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- 1. Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana Tercera Fase - Nivel 2 7 de octubre de 2010 - La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas. - No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. - Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus c´alculos. - Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega. - Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas. ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS. EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN N´UMERO ENTERO POSITIVO. 1. El siguiente arreglo est´a formado por 20 filas. ¿Cu´antas veces se puede leer la palabra ONEM en dicho arreglo, ya sea de manera vertical u horizontal? O O N O N E O N E M O N E M O O N E M O N O N E M O N E O N E M O N E M ... ... ... 2. Si los n´umeros de dos d´ıgitos ab y ba son ra´ıces de la ecuaci´on x2 − 66x + k = 0, ¿cu´al es la suma de todos los valores que puede tomar k? 3. Simplifica: 22010 + 21006 + 1 − 22010 − 21006 + 1. 1
- 2. Ministerio Segunda Fase - Nivel 2 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 4. En la siguiente figura se muestra el mapa de la isla Olimpia, en el que se muestra las 8 regiones en las que est´a dividida: mar mar Olimpia Cada regi´on debe pintarse de un color, de tal forma que, si dos regiones son vecinas (es decir, si tienen frontera en com´un) entonces deben pintarse de colores diferentes, ¿cu´antos colores como m´ınimo se necesita? 5. En la siguiente figura, el hex´agono m´as grande es regular y tiene ´area 810: Calcula el ´area del hex´agono peque˜no sombreado. 6. Una profesora le pide a sus alumnos que calculen el resto de dividir el n´umero N = 987654321 enre 11. Sin embargo, cuando Jos´e escribe el n´umero N en su cuaderno, no escribi´o uno de los d´ıgitos de N. Si la respuesta de Jos´e s´olo se diferenci´o en 1 de la respuesta que di´o la profesora, ¿cu´antos valores puede tomar el d´ıgito que Jos´e dej´o de escribir? Aclaraci´on. Se asume que los c´alculos de la profesora y de Jos´e son correctos. 2
- 3. Ministerio Segunda Fase - Nivel 2 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 7. En la siguiente divisi´on exacta, cada ∗ representa un d´ıgito mayor que 0 y menor que 8: ∗ 0 ∗ 0 ∗ 5 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ 0 - - Encuentra el valor del cociente, sabiendo que est´a formado por 3 d´ıgitos distintos. 8. En una pizarra est´an escritos los n´umeros desde el 1 hasta el 999999 de manera consecutiva, como se muestra: 123456789101112 . . . 999998999999. ¿Cu´antas veces aparece el bloque 2010 en esta lista escrita en la pizarra? 9. Halla la cantidad de parejas (m, n) de n´umeros enteros que cumplen las siguientes dos condi- ciones a la vez: m es ra´ız de la ecuaci´on x3 + mx − 2n = 0. n es ra´ız de la ecuaci´on x3 − nx − 2m = 0. 10. Para cada conjunto no vac´ıo A de n´umeros enteros positivos, definimos el conjunto A+ como el conjunto que se obtiene al sumar 1 a cada elemento de A. Por ejemplo, si A = {1, 3, 4, 7} entonces A+ = {2, 4, 5, 8}; y si B = {6} entonces B+ = {7}. ¿Cu´antos subconjuntos A de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} cumplen que A y A+ son conjuntos disjuntos entre s´ı? GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON 3