Estadística Distribución de frecuencias y gráficas Estadística 007

Distribución de frecuencias y gráficas en estadística
HEMOS COMENTADO que los datos analizados en estadística descriptiva pueden
presentarse comúnmente mediante tres formas básicas: textual, cuadros estadísticos y
gráficas. En los capítulos anteriores se han dado elementos que permiten construir
cuadros estadísticos y obtener de ellos ciertas medidas de comparación (porcentajes,
razones, incrementos, etcétera); sin embargo, es necesario formalizar la construcción
de los cuadros estadísticos y las medidas de condensación que de ellos se pueden
obtener por medio de lo que llamaremos una distribución de frecuencias.
Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias no es más que la
presentación tabular de las frecuencias con que ocurre cada característica (subclase
o categoría) en las que ha sido dividida una variable. Esta característica puede estar
determinada por una cualidad o un intervalo, por lo tanto, la construcción de un
cuadro de frecuencia o tabla de frecuencias puede desarrollarse tanto para una variable
cuantitativa como para una variable cualitativa.
Distribución de frecuencias para variables cuantitativas
Recordemos que las variables cuantitativas o métricas pueden ser de dos tipos:
continuas o discretas. En el primer caso la construcción de una tabla de distribución
de frecuencias requiere de la aplicación de un proceso simple y de la definición de
algunos conceptos. En el segundo este proceso es aún más sencillo.
Distribución de frecuencias para variables cuantitativas continuas
Cuando la variable es continua, la construcción de una tabla de frecuencias presenta
como su punto de mayor importancia la determinación del número de intervalos o
57

ELEMENTOS BÁSICC S DE ESTADÍSTICA PARA CIENCIAS SOCIALES
clases que la formarán. Una clase o intervalo de clase es el elemento en la tabla que
permite condensar en mayor grado un conjunto de datos con el propósito de hacer
un resumen de ellos. El número de casos o mediciones que quedan dentro de un
intervalo recibe el nombre c e frecuencia del intervalo, y generalmente se denota
como f. La diferencia entre el extremo mayor y el extremo menor del intervalo se
llama longitud o ancho del intervalo. Para construir una tabla de distribución de
frecuencias de una variable c Dntinua es conveniente utilizar los pasos siguientes:
• Se determina, primerameni e, el número de intervalos o clases en la tabla, en función
al número de datos a condensar, para ello podemos utilizar dos criterios de selección:
El primero consiste en que el investigador selecciona el número de intervalos o
clases con base en el número de datos a clasificar utilizando la tabla siguiente:
NÚMERO DE DATOS A CLASIFICAR NÚMERO DE INTERVALOS
De10a100 De4a8
De 100 a 1 0 )0 De 8 a 11
De 1 000 a 1) 000 De 11 a 20
El segundo consiste en cal rular la fórmula de Sturges, que determina un número
aproximado de intervalos "k". Aunque ésta no siempre resulta muy adecuada,
es una relación muy utili2 ada.
k = 1 + 3.322 log (n)
donde:
n es el número de datos a condensar en la tabla.
• Una vez seleccionado el número de intervalos "k", se procede a determinar su
longitud, ancho o tamañD del intervalo (ti). Observe que esta longitud es la
misma para todos los intervalos en la tabla de frecuencias. Esto último es con la
finalidad de facilitar los cílculos mediante métodos simplificados.
ti = (dato mayor - dato menor) / k
Si el valor de ti no es entero, el investigador puede usar la fracción o bien
seleccionar el número par más cercano a este cociente.
58

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y GRÁFICAS EN ESTADÍSTICA
Los intervalos no deben ser muy grandes al grado que enmascaren la distribución,
ni tan pequeños que casi no contribuyan a facilitar los cálculos.
La diferencia entre el dato mayor y el menor del conjunto que se analiza recibe
el nombre de amplitud.
Cuando el investigador desee utilizar intervalos con anchos desiguales deberá
considerar que los cálculos serán más laboriosos por no ser aplicables los métodos
simplificados que son los utilizados en este libro.
• Una vez determinado el número de intervalos y su tamaño, el paso siguiente
consiste en indicar el límite inferior de la primera clase, el cual puede ser un
valor igual o ligeramente menor al dato de valor mínimo del conjunto de datos.
Una vez hecho esto, le sumamos el valor del ancho del intervalo para fijar el
límite superior de esta clase considerando en ello los valores de los límites.
Indicamos el límite inferior de la segunda clase agregando una unidad al límite
superior de la primera clase. El límite superior de esta segunda clase será la
suma del ancho del intervalo al límite superior de la clase anterior.
A partir de esta dinámica se construyen todos los intervalos de clase; debemos
tomar en consideración que, con esta técnica de construcción, siempre, el primer
intervalo contiene al menor de los datos y el último al mayor.
Los intervalos hasta aquí construidos reciben el nombre de intervalos de clase o
intervalos ficticios.
• Posteriormente se construyen los intervalos reales de clase. Para ello, se resta
media unidad a los límites inferiores de los intervalos ficticios (falsos) y se agrega
media unidad a los límites superiores de los mismos.
• Con el establecimiento de los límites reales de clase en la tabla, se efectúa la
clasificación de los datos en cada intervalo para determinar así la frecuencia de
cada clase (f ).
• Finalmente se construye la tabla de frecuencias definitiva, la cual contiene, en la
primera columna, la clase; en la segunda, los intervalos reales de clase y, en la tercera,
las frecuencias de clase, también llamadas frecuencias absolutas.
Para ejemplificar el proceso de construcción de una tabla de distribución de
frecuencias de una variable continua utilizaremos los datos de las calificaciones
obtenidas por 25 estudiantes en un curso de estadística.
calificaciones:
9, 7.5, 8, 7, 8, 7, 6. 3, 9, 6, 5, 8, 8, 6.5, 6,
8, 8, 7, 7.4, 7.6, 5.5, 9, 7.2, 9, 7.4, 8.4
59

ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA PARA CIENCIAS SOCIALES
1. Determinamos el número de intervalos de clase. En este caso usaremos la fórmula
de Sturges: k=1+3.322 lo 3;(n), n= número de datos.
k =1 + 3.322 log (25)
k = 1+ 3.322 (1.39794)
k = 1 + 4.6439 =5.64, es decir,
:omamos k= 6 intervalos
2. Determinamos el ancho de los intervalos.
Dato mayor = 9 Dato menor = 5 k = 6
ti = (9 - 5)/( = 0.66, es decir, tomamos ti = 0.7
3. Creamos el primer intervJo y los intervalos de clase sucesivos (intervalos falsos
o ficticios).
5 a 5.6 (5, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 , 5.5, 5.6) Lim. Inf. = 5, Lim. Sup. = 5.6
5.7a6.3 Lim. Inf=5.6+0. 1 = 5.7, Lim. Sup=5.6 + 0.7=6.3
6.4a7.0 Lim.II i_f=6.3+0.1 = 6.4, Lim . Sup=6.3+0.7=7.0
7.1a7.7
7.8a8.4
8.5a9.1
4. Creamos los intervalos redes de clase, en este caso, restando y agregando 0.05
unidades, respectivamentf a cada límite de los intervalos ficticios.
4.95-5.65
5.65-6.35
6.35-7.05
7.05-7.75
7.75-8.45
8.45-9.15
5. Clasificamos los datos en os intervalos reales y creamos la tabla de distribución
de frecuencias.
60

CLASE INTERVALO REAL DE CLASE FRECUENCIA (F,)
1 4.95 - 5.65 2
2 5.65-6.35 3
3 6.35-7.05 4
4 7.05-7.75 5
5 7.75-8.45 7
6 8.45-9.15 4
La elaboración de una tabla de distribución de frecuencias generalmente se
complementa con el cálculo de los siguientes elementos:
Marca de clase (mi): constituida por el punto medio del intervalo de clase. Para
calcularla es necesario sumar los dos límites del intervalo real, y dividir esta suma
entre dos.
Frecuencia acumulada de la clase i (Fi): se llama frecuencia acumulada de la clase i al
número resultante de sumar la frecuencia de la clase i con la frecuencia de las clases
que la anteceden. Se denota generalmente como Fi. La última clase o intervalo en la
tabla de frecuencias contiene como frecuencia acumulada el total de los datos.
Este cálculo tiene como objetivo informar del número de datos que se hallan
distribuidos en los intervalos que anteceden al intervalo i, incluido éste.
Frecuencia relativa de la clase i (fi/n): es el cociente entre la frecuencia absoluta de la
clase i (fi) y el número total de datos (n). Se expresa matemáticamente como
f /n = frecuencia en la clase i / total de datos
Esta frecuencia muestra la proporción del número de casos que se han presentado
en el intervalo i respecto del total de casos en la investigación. Si a este cociente se le
multiplica por 100 entonces obtenemos una frecuencia relativa para cada clase
expresada como porcentaje; esta última frecuencia, en %, permite hacer un análisis
del comportamiento de los datos.
Frecuencia acumulada relativa de la clase i (Fi/n): es el cociente entre la frecuencia acumu-
lada de la clase i (Fi) y el número total de datos(n). Se expresa matemáticamente como
Fi/n = frecuencia acumulada en la clase i / total de datos
61

ELEMENTOS BÁSICC S DE ESTADÍSTICA PARA CIENCIAS SOCIALES
Esta frecuencia muestra la proporción del número de casos que se han acumulado
hasta el intervalo i respecto del total de casos en la investigación. Si a este cociente
se le multiplica por 100, entonces obtenemos un porcentaje denominado frecuencia
acumulada relativa porcentual (acumulado porcentual). La acumulación de esta
proporción en el último intervalo mostrará un porcentaje de 100%, es decir, la
acumulación de todos los datos.
Con base en la definición le estos elementos la tabla de distribución de frecuencia
de nuestro ejemplo quedaría reestructurada de la forma siguiente:
CUADRO 10
Clase Intervalo de clase f, mi F; f,/n Fi/n fi Yo Fi %
1 4.95 - 5.65 2 5.3 2 2/25 2/25 8 8
2 5.65-6.35 3 6.0 5 3/25 5/25 12 20
3 6.35-7.05 4 6.7 9 4/25 9/25 16 36
4 7.05-7.75 5 7.4 14 5/25 14/25 20 56
5 7.75-8.45 7 8.1 21 7/25 21/25 28 84
6 8.45-9.15 4 8.8 25 4/25 25/25 16 100
Si utilizamos porcentajes, podemos observar que sólo 8% de los estudiantes
reprobó el examen de estadísi ica, y que 12% obtuvo una calificación prácticamente
en el límite si se considera una escala aprobatoria de 6 a 10. Sin embargo, 80% de
los estudiantes aprobaron el --xamen citado.
De los estudiantes aprobados, 16% obtuvo una calificación suficiente (6.35 a
7.05); 20% una calificación t egular, entre 7.05 y 7.75; 28% una buena calificación
(7.75 a 8.45) y sólo 16% une calificación superior a 8.45. 64% de los alumnos del
grupo obtuvieron una calificación superior a 7.
Distribución de frecuencias para variables cuantitativas discretas
En el caso de variables discretas, la construcción de una tabla de distribución de
frecuencias sigue los lineamientos establecidos para una variable continua con
la salvedad de que en este tip D de tablas no existen intervalos ni marcas de clase, lo
cual simplifica su construcción. La tabla de frecuencias para variables discretas clasificará
en la primera columna las sub clases de la variable, en la siguiente indicará los casos o
frecuencias en ellas, en la tercer i calculará la frecuencia relativa, en la cuarta la frecuencia
62
1

acumulada y en la quinta la frecuencia acumulada relativa, como se muestra en el
Cuadro 11 del ejemplo siguiente.
Suponga que se cuenta con los datos del número de hijos por familia (350
familias) en el municipio de Chalco.
Datos (hijos por familia): 1, 4, 4, 3, 2, 1, 4, 3, 3, 2...
CUADRO 11
Número de hijos por familia en Chalco, Estado de México, 1995
Número de hijos frecuencia (fi) fi / n Fi Fi / n
1 20 20/350 20 20/350
2 120 120/350 140 140/350
3 200 200/350 340 340/350
4 10 10/350 350 350/350
FUENTE: datos hipotéticos.
Es importante recordar que las frecuencias relativas se pueden expresar como
proporciones (como en el ejemplo) o como porcentajes.
Para la variable del Cuadro 11 puede indicarse que, en una muestra de 350
familias, sólo 5.7% de ellas tiene un hijo; 34% dos hijos; 57% tres y, sólo 3%
cuatro hijos. Esto permite indicar que 97% de las familias muestreadas tienen tres
hijos o menos.
Como puede observarse de los ejemplos de la variable continua y de la variable
discreta, el uso de las tablas de distribución de frecuencias no sólo permite hacer
una condensación de los datos sino también desarrollar con ello una primera
interpretación o análisis de los mismos.
Distribución de frecuencias para variables cualitativas
La construcción de tablas de frecuencia para variables cualitativas o no métricas
requiere sólo del conteo del número de elementos o individuos que caen dentro de
cierta cualidad o bien dentro de determinada característica. En estos casos la tabla
se construye de la manera siguiente:
63

ELEMENTOS BÁSIC JS DE ESTADÍSTICA PARA CIENCIAS SOCIALES
• En la primera columna se registran las cualidades o características.
• En la segunda columna se anotan las frecuencias absolutas.
• En la tercera columna se registran las frecuencias relativas.
NOTA: Para datos cua itativos no existen intervalos de clase ni frecuencias
acumuladas ya que ello carecería de sentido.
Como ejemplo de distrib ación de frecuencias para datos cualitativos mostraremos
la estructura por licenciatura del grupo SB09-05/0 de la UAM-Xochimilco (Cuadro 12).
CUADRO 12
Alumnos por lice)aciatura del grupo SB09-05/O, UAM-Xochimilco
LICENCIATURA ALUMNOS (f) fi / n (%)
Administración 4 4/22 (18)
Economía 2 2/22 (9)
Psicología 2 2/22 (9)
Sociología 4 4/22 (18)
Comunicación 10 10/22 (46)
FUENTE: dates hipotéticos.
En el ejemplo, 46% de los alumnos del grupo cursarán la licenciatura en comu-
nicación; 18% administraci* n; 18% sociología; y sólo 9% economía y psicología.
Gráficas
Como complemento a este )rimer análisis que realiza el investigador por medio de
las tablas de distribución d( frecuencias, existe la posibilidad de construir gráficas
de diversos tipos que le permiten explicar más fácilmente el comportamiento de los
datos estudiados. Una gráfica permite mostrar, explicar, interpretar y analizar de manera
clara y efectiva los datos esta iísticos mediante formas geométricas tales como líneas,
áreas, volúmenes, superficies, etcétera. Las gráficas permiten además la comparación
de magnitudes, tendencias y relaciones entre los valores que adquiere una variable.
64

Las gráficas tienen gran utilidad como medios de divulgación del análisis estadístico,
ya que las relaciones visuales se captan con facilidad y resulta sencillo recordarlas.
Histogramas y polígonos de frecuencias
Un histograma de frecuencias es un gráfico de rectángulos continuos que tienen su
base en el eje de las abscisas (eje horizontal o eje de las equis); con anchura igual
cuando se trata de representar el comportamiento de una variable continua. En
este caso el punto central de la base de los rectángulos equivale al punto medio de
cada clase (marca de clase).
Las alturas de los rectángulos ubicadas en el eje de la ordenadas (de las Y o eje
vertical) corresponden a las frecuencias de las clases.
El área de los rectángulos así formados es proporcional a las frecuencias de las
clases.
Los histogramas de frecuencias pueden construirse no sólo con las frecuencias
absolutas, sino también con las frecuencias acumuladas y las frecuencias relativas. En
este último caso el histograma recibe el nombre de histograma de frecuencias relativas,
histograma de porcentajes o histograma de proporciones, según el caso.
GRÁFICA 1
Calificaciones de 25 estudiantes en un curso de estadística
1 II III IV V VI
1. 4.95-5.65 IV. 7.05-7.75
II. 5.65-6.35 V. 7.75-8.45
III. 6.35-7.05 VI. 8.45-9.15
Histograma de frecuencias
FUENTE: datos del Cuadro 10.
Clase
65

Frecuencia
acumulada
GRÁFICA 2
Calificacione.7 de 25 estudiantes en un curso de estadística
28
24
20
16
12
8
4
m
II 111 IV V VI Clase
1. 4.95-5.65 IV. 7.05-7.75
II. 5.65 - 6.35 V. 7.75-8.45
III. 6.35-7.05 VI. 8.45-9.15
L istograma de frecuencias acumuladas
FUENTE: datos del Cuadro 1 ).
Los dos primeros histogra nas, el de frecuencia absoluta y el de frecuencia acumulada
(gráficas 1 y 2), se forman con los intervalos de dase en el eje de las abscisas y las
frecuencias absoluta o acumulada en el eje de las ordenadas, respectivamente.
Para el histograma siguiente (Gráfica 3), la frecuencia que se usa en el eje de las orde-
nadas es la relativa, lo que implica tener un histograma de frecuencias relativas.
GRÁFICA 3
Calificaciones de 25 estudiantes en un curso de estadística
Frecuencia
relativa 0 .28
II III IV V VI
1. 4.95 - 5.65 IV. 7.05-7.75
II. 5.65 - 6.35 V. 7.75-8.45
III. 6.35-7.05 VI. 8.45-9.15
F[istograma de frecuencias acumuladas
FUENTE: datos del Cuadro 11).
Clase
66

También con los datos del Cuadro 10 es posible construir un histograma de
frecuencias acumuladas relativas.
A continuación se muestra un gráfico (Gráfica 4) con los datos de la variable
discreta del Cuadro 11, es decir, un gráfico de columnas simples, ya que en estos
casos, la variable no presenta continuidad y por lo tanto su gráfico no se puede
llamar histograma. Las variables discretas se pueden representar gráficamente
mediante gráficos de columnas o de barras simples.
GRÁFICA 4
Hijos por familia en Chalco, Estado de México, 1995
200
150
50
0
1 2 3
Número de hijos
4
Los histogramas y las gráficas de columnas tienen como función mostrar no
únicamente una representación visual de los datos sino, fundamentalmente, tres
características de su comportamiento. Éstas son:
1. La forma o distribución que presenta el histograma o gráfica de barras (según sea
la variable); es decir, si hay simetría o asimetría en la distribución de los datos.
2. Si existe algún intervalo o barra donde se acumulan los datos o aparece una
tendencia posicional de los mismos.
3. Principalmente en el caso de variables cuantitativas continuas, el grado de
dispersión o variabilidad de los datos.
En el ejemplo de las calificaciones (de 25 estudiantes en un curso de estadística,
Gráfica 3) puede observarse que 64% de los datos tienden a acumularse en los
intervalos IV, V y VI, lo que nos indica que no hay una simetría en la distribución,
sino un pequeño sesgo hacia la derecha de la misma (calificaciones buenas). Por
otro lado la dispersión de los datos no es muy grande.
67

En el ejemplo de la variable discreta, número de hijos por familia en Chalco, es
posible observar que los datc,s se concentran en los casos de las familias con dos y tres
hijos (Gráfica 4). La variabilidad en estos datos respecto de los casos de dos y tres
hijos tampoco es muy grande.
En Excel el proceso de construcción de un histograma puede simplificarse con
los siguientes pasos:
1. Se utilizan dos columna:; de la hoja electrónica, la primera deberá contener los
intervalos reales de clase y la segunda la frecuencia absoluta (f.), la frecuencia
acumulada (F) ola frecuencia relativa, según el histograma que se desea construir.
2. Se selecciona el conjunto de celdas de estas dos columnas (rango con la
información de la gráfica), y se oprime el botón del asistente que permite crear
gráficos (Figura 4).
FIGURA 4
..-t) 8rdrivo C~ yer IP ,t r Farnetc ttiwr
oau % aNv x ea-
L2 ,, ..
Intervalo de
clase
495-5,65
5.65 - 6.35
6.35-7.05
7,05 - 7.75
7.75 - 8.45
845-915
5ionr para ver injestra
3. Aparece el paso 1 del asistente de gráficas. Seleccionamos la opción estándar, es
decir, gráfica de columna,,, subtipo de gráfica 1. Oprimimos el botón "Siguiente"
para pasar al segundo pa!o del asistente.
4. En este segundo paso debe rá seleccionarse la opción de "filas". Posteriormente en la
categoría de "Serie", en la opción definida como: Rótulos del eje de categorías (X),
dar un espacio con la barrí espaciadora y oprimir "Siguiente" (véase Figura 5).
68

FIGURA 5
rv Microsoti IX-1 (le n^aolu;. Ae, fsied, y+iea._P^ra. í: íencias_Sociaies
asta
áfi 7 d 4 d t d ii t te para gr cos paso e : a os e or genAs s en
D6 2
_..-._.._...._._.__»P - _._._..._.!._..1._. e_ ftaryo de datos I Sena
CLMdro 70
Cl~ Meryeb de fi Mermo Fi fllh
ciase de
1 495 - 565 5,3 2 0,08 Ío. .
2 5.65 - 635 8 5 0,12
.
> le
3 8.35 - 705 { 0,7 116
4 TAS -775 7,4 14
1
0,2 0
5 7.75 - 845 0,7 21
6.45-9,15 25
0,28
0.16
o
E~ o de datos: 1-'F g a 4 y 5!$D$6• $11
r C.
- ---- ---- ------------ - Q cm^cdar J - 8tr4s Splnwe > [nalgar
5. En el paso 3 del asistente, deberemos especificar el título de la gráfica, la etiqueta
del eje X y la del eje de las Y. Posteriormente oprimir "Siguiente".
6. En el paso 4 (último) del asistente, deberemos indicar si queremos que el gráfico
se agregue como un objeto en la misma hoja electrónica o bien se agregue en
otra hoja nueva. En este momento oprimimos "Finalizar" y con ello obtenemos
un histograma como el que se muestra en la Gráfica 4a.
GRÁFICA 4A
Calificaciones del examen de estadística
c
e
calificación
u 4.95-5.65
® 5.65-6.35
B 6.35-7.05
El 7.05-7.75
® 7.75-8.45
® 8.45-9.15
69

Polígono defrecuencias
Es un gráfico de línea que s ° construye sobre el sistema de coordenadas cartesianas
al colocar sobre cada marca de clase un punto a la altura igual a la frecuencia absoluta
asociada a esa clase; posteriormente, estos puntos se unen por segmentos de recta.
Para que el polígono quede cerrado se debe considerar un intervalo ficticio más al
inicio y otro al final con frecuencias cero.
A continuación se muestra, en la Gráfica 5, el polígono de frecuencias de las
calificaciones de los 25 estudiantes de un curso de estadística (Cuadro 10).
GRÁFICA 5
Calificaciones promedio del examen de matemáticas
4.6 5.3 6 6.7 7 .4 8.1 8.8
calificación promedio (marca de clase)
9.5
Los polígonos de frecuencia también se pueden construir utilizando las
frecuencias relativas de una distribución de frecuencias; estos gráficos se denominan
polígonos de frecuencias rt lativas (Gráfica 6) o polígonos porcentuales, si están
expresados en porcentajes.
GRÁFICA 6
Polígono de frecuencia relativa
4.6 5.3 6 6.7 7.4 8.1 8.8 9.5
calificación promedio (marca de clase)
70

En Excel, la construcción de los polígonos de frecuencias es relativamente simple:
1. Se utiliza una columna de la hoja electrónica, la cual deberá contener la frecuencia
absoluta o la frecuencia relativa, según el polígono que se desea construir. A
estas dos series deberá agregarse una marca de clase antes de la primer clase con
frecuencia cero, y otra más, al final, también con frecuencia cero. Esto último se
hace con la finalidad de tener un gráfico cerrado.
2. Se selecciona el conjunto de celdas que forman la columna (rango con la información
de la gráfica), y se oprime el botón del asistente que permite crear gráficos (véase
Figura 6).
f;^^iNFStiRIR'!?wei {lanrglpr AS.F}11^,iFe ?^!il^ilfrS°Fi!Iea ^,1^ si^^'^ F ,s ;^: _e
Unarter Ec" r1ardNerdm Ge{
^ qy
__F
Clase ntervalo de
clase
n marca
de
Clase
0 4,6
4,95-5 .651 2 5,3
5.65-8.35{ 3 8
8.35-7 .05; _4 6,7
7.05 - 7.751 5 7,4
775-845 T 8,1
845-9. 15 4 8.8
l1 1 9,5
---- --- -----
3. Aparece el paso 1 del asistente de gráficas. Seleccionamos la opción "líneas",
subtipo de gráfica 1, 2 o bien la 4. Oprimimos el botón "siguiente" para pasar al
segundo paso del asistente.
4. En este segundo paso deberá estar seleccionada la opción de "Serie".
Posteriormente en la categoría de "Rótulos del eje de categorías (X)", deberán
seleccionarse las celdas que corresponden a las "Marcas de clase", como se muestra
en la Figura 7. Finalmente, como último paso en esta etapa debemos oprimir
"Siguiente".
71

FIGURA 7
EEMicrosoft Carel - íter»rn
ID &d*ro Ee!aaa Y l tQ Eamro x aab^ss D
vl . ._s
aro
u
Eb RU
Rrgodedatoe Sría
Clase Intervalo de arcaM -.-n
clase
Clase
1 495-5.65 5,3
2
3
5,85 -6.35 11
8.35-705'. 4 6,7
4 7.05-7.75. 7,4
5 7.75- 8.45
7 8.1
e! 6 845-915 4 88 Fede
n 9 5 mee.
v Vdlmas: 6 7!„^ -xpu'a Y ^fb:4Dái3
p_-,,. F4Wr Qi J
2i
- - - - - - - - - - - -
^,: @áWka ddeb de catparfas (1Q: mFlq^ra6YT SE}6:{Eit3
^Ñq
Sa/War
5. En el paso 3 del asistente, deberemos especificar el título de la gráfica, la etiqueta
del eje X y la del eje de las Y. Posteriormente oprimir, "Siguiente".
6. En el paso 4 (último) del asistente, deberemos indicar si queremos que el gráfico
se agregue como un objeto en la misma hoja electrónica o bien se agregue en
otra hoja nueva. En este momento oprimimos "Finalizar" y con ello obtenemos
un polígono de frecuencias como el mostrado en la Gráfica 5 .
Ojivas
La gráfica que se construye para una frecuencia acumulada o una frecuencia
acumulada relativa se llama ojiva.
La ojiva es un polígono abierto en el extremo superior, que se obtiene al unir por
segmentos de recta, los punto; situados a una altura igual a la frecuencia acumulada o
la frecuencia acumulada relativa de cada clase (eje Y) con los límites reales superiores
de éstas (eje X). Para llevar a cabo su construcción se requiere crear un primer intervalo
ficticio (o falso) con frecuencia acumulada cero. Este gráfico nos permite analizar
cuántas observaciones están por debajo de un determinado valor.
La ojiva es un polígono abierto que, como ya indicamos, se puede construir no
sólo con la frecuencia acumul:ida, sino también con la frecuencia acumulada relativa,
o bien, con la frecuencia acum dada relativa expresada en porcentaje (ojiva porcentual).
72
1

Con los datos del Cuadro 10 se construyen dos ojivas, la ojiva (con la frecuencia
acumulada) y la ojiva porcentual, gráficas 7 y 8 respectivamente.
Para construir la Gráfica 7, debemos crear un intervalo ficticio inicial (4.25 -
4.95) cuya frecuencia acumulada es cero, por lo que debajo del límite real superior
(4.95) del intervalo ficticio no hay un acumulado de alumnos. Debajo del segundo
límite real superior (5.65) hay acumulados dos alumnos; debajo del tercer límite
real superior (6.35) hay acumulados cinco alumnos; debajo del cuarto límite real
superior (7.05) hay acumulados nueve alumnos; y así sucesivamente, hasta el último
intervalo debajo del cual se acumulan las 25 calificaciones.
GRÁFICA 7
Ojiva (calificaciones del examen de matemáticas)
30
25
20
5
0
4.95 5.65
6.35 7.05 7.75 8.45 9.15
calificación
La construcción del gráfico anterior en Excel, sigue la mecánica utilizada para la
construcción de un polígono de frecuencias, con la salvedad de que en este caso, se
utilizan las frecuencias acumuladas o las frecuencias acumuladas relativas (Figura 8)
y los límites reales superiores de cada clase.
FIGURA 8
73

120
100
80
60
40
20
0
GRÁFICA 8
Ojiva porcentual
4.95 5.65 6.35 7.05 7.75 8.45
calificación
9.15
La interpretación de estos gráficos es simple y muy útil; por ejemplo, de la primera
ojiva (Gráfica 7) puede observarse que 14 alumnos obtuvieron una calificación inferior
o igual a 7.75, es decir, 56% le los alumnos del curso (este último dato se obtuvo con
la segunda ojiva, Gráfica 8) Sólo cinco de ellos, 20% de los alumnos del grupo,
obtuvieron una calificación inferior o igual a (6.35).
Gráficas de columnas (barr is) simples para datos cualitativos
Como ya se indicó, las variables cualitativas no tienen intervalos de clase por carecer de
sentido. Tampoco en ellas se calcula la frecuencia acumulada . Por lo tanto, para las
variables cualitativas sólo exi:;te la construcción de las gráficas de columnas (barras)
simples, tanto para las frecuencias absolutas de cada categoría como para las relativas de
éstas. Para las variables cualita zvas no existen el polígono de frecuencias ni las ojivas.
Una gráfica de columnas simples para datos cualitativos está formada por
rectángulos que representan a cada una de las categorías (características) que forman
la variable y cuya altura estará determinada por la frecuencia absoluta o la frecuencia
relativa que presente la categoría. Los rectángulos se dibujan separados para enfatizar
que entre ellos existe una diferencia cualitativa y no cuantitativa . Los rectángulos en
este gráfico pueden trazarse horizontal o verticalmente.
Para mostrar un ejemplo de este tipo de gráficos se utilizará la información del
cuadro estadístico 12, "Estruc tura por licenciatura de los estudiantes del grupo SB09-
05/0 en la UAM-Xochimilco". La Gráfica 9 muestra un ejemplo de gráfica de barras
simples, mientras que la Gráf ca 10, muestra una gráfica de columnas simples para la
misma variable.
74

GRÁFICA 9
Estructura por licenciatura del grupo SBO9-05/O, UAM-Xochimilco
Comunicación
Sociología
Psicología
Economía
Administración
0
2 4 6 8 10
alumnos
GRÁFICA 10
Estructura por licenciatura del grupo SBO9-05/O, UAM-Xochimilco
12
10
8
6
4
2
tio^ o ti^ G^ofi
^S1c ^CO ' fi^S^
75

ELEMENTOS BÁSICCS DE ESTADÍSTICA PARA CIENCIAS SOCIALES
Otras representaciones gráficas
En estadística es muy común presentar los resultados de un estudio mediante el
uso de gráficas, por eso no sólo encontraremos histogramas, polígonos de frecuencia,
gráfica de columnas (barras) simples y ojivas, sino también otras formas gráficas de
presentar datos y cálculos es :adísticos. A continuación se enumeran algunos tipos
de estas representaciones gráFcas.
• Gráfica de barra o colu nna simple
• Gráfica de sectores
• Gráfica de barras agrupadas
• Gráfica de barras de dewiaciones
• Mapas estadísticos
• Gráficas pictóricas
Grdfica de barra o columna simple
Es la más sencilla de las gráficas, y consiste en representar datos mediante una barra
o columna simple, la cual pi- ede ser colocada horizontal o verticalmente.
Este gráfico permite coniparar las proporciones que guardan cada una de las
partes respecto del todo, poi lo que pueden construirse usando valores absolutos,
proporciones o bien porcentajes. Se suelen utilizar cuando se comparan gráficamente
las distribuciones de conceptos iguales en dos o más periodos.
Retomando los datos del cuadro estadístico 12, el gráfico de barra o columna
simple con valores absolutos se muestra en la Gráfica 11.
GRÁFICA 11
Estructura por licenciatura delgrupo SB09-0510, UAM-Xochimilco
FUENTE: datos del Cuadro 12
20
® Comunicación
B Sociología
u Psicología
® Economía
® Administración
25
76

Gráfica de sectores
Se emplean para mostrar la relación existente entre los componentes de un todo, es
decir, la proporción. Cada uno de los sectores del círculo representa una parte de
un agregado o de un total. Este tipo de gráfica recibe también el nombre de gráfica
circular o gráfica de pastel.
Para construir estos gráficos, el analista deberá contar con la proporción o el
porcentaje de cada una de las partes del todo y multiplicarla por 360° o 3.6°,
respectivamente. Así, una proporción de 0.65 equivaldría a 234° en la gráfica, y un
porcentaje de 25% equivaldría a 90°.
Para mostrar un ejemplo de estos gráficos se utilizarán los datos del cuadro
estadístico 13, el cual trata sobre la exportación de vehículos por planta armadora
en México en los años 1992 y 1993. Los datos de la Gráfica 12 corresponden a
1992. Se puede elaborar un gráfico similar con los datos de 1993.
CUADRO 13
Exportaciones mexicanas de vehículos enero-octubre (unidades)
COMPAÑÍA 1992 1993
Chrysler 90 178 113 629
Ford 115 333 94 066
General Motors 62 227 73 348
Nissan 32 590 37 851
Volskwagen 32 573 60 487
Dina 0 340
TOTAL 332 901 379 721
FUENTE: Departamento de Información de Negocios de Banamex , diciembre de 1993.
GRÁFICA 12
Exportaciones mexicanas de vehículos, enero-octubre 1992
Volskwagen 10%
FUENTE: Departamento de Información de Negocios de Banamex, diciembre de 1993.
77

En el gráfico de sectore,, anterior se muestra la participación de cada planta
armadora en las exportaciones de vehículos para el periodo enero-octubre de 1992.
Observe aquí que los elen entos básicos usados para elaborar un cuadro estadístico
(número de gráfica, título, fuente, etcétera) son aplicables también en la elaboración
de gráficas.
Gráfica de barras agrupadas
Se utilizan cuando se requiere comparar una variable que presenta diferentes categorías
o bien cuando se desea comparar dos o más variables que, a su vez, se dividen en dos
o más categorías. Como su nombre lo indica, están formadas por barras que se agrupan
por categorías; las barras se p aeden presentar en forma horizontal o vertical.
Utilizando la informació i del Cuadro 13 a continuación se muestra un gráfico
de barras agrupadas que perrtite mostrar el comportamiento de las exportaciones de
vehículos por planta armadc ra para los periodos enero-octubre de 1992 y 1993 en
México.
GRÁFICA 13
Expos•taciones mexicanas de automóviles
D 1992
• 1993
o
z
o
u
1
78

Gráficas de barras de desviaciones
Es un gráfico de barras que se puede elaborar vertical u horizontalmente. Siempre
tiene como referencia el valor cero, a partir del cual se construyen las barras: hacia la
derecha o izquierda si el eje es horizontal, o bien, hacia arriba o hacia abajo, si el eje
considerado es el vertical. Este tipo de gráficas permite la representación de una variable
que contiene variaciones positivas y negativas; por ejemplo, en una empresa las pérdidas
y ganancias en el tiempo, los incrementos positivos y decrementos negativos de la
producción, etcétera.
Como un ejemplo de este tipo de gráfico, se mostrará la información de crecimiento
promedio anual del primer semestre para la industria minero-metalúrgica mexicana
de los años 1985 a 1995 proporcionada por el Instituto Nacional de Estadística,
Geografía e Informática (INEGI) (Gráfica 14).
CUADRO 13A
Crecimiento promedio anual del primer semestre
de la Industria minero-metalúrgica mexicana (%)
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
5 1 9 7 -7 4 -8 7 3 0.5 10.2
FUENTE: INEGI.
15
10
5
0
-5
-10
GRÁFICA 14
Crecimiento promedio anual del primer semestre
de la Industria minero-metalúrgica mexicana
FUENTE: elaboración propia con datos del INEGI.
79

Mapas estadísticos
Tienen como objetivo representar relaciones espaciales en mapas geográficos. Entre
algunos de los tipos más usados tenemos los mapas sombreados, punteados, de
isolíneas, de gráficas sobrepue: tas (barras, líneas, flujos, etcétera), y con combinaciones
de dos o más de los anteriores tipos.
En los mapas sombreados la intensidad de la sombra indica la magnitud del fenómeno
en el área; los punteados enfatizan las magnitudes absolutas. Los mapas de isolíneas se
emplean frecuentemente para mostrar la distribución de fenómenos meteorológicos,
económicos y demográficos. E n el mapa de la República se muestra la forma en la que
nuestro país fue dividido en cuatro regiones por los investigadores de Banamex en 1987
para elaborar la Segunda Encc esta Nacional sobre los Valores de los Mexicanos.
En los mapas de gráficas sobrepuestas es fácil representar las relaciones espaciales
de variables, lo que permite tina mejor comprensión de las mismas. Por ejemplo, si
deseamos representar las magnitudes de emigración e inmigración en los estados del
país, se pueden sobreponer c os gráficas de columnas en cada estado que indiquen
dichas magnitudes.
Region's y ciudades, muestreo de cuotas
II Encuesta Nacio;2al sobre los Valores de los Mexicanos, 1987
80

Gráficas pictóricas
Son muy empleadas por ser atractivas y de fácil comprensión para el público que no
tiene una preparación estadística, por lo que en estudios formales no son utilizadas.
Estas gráficas pueden ser de dos tipos.
Gráficas con símbolos pictóricos de tamaño proporcional. En ellas las figuras deben
tener una magnitud proporcional a los valores que representan.
Gráficas de unidades pictóricas. En estas gráficas cada símbolo representa un valor
definido y uniforme. Por ejemplo, si una unidad o símbolo representa 100 estudiantes,
dos símbolos representan 200 estudiantes , etcétera. La Gráfica 15 muestra un ejemplo
de este tipo de gráficas.
GRÁFICA 15
Número de operarios por planta
1 II III IV V
PLANTAS
150 operarios
81

ELEMENTOS BASIC :)S DE ESTADÍSTICA PARA CIENCIAS SOCIALES
Ejercicios
• Se obtuvo una muestra che 20 niños en la delegación Tlahuac, y se les preguntó
cuánto tiempo diario (en zoras) veían la televisión. Los resultados obtenidos fueron:
2.5, 3.0, 1.5, 1.5, 1.5, 3.5, 1.0, 2.5, 1.5, 1.0, 4.0, 1.5, 3.0, 3.5, 3.0, 2.0, 2.5, 2.0, 1.5, 3.0
Con estos datos construya una tabla de distribución de frecuencias, un histograma
y un polígono porcentual.
Solución:
HORAS DE TELEVISIÓN NIÑOS ACUMULADO ACUMULADO (%)
0.95 - 1.65 8 8 40
1.65 -2.35 2 10 50
2.35 - 3.05 7 17 85
3.05-3.75 2 19 95
3.75-4.45 1 20 100
HISTOGRAMA
ó
z
lloras de televisión
u 0.95 - 1.65
® 1.65-2.35
8 3.05 - 3.75
1=7 3.75 - 4.45
2.35 - 3.05fft
82

POLÍGONO PORCENTUAL
45
40
35
30
% 25
20
15
10
5
0
0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.1 4.8
Horas de televisión
• En una prueba de habilidad psicomotora aplicado a niños de primaria en la
ciudad de Puebla, resultaron las puntuaciones siguientes:
34, 28, 29, 22, 33, 30, 31, 32, 30, 24, 22, 24, 29, 24, 28, 24, 34, 28, 29, 30, 32, 35,
33, 22, 19, 24, 18, 23, 20, 20, 22, 21, 20, 30, 31, 32
Con estos datos construya una tabla de distribución de frecuencias, un
histograma, un histograma porcentual y un polígono de frecuencias.
• Las calificaciones en un examen de estadística en la UAM-Xochimilco se muestran
en la siguiente tabla de frecuencias:
CLASE INTERVALO REAL DE CLASE FRECUENCIA (fi)
1 4.95-5.6 5 4
2 5.65-6.35 6
3 6.35 - 7.05 8
4 7.05-7.75 10
5 7.75-8.45 14
6 8.45-9.15 8
Construir un histograma, un histograma porcentual, un polígono de frecuencias
y una ojiva.
83

ELEMENTOS BÁSICO` DE ESTADÍSTICA PARA CIENCIAS SOCIALES
• Los ingresos anuales de las familias en una comunidad del estado de Oaxaca se
muestran en la siguiente tabla.
CLASE INGRESO ANUAL. (PESOS) FRECUENCIA (fi)
1 9 500 - 5000 4
2 5 000 - 5500 9
3 `. 500 - 6000 10
4 (000 - 6500 7
5 (500 - 7000 3
Construir un histograma, fin histograma porcentual, un polígono de frecuencias
y una ojiva.
• El número de hermanos d. los alumnos del grupo SC-05 en el trimestre 05/1 se
muestra en la siguiente tabla.
NÚMERO I)E HERMANOS
0
1
FRECUENCIA (fi)
2
4
2 6
3 7
4 3
5o más 3
Construir con estos datos una gráfica de barras simples y una gráfica de sectores.
• Se entrevistaron alumnos de ciencias sociales, con el fin de conocer su opinión
acerca del nivel académico) de sus cursos de matemáticas. Las respuestas a esta
variable de investigación se clasificaron como: Bueno (1), Regular (2) y Bajo
(3). Los resultados obtenidos en la entrevista son:
1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 2,1, 3, 2,
2, 2, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2
Elaborar un cuadro de di; tribución de frecuencias para esta variable. Trazar un
gráfico de sectores y un gráfico) de barra simple.
84

Estadística Distribución de frecuencias y gráficas Estadística 007

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