2021 20-06-11-modelo-matematica

MODELO DE PRUEBAS DE TRANSICIÓN
MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES
1. Esta prueba consta de 65 preguntas, de las cuales 60 serán consideradas para el cálculo de
puntaje y 5 serán usadas para experimentación y, por lo tanto, no se considerarán en el puntaje
final de la prueba. Hay preguntas de 4 opciones de respuesta (A, B, C y D) y de 5 opciones (A, B,
C, D y E). En ambos casos, solo una de las opciones es correcta.
2. COMPRUEBE QUE LA FORMA QUE APARECE EN SU HOJA DE RESPUESTAS SEA LA
MISMA DE SU FOLLETO. Complete todos los datos solicitados, de acuerdo con las instrucciones
contenidas en esa hoja, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier
omisión o error en ellos impedirá que se entreguen sus resultados. Se le dará tiempo para ello
antes de comenzar la prueba.
3. DISPONE DE 2 HORAS Y 20 MINUTOS PARA RESPONDERLA.
4. Lea atentamente las instrucciones para responder las preguntas de Suficiencia de Datos que
están distribuidas en esta prueba, en donde se explica la forma de abordarlas.
5. Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado.
Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que
está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo
exclusivamente con lápiz de grafito Nº 2 o portaminas HB.
6. NO SE DESCUENTA PUNTAJE POR RESPUESTAS ERRADAS.
7. Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente
sus respuestas a la hoja de respuestas. Tenga presente que se considerarán para la evaluación
exclusivamente las respuestas marcadas en dicha hoja.
8. Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella
solo los datos pedidos y las respuestas. Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela
de los residuos de goma.
9. El número de serie del folleto no tiene relación con el número del código de barra que aparece
en la hoja de respuestas. Por lo tanto, pueden ser iguales o distintos.
10. ES OBLIGATORIO DEVOLVER ÍNTEGRAMENTE ESTE FOLLETO Y LAHOJADE RESPUESTAS
ANTES DE ABANDONAR LA SALA.
11. Finalmente, anote su Número de Cédula de Identidad (o Pasaporte) en los casilleros que se
encuentran en la parte inferior de este folleto, lea y firme la declaración correspondiente.
DECLARACIÓN: declaro conocer y aceptar la normativa que rige el Proceso de Admisión a las
universidades chilenas y soy consciente de que en caso de colaborar con la reproducción, sustracción,
almacenamiento o transmisión, total o parcial de este folleto, a través de cualquier medio, me expongo a la
exclusión inmediata de este Proceso, sin perjuicio de las demás acciones o sanciones legales.
FORMA
111
NÚMERO DE CÉDULA DE IDENTIDAD
(O PASAPORTE)
. .
–
FIRMA
UNIVERSIDAD DE CHILE
PROCESO
DE
ADMISIÓN
–
2021,
MINEDUC

INTRODUCCIÓN
La Universidad de Chile entrega a la comunidad educacional un Modelo de una forma de
prueba semejante a la que se aplicará en el Proceso de Admisión 2021, que a partir de este
año es administrado por el nuevo Sistema de Acceso a la Educación Superior, a cargo de
la Subsecretaría de Educación Superior del Ministerio de Educación.
La portada de este Modelo contiene las instrucciones que aparecen en los folletos de cada
forma de Prueba de Transición para la Admisión Universitaria a rendir.
El objetivo de esta publicación es poner a disposición de los estudiantes, profesores,
orientadores y público en general, un ejemplar de prueba que contribuya al conocimiento
de este instrumento de medición educacional.
Las preguntas aquí publicadas están referidas a contenidos y habilidades correspondientes
a los elementos comunes entre el Marco Curricular Ajustado 2009 y las Bases Curriculares
implementación 2020, las cuales han sido aplicadas en diversos Procesos de Pilotaje y
Procesos de Admisión; por lo tanto, constituyen un material fidedigno e idóneo para el
conocimiento de la estructura y contenidos de la prueba.
Cabe destacar que, al momento de definir los contenidos y habilidades a evaluar, se
consideraron los siguientes aspectos: los criterios de pertinencia, relevancia y equidad,
para una prueba de altas consecuencias, como la Prueba de Transición para la Admisión
Universitaria, la implementación progresiva de las Bases Curriculares de 7° básico a IV
medio en los establecimientos educacionales, a partir del año 2015, la continuación del
Ajuste Curricular 2009, para los niveles de III y IV medio, durante el año académico 2019
y la priorización de contenidos realizada por el Ministerio de Educación acorde con la
suspensión de clases en establecimientos educacionales por causa de la pandemia de
coronavirus.
Este Modelo de prueba ha sido elaborado por el Departamento de Evaluación, Medición
y Registro Educacional (DEMRE) dependiente de la Vicerrectoría de Asuntos Académicos
de la Universidad de Chile, siendo de exclusiva propiedad intelectual de la universidad.
El material podrá ser utilizado sin fines comerciales, manteniendo la integridad de su
contenido y reconociendo su fuente y autor. Para citar este documento deberá indicarse:
DEMRE / Universidad de Chile (2020). Modelo de Prueba de Matemática.
Disponible en https://demre.cl/publicaciones/modelos-resoluciones-pruebas
Propiedad Intelectual Universidad de Chile.
Derechos reservados ©. Prohibida su reproducción total o parcial.
MODELO DE PRUEBA DE MATEMÁTICA - 2021
- 2 -

MODELO MAT 2021
- 3 -
EN ESTA PRUEBA SE CONSIDERARÁ LO SIGUIENTE:
1. las figuras que aparecen son solo indicativas.
2. los gráficos que se presentan están dibujados en un sistema de ejes
perpendiculares.
3. el intervalo  
q
,
p es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales
a p y menores o iguales a q; el intervalo  
q
,
p es el conjunto de todos los
números reales mayores que p y menores o iguales a q; el intervalo  
q
,
p es el
conjunto de todos los números reales mayores o iguales a p y menores que q;
y el intervalo  
q
,
p es el conjunto de todos los números reales mayores que p
y menores que q.
4. )
b
,
a
(
v  es un vector que tiene su punto de inicio en el origen del plano
cartesiano y su punto final en el punto (a, b), a menos que se indique lo
contrario.
5. se entenderá por dado común a aquel que posee 6 caras y en el experimento
de lanzarlo, sus caras son equiprobables de salir.
6. en el experimento de lanzar una moneda, sus dos opciones son equiprobables
de salir, a menos que se indique lo contrario.
Propiedad Intelectual Universidad de Chile.
Derechos reservados . Prohibida su reproducción total o parcial.
- 3 -

MODELO MAT 2021
- 4 -
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS
En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decida si
con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se puede
llegar a la solución del problema.
Es así que se deberá marcar la opción:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para resolver el problema,
pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para resolver el problema,
pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
resolver el problema, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para resolver el
problema,
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para resolver el problema y se requiere información adicional para llegar a la solución.
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
 es menor que  es semejante con
 es mayor que  es perpendicular a
 es menor o igual a  es distinto de
 es mayor o igual a // es paralelo a
ángulo recto  pertenece a
ángulo AB trazo AB
log logaritmo en base 10 x valor absoluto de x
 conjunto vacío x! factorial de x
 es aproximado a  intersección de conjuntos
 unión de conjuntos u vector u
Ac
complemento del conjunto A
- 4 -

MODELO MAT 2021
- 5 -
1.¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) como resultado el número 2?
I)
6
14
7
6

II)
11
5
:
5
22
III)
4
2
4
10

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) I, II y III
2. Un paquete de 24 rollos de papel higiénico de metros
50 cada uno, cuesta
440
.
7
$ . ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el valor de metro
1 de
dicho papel, en pesos?
A)
24
440
.
7
B)
50
440
.
7
C)
50
24
440
.
7

D) 50
24
440
.
7

E) 24
50
440
.
7

- 5 -

MODELO MAT 2021
- 6 -
3. Erika pide un préstamo de 000
.
180
$ en una financiera para pagarlo en
12 cuotas mensuales iguales. La financiera utilizó la siguiente expresión para
calcular el interés:
Interés anual =
100
20
000
.
180 
¿Cuánto debe pagar Erika solo por concepto de interés en cada cuota, donde el
interés a pagar es el mismo en cada cuota?
A) 000
.
3
$
B) 000
.
15
$
C) 000
.
18
$
D) 000
.
183
$
4. Si 20
P  , 4
5
Q  , 8
3
R  y 2
8
S  , ¿cuál de las siguientes relaciones es
verdadera?
A) Q
S
R
P 


B) Q
S
P
R 


C) S
Q
R
P 


D) P
R
Q
S 


E) R
S
P
Q 


- 6 -

MODELO MAT 2021
- 7 -
5. ¿Qué porcentaje es  
b
a  de b
a  ?
A) %
b
a
b
a


B)
 %
b
a
b
a
100


C) %
b
a
b
a
100



D)
 %
100
b
a
b
a 

6. 200 estudiantes responden una prueba y el %
10 de ellos responde de manera
errónea la pregunta 15.
Considerando que todos los estudiantes contestaron la pregunta 15, ¿cuántos
estudiantes contestan correctamente esta pregunta?
A) 10
B) 20
C) 160
D) 180
- 7 -

MODELO MAT 2021
- 8 -
7. 
2
log
2
1
A)
2
1

B) 2
C)
2
1
D) 4
2
E)
2
1

8. Si p
3m
 y q
8b
 , con m y b números enteros, ¿cuál de las siguientes
expresiones es igual a   1
1
b
1
m
8
3



 ?
A)
1
pq
1

B)
pq
24
1
C) pq
24
D) pq
24

E) )
2
pq
( 

- 8 -

MODELO MAT 2021
- 9 -
9. Si p y q son números reales tal que q
p  , ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es siempre verdadera?
A) q
p
q
p 2
2



B) 3 q
p  no es un número real.
C) q
p
q
p 


D) q
p 
 no es un número real.
E) 3
3 q
p 
10. Si a
log
b 2
 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si 1
a
0 
 , entonces 0
b  .
II) Si 1
b  , entonces 2
a  .
III) Si 32
a  , entonces 5
,
2
b  .
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
- 9 -

MODELO MAT 2021
- 10 -
11. Una pelota se deja caer desde una altura A. La altura que alcanza la pelota en
el primer rebote es equivalente a
3
2
de A. Después de cada rebote la pelota
alcanza una altura equivalente a
3
2
de la altura del rebote anterior. Se puede
determinar el valor de la altura que alcanza al décimo rebote la pelota, si se
conoce:
(1) la altura inicial A.
(2) la altura que alcanza en el tercer rebote.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
12. Si Ana tiene en la actualidad   años
3
a
2  , ¿qué edad tendrá en años
4 más?
A)   años
1
a
2 
B)   años
7
a
2 
C)  años
1
a
6 
D)  años
12
a
8 
- 10 -

MODELO MAT 2021
- 11 -
13. Calíope efectúa el siguiente procedimiento para reducir la expresión
)
3
x
2
(
10
)
5
x
2
(
2 2


 .
¿En cuál de los pasos efectuados por Calíope se cometió un error?
A) Paso 1
B) Paso 2
C) Paso 3
D) Paso 4
14. Sean cm
a y cm
b las medidas de los lados de un rectángulo cuya área
es 2
cm
48 . Si 2
2
2
2
2
cm
100
cm
b
cm
a 
 , ¿cuál es el valor de )
b
a
(  ?
A) 2
B) 10
C) 14
D) 52
E) 148
Paso 1
Paso 3
Paso 4
)
3
x
2
(
10
)
5
x
2
(
2 2



30
x
20
)
5
x
2
(
2 2




  30
x
20
25
x
20
x
4
2 2





30
x
20
50
x
40
x
8 2





80
x
60
x
8 2



Paso 2
- 11 -

MODELO MAT 2021
- 12 -
15. Las
4
3
partes de la longitud de una carretera están pavimentadas. Si aún faltan
por pavimentar   km
10
p  para tener la carretera completamente pavimentada,
¿cuál es la longitud total de la carretera, en función de p?
A) km
3
10
p
4 
B)   km
40
p
4 
C)   km
10
p
4 
D) km
3
40
p
4 
E) Ninguna de las anteriores
- 12 -

MODELO MAT 2021
- 13 -
16. Para las alianzas de un colegio un grupo de estudiantes confeccionará una
bandera de forma rectangular, con tres franjas rectangulares, una de color
verde, otra de color amarillo y la otra azul, tal como se muestra en la figura
adjunta.
El grupo quiere que la medida del ancho de la franja de color amarillo sea el
doble de la medida del ancho que la franja azul y que la medida del ancho de la
franja verde sea cm
15 menor que el ancho de la franja azul.
¿Cuál debe ser la medida del ancho de la franja amarilla?
A) cm
50
B) cm
40
C) cm
35
D) cm
25
- 13 -

MODELO MAT 2021
- 14 -
17. Considere la ecuación c
b
ax 
 , en x , con a , b y c números enteros
positivos y c
b  . ¿Cuál de las siguientes condiciones permite obtener como
solución de esta ecuación un número NO entero?
A) 1
a 
B) c
b
a 

C) b
2
c  y b
a 
D) )
b
c
(  es múltiplo de a .
E) b
a
c 

18. La cantidad mínima recomendada de ingesta diaria de calcio para adultos de
entre años
19 y años
50 es de mg
000
.
1 por día. Una taza )
ml
250
( de leche
entera contiene mg
280 de calcio, aproximadamente, y un vaso )
ml
200
( de
jugo de naranja contiene mg
50 de calcio, aproximadamente.
Miguel tiene años
40 y decidió que cierto día solo tomará leche entera y jugo de
naranja. Si ese día se tomará solo una taza llena de leche entera y N vasos
llenos de jugo de naranja, ¿cuál de las siguientes inecuaciones permite
determinar los valores de N para los cuales Miguel cumple la ingesta
recomendada de calcio?
A) 000
.
1
N
50
280 

B) 000
.
1
N
)
50
280
( 

C) 000
.
1
50
N
280 

D) 000
.
1
N
50
280 

- 14 -

MODELO MAT 2021
- 15 -
19. Para el cálculo de la tarifa eléctrica, en pesos, se usa la fórmula C
Px
T 
 , donde
T es el valor de la tarifa, P es el precio por kWh consumido, x es el consumo de
energía en kWh y C es un cargo fijo. Para una tarifa entre 000
.
15
$ y 000
.
70
$ ,
¿cuál de las siguientes desigualdades representa los posibles valores del
consumo?
A)    
C
000
.
70
P
x
C
000
.
15
P 



B) C
P
000
.
70
x
C
P
000
.
15




C)
P
C
000
.
70
x
P
C
000
.
15 



D) C
P
000
.
70
x
C
P
000
.
15




E)
P
C
000
.
70
x
P
C
000
.
15 



20. ¿Cuáles son los valores de p y q , respectivamente, para los cuales se cumple
que ?
A)
2
33
 y
2
15
B) 6
 y 3

C) 6
 y 15

D)
4
6
 y
4
27

E) 11
 y 2
4p + 5q = 9
p  q = 9
- 15 -

MODELO MAT 2021
- 16 -
21. La edad actual de un padre ( años
p ) menos la edad actual de su hijo ( años
h )
es igual a años
30 y en años
2 más la edad del padre será el triple de la edad
del hijo. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones representa dicha
situación?
22. ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones junto a la ecuación p
y
x
3 
 se forma
un sistema que podría NO tener solución, dependiendo del valor de p?
A) 0
x 
B) p
y
x 

C) p
y
2
x
6 

D) p
2
x
6
y
2 


E) p
y
x
3 

p = h  30
p + 2 = 3h + 2
p = h  30
p + 2 =
3
h
+ 2
p  h = 30
3
p
+ 2 = h + 2
p  h = 30
3(p + 2) = h + 2
p  h = 30
p + 2 = 3(h + 2)
A) B)
C) D)
E)
- 16 -

MODELO MAT 2021
- 17 -
23. Dos empresas de electricidad, A y B, tienen una tarifa asociada ( y ) de acuerdo a
cada kWh consumido ( x ) más un cargo fijo, tal como se muestra en el siguiente
sistema:
Si a y b corresponden al precio de cada kWh consumido, con b
a
0 
 ,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si hay un consumo de
a
b
250

kWh en ambas empresas, entonces
las dos empresas cobran lo mismo.
II) Si 250
a
b 
 , entonces la tarifa en ambas empresas es la misma.
III) Si se elimina el cargo fijo de la tarifa de la empresa B, entonces
siempre convendría a los consumidores la tarifa de la empresa B,
en comparación a la tarifa de la empresa A.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
y = ax + 750
y = bx + 500
Empresa A:
Empresa B:
- 17 -

MODELO MAT 2021
- 18 -
24. Se tiene una piscina con forma rectangular de m
4 de ancho y m
10 de largo.
Se desea colocar un borde de pasto de ancho m
x como se representa en la
figura adjunta.
Si el área de la superficie total que ocupa la piscina y el borde de pasto, es de
2
m
112 , ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar el valor de x ?
A) 112
40
x2


B) 72
x
14
x2


C) 18
x
7
x
2 2


D) 18
x
7
x2


E) 112
40
x
4 2


25. ¿Cuál es el conjunto de todos los números reales c para los cuales la ecuación
0
c
x
5
x2


 , NO tiene solución en el conjunto de los números reales?
A) 






,
4
25
B) 






 ,
4
25
C) 







4
25
,
D) 








4
25
,
E) 
x m
x m
- 18 -

MODELO MAT 2021
- 19 -
26. Considere la ecuación cuadrática c
bx
ax2


 , con a , b y c números reales.
¿Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para concluir que las
soluciones de dicha ecuación tienen parte real igual a cero y parte imaginaria
distinta de cero?
A) 0
ac
4
b2


B) 0
c 
C) 0
b  y 0
c 
D) 0
b  y 0
ac 
E) 0
b  y 0
ac 
- 19 -

MODELO MAT 2021
- 20 -
27. La tarifa de cierta compañía de telefonía consta de un cargo fijo mensual de
000
.
9
$ más un cargo de 50
$ por minuto que se habla. Si durante los primeros
minutos
240 esta tarifa se modela mediante una función de la forma
n
mx
)
x
(
f 
 , ¿cuál de las siguientes gráficas representa mejor a la gráfica
de f ?
D)
E)
x
f(x)
50
240
C)
x
f(x)
9.000
240
x
f(x)
9.000
240
B)
x
f(x)
240
9.000
A)
x
f(x)
9.000
240
- 20 -

MODELO MAT 2021
- 21 -
28. Una empresa de arriendo de autos cobra 000
.
70
$ cuando su vehículo A recorre
km
50 y 000
.
120
$ cuando su vehículo A recorre km
100 . El cobro que realiza la
empresa para el vehiculo A, en términos de los kilómetros recorridos, se modela a
través de una función de la forma n
mx
)
x
(
f 
 .
¿Cuál será el cobro del vehículo A cuando recorra km
200 ?
A) 000
.
200
$
B) 000
.
220
$
C) 000
.
240
$
D) 000
.
280
$
29. Sea f una función afín, tal que f : IR  IR y 1
f 
es su función inversa.
Si 4
)
2
(
f  y 5
)
3
(
f 1


, ¿cuál es el valor de  
)
4
(
f
f
)
5
(
f
)
4
(
f 1
1 


 ?
A) 6
B) 7
C) 9
D) 10
E) 13
- 21 -

MODELO MAT 2021
- 22 -
y
12
2 6
x
30. La figura adjunta representa la parábola asociada a la función cuadrática f ,
cuyo dominio es el conjunto de los números reales.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El eje de simetría de la parábola es la recta de ecuación 2
x  .
II) Si 6
x
2 

 , entonces 0
)
x
(
f  .
III) )
3
(
f
)
7
(
f 

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
- 22 -

MODELO MAT 2021
- 23 -
31. En el paralelepípedo recto de la figura adjunta, el largo de la base es cm
0
1 mayor
que el ancho de la misma y su altura es de cm
60 .
Si x representa el largo de la base, en cm, ¿cuál de las siguientes funciones, con
dominio el conjunto de los números reales mayores que 0
1 , modela el volumen del
paralelepípedo en término de su largo, en 3
cm ?
A) 600
x
60
)
x
(
f 2


B) 600
x
60
)
x
(
g 2


C) x
600
x
60
)
x
(
h 2


D) x
10
x
60
)
x
(
j 2


E) 2
x
600
)
x
(
t 
32. Considere la función f con dominio el conjunto de los números reales definida
por 2
x
5
x
15
20
)
x
(
f 


 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s), con respecto a f ?
I) Su gráfico intersecta al x
eje en los puntos )
0
,
4
( y )
0
,
1
( .
II) Su gráfico tiene como eje de simetría a la recta
2
3
x 
 .
III) Su valor máximo es
4
25
 .
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
60 cm
- 23 -

MODELO MAT 2021
- 24 -
33. Una florista necesita armar un arco de flores que estará ubicado verticalmente al
suelo, para un matrimonio, el cual según las especificaciones de los novios, debe
tener la forma de una parábola, como se representa en la figura adjunta.
La función que modela la forma interior del arco de flores está dada por
2
x
)
x
(
f 
 .
¿Cuál es la distancia que debe haber entre las bases del arco para que la altura
máxima del arco de flores sea de m
2 ?
A) m
2
B) m
2
2
C) m
2
D) m
4
2 m
Distancia entre las bases
- 24 -

MODELO MAT 2021
- 25 -
34. Considere la función 3
x
)
x
(
f  con dominio el conjunto de los números reales.
¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s), para todo número
real?
I) )
x
(
f
)
x
(
f 

II) )
x
(
f
)
x
(
f 


III) )
x
(
f
)
1
x
(
f 

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
35. Considere la función n
mx
)
x
(
f 
 con dominio el conjunto de los números
reales. Se puede determinar el valor de n , si se conoce:
(1) el punto de intersección de la gráfica de f con el y
eje .
(2) el valor de la pendiente de la gráfica de f y las coordenadas
de un punto en la gráfica de f .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
- 25 -

MODELO MAT 2021
- 26 -
36. Considere los vectores )
1
,
2
(
u 
 , )
5
,
8
(
v 
 y )
3
,
5
(
w 

 . ¿Cuál de los
siguientes vectores corresponde al vector  
w
3
v
u
2 
 ?
A) )
6
,
3
( 

B) )
1
,
3
(
C) )
16
,
3
( 

D) )
6
,
19
( 

E) )
16
,
19
( 

- 26 -

MODELO MAT 2021
- 27 -
37. La circunferencia de centro O de la figura adjunta tiene radio 1, B y C
pertenecen a ella y en el CBO
 la altura OA mide
2
3
.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a
rotaciones de la circunferencia en torno al origen O del sistema de ejes
coordenados, en el sentido de la flecha?
I) Si se gira en 
30 , entonces el punto B queda en )
0
,
1
( .
II) Si se gira en 
60 , entonces el punto B queda en 








2
1
,
2
3
.
III) Si se gira en 
60 , entonces el punto C queda en )
1
,
0
(  .
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
x
y
O
C
B
A
1
- 27 -

MODELO MAT 2021
- 28 -
38. Emilia y Martín crean un juego de movimientos dibujando un plano cartesiano en el
suelo, de manera que pueden indicar su ubicación utilizando pares ordenados. Las
indicaciones del juego son: primero, rotar 
90 en sentido antihorario respecto al
origen, luego, realizar una simetría respecto al x
eje y por último, otra simetría
respecto al y
eje .
Al comenzar el juego, Emilia se encuentra en el punto  
b
,
a y Martín en el punto
 
d
,
c , con a , b,c y d números reales mayores que cero y distintos entre sí.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto a las ubicaciones de
Emilia y Martín durante el juego?
A) Al realizar la rotación, Emilia y Martín se ubican en el cuarto cuadrante.
B) Emilia y Martín finalizan el juego en los puntos  
b
,
a  y  
d
,
c  .
C) La distancia entre Emilia y Martín al finalizar el juego es la misma que
cuando comenzaron.
D) Emilia y Martín finalizan el juego ubicados en el tercer cuadrante.
- 28 -

MODELO MAT 2021
- 29 -
39. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se verifica(n) siempre la semejanza
planteada?
A) Solo en I
B) Solo en II
C) Solo en III
D) Solo en I y en II
E) Solo en I y en III
C
A
D
E
B
I)
A
B
C
D
E
A B
C
D
Si AC = 6 cm, DC = 5 cm, BC = 10 cm y
EC = 3 cm, entonces  ABC   EDC.
Si los rayos AD y BD son bisectrices del
 ABC, entonces  ADC   BDC.
Si AB = 21 cm, BC = 15 cm, BD = 7 cm y
BE = 5 cm, entonces  ABC   DBE.
II)
III)
- 29 -

MODELO MAT 2021
- 30 -
40. En la figura adjunta los triángulos ABC y GFE son semejantes entre sí.
¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I)
5
1
GFE
perímetro
ABC
perímetro



II)
25
1
GFE
área
ABC
área



III) BAC : 5
:
1
FGE 
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
E
F
G
15 cm
30 cm
25 cm
C
A
B
3 cm
6 cm
5 cm
- 30 -

MODELO MAT 2021
- 31 -
(x + 5) cm
L3
L2
L1
(x + 2) cm
(x  3) cm
L4 L5
(2x + 4) cm
41. En la figura adjunta las rectas 4
L y 5
L intersectan a las rectas 1
L , 2
L y 3
L .
¿Qué valor debe tomar x para que 3
2
1 L
//
L
//
L ?
A) 31
B) 2
C) 13
D) 22
E) 11
42. Ingrid le hizo a su hijo una copia a escala de la camiseta de fútbol de su marido.
El número en la camiseta del marido está dentro de un círculo de área 2
cm
64 ,
si la parte más ancha de la camiseta del marido mide cm
60 y la de su hijo mide
cm
15 , ¿cuál es el área del círculo que encierra el número en la camiseta del
hijo?
A) 2
cm
4
B) 2
cm
8
C) 2
cm
14
D) 2
cm
16
E) 2
cm
19
- 31 -

MODELO MAT 2021
- 32 -
43. Constanza fabrica velas de parafina con forma de cono, cada una de dos
colores: azul y rojo, como se representa en la figura adjunta.
Constanza quiere fabricar una vela de cm
12 de altura y de cm
3 de radio basal,
de tal manera que la parte de color rojo tenga una altura de cm
10 .
Recuerde que el volumen de un cono está dado por: h
r
π
3
1
V 2


 , donde h es
su altura y r es el radio de su base.
¿Qué cantidad aproximada de parafina de color azul necesita para fabricar la
vela?
Para los cálculos considere  aproximado a 3.
A) 3
cm
182,0
B) 3
cm
4
,
104
C) 3
cm
0
,
98
D) 3
cm
5
,
45
- 32 -

MODELO MAT 2021
- 33 -
x
4
4
3 1
B
3
C
A
1
y
44. Considere un cuadrado en el plano cartesiano cuyo perímetro es .
unidades
20
Si a este cuadrado se le aplica una homotecia de razón 2, ¿cuál es el área, en
cuadradas,
unidades del nuevo cuadrado?
A) 10
B) 25
C) 40
D) 50
E) 100
45. Al triángulo ABC de la figura adjunta se le aplica una homotecia con centro en
el punto )
1
,
1
(
M  y razón de homotecia 3
 , obteniéndose el triángulo PQR .
Si la imagen del punto A es P y la imagen del punto B es Q , ¿cuáles son las
coordenadas del punto R ?
A)  
3
,
9 
B)  
2
,
6 

C)  
1
,
5
D)  
1
,
3
E)  
1
,
9
- 33 -

MODELO MAT 2021
- 34 -
46. Si los puntos )
0
,
0
(
A , )
0
,
2
(
B , )
x
,
x
(
C y )
2
,
0
(
D , con 0
x  , son los vértices de
un cuadrilátero ABCD en el plano cartesiano, ¿cuál de las siguientes
expresiones representa siempre el perímetro de dicho cuadrilátero, en
unidades?
A) x
2
4
B)
2
2
x
)
2
x
(
2
4 


C)  
2
2
x
)
2
x
(
2
4 


D)
2
2
x
)
2
x
(
4 


E)
2
2
x
)
2
x
(
2
4 


47. ¿En cuál de las siguientes opciones se encuentra la ecuación de la recta que pasa
por los puntos )
0
,
5
( y )
1
,
3
(  ?
A)
8
5
8
x
y 


B)
8
5
8
x
y 

C)
2
5
2
x
y 

D)
2
5
2
x
y 


E)
8
5
8
x
y 


- 34 -

MODELO MAT 2021
- 35 -
48. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre la pendiente de la
recta que tiene como ecuación c
by
x 
 , con 0
b  ?
A) 1
B) 
b
1
C)
b
1
D) 1

E) b
49. Las rectas 1
L y 2
L tienen ecuaciones 0
c
by
ax
:
L1 

 y 0
f
ey
dx
:
L2 

 ,
con b y e distintos de cero. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades permite(n)
deducir que las rectas 1
L y 2
L son paralelas?
I)
e
f
b
a

II) 0
d
a 

III) 0
f
c 

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
- 35 -

MODELO MAT 2021
- 36 -
50. Considere un trapecio isósceles donde sus bases son paralelas al x
eje . ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a dicho trapecio?
I) Existen rectas que contiene a dos lados del trapecio cuyas
pendientes son iguales.
II) La suma de las pendientes de las rectas que contienen los lados no
paralelos del trapecio es cero.
III) El producto de las pendiente de las rectas que contienen a las
diagonales del trapecio es 1
 .
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
51. En el plano cartesiano un triángulo ABC isósceles tiene su base AB paralela al
eje de las abscisas, las coordenadas de A son )
1
,
1
( y la abscisa de B es 5 .
Se pueden determinar exactamente las longitudes de los otros dos lados, si se
sabe que:
(1) el perímetro del triángulo es .
unidades
15
(2) el punto C está en el primer cuadrante.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
- 36 -

MODELO MAT 2021
- 37 -
52. El gráfico circular de la figura adjunta muestra los resultados de una encuesta
aplicada a 300 estudiantes sobre su nivel de acuerdo sobre la implementación de
salas de computación en su colegio.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) La frecuencia relativa de los que contestan “Muy de acuerdo” es
10
3
.
B) La frecuencia de los que contestaron “Ni de acuerdo ni en desacuerdo” supera
en 8 estudiantes a los que contestaron “Algo de acuerdo”.
C) El nivel de acuerdo de la encuesta es bimodal.
D) 2 estudiantes no contestan la encuesta.
2%
30%
Muy de acuerdo
Algo de acuerdo
29%
Ni de acuerdo
ni en desacuerdo
37%
Algo en
desacuerdo
2%
No contesta
- 37 -

MODELO MAT 2021
- 38 -
53. En la tabla adjunta se muestra la distribución de las edades, en años, de un grupo
de personas.
Según los datos de la tabla, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) La marca de clase del intervalo de mayor frecuencia es años
27 .
B) Un %
44 de las personas tiene menos de años
24 .
C) El grupo en total tiene 50 personas.
D) Exactamente, un %
38 de las personas tiene menos de años
30 .
E) 28 personas tienen a lo menos años
24 .
Intervalo Frecuencia Frecuencia relativa porcentual
 
18
,
12 8 16
 
24
,
18 14
 
30
,
24
 
36
,
30 18
 
42
,
36 3
- 38 -

MODELO MAT 2021
- 39 -
10 20 30 40
Frecuencia acumulada
Altura en metros
10
20
25
28
0
54. En el gráfico de la figura adjunta se muestra la frecuencia acumulada de las alturas,
en metros, de los edificios construidos el último año en una determinada comuna,
donde los intervalos son de la forma  
b
,
a y el último de la forma  
d
,
c . A partir de
la información presentada en el gráfico se construye la siguiente tabla de
frecuencias.
¿Cuáles son los valores de R , S, T y Q ?
A) 5
R  , 15
S  , 25
T  y 35
Q 
B) 10
R  , 30
S  , 60
T  y 100
Q 
C) 10
R  , 20
S  , 30
T  y 40
Q 
D) 10
R  , 30
S  , 55
T  y 83
Q 
E) 10
R  , 10
S  , 5
T  y 3
Q 
Altura en metros Frecuencia
 
10
,
0 R
 
20
,
10 S
 
30
,
20 T
 
40
,
30 Q
- 39 -

MODELO MAT 2021
- 40 -
55. El contador de la empresa de bolsas plásticas “Plástibol”, va a calcular el
promedio de gastos por viaje para abastecer las sucursales de distintas
localidades que se realizó en un día determinado. Para lo anterior considera
solo los datos de la siguiente tabla:
El contador sabe que para calcular ese promedio de gastos por viaje para estas
localidades debe sumar el total de la bencina, el total del peaje y el total del
mantenimiento y luego realizar una división.
Si se consideran los datos de la tabla, ¿por cuánto debe dividir la suma
obtenida?
A) Por 3
B) Por 4
C) Por 5
D) Por 15
Gastos por un viaje
Localidades Bencina ($) Peajes ($) Mantenimiento del vehículo ($)
San Antonio 8.550 4.500 1.710
Valparaíso 9.020 3.600 1.804
Rancagua 5.380 2.300 1.076
Litueche 9.800 1.900 1.960
Total 32.750 12.300 6.550
- 40 -

MODELO MAT 2021
- 41 -
56. En la tabla adjunta se muestran las notas por asignatura obtenidas por Rodrigo
y Mariel.
Si P y Q representan los promedios de las notas de Rodrigo y Mariel,
respectivamente, R y S son las medianas de sus respectivas notas, ¿cuál de
las siguientes relaciones es verdadera?
A) Q
P  y S
R 
B) Q
P  y S
R 
C) Q
P  y S
R 
D) Q
P  y S
R 
E) Q
P  y S
R 
Asignatura Rodrigo Mariel
Lenguaje 5,2 5,8
Matemática 4,8 5,2
Inglés 5,0 4,0
Ciencias Sociales 6,0 4,5
Ciencias Naturales 4,0 5,5
- 41 -

MODELO MAT 2021
- 42 -
57. En un liceo se realiza un registro de las masas de los estudiantes de cuarto
medio. Si los cuartiles de la distribución de los datos son kg
75 , kg
80 y kg
90 ,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones se puede(n) deducir de esta
información?
I) La mayor cantidad de estudiantes de cuarto medio se concentra entre
el cuartil 2 y el cuartil 3.
II) Por lo menos un %
50 de los estudiantes de cuarto medio tiene una
masa de a lo menos kg
75 y a lo más kg
90 .
III) La media aritmética de las masas de los estudiantes de cuarto medio
es de kg
6
,
81 , aproximadamente.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
- 42 -

MODELO MAT 2021
- 43 -
Sueldos de los trabajadores (en $)
300.000 500.000 650.000 750.000 800.000
58. La distribución de los sueldos, en pesos, de los trabajadores de una empresa se
muestra en el diagrama de caja de la figura adjunta.
Según este diagrama, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) El rango intercuartil de los sueldos de los trabajadores es 000
.
250
$ .
B) El promedio de los sueldos de los trabajadores es 000
.
650
$ .
C) La cantidad de trabajadores que ganan entre 000
.
300
$ y 000
.
500
$ es
mayor que la cantidad de trabajadores que gana entre 000
.
650
$
y 000
.
750
$ .
D) Exactamente un %
50 de los trabajadores gana 000
.
650
$ .
E) Un %
5
,
62 de los sueldos de los trabajadores es igual o menor a 000
.
700
$ .
- 43 -

MODELO MAT 2021
- 44 -
59. Se lanzan dos dados comunes consecutivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de que la diferencia entre el resultado del primer y
el segundo dado sea positiva es la misma de que sea negativa.
II) La probabilidad de que la división entre los resultados del primer y
el segundo dado sea un número entero es mayor que
36
6
.
III) La probabilidad de que la suma de los resultados de ambos dados
sea mayor que 1 es 1.
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
- 44 -

MODELO MAT 2021
- 45 -
60. Andrés es el director técnico del equipo de fútbol Los Astros, el cual realiza un
estudio estadístico para su próximo encuentro con su rival, el equipo de Los
Cometas.
El estudio de Andrés se centró en la probabilidad que tiene cada uno de los
equipos en anotar una cierta cantidad de goles.
Los resultados se los presenta a sus jugadores en uno de los entrenamientos en
una pizarra como la de la figura adjunta.
Según estos datos y considerando que convertir goles por parte de ambos
equipos es independiente, ¿cuál de las siguientes expresiones es igual a la
probabilidad de que el partido entre estos dos equipos termine en empate?
A) 43
,
0
19
,
0 
B) )
13
,
0
14
,
0
(
)
14
,
0
30
,
0
(
)
30
,
0
37
,
0
(
)
43
,
0
19
,
0
( 






C) )
13
,
0
14
,
0
(
)
30
,
0
37
,
0
(
)
43
,
0
19
,
0
( 




D) )
13
,
0
14
,
0
(
)
14
,
0
30
,
0
(
)
30
,
0
37
,
0
( 




E) )
13
,
0
14
,
0
(
)
14
,
0
30
,
0
(
)
30
,
0
37
,
0
(
)
43
,
0
19
,
0
( 






- 45 -

MODELO MAT 2021
- 46 -
61. En cierto experimento, la probabilidad de que ocurra un suceso A es p,
mientras que la probabilidad de que ocurra un suceso B es q . Si los sucesos A
y B son independientes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa
siempre la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos?
A) )
q
1
(
p 
B) pq
C) )
p
1
(
q
)
q
1
(
p 


D) )
q
1
)(
p
1
( 

E) pq
q
p 

62. Dos cursos de un colegio realizan una fiesta para reunir fondos para un viaje de
estudios. Se reparten dos tipos de entradas, las del tipo P y las del tipo Q. En la
tabla adjunta se muestra la distribución de la venta de entradas para el
segundo A y el segundo B.
Si se selecciona a una persona al azar de estos dos cursos y se sabe que tiene
una entrada del tipo Q, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante del
segundo B?
A)
8
3
B)
11
6
C)
4
3
D)
11
8
E)
30
1
Cursos
Tipo de entradas Segundo A Segundo B
P 15 10
Q 25 30
- 46 -

MODELO MAT 2021
- 47 -
63. Para un viaje Andrés arrendará un automóvil en una empresa que le da a elegir
entre las marcas P, Q y R. Cada una de estas marcas dispone de dos modelos
en los colores blanco, rojo, azul, verde y gris, cada uno de ellos. ¿Cuál es la
cantidad máxima de automóviles, de distinto tipo de marca, modelo y color,
entre los que Andrés puede elegir?
A) 6
B) 10
C) 15
D) 30
E) 90
64. ¿Cuántos partidos individuales de tenis se tienen que organizar
con n jugadores, donde 2
n  , si todos juegan contra todos solo una vez?
A)
2
n
B)  
1
n
2
n


C) 1
n 
D)
2
n
n 
E)
2
1
n 
- 47 -

MODELO MAT 2021
- 48 -
65. En una caja hay solo bolitas verdes y rojas, todas del mismo tipo. Se puede
determinar la cantidad de bolitas verdes que hay en la caja, si se sabe que:
(1) en la caja hay en total 40 bolitas.
(2) al elegir una bolita al azar de la caja, la probabilidad de que
esta sea roja es
5
2
.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
- 48 -

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