![CÁLCULO NUMÉRICO
CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema de Rolle.
Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b]
y diferenciable sobre el intervalo abierto (a,b); Si
f(a)=f(b), entonces existe en (a, b) el valor c tal que f
'(c)=0.
f(a)=f(b)
a
c1
c2
b](https://image.slidesharecdn.com/2012-2-calculon-131022153313-phpapp01/85/2012-2-calculo-n-14-320.jpg)
![CÁLCULO NUMÉRICO
CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema del valor medio.
Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b); entonces existe en (a, b) el valor c
tal que f ' (c) = f (b) − f (a) .
b−a
a
c
b](https://image.slidesharecdn.com/2012-2-calculon-131022153313-phpapp01/85/2012-2-calculo-n-15-320.jpg)
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CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema del valor extremo.
Si f es una función continua definida en [a, b], existen dos
valores de xmin, xmax de [a,b] tales que f(xmin)≤ f(x) ≤ f(xmax) para
todo x de [a,b]. Si f es además diferenciable en [a, b], xmin y xmax
coinciden con a, o b, o los puntos donde f ' es 0.
a xmin
xmax
b
a
xmax
xmin
b](https://image.slidesharecdn.com/2012-2-calculon-131022153313-phpapp01/85/2012-2-calculo-n-16-320.jpg)
![CÁLCULO NUMÉRICO
CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema del valor medio ponderado.
Sea f una función continua definida en [a, b]. Existe un valor x p en
[a, b] tal que
∫
b
a
f ( x)dx = (b − a ) f ( x p )
f(xp)
a
xp
b](https://image.slidesharecdn.com/2012-2-calculon-131022153313-phpapp01/85/2012-2-calculo-n-19-320.jpg)
![CÁLCULO NUMÉRICO
CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema del valor intermedio.
Si f es una función continua definida en [a, b] y si h es un valor tal que
f(a)<h< f(b), entonces existe en (a, b) un valor x h tal que f(xh)= h.
f(b)
h
f(a)
a
xh
b](https://image.slidesharecdn.com/2012-2-calculon-131022153313-phpapp01/85/2012-2-calculo-n-20-320.jpg)
![CÁLCULO NUMÉRICO
CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema de Taylor
Sea f una función continúa derivable n veces en [x, x+h]
y f (n+1) existe en (x, x+h), entonces
f (1) ( x )h f ( 2) ( x )h 2 f ( 3) ( x)h 3
f ( n ) ( x)h n
f ( x + h) = f ( x ) +
+
+
+ ...... +
+ R (ε ),
1!
2!
3!
n!
f ( n ) (ε )h n +1
siendo R (ε ) =
, para algún valor ε entre x y x + h.
( n + 1)!](https://image.slidesharecdn.com/2012-2-calculon-131022153313-phpapp01/85/2012-2-calculo-n-21-320.jpg)
2012 2-calculo n
- 1. CÁLCULO NUMÉRICO TEMAS Teoría de errores. Solución numérica de ecuaciones no lineales. Solución de ecuaciones lineales. Interpolación. Derivación e Integración numérica. Solución numérica de ecuaciones diferenciales.
- 2. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Límite de una función. Función continua. Límite de una sucesión. Continuidad de una función y convergencia de una sucesión. Continuidad de una función y convergencia de una sucesión. Derivada de una función. Diferenciabilidad y continuidad.
- 3. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Teorema del valor extremo. Integral del Rieman. Teorema del valor medio ponderado. Teorema del valor intermedio. Teorema de Taylor
- 4. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Límite de una función f en x0. f L+ε ε L es límite de f en x0 porque por muy pequeño que sea ε, siempre hay δ>0 tal que para todo x en (x0- δ, x0+δ) se tendrá que f(x0) estará en (L- ε, L+ ε). L ε L-ε δ δ x0
- 5. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Límite de una función f en x0. f L+ε L-ε L es límite de f en x0 porque por muy pequeño que sea ε, siempre hay δ tal que para todo x en (x0- δ, x0+δ) se tendrá que f(x0) estará en (L- ε, L+ ε). ε Lε δδ x0
- 6. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Límite de una función. L no es límite de f en x0 porque hay un ε para el cual no habrá δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε) para todo x de (x0- δ, x0+ δ). ε L ε δ δ x0
- 7. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Límite de una función. L no es límite de f en x0 porque hay un ε para el cual no habrá δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε) para todo x de (x0- δ, x0+ δ). ε L ε δδ x0
- 8. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Límite de una función. L no es límite de f en x0 porque hay un ε para el cual no habrá δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε) para todo x de (x0- δ, x0+ δ). ε L ε δδ x0
- 9. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Función continua en z. Sea f : X → R La función f es continua en z ∈ X si lim f ( x) = f ( z ). x→ z La función f es continua en X si es continua en todo x ∈ X . L+ε ε Lε L-ε f δδ z
- 10. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Límite de una sucesión. La sucesión infinita de números reales { an } converge a un número L, llamado el límite de la sucesión, si para todo ε>0 existe un entero N0 tal que para todo n > N0 se cumple |an-L|< ε. El límite se denota por { an } → L. Ejemplo : 1 1 1 1 1 { } = 1, , , , ...., ,.... n 2 3 4 n 1 lim{ } = 0 n →∞ n Dado ε = 10 −5 , para todo n > N 0 = 10 5 se tiene que 1 − 0 < ε = 10 −5. n
- 11. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Continuidad de una función y convergencia de sucesiones. La función f : X → R es continua en z ∈ X si y sólo si para toda sucesión infinita { xn } que converge a z se cumple que f(x1) x1 y1 x2 y2 f(y1) { f(xn ) } → f(z0). f(x2) f(x3) f(y2) f(xn) … f(y3) x3 f(yn) … xn … y3 yn … z f(z)
- 12. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Derivada de una función. f ( x + h) − f ( x ) f ( x) = lim h→ 0 h ' f(x+h) f(x) x x+h La derivada de f en x es el límite de la razón de variación de la función con respecto a la variación de la variable alrededor de x; el límite es tomado cuando la variación tiende a 0. Geométricamente, la derivada es la pendiente de la tangente a la curva en x.
- 13. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Diferenciabilidad y continuidad. Si la función f es diferenciable en x, entonces f es continua en x.
- 14. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Teorema de Rolle. Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable sobre el intervalo abierto (a,b); Si f(a)=f(b), entonces existe en (a, b) el valor c tal que f '(c)=0. f(a)=f(b) a c1 c2 b
- 15. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Teorema del valor medio. Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b); entonces existe en (a, b) el valor c tal que f ' (c) = f (b) − f (a) . b−a a c b
- 16. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Teorema del valor extremo. Si f es una función continua definida en [a, b], existen dos valores de xmin, xmax de [a,b] tales que f(xmin)≤ f(x) ≤ f(xmax) para todo x de [a,b]. Si f es además diferenciable en [a, b], xmin y xmax coinciden con a, o b, o los puntos donde f ' es 0. a xmin xmax b a xmax xmin b
- 17. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Integral de Rieman. ∫ b a b−a n f ( x) dx = lim ∑ f (xi ) n →∞ n i =1 x0 x1 x2 a x3 xi = a + i b−a n xn b
- 18. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Integral de Rieman. ∫ b a b−a n f ( x) dx = lim ∑ f (xi ) n →∞ n i =1 xi = a + i x0 x1 x2 a x3 xn b b−a n
- 19. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Teorema del valor medio ponderado. Sea f una función continua definida en [a, b]. Existe un valor x p en [a, b] tal que ∫ b a f ( x)dx = (b − a ) f ( x p ) f(xp) a xp b
- 20. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Teorema del valor intermedio. Si f es una función continua definida en [a, b] y si h es un valor tal que f(a)<h< f(b), entonces existe en (a, b) un valor x h tal que f(xh)= h. f(b) h f(a) a xh b
- 21. CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Teorema de Taylor Sea f una función continúa derivable n veces en [x, x+h] y f (n+1) existe en (x, x+h), entonces f (1) ( x )h f ( 2) ( x )h 2 f ( 3) ( x)h 3 f ( n ) ( x)h n f ( x + h) = f ( x ) + + + + ...... + + R (ε ), 1! 2! 3! n! f ( n ) (ε )h n +1 siendo R (ε ) = , para algún valor ε entre x y x + h. ( n + 1)!
- 22. CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES Error El error al usar un valor aproximado x en vez un de valor ideal ó exacto X es la diferencia entre X y x. Se dice que el error de x es ∆x=X-x. Error por defecto y error por exceso. Si x<X se dice que x es una aproximación por defecto; si x>X se dice que x es una aproximación por exceso. Error absoluto El error absoluto de la aproximación x con respecto al valor exacto X es ∆= |X-x|.
- 23. CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES Cota del error absoluto En la práctica no se conoce el valor exacto X; por lo tanto, tampoco se conoce el error absoluto del valor aproximado x. Sólo es posible estimar un límite superior para el error absoluto de x; este límite recibe el nombre de cota del error absoluto de x y es representado por ∆ x : ∆= |X-x| ≤ ∆ x . Si X>x , resulta X-x ≤ ∆ x y X ≤ x+∆x ; si X<x , resulta x-X ≤ ∆ x y x- ∆x ≤ X , de donde x- ∆x ≤ X ≤ x+∆x , que es denotado por X= x ± ∆ x .
- 24. CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES Error relativo El error relativo de un valor aproximado x con respecto a un valor exacto X es ∆ δ= |X| de donde se deduce ∆=δ|X |
- 25. CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES Cota del error relativo Una cota del error relativo de un valor aproximado x, con respecto a un valor exacto X es un valor δ x tal que ∆ ∆ ∆x δ= ≤ δ x de donde resulta que ≤ = δx |X| |X| |X| Normalmente X es desconocido, y x es muy cercano a X ; entonces se puede escribir ∆ x = |x| δ x. La última igualdad implica x(1 - δ x )≤ X ≤ x(1 + δ x ), relación que se representa por X = x(1± δ x ).
- 26. CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES Fuentes de errores Error de método Los modelos son aproximaciones, y por tanto introducen errores. Error residual Cuando el valor es calculado con una parte de un proceso infinito. Error de redondeo Cuando el valor requiere más dígitos de los que se puede usar. Error de operación Cuando los operandos de una operación son valores aproximados.