ONEM 2010: Fase N°2- Nivel 1
- 1. Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana Segunda Fase - Nivel 1 20 de agosto de 2010 - La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas. - No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. - Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus c´alculos. - Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega. - Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas. ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS. EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN N´UMERO ENTERO POSITIVO. 1. En cierto mes del a˜no hay exactamente cinco d´ıas viernes y cinco d´ıas domingos. ¿Cu´antos d´ıas jueves hay en ese mes? 2. Jos´e puede gastar todo el dinero que ha ganado en un concurso comprando 10 pavos, ´o 15 pollos, ´o 3 cerdos. Si Jos´e quisiera gastar todo ese dinero comprando igual cantidad de pavos, pollos y cerdos, ¿cu´antos animales comprar´ıa en total? 3. Cuando colocamos una torre (denotada por T) en un tablero, ´esta ataca a todas las casillas que est´an en su misma fila o columna. En el siguiente tablero de 4 × 4 se han ubicado dos torres y vemos que atacan a 10 casillas (una torre no se ataca a s´ı misma). ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ T ◦ ◦ T ◦ ◦ Si se colocan cuatro torres en un tablero de 100 × 100 de la siguiente manera, ¿a cu´antas casillas atacan esas cuatro torres? T · · · T T · · · T ... ... ... 1
- 2. Ministerio Segunda Fase - Nivel 1 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 4. Los d´ıgitos p, q, r cumplen las siguientes condiciones: pq+qr = 94 y pr+rq = 134. Halla qp+pr. 5. Dentro de tres a˜nos, las edades de Dar´ıo, Esteban y Franco ser´an proporcionales a los n´umeros 3, 5 y 7, en ese orden. Dentro de 12 a˜nos sus edades ser´an proporcionales a los n´umeros 3, 4 y x, tambi´en en ese orden. Halla x. 6. Sea N = abc un n´umero de tres d´ıgitos, donde a, b y c son n´umeros primos, distintos entre s´ı. Si N es divisible por cada uno de sus d´ıgitos, determina el valor de N. 7. Sa´ul y Julia salieron juntos de su casa con direcci´on al parque que se encuentra a 800 metros en l´ınea recta. Sa´ul va caminando a una rapidez de 2 metros por segundo mientras que Julia va en bicicleta, siempre a una rapidez de 4 metros por segundo. Julia avanza 12 segundos en direcci´on al parque y luego regresa para darle el alcance a Sa´ul, que est´a m´as atr´as. Cuando se encuentran, Julia hace nuevamente lo mismo: avanza 12 segundos en direcci´on al parque y luego regresa para darle el alcance a Sa´ul, y as´ı sucesivamente. ¿A cu´antos metros de distancia del parque estar´a Julia luego de que hayan pasado 100 segundos desde que salieron de su casa? 8. Si tenemos la palabra ABBZMQ podemos eliminar la letra Z para que las letras que queden est´en en orden alfab´etico. De forma similar, si tenemos la palabra PERU, podemos eleminar la letra E para que las letras que queden tambi´en est´en en orden alfab´etico. ¿Cu´al es el menor n´umero de letras que se puede borrar de la palabra NACIONAL para que las letras que queden est´en en orden alfab´etico? 9. Sea N el menor entero positivo que cumple las siguientes condiciones a la vez: Cada uno de los d´ıgitos de N es 1, 2 ´o 3. La suma de los d´ıgitos de N es 18. N es m´ultiplo de 36 pero no de 7. Halla la suma de los cuadrados de los d´ıgitos de N. 10. Un n´umero primo-capic´ua es un n´umero primo que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo, 7, 11 y 313 son n´umeros primo-capic´uas, mientras que 121 no es un n´umero primo-capic´ua. Determina el menor valor de k para el cual es posible expresar el n´umero 2010 como la suma de k n´umeros primo-capic´uas. GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON 2