ONEM 2010: Fase N°3- Nivel 1
- 1. Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana Tercera Fase - Nivel 1 7 de octubre de 2010 - La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas. - No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. - Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus c´alculos. - Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega. - Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas. ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS. EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN N´UMERO ENTERO POSITIVO. 1. Se inicia un viaje de la ciudad A a la ciudad J. Si el siguiente mapa indica todos los caminos posibles y los costos de cada uno, indica cu´antas trayectorias diferentes hacen que el costo de ir de la ciudad A a la J sea lo m´as barato posible. 1 3 2 5 4 2 34 63 3 5 6 G F I J H E A B C D 2. Pedrito escribi´o en una lista todos los n´umeros naturales que no son m´ultiplos de 3: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, . . . Luego Pedrito escogi´o un n´umero de su lista, y sum´o los dos n´umeros de la lista que son vecinos del n´umero que ´el escogi´o. Si el resultado de esa suma fue 365, ¿qu´e n´umero de la lista escogi´o Pedrito? 3. Nacho hizo una lista con todos los enteros positvos que tienen el producto de sus d´ıgitos igual a 24, y los orden´o de menor a mayor. Calcula la suma de los nueve primeros n´umeros de la lista de Nacho. 1
- 2. Ministerio Tercera Fase - Nivel 1 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 4. El factorial de n, denotado con n!, se define como n! = 1 × 2 × · · · × n. Si el n´umero n! es un divisor de 20102010, calcula el mayor valor posible de n. 5. En la siguiente figura se muestra el mapa de la isla Atlantis, en el que se muestra las 7 regiones en las que est´a dividida: Atlantis mar mar Cada regi´on debe pintarse de un color, de tal forma que, si dos regiones son vecinas (es decir, si tienen frontera en com´un) entonces deben pintarse de colores diferentes, ¿cu´antos colores como m´ınimo se necesita? 6. ¿Cu´al es el d´ıgito de las unidades del n´umero: 20101 + 20092 + 20083 + · · · + 199120? 7. En cada casilla del tablero mostrado se debe escribir un 1 o un 2, de tal forma que la suma de los n´umeros escritos en cada fila sea par, y la suma de los n´umeros escritos en cada columna sea impar. Halla la mayor cantidad de d´ıgitos 1 que se puede escribir. 8. Llamamos suma digital a la operaci´on que consiste en reemplazar un n´umero por la suma de sus d´ıgitos. Por ejemplo, si al n´umero 99229 le aplicamos la suma digital obtenemos 31, y si al n´umero 31 le aplicamos nuevamente la suma digital obtenemos 4. Un n´umero natural N es m´ultiplo de 3 y est´a formado por 2010 d´ıgitos. Al n´umero N se le aplic´o tres veces seguidas la suma digital y di´o como resultado un n´umero M. Halla la suma de los posibles valores de M. 2
- 3. Ministerio Tercera Fase - Nivel 1 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 9. Se toman tres n´umeros a, b, c del conjunto {1, 2, . . . , 10}, con a < b < c y que cumplen lo siguiente: a + 1 b = 2 mcd(a, b) + 1 mcd(a, c) + 1 mcd(c, b) . Halla c. Aclaraci´on. mcd(r, s) denota al m´aximo com´un divisor de r y s. 10. Considere un tablero de 4×n, donde cada casilla puede ser de color blanco o negro. Encuentra el menor entero positivo n para el cual en el tablero 4 × n se cumple la siguiente propiedad: “Para toda posible coloraci´on del tablero, existe un rect´angulo (dentro del tablero) que tiene las casillas de sus cuatro esquinas del mismo color” Ejemplo. Los siguientes rect´angulos tienen las casillas de sus cuatro esquinas del mismo color: GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON 3