber también otros s´ımbolos de cinta además
de los s´ımbolos de entrada y del espacio en blanco. Existe una cabeza de
la cinta que siempre está situada sobre una de las casillas de la cinta. Se
dice que la máquina de Turing está señalando dicha casilla. Al principio, la
cabeza de la cinta se encuentra en la casilla de la entrada situada más a la
izquierda. Un movimiento de la máquina de Turing es una función del estado
de la unidad de control y del s´ımbolo de la cinta al que señala la cabeza. En
un movimiento, la máquina de Turing:
1. Cambiará de estado, el siguiente estado puede ser el mismo que el
actual.
2. Escribirá un s´ımbolo de cinta en la casilla señalada por la cabeza. Este
s´ımbolo de cinta sustituye al s´ımbolo que estuviera anteriormente en la
casilla, el s´ımbolo escrito puede ser el mismo que hab´ıa en dicha casilla.
3. Moverá la cabeza de la cinta hacia la izquierda o hacia la derecha.
Es necesario que haya un movimiento, y no se permite que la cabeza
permanezca en el mismo lugar. Esta limitación no restringe lo que una
máquina de Turing puede computar, dado que cualquier secuencia de
movimientos con la cabeza estacionaria podr´ıa condensarse, junto con
el movimiento siguiente de la cabeza, en un único cambio de estado, un
nuevo s´ımbolo de cinta y un movimiento hacia la izquierda o hacia la
derecha.
La notación formal para una Máquina de Turing (MT) es similar a la utilizada
para los autómatas finitos o para los autómatas a pila.

4.2. CONSTRUCCI ÓN MODULAR DE UNA MT 65
Definición 32 Una Máquina de Turing MT es una sextupla M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F)
donde
Q El conjunto finito de estados de la unidad de control.
Σ El conjunto finito de s´ımbolos de entrada.
Γ El conjunto completo de s´ımbolos de la cinta; Σ siempre es un subconjunto
de Γ
δ La función de transición. Los argumentos de δ(q, X) son un estado q y un
s´ımbolo de la cinta X. el valor de δ(q, X), si está es una tupla (p, Y, S)
donde
1. p es el estado siguiente de Q
2. Y es el s´ımbolo de Γ, que se escribe en la casilla señalada por la
cabeza de la cinta y que sustituye al s´ımbolo que se encontraba en
dicha casilla.
3. S es un sentido I o D (izquierda o derecha) que nos indica en que
sentido se mueve la cabeza
q0 Es el estado inicial.
B Es el s´ımbolo del espacio en blanco B ∈ Γ, y aparecera inicialmente
en todas las casillas de la cinta, menos en aquellas que contienen los
s´ımbolos de entrada
F ⊂ es el conjunto de estados finales o de aceptación
4.2. Construcción modular de una MT
Para describir formalmente lo que hace una máquina de Turing, es nece-
sario desarrollar una notación para describir sus configuraciones o descrip-
ciones instantáneas, parecida a la notación que desarrollo para los autómatas
a pila.
En principio una máquina de Turing dispone de una cinta de longitud in-
finita, por lo cual podr´ıa suponerse que no es posible describir especificamente
su configuración. Sin embargo, después de un número finito de movimientos,
la máquina de Turing solo habrá recorrido un número finito de casillas. Por

tanto, para cualquier configuración existe un prefijo y un sufijo infinito de
casillas que no se han recorrido nunca. El contenido de dichas casillas debe
ser
espacios en blanco o
s´ımbolos del conjunto finito de s´ımbolos de entrada.
por lo tanto, en una configuración solo se muestran las casillas que se
encuentren entre el s´ımbolo más a la izquierda y el s´ımbolo más a la derecha
de la cinta que no sean espacios en blanco, además, habrá que incluir un
número finito de espacios en blanco en la configuración, si se da la condición
especial de que la cabeza de la cinta señale a uno de los espacios en blanco
situados antes o después de la cadena de entrada.
Además de la representación de la cinta, debe ser posible representar el
estado de la unidad de control, as´ı como la posición de la cabeza de la cin-
ta. Para ello, insertaremos el estado en la cinta, situándolo inmediatamente
a la izquierda de la casilla señalada por la cabeza. Para que la cadena que
representa el contenido de la cinta junto con el estado de la unidad de con-
trol no resulte ambigua, es necesario asegurarse de que no se utiliza como
estado ningún s´ımbolo que forme parte del conjunto de s´ımbolos de cinta.
Sin embargo, es sencillo cambiar los nombres de los estados de forma que no
tengan nada en común con los s´ımbolos de la cinta, dado que la operación
de la máquina de Turing no depende de cómo se llamen sus estados. Por
tanto, utilizaremos la cadena x1x2 . . . xi−1qxixi+1 . . . xn para representar una
configuración en la que:
1. q es el estado de la máquina de Turing.
2. La cabeza de la cinta señala al i-ésimo s´ımbolo a partir de la izquierda.
3. x1x2 . . . xn es la porción de la cinta que se encuentra entre los s´ımbolos
no blancos situados más a la izquierda y más a la derecha. Como ex-
cepción, si la cabeza señala a alguna casilla a la izquierda del s´ımbolo
no blanco que se encuentre más a la izquierda, o a alguna casilla a la
derecha del s´ımbolo no blanco que se encuentre más a la derecha, en-
tonces algunos caracteres prefijos o sufijos de x1x2 . . . xn serán espacios
en blanco, siendo i = 1 o i = n, respectivamente.

Los movimientos de una máquina de Turing se describen utilizando la
notación →M .
Ejemplo 24 La siguiente máquina de Turing acepta el lenguaje {0n
1n
|n ≥ 1}.
Inicialmente, sobre la cinta se escribe una secuencia finita de ceros y unos,
precedida y seguida por un número finito de espacios en blanco. Alternativa-
mente, la máquina de Turing cambiara primero un 0 por una x y luego un 1
por una y, hasta que se hayan cambiado todos los ceros y unos. La máquina
de Turing repite los pasos que se describen a continuación más detallada-
mente, y comenzando por el extremo izquierdo de la entrada. Cambia un 0
por una x y se mueve hacia la derecha, pasando por encima de todos los ceros
e y que encuentre, hasta llegar a un 1. Cambia el 1 por una y y se mueve
hacia la izquierda, pasando por encima de todas las y y de todos los ceros
que vaya encontrando, hasta llegar a una x. Entonces, busca el primer 0 que
se encuentre inmediatamente a su derecha y, si lo encuentra, lo sustituye
por una x y repite el proceso igual que antes, cambiando un 1 por una y. Si
la entrada no es de la forma 0∗
1∗
, la máquina de Turing no conseguirá fi-
nalmente realizar ningún movimiento, y dejara de operar sin aceptar. Sin
embargo, si termina cambiando todos los ceros por x en la misma pasada en
la que cambia el ultimo 1 por una y, entonces determina que la cadena de
entrada era de la forma 0n
1n
y acepta. La máquina de Turing que realiza la
serie de movimientos es la siguiente:
M = ({q0, q1q2, q3, q4} , {0, 1} , {0, 1, X, Y, B} , δ, q0, B, {q4})
donde δ está representada mediante la siguiente tabla
Estado 0 1 X Y B
q0 (q1, X, D) — — (q3, Y, D) —
q1 (q1, 0, D) (q2, Y, 1) — (q1, Y, D) —
q2 (q2, 0, I) — (q0, X, D) (q2, Y, I) —
q3 — — — (q3, Y, D) (q4, B, D)
q4 — — — — —
Cuadro 4.1: Una máquina de Turing para {0n
1n
}
Mientras M realiza los pasos anteriores, la porción de la cinta que ya ha
sido recorrida por la cabeza de la cinta corresponderá siempre a una secuen-
cia de s´ımbolos descrita mediante la expresión regular X∗
0∗
Y ∗
1∗
. Es decir,

habrá algunos ceros que ya han sido sustituidos por X, seguidos de algunos
ceros que todav´ıa no han sido sustituidos. Luego, se encontraran algunos unos
ya reemplazados por Y , seguidos de unos que aun no han sido reemplazados.
A continuación, puede que haya algunos ceros o unos. El estado q0 es el es-
tado inicial, y M entra de nuevo en q0 cada vez que vuelve a señalar al 0 que
quede más a la izquierda. Si M se encuentra en el estado q0 y la cabeza señala
a un 0, la regla del extremo superior izquierdo de la figura anterior indica que
M debe pasar por el estado q1, reemplazar el 0 por una X, y moverse hacia
la derecha. Una vez en el estado q1, M sigue moviéndose hacia la derecha,
pasando por encima de todos los ceros y todas las Y que encuentre, mientras
permanece en el estado q1. Si M encuentra una X o una B, deja de oper-
ar. Sin embargo, si M encuentra un 1 cuando está en el estado q1, sustituye
dicho 1 por una Y , pasa al estado q2, y comienza a moverse hacia la izquierda.
En el estado q2, M se mueve hacia la izquierda, pasando por encima de
los ceros y las Y que encuentre, mientras permanece en el estado q2. Cuando
M alcanza la X que se encuentra más a la derecha, que determina cual es
el extremo derecho del bloque de ceros que ya han sido sustituidos por X, M
vuelve al estado q0 y se mueve hacia la derecha. Hay dos casos posibles:
1. Si M encuentra ahora un 0, repite el ciclo de sustituciones que acabamos
de escribir.
2. Si M encuentra una Y , significa que ya ha cambiado todos los ceros
por X. Si hab´ıa cambiado todos los unos por Y , entonces la entrada
era de la forma 0n
1n
, y M aceptar´ıa. Por tanto, M pasa al estado q3 y
comienza a moverse hacia la derecha, pasando por encima de las Y . Si
el primer s´ımbolo distinto de una Y que encuentra M es un espacio en
blanco, entonces efectivamente hab´ıa en la entrada el mismo número
de ceros que de unos, de forma que M pasa al estado q4 y acepta. Por
otra parte, si M encontrara un 1, significar´ıa que hay demasiados unos,
as´ı que M dejar´ıa de operar sin aceptar. Si encontrara un 0, significar´ıa
que la entrada era incorrecta, y M también se detendr´ıa.
A continuación emplearemos la máquina M anterior para comprobar si
la cadena 0011 es aceptada por la máquina de Turing. Comenzamos con M
en el estado q0, y señalando al primer 0, con lo cual la configuración inicial
es q00011, presntamos a continuación la secuencia completa de movimientos

de M es:
q0001 → Xq1011 → X0q111 → Xq20Y 1 → q2X0Y 1 → Xq00Y 1 →
XXq1Y 1 → XXq11 → XXq2Y Y → Xq2XY Y → XXq0Y Y →
XXY q3Y → XXY Y q3B → XXY Y Bq4B
Aqui se presenta otro ejemplo, en el que se examina qué hace M con la
entrada 0010, la cual es una cadena que no pertence al lenguaje aceptado
por la máquina.
q00011 → Xq1010 → X0q110 → Xq20Y 0 → q2X0Y 0 →
Xqo0Y 0 → XXq1Y 0 → XXY q10 → XXY q1B
El comportamiento de M con 0010 recuerda su comportamiento con 0011,
hasta que alcanza la configuración XXY 0q1B. Sin embargo, en el estado q1,
M no puede realizar ningún movimiento si el s´ımbolo de la entrada al que
señala es B. Por tanto, M deja de operar sin aceptar esta entrada.
La simbolog´ıa que se usa normalmente en las máquinas de Turing es
similar a la utilizada en otros tipos de autómatas.
Las letras minúsculas iniciales del alfabeto se utilizan para los s´ımbolos de
entrada.
Las letras mayúsculas, normalmente las de la zona final del alfabeto, se
utiliza como s´ımbolos de la cinta que pueden o no formar parte del
conjunto de s´ımbolos de entrada. Sin embargo, generalmente se usa B
para representar el s´ımbolo correspondiente al espacio en blanco.
Las letras minúsculas del final del alfabeto se utilizan para designar cadenas
formadas por s´ımbolos de entrada.
Las letras griegas representan cadenas de s´ımbolos de cinta.
Letras como q, p, u otras próximas, representan estados.

4.3. El lenguaje de una Máquina de Turing
Podremos decir que la forma en la que una máquina de Turing acepta
una cadena es la siguiente: la cadena de entrada se situa en la cinta y la
cabeza comienza señalando el s´ımbolo de entrada que se encuentra más a la
izquierda; si la máquina de Turing llega a un estado de aceptación al final del
proceso, se considera que la cadena es reconocida, en caso contrario, decimos
que la cadene no fue aceptada.
De manera formal dada una máquina de Turing M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F),
el lenguaje L(M) es el conjunto de cadenas ω de Σ∗
tales que q0ω →∗
αpβ
para algún estado p del conjunto de estado finales F, y cualesquiera dos ca-
denas de cinta α y β. Los lenguajes que son pueden ser aceptados por la
máquina de Turing reciben el nombre de lenguajes recursivamente enumer-
ables o lenguajes RE.
Sin embargo este no es el único método para la aceptación de una cadena,
existe otro que comunmente se le conoce con el nombre de aceptación por
parada. Se dice que una máquina de Turing se para si alcanza un estado
q cuando señala a un s´ımbolo de la cinta X, sin que se produzca ningún
movimiento en dicha situación; es decir δ(q, X) no esta definida. Siempre
se puede suponer que una máquina deTuring se para si acepta, es decir sin
introducir variaciones en el lenguaje aceptado, se puede hacer que δ(q, X) se
quede sin definir siempre que q sea un estado de aceptación. En general a
menos que se especifique lo contrario, suponemos que una máquina de Turing
siempre se para cuando está en un estado de aceptación, aunque no en todos
los casos ocurre ésto. Los lenguajes reconocidos por máquinas de Turing que
siempre se paran, acepten o no, se les conoce con el nombre de recursivos.
Las máquinas de Turing que siempre se paran con independencia de que
acepten o no, son un buen modelo de algoritmo. Si existe un algoritmo para
resolver un problema dado, entonces se dice que el problema es decidible, con
lo cual se observa que las máquinas de Turing que siempre se paran, tienen
un papel importante en la teoria de la decidibilidad.

4.4. VARIANTES DE UNA M ÁQUINA DE TURING 71
4.4. Variantes de una Máquina de Turing
Existen mucho modelos de computación relacionados con las máquinas de
Turing, que poseen el mismo potencial como reconocedores de lenguajes, Uno
de ellos es la máquina de Turing con varias cintas, la cual puede simular a
una computadora, sin embargo las cintas extra no añaden mejoras al modelo,
en cuanto a la cuestion de aceptar lenguajes.
4.4.1. Máquina de Turing con varias cintas
este dispositivo dispone de una unidad de control (estado) y un número
finito de cintas. Cada cinta se divide en casillas y cada casilla puede contener
cualquier s´ımbolo del alfabeto finito de la cinta, además de contener al espacio
en blanco. Un subconjunto de la cinta que no incluye al blanco, es el conjunto
de los s´ımbolos de entrada. el conjunto de los estados incluye un estado inicial
y varios estado de aceptación, inicialmente
1. La entrada se situa en la primera cinta.
2. Las casilla de las cintas restantes contienen espacios en blanco.
3. La unidad de control está en el estado inicial.
4. La cabeza de la primera cinta apunta a la izquierda de la entrada.
5. El resto de las cabezas de las otras cintas apuntan a casillas arbitrarias.
Cada movimiento dependera del estado y del s´ımbolo le´ıdo por cada una
de las cabezas de la cinta, en cada movimiento la máquina hace los siguiente
1. La unidad de control pasa a un nuevo estado.
2. Se escribe un núevo s´ımbolo de la cinta en las casillas a las que apunta
la cabeza de cada cinta.
3. Cada una de las cabezas de cinta realiza un movimiento que puede
ser, hacia la izquierda, hacia la derecha o estacionario, las cabezas se
mueven de manera independiente.
Una diferencia entre las transiciones de la máquina con una cinta y la
de varias cintas es que en la primero no podiamos tener movimientos esta-
cionarios, mientras que en la máquina con varias cintas si es permitido.

4.4.2. Máquinas con pilas multiples
Este modelo está basado en la generalización de los autómatas de pila.
Pues si el autómata de pila tuviera dos pila podria reconocer lenguajes re-
conocidos por las máquinas de Turing, mientras que con una sola pila (como
es su definición) no es posible. Como consecuencia de ésta generalización,
surgen las máquinas contadoras, las cuales sólo se limitan a almacenar un
número finito de enteros y a realizar movimientos diferentes dependiendo de
si alguno de sus contadores está en cero.
Figura 4.2: Esquema de una máquina de turing con multiples pilas
La máquina con pilas multiples tiene una unidad de control, que se en-
cuentra en un estado de su conjunto finito de estados posibles, y un alfabeto
de pila finito que utiliza para todas sus pilas, cada movimiento se basa en
1. El estado de su unidad de control.
2. El s´ımbolo de entrada le´ıdo, que ha de formar parte del alfabeto finito
de los s´ımbolos de entrada, no permitiendo transiciones sin valor ( )
3. El s´ımbolo en el tope de cada una de sus pilas.
En cada movimiento la máquina puede
Pasar a un nuevo estado.
Sustituir el s´ımbolo en el tope de cada una de sus pilas por una cadena
formada por cero o más s´ımbolos de pila. La cadena que se introduce
en cada pila puede ser diferente para cada una de ellas. La máquina con
pilas multiples acepta una o varias cadenas si llega a un estado final.
Teorema 4 Si un lenguaje L es aceptado por una máquina de Turing, en-
tonces L es aceptado por una máquina con dos pilas.
4.4.3. Máquinas contadoras
Una máquina contadora puede verse de dos formas

4.4. VARIANTES DE UNA M ÁQUINA DE TURING 73
1. La máquina contadora tiene la misma estructura que la máquina con
pilas múltiples, pero dispone de contadores en lugar de pilas. Los con-
tadores almacenan cualquier entero no negativo, peros solo puede dis-
tinguir si un contador está a cero o no. Es decir, cada movimiento de
la máquina contadora depende de su estado, de su s´ımbolo de entrada,
y de cuáles de sus contadores están en cero, suponiendo que alguno lo
esté. En un movimiento, la máquina contadora puede
a) Cambiar de estado.
b) Sumar o restar uno a cualquiera de sus contadores independiente.
c) Sin embargo, los contadores no pueden llegar a ser negativos, de
modo que no se puede restar 1 a un contador que ya se encuentra
a 0.
2. Como una máquina con pilas múltiples con las siguientes restricciones
a) Solo hay dos s´ımbolos de pila, a los que lamaremos Z0 (el marcador
de fondo de la pila) y X.
b) En cada pila se encuentra inicialmente Z0.
c) Z0 sólo puede sustituirse por una cadena de la forma XiZ0, para
algún i ≥ 0.
d) X sólo puede sustituirse por Xi para algún i ≥ 0. Es decir, Z0
únicamente aparece en el fondo de cada pila, y todos los demás
s´ımbolos que se encuentren en la pila son X.
Ambas deiniciones son equivalentes, as´ı que no existe problema por que
usemos una u otra.
Hay algunas observaciones acerca de los lenguajes aceptados por las máquinas
contadoras que, aunque evidentes, merece la pena mencionar:
Observación 7 Todo lenguaje aceptado por una máquina contadora es re-
cursivamente enumerable. Esto ocurre porque una máquina contadora es un
caso especial de máquina con pilas, y una máquina con pilas es un caso es-
pecial de máquina de Turing con varias cintas, que solo acepta lenguajes
recursivamente enumerables.

Observación 8 Todo lenguaje aceptado por una máquina con un contador
es independiente del contexto. Una máquina contadora por la definición 2,
es una pila, as´ı que una máquina con un contador es un caso especial de
máquina con una sola pila o, lo que es lo mismo, un autómata a pila. De
hecho, todos los lenguajes aceptados por las máquinas con un contador son
aceptados por autómatas a pila.
El resultado más sorprendente acerca de las máquinas contadoras es que
dos contadores son suficientes para simular una máquina de Turing y, por lo
tanto, para aceptar cualquier lenguaje recursivamente enumerable.
Teorema 5 Todo lenguaje recursivamente enumerable es aceptado por una
máquina con tres contadores.
Teorema 6 Todo lenguaje recursivamente enumerable es aceptado por una
máquina con dos contadores.
Actividad 9 Investigar las caracteristicas y funcionamiento de las sigu-
ientes variantes de máquina de Turing
1. Máquinas de Turing Deterministas
2. Máquinas de turing no deterministas
3. Máquinas de turing con cintas semiinfinitas

Cap´ıtulo 5
Decibilidad
Objetivo de la unidad: Comprender las caracteristicas de los lenguajes
decidibles
Diremos que un problema de decisión es decidible por una maquina de
Turing s´ı sólo si la máquina responde correctamente cada una de las respues-
tas a las preguntas asociadas al problema. Por otro lado se ha considera-
do formas de simplificar la construcción de máquinas de Turing mediante
la introducción de la modularidad, esto quiere decir, considerado algunas
maquinas elementales a partir de las cuales podremos construir otras con
mayor eficiencia. En éste capitulo trataremos alguno de los problemas que
motivarón el estudio de los capitulos anteriores y que se plantearón al inicio
del primero.
Primero es necesario crear un planteamiento que nos permita determinar
de manera eficiente si un problema puede ser tratado como un caso de de-
cisión, o solamente es un problema intratable, recordemos que la diferencia
entre ambos radica en que el problema de decisión tenemos casos en los que
no existen algoritmos que nos permitan resolver el problema, mientras que
el segundo, presenta algoritmos muy extensos que ocupan todos los recursos
de una computadora, o que requieren de mucho tiempo para su solución por
ejemplo
¿ Hay enteros tales que satisfagan la ecuación 3x + 6y = 151? no es un
problema de decisión.
¿ Hay enteros x, y tales que se cumple la ecuación ax + by = c? si es un
problema de decisión (aqu´’i es importante mencionar que para cada
75

76 CAPÍTULO 5. DECIBILIDAD
valor de a, b y c tenemos un problema distinto.
El problema de la parada ¿Existe algún procedimiento efectivo algorit-
mo o máquina de Turing que nos permita determinar, para cualquier
máquina de Turing concreta representada en la cinta si la máquina
llegara a detenerse en algun momento después de iniciar su computo?
(esta cuestión se menciono en la sección de lenguaje de una máquina
de Turing). Este problema tiene una respuesta negativa, por lo que se
trata de un problema indecidible.
5.1. Lenguajes Decidibles
Un lenguaje decidible es aquel lenguaje L para el cual existe una máquina
de Turing que le puede aceptar cualquier cadena ω ∈ L. Hay lenguajes for-
mados por cadenas tales que una máquina de Turing logra un estado final
con las cadenas que reconoce y acepta, solamente. En este caso se dice que la
máquina de Turing semidecide al lenguaje. Los lenguajes semidecididos por
una máquina de Turing se llaman recursivos numerables. Las gramáticas sin
restricciones son las que generan los lenguajes recursivos numerables y estos
generalizan a los lenguajes recursivos, los cuales generalizan a los lengua-
jes libres de contexto, y estos a los lenguajes regulares. Lo anterior tiene
relación directa con el hecho de que las máquinas de Turing generalizan a los
autómatas de pila y estos a su vez a los autómatas finitos.
En términos de procedimientos, las cadenas de un lenguaje decidible cor-
responden a procedimientos que terminan, ya sea realizando lo que indica
la palabra o señalando que no tienen la capacidad de realizarlo. Para un
lenguaje semidecidible, las cadenas decididas por la máquina de Turing son
instrucciones realizadas por la máquina de Turing. De manera complemen-
taria, las cadenas no decidibles por la máquina de Turing corresponden a
procedimientos que no terminan utilizando una máquina de Turing. con lo
anterior podemos dar la definición de algoritmo
Definición 33 Un algoritmo es una implementación de una máquina de
Turing tal que el conjunto de sus entradas es el lenguaje decidible.
En otras palabras si dado conjunto de entradas bajo las cuales una máquina
de Turing logra un estado de parada para cada entrada, la máquina corre-

5.2. EL PROBLEMA DE HALTING 77
sponde a la implementación de un algoritmo. Esta es la Tesis de Church -
Turing. No es un teorema pues no se puede demostrar matemáticamente, de
manera general y categórica. Es solo la afirmación de que el concepto informal
del algoritmo corresponde a un objeto matemático. Al ser sólo una afirmación
no demostrable, puede suceder que en un futuro sea refudada. Sin embargo
para que esto ocurra, se necesita encontrar un autómata más potente que una
máquina de Turing tal que sea la implementación de un algoritmo. Si bien
hay algunas propuestas interesantes que pretende generalizar a la máquina
de Turing, hasta la fecha ninguna de ellas ha sido aceptada para sustituirla.
es importante mencionar que los lenguajes que tienen asociados algoritmos
son finitos, mientras que aquellos a los cuales no les podemos asignar un
algoritmo son infinitos (en terminos de la cantidad de problemas).
5.2. El problema de Halting
El problema de Halting o también conocido como el problema de la parada
(se menciono en la sección anterior) , es equivalente a construir un programa
que decida si un algoritmo finaliza alguna vez o no. Respecto a este problema
Turing provó que no es posible construir una máquina de Turing que decida
si otra máquina de Turing aceptara alguna cadena durante su procesamiento,
debido a que mientras la máquina de turing trabaja, las cadenas almacenadas
en la cinta, son pasos intermedios que no tiene nada que ver con el resultado
final.
El problema se desarrolla suponiendo que dada una máquina de turing
MT1 existe una cadena de s´ımbolos ω1, que nos informa si otra máquina de
turing M2 con programa P2 y datos iniciales D2 se detendra proporcionando
una salida ω1 = P1 [P2, D2]. Suponga que aplicamos el programa P1, que
determina el comportamiento de MT1, que determina el comportamiento so-
bre el mismo programa, pero tomando como datos los propios P1 [P1, D1],
entonces para que MT1 pueda informar si MT2, para o no debe existir un
programa P1 que para cuando un programa anterior P1 (recuerde que se esta
trabajando sobre MT1) que pare cuando un segundo programa P1 introduci-
do como dato anterior no para. Aqui el programa se esta ejecutando sobre
s´ı mismo, lo cual no es posible.

78 CAPÍTULO 5. DECIBILIDAD
5.3. Decibilidad de teor´ıas lógicas
Una teor´ıa lógica TL se define a partir de un conjunto de enunciados da-
dos llamados axiomas, unas reglas de inferencia y un esquema de derivación.
A partir de los axiomas y aplicando la regla de inferencia y el esquema de
derivación se infieren los teoremas de la teor´ıa. El conjunto de teoremas de la
teor´ıa forma un lenguaje formal.Si es posible definir una máquina de Turing
tal que reconozca al lenguaje de los teoremas, este lenguaje es decidible y
la teor´ıa también lo es consecuencia. Dicho en otras palabras, si el conjun-
to de teoremas visto como un lenguaje es reconocido por una máquina de
Turing, entonces la TL es decidible, y viceversa. Puede hablarse entonces de
manera indistinta de teor´ıas lógicas o de lenguajes decidibles, como aquel-
los para los que existe una máquina de Turing capaz de reconocerlos. Luego
la correspondencia entre la sintaxis de una teor´ıa lógica (lenguaje formal)
y reconocimiento simbólico del mismo por parte de un autómata queda es-
tablecida.
Ejemplo 25 Muestre que la colección de lenguajes decidibles por máquina
de Turing para un alfabeto cualquiera es infinita, pero contable. Solución
El cinjunto de lenguajes independientes de contexto es infinito.
los conjuntos de los lenguajes independientes de contexto, lenguajes decidi-
bles por Turing, lenguajes estructurados por frases son contables.
La colección de lenguajes decidibles es contable por ser un subconjunto
de los lenguajes estructurados por frases (que son contables). Es infinita por
que contiene a los lenguajes independientes de contexto, que son infinitos.
Los lenguajes decidibles en tiempo polinomico son aquellos lenguajes para
los que una máquina de Turing puede determinar si una cadena pertenece al
lenguaje. Implica reconocer el complemento del lenguaje.
El desarrollo de la teor´ıa de la computabilidad ha ido ´ıntimamente ligado
al desarrollo de la lógica matemática. Esto ha sido as´ı porque la decibilidad
de los distintos sistemas lógicos es una cuestión fundamental. Es bastante
fácil ver que el cálculo proposicional no era decidible. Por otro lado, para
cada una de las distintas teor´ıas se ha ido estudiando su posible decibilidad,
son muchos los problemas interesantes que se han demostrado computables.
Todas las funciones construidas por recursividad primitiva o minimalización

5.3. DECIBILIDAD DE TEORÍAS L ÓGICAS 79
a partir de funciones calculables resultan ser calculables, siendo el resultado
más significativo en relación con esta cuestión el dado por el siguiente teorema
Teorema 7 Primer teorema de Recursión: Todo operador entre fun-
ciones calculables que sea recursivo (esto es que se defina la imagen de f
mediante una función calculable en términos de una parte finita de f), tiene
una función parcial computable que es el menos punto fijo, es decir, esa fun-
ción es un punto fijo y cualquier otro punto fijo del operador es una extensión
de esa función.
Este teorema recibe su nombre porque podemos definir una función medi-
ante una ecuación recursiva más general que la permitida por la recursividad
primitiva, a saber donde es un operador recursivo. El primer teorema de
recursión nos dice que hay una función que satisface esta ecuación. Como
en matemáticas se requiere que la función sea univoca, se dice que dicha
ecuación define el menor punto fijo del operador. As´ı, y de acuerdo al primer
teorema de recursión, la clase de las funciones calculables es cerrada bajo
una muy general forma de definición por recursión.
A menudo se utiliza la técnica de reducir un problema a otro para com-
probar si tiene o no solución efectiva. La estrategia en el caso de la respuesta
negativa es la siguiente, si se reduce de forma efectiva un problema sin solu-
ción efectiva a otro problema (mediante una función calculable), entonces
este nuevo problema tampoco tendrá solución efectiva. La razón es muy sim-
ple, si tuviese solución efectiva, componiendo el algoritmo solución con el
algoritmo de transformación obtendr´ıamos una solución para el problema
efectivamente irresoluble. En sentido inverso, si se reduce un problema a otro
para el que se conoce una solución efectiva, entonces componiendo se obtiene
una solución para el primer problema. Esta técnica es muy útil y se utiliza
a menudo. Por otro lado, esta misma técnica es muy empleada en el campo
de la complejidad algor´ıtmica. Para asegurarse de que un problema esta en
una clase de complejidad, basta reducir el problema a otro de dicha clase sin
mas que asegurarse que la reducción se realiza en la correspondiente clase de
complejidad.

Cap´ıtulo 6
Reducibilidad
Objetivo de la unidad: Aplicar la reducibilidad a los lenguajes estudi-
ados medisnte máquinas de Turing
6.1. Problemas insolubles para la teor´ıa de
lenguajes
En el capitulo anterior se trata a grandes rasgos, los problemas que pueden
ser resueltos mediante un algoritmo y aquellos que no; con lo cual ahora sólo
nos queda analizar que problemas pueden ser resueltos por una computadora
con más o menos eficiencia; es claro que para resolver esta interrogante es
necesario que sólo tomemos los problemas decidibles y seleccionemos sólo
aquellos que se pueden resolver mediante máquinas de Turing en un tiempo
que crece en función polinómica del tamao de la entrada. Para comenzar a
estudiar este capitulo es conveniente tomar en cuenta lo siguiente:
Los problemas que se pueden resolver en tiempo polinómico en una com-
putadora, son exactamente los mismo que se pueden resolver en tiempo
polinómico en una máquina de Turing.
Existe una l´ınea divisoria fundamental entre los problemas que se pueden
resolver en tiempo polinómico y los que requieren de un tiempo expo-
nencial o mayor. Los problemas prácticos que requieren de un tiempo
polinómico son casi siempre resolubles en un tiempo tolerable, mien-
tras que los que requieren de un tiempo exponencial, en general no se
pueden resolver, excepto en casos sencillos.
81

82 CAPÍTULO 6. REDUCIBILIDAD
La teor´ıa de la intratabilidad se refiere al conjunto de técnicas que se
pueden utilizar para mostrar que un problema no se puede resolver en tiem-
po polinómico; la teor´ıa de la reducibilidad tra de aquellos problemas que
pueden ser reducidos a casos particulares y que pueden ser resueltos en tiem-
pos polinómicos.
El analizar si es posible satisfacer una expresión booleana, es decir que
la expresión reuslte verdadera para alguna asignación de los valores de ver-
dad verdadero y falso a sus variables, éste problema no se puede decidir en
tiempo polinómico, y además se puede reducir a muchos otros y con ésto se
prueba que las reducciones también son intratables. Con este tipo de proble-
mas, ya no bastara con que exista un algoritmo que nos permita transformar
los casos de un problema en casos de otro, además dicho algoritmo deberá eje-
cutarse a lo más en tiempo polinómico, ya que de lo contrario, la reducción
no nos podria ayudar a saber si el segundo problema es intratable, aunque
el primero lo sea.En otras palabras
Definición 34 Un problema A es reducible a otro B si un método para
resolver B proporciona un método para resolver A. Cada problema puede
representarse a través de una codificación como un conjunto de números.
As´ı, es posible estudiar la reducibilidad como una relación entre conjuntos de
números, bajo el siguiente principio Un conjunto A es reducible al conjunto
B si un método para decidir si algo pertenece a B, proporciona un método
para decidir que algo pertenece al conjunto A.
Ésta definición esta fundamentada en una conjutura llamada N = NP,
que permite suponer que la clase de los problemas que se pueden resolver
en tiempo polinómico mediante máquinas de Turing no deterministicas, con-
tienen al menos algunos problemas que no se pueden resolver en tiempo
polinómico usando máquinas de Turing deterministicas, aunque estas ocu-
pen un tiempo poliniómico de grado más alto.
Actividad 10 Investigar la definición de las clases de problemas N y NP,
y en que consisten sus diferencias
Definición 35 Se dice que una máquina de Turing M tiene un tiempo de
cálculo (complejidad temporal) T(n) si se detiene después de T(n) movimien-
tos como máximo cuando recibe una entrada ω de longitud n (ya sea aceptada
o rechazada)

6.2. UN PROBLEMA SIMPLE INSOLUBLE 83
Esta definiciónse aplica a cualquier función T(n) que sea un polinómio en
n, y de aqui se desprende que
Definición 36 Un languaje está en la clase P, si existe algun polinómio
T(n) tal que L = L(M) para alguna máquina de Turing determinista M,
cuya complejidad temporal es T(n).
6.2. Un problema simple insoluble
6.2.1. Algoritmo de Kruskal
Para este problema, se necesitara retomar los conceptos de grafos que
se estudiarón en la materia de Matemáticas para computadora en primer
semestre.
Considere el problema de encontrar un árbol de peso m´ınimo asociado
a un grafo APMAG, a continuación se presenta un ejemplo de un grafo,
en el cual los nodos están numerados del 1 al 4 y hay arcos entre pares de
nodos, y cada uno tiene un peso en entero, un árbol que abarca el grafo es
un subconjunto de los arcos tal que todos los nodos quedan conectados entre
s´ı mediante estos arcos pero no se forma ningun ciclo.
Figura 6.1: Ejemplo para APMAG
El árbol para el nodo 3 esta compuesto por todas las aristas que parten
de él.
El árbol de peso m´ınimo es el que tiene la ,enor suma total de pesos de los
arcos entre todos los que abarcan el grafo. Existe un algoritmo llamado algo-
ritmo de Kruskal para encontrar un APMAG que consiste en los siguientes
pasos:
1. Para cada nodo anotar la componente conexa en la que aparece, usando
los arcos del árbol seleccionados hasta el momento. Inicialmente no se
ha seleccionado ningún arco, por lo que cada nodo formara por si sólo
una componente conexa.

2. Se elige el arco de menor peso que aun no se halla examinado, y se
rompen las ligaduras como se desee. Si este arco conecta dos nodos
situados actualmente en componentes conexas distintas:
a) Se selecciona este arco, para el árbol que abarca el grafo.
b) Se unen las dos componentes conexas, cambiando el número de
componente asociado a todos los nodos de una de las componentes,
para que sea el mismo que el número de componente de la otra.
3. Se eligen arcos hasta que todos los nodos hallan sido examinados, o
hasta que el número de arcos seleccionados pra el árbol que abarca
el grafo sea igual al número de nodos menos uno. en este caso todos
los nodos deben estar en una solo componente conexa, y es posible
olvidarse de todos los arcos restantes.
Este algoritmo puede implementarse en una computadora, para hallar el
árbol que abarca un grafo de m nodos y e arcos en un tiempo O(m + eloge).
Una implementación más simple, mas fac´ıl de seguir lo consigue en e pasos.
Una tabla da la componente actual de cada nodo. Elegimos el arco siguiente
de menor peso en un tiempo O(e), y encontramos las componentes de los dos
nodos que conectan este arco en tiempo O(m). Si son diferentes unimos los
nodos con esos números en tiempo O(m), recorriendo la tabla de nodos. Este
tiempo es polinómico respecto al tamao de la entrada que podemos consid-
erar, informalmente, igual a la suma de e y m.
Para aplicar este algoritmo a las máquinas de Turing hay que resolver
algunas cuestiones:
Al estudiar algoritmos, nos encontramos con problemas que necesitan
que se generaen salidas de diversas formas, tales como la lista de arcos
en una APMAG. en cambio cuando tratamos con máquinas de Turing,
los problemas se vaen como lenguajes y su único resultado es si o
no, es decir aceptado o rechazado, para nuestro problema podriamos
redactarlo as´ı Dado el grafo G y el limite W, ¿Existe en G un
árbol que lo abarque con peso menor o igual a W? Este problema
puede parecer más sencillo, puesto que no se pide el árbol asociado al
grafo. En este caso el hecho de que la versión si − no de un problema
sea dif´ıcil implica que también lo sera la versión completa, de la cual
se tiene que obtener una respuesta más detallada.

6.2. UN PROBLEMA SIMPLE INSOLUBLE 85
Se podria pensar que el tamao de un grafo es el número de nodos o arcos
que tiene, sin embargo en una máquina de turing los datos de entrada
tienen la forma de una cadena de caracteres extra´ıdos de cierto alfabeto.
Como consecuencia los problemas que tienen que ver con nodos y arcos
deberán ser codificados de alguna manera, con lo cual las máquinas de
Turing seran más largas que lo que se habia pensado al inicio; aunque
esto no es significativo por las siguiente razones:
1. La diferencia entre el tamaño de la cadena de entrada de una
máquina de Turing y el de la cadena del problema informal, de-
pende de un factor pequeo, que es aproximado al logaritmo del
tamao de la entrada. Por lo cual, lo que se puede hacer en tiempo
polinómico en función de una medida, también puede hacerse en
tiempo polinómico utilizando la otra medida.
2. La longitud de la cadena que representa la entrada es una medida
más exacta que el número de bits que tiene que leer una computa-
dora para obtener la entrada del problema, pues en nuestro caso
elnúmero de bits para representar a un nodo es proporcional al
logaritmo del tamoño del entero en el nodo. en lugar de un byte
por nodo.
Este algoritmo puede ser implementado en una máquina de Turing con
varias cintas en un tiempo O(n2
) utilizando las cintas de la siguiente forma:
1. Una cinta puede utilizarse para guardar los nodos y su número de
componentre en cada momento. La longitud de esta tabla es O(n)
2. A medida que se analizan los arcos sobre la cinta de entrada, se puede
usar otra cinta para encontrar el peso menor encontrado hasta el mo-
mento entre todos los arcos que no han sido marcados como usados.
se puede usar una segunda pista de la cinta de entrada para marcar
los arcos que fueron seleccionados por su peso minimo, en las pasadas
anteriores del algoritmo. La busqueda del arco no marcado lleva un
tiempo O(n).
3. Los dos nodos que unen al arco seleccionado se pueden almacenar en
otra cinta, para después buscar las componentes de esos nodos en un
tiempo O(n)

4. Se puede usar otra cinta para guardar las dos componentes i y j, que
se uniran cuando se encuentre un arco que conecta dos componentes
previamento no conectadas. Después se buscara en la tabla de nodos y
componentes, para cambiar a jla componente de todos los nodos que
estaban en la componente i, esta busqueda lleva un tiempo O(n).
6.3. Funciones computables
Formalmente diremos que un lenguaje L esta en la clase NP (no deter-
ministico, polinómico), si existe una máquina de Turing no deterministca M
y una complejidad de tiempo polinómico T(n) tal que L = L(M) y cuando
M recibe una entrada de longitud n, no existen secuencias de mas de T(n)
movimientos de M. Con éstadefinición podemos concluir que P ⊆ NP, es
necesario enfatizar que la contención contraria no se cumple.
Actividad 11 Desarrolle el problema NP del viajante de comercio,
Actividad 12 Defina que es un problema NPcompleto y escriba dos ejem-
plos.
A continuación se muestran algunos resultados que nos permite establecer
condiciones para reducir un algoritmo.
Una máquina de Turing calcula una función a partir de la entrada de la
cinta y pone fin con la salida de la función en la cinta.
Definición 37 Una función f : E∗
−→ E∗
es una función computable si la
máquina de Turing M asociada, sólo se detiene con f(ω), en cada entrada
ω en su cinta.
Ejemplo 26 Todas las operaciones aritméticas habituales en enteros son
funciones computables. Podemos hacer una máquina que tiene entrada (m, n)
y devuelva m + n.
Un lenguaje A es reducible a un lenguaje B, si existe una función com-
putable f : E∗
−→ E∗
donde para cada ω, f(ω) esta en B, a la función f se
llama la reducción de A a B.

6.3. FUNCIONES COMPUTABLES 87
Si un problema es reducible a un segundo problema ya resuelto con an-
terioridad, podemos obtener una solución al problema original. Tenemos esa
idea en el siguiente teorema.
Teorema 8 Si A ≤ B en cuanto a tamaño y B es reducible, entonces A es
reducible.
Y como consecuencia si A es irreducible B tambien será irreducible.

Bibliograf´ıa
[1] Denning, Dennis, Qualitz, Machines, languages and computa-
tion. Editorial Prentice Hall 1978.
[2] John E. Hopcroft y Jeffrey D. Ullman, Introducción a la teor´ıa
de autómatas, lenguajes y computación.Editorial CECSA 1979.
[3] Howie, John M. Automata and languages. Editorial Oxford sci-
ence publications, 1991.
[4] Dean, Kelley. Teor´ıa de autómatas y lenguajes formales. Edi-
torial Prentice Hall, 1998.
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