2282720 Analisis De Funciones De Variable Compleja

An´lisis de Funciones de Variable Compleja
a

Ing. Juan Sacerdoti

Facultad de Ingenier´
ıa
Departamento de Matem´tica
a
Universidad de Buenos Aires

2005
V 1.011

1
Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´n de este documento.
o

´
Indice general

1. N´ meros Complejos
u 9
1.1. Definiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 9
1.2. Igualdad de n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 10
1.3. Estructuraciń de C como cuerpo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 10
1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Estructuraciń de C como estructura vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 13
1.6. Estructuraciń de C como estructura de espacio m´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 14
1.6.1. Propiedades generales de la funciń distancia en C . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 14
1.6.2. Notaciń para la funciń distancia sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 15
1.6.3. M´dulo de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 16
1.7. Estructuraciń de C como espacio normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 17
1.8. Forma bin´mica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 18
1.8.1. Isomorfismos entre estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente
nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8.3. Forma bin´mica de los n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o u 20
1.9. Representaciń geom´trica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 22
1.10. Forma Polar de un N´ mero Complejo. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 23
1.10.1. Forma Polar de un N´ mero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 23
1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.3. Producto en forma polar. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.4. Potencia en forma polar. Radicaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 27
1.10.5. Interpretaciń geom´trica de las operaciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 28
1.11. Forma exponencial de un n´ mero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 29
1.11.1. Expresiń de la forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 30
1.11.2. Definiciń de la funciń ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 30
1.11.3. El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma exponencial. . . . . . 32
1.12. Conjugado de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. Elementos de Topolog´ en el Campo Complejo
ıa 35
2.1. Definiciń de bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Entorno de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Vecinal de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Clasificaciń de puntos: Interiores, exteriores y frontera
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6. Clasificaciń de puntos de adherencia . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8. Conjunto acotado y conjunto compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9. Infinito en el Campo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

4 ´
INDICE GENERAL

2.9.1. Concepto de punto infinito en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9.2. Conjunto Complejo Extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9.3. Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9.4. Diversas acepciones de “infinito” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Funciones de Variable Compleja. Continuidad y L´ ımite 51
3.1. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Interpretaciń geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Funciones de variable compleja. Caracter´ ısticas y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1. Caracter´ ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1. Definiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.2. Continuidad sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5. L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.1. Definiciń de l´
o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.2. Operaciones con l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6. Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.1. Continuidad por partes de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.2. Camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.3. Lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.4. Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.5. Caminos opuestos y yuxtapuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.6. Ejemplos de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.7. Camino simple. Lazo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6.8. Caminos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7. Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8. Homotop´ de caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.1. Homotop´ de caminos . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.2. Homotop´ de lazos . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.8.3. Homotop´ a un punto . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9. Clasificaciń de conjuntos conexos en C . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9.1. Conjuntos simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9.2. Conjuntos m´ ltiplemente conexos . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9.3. Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.9.4. Grado de multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. Derivaciń en el Campo Complejo
o 75
4.1. Derivaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 75
4.2. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. Relaciń entre derivada y diferencial. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 78
4.4. Derivaciń y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 80
4.5. Funciones mon´genas y holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 80
4.6. Reglas de derivaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 82
4.7. Holomorf´ y ecuaciń de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa o . . . . . . 82
4.7.1. Las componentes de una funciń holomorfa como funciones armńicas .
o o . . . . . . 82
4.7.2. Propiedades de funciones conjugadas armńicas . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 84
4.7.3. Obtenciń de la conjugada armńica de una funciń en el entorno de un
o o o punto . . 87
4.8. Holomorf´ en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . 94
4.9. Representaciń conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 95
´
4.9.1. Angulo entre caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

´
INDICE GENERAL 5

4.9.2. Transformaciń de caminos . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.9.3. Transformaciń de vectores tangentes . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.9.4. Aplicaciń conforme . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.9.5. Transformaciń de ´reas e integrales dobles .
o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.9.6. Los problemas de la representaciń conforme
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.9.7. La inversiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.9.8. La funciń homogr´fica . . . . . . . . . . . .
o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

´
Indice de figuras

1.1. Representaciń del complejo (x y) en el plano cartesiano. . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2. Representaciń del complejo z en coordenadas polares. . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. Representaciń geom´trica de la suma de dos complejos. . . .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. Representaciń geom´trica de la diferencia de dos complejos.
o e . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5. Representaciń geom´trica del producto de dos complejos. . .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6. Ra´ quintas de un n´ mero complejo z. . . . . . . . . . . .
ıces u . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7. Conjugado de un n´ mero complejo. . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1. Bola de centro c y radio r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Entorno de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Vecinal de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4. Clasificaciń de puntos en un espacio m´trico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 38
2.5. Puntos aislados y puntos de acumulaciń del conjunto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 41
2.6. Clasificaciń de conjuntos seg´ n contengan o no a sus fronteras. . . . . . . . . . . . . . . .
o u 42
2.7. |z| > r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8. Diversos conjuntos transformados mediante la funciń inversiń. . . . . . . . . . . . . . .
o o 46
2.9. Esfera de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10. Proyecciń estereogr´fica de una circunferencia que no pasa por el origen de coordenadas.
o a 48
2.11. Proyecciń estereogr´fica de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas. . .
o a 48

3.1. Transformaciń de regiones en R2 mediante una funciń de variable compleja.
o o . . . . . . . 52
3.2. Transformaciń de caminos mediante la funciń f (z) = z 2 . . . . . . . . . . . .
o o . . . . . . . 53
3.3. Funciń de una variable real discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . 57
3.4. Funciń de una variable compleja discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . 57
3.5. Composiciń de funciones de una variable compleja. . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . 61
3.6. Camino en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7. Lazo en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8. Caminos yuxtapuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9. Camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.10. Ejemplos de caminos y lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.11. Ejemplo de conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.12. Ejemplo de conjuntos no conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.13. Homotop´ de los caminos γ1 y γ2 en D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . 71
3.14. Homotop´ de los lazos γ1 y γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . 72
3.15. Conjunto simplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.16. Conjunto m´ ltiplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . 73
3.17. Ejemplos de cortadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.18. Conjunto con grado de multiplicidad=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7

8 ´
INDICE DE FIGURAS

4.1. Incremento de z a trav´s de un camino γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 75
4.2. Dominio restringido de una funciń de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 77
4.3. Incremento de una funciń a trav´s de caminos rectos paralelos a los ejes. . . . . . . . . .
o e 79
4.4. Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas armńicas . . . . . . . . . . .
o 87
4.5. Integraciń a trav´s de un camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 89
4.6. Reemplazo de un camino γ por otro poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7. Dominio e imagen de Inv’ y f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.8. Vector tangente a γ en el punto γ(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
´
4.9. Angulo entre los caminos γ1 y γ2 en el punto zc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.10. Transformaciń de caminos por una funciń de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . .
o o 97
4.11. Conservaciń del ńgulo entre dos caminos mediante una aplicaciń conforme f . . . . . .
o a o 100
4.12. Transformaciń de ńgulos para aplicaciones con distintos valores de K. . . . . . . . . . .
o a 102
4.13. L´ıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representaciń conforme.
o 105
4.14. Transformaciń de vectores mediante una inversiń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 106
4.15. Construcciń geom´trica para obtener la rec´
o e ıproca de un complejo. . . . . . . . . . . . . . 106
4.16. Construcciń geom´trica alternativa para hallar la rec´
o e ıproca de un n´ mero complejo. . . .
u 107

Cap´
ıtulo 1

N´meros Complejos
u

1.1. Definiciń
o
Se llama n´mero complejo a todo par ordenado (x y) de n´ meros reales.
u u
z := (x y) : x ∈ R , y ∈ R
z := N´ mero complejo
u
Al n´ mero real x (primera componente del par ordenado) se lo llama parte real o primera componente
u
del n´ mero complejo.
u
Asimismo, al n´ mero real y (segunda componente del par ordenado) se lo llama parte imaginaria o
u
segunda componente del n´ mero complejo.
u
Re(z) := x
Im(z) := y

Re(z) := parte real de z
Im(z) := parte imaginaria de z
Observaciń: Conviene remarcar que tanto la parte real, como la parte imaginaria de un n´ mero complejo
o u
(a pesar de su denominaciń), son ambos n´ meros reales.
o u
Al conjunto de todos los n´ meros complejos, se lo simboliza con C.
u
C := {(x y) : x ∈ R , y ∈ R }
C := Conjunto de todos los n´ meros complejos
u
Observaciń: A partir de la definiciń de C es inmediato que:
o o
C=R×R o sea que C = R2
Sin embargo, la introducciń del nuevo s´
o ımbolo C para representar al conjunto de los complejos, en
vez de usar directamente R2 , es conveniente para destacar y recordar la diferencia existente entre R2 y
los dem´s Rn .
a
Todo Rn conforma estructura de espacio vectorial y tambiń estructura de espacio eucl´
e ıdeo.
En el caso particular de R2 , adem´s de las estructuras mencionadas, se agrega la estructuraciń en
a o
ıstica no se extiende a ning´ n Rn con n ≥ 3.
cuerpo abeliano. (ver punto 1.3). Esta caracter´ u

La razń de esta diferencia es porque en C, adem´s de definirse la suma como en todo Rn , se establece
o a
tambiń la multiplicaciń, condiciń que le permite alcanzar la estructura de cuerpo abeliano.
e o o

9

10 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

1.2. Igualdad de n´ meros complejos
u
La igualdad de los n´ meros complejos es una consecuencia de la igualdad definida entre conjuntos, y
u
su aplicaciń sobre los pares ordenados. Resulta entonces:
o

x = x′
(x y) = (x′ y ′ ) ⇔
y = y′

Es decir, dos n´ meros complejos son iguales, si y s´lo si simultńeamente, las respectivas partes reales
u o a
e imaginarias son iguales entre s´ Una igualdad en C representa entonces dos igualdades en R.
ı.

1.3. Estructuraciń de C como cuerpo abeliano
o
Sobre el conjunto de los complejos C se definen dos leyes de composiciń interna:
o
T : C × C −→ C
((x y), (x′ y ′ )) −→ (x + x′ , y + y ′ )
P : C × C −→ C
((x y), (x′ y ′ )) −→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ )

T := Ley suma de n´ meros complejos
u
P := Ley producto de n´ meros complejos
u
Los signos ”+” y ”·” representan las leyes de composiciń interna, suma y producto de n´ meros reales.
o u
El conjunto de los n´ meros complejos C se estructura en cuerpo abeliano con respecto a las leyes de
u
composiciń interna suma de n´ meros complejos ”T ” y producto de n´ meros complejos ”P ”.
o u u
T : C × C −→ C


((x y), (x′ y ′ )) −→ (x + x′ , y + y ′ )




=⇒ (C T P ) ∈ Cuerpo abeliano
P : C × C −→ C 



((xy) , (x′ y ′ )) −→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ )


La demostraciń de esta aseveraciń es inmediata.
o o

Algunos elementos destacables en el cuerpo C son:
(0 , 0) ∈ neutro de C respecto de T
(−x , −y) ∈ sim´trico de (x y) respecto de T
e
(1 , 0) ∈ neutro de C respecto de P
x −y
, ∈ sim´trico de (x y) respecto de P , ∀(x y) = (0 0)
e
x2 + y 2 x2 + y 2
Los s´
ımbolos con los cuales se identificarń estos elementos son:
a
s := (0 , 0)
∗
z := (−x , −y)
u := (1 , 0)
x −y
z• := ,
x2 + y 2 x2 + y 2

1.4. IMPOSIBILIDAD DE ESTRUCTURAR C COMO CUERPO ORDENADO 11

1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado
El conjunto C no puede ser estructurado como cuerpo ordenado. Ello significa que no existe ninguna
relaciń sobre C × C que cumpla simultńeamente:
o a
(a) Relaciń de orden amplio sobre C.
o
(b) Relaciń de orden total.
o
(c) Relaciń de compatibilidad con las leyes de suma y producto complejo.
o
Estas condiciones presentadas para el caso de un cuerpo gen´rico (E T P ), llamando RO a la relaciń de
e o
orden sobre E, pueden expresarse de la siguiente manera:

 ∀x ∈ E (x x) ∈ RO Reflexividad



 (x y) ∈ RO

⇒ x=y Antisimetr´ıa

RO ∈ Relaciń de orden amplio :=
o (y x) ∈ RO


 (x y) ∈ RO


 ⇒ (x z) ∈ RO Transitividad
(y z) ∈ RO

RO ∈ Relaciń de orden total := ∀x ∈ E, ∀y ∈ E
o {x y} =⇒ (x y) ∈ RO o (y x) ∈ RO

 (x y) ∈ RO =⇒ (xT z , yT z) ∈ RO

∀z ∈ E




RO ∈ Rel. de comp. con suma y producto :=

 (x y) ∈ RO
 (s z) ∈ RO



 =⇒ (xP z , yP z) ∈ RO
s :=Neutro de (E , T )


A partir de estas definiciones se establece entonces:

(E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano






(E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano ordenado := RO ∈ Relaciń de orden amplio
o

RO ∈ Relaciń de orden total

 o


RO ∈ Relaciń compatible con la suma y el producto
o

Observaciń 1: Al cumplirse simultńeamente las condiciones de orden amplio y total sobre E, resulta
o a
superflua la condiciń de reflexividad, como se muestra a continuaciń:
o o
A partir de la condiciń de orden total, tomando x = y se obtiene:
o

∀x ∈ E {x x} =⇒ (x x) ∈ RO o (x x) ∈ RO
resultando entonces:
∀x ∈ E =⇒ (x x) ∈ RO

Observaciń 2: Las notaciones usuales para las relaciones de orden son x ≥ y o (x y) ∈ RO. En el texto
o
se ha preferido el uso de ´sta ultima para evitar confusiones.
e ´

A continuaciń se pasa a demostrar la tesis propuesta, que el cuerpo de los complejos no puede ser
o
ordenado.

12 CAP´ ´

El esquema de prueba se basa en que para dos n´ meros complejos, (0 0) (neutro de T ) y el (0 1) (m´s
u a
adelante llamado unidad imaginaria), no puede establecerse ninguna relaciń de orden que satisfaga las
o
condiciones anteriores.
(C, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano =⇒ ∄ RO sobre C : (C, T, P ) ∈ Cuerpo ordenado

1. Orden total {(0 0) , (s 1))} ⇒ ((0 0) , (0 1)) ∈ RO o ((0 1) , (0 0)) ∈ RO

Suponiendo la primera de las
dos posibilidades:

2. ((0 0) (0 1)) ∈ RO

((0 0) (0 1)) ∈ RO
3. Compat. P ⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
((0 0) (0 1)) ∈ RO

((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
4. Compat. P ⇒ ((0 0) (1 , 0)) ∈ RO
((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO

((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
5. Compat. T ⇒ ((1 0) (0 0)) ∈ RO
(1 , 0) ∈ C

((0 0) (1 0)) ∈ RO
6. (4.), (5.) y antisim. ⇒ (0 0) = (0 1) (prop. falsa)
((1 0) (0 0)) ∈ RO

Como la primera posibilidad
ha conducido a una proposicińo
falsa, se prueba con la segunda:

7. ((0 1) (0 0)) ∈ RO

((0 1)(0 0)) ∈ RO
8. Compat. T ⇒ ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO
(0 , −1) ∈ C

((0 0)(0 , −1)) ∈ RO
9. Compat. P ⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
((0 0)(0 , −1)) ∈ RO

Este resultado es el mismo obte-
nido en (3.). Si se sigue un pro-
cedimiento igual al ya realizado,
se obtiene tambiń:
e

10. =⇒ (0 0) = (1 0) prop. falsa
Se deben descartar entonces las
dos posibilidades. De donde:

´
1.5. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA VECTORIAL 13


RO ∈ Relaciń de orden amplio
 o

RO ∈ Relaciń de orden total
o
11. (1.), (6.) y (10.) ∄ RO sobre C :
RO ∈ Relaciń de compatibilidad
 o

con la suma y producto complejo


Observaciń 1: El hecho de que C no sea un cuerpo ordenado, deja como unico Rn que cumple tal
o ´
condiciń al conjunto de los reales R. Este es el cuerpo ordenado por excelencia.
o
Observaciń 2: Conviene remarcar que en C carece totalmente de sentido la proposiciń:
o o

z > z′

Por lo tanto, en el caso de presentarse esta notaciń, es sencillamente un grave error.
o

1.5. Estructuraciń de C como estructura vectorial
o
El conjunto de los n´ meros complejos C conforma una estructura vectorial, sobre un cuerpo K,
u
respecto de las leyes de composiciń interna T (suma de n´ meros complejos) y composiciń externa P
o u o
oportunamente definida:

P : C × C −→ C
(λ, (x y)) −→ (λx, λy)

P := Ley de composiciń externa de C sobre K.
o
K := Cuerpo de apoyo de la estructura vectorial o conjunto de los escalares.

La proposiciń mencionada es consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de
o
n
R .

Tiene particular inter´s tomar a la terna (R + ·) como cuerpo K sobre el cual conforma C la estructura
e
vectorial.
C = { (xy) : x ∈ R , y ∈ R}





(R + ·) ∈ Cuerpo de los Reales 






C×C → C

T : =⇒ (C R + · T P ) ∈ Estructura vectorial
((x y) , (x′ y ′ )) → (x + x′ , y + y ′ ) 





P : C×C → C





′ ′ ′ ′ ′ ′ 
((x y) , (x y )) → (xx − yy , xy + yx )

Observaciń 1: Para no incurrir en confusiones de conceptos se debe tener presente siempre las diferencias
o
que existen entre las leyes:

- Producto de n´ meros reales: ·
u

- Producto de n´ meros complejos: p
u

14 CAP´ ´

- Producto de C sobre K: P
Observaciń 2: Para evitar interpretaciones errńeas se hace notar que la convenciń adoptada para la
o o o
denominaciń de la s´xtupla (E K + · T P ) y el conjunto E es:
o e
(E K + · T P ) := Estructura de espacio vectorial o estructura vectorial

E := Espacio vectorial

1.6. Estructuraciń de C como estructura de espacio m´trico
o e
El conjunto C conforma una estructura de espacio m´trico, y en particular una estructura de espacio
e
eucl´
ıdeo, al definirse la funciń distancia por la expresiń pitag´rica:
o o o
d: C × C −→ R
(z , z ′ ) −→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ )

d(z z ′ ) := distancia de z a z ′
Esta caracter´ ıstica es una consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de Rn .
C = { (x y) : x ∈ R , y ∈ R }




d : C × C −→ R =⇒ (C , d) ∈ Estructura de espacio eucl´
ıdeo


(z , z ′ ) −→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ )


Observaciń 1: Para evitar confusiones se se˜ ala que las denominaciones adoptadas para el par (E , d) y
o n
para el conjunto E son:
(E , d) := Estructura de espacio m´trico o estructura m´trica
e e

E := Espacio m´trico
e
El hecho de poder estructurar E como espacio m´trico tiene enorme importancia.
e
En efecto, se logra con ello la base (funciń distancia) para construir una estructura topol´gica.
o o
De esta manera el conjunto de los complejos C conforma simultńeamente una estructura algebraica
a
de cuerpo, y una estructura topol´gica, siendo ambas las dos condiciones esenciales para poder definir los
o
conceptos que son fundamento del an´lisis matem´tico: la continuidad (la convergencia) y la diferencial.
a a

1.6.1. Propiedades generales de la funciń distancia en C
o
Las propiedades m´s importantes para destacar de la funciń distancia sobre el conjunto de los
a o
complejos, se desprenden directamente del caso m´s general, funciń distancia sobre los espacios eucl´
a o ıdeos.
Para facilitar su presentaciń es conveniente usar los s´
o ımbolos
e := (0 0)
z ∗ := (−x , −y)
respectivamente par el neutro de C respecto de la suma T , y el opuesto de z respecto de T . Tambiń se
e
agregar´ el nuevo s´
a ımbolo:
z − z ′ := z T z ′∗
z − z ′ := Diferencia entre los n´ meros complejos z y z ′
u

´ ´
1.6. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA DE ESPACIO METRICO 15

El detalle de las propiedades mencionadas es:

I. d(z e) = 0 ⇔ z = e

II. z − z ′ = w − w′ =⇒ d(z z ′ ) = d(w w′ )

III. d(z + z ′ , z) = d(z ′ e)

IV. d(z − z ′ , e) = d(z z ′ )

V. d(z − z ′ , e) = d(z ′ − z , e) λ∈R

VI. d(λz , λz ′ ) = |λ|d(z z ′ )

VII. d(z e) − d(z ′ e) |d(z e) − d(z ′ e)| d(z + z ′ , e) d(z e) + d(z ′ e)

VIII. d(z e) − d(z ′ e) |d(z e) − d(z ′ e)| d(z − z ′ , e) d(z e) + d(z ′ e)

IX. |Re(z)| d(z, e)
|Im(z)| d(z, e)

Es buen ejercicio demostrar estas f´rmulas en forma directa a partir de la definiciń de distancia sobre
o o
C.

1.6.2. Notaciń para la funciń distancia sobre C
o o
La notaciń de la funciń distancia sobre C, que por otra parte se emplea normalmente para cualquier
o o
Rn es:

|z − z ′ | := d(z z ′ )
|z − z ′ | := Distancia de z a z ′

De acuerdo a esta ultima convenciń resulta:
´ o

d(z e) = |z|

En efecto:

d(z e) = |z − e|
= |z T e∗ |
= |z T e|
= |z|

La distancia d(z e) tiene una gran aplicaciń e importancia, tanto como para adjudicarle una deno-
o
minaciń particular. Esto se tratar´ en el apartado 1.6.3.
o a
La introducciń del nuevo s´
o ımbolo |z − z ′ | para representar la funciń distancia, es justificada por el
o
hecho de que ayuda a recordar todas las propiedades del p´rrafo anterior asimilńdolas a las an´logas de
a a a
la funciń valor absoluto en el campo real.
o
En efecto, si formalmente se opera d(z z ′ ) con las propiedades del valor absoluto real, se verifican sin
dificultad las propiedades vistas en 1.6.1:

I. |z − e| = 0 ⇔ z = e
|z| = 0 ⇔ z = e

16 CAP´ ´

II. z − z ′ = w − w′ =⇒ |z − z ′ | = |w − w′ |
III. |(z + z ′ ) − z| = |z ′ |
IV. |(z − z ′ ) − e| = |z − z ′ |
V. |z − z ′ | = |z ′ − z|
VI. |λz − λz ′ | = |λ||z − z ′ |
VII. |z| − |z ′ | ||z| − |z ′ || |z + z ′ | |z| + |z ′ |
VIII. |z| − |z ′ | ||z| − |z ′ || |z − z ′ | |z| + |z ′ |
IX. |Re(z)| |z|
|Im(z)| |z|
Observaciń: El valor absoluto en el campo real por su parte estructura al conjunto R como espacio
o
eucl´
ıdeo, pues:

d(x y) = (x − y)2
= |x − y|

ıdeo Rn puede entenderse como una generalizaciń del valor
Entonces, la distancia del espacio eucl´ o
absoluto definido para R.

1.6.3. M´dulo de z
o
Se define como m´dulo de z, tambiń llamado valor absoluto de z, a la distancia d(z e).
o e

|z| := d(z e)
|z| := M´dulo de z
o

Esta definiciń es complementaria de la notaciń de distancia introducida en 1.6.2, ya que ambas no
o o
son independientes, como se demuestra acto seguido:
Teorema 1.6.1.

d(z z ′ ) = |z − z ′ | ⇐⇒ d(z e) = |z|

Demostraciń. La demostraciń de la condiciń necesaria es:
o o o

d(z e) = |z − e|
= |z|

La condiciń suficiente:
o

d(z z ′ ) = d(z − z ′ , e)
= |z − z ′ |

La asignaciń de una denominaciń espec´
o o ıfica dada a la distancia d(z e) se justifica no solamente por la
frecuencia con que aparece en las f´rmulas anteriores, sino tambiń para resaltar el papel muy importante
o e
que desempe˜ a en todo el ´lgebra y an´lisis complejo.
n a a
Basta para ello mencionar que su empleo permite:

´
1.7. ESTRUCTURACION DE C COMO ESPACIO NORMADO 17

a. La definiciń de la forma polar del n´ mero complejo.
o u
b. El hallazgo de m´todos operativos m´s sencillos, derivados de la forma polar, para la multiplicaciń,
e a o
divisiń, potencia, radicaciń y logaritmaciń.
o o o
c. Establecer una norma sobre C
Todos estos conceptos serń desarrollados m´s adelante.
a a
El m´dulo de z, de acuerdo con la definiciń es una aplicaciń del conjunto de los complejos sobre los
o o o
reales.

||: C −→ R
(x y) −→ x2 + y 2

Las propiedades m´s importantes del m´dulo de z son las detalladas en el p´rrafo anterior.
a o a
A ellas conviene agregar:

|z| = |z ′ | ⇔ |z|2 = |z ′ |2

cuya demostraciń es inmediata, y adem´s:
o a
Teorema 1.6.2. El m´dulo del producto es igual al producto de los m´dulos.
o o

(zz ′ ) ∈ C =⇒ |z P z ′ | = |z||z ′ |

Demostraciń.
o

|z P z ′ |2 = (xx′ − yy ′ )2 + (xy ′ + yx′ )2
= x2 x′2 + y 2 y ′2 + x2 y ′2 + y 2 x′2
= (x2 + y 2 )(x′2 + y ′2 )
= |z|2 |z ′ |2

1.7. Estructuraciń de C como espacio normado
o
Se llama espacio normado a todo espacio vectorial provisto de una aplicaciń sobre los reales no
o
negativa, llamada norma, que cumple las condiciones que se mencionan a continuaciń:
o

(E K + · T P ) ∈ Estr. espacio vectorial)



 N : E −→ R



(E K + · T P N ) :=

 N (x) = 0 ⇔ x = e





 x −→ N (x) : N (λx) = |λ|N (x)
 
N (xT y) N (x) + N (y)
 

N (x) := Norma del vector x
A partir de las propiedades I, V I y V II del p´rrafo 1.6.2 se concluye de inmediato que la funciń m´dulo
a o o
de z es efectivamente una norma.
||: C −→ R
=⇒ (E K + · T P ) ∈ Estr. de espacio normado
(x y) −→ x2 + y 2

18 CAP´ ´

En todo espacio normado, la funciń distancia d(zz ′ ) = N (z − z ′ ) lo estructura como espacio m´trico.
o e

d: C × C −→ R
=⇒ (C d) ∈ Estructura de espacio m´trico
e
(z z ′ ) −→ N (z − z ′ )

La norma establece una elaciń directa entre los espacios vectoriales y los espacios m´tricos.
o e
La importancia de este hecho reside en que con ello se asegura la continuidad de las operaciones
vectoriales suma y producto externo.

1.8. Forma bin´mica de los complejos
o
1.8.1. Isomorfismos entre estructuras
Se dice que una aplicaciń f del conjunto E sobre el conjunto E ′ establece un isomorfismo entre las
o
estructuras (E T ) y (E ′ T ′ ), donde T y T ′ son leyes de composiciń interna definidas respectivamente
o
sobre E y E ′ , cuando:

a. f es biyectiva

b. La composiciń interna T ′ de la aplicaciń de dos elementos de E sobre E ′ es igual a la aplicaciń
o o o
sobre E ′ de la composiciń interna T de dichos elementos de E, es decir:
o

f (a T b) = f (a) T ′ f (b)

En resumen:

E = {abc . . . }



T : E × E −→ E





 ′
E = {a′ b′ c′ . . . }



′ ′
((E T ) (E T ) f ) ∈ Estructuras isomorfas := T ′ : E ′ × E ′ −→ E ′

 f : E −→ E ′







f ∈ biyectiva


a −→ a′ :


a T b −→ a′ T ′ b′



Ejemplo: La funciń logaritmo natural
o

L: R+ −→ R
x −→ L(x)

establece un isomorfismo entre las estructuras (R+ ·) y (R +).

´
1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 19

Generalizando, una funciń f puede establecer un isomorfismo entre las estructuras (E T P ) y (E ′ T ′ P ′ )
o
dotadas cada una de ellas con dos leyes de composiciń interna, cuando:
o

E = {abc . . . }



T : E × E −→ E





P : E × E −→ E





 ′
E = {a′ b′ c′ . . . }




 ′
′ ′ T : E ′ × E ′ −→ E ′
((E T ) (E T ) f ) ∈ Estructuras isomorfas :=
 ′
P : E ′ × E ′ −→ E ′



 f : E −→ E ′





 




 f ∈ biyectiva

a −→ a′ : a T b −→ a′ T ′ b′





a P b −→ a′ P ′ b′
 


1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda
componente nula
Definimos como C1 al conjunto de los complejos con segunda componente nula.
C1 := {(x, 0)}

C1 := Conjunto de los complejos con segunda componente nula o conjunto de las primeras componentes
La funciń pr1 que se llamar´ primera proyecciń,
o a o
pr1 : C1 −→ R
(x, 0) −→ x
establece un isomorfismo entre las estructuras (C1 T P ) y (R + ·).
Teorema 1.8.1.
C1 = {(x, 0)}
=⇒ ((R + ·) (C1 T P ) pr1 ) ∈ Estructuras isomorfas
(x (x, 0)) ∈ pr1
Demostraciń. Se demuestra en primer lugar que la relaciń pr1 es una aplicaciń biyectiva.
o o o
∀x ∃ (x, 0)

x = x′
x = x′ ⇔
0=0
⇔ (x, 0) = (x′ , 0)
Enseguida se ver´ como la aplicaciń pr1 establece el isomorfismo.
a o
x −→ (x, 0)
y −→ (y, 0)
x + y −→ (x, 0) T (y, 0) = (x + y, 0)
x · y −→ (x, 0) P (y, 0) = (x · y, 0)

20 CAP´ ´

Observaciń 1: El par (x, 0) no es un n´ mero real a pesar de que es frecuente denominarlo as´ en un
o u ı,
evidente abuso de notaciń.
o
El complejo (x, 0) es el correspondiente al real x a trav´s del isomorfismo definido.
e

Observaciń 2: Es inmediato demostrar a partir del isomorfismo estudiado entre C1 y R que tambiń
o e
puede establecerse otro isomorfismo entre los complejos con segunda componente nula y los reales a
trav´s de la funciń:
e o

pr2 : {(0, y)} −→ R
(0, y) −→ y

como se verifica considerando las leyes respectivas se suma pero no las leyes de multiplicaciń.
o

1.8.3. Forma bin´mica de los n´meros complejos
o u
Todo n´ mero complejo puede descomponerse en la suma de otros dos, con segunda y primera com-
u
ponente nula, respectivamente:

(x y) = (x 0) T (0 y)

Por el otro lado tambiń se verifica
e

(0 y) = (y 0) T (0 1)

y entonces se concluye que un n´ mero complejo puede ser representado como:
u

(x y) = (x 0) T ((y 0) P (0 1))

que es la llamada forma cartesiana o bin´mica de los n´ meros complejos.
o u

Es conveniente tomar:

i := (0 1) i := Unidad imaginaria

Queda entonces:

(x y) = (x 0) T ((y 0) P i)

Este resultado, conjuntamente con el isomorfismo estudiado en 1.8.2 induce a pensar la posibilidad de
la existencia de un isomorfismo entre el conjunto de los complejos C y el conjunto de los binomios x + iy
operados formalmente con las reglas del ´lgebra de los n´ meros reales.
a u

En efecto, definiendo al conjunto de los nuevos entes x + iy,

B := {x + iy : x ∈ R , y ∈ R}

la funciń
o

f : C −→ B
(x y) −→ x + iy

establece un isomorfismo entre (B + ·) y (C + ·) donde + y · son las leyes de composiciń interna sobre
o
el conjunto B, definidas en forma conveniente de acuerdo al ´lgebra de los n´ meros reales.
a u

´
1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 21

Las definiciones de estas leyes se hallan en el enunciado del teorema siguiente, y merece se˜ alarse unica-
n ´
mente que es necesario convenir que:

i2 := −1

Observaciń 1: Debe tenerse sumo cuidado de no entrar en confusiones con las dos definiciones hechas de
o
i porque sin distintas.
Se ha usado la misma letra solamente por razones tradicionales.
En el primer caso se ha definido sobre el conjunto de los complejos

i = (0 1)

lo cual lleva a

i2 = i P i
= (−1, 0)

y por lo tanto de acuerdo a la Observaciń 1 del p´rrafo 1.8.2
o a

i2 = −1

siendo i2 simplemente el correspondiente de −1 en el isomorfismo analizado entre C1 y R:

pr1 : i2 −→ −1

En el segundo caso, que no es una definiciń operacional de elementos de C sino de entes de B, el
o
ımbolo i2 representa a:
s´

i2 = i · i

es decir, un producto con respecto a la ley · en B. Y se establece a “contrario sensu”:

i2 = −1

El planteo del isomorfismo de las estructuras es:

(C T P ) ∈ Cuerpo complejo





B × B −→ B

+: 



((x + iy), (x + iy ′ )) −→ (x + x′ ) + i(y + y ′ )
′ 






B × B −→ B

·: 


xx′ + ixy ′ + iyx′ + yy ′ i2 = =⇒ ((B + ·) (C T P ) f ) ∈ Estr. isomorfas
((x + iy), (x′ + iy ′ )) −→ 
(xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + yx′ )






i · i −→ −1







C −→ B

f: 




(x y) −→ x + iy

La demostraciń de este isomorfismo surge directamente de la definiciń de las leyes de composiciń
o o o
interna definidas sobre B.
La denominaciń de forma bin´mica del n´ mero complejo es justificada con claridad por el isomorfismo
o o u
demostrado.

22 CAP´ ´

Se remarca que la importancia de este resultado reside en que la forma bin´mica permite operar con
o
los n´ meros complejos como simples n´ meros reales, con la condiciń de sustituir en la multiplicaciń a
u u o o
i2 por −1.

Observaciń 2: No debe olvidarse que del mismo modo que el complejo (x 0) y el real x son nociones
o
diferentes, tambiń lo son el complejo (x y) y el binomio x + iy.
e
Sin embargo es usual confundirlos en evidente abuso de notaciń. Esto no produce dificultades al operar
o
con complejos si se toman las precauciones del caso.

Llegado a este punto del texto en el cual se han estudiado las diferencias y relaciones existentes entre
las leyes de composiciń interna complejas y reales, se usarń, por razones tradicionales, a partir de ahora
o a
los signos + y · tambiń para las primeras siempre que ello no induzca a confusiones.
e

1.9. Representaciń geom´trica de los complejos
o e
De la misma manera que no puede establecerse diferencia entre el n´ mero real x y el punto x de una
u
recta, tampoco existe ninguna diferencia entre el n´ mero complejo (x y) y el punto (x y) del plano R × R.
u

Se comprende que a partir de este razonamiento, no puede hacerse ninguna distinciń entre el “´lge-
o a
bra”y la “geometr´
ıa”.

La representaciń geom´trica de un n´ mero complejo es sencillamente otra forma de simbolizarlos, es
o e u
decir, otra forma de escribirlos o representarlos.

Sin embargo, hist´ricamente ha sido, y todav´ es, un modelo muy conveniente para estudiar e inter-
o ıa
pretar las relaciones entre los complejos. Por lo tanto, es importante el manejo fluido de los complejos
teniendo siempre presente su significado geom´trico.
e

La representaciń m´s frecuente de R2 es en coordenadas cartesianas ortogonales, mediante un plano
o a
que se denominar´ plano complejo.
a

Un n´ mero complejo z = (x y) es representado por un punto del plano de coordenadas:
u

x = Re(z) como abscisa
y = Im(z) como ordenada

Observaciń 1: Debe observarse que de acuerdo a las apreciaciones hechas m´s arriba, las palabras n´ mero
o a u
complejo y punto del plano son sinńimos.
o
Tambiń son equivalentes los t´rminos R×R y plano, primera componente y abscisa, segunda componente
e e
y ordenada, etc.; que se usarń indistintamente a lo largo del texto.
a

En el plano complejo a los ejes x e y se los denomina real e imaginario respectivamente.

De acuerdo a las convenciones establecidas para la representaciń en coordenadas cartesianas , el
o
complejo (x 0) es representado por puntos del eje imaginario.

´
1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES 23

y z

(0 y) (x y)
y

(0 0) (x 0)
x x

Figura 1.1: Representaciń del complejo (x y) en el plano cartesiano.
o

Observaciń 2: La denominaciń de forma cartesiana como equivalente de la bin´mica surge evidentemente
o o o
de la representaciń gr´fica de los complejos.
o a
El origen de coordenadas representa al par (0 0)

Otra interpretaciń del complejo z puede ser la de segmento orientado con origen en (0 0) y v´rtice
o e
en el punto (x y). La representaciń polar permitir´ estudiar en detalle este nuevo enfoque.
o a
Esta simple observaciń destaca como la representaciń geom´trica ayuda a estudiar las propiedades del
o o e
n´ mero complejo. En este caso, la relaciń entre el conjunto C y los espacios vectoriales como segmentos
u o
orientados.

1.10. Forma Polar de un N´ mero Complejo. Propiedades
u
Los n´ meros complejos (x y) pueden ser representados de otras maneras, adem´s de las ya vistas.
u a

Dada una funciń biyectiva
o

f: C −→ C
(x y) −→ (u v) : f ∈ biyectiva

Al establecer una correspondencia uno a uno entre los pares (x y) y (u v), permite interpretar al segundo
par como una nueva forma o representaciń del primer par.
o

En particular adquieren importancia por su facilidad de operaciń la forma polar, y su derivada, la
o
forma exponencial.

1.10.1. Forma Polar de un N´mero Complejo
u
En el plano complejo puede observarse con ayuda de la representaciń geom´trica, que cualquier par
o e
(x y) = (0 0) puede ser definido por otro par (r θ) cuyos elementos son:

r := Distancia al origen de coordenadas
´
w := Angulo formado entre el segmento o z y el eje x

El par (r θ) define las llamadas coordenadas polares del n´ mero complejo.
u

Al par (0 0), origen de coordenadas, se asignan convencionalmente los valores:

r=0
θ = θ1

24 CAP´ ´

donde θ1 es un n´ mero real arbitrario.
u

La primera coordenada polar, r, representa entonces la distancia d(z e), es decir el m´dulo de z
o
estudiado en 1.6.3.

y z

z

r
y
θ
x x

Figura 1.2: Representaciń del complejo z en coordenadas polares.
o

r := |z| = d(z e)
r := m´dulo de z
o

El m´dulo de z est´ definido para cualquier n´ mero complejo, a´ n el (0 0), por la aplicaciń:
o a u u o

|| : C −→ R
(x y) −→ |z| = x2 + y 2

ya estudiada anteriormente.

La segunda coordenada polar θ, que como se dijo, representa el ńgulo entre el segmento o z y el eje
a
x. Debe elegirse entonces anal´
ıticamente, de manera que satisfaga el sistema:

r cos(θ) = x
r sen(θ) = y

A todos los valores de θ, ra´ del sistema, se los llama argumento de z.
ıces

y
arg(z) := θ : θ ∈ arctan
x
arg(z) := argumento del complejo z

La soluciń de este sistema, no est´ un´
o a ıvocamente determinada en θ, pues si θ1 es soluciń, tambiń lo
o e
es θ1 + 2kπ : k ∈ Z (ńgulos congruentes entre s´
a ı).
Por lo tanto, para establecer una relaciń uno a uno entre las coordenadas cartesianas y las polares, debe
o

´

asignarse un s´lo valor de argumento a cada punto, por ejemplo de la siguiente manera:
o
Arg : C − {(0 0)} −→ R
 y
 − π + Arctan x < 0, y < 0

 x
−π


x = 0, y < 0




 2
 y
(x y) −→ Arg(z) = Arctan x > 0, ∀ y
 x
π

x = 0, y > 0



2

 π + Arctan y



x < 0, y 0
x

Arg(z) := Determinaciń principal del argumento de z o valor principal.
o

Esta determinaciń llamada principal del argumento de z se identifica por el s´
o ımbolo Arg(z), encabe-
zado con A (may´ scula).
u
Observaciń 1: La funciń
o o
Arctan : R −→ (−π/2 , π/2)
x −→ Arctan(x)
escrita con A may´ scula, es por convenciń la determinaciń principal de la funciń multiforme (que por
u o o o
lo tanto no es una aplicaciń) {x , arctan(x)}, relaciń inversa de la tangente:
o o
tan : R − {(n + 1/2)π : n ∈ Z} −→ R
x −→ tan(x)
En resumen, la transformaciń biyectiva
o
f: C −→ C

 x2 + y 2 , Arg(z) z = (0 0)
(x y) −→ (r θ) =
 (0 , θ )
1 z = (0 0) , θ1 ∈ R

es una de las posibilidades que define al nuevo par (r θ), cuyos elementos son las coordenadas polares de
un punto del plano complejo.

A su vez, la funciń inversa de F es:
o
F −1 : C −→ C
(r θ) −→ (x y) = (r cos θ , r sen θ)
a partir de la cual puede deducirse la forma bin´mica a:
o
x + iy = r (cos θ + i sen θ)
llamada forma polar o forma trigonom´trica del n´ mero complejo.
e u

Observaciń 2: Para definir las coordenadas polares, podr´ elegirse cualquier otra determinaciń del
o ıa o
argumento de z, en vez de la principal, obtenińdose resultados equivalentes.
e
Las diferentes determinaciones tienen tambiń su utilidad, como por ejemplo para el c´lculo de logaritmos
e a
y potencias complejas.

26 CAP´ ´

1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia
A partir de la igualdad entre pares ordenados se obtiene:

r = r′
(r θ) = (r′ θ′ ) ⇔
θ = θ′

Es decir, la igualdad de dos n´ meros complejos es condiciń necesaria y suficiente de la igualdad de sus
u o
respectivos m´dulos y argumentos.
o

Un concepto que no debe confundirse con el de igualdad es el de congruencia.
Se dice que dos complejos expresados en forma polar, son congruentes; con distinta o igual determinaciń
o
del argumento, cuando son correspondientes de un mismo punto del plano complejo. Esto significa:

(r θ) (r′ θ′ ) := r(cos θ + i sen θ) = r′ (cos θ′ + i sen θ′ )

(r θ) (r′ θ′ ) := (r θ) es congruente con (r′ θ′ )

La congruencia para z = (0 0) se reduce a la igualdad s´lo en el caso de la igualdad de los argumentos.
o
Es decir que dos complejos expresados en forma polar con m´dulo no nulo (z = (0 0)) son congruentes,
o
cuando tienen los m´dulos iguales y sus argumentos difieren en una cantidad entera de 2π.
o

En el caso de que el m´dulo sea nulo, ´sta es condiciń suficiente para la igualdad de dos complejos;
o e o
con independencia del valor de los respectivos argumentos.

r=0
r = r′
(r θ) (r′ θ′ ) ⇔
θ = θ′

r=0
(r θ) (r′ θ′ ) ⇔ r = r′ = 0

Observaciń 3: No debe perderse de vista la diferencia existente entre la igualdad y la congruencia. En
o
algunos casos, donde debe destacarse esta diferencia, se han creado artificios especiales. Por ejemplo,
puede suponerse que al plano polar de los complejos (r θ) se le hace corresponder uno o m´s planos
a
cartesianos (uno para cada determinaciń) que geom´tricamente se tienen por superpuestos. Estos planos
o e
se llaman de Riemann, y son una forma de establecer una correspondencia biun´ ıvoca aplicable para
trabajar con funciones multiformes.

1.10.3. Producto en forma polar. Cociente
Una primera aplicaciń donde la forma polar es particularmente eficaz es en el producto complejo:
o

r(cos θ + i sen θ) · r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) = r r′ ((cos θ cos θ′ − sen θ sen θ′ ) + i(cos θ sen θ′ + cos θ′ sen θ))
= r r′ (cos(θ + θ′ ) + i sen(θ + θ′ ))

donde se comprueba que:
I. El m´dulo del producto es igual al producto de los m´dulos, teorema ya demostrado en
o o
1.6.3
II. Una de las determinaciones del argumento del producto es igual a la suma de los argu-
mentos de los factores

´

Aqu´ la suma de los argumentos puede cambiar la determinaciń elegida, pero no afecta los resultados
ı, o
en cartesianas. esto es un ejemplo de la ventaja de la creaciń de artificios como los mencionados en la
o
Observaciń 3 de este apartado.
o
En rigor, si se deseara mantener la determinaciń principal para el argumento del producto, se debe
o
convenir:
 θ + θ′ − π θ + θ′ > π


Arg(z · z ′ ) = θ + θ′ π θ + θ′ > −π
θ + θ′ + π θ + θ′

−π


La forma polar tambiń es de sencilla aplicaciń para la obtenciń del cociente de dos complejos, con
e o o
divisor no nulo, donde se generaliza la expresiń del producto
o
r′ = 0
r(cos θ + i sen θ) r
= ′ (cos(θ − θ′ ) + i sen(θ − θ′ ))
r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) r

1.10.4. Potencia en forma polar. Radicaciń
o
En el caso de potencia natural, aplicando la f´rmula del producto y el principio de inducciń completa,
o o
se obtiene:
(r(cos θ + i sen θ))n = rn (cos nθ + i sen nθ)
expresiń que puede generalizarse para todo n entero si se conviene:
o
1
z −1 :=
z
La f´rmula de la potencia se puede emplear tambiń para la extracciń de la ra´ en´sima de un
o e o ız e
complejo no nulo.
En efecto, si un complejo r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) es ra´ en´sima de otro complejo r(cos θ + i sen θ), estos
ız e
satisfacen:
(r′ (cos θ′ + i sen θ′ ))n = r(cos θ + i sen θ)
equivalente a un sistema en coordenadas polares, cuya soluciń no es unica para n > 1 pues existen
o ´
diversas determinaciones que lo satisfacen y que originan ra´ diferentes:
ıces
r′n = r
nθ′ = θ + 2kπ k∈Z
se sigue
r′ = r1/n
θ+2kπ
θ′ = n

a partir de la cual se obtiene la expresiń de la ra´
o ız,
θ + 2kπ θ + 2kπ
(r(cos θ + i sen θ))1/n = r1/n (cos + i sen )
n n
la cual produce n´ meros complejos diferentes para todo k ∈ < 0, n − 1 >.
u
Existen, por lo tanto, n ra´
ıces diferentes para un complejo no nulo; y son solamente n como se puede
comprobar analizando su congruencia.
La ultima de las f´rmulas halladas, permite generalizar la expresiń de la potencia, ahora tambiń para
´ o o e
exponentes fraccionarios.

28 CAP´ ´

1.10.5. Interpretaciń geom´trica de las operaciones complejas
o e

Suma y diferencia

Dados dos complejos z y z ′ , representados como segmentos orientados, su suma z + z ′ est´ represen-
a
tada por la diagonal del paralelogramo de acuerdo con el diagrama anexo.

La suma geom´trica de dos n´ meros complejos se reduce entonces a la ley del paralelogramo.
e u

La representaciń de los complejos por medio de segmentos orientados permite observar claramente
o
su caracter´
ıstica de estructura vectorial.

El significado geom´trico de la diferencia de dos complejos es fćil de interpretar a partir de la suma.
e a
En el segundo gr´fico se ha representado esta operaciń.
a o

Un buen ejercicio es analizar los significados geom´tricos del neutro de la suma y del opuesto de un
e
complejo.

y z y z
′
z+z
z′
y′ z′
z′ − z
z x ′

y z
x x x

Figura 1.3: Representaciń
o Figura 1.4: Representaciń
o
geom´trica de la suma de dos
e geom´trica de la diferencia de dos
e
complejos. complejos.

Producto y cociente

El producto dedos complejos se puede representar recordando que:

a. El m´dulo del producto es el producto del m´dulo de los factores.
o o

b. El argumento del producto es la suma del argumento de los factores.

A partir de esta construcciń se obtiene tambiń por analog´ la representaciń del cociente.
o e ıa o
Un caso particular de inter´s es la construcciń de la rec´
e o ıproca de un complejo no nulo, que se deja a
cargo del lector.

´
1.11. FORMA EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO 29

y
z z′

α
′
rr
z′
θ
z
θ′ r
θ α
1 x
Figura 1.5: Representaciń geom´trica del producto de dos complejos.
o e

Potencia y radicaciń entera
o
La representaciń gr´fica de la potencia es simplemente una aplicaciń reiterada de la realizada para
o a o
el producto.

Es de mayor inter´s el an´lisis de la radicaciń.
e a o

Las n ra´ en´simas no congruentes de un complejo (r θ) tienen:
ıces e
a. M´dulo: r1/n , igual para todas las ra´
o ıces; lo que significa que se hallan sobre una circunfe-
rencia de radio r1/n .
θ+2kπ
b. Argumento: n k ∈< 0, n − 1 >. Una ra´ tiene argumento θ/n, el resto se ubica sobre la
ız
circunferencia en forma sucesiva con intervalos 2π/n.

En la figura 1.6 se han representado a t´
ıtulo de ejemplo las ra´ quintas de un complejo (r θ)
ıces

z1
(r θ)

z0
2π/5 2π/5
r
θ
z2 θ/5
x
r 1/n

z4
z3
ıces quintas de un n´mero complejo z.
Figura 1.6: Ra´ u

1.11. Forma exponencial de un n´ mero complejo
u
Una nueva expresiń de la forma polar, llamada forma exponencial, tiene gran importancia debido a
o
la simplicidad operativa que entra˜ a su empleo.
n
Ejemplo de ello es que toda la trigonometr´ puede deducirse en forma inmediata de las propiedades de
ıa
la forma exponencial. Otra aplicaciń para destacar es la definiciń del logaritmo y de la potencia en el
o o
campo complejo, que se hace por medio de dicha forma exponencial.

30 CAP´ ´

1.11.1. Expresiń de la forma exponencial
o
La base de la forma es la f´rmula de Euler:
o

eiθ = cos θ + i sen θ

la cual permite introducir a la forma exponencial de un n´ mero complejo como:
u

r eiθ := r(cos θ + i sen θ)

r eiθ := forma exponencial de un n´ mero complejo
u

La validez de esta expresiń se reduce a la discusiń de la f´rmula de Euler, que se hace a continuaciń.
o o o o

1.11.2. Definiciń de la funciń ez
o o
Los caminos para llegar a la f´rmula de Euler son dos, basados ambos en la definiciń de la funciń
o o o
compleja ez

Primer m´todo de definiciń de ez :
e o
El primer m´todo consiste en la definiciń de la funciń ez por medio de una serie:
e o o
+∞
zk z z2 zn
ez := =1+ + + ··· + + ...
k! 1! 2! n!
k=0

que se estudiar´ en el cap´
a ıtulo espec´
ıfico. Esta serie es entera, es decir convergente para cualquier com-
plejo z.

A partir de la definiciń se pueden verificar las propiedades:
o

z = x =⇒ ez = ex

que muestra como la exponencial compleja se reduce a la real cuando z tambiń lo es. Adem´s
e a
′ ′
∀ (z z ′ ) =⇒ ez+z = ez · ez

que es la propiedad fundamental de la funciń ez , llamada ley de los exponentes, que tambiń es cumplida
o e
en el campo real por la funciń ex .
o

Ambas propiedades muestran como con esta definiciń de ez se obtiene un extensiń de la funciń
o o o
real ex al campo complejo, mantenińdose sus principales propiedades.
e

Una tercera propiedad que se obtiene de la serie, tomando z = x + iy y recordando los desarrollos de
las funciones reales cos y y sen y es la f´rmula de Euler
o

∀ y =⇒ eiy = cos y + i sen y

Observaciń 1: La introducciń de la f´rmula de Euler para obtener la forma exponencial, se justifica por
o o o
la gran simplicidad que implica su empleo en el producto complejo; donde se reduce dicha operaciń al
o
a
´lgebra de los exponentes:
′
r(cos θ + i sen θ) · r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) = r eiθ ·r′ eiθ
′
= r r′ ei(θ+θ )
= r r′ (cos(θ + θ′ ) + i sen(θ + θ′ ))

´
1.11. FORMA EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO 31

Esta es la razń del porqu´ adelantar la definiciń de ez como una serie.
o e o
No debe pensarse por ello, sin embargo, que se ha ca´ en un c´
ıdo ırculo vicioso, porque los desarrollos
posteriores para llegar a dicha serie no son afectados por el uso que se har´ de la forma exponencial.
a
Esta forma puede ser considerada sencillamente como una expresiń formal (una forma de escribir) de la
o
forma polar, para ser usada como regla mnemotćnica en el producto de dos complejos.
e
El segundo m´todo se basa en un enfoque de esta ´
e ındole para definir la f´rmula de Euler.
o

Segundo m´todo de definiciń de ez :
e o
Las dificultades de la introducciń anticipada de una serie para definir ez se obvian con una definiciń
o o
de tipo formal como la que sigue:

ez := ex (cos y + i sen y)

Las propiedades principales de ez deducidas anteriormente tambiń se obtienen como corolario de esta
e
definiciń:
o

z=x =⇒ ez = ex
′ ′
∀ (z z ′ ) =⇒ ez+z = ez · ez
∀y =⇒ eiy = cos y + i sen y

y adem´s es en el cap´
a ıtulo de series se podr´ demostrar que:
a
z z2 zn
ez = 1 + + + ···+ + ...
1! 2! n!
Observaciń 2: Hay otro razonamiento, de tipo heur´
o ıstico, para indicar la razonabilidad de este segundo
m´todo de definiciń de ez . Si se desea hacer una extensiń de la funciń real ez al campo complejo de
e o o o
modo tal que se mantengan las siguientes propiedades:
a. Para z real la funciń ez se reduce a ex .
o
b. Se mantiene la validez de la ley de los exponentes.
c. Se mantienen las propiedades formales de la derivaciń del campo real en el campo complejo.
o
el problema se reduce a la definiciń de la exponencial eiy (f´rmula de Euler) por ser:
o o

ex+iy = ex · eiy

de acuerdo con la ley de los exponentes y sabiendo que ex es la funciń de variable real conocida.
o
Por ser eiy un n´ mero complejo se tiene:
u

eiy = u(y) + iv(y)

derivando como en el campo real,

i eiy = u′ (y) + iv ′ (y)
− eiy = u′′ (y) + iv ′′ (y)

obtenińdose entonces el sistema
e

u′′ + u = 0
v ′′ + v = 0

32 CAP´ ´

Como para y = 0 ez se reduce a ex , y aplicando la ley de los exponentes

ex+i0 = ex
ei 0 = 1

de donde se deducen las siguientes condiciones iniciales,

u(0) = 1 u′ (0) = 0
v(0) = 0 v ′ (0) = 1

que aseguran al sistema de ecuaciones anterior a una soluciń unica:
o ´

u(y) = cos y
v(y) = sen y

Este razonamiento por supuesto no es una demostraciń, sino es una orientaciń a la definiciń de la
o o o
exponencial eiy .

1.11.3. El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma expo-
nencial.
Empleando la forma exponencial; el producto, el cociente y la potencia entera en el conjunto de los
complejos, adquieren su expresiń m´s reducida.
o a
′ ′
r eiθ ·r′ eiθ = r r′ ei(θ+θ )
r eiθ r ′

′ eiθ ′
= ′ · ei(θ−θ ) (r′ = 0)
r r
(r eiθ )n = rn ei nθ
(r eiθ ) n = r n ei( )
1 1 θ+2kπ
n

f´rmulas que se verifican fćilmente por su reducciń a la forma polar y que son ejemplo de la facilidad
o a o
de operaciń que entra˜ a la forma exponencial.
o n

1.12. Conjugado de un complejo
Se define como conjugado de un n´ mero complejo z a otro n´ mero complejo, simbolizado por z, de
u u
igual parte real y parte imaginaria opuesta.

z := (x, −y)
z := Conjugado de z

La funciń conjugado de z, definida por:
o
−
: C −→ C
z −→ z = (x, −y) = x − iy

es biyectiva y adem´s cumple
a
I. z1 + z2 = z1 + z2

1.12. CONJUGADO DE UN COMPLEJO 33

II. z1 · z2 = z1 · z2
con lo cual establece un isomorfismo entre el cuerpo (C + ·) y s´ mismo.
ı
Otras propiedades para destacar del conjugado de un complejo son:
III. z = z
IV. z + z = 2x
V. z − z = i 2x
VI. z z = |z|2
z′ z ′ ·z
VII. z = |z|2

n
VIII. Pn (x) = k=0 ak z k : ak ∈ R =⇒ Pn (z) = Pn (z)
Gr´ficamente, el conjugado de un complejo z es el sim´trico respecto del eje x.
a e

Y

z

r y

x X

r −y

z
¯

Figura 1.7: Conjugado de un n´mero complejo.
u

En coordenadas polares, el conjugado es el complejo de igual m´dulo y argumento opuesto. Por lo
o
tanto para la forma exponencial resulta:

z = r eiθ ⇔ z = r e−iθ

La nociń de complejo conjugado aparece en la resoluciń de ecuaciones algebraicas con coeficientes
o o
reales, donde las ra´ o son reales, o son complejas conjugadas.
ıces
Adem´s de esta aplicaciń, el conjugado se introduce por la comodidad que implica su empleo en las
a o
operaciones de producto y cociente de acuerdo a las propiedades VI y VII.

34 CAP´ ´

Cap´
ıtulo 2

Elementos de Topolog´ en el Campo
ıa
Complejo

Como ha sido desarrollado en el p´rrafo 1.6, el conjunto de los complejos C conforma estructura de
a
espacio m´trico.
e
M´s en particular, es un espacio eucl´
a ıdeo; al definirse sobre ´l una distancia de acuerdo con la expresiń
e o
pitag´rica que caracteriza dichos espacios.
o
De este hecho se arrastra entonces que en C puede construirse una estructura topol´gica, que acoplada
o
a la caracter´
ıstica de cuerpo, permite llegar al desarrollo de los conceptos de continuidad y diferencial.
Es conveniente, por lo tanto, analizar la aplicaciń de los elementos b´sicos de topolog´ al campo
o a ıa
complejo.

2.1. Definiciń de bola
o
En un espacio m´trico general se define como bola de centro c y radio r, cuyo s´
e ımbolo es B(c r), a:

r
B(c r) := {x : d(x c) < r , r > 0}
c
B(c r)
B(c r) := Bola de centro c y radio r
d(x c) := Distancia del elemento x al elemento c
Figura 2.1: Bola de centro c y ra-
dio r.
En particular, en el campo complejo

B(c r) = {z : |z − c| < r , r > 0}

se llama tambiń disco, y desde el punto de vista geom´trico representa un c´
e e ırculo de centro en el
complejo c y radio r, sin la circunferencia |z − c| = r.

Observaciń: Conviene se˜ alar que en la definiciń de bola (tambiń llamada bola abierta) es indispensable
o n o e
que las desigualdades sean estrictas (r > 0 y d(x c) < r), porque en caso contrario carecer´ de sentido
ıan
las definiciones posteriores de puntos interiores, exteriores y fronteras, como as´ tambiń las definiciones
ı e
de puntos de acumulaciń y aislados, con todas las consecuencias resultantes.
o

35

36 CAP´
ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´ EN EL CAMPO COMPLEJO
IA

De la definiciń de bola se implica inmediatamente que su centro siempre le pertenece y por lo tanto
o
ella es un conjunto no vac´
ıo.

∃ B(c r) =⇒ c ∈ B(c r)
=⇒ B(c r) = ∅

2.2. Entorno de un punto c

Se llama entorno de un punto c a todo conjunto del espacio m´trico (y en particular C) que contenga
e
una bola de centro c.

r

c U (c) ∈ Entorno de c := ∃ B(c r) : B(c r) ⊂ U (c)

U (c)

Figura 2.2: Entorno
de un punto c.

De esta definiciń se extraen dos consecuencias inmediatas:
o

a. Toda bola B(c r) es un entorno de c.

∃ B(c r) =⇒ B(c r) ∈ Entorno de c

b. La existencia de un entorno de c es condiciń necesaria y suficiente de la existencia de una
o
bola de centro c.

∃ U (c) ⇔ ∃ B(c r)

2.3. Vecinal de un punto c

Se llama vecinal (o tambiń entorno reducido) de un punto c, en un espacio m´trico (en particular
e e
C), a todo entorno de c al cual se le excluye el mismo punto c.

´
2.4. CLASIFICACION DE PUNTOS: INTERIORES, EXTERIORES Y FRONTERA 37

r V (c) := U (c) C ◦ {c}
c
V (c) := Vecinal de c
C ◦ {c} := Conjunto complementario de {c}
V (c)

Figura 2.3: Vecinal
de un punto c.

Observaciń 1: Es usual representar a A
o C ◦ {c}, por la notaciń de conjuntos
o

A − B := A C ◦ {c}

con ella la notaciń de vecinal se expresar´
o ıa:

V (c) = U (c) − {c}

Observaciń 2: Se ha preferido el empleo del t´rmino vecinal (del franc´s “voisinage”), en vez del m´s
o e e a
com´ n entorno reducido, porque este ultimo puede inducir a error.
u ´
En efecto, cuando a un sustantivo se agrega un adjetivo, se establece una subclase particular de la clase
general definida por dicho sustantivo. Ejemplo: Conjunto definido por el sustantivo: hombre. Subconjunto
definido por el sustantivo y el adjetivo: hombres altos.
Sin embargo, este no es el caso de los entornos reducidos, pues no son entornos.
Observaciń 3: A diferencia de los entornos que nunca pueden ser vac´ los vecinales si pueden serlo
o ıos,

2.4. Clasificaciń de puntos: Interiores, exteriores y frontera
o
Los puntos de un espacio m´trico E pueden ser clasificados como: puntos interiores, puntos exteriores
e
o puntos frontera de un conjunto A (incluido en E) seg´ n la relaciń de inclusiń que puede establecerse
u o o
entre los entornos del punto y el conjunto A.

Las definiciones son las siguientes:

Un punto se dice que es interior a un conjunto, cuando existe un entorno suyo que es parte del con-
junto. Es decir, existe un entorno del punto en el cual todos sus puntos pertenecen al conjunto.

Un punto se dice que es exterior a un conjunto cuando existe un entorno suyo, que es parte del com-
plemento de dicho conjunto en el espacio m´trico considerado. Es decir, existe un entorno del punto que
e
no contiene ning´ n punto del conjunto.
u

Un punto se dice que es frontera de un conjunto (al cual puede o no pertenecer) cuando no existe
ning´ n entorno del punto incluido totalmente en el conjunto o en su complemento. Esto quiere decir que
u

38 CAP´
IA

en todo entorno de un punto frontera, hay puntos del conjunto y puntos del complemento del conjunto.

(E d) ∈ Estr. Espacio M´trico
e
A⊂E

a ∈ Punto interior de A := ∃ U (a) : U (a) ⊂ A
a ∈ Punto exterior de A := ∃ U (a) : U (a) ⊂ C ◦ A
U (a) ⊂ A
a ∈ Punto frontera de A := ∄ U (a) :
U (a) ⊂ C ◦ A

En el esquema adjunto se han representado ejemplos
A
de los distintos tipos de puntos en el plano complejo.
Debe observarse que el conjunto A (representado en
color) consta de tres “partes”, una de ellas reducida
a un punto. Pt. frontera
Los centros de los entornos en los puntos considera-
dos se han representado con punto negro en el caso
de que pertenezcan a A, y con punto rojo en caso
contrario.

Pt. interior Pt. exterior

Figura 2.4: Clasificaciń de puntos en un espacio m´tri-
o e
co.

Observaciń 1: La nociń de interior establecida a trav´s de la definiciń de punto interior, es relativa al
o o e o
espacio dentro del cual se define. Por ejemplo, el centro de un c´ ırculo plano (conjunto A) es un punto
interior del mismo si se toma como espacio m´trico de referencia al plano mencionado, pero no es un
e
punto interior del conjunto A si se toma como espacio de referencia a R3 .

Observaciń 2: Conviene remarcar que un punto frontera puede o no pertenecer al conjunto del cual es
o
frontera.

La clasificaciń de puntos introducida permite ahora definir:
o

A los conjuntos formados por los puntos interiores, exteriores y frontera, se los llama respectivamente,

2.5. ADHERENCIA 39

Interior, Exterior y Frontera del conjunto A.
IN T (A) := {a : a ∈ Pt. interior a A}
EXT (A) := {a : a ∈ Pt. exterior a A}
F R(A) := {a : a ∈ Pt. frontera a A}
IN T (A) := Conjunto de puntos interiores a A
EXT (A) := Conjunto de puntos exteriores a A
F R(A) := Conjunto de puntos frontera a A

Estos tres conjuntos son una particiń del conjunto E porque:
o
 IN T (A) ∩ EXT (A) = ∅


 EXT (A) ∩

F R(A) = ∅
 F R(A)

 ∩ IN T (A) = ∅
IN T (A) ∪ EXT (A) ∪ F R(a) = E


De esta manera se comprueba que la clasificaciń de puntos de un espacio m´trico en interiores, exteriores
o e
y frontera, es exhaustiva.

Las propiedades resultantes de las anteriores definiciones son:
I. IN T (A) ⊂ A
(a ∈ Pt. int. A =⇒ a ∈ A)
II. EXT (A) = IN T (C ◦ A)
III. EXT (A) ⊂ C ◦ A
IV. A C ◦ (IN T (A)) = F R(A)
a∈A
=⇒ a ∈ Pt. fr. A
a ∈ Pt. int. A
/

V. F R(A) = F R(C ◦ A)
VI. F R(E) = ∅
F R(∅) = ∅

2.5. Adherencia
Un elemento de un espacio m´trico E se dice que es punto de adherencia de un conjunto A ⊂ E
e
cuando cualquier entorno suyo contiene puntos del conjunto A.
e
A⊂E
a ∈ Punto de adherencia de A := ∀ U (a) =⇒ U (a) A=∅

Al conjunto de los puntos de adherencia de un conjunto A se lo llama Adherencia de A.
ADH(A) := {a : a ∈ Pt. de adherencia de A}

ADH(A) := Conjunto de los puntos de adherencia de A

40 CAP´
IA

Algunas propiedades que se pueden extraer de las definiciones son:
I. A ⊂ ADH(a)
II. IN T (A) ⊂ ADH(A)
III. F R(A) ⊂ ADH(A)
IV. EXT (A) ADH(A) = ∅
V. EXT (A) ADH(A) = E
VI. ADH(A) = IN T (A) F R(A)
VII. F R(A) = F R(ADH(A))
VIII. F R(A) = ADH(A) ADH(C ◦ A)
IX. ADH(A) = ADH(ADH(A))
X. ADH(E) = E
ADH(∅) = ∅
XI. A ⊂ B =⇒ ADH(A) ⊂ ADH(B)
XII. ADH(A B) = ADH(A) ADH(B)
XIII. ADH(A B) = ADH(A) ADH(B)

2.6. Clasificaciń de puntos de adherencia
o
Los puntos de adherencia de un conjunto A ⊂ E se clasifican en dos tipos: puntos de acumulaciń y
o
puntos aislados.

Estos conceptos tienen particular importancia por su aplicaciń en la definiciń de l´
o o ımite y conver-
gencia, como as´ en otros temas que se tratarń en el texto.
ı a

Esta segunda clasificaciń para los puntos de un espacio m´trico (reducida a los puntos de adherencia)
o e
se caracteriza porque se realiza de acuerdo a la relaciń de inclusiń que puede establecerse entre los
o o
vecinales de un punto y el conjunto A.
La clasificaciń realizada en 2.4 ten´ en cuenta los entornos de un punto en vez de los vecinales.
o ıa

Un punto se dice que es de acumulaciń de un conjunto A, cuando la intersecciń de cualquier vecinal
o o
suyo con el conjunto A no es vac´ Es decir, en todo vecinal del punto de acumulaciń hay puntos
ıa. o
pertenecientes al conjunto A. Es claro que todo punto de acumulaciń es de adherencia.
o
Un punto perteneciente al conjunto A se dice que es aislado cuando existe un vecinal suyo cuya
intersecciń con A es vac´ Esto significa que existe un vecinal del punto que no contiene ning´ n punto
o ıa. u
del conjunto A.
e
A⊂E

a ∈ Pt. de acumulaciń de A :=
o ∀ V (a) =⇒ V (a) ∩ A = ∅
a∈A
a ∈ Pt. aislado de A :=
∃ V (a) : V (a) ∩ A = ∅

´
2.6. CLASIFICACION DE PUNTOS DE ADHERENCIA 41

Observaciń 1: La nociń de punto de acumulaciń
o o o
nos es relativa al espacio dentro del cual se define
(comparar con Observaciń 1 del punto 2.4)
o A Pt. aislado
Un punto que tiene esa cualidad, la mantiene si se
extiende el espacio a un superconjunto del primero.
Las definiciones que se han introducido de punto de
acumulaciń y punto aislado permiten ahora crear
o Pt. acumulaciń
o
dos nuevos conjuntos:
Figura 2.5: Puntos aislados y puntos de acu-
mulaciń del conjunto A.
o

ACU M (A) := {a : a ∈ Pt. acumulaciń de A}
o
AISL(A) := {a : a ∈ Pt. aislado de A}

ACU M (A) := Conjunto de puntos de acumulaciń de A
o
AISL(A) := Conjunto de puntos aislados de A

Observaciń 2: El conjunto de puntos de acumulaciń de A suele llamarse tambiń derivado de A, o
o o e
tambiń clausura de A.
e
Las propiedades que se desprenden de las definiciones son:
I. IN T (A) ⊂ ACU M (A)
II. EXT (A) ⊂ ACU M (C ◦ A)
III. EXT (A) ACU M (A) = ∅
IV. ACU M (A) ⊂ ADH(A)
V. AISL(A) ⊂ F R(A)
VI. AISL(A) ⊂ ADH(A)
VII. ACU M (A) AISL(A) = ∅
VIII. ACU M (A) AISL(A) = ADH(A)
IX. ACU M (E) = E
X. ACU M (∅) = ∅
XI. AISL(E) = ∅
XII. AISL(∅) = ∅
Las propiedades VII a VIII aseguran que los conjuntos ACU M (A) y AISL(A) son una particiń del
o
conjunto ADH(A). Esto permite escribir el siguiente teorema:

a ∈ Pt. adherencia de A
a ∈ Pt. acumulaciń de A ⇔ a ∈ Pt. aislado de A
o /

De esta manera se verifica que la clasificaciń de puntos de la adherencia en acumulaciń y aislados es
o o
exhaustiva. Adem´s de esto, no debe olvidarse que los puntos de adherencia se pueden dividir en interiores
a
y frontera.

42 CAP´
IA

2.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
La condiciń de abierto y/o cerrado de un conjunto definido en un espacio m´trico, se introduce para
o e
establecer una caracter´
ıstica de su frontera. En el primer caso, ning´ n punto de la frontera pertenece al
u
conjunto, en el segundo caso le pertenecen todos.
Se define entonces:

Un conjunto se llama abierto si ning´ n punto de su frontera le pertenece.
u

Un conjunto se llama cerrado si todos los puntos de su frontera le pertenecen.

A ∈ Ab := F R(A) ∩ A = ∅
A ∈ Cr := F R(A) ∩ A = F R(A)

A ∈ Ab := A es un conjunto abierto
A ∈ Cr := A es un conjunto cerrado

Observaciń 1: Esta clasificaciń no es exhaustiva, ni
o o
debe pensarse que ambas caracter´ ısticas no pueden
cumplirse simultńeamente.
a Abierto Cerrado
En efecto, si un conjunto no es abierto, no significa
que sea cerrado, y viceversa,

A ∈ Ab
/ A ∈ Cr
No abierto y no cerrado
A ∈ Cr
/ A ∈ Ab
Figura 2.6: Clasificaciń de conjuntos segń contengan
o u
o no a sus fronteras.
Basta analizar para ello que si la frontera est´ compuesta por puntos del conjunto y por puntos del
a
complemento, no es ni abierto ni cerrado el conjunto en cuestiń.
o
En la figura 2.6 se muestra un ejemplo de conjunto abierto, otro cerrado y un tercero que no es ni lo uno
ni lo otro.
Por otro lado, existen conjuntos que son abiertos y cerrados simultńeamente. Son los que no tienen
a
frontera: el universo E y el conjunto vac´ ∅.
ıo

Observaciń 2: Los conceptos de conjunto abierto y cerrado dependen del espacio m´trico E, pues de
o e
acuerdo con la Observaciń 1 realizada en 2.4 la nociń de interior es relativa al espacio de referencia E.
o o
Por ejemplo, en una extensiń del espacio E, un punto interior se puede transformar en frontera, seg´ n
o u
el caso mencionado en 2.4.

Observaciń 3: La terminolog´ usada por los textos en toda esta tem´tica es todav´ muy diversificada.
o ıa a ıa
En cada caso se aconseja precisarla para evitar confusiones. Un sinńimo de conjunto cerrado es conjunto
o
completo.

2.8. CONJUNTO ACOTADO Y CONJUNTO COMPACTO 43

Algunos teoremas que el lector puede demostrar como ejercicio son:

A ∈ Ab ⇔ A = IN T (A)
⇔ F R(A) ⊂ C ◦ A

A ∈ Cr ⇔ A = ADH(A)
⇔ A = ACU M (A)
⇔ F R(A) ⊂ A

A ∈ Ab
=⇒ A ∪ B ∈ Ab
B ∈ Ab
=⇒ A ∩ B ∈ Ab

A ∈ Cr
=⇒ A ∪ B ∈ Cr
B ∈ Cr
=⇒ A ∩ B ∈ Cr

A ∈ Ab ⇔ C ◦ A ∈ Cr

Es interesante ver tambiń como se caracterizan, de acuerdo con las definiciones de conjunto abierto
e
y cerrado, algunos de los conjuntos creados en los p´rrafos precedentes
a

B(c r) ∈ Ab
IN T (A) ∈ Ab
EXT (A) ∈ Ab
F R(A) ∈ Cr
ADH(A) ∈ Cr
ACU M (A) ∈ Cr
AISL(A ∈ Cr

Observaciń 4: Como se ha visto, toda bola de un espacio m´trico es un conjunto abierto. Esta es la razń
o e o
por la cual tambiń suele designarse como bola abierta.
e

2.8. Conjunto acotado y conjunto compacto
Un conjunto de un espacio m´trico se llama acotado si existe una bola B(c r), de radio finito, que lo
e
contenga.

Visto de otra manera, un conjunto es acotado cuando el supremo de la distancia entre dos cualesquiera
de sus puntos est´ acotado.
a

r<k
A ∈ Acotado := ∃ B(c r) :
A ⊂ B(c r)

A ∈ Acotado ⇔ sup[ d(z z ′ ) ] < r : (z z ′ ) ∈ A2

44 CAP´
IA

Los conjuntos cerrados y acotados juegan un papel muy importante por sus propiedades particulares.
Por esta razń se los designa con el nombre de compactos.
o

A ∈ Cr
A ∈ Compacto :=
A ∈ Acot

Si un conjunto es compacto y est´ incluido en un abierto, entonces para todo punto del compacto
a
puede construirse una bola con centro en ese punto y que est´ contenida en el abierto
e

A ∈ Compacto 
D ∈ Ab =⇒ ∀ x ∈ A ∃ B(x r) ⊂ D

A⊂D


Este teorema no es cierto para los conjuntos no acotados y tampoco para los conjuntos que no son cerrados.

En los conjuntos compactos se pueden generalizar los teoremas de funciones continuas de una variable
real definidas sobre un intervalo determinado, a funciones reales de varas variables y continuas, definidas
sobre un compacto.
Por ejemplo, una funciń f real y continua definida sobre un compacto A cumple:
o

f est´ acotada
a

f alcanza su m´ximo y su m´
a ınimo absoluto en el compacto A.

f es uniformemente continua en A.

2.9. Infinito en el Campo Complejo
2.9.1. Concepto de punto infinito en C

Para analizar el comportamiento de funciones de
variable compleja en el l´
ımite, para valores no aco-
tados de la variable, resulta conveniente introducir
dos nuevas definiciones: el infinito complejo y el
entorno de infinito. r

Con ellas se pueden generalizar, en primer lugar, |z| > r
las definiciones conjuntistas de l´ ımite y continui-
dad, y posteriormente se aprovechan tambiń para
e
la extensiń de otros conceptos de variable compleja.
o

Figura 2.7: |z| > r.

La base del razonamiento para crear los nuevos conceptos, es que el conjunto

{z : |z| > r}

puede ser asimilado y tratado como una bola del conjunto C por medio del artificio de crear un nuevo
ente llamado infinito complejo o punto infinito, que no es un elemento de C.

2.9. INFINITO EN EL CAMPO COMPLEJO 45

Uno de los medios para definir el punto infinito es a trav´s de la funciń inversiń:
e o o

inv : C −{0} −→ C −{0}
z −→ 1/z

definida sobre todo el campo complejo excepto el origen de coordenadas.

Esta funciń es una biyecciń de C −{0} a C −{0}, y tiene la propiedad de transformar a:
o o

C´
ırculos del plano z en c´
ırculos del plano w cuando el origen de coordenadas es exterior al primero.

C´
ırculos del plano z en conjuntos exteriores a un c´
ırculo en el plano w, cuando el origen de coorde-
nadas es interior al primero.

En la figura 2.8 se han representado dos ejemplos de la transformaciń que produce la inversiń.
o o

ırculo |z| < a se convierte en el conjunto |z| > 1/a,
En particular, el segundo caso muestra como el c´
por supuesto que hacemos excepciń del origen.
o

A −→ A′
F R(A) −→ F R(A′ )
B −→ B ′

46 CAP´
IA

y z v w

A
B

x u

B′
A′

y z v w

|z| > 1/a
|z| < a

A B′
x u
B A′

Figura 2.8: Diversos conjuntos transformados mediante la funciń inversiń.
o o
El an´lisis geom´trico indica que un medio de interpretar a |z| > r como un c´
a e ırculo (bola del plano
complejo) es introduciendo dos definiciones:

a. Se introduce un nuevo ente ideal, no representable, llamado punto infinito que es el correspondiente
del origen de coordenadas a trav´s de la funciń inversiń.
e o o

b. Se considera que la parte “exterior”de un c´
ırculo es tambiń un c´
e ırculo.

De esta manera, la funciń inversiń se generaliza, pudiendo enunciarse entonces: “Todo c´
o o ırculo que
no tiene por frontera el origen se transforma en otro c´
ırculo”.
Adem´s, la inversiń da el medio de reducir el estudio de las funciones para valores no acotados de la
a o
variable al entorno de 0.

Desde el punto de los espacios m´tricos, la idea anterior significa una extensiń de los conceptos de
e o
bola y de entorno para el campo complejo. El planteo anal´ ıtico es:


1o Se define un nuevo ente (que no es un elemento de C) simbolizado por ∞, y llamado punto infinito,
de manera tal que generalice la inversiń de la siguiente forma:
o

∃∞ : Inv : C ∪ {∞} −→ C ∪ {∞}

 1/z z = 0, z = ∞
z −→ ∞ z=0
0 z=∞


∞ := Punto infinito o punto impropio

Esta funciń tambiń es biyectiva
o e

2o Se define bola de centro en ∞:

B(∞ r) := {z : |z| > r}

Con esta definiciń se extienden autom´ticamente los conceptos de entorno y de vecinal al punto
o a
infinito, siempre en el conjunto C ∪ {∞}.
Cabe se˜ alar, sin embargo, que V (∞) est´ compuesto totalmente por puntos de C y por ende es
n a
una nociń aplicable en ese conjunto.
o

2.9.2. Conjunto Complejo Extendido
Se llama conjunto complejo extendido a:

ˆ
C := C ∪ {∞}

ˆ
C := Conjunto complejo extendido

ˆ
Algebraicamente, se puede intentar extender las definiciones de suma y producto a C, postulando:

∀a∈C ∞+a= a+∞= ∞ z/∞ = 0
b=0 ∞·b= b·∞ =∞ z/0 = ∞

Quedan sin definir ∞ + ∞ y 0 · ∞, porque se vulnerar´ las leyes de la aritm´tica. De todos modos,
ıan e
ˆ
estas definiciones son de relativa eficacia porque el conjunto C no alcanza ni la estructura de espacio
vectorial ni la estructura de cuerpo.

2.9.3. Esfera de Riemann
Los conceptos de punto infinito, conjunto complejo extendido, entorno y vecinal de infinito pueden
ser concebidos a trav´s de una equivalencia que puede establecerse entre el plano complejo y una esfera
e
tangente a ´l, llamada esfera de Riemann.
e

La equivalencia se establece en lo siguientes t´rminos:
e

48 CAP´
IA

N

Si se proyectan, con centro en N , los puntos de la es- Z
y
fera sobre el plano, se define una aplicaciń biyectiva
o
entre los puntos de la esfera (exceptuando el punto
N ) y los puntos del plano.
x
f : Esf −{N } −→ C
Z −→ z z

Figura 2.9: Esfera de Riemann.

Esta aplicaciń puede extenderse tambiń a N si se define un nuevo elemento arbitrario que le corres-
o e
ponde, es decir, el punto infinito.
ˆ
f : Esf −→ C
z Z=N
Z −→
∞ Z=N

ısticas m´s destacadas de esta correspondencia son:
Las caracter´ a

I. La esfera tambiń es un espacio m´trico, provisto de una distancia definida por la geod´sica entre
e e e
dos puntos (m´
ınima distancia).

II. A circunferencias en el plano C le corresponden circunferencias sobre la esfera que no pasan por N .
ˆ
III. A un entorno del punto z del plano C, le corresponde un entorno del punto Z (aplicaciń de z) de
o
la esfera de Riemann.

N N
y

y

x x

Figura 2.10: Proyecciń estereogr´fica de
o a
una circunferencia que no pasa por el origen Figura 2.11: Proyecciń estereogr´fica de una circunfe-
o a
de coordenadas. rencia que pasa por el origen de coordenadas.

Esta ultima es la propiedad m´s importante y se hace una de ella cuando se desea interpretar a un
´ a
entorno del punto infinito a trav´s de la equivalencia plano complejo - esfera de Riemann.
e

En la figura 2.11 se muestra como un casquete esf´rico con centro en el punto N (bola del espacio
e
m´trico constituido por la esfera) se transforma en una bola del plano complejo con centro en el punto
e
infinito.


Si el casquete esf´rico no contiene a N se transforma en un c´
e ırculo plano.

Observaciń 1: La proyecciń usada se llama estereogr´fica, y por esta razń a la esfera de Riemann se la
o o a o
suele llamar tambiń esfera estereogr´fica.
e a

2.9.4. Diversas acepciones de “infinito”
La palabra “infinito”tiene una gran variedad de acepciones en el lenguaje matem´tico y en el lenguaje
a
corriente.
El infinito complejo no debe ser confundido po lo tanto con otros significados dados de “infinito”.
Algunos de los diferentes sentidos que se le atribuyen son:
1o Dado un conjunto D incluido en R, se dice que tiene cota superior k si:

D⊂R
k ∈ cota sup. D := ∃ k ∈ R : ∀ x ∈ D =⇒ x k

Se dice que el conjunto D tiene extremo superior infinito cuando no est´ acotado.
a
Esta primera acepciń de infinito se refiere a una propiedad de un conjunto real, la de no estar
o
acotado.
Este concepto puede ser generalizado a cualquier conjunto ordenado y por lo tanto no puede serlo
en el campo complejo. An´logamente, puede decirse que un conjunto D real tiene por extremo
a
inferior a menos infinito cuando no existe cota inferior.

2o Una segunda definiciń de infinito se emplea al agregar al conjunto de los reales des elementos
o
nuevos llamados m´s infinito (+∞ )y menos infinito (−∞), para conformar el conjunto de los
a
ˆ
reales extendidos, simbolizado por R.
ˆ
Se establece convencionalmente la extensiń de la suma y el producto a R.
o

∀x∈R −∞ < x < +∞
∀x∈R x + (+∞) = (+∞) + x = +∞
x + (−∞) = (−∞) + x = −∞
x − (+∞) = −(+∞) + x = −∞
x − (−∞) = −(−∞) + x = +∞
x x
= =0
+∞ −∞
x>0 x · (+∞) = (+∞) · x = +∞
x · (−∞) = (−∞) · x = −∞
x<0 x · (+∞) = (+∞) · x = −∞
x · (−∞) = (−∞) · x = +∞

Quedan sin definir entre otros +∞ + (−∞) y 0 · (+∞).
Esta interpretaciń de “infinito”tiene un paralelo con la vista en 2.9.2 pero son concepciones dis-
o
ˆ
tintas. Basta ver para ello que para pasar del C al C se crea un solo elemento, el infinito complejo,
ˆ
mientras que en el caso de extender R a R se crean dos: m´s infinito y menos infinito.
a
Tampoco en el caso de R ˆ se alcanza la estructura de cuerpo.

50 CAP´
IA

3o Un tercer empleo de la palabra infinito se hace en la frase “x tiende a +∞”, la cual no tiene de
por s´ ning´ n significado particular. En el contexto de “f (x) tiende al l´
ı u ımite L cuando x tiende a
+∞”quiere decir que los valores para los cuales se analiza la variable independiente, pertenecen a
conjuntos del tipo x > k.
Como corolario de ´ste p´rrafo se aconseja no usar desprejuiciadamente el t´rmino “infinito”, y es
e a e
conveniente precisar en cada caso su significado.

Cap´
ıtulo 3

Funciones de Variable Compleja.
Continuidad y L´
ımite

3.1. Funciones de variable compleja
Se llama funciń de variable compleja a una aplicaciń cuyo dominio D y rango R son subconjuntos
o o
de C.

La notaciń habitual para este tipo de funciones es z = (x y) para representar a un elemento de D y
o
w = (u v) para un elemento de R.

D ⊂ C


R ⊂ C

f ∈ func. var. compleja :=
f :

 D −→ R

z = (x y) −→ w = (u v) = f (z)


Se desprende de la definiciń que u y v, partes real e imaginaria de w, son sendas funciones reales de
o
dos variables.

f: z −→ f (z) = u(x y) + i v(x y)

Observaciń 1: Para designar a las funciones de variable compleja es usual tambiń emplear el t´rmino
o e e
“funciń compleja”.
o

3.2. Interpretaciń geom´trica
o e
El an´lisis geom´trico de las funciones de variable compleja requiere de cuatro dimensiones: dos para
a e
la variable z y dos para la variable w.

Una soluciń para ello es representar los elementos del dominio de la funciń sobre un plano (llamado
o o
|z ) y los elementos del rango sobre otro plano (llamado |w ).

51

52 CAP´
ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´
IMITE

y v
z w

Γ
f (z)

A z A′
γ w

x u

Figura 3.1: Transformaciń de regiones en R2 mediante una funciń de variable compleja.
o o

De esta manera puede decirse que una funciń de variable compleja establece una relaciń entre un
o o
punto z del plano |z y un punto w del plano |w .

Una forma de caracterizar geom´tricamente a las funciones de variable compleja es a trav´s de la
e e
representaciń de las transformaciones que produce a curvas y conjuntos en general, de un plano a otro.
o

Esta representaciń es util para resolver diversos problemas f´
o ´ ısicos de campos y potenciales.

Ejemplo: Para analizar un caso determinado, se elige la funciń:
o

f: C −→ C
z −→ z 2 = x2 −y 2 + i 2xy

que define el sistema:

u = x2 −y 2
v = 2xy

Para caracterizar la transformaciń se eligen dos familias de rectas, la primera de las paralelas al eje
o
y (familia γ1 ), y la segunda de las paralelas al eje x (familia γ2 ).
La funciń z 2 transforma las familias γ1 y γ2 del plano |z en las familias Γ1 y Γ2 , respectivamente,
o
del plano |w , que representan familias de par´bolas como se demuestra a continuaciń.
a o
2
 u = k2 − v

 
x = k u = k 2 −y 2  k=0
4k 2

2
  
z
γ1 y = y −→ Γ1 v = 2ky =⇒
u 0
k=0
  
y∈R y∈R
  

v=0


2
 u = v − k2

 
x = x u = x2 −k 2  k=0
4k 2

z2
  
γ2 y = k −→ Γ2 v = 2kx =⇒
u 0
k=0
  
x∈R x∈R
  

v=0


La funciń z 2 transforma rectńgulos del plano |z en rectńgulos de lados parab´licos en el plano |w.
o a a o
Se mantienen los ńgulos salvo en el caso cuando z = 0.
a

3.3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CARACTER´
ISTICAS Y EJEMPLOS 53

Este hecho no es casual, es una propiedad general de ciertas funciones complejas que se estudiarń en
a
los pr´ximos cap´
o ıtulos.
El lector puede verificar que las familias Γ1 y Γ2 son ortogonales entre s´
ı.

y v
z w

Γ2

A′
γ2 A

x u

γ1

Γ1

Figura 3.2: Transformaciń de caminos mediante la funciń f (z) = z 2 .
o o

3.3. Funciones de variable compleja. Caracter´
ısticas y ejemplos
3.3.1. Caracter´
ısticas
Se definen algunas propiedades de las funciones complejas.
Sea una de estas,

f: D −→ R
z −→ f (z)

entonces se define como funciń acotada a aquella cuyo m´dulo tiene cota superior.
o o

f ∈ Acotada := ∃ k ∈ R : ∀ z ∈ D =⇒ |f (z)| < k

k := Cota del m´dulo de la funciń
o o

Se llama funciń peri´dica de per´
o o ıodo T a aquella que cumple:

f ∈ Peri´dica := ∃ T ∈ C : f (z + T ) = f (z)
o

54 CAP´
IMITE

3.3.2. Ejemplos
En el transcurso del texto ya se han visto diversas funciones complejas como:

Parte real

Parte imaginaria

M´dulo de z
o

Argumento de z

Conjugado de z

Inversiń
o

las que se completarń con algunas otras de empleo frecuente:
a

Constante

Cte : C −→ C
z −→ k = w

Polinomio complejo de grado n

Pn : C −→ C
n
z −→ ak z k = Pn (z) n ∈ N0 , an = 0
k=0

Esta definiciń es una extensiń de los polinomios reales. Como en ese caso n se llama grado del
o o
polinomio.

Funciń racional
o

Rac : C−{r : Qm (r) = 0} −→ C
Pn (z)
z −→
Qn z
La funciń racional est´ definida entonces por el cociente de dos polinomios con dominio v´lida s´lo
o a a o
para aquellos complejos que no anulan el denominador.

Exponencial
La definiciń de la funciń exponencial ha sido discutida detalladamente en el apartado 1.11.2.
o o
Si se sigue la segunda orientaciń all´ presentada, se tiene:
o ı

exp : C −→ C
z −→ ez = ex cos y + i sen y

3.3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CARACTER´
ISTICAS Y EJEMPLOS 55

definiciń v´lida sobre todo el campo complejo, como extensiń de la funciń exponencial real.
o a o o

Algunas de las propiedades para destacar son:

Re(ez ) = ex cos y
Im(ez ) = ex sen y
| ez | = ex
arg(ez ) = y
ez = ez
1
= e−z
ez
∄ z : ez = 0
ez = 1 =⇒ z = i 2kπ k∈Z

La exponencial compleja es peri´dica con per´
o ıodo T = 2πi

Funciones trigonom´tricas
e
A partir de la funciń exponencial pueden extenderse al campo complejo las funciones trigonom´tricas
o e
reales:

sen : C −→ C
eiz − e−iz
z −→
2i

cos : C −→ C
eiz + e−iz
z −→
2

Las dem´s funciones trigonom´tricas, tangente, cotangente, secante y cosecante se definen a partir de
a e
las anteriores, formalmente igual a sus homńimas reales.
o

El desarrollo de la funciń sen en forma bin´mica es:
o o

e−y ey
sen z = (cos x + i sen x) − (cos x − i sen x)
2i 2i
= sen(x) cosh(y) + i cos(x) senh(y)

de donde se implica que es una funciń no acotada.
o

Para estas funciones se prueba:

sen2 z + cos2 z = 1
sen(z + z ′ ) = sen(z) cos(z ′ ) + cos(z) sen(z ′ )
cos(z + z ′ ) = cos(z) cos(z ′ ) − sen(z) sen(z ′ )

adem´s, tanto sen z como cos z tienen per´
a ıodo real 2π.

56 CAP´
IMITE

Funciones hiperb´licas
o

Como extensiń de las funciones homńimas reales se define en el plano complejo a las funciones seno
o o
hiperb´lico y coseno hiperb´lico:
o o

senh : C −→ C
(ez − e−z )
z −→
2

cosh : C −→ C
(ez + e−z )
z −→
2

Las restantes funciones hiperb´licas se definen tambiń de la manera habitual.
o e

Estas funciones se relacionan con las trigonom´tricas a trav´s de:
e e

sen z = −i senh(iz)
cos z = cosh(iz)

y son evidentemente peri´dicas con per´
o ıodo 2πi.

Queda a cargo del lector el an´lisis de las propiedades semejante a las de las funciones trigonom´tricas
a e
y exponencial.

3.4. Continuidad

3.4.1. Definiciń
o

Para dotar de rigor al tratamiento del c´lculo integral, diferencial, sucesiones, series, etc. es necesario
a
precisar la nociń de continuidad.
o

Esta, es una de las ideas m´s importantes y fascinantes del an´lisis matem´tico, que ha abierto la
a a a
necesidad y el camino para nuevos cursos de estudio y creaciń, entre ellos por ejemplo los espacios
o
m´tricos y los espacios topol´gicos en general.
e o

Para introducirse en la concepciń de la nociń de continuidad es m´s sencillo pasar por el significado
o o a
de su opuesto l´gico: la falta de continuidad.
o

Un primer acercamiento a la idea podr´ ser : “Los puntos x pr´ximos al punto a no tienen una
ıa o
aplicaciń f (x) pr´xima a f (a)”.
o o

3.4. CONTINUIDAD 57

D R

U(f (a)) U(a)

f (a) a U(f (a)) f (a)

a
x Imagen de U (a)
U(a)

Figura 3.3: Funciń de una va-
o Figura 3.4: Funciń de una variable compleja disconti-
o
riable real discontinua en a. nua en a.

Sin embargo, esta expresiń carece de sentido porque la palabra “proximidad”es indefinida, y tiene
o
en el lenguaje corriente un significado relativo al contexto de referencia. Lo que puede ser pr´ximo en un
o
caso, puede no serlo en otro.

La nociń de distancia con la consiguiente definiciń de entorno es la que permite dotar de rigor a las
o o
definiciones buscadas.

Se puede decir con precisiń entonces para una funciń
o o

f: D −→ R
X −→ Y = f (X)

donde D y R son subconjuntos de los espacios m´tricos E y E ′ , si dado un entorno de f (a), U (f (a)), no
e
puede encontrarse ning´ n entorno de a, U (a), de modo tal que todos los elementos de U (a) ∩ D, tengan
u
aplicaciń en U (f (a)), entonces la funciń f es discontinua en a.
o o

Simb´licamente:
o

f ∈ C/a
/ := ∃ U (f (a)), ∄ U (a) : ∀ x ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))

f ∈ C/a
/ := La funciń f no es continua en a
o

En el gr´fico anterior se han representado dos ejemplos de discontinuidad, uno para una funciń de
a o
variable real, y otro para una funciń de variable compleja. Sobre el rango de cada una de las aplicaciones
o
se ha coloreado la imagen de U (a), que como se observa no est´ incluida en U (f (a)).
a

El opuesto l´gico de esta definiciń nos asegura que no hay “salto”, es decir que la funciń es continua.
o o o
La definiciń es v´lida para cualquier funciń f entre dos espacios m´tricos o subconjuntos de dichos
o a o e
espacios m´tricos. Se incluye como caso particular, por supuesto, a los casos de funciones reales de una
e
o varias variables y a las funciones complejas.

D⊂E
f: D −→ R :
R ⊂ E′
X −→ f (X)

f ∈ C/a := ∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))

58 CAP´
IMITE

Observaciń 1: Debe observarse que en la definiciń no se exige ninguna condiciń especial al punto a,
o o o
salvo que pertenezca al dominio de la funciń para que exista f (a).
o
Observaciń 2: En la definiciń se interseca a U (a) con D, dominio de la funciń, para asegurar que para
o o o
los puntos X considerados exista imagen f (X).
En particular, el conjunto U (a) ∩ D nunca es vac´ porque por lo menos contiene al punto a.
ıo
A partir de la definiciń de continuidad se extrae el siguiente teorema:
o
Teorema 3.4.1. Toda funciń es continua en los puntos aislados de su dominio.
o

a ∈ Pt. aislado D =⇒ f ∈ C/a

Demostraciń.
o

Por definiciń de Pt. aisl:
o

∀ U (f (a)) ∃ U (a) : U (a) ∩ D = {a}

Luego

∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒
∀ X ∈ {a} =⇒ f (a) ∈ U (f (a))

Observaciń 3: Se ha introducido la nociń de continuidad precediendo al concepto de l´
o o ımite por dos
razones:
1o Porque desde un punto de vista heur´ıstico el l´
ımite es una extensiń de la nociń de continuidad,
o o
y tambiń por ello desde el punto de vista pedag´gico se puede explicar y entender mejor dicho
e o
concepto.
2o Hay funciones continuas que no tienen l´
ımite, las definidas sobre un punto aislado.
Para el caso particular de funciones de variable compleja, la definiciń de continuidad se puede reducir
o
a una forma operativa, tomando como entornos a bolas con centro a y f (a) respectivamente en los planos
|z y |w.

U (a) = {z : |z − a| < δ}
U (f (a)) = {w : |w − f (a)| < ǫ}

resultando:

f ∈ C/a := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {z : |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f (z) − f (a)| < ǫ

3.4.2. Continuidad sobre un conjunto
La definiciń de continuidad se refer´ a un punto espec´
o ıa ıfico a del dominio de la funciń.
o

Si esta propiedad se puede extender a un conjunto de puntos, se dice que la funciń es continua sobre
o
´l, y se escribe:
e

f ∈ C/A := ∀ a ∈ A =⇒ f ∈ C/a

f ∈ C/A := La funciń f es continua sobre el conjunto A.
o

3.5. L´
IMITE 59

3.5. L´
ımite
3.5.1. Definiciń de l´
o ımite
Puede hacerse una extensiń del concepto de continuidad a los puntos de acumulaciń del dominio de
o o
una funciń f (pertenezcan o no a ´l), cuando existe un elemento L del espacio E ′ (donde se aplica f ),
o e
que pueda hacer las veces de f (a) en la definiciń de continuidad.
o
No se toma en cuenta lo que sucede en a, punto para el cual puede existir o no la funciń.
o

Es decir, el l´
ımite L es el valor hipot´tico que habr´ que asignarle al punto a para que la funciń
e ıa o
fuera en ´l continua. Por supuesto esto no siempre es posible y en ese caso se dice que no existe el l´
e ımite.

La terminolog´ usada para expresar la existencia de tal n´mero L es: “f (X) tiende a L cuando X
ıa u
tiende a a”.
La frase “X tiende a a”no tiene significado propio sino como parte de la expresiń anterior.
o

Simb´licamente se define entonces:
o

D⊂E
f: D −→ R :
R ⊂ E′
X −→ f (X)
a ∈ Pt. acumulaciń de D
o

f (X) − − → L := ∀ U (L) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (L)
−−
X−→a

f (X) − − → L := f tiende a L cuando X tiende a a.
−−
X−→a

Otra notaciń usual para representar a la definiciń de l´
o o ımite es:

l´ f (X) = L
ım
X→ a

Observaciń 1: La diferencia formal de esta definiciń con respecto a la de continuidad es que se ha
o o
empleado el s´
ımbolo V (a) en lugar de U (a). Es decir, el uso de vecinales de a es obligado porque no debe
tenerse en cuenta si existe o no la funciń en a y tampoco, en caso afirmativo, cual es ese valor f (a).
o

o o ımite, es necesario que V (a) ∩ D = ∅. Esta es
Observaciń 2: Para asegurar el sentido de la definiciń de l´
la razń para postular que el punto a debe ser de acumulaciń de D.
o o
De acuerdo a la Observaciń 2 del p´rrafo 3.4.1 esto no era necesario en la definiciń de continuidad.
o a o

Observaciń 3: La definiciń del l´
o o ımite de una funciń no permite su obtenciń, sino simplemente su
o o
verificaciń. El llamado “c´lculo de l´
o a ımites”se reduce a la aplicaciń de teoremas que ligan l´
o ımites de
funciones conocidas y tabuladas.

La definiciń de vecinal de infinito en el plano complejo permite la extensiń de la definiciń de l´
o o o ımite
a ese caso sin necesidad de modificaciones.

En particular, si la definiciń de l´
o ımite se expresa para funciones de variable compleja tomando como

60 CAP´
IMITE

entorno a bolas del plano, resulta:

f (z) − − L := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {0 < |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f (z) − L| < ǫ
−→
z→a

f (z) − − L := ∀ ǫ > 0 , ∃ r : ∀ z ∈ {|z| > r} ∩ D =⇒ |f (z) − L| < ǫ
−→
z→∞

f (z) − − ∞ := ∀ M , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {0 < |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f (z)| > M
−→
z→a

La ultima expresiń significa que en el vecinal del punto a la funciń no est´ acotada.
´ o o a

ımite est´ dado por el siguiente teorema:
La relaciń entre las definiciones de continuidad y l´
o a
Teorema 3.5.1. Para que una funciń f : D −→ R sea continua en un punto a de acumulaciń de D,
o o
es condiciń necesaria y suficiente que exista l´mite de la funciń para X tendiendo a a, que exista f (a)
o ı o
y tambiń que el l´mite sea igual al valor de la funciń f (a).
e ı o

H1 f (X) − − L 
−→ 
X→a  a ∈ Pt. acum D
H2 f : a −→ f (a) ⇐⇒
 f ∈ C/a
H3 L = f (a) 

Demostraciń. En primer lugar se encara la condiciń necesaria
o o

a −→ f (a)
f ∈ C/a =⇒
∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))

Eligiendo V (a)

V (a) = U (a) − {a}
a ∈ ACU M (D) =⇒ V (a) ∩ D = ∅

Resulta entonces:

∀ U (f (a)) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U ((f (a)))

Aplicando la definiciń de l´
o ımite, se observa que existe y es f(a)

L = f (a)

Se pasa a la condiciń suficiente
o

H1 =⇒ ∀ U (L) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (L)
H3 =⇒ ∀ U (f (a)) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))
H2 =⇒ {a} = {a} ∩ D =⇒ f (a) ∈ U (f (a))

Eligiendo entonces

U (a) = V (a) ∪ {a}

3.5. L´
IMITE 61

Resulta

∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))

Con lo cual queda probado que la funciń es continua. Que a es un punto de acumulaciń est´ impl´
o o a ıcito
en la definiciń de l´
o ımite.

H1 =⇒ a ∈ Pt. acumulaciń de D
o

3.5.2. Operaciones con l´
ımites
El enfoque hecho en los conceptos de l´
ımite y continuidad por medio de las estructuras de los espacios
m´tricos permite demostrar una sola vez propiedades que son comunes a determinados conjuntos.
e

Esto tambiń significa que si dos conjuntos tienen leyes de composiciń formalmente iguales, las pro-
e o
piedades y teoremas demostrados para uno son v´lidos para el otro.
a

Muchas de las propiedades estudiadas en las funciones reales pueden ser extendidas.

En el caso de las funciones compuestas en cualquier espacio m´trico, el l´
e ımite de una funciń compuesta
o
es igual a la composiciń de los l´
o ımites. En cuanto a la continuidad, la composiciń de dos funciones
o
continuas es continua, como lo expresa el siguiente teorema:
Teorema 3.5.2.
f: D −→R
g: D′ −→R′ : R ⊂ D′

f ∈ C/a
=⇒ g ◦ f ∈ C/a
g ∈ C/f (a)

R′
R
f
D′ g
D
Y = f (X) g(Y )
X
f (a) g(f (a))
a
U(f (a)) U(g(f (a)))
U(a)

Figura 3.5: Composiciń de funciones de una variable compleja.
o

Demostraciń. La existencia de la funciń compuesta est´ asegurada porque R ⊂ D′ .
o o a

H2 =⇒ ∀ U (g(f (a)) , ∃U (f (a)) : ∀ Y ∈ U (f (a)) ∩ D′ =⇒ g(Y ) ∈ U (g(f (a)))
H1 =⇒ ∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))

62 CAP´
IMITE

Eligiendo en la segunda expresiń un U (f (a)) conveniente
o

∀ U (g(f (a))) , ∃U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ g ◦ f (X) ∈ U (g(f (a)))

La continuidad y el c´lculo de l´
a ımites para las operaciones vectoriales se extiende a todos los espacios
normados.
Esta es la relaciń esencial entre las dos estructuras del espacio normado, la m´trica y la vectorial.
o e

f (X) −→ F
=⇒ f + g −→ F + G
g(X) −→ G

f (X) −→ F =⇒ λf −→ λF

λ −→ Λ =⇒ λf −→ Λf

La prueba de estas propiedades de la suma y producto vectorial, es inmediata aplicando la definiciń de
o
l´
ımite y teniendo en cuenta que

N ((f + g) − (F + G)) N (f − F ) + N (g − G)
N (λf − λF ) = |λ| N (f − F )
N (λf − Λf ) = |λ − Λ| N (f )

Todas las propiedades vistas hasta el momento pueden ser aplicadas a funciones complejas.
Pero, adem´s, como las definiciones de continuidad y de l´
a ımite hechas para dichas funciones, coinciden
formalmente con las correspondientes a las funciones reales de una variable.

La consecuencia de este an´lisis es que la continuidad y el c´lculo de l´
a a ımite de las operaciones del
cuerpo de los reales se extienden al cuerpo de los complejos.

En concreto, suponiendo que los l´
ımites existan, la suma, diferencia, producto y cociente (exceptuando
el caso de denominador cero) de l´ımites es igual al l´
ımite de la suma, diferencia, producto y cociente de
las funciones complejas, siempre suponiendo que los l´ ımites son finitos.
Para el caso de continuidad, el resultado de la extensiń de las funciones reales de una variable es
o
an´logo.
a

Un teorema relativo al l´
ımite de la parte real e imaginaria de una funciń de variable compleja es:
o
Teorema 3.5.3. Una funciń de variable compleja tiende a un l´mite si y s´lo si su parte real tiende a
o ı o
la parte real del l´mite, como as´ tambiń la parte imaginaria tiende a la parte imaginaria del l´mite.
ı ı e ı

u(x y) − − U 
−→
z→a
⇐⇒ u(x y) + i v(x y) − − U + i V
−→
v(x y) − − V 
−→ z→a
z→a

Demostraciń. La condiciń suficiente se puede demostrar directamente a partir del teorema del l´
o o ımite
de la suma, pero adem´s se puede demostrar directamente a partir de
a

|(u + i v) − (U + i V )| |u − U | + |v − V |

Como puede acotarse el segundo miembro por la suma de dos n´ meros arbitrarios, reales no negativos,
u
el primer miembro tambiń est´ acotado arbitrariamente, y por lo tanto hay l´
e a ımite.

3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS 63

Del mimo modo la condiciń necesaria:
o
|Re(z)| |z| ∧ |Im(z)| |z|

de acuerdo con las propiedades de 1.6.2

|u − U | |(u + i v) − (U + i V )|
|v − V | |(u + i v) − (U + i V )|
entonces por razonamiento an´logo al anterior existen los l´
a ımites de la parte real e imaginaria de la
funciń compleja y son U y V , respectivamente.
o
Una consecuencia inmediata de este teorema es la siguiente:
Corolario 3.5.3.1. Una funciń compleja es continua si y s´lo si son continuas sus partes real e ima-
o o
ginaria.

u ∈ C/a
⇐⇒ u + i v ∈ C/a
v ∈ C/a

3.6. Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos
Para el desarrollo de la derivaciń e integraciń en el campo complejo, se trabaja con conjuntos tales
o o
como curvas, caminos, lazos,etc. conceptos que conviene precisar y analizar con detenimiento.

3.6.1. Continuidad por partes de funciones reales
Una funciń de variable real, se dice que es continua por partes sobre un intervalo cerrado y aco-
o
tado (compacto) [a b] cuando salvo para un n´ mero finito de puntos es continua sobre dicho intervalo,
u
y adem´s en los puntos de discontinuidad existen los l´
a ımites de la funciń por la derecha y por la izquierda.
o

No es necesario para esta definiciń que la funciń tome valores en los puntos de discontinuidad.
o o

Simb´licamente:
o


 k ∈ < 0, n >


a = a0 < a1 < a2 < · · · < an = b





f ∈C I


f ∈ CP [a b] := f : I = [a, b] − {ak } −→ Rn : +
 ∀ k , ∃ f (ak ) = l´ f (x)
ım

 x→ak
x>ak


 −
∃ f (ak ) = l´ f (x)
ım




 x→ak
x<ak

f ∈ CP [a b] := La funciń f es continua por partes sobre el intervalo [a b]
o

Observaciń: De acuerdo con la definiciń, el intervalo I se puede descomponer en un n´ mero finito de
o o u
intervalos

[a0 , a1 ], [a1 , a2 ], . . . , [an−1 , an ]

64 CAP´
IMITE

donde para cada uno de ellos se puede definir

fk [ak , ak+1 ] −→ Rn
 f (a+ )

k x = ak
x −→ f (x) x ∈ (ak , ak+1 )
f (a− ) x = ak+1

k

y a partir de all´ la integral definida seg´ n Cauchy se extiende como suma de un n´ mero finito de integrales
ı u u
definidas (las funciones fk son continuas sobre un compacto):

b n−1 ak+1
f (x) dx = fk (t) dt
a k=0 ak

3.6.2. Camino
Se llama camino a toda aplicaciń continua de un intervalo real cerrado y acotado (compacto) [a b]
o
sobre el conjunto de los complejos C, con la condiciń adicional de que la aplicaciń tenga derivada
o o
continua por partes.

γ ∈ Camino := γ : I = [a b] −→ C

a = b

t −→ x(t) + i y(t) : γ ∈ C [a b]
 ′
γ ∈ CP [a b]


Observaciń: Por ser γ ′ ∈ CP entonces
o

b
γ(t) = C + γ ′ (s) ds
a

La terminolog´ usada con relaciń a los caminos es la siguiente:
ıa o

γ(a) := Origen del camino o extremo inicial.
γ(b) := Extremo final del camino.
t := Par´metro
a

Tambiń se suele expresar que γ es un camino que une los puntos origen γ(a) y el extremo γ(b).
e

Desde el punto de vista geom´trico γ(t) describe una trayectoria γ(I) (imagen de I) con las carac-
e
ter´
ısticas:

I. γ ′ ∈ C c ∧ γ′ = 0

γ ′ ∈ C d

/ 
II. ∃ γ ′ (d+ ) =⇒ ∃ puntos angulosos con dos tangentes

′ −
∃ γ (d )


III. La trayectoria puede tener puntos m´ ltiples, es decir, para diferentes valores de t puede correspon-
u
derle el mismo par (x y). Ejemplo el punto m.


γ(a)
c = γ(t0 )

m

γ(b)

| | | d
a t0 b

Figura 3.6: Camino en el campo complejo.

Otra definiciń util para los desarrollos posteriores es:
o ´
γ ∈ Camino contenido en D := γ ∈ Camino : γ(I) ⊂ D

3.6.3. Lazo
Se dice que un camino es un lazo cuando los extremos son iguales:
γ ∈ Lazo := γ ∈ Camino : γ(a) = γ(b)
Es usual decir tambiń que el lazo γ tiene origen en γ(a).
e

γ(a) = γ(b)

γ(t0 )

| | |
a t0 b

Figura 3.7: Lazo en el campo complejo.

3.6.4. Curva
Se llama curva a la imagen de γ, γ(I).
No deben confundirse los conceptos de camino y curva, pues entre ambos existe la misma diferencia
que entre funciń e imagen de la funciń.
o o

Puede haber varios caminos con la misma curva.
Si un camino pasa varias veces por un mismo punto (para diferentes valores del par´metro t), corres-
a
ponden un s´lo elemento de la curva (un s´lo elemento de γ(I)).
o o

66 CAP´
IMITE

Ejemplo: Los tres caminos

cf1 : [0 2π] −→ C
t −→ cos t + i sen t = eit

cf2 : [0 2π] −→ C
t −→ e2it

cf2 : [0 2π] −→ C
t −→ i eit

tienen por imagen a una misma curva, la circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1,
|z| = 1.

Sin embargo son caminos diferentes, basta para ellos comparar:

cf1 cf2 cf3
origen (1; 0) (1; 0) 0; 1
extremo (1; 0) (1; 0) 0; 1
no de vueltas 1 2 1
sentido giro + + -
longitud 2π 2π 2π

Nota: Se ha designado con signo positivo al sentido de giro contrario al de las agujas del reloj y
negativo al opuesto.

Observaci´n: La diferencia de las nociones de camino y curva es importante y debe ser tenida en cuenta en
o
el c´lculo de integrales complejas. Caminos diferentes con igual imagen pueden dar resultados diferentes.
a

3.6.5. Caminos opuestos y yuxtapuestos

Camino opuesto

Un camino se llama opuesto de otro γ deﬁnido sobre I, y simbolizado por γ ∗ , a:


 γ:
 I = [a b] −→ C
∗
γ ∈ Camino opuesto de γ := γ∗ : I = [a b] −→ C

t −→ γ(a + b − t)


El origen y el extremo de γ ∗ son respectivamente γ(b) y γ(a). Desde el punto de vista geom´trico, la
e
curva que representa al camino γ y a su opuesto es la misma, pero “recorrida en sentido inverso”.


Caminos yuxtapuestos
Un camino es la yuxtaposiciń de otros dos γ1 y γ2 cuando al extremo del primero es el origen del
o
segundo y se define de acuerdo a las condiciones siguientes.
γ1 : I1 = [a b] −→ C
γ2 : I1 = [c d] −→ C
γ1 (b) = γ2 (c)

γ1 ∨ γ2 : [a, b + d − c] −→ C
γ1 (t) t ∈ [a b]
t −→ γ(t) =
γ2 (t + c − b) t ∈ [b, b + d − c]

γ1 ∨ γ2 := Camino yuxtaposiciń de γ1 y γ2
o

γ2 (d)
γ1 (I1 )

γ1 (a) γ2 (I2 )

γ1 (b) = γ2 (c)
I1 I2
| | | | |
a b b+d−c c d

Figura 3.8: Caminos yuxtapuestos.

Se deduce inmediatamente de la definiciń que si
o
γ := γ1 ∨ γ2
entonces se cumple
γ(a) = γ1 (a)
γ(b) = γ1 (b) = γ2 (c)
γ(b + d − c) = γ2 (d)
Un camino puede ser considerado como la yuxtaposiciń de otros dos, obtenidos dividiendo el intervalo
o
de la siguiente manera:
γ : [a b] −→ C 


∀ c : a < c < b

=⇒ γ = γ1 ∨ γ2
γ1 : [a c] −→ C

γ2 : [c b] −→ C


Eligiendo un punto c de este modo, se puede considerar un lazo tambiń como yuxtaposiciń de dos
e o
caminos, γ1 ∨ γ2 . El camino γ2 ∨ γ1 tambiń es un lazo, pero de origen en el punto γ(c).
e

68 CAP´
IMITE

3.6.6. Ejemplos de caminos
Algunos casos de inter´s particular son:
e

Camino constante
Se dice que un camino es constante si su imagen se reduce a un solo punto.

γ ∈ Camino constante := γ(I) = {a}

Arco de circunferencia unidad
Esta funciń es:
o

cf (α) : [0 1] −→ C
t −→ e2πiαt : α ∈ R

y es un camino cuya imagen es parte (o todo) de la circunferencia de radio unitario |z| = 1.

Si α es entero no nulo, la imagen γ(I) es la circunferencia unidad recorrida α veces (ver ejemplo del
p´rrafo 3.6.4). Si α = 0 la funciń se reduce a un camino constante.
a o

Segmento
El cl´sico segmento de recta se representa anal´
a ıticamente por:

Sgm : I = [a b] −→ C
t −→ ct + d : c ∈ C, d ∈ C

Poligonal o l´
ınea quebrada
Toda yuxtaposiciń de segmentos se llama poligonal.
o

 a = a0 < a1 < · · · < an = b


 P = S ∨S ∨ ···∨ S

 1 2 n
P : I = [a b] −→ C : Sk : [ak−1 , ak ] −→ C k ∈ < 1, n >

t −→ ck t + dk




ck ak + dk = ck+1 ak+1 + dk+1


P (a) a I1 I2 b
P (b) | | | |
a0 a1 a2 an

Figura 3.9: Camino poligonal.

La ultima condiciń es la de yuxtaposiciń, pues Sk (ak ) = Sk+1 (ak ).
´ o o


3.6.7. Camino simple. Lazo simple
Un tipo de camino particularmente importante es el que se llamar´ camino simple o arco de Jordan.
a
As´ se designa a todo camino γ determinado por una funciń inyectiva, esto significa geom´tricamente
ı o e
que no hay puntos m´ ltiples, hecha excepciń de los extremos del camino.
u o
Si γ es un lazo y camino simple, se dice que es un lazo simple.

Camino simple
Caminos no simples

Lazo simple Lazos no simples

Figura 3.10: Ejemplos de caminos y lazos.

Anal´
ıticamente:

γ : I = [a b] −→ C
γ ∈ Camino simple := ∀ (t s) ∈ I × I − {(a b)} =⇒ (γ(t) = γ(a) ⇔ t = a)

3.6.8. Caminos equivalentes
Des caminos se dicen equivalentes cuando puede establecerse una biyecciń creciente entre los respec-
o
tivos intervalos de definiciń, de acuerdo con las condiciones
o

 γ1 : I1 = [a b] −→ C


 γ2 : I2 = [c d] −→ C





 
 ϕ ∈ biyectiva


 
(γ1 γ2 ) ∈ Caminos equiv. :=

 ϕ ∈ creciente



 
 ∃ ϕ : I2 −→ I1 : ϕ ∈ C/I2



  ′


  ϕ ∈ CP/I2



 

γ2 (t) = γ1 (ϕ(t))
 

70 CAP´
IMITE

Los caminos equivalentes, tienen igual imagen, origen y extremo.

 γ1 (I) = γ2 (I)

(γ1 γ2 ) ∈ Caminos equiv. =⇒ γ1 (a) = γ2 (c)

γ1 (b) = γ2 (d)


Un camino
γ2 : t −→ γ1 (λt + µ) : λ > 0
es siempre equivalente al camino γ1 . Este resultado permite reducir todo camino a un equivalente con
intervalo de definiciń I = [0 1].
o

3.7. Conjuntos conexos
Un conjunto D de un espacio Rn se dice conexo, cuando todo par de puntos de D puede ser unido
por un camino contenido en D.

 D ⊂ Rn


 
 γ(a) = x
D ∈ Conexo := 
 ∀ (x y) ∈ D × D =⇒ ∃ γ : I = [a b] −→ Rn : γ(b) = y

 
γ(I) ⊂ D
 

En particular, el camino γ puede ser una poligonal.

ırculo en el plano complejo |z − a| < r (bola en el campo complejo) es conexo.
Un c´

Geom´tricamente algunos ejemplos son:
e

A
E
B

C D

F

Figura 3.11: Ejemplo de conjuntos conexos. Figura 3.12: Ejemplo de conjuntos no conexos.

3.8. Homotop´ de caminos y lazos
ıa
3.8.1. Homotop´ de caminos
ıa
La idea de homotopá entre dos caminos significa intuitivamente que puede pasarse de uno a otro a
ı
trav´s de una deformaciń continua.
e o

3.8. HOMOTOP´ DE CAMINOS Y LAZOS
IA 71

Matem´ticamente puede definirse:
a


 D ∈ abierto

D⊂C




γ1 : I = [a b] −→ C : γ1 (I) ⊂ D




γ2 : I = [a b] −→ C : γ2 (I) ⊂ D




(γ1 γ2 ) ∈ h(D ϕ) := 


 
 J = [c d]
 
ϕ ∈ C/I × J

 
∃ ϕ : I × J −→ D :



ϕ(t c) = γ1 (t)

 

 


ϕ(t d) = γ2 (t)
 

(γ1 γ2 ) ∈ h(D ϕ) := γ1 y γ2 son caminos hom´topos en D por la homotop´ ϕ
o ıa
ϕ := Homotop´ de γ1 y γ2 en D
ıa

γ1 (I)

γ2 (I)

Figura 3.13: Homotop´ de los caminos γ1 y γ2 en D
ıa

Observaciń: Se destacan algunas particularidades de la definiciń de caminos hom´topos:
o o o

γ1 y γ2 estń definidos sobre el mismo intervalo I.
a

ϕ es continua respecto de dos variables, (t s) ∈ I × J.

No se exigen condiciones de derivaciń para ϕ salvo las impuestas a γ1 y γ2 .
o

3.8.2. Homotop´ de lazos
ıa
Se llama homotopá de lazos a aquella que para todo elemento de J da un lazo. Esto significa que
ı
todos los caminos de la homotop´ son lazos.
ıa

(γ1 γ2 ) ∈ h⊙ (D ϕ) := (γ1 γ2 ) ∈ h(D ϕ) : ∀ s ∈ J =⇒ ϕ(a s) = ϕ(b s)

(γ1 γ2 ) ∈ h⊙ (D ϕ) := γ1 y γ2 son hom´topos por la homotop´ de lazos ϕ en el conjunto D.
o ıa

72 CAP´
IMITE

Observaciń: Si D ⊂ D′ puede no existir homotop´
o ıa
en D, pero si en D′ .

Tanto la homotop´ de caminos como la de lazos son
ıa
relaciones de equivalencia. γ1 (I) γ2 (I)
Su verificaciń es inmediata
o

Figura 3.14: Homotop´ de los lazos γ1 y γ2 .
ıa

3.8.3. Homotop´ a un punto
ıa

Se dice que un lazo es hom´topo a un punto en D si existe una homotop´ de lazos ϕ de dicho lazo al
o ıa
lazo constante (cuya imagen es un punto).

(γ1 γ2 ) ∈ h• (D ϕ) := (γ1 γ2 ) ∈ h⊙ (D ϕ) : γ2 (I) = {P }

3.9. Clasificaciń de conjuntos conexos en C
o

3.9.1. Conjuntos simplemente conexos

Un conjunto D del plano complejo, abierto y conexo se dice que es simplemente conexo cuando todo
lazo contenido en ´l es hom´topo a un punto.
e o
Es decir, sobre D existe una sola clase de equivalen-
cia de homotop´ de lazos, que adem´s es homotop´
ıa a ıa
a un punto.

En forma intuitiva, el conjunto simplemente conexo
es aquel que no tiene “agujeros”.

Una propiedad de estos conjuntos que puede ser em-
pleada para definirlos es:

D ∈ Abierto y conexo
ˆ
D ∈ Simplemente conexo =⇒ C ⊙ (D/C) ∈ Conexo Figura 3.15: Conjunto simplemente conexo.

3.9.2. Conjuntos m´ltiplemente conexos
u

Un conjunto se llama m´ltiplemente conexo cuando no es simplemente conexo.
u

´
3.9. CLASIFICACION DE CONJUNTOS CONEXOS EN C 73

Desde el punto de vista intuitivo significa que tiene
uno o m´s “agujeros”.
a

Ejemplos:
Un anillo en el campo complejo.
Una bola en el campo complejo sin su centro.

Figura 3.16: Conjunto m´ltiplemente conexo.
u

La definiciń de conjuntos m´ ltiplemente conexos es el contrario l´gico de la definiciń de simplemente
o u o o
conexo. Esto quiere decir que tiene que haber m´s de una clase de equivalencia de lazos hom´topos.
a o

Tal observaciń permitir´ una clasificaciń de los conjuntos m´ ltiplemente conexos.
o a o u

Otro m´todo para ello es por medio de cortaduras, que se ver´ a continuaciń.
e a o

3.9.3. Cortadura

Se llama cortadura en un conjunto abierto y conexo,
a la exclusiń del mismo de un camino simple (arco
o
de Jordan) cuyos puntos deben ser todos interiores
con excepciń de los extremos, que pueden no serlo.
o

En otras palabras, como D es abierto, los puntos no
extremos del camino deben ser de D.
Figura 3.17: Ejemplos de cortadura.

γ ∈ Camino simple
γ ∈ Cortadura de D := γ : [a b] −→ C :
∀ t ∈ (a b) =⇒ γ(t) ∈ IN T (D)

3.9.4. Grado de multiplicidad

Se llama grado de multiplicidad de un conjunto
m´ ltiplemente conexo a la m´
u ınima cantidad de
cortaduras que deben hacerse para transformarlo en
simplemente conexo.

El grado de multiplicidad tambiń es llamado orden
e
de conexiń.
o

La cantidad de clases de lazos hom´topos est´ rela-
o a
cionada con el grado de multiplicidad.
Figura 3.18: Conjunto con grado de multi-
plicidad=3

74 CAP´
IMITE

En efecto,

q = 2n

q := Cantidad de clases de lazos hom´topos
o
n := Grado de multiplicidad de conexiń
o

Esta relaciń puede usarse para definir el grado de multiplicidad sin introducir el concepto de corta-
o
dura.
Observaciń: Algunos textos definen como orden de conexiń a n − 1.
o o
Intuitivamente, el grado de multiplicidad representa la cantidad de “agujeros”que tiene un conjunto
m´ ltiplemente conexo.
u

Cap´
ıtulo 4

Derivaciń en el Campo Complejo
o

4.1. Derivaciń
o
Dada una funciń de variable compleja,
o

D⊂C
f : D −→ R :
R⊂C

se define como derivada de la funciń f en un punto a del dominio D, simbolizada por f ′ (a), a:
o
f (a + ∆z) − f (a)
f ′ (a) := l´
ım
∆z→0 ∆z

f ′ (a) := Derivada de f en el punto a
Cuando existe la derivada, es decir el l´
ımite del cociente incremental, se suele decir que la funciń f
o
es derivable en el punto:
f ∈ DER/a := ∃ f ′ (a)

f ∈ DER/a := La funciń f es derivable en el punto a
o

Observaciń: La definiciń anterior de derivada es
o o γ D
formalmente igual a la de funciń de una variable
o
real. ∆z
Sin embargo, a pesar de que se aprovechar´ la seme-
a a
janza formal para extraer conclusiones sobre algunas
propiedades de la derivada de las funciones de varia- V (a)
ble compleja, no debe caerse en un an´lisis superfi-
a
V (a) ∩ D
cial.
Figura 4.1: Incremento de z a trav´s de un
e
camino γ.

La definiciń de derivada para variable compleja lleva impl´
o ıcito que el l´
ımite es doble, es decir, el
incremento ∆z debe tomarse sobre todo un vecinal V (a) en su intersecciń con el dominio.
o

75

76 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO

Por lo tanto si se incrementa z sobre un camino cualquiera γ, el l´ımite del cociente incremental es
constante.
En particular, el l´
ımite del cociente incremental es el mismo (e igual a la derivada en el punto) a
lo largo de cualquier recta que pase por a. Esta es una condiciń necesaria pero no suficiente, como se
o
verifica en la funciń,
o
3 2 2
 x y +i x y

4 + y2 4 + y2
z=0
f : z −→ f (z) = x x

0 z=0

que tiene derivada nula en el origen seg´ n cualquier direcciń, pero no por un camino parab´lico y = kx2 ,
u o o
y entonces se asegura que no es derivable en modo complejo.

4.2. Diferencial
Se dice que una funciń de variable compleja f es diferenciable cuando su incremento ∆f puede
o
escribirse:

A∈C
f ∈ DIF/a := ∆f = A ∆z + δ(∆z)∆z :
δ(∆z) − − → 0
−−
∆z→0

f ∈ DIF/a := La funciń f es diferenciable en el punto a
o

La definiciń de diferenciabilidad significa que el incremento de una funciń puede escribirse como la
o o
suma de:
Producto de una constante A por el incremento de la variable z.
Producto de un infinit´simo δ(∆z) por el incremento de la variable z.
e
y por lo tanto la diferenciabilidad asegura la aproximaciń lineal de la funciń f .
o o
Esta es la importancia del diferencial, que se define como

df := A ∆z

df := Diferencial de f

Observaciń: La definiciń de diferenciabilidad de THOMAE para funciones de varias variables reales,
o o
particularizando el ejemplo a dos dimensiones, es:

u: D −→ R
(x y) −→ u(x y) : D ⊂ C

A∈R



B∈R



u ∈ DIF/(a b) := ∆u = A ∆x + B ∆y + δ1 ∆x + δ2 ∆y : δ1 − − → 0
−−
∆z→0



δ2 − − → 0
−−


∆z→0

u ∈ DIF/(a b) := La funciń u es diferenciable en el punto (a b)
o

4.2. DIFERENCIAL 77

Este enunciado pone en evidencia que la diferenciabilidad asegura la aproximaciń lineal de la funciń
o o
u.
Desde el punto de vista geom´trico, dicha aproximaciń lineal se materializa en la existencia de plano
e o
tangente para varias variables y recta tangente para una.
La derivabilidad en variable real significa geom´tricamente que existe la tangente en una sola direcciń,
e o
mientras que el diferencial asegura la existencia de todas las tangentes (en las direcciones donde puede
incrementarse) y adem´s ligadas todas entre s´ por pertenecer a un mismo plano.
a ı,
Por esta razń, el segundo concepto tiene mucha m´s importancia que el primero.
o a
Las propiedades que se enuncian a continuaciń marcan algunas de las diferencias existentes entre
o
ambos conceptos.

Teorema 4.2.1.

f ∈ DIF/P =⇒ f ∈ C/P

Demostraciń. La demostraciń es inmediata aplicando la definiciń de diferencial.
o o o

La derivabilidad no arrastra la continuidad.

Pueden existir funciones diferenciables no derivables (sin derivadas parciales) y tambiń funciones
e
derivables, a´ n en todas las direcciones sin ser diferenciables.
u

y z
El primer caso se presenta cuando el dominio de la
funciń est´ restringido, y no puede incrementarse
o a
en la direcciń de los ejes, sin embargo en todas
o
las dem´s direcciones las tangentes definen un plano.
a ∆y
D

Este caso s´lo puede presentarse en puntos de fron-
o
tera.
P ∆x x
Figura 4.2: Dominio restringido de una fun-
ciń de variable compleja.
o

El segundo caso es aquel en el cual las tangentes no estń en un plano, por ejemplo en el v´rtice de
a e
un cono.

Si se obvian los problemas de frontera, la diferenciabilidad implica la derivabilidad. Esta es la razń
o
por la cual se postula que el punto P es interior y se trabaja con conjuntos abiertos m´s adelante.
a

(a b) ∈ Pt. interior de D
′
A = fx
f ∈ DIF/(a b) =⇒ ′
B = fy

No es cierto que una funciń de varias variables reales, continua y derivable sea diferenciable. Basta
o
analizar el caso del v´rtice del cono.
e
Pero si es v´lido,
a
′
fx ∈ C
′ =⇒ f ∈ DIF
fy ∈ C

78 CAP´ ´

es decir, si una funciń admite derivadas continuas es diferenciable (en rigor es suficiente la continuidad
o
de una sola derivada y la existencia de ambas).

En funciones de una variable real, el concepto de derivada y diferencial se confunden, porque hay una
sola tangente. Lo mismo se produce en funciones de variable compleja como se ver´ a continuaciń, pero
a o
debe tenerse en cuenta que son conceptos diferentes.

En resumen, para un punto interior del dominio:

func. 1 var. real recta tg ⇔ f ∈ DIF ⇔ f ∈ DER
func. n var. reales (n = 2) plano tg ⇔ f ∈ DIF ⇒ f ∈ DER
func. var. compleja f ∈ DIF ⇔ f ∈ DER

4.3. Relaciń entre derivada y diferencial. Existencia
o
Teorema 4.3.1. Dada una funciń de variable compleja f , condiciń necesaria y suficiente de derivabi-
o o
lidad es la diferenciabilidad.

f ∈ DER/a ⇐⇒ f ∈ DIF/a

Demostraciń. Se demuestra la condiciń suficiente:
o o
∆f
− f ′ (a) = δ(∆z)
∆z

|δ(∆z)| < ǫ
=⇒ ∆f = f ′ (a)∆z + δ(∆z)∆z
f ′ (a) ∈ C

con lo cual se cumple la definiciń de diferencial.
o

La condiciń necesaria:
o

A∈C
∆f = A∆z + δ(∆z)∆z :
δ −−→ 0
−−
∆z→0

∆f
−A −−→ 0
−−
∆z ∆z→0

Por lo tanto existe derivada, que adem´s es igual a la constante A
a

f ′ (a) = A

Observaciń 1: En la demostraciń anterior no es necesario que el punto a sea interior al dominio D.
o o

Condiciń necesaria y suficiente de diferenciabilidad es que las funciones u y v (parte real e imaginaria
o
de f ) sean diferenciables y que se verifiquen las igualdades siguientes:

ux = vy
uy = −vx

´
4.3. RELACION ENTRE DERIVADA Y DIFERENCIAL. EXISTENCIA 79

llamadas com´ nmente de Cauchy-Riemann.
u

En este caso es necesario que se asegure la posibilidad de incrementar la funciń en direcciones paralelas
o
al eje x y al eje y. Seg´ n la observaciń realizada en 4.2 es condiciń suficiente que el punto sea interior
u o o
a D. Esto da paso al siguiente teorema:

Teorema 4.3.2.


 u ∈ DIF/c

 v ∈ DIF/c
f ∈ DIF/c ⇐⇒


 ux = vy
uy = −vx


Demostraciń. Por ser f ∈ DIF y tomando A = a + ib:
o

∆f = A ∆z + δ∆z ⇐⇒
⇐⇒ ∆u + i∆v = (a + ib)(∆x + i∆y) + (δ1 + iδ2 )(∆x + i∆y)
∆u = a∆x − b∆y + δ1 ∆x − δ2 ∆y
⇐⇒
∆v = b∆x + a∆y + δ2 ∆x + δ1 ∆y


 u ∈ DIF/c

 v ∈ DIF/c
⇐⇒


 a = ux = vy
b = vx = −uy


Esta condiciń es necesaria y suficiente como resulta de observar la doble implicaciń entre todas las
o o
proposiciones.

Este teorema demuestra entonces que la diferenciabilidad (o derivabilidad) de f no s´lo implica la
o
diferenciabilidad de u y de v sino adem´s una estrecha relaciń entre ellas dada por las ecuaciones de
a o
Cauchy-Riemann.

Observaciń 2: Las condiciones que ligan las derivadas de la parte real e imaginaria de una funciń com-
o o
pleja, son llamadas tradicionalmente de Cauchy-Riemann pero son originalmente de D’Alembert-Euler.

Es interesante interpretar el significado de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Ellas representan la igualdad de los l´
ımites de los cocientes incrementales seg´ n caminos rectos para-
u
lelos a los ejes coordenados.

γ2

En efecto, seg´ n la observaciń hecha en el p´rrafo
u o a
4.1, una funciń compleja que es derivable (diferen-
o ∆y
ciable) implica que el l´
ımite del cociente incremental
sobre las infinitas rectas que pasan por el punto, es
invariable. a ∆x γ1

Figura 4.3: Incremento de una funciń a o
trav´s de caminos rectos paralelos a los ejes.
e

80 CAP´ ´

En particular, seg´ n los dos caminos γ1 , γ2 paralelos a los ejes:
u

∆f ∆u + i∆v
=
∆z ∆x + i∆y

∆f ∆u + i∆v
γ1 { ∆y = 0 = − − → ux + ivx = fx = f ′ (a)
−− ′
∆z γ1 ∆x ∆x→0

∆f ∆u + i∆v 1
γ2 { ∆x = 0 = − − → (uy + ivy ) = fy = f ′ (a)
−− ′
∆z γ2 i ∆y ∆y→0 i

De la igualdad de estas dos derivadas direccionales, resulta:

ux = vy
vx = −uy

Las condiciones de Cauchy-Riemann son entonces necesarias pero no suficientes.

Sin embargo, si se agrega la hip´tesis de continuidad de las derivadas parciales de u y de v de acuerdo
o
a la observaciń del p´rrafo 4.2, entonces u y v son diferenciables, y por lo tanto:
o a

ux = vy 
vx = −uy =⇒ f ∈ DIF

ux ∈ C


Observaciń 3: De acuerdo a lo mencionado en 4.2 es suficiente la continuidad de una sola derivada
o
parcial.

4.4. Derivaciń y continuidad
o
Teorema 4.4.1. Toda funciń de variable compleja f derivable, es continua.
o

f ∈ DER/a =⇒ f ∈ C/a

Demostraciń. La demostraciń es consecuencia inmediata de la diferenciabilidad.
o o

f ∈ DER =⇒ |∆f | < |A ∆z| + |δ ∆z|

Este teorema es semejante al de una variable real. Para funciones de varias variables reales no es
cierto. La diferenciabilidad en todos los casos, funciones de uno o varias variables reales y complejas,
implica la continuidad.

4.5. Funciones mon´genas y holomorfas
o
Todas las propiedades y conceptos desarrollados hasta el momento son de carćter local o puntual.
a

Para entender el an´lisis diferencial a conjunto conviene precisar nuevas definiciones.
a

´
4.5. FUNCIONES MONOGENAS Y HOLOMORFAS 81

Las funciones derivables en un punto y en un entorno del mismo tienen especial inter´s en la teor´
e ıa
de las funciones potenciales y en la teor´ de integrales complejas de Cauchy.
ıa

Se dice que una funciń es mon´gena en un punto a si tiene derivada en ese punto. La monogeneidad
o o
es sinńimo de derivabilidad.
o

f ∈ mon´gena/a := f ∈ DER/a
o

Se dice que una funciń de variable compleja es holomorfa si tiene derivada en todos los puntos de
o
un entorno de a.

f ∈ H/a := ∃ U (a) : ∀ z ∈ U (a) =⇒ f ∈ DER/z

f ∈ H/a := f es holomorfa en el punto a

A partir de las definiciones es evidente que:

f ∈ H/a =⇒ f ∈ mon´gena/a
o

Hay funciones que son mon´genas pero no holomorfas
o

Ejemplo I

f: C −→ C
z −→ |z|2 = x2 + y 2

u = x2 + y 2 son diferenciables pero las condiciones de Cauchy-Riemann s´lo valen para
o
v=0 z = (0 0) pues:

ux = 2x uy = 2y vx = 0 vy = 0

Ejemplo II

f: C −→ C
z −→ x2 + iy 2

u = x2 son diferenciables y las condiciones de Cauchy-Riemann s´lo valen para
o
v = y2 la recta y = x porque:

ux = 2x uy = 0 vx = 0 vy = 2y

Una funciń f es mon´gena sobre un conjunto D cuando es mon´gena en todos sus puntos.
o o o

f ∈ M ON/D := ∀ z ∈ D =⇒ f ∈ mon´gena/z
o

f ∈ M ON/D := f es mon´gena sobre el conjunto D
o

Una funciń f es holomorfa sobre un conjunto D cuando es holomorfa en todos sus puntos.
o

f ∈ H/D := ∀ z ∈ D =⇒ f ∈ H/z

Observaciń 1: La monogeneidad sobre un conjunto D exige la derivabilidad sobre cada uno de sus pun-
o
tos, incluso los frontera que pertenecen a ´l.
e

82 CAP´ ´

Para los abiertos ambos conceptos coinciden.

Observaciń 2: Muchos autores no diferencian los conceptos de monogeneidad y holomorf´ En otros
o ıa.
textos se confunde holomorf´ con analiticidad.
ıa

Se llama funciń anal´tica a la desarrollable en serie de Taylor. Es claro que en principio las funciones
o ı
anal´
ıticas son conceptos diferentes de las funciones holomorfas.

Sin embargo, uno de los grandes resultados de Cauchy fue probar la equivalencia de los conceptos de
holomorf´ y analiticidad sobre conjuntos abiertos y conexos en el campo complejo.
ıa

Observaciń 3: El origen de la palabra mon´gena hace referencia a la propiedad que todas las derivadas
o o
direccionales son iguales (mono=uno, gena=generada).
La palabra holomorfa significa “de forma entera”, en contraposiciń de las funciones meromorfas, que se
o
estudiarń m´s adelante.
a a
Sinńimo de holomorfa es regular.
o

Se dice tambiń que una funciń de variable compleja tiene un punto singular, cuando en ´l no es
e o e
holomorfa.

4.6. Reglas de derivaciń
o
Como la definiciń de derivada para las funciones complejas es formalmente igual a la de funciones de
o
una variable real, se implica que las reglas de la suma, multiplicaciń, divisiń (denominador no nulo),
o o
funciń de funciń, funciń inversa, etc. se extienden en forma an´loga al campo complejo.
o o o a

Por lo tanto, la suma, diferencia, producto o cociente (excepto el caso de denominador nulo) de fun-
ciones holomorfas sobre un abierto es tambiń holomorfo.
e

En particular, los polinomios son holomorfos sobre todo el plano. Las funciones racionales, sobre todo
su dominio, es decir el conjunto complementario de los ceros del denominador.

4.7. Holomorf´ y ecuaciń de Laplace
ıa o
4.7.1. Las componentes de una funciń holomorfa como funciones armńicas
o o
Sea f una funciń holomorfa en un punto a, si se hace la hip´tesis suplementaria de la existencia y
o o
continuidad de las derivadas segundas de la parte real e imaginaria de f en el entorno de a (las funciones
reales u y v respectivamente), entonces se verifica:
uxx + uyy =0
vxx + vyy =0
es decir, tanto u como v satisfacen la ecuaciń de Laplace.
o

La ecuaciń de Laplace es la que aparece en el estudio de los potenciales gravitatorios, elćtricos,
o e
magn´ticos, de velocidades en fluidos, de la transmisiń del calor (r´gimen estacionario), etc.
e o e

Esta relaciń permite vislumbrar, la importancia de las funciones holomorfas en el an´lisis de proble-
o a
mas bidimensionales de potencial.

4.7. HOLOMORF´ Y ECUACION DE LAPLACE
IA ´ 83

Observaciń 1: Los an´lisis realizados hasta el momento son de carćter puntual, pues han requerido
o a a
solamente de la hip´tesis de la monogeneidad de la funciń en un punto.
o o

Sin embargo, para el estudio de las relaciones existentes entre las componentes de una funciń comple-
o
ja y las funciones que satisfacen la ecuaciń de Laplace, es necesario imponer condiciones de derivabilidad
o
en el punto y tambiń en su entorno.
e

Esto es, porque en primer lugar, para la existencia de las derivadas segundas en el punto es necesario
que ux y uy puedan ser incrementadas en el entorno del punto.

En segundo lugar, porque como se ver´ es fundamental en la teor´ de Cauchy, a trav´s de la intro-
a ıa e
ducciń de la integral curvil´
o ınea en el campo complejo, el uso de conjuntos abiertos y conexos. Entre
otras propiedades de las funciones derivables sobre tales conjuntos (abiertos y conexos) se destaca su
desarrollabilidad en series de Taylor (analiticidad).

De aqu´ la importancia del concepto de holomorf´
ı ıa.

Observaciń 2: La hip´tesis de continuidad de las derivadas segundas de u y v (o de alguna de ellas) hecha
o o
al comienzo del p´rrafo es superflua, porque como se demostrar´ en el pr´ximo cap´
a a o ıtulo, toda funciń
o
holomorfa tiene derivadas de todos los ´rdenes.
o

Para llegar a este resultado, que una funciń holomorfa tiene derivadas de cualquier orden, y por ende
o
continuas, no se usa en absoluto los desarrollos que siguen en este p´rrafo.
a
Por lo tanto, no se entra en un c´ırculo vicioso, si se obvia la continuidad de las derivadas segundas en
el siguiente teorema:
Teorema 4.7.1.
∇2 u = 0
f ∈ H/a ⇐⇒
∇2 v = 0

Demostraciń. Derivando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, la primera respecto de x y la segunda
o
respecto de y, se obtiene:

uxx = vyx
uyy = −vxy

sumando, teniendo en cuenta el teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas cruzadas,

∇2 u = 0

y an´logamente
a

∇2 v = 0

Una funciń real de dos variables, con derivadas parciales de segundo orden continuas, que satisface
o
la ecuaciń de Laplace, se llama armńica.
o o
C −→ R

u :

 uxx ∈ C/a

u ∈ Armńica/a :=
o (x y) −→ u(x y) : u ∈ C/a
  yy
 2
∇ u=0


84 CAP´ ´

Si una funciń es armńica sobre todos los puntos de un conjunto D, se dice que es armńica en D.
o o o

u ∈ Armńica/D := ∀ z ∈ D =⇒ u ∈ Armńica/z
o o

Si dos funciones reales u y v son armńicas y satisfacen en D las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
o
entonces se dice que v es conjugada armńica de u.
o

u ∈ Armńica/D
 o
v ∈ Armńica/D

o
(u v) ∈ Conjugadas armńicas/D :=
o
 ux = vy


uy = −vx


Teorema 4.7.2. Condiciń necesaria y suficiente para que una funciń sea holomorfa sobre un conjunto
o o
D es que su parte real e imaginaria sean conjugadas armńicas en D.
o

f ∈ H/D ⇐⇒ (u v) ∈ Conjugadas Armńicas/D
o

Demostraciń. Que una funciń holomorfa tiene partes real e imaginaria (u v) conjugadas armńicas ya
o o o
ha sido demostrado.
Adem´s, si u y v son armńicas tienen derivadas primeras continuas ux , uy , vx , vy , que aseguran
a o
la diferenciabilidad de dichas funciones. Por lo tanto, de acuerdo al teorema 4.3.1, se implica que f es
holomorfa.

Es cierto entonces que las partes real e imaginaria de una funciń holomorfa no pueden ser arbitrarias,
o
llevan una estrecha relaciń entre s´ establecido por el concepto de conjugadas armńicas.
o ı, o

4.7.2. Propiedades de funciones conjugadas armńicas
o
1o

Conviene remarcar en primer t´rmino que si un par de funciones reales (u v) son conjugadas armńicas,
e o
el par (v u) no lo es.

(u v) ∈ Conjugadas armńicas/a =⇒ (v u) ∈ Conjugadas armńicas/a
o / o

es decir que no existe la simetr´ en la relaciń de conjugadas armńicas y en la expresiń “v es conjugada
ıa o o o
armńica de u”no debe trastocarse el orden de las funciones.
o
Pero por otra parte s´ se cumple el siguiente teorema:
ı

Teorema 4.7.3.

(u v) ∈ Conjugadas armńicas/a ⇐⇒ (−v u) ∈ Conjugadas armńicas/a
o o

Demostraciń. La demostraciń es inmediata, teniendo en cuenta que,
o o

f ∈ H/a ⇐⇒ if ∈ H/a
(u + iv) ∈ H/a ⇐⇒ (−v + iu) ∈ H/a

Otra demostraciń es por verificaciń directa de las condiciones de Cauchy-Riemann.
o o

IA ´ 85

2o
Teorema 4.7.4. una funciń de variable compleja es constante si y s´lo si su derivada compleja es nula,
o o
en un entorno de un punto.

U (a) ⊂ D
=⇒ ∀ z ∈ U (a) , f (z) = k ⇐⇒ f ′ (z) = 0
k∈C

Demostraciń. La condiciń suficiente es inmediata, la condiciń necesaria se demuestra,
o o o

∀ z ∈ U (a) =⇒ f ′ (z) = 0
ux = 0
=⇒
uy = 0

Aplicando el teorema del valor medio

∆u = ux (a + ξ ∆z)∆x + uy (a + ξ ∆z)∆y ξ ∈ [0 1]

El complejo a + ξ ∆z pertenece al entorno de a, y como en todo punto de dicho entorno las derivadas
parciales se anulan, resulta:

∆u = 0 =⇒ u = k1 k1 ∈ R

an´logamente,
a

v = k2 k2 ∈ R

luego,

f (z) = k = k1 + ik2

Es claro entonces que la conjugada armńica de una constante es otra constante, arbitraria.
o

3o
Teorema 4.7.5. La funciń v, conjugada armńica de u, es unica salvo constante.
o o ´

∃v : (u v) ∈ Conj. arm./D
=⇒ v − V = k k∈C
∃V : (u V ) ∈ Conj. arm./D

Demostraciń. Por definiciń de conjugadas armńicas:
o o o

ux = vy = Vy
−uy = vx = Vx

De acuerdo con el teorema 4.7.4,

v−V =k k∈C

86 CAP´ ´

4o

Teorema 4.7.6. Una funciń holomorfa f , cuyas partes real e imaginara son respectivamente u y v, con
o
derivada no nula, asegura que las familias

u(x y) = k1
v(x y) = k2

son trayectorias ortogonales entre s´.
ı

f (z) = u + iv ∈ H/a
=⇒ (u(x y) = k1 , v(x y) = k2 ) ∈ Trayectorias ortogonales
f ′ (z) = 0

Demostraciń. Basta verificar que a partir de las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
o

∇u • ∇v = ux vx + uy vy = 0

Expresiń que demuestra la ortogonalidad salvo en el caso de derivada nula1 .
o

Por lo tanto, si una funciń armńica v es conjugada armńica de otra u, en los campos vectoriales
o o o
∇u, ∇v, las l´
ıneas equipotenciales de uno son l´
ıneas de campo del otro y viceversa.

Ejemplo

f: C −→ C
z −→ z 2 = x2 − y 2 + i2xy

Entonces, son trayectorias ortogonales:

u = x2 − y 2 = k1
v = 2xy = k2

1 El s´
ımbolo • se utiliza para representar el producto interno entre vectores

IA ´ 87

y v
z w

x u

Figura 4.4: Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas armńicas
o

En el gr´fico se han representado las dos familias que son ortogonales entre s´ salvo en z = 0.
a ı,
Este an´lisis est´ relacionado con las propiedades de las funciones complejas mencionado en 3.2 (ver
a a
ejemplo) y se explicar´ en detalle en el estudio de la representaciń conforme en 4.9.
a o

4.7.3. Obtenciń de la conjugada armńica de una funciń en el entorno de
o o o
un punto
Un problema que se plantea es, dado un u (funciń real de dos variables y armńica sobre un deter-
o o
minado conjunto), hallar otra funciń v que sea conjugada armńica de u.
o o

Este problema, como veremos, siempre tiene soluciń sobre conjuntos abiertos conexos.
o
Adem´s, la soluciń es unica (salvo constante) para el entorno de un punto, como se desprende del
a o ´
teorema 4.7.5. Este resultado se puede generalizar tambiń para conjuntos simplemente conexos.
e
Con esta conclusiń se puede aseverar que cualquiera sea el m´todo empleado para obtener la conju-
o e
gada armńica, ´sta solo puede diferir en una constante.
o e

El problema planteado, de hallar la conjugada armńica de una funciń u, es equivalente a cualquiera
o o
de estos planteos:
a. Hallar una funciń potencial v, conocido su gradiente, ∇v = (vx , vy ) = (−uy , ux )
o
b. Hallar la familia de funciones ortogonales de la familia u(x y) = k
Estos problemas significan, en todos los casos, resolver la ecuaciń diferencial exacta
o

dv = vx dx + vy dy
que de acuerdo a las condiciones de Cauchy-Riemann, se transforma en:

dv = −uy dx + ux dy

88 CAP´ ´

Para la resoluciń de esta ecuaciń diferencial, pueden encararse diferentes m´todos que se desarrollan
o o e
a continuaciń.
o

Primer m´todo
e
Con este m´todo se resuelve la ecuaciń diferencial en forma general, expresando v como integral
e o
curvil´
ınea a lo largo de un camino contenido en un conjunto D, para el cual u es armńica.
o

Este an´lisis, se reduce en primer lugar al caso de que D sea una bola en el campo complejo, pudiendo
a
extenderse sin dificultad a conjuntos simplemente conexos y abiertos.
El caso de conjuntos m´ ltiplemente conexos se estudiar´ una vez analizada la integral en el campo
u a
complejo, sobre las cuales v puede no ser unica.
´

Sea una bola B(c r) del plano complejo, sobre la cual u es armńica, entonces, existe una funciń de
o o
variable real que es conjugada armńica de u.
o

En primer t´rmino conviene investigar, por medio de una discusiń heur´
e o ıstica, las caracter´
ısticas que
puede tener v; suponiendo que exista.

Partiendo de las condiciones de Cauchy-Riemann

ux = vy
uy = −vx

Partiendo de la primera de ellas e integrando respecto de y:
y
v(x y) = vy (x t) dt + ϕ(x)
b
y
= ux (x t) dt + ϕ(x)
b

donde b es un n´ mero real, de manera tal que (x b) ∈ B y ϕ es una funciń de x que hace las veces de
u o
constante de integraciń.
o
Derivando bajo el signo integral, posible porque las derivadas primera y segunda de u son continuas
al ser armńica, a efectos de aplicar la segunda condiciń de Cauchy-Riemann:
o o
y
vx (x y) = uxx (x t) dt + ϕ′ (x)
b

recordando adem´s que uyy = −uxx
a

y
−uy (x y) = − uyy (x t) dt + ϕ′ (x)
b
= −uy (x y) + uy (x b) + ϕ′ (x)

Por lo tanto

ϕ′ (x) = −ux (x b)
x
ϕ(x) = −uy (t b) dt + C
a

IA ´ 89

donde a es un real tal que (a b) ∈ B y C es una constante de integraciń. Se llega entonces a:
o
x y
v(x y) = −uy (t b) dt + ux (x t) dt + C
a b

Esta es la soluciń del problema de hallar la funciń v, conjugada armńica de u, sobre B(c r).
o o o
La integral obtenida, puede ser considerada como
una integral curvil´
ınea a lo largo del camino γ (poli-
gonal) contenido en B:
r (x y)
v(x y) = −uy dx + ux dy
γ
γ
c
que es tambiń la circulaciń del vector
e o

∇v = (vx , vy ) (a b)
= (−uy , ux ) B(c r)

a lo largo de dicha poligonal Figura 4.5: Integraciń a trav´s de un ca-
o e
mino poligonal.
v(x y) = (−uy , ux ) • dγ dγ = (dx, dy)
γ
Este estudio de orientaciń permite justificar la definiciń de una funciń v(x y) como la integral
o o o
curvil´
ınea anterior, y a partir de all´ probar que sobre una bola del campo complejo, v es conjugada
ı
armńica de u(x y) y por lo tanto existe y es unica, de acuerdo a 4.7.5 (salvo constante). Esta proposiciń
o ´ o
se demuestra a continuaciń.
o
Teorema 4.7.7.

u ∈ Armńica/B(c r)
o 


γ ∈ Poligonal contenida en B

x y
=⇒ (u v) ∈ Conjugadas armńicas/B
o

v(x y) := −uy (t b) dt + ux (x t) dt


a b

Demostraciń. Derivando v respecto de y:
o
vy (x y) = ux (x y)

y tambiń respecto de x
e
y
vx (x y) = −uy (x b) + uxx (x t) dt
b
y
= −uy (x b) + −uyy (x t) dt
b
= −uy (x b) − uy (x y) + uy (x b)
= −uy (x y)
por lo tanto, se cumplen las dos condiciones de Cauchy-Riemann y siendo las derivadas de v continuas,
el par (u v) son conjugadas armńicas.
o
Este resultado puede generalizarse extendiendo la validez de v como integral curvil´
ınea a lo largo de
un camino gen´rico γ contenido en conjuntos abiertos y simplemente conexos.
e

90 CAP´ ´

Para ello basta recordar que una integral curvil´
ınea no depende del camino sino solamente de los
extremos cuando:
D ∈ Abierto y simplemente conexo




γ(a) = A 

γ ∈ Camino contenido en D :


γ(b) = B =⇒ ∃ V (x y) : P dx + Q dy = V (B) − V (A)

 γ
Px , Py , Qx , Qy ∈ C 




Py = Qx

B
D

γ
Esto significa que existe una funciń potencial
o
V (x y). Es esencial que D sea simplemente conexo,
pues en caso contrario no puede asegurarse la inde- A
pendencia del camino.

Figura 4.6: Reemplazo de un camino γ por
otro poligonal.
Aplicando este teorema a nuestro caso, se obtiene:
Teorema 4.7.8.
D ∈ Abierto y simplemente conexo


γ ∈ Camino contenido en D




u ∈ Armńica/D
o =⇒ (u v) ∈ Conjugadas armńicas/D
o



v(x y) := −uy dx + ux dy



γ

Demostraciń. En primer t´rmino se cumplen las hip´tesis del teorema anterior, pues:
o e o

uxx , uxy , uyx , uyy ∈ C/D
u ∈ Armńica/D =⇒
o
−uyy = uxx

y entonces, como la integral curvil´
ınea es independiente del camino γ, puede elegirse una poligonal P tal
como lo muestra la figura 4.6.
La poligonal formada por un n´ mero finito de segmentos paralelos a los ejes existe siempre porque,
u
por hip´tesis, D es abierto y conexo, y γ es cerrado y acotado (compacto).
o

D ∈ Ab. Conexo =⇒ ∃P : =
γ P

A partir de aqu´ puede aplicarse el resultado anterior del estudio sobre una bola
ı

(u v) ∈ Conjugadas armńicas/D
o

Este an´lisis se retomar´ una vez estudiada la integral en el campo complejo. En particular se estu-
a a
diar´ el caso de los conjuntos m´ ltiplemente conexos.
a u

IA ´ 91

Segundo m´todo
e
Conociendo el resultado del m´todo anterior, que asegura la existencia de v, conjugada armńica de
e o
u, sobre un conjunto abierto y simplemente conexo, puede aplicarse el procedimiento visto al comienzo
del p´rrafo anterior.
a

Este m´todo, que suele convenir en la resoluciń de ejercicios, consiste en resolver el sistema de
e o
ecuaciones diferenciales:
ux = vy uy = −vx
por c´lculo de primitivas (integraciń indefinida), por ejemplo:
a o

v(x y) = ux dy + ϕ(x)

derivando
∂
vx = −uy = ux dy + ϕ′ (x)
∂x
de donde puede despejarse ϕ′ (x), y por lo tanto calcular ϕ(x) y v(x y)

∂
ϕ′ (x) = −uy − ux dy
∂x
o tambiń, de acuerdo a lo visto en el primer m´todo:
e e

ϕ′ (x) = −uy (x b)

Llegando al resultado final:

v(x y) = ux (x y) dy + ϕ(x)

v(x y) = ux (x y) dy + −uy (x b) dx

Tercer m´todo. Milne-Thomson.
e
El m´todo de Milne-Thomson permite resolver en forma elegante y directa casos que con los m´todos
e e
anteriores son dificultosos.
La demostraciń es una modificaciń de la original, y no es simple, pero la aplicaciń del m´todo,
o o o e
como se ver´, es muy sencilla.
a

Como hip´tesis se toma un conjunto abierto y simplemente conexo, que contenga el origen (0 0), para
o
simplificar. Si no lo contuviera, el problema se reduce al primero con una traslaciń.
o
Teorema 4.7.9 (Milne-Thomson).
D ∈ Abierto y simplemente conexo


(0 0) ∈ D





U (x y) ∈ Armńica/D
o

 U (z) + iV (z) ∈ H/D
=⇒
U (x) = l´ U (x y)
ım  (U, V ) ∈ Conjugadas armńicas/D
o
y→0 





V (x) = l´ Uy (x y) dx
ım


y→0

92 CAP´ ´

Demostraciń. En base al estudio realizado para el primer m´todo se asegura que sobre D existe conju-
o e
gada armńica de u, que se llamar´ v. De acuerdo entonces al teorema 4.7.1, u + iv es holomorfa sobre
o a
D.
∃ f (z) = u + iv : f ∈ H/D
un primer paso de la demostraciń es el siguiente lema: Una funciń f de imagen f (z) tiende a f (x) para
o o
y → 0. Esto significa que el l´
ımite para y → 0 se obtiene reemplazando formalmente x por z.
Si f es holomorfa en el entorno de (0 0) se asegura la existencia de dicho l´
ımite.
f (z) = f (x + iy) − − f (x)
−→
y→0

Viceversa, este resultado dice que si se conoce f (x) puede obtenerse f (z) reemplazando formalmente x
por z.
sen x −→ sen z
Ejemplos:
ex −→ ez
ımite para y → 0 adquiere entonces, para el caso de una funciń holomorfa, la siguiente forma:
El l´ o
f (x + iy) = u(x y) + i v(x y)
y→0 y→0

f (x) = U (x) + i V (x)

Donde U (x) y V (x) representan respectivamente los l´
ımites de u(x y) y de v(x y) que existen por la
continuidad de f en (0 0), debida a la holomorf´
ıa.
En nuestro caso, la U (x) se obtiene fćilmente y entonces el problema se reduce a la b´ squeda de
a u
V (x).
Para ello se demuestra que:
∂ ∂
l´
ım v= l´ v
ım
y→0 ∂x ∂x y→0
es decir:
∂
∂x
v(x y) / vx (x y)
y→0 y→0
∂
∂x
V (x) / V ′ (x) = V1 (x)

En efecto, como v es armńica tiene derivadas continuas, y por el teorema de Heine-Cantor de la
o
continuidad uniforme 2 se asegura que V ′ (x) = V1 (x).
Aplicando, por lo tanto, las condiciones de Cauchy-Riemann:

V (x) = l´ vx (x y) dx
ım
y→0

= l´ uy (x y) dx
ım
y→0

2 El teorema de Heine-Cantor, aplicado a una funciń f : Rn −→ R, afirma que si f est´ definida sobre un compacto D:
o a
∀ǫ0, ∃δ 0 : ∀ x′ , x′′ ∈ D : ||x′ − x′′ || δ =⇒ |f (x′ ) − f (x′′ )| ǫ
Esto quiere decir que se puede elegir un ǫ tal que toda la imagen de f en D este contenida en una banda uniforme
[f (x − ǫ), f (x + ǫ)].

IA ´ 93

Puede formarse entonces

f (x) = U (x) + iV (x)

y de acuerdo al resultado del lema analizado al comienzo

f (z) = U (z) + iV (z)

Esta funciń, de acuerdo con lo visto, es holomorfa y sus partes real e imaginaria son:
o

u(x y) = Re(U + iV )
v(x y) = Im(U + iV )

Que son armńicas conjugadas.
o

La practicidad del m´todo lo prueba el ejemplo siguiente:
e

x+1
u=
(x + 1)2 + y 2

u verifica la ecuaciń de Laplace para todo z = (−1, 0) y adem´s tiene las derivadas segundas continuas,
o a
siendo por lo tanto armńica. Eligiendo entonces, un conjunto D abierto y simplemente conexo que no
o
contenga a (-1,0):

1
u − − U (x) =
−→
y→0 x+1

Por otra parte

−2y(x + 1)
uy = − − 0 = V ′ (x)
−→
((x + 1)2 + y 2 )2 y→0
V (x) = k k∈R

resultando entonces

f (z) = U (z) + iV (z)
1
= + ik
z+1

cuyas partes real e imaginaria son conjugadas armńicas:
o

x+1
u=
(x + 1)2 + y 2
−y
v= +k
(x + 1)2 + y 2

Observaciń: Si se deseara plantear el problema de obtener u, conocida la funciń v de manera tal que
o o
(u v) sean conjugadas armńicas, basta recordar que (−v u) son conjugadas armńicas, y por lo tanto son
o o
de aplicaciń los m´todos anteriores.
o e

94 CAP´ ´

4.8. Holomorf´ en el infinito
ıa
ˆ
Cuando se trabaja con funciones definidas en el complejo extendido C, aunque no se conserva la es-
tructura de espacio vectorial, es posible dar un sentido al concepto de funciń holomorfa en ∞.
o

Esta definiciń es de especial utilidad para el c´lculo de integrales en el campo complejo.
o a

Sea una funciń f definida en el complejo extendido:
o
f : D −→ C ˆ : ˆ
D⊂C, ∞∈D
z −→ f (z)
de acuerdo a lo visto en 2.9.1, el 0 es imagen del punto ∞ por la inversiń:
o
ˆ
Inv : C −→ C ˆ

 1/z z = 0, z = ∞
z −→ ∞ z=0
0 z=∞


o tambiń por una restricciń de la inversiń al entorno de ∞:
e o o
Inv’ : U (∞) −→ Cˆ
1/z ∀ z ∈ U (∞) − {∞}
z −→
0 z=∞
y entonces el problema del estudio de la funciń f en ∞ se reduce a un problema en el entorno de 0 de
o
la funciń compuesta
o
ˆ
f ◦ Inv’ : U (∞) −→ C
f (1/z) z=∞
z −→
f (0) z=∞
Observaciń: La necesidad de restringir la inversiń surge de asegurar la existencia de la funciń com-
o o o
puesta f ◦ Inv’, pues debe cumplirse que el rango de la Inv’ debe estar incluido en el dominio D de la
funciń f . Esto se muestra en la figura 4.7.
o

Inv’ f

ˆ
C
D
∞ R

U(∞)

Figura 4.7: Dominio e imagen de Inv’ y f

El an´lisis anterior permite definir:
a
D ∈ abierto y conexo
ˆ
f : D −→ C : ∞ ∈ D
f ∈ H/∞ := f ◦ Inv’ ∈ H/D
Ejemplo:
sen(1/z) ∈ H/∞ ⇐= sen(z) ∈ H/D

´
4.9. REPRESENTACION CONFORME 95

4.9. Representaciń conforme
o
La transformaciń de caminos por medio de funciones holomorfas tiene caracter´
o ısticas tales como para
merecer un estudio particular.

La aplicaciń de estas propiedades permite resolver, en dos dimensiones, problemas de potencial en
o
campos gravitatorios, elćtricos, magn´ticos, de temperatura, etc. y en general para cualquier campo con-
e e
servativo, adem´s de problemas se ingenier´ elćtrica: diagramas de impedancia-admitancia y problemas
a ıa e
de cartograf´ıa.

4.9.1. ´
Angulo entre caminos
Vector tangente a un camino
Para definir el ńgulo orientado entre dos caminos, conviene establecer previamente el concepto de
a
vector tangente a un camino.

Se llama vector tangente al camino γ, en el punto γ(c), a:
x′ (c)
T (γ, γ(c)) := : (x′ (c), y ′ (c)) = (0 0)
y ′ (c)

T (γ, γ(c)) := Vector tangente al camino γ en el punto γ(c)
El vector tangente T (γ, γ(c),) no es m´s que γ ′ (c) expresado en notaciń matricial.
a o
T (γ, γ(c))

γ(c)

| | |
a c b
Figura 4.8: Vector tangente a γ en el punto γ(c).

La condiciń impuesta, que γ ′ (c) = (0 0), equivalente a que el vector tangente es no nulo, es indispen-
o
sable para definir la recta tangente en el punto γ(c):
Tg : R −→ C
t −→ γ(c) + t γ ′ (c)

Tg := Recta tangente al camino γ en el punto γ(c)
Es usual tambiń introducir la siguiente terminolog´
e ıa:

Se dice que un camino es regular en el punto γ(c) si γ ′ (c) = 0, es decir, si existe vector tangente en
ese punto.
Asimismo, un camino se dice que es regular a secas, si lo es en todos sus puntos.
γ ∈ Camino regular/γ(c) := γ ′ (c) = 0
γ ∈ Camino regular := ∀ c ∈ [a b] =⇒ γ ′ (c) = 0

96 CAP´ ´

´
Angulo entre dos caminos
Dados dos caminos
γ2
γ1 : [a1 b1 ] −→ C T (γ2 , zc )

γ2 : [a2 b2 ] −→ C
γ1
zc α

que se cortan en el punto zc , es decir:
T (γ1 , zc )
∃ c1 ∈ [a1 b1 ]
: γ1 (c1 ) = γ2 (c2 ) ´
Figura 4.9: Angulo entre los caminos γ1 y
∃ c2 ∈ [a2 b2 ]
γ2 en el punto zc .
zc := γ1 (c1 )

entonces se llama angulo orientado de γ1 a γ2 , de-
´
signado en la figura 4.9 por α, al angulo orientado
´
entre los respectivos vectores tangentes en el punto
de corte zc .

Anal´
ıticamente, el ńgulo orientado de γ1 a γ2 es el n´ mero real definido por:
a u
′ ′
Ang(γ1 , γ2 ) := Arg(γ2 (c2 )) − Arg(γ1 (c1 ))

´
Ang(γ1 , γ2 ) := Angulo orientado entre los caminos γ1 y γ2

Observaciń 1: Conviene remarcar que en la definiciń anterior se ha empleado la funciń valor principal
o o o
del argumento, que establece una unica determinaciń del mismo.
´ o

Una propiedad del ńgulo entre dos caminos, que destaca el concepto de orientaciń intr´
a o ınseco a la
definiciń, es:
o

Ang(γ1 , γ2 ) = −Ang(γ2 , γ1 )

Una cota superior para el ńgulo orientado α est´ dada por:
a a
′ ′
|Ang(γ1 , γ2 )| |Arg(γ2 (c2 ))| + |Arg(γ1 (c1 ))|
π+π
2π

Observaciń 2: El m´dulo del ńgulo entre los caminos γ1 y γ2 puede ser expresado bajo forma vectorial
o o a
a partir de:

T1 • T2
cos(α) =
||T1 || ||T2 ||

4.9.2. Transformaciń de caminos
o
Teorema 4.9.1. Una funciń f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen
o
derivadas primeras continuas, transforma un camino γ : [a b] −→ C, contenido en D, en otro camino
f ◦ γ contenido en R.

´

R

D
γ
f
f ◦γ

Figura 4.10: Transformaciń de caminos por una funciń de variable compleja.
o o

γ : [a b] −→ D



t −→ x(t) + iy(t)








=⇒ f ◦ γ ∈ Camino contenido en R

f : D −→ R



ux , uy ∈ C/D


z −→ (u v) :



vx , vy ∈ C/D


Demostraciń. Sea la composiciń
o o

f ◦ γ : [a b] −→ R
t −→ u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))

γ es un camino, y por lo tanto es continua. γ ′ es continua por partes:

γ ∈ C/[a b]
=⇒ f ◦ γ ∈ C/[a b]
f ∈ C/D

(f ◦ γ)′ = (ux xt + uy yt ) + i(vx xt + vy yt )

que es continua por partes porque las derivadas primeras de u y de v son continuas

(f ◦ γ)′ ∈ CP/[a b]

Con las mismas hip´tesis del teorema anterior, si f es adem´s inyectiva, transforma un camino simple
o a
(arco de Jordan) en otro camino simple:
Teorema 4.9.2.

γ ∈ Camino simple contenido en D 




f : D −→ R



ux , uy ∈ C/D =⇒ f ◦ γ ∈ Camino simple contenido en R
z −→ (u v) :
vx , vy ∈ C/D 






f ∈ Inyectiva


98 CAP´ ´

Demostraciń. De acuerdo al teorema 4.9.1, f ◦ γ es un camino, pero adem´s:
o a
γ ∈ Camino simple =⇒ γ ∈ Inyectiva
por lo tanto:

γ ∈ Inyectiva
=⇒ f ◦ γ ∈ inyectiva
f ∈ Inyectiva

entonces f ◦ γ es un camino simple.
Las transformaciones de lazos se rigen por los mismos teoremas anteriores. Si f es una funciń de las
o
caracter´
ısticas indicadas, todo lazo se transforma en lazo y adem´s, se f es inyectiva, todo lazo simple se
a
transforma en un lazo simple.
Corolario 4.9.2.1.

γ ∈ Lazo contenido en D 




f : D −→ R =⇒ f ◦ γ ∈ Lazo contenido en R
ux , uy ∈ C/D
z −→ (u v) : 

vx , vy ∈ C/D




Corolario 4.9.2.2.

γ ∈ Lazo simple contenido en D 




f : D −→ R



ux , uy ∈ C/D =⇒ f ◦ γ ∈ Lazo simple contenido en R
z −→ (u v) :
vx , vy ∈ C/D 






f ∈ Inyectiva


4.9.3. Transformaciń de vectores tangentes
o
Dada la funciń f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen derivadas
o
primeras continuas, como se ha visto transforma un camino γ en otro f ◦γ por medio de una transformaciń
o
que se puede caracterizar por:

ut = ux xt + uy yt
vt = vx xt + vy yt

sistema que escrito en notaciń matricial toma la forma:
o
ut ux uy xt
=
vt vx vy yt
que representa la aplicaciń lineal que transforma los vectores tangentes al camino γ en el punto γ(c)
o
en los vectores tangentes a f ◦ γ, en el punto (f ◦ γ)(c); siempre y cuando se cumplan las condiciones
detalladas al final de este p´rrafo.
a
La aplicaciń anterior es llamada aplicaciń lineal tangente a f en el punto γ(c) y se caracteriza como
o o
sigue:
J(f, γ(c)) : T (γ, γ(c)) −→ J(f, γ(c)) · T (γ, γ(c))

J(f, γ(c)) := Aplicaciń lineal tangente a f en el punto γ(c)
o

´

donde la matriz

ux uy
J(f, γ(c)) =
vx vy

no es otra que la matriz jacobiana del sistema

u = u(x y)
v = v(x y)

y por lo tanto, si el determinante de J no es nulo (|J| = 0), se asegura la existencia y unicidad de la
funciń inversa f −1 continua y con derivadas primeras continuas para sus partes real e imaginaria, es
o
decir:

x = x(u v)
y = y(u v)

Se deduce directamente de la definiciń de la aplicaciń J(f, γ(c)) que:
o o

Condiciń necesaria y suficiente para que una aplicaciń lineal tangente J(f, γ(c)) transforme el vector
o o
tangente al camino γ en el punto γ(c) en el vector tangente al camino f ◦ γ en el punto f ◦ γ(c), es que
la matriz J sea regular (|J| = 0) y que γ tenga vector tangente γ ′ (c) = 0.

f : D −→ R
z −→ (u v) : ux , uy , vx , vy ∈ C/D


γ ′ (c) = 0
=⇒ (f ◦ γ)′ = 0
|J(f, γ(c))| = 0

4.9.4. Aplicaciń conforme
o

Se dice que una funciń f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen
o
derivadas primeras continuas, es una aplicaciń conforme en el punto zc ; si la matriz J(f, γ(c)) conserva
o
los ńgulos orientados de los vectores tangentes a dos caminos.
a

Esto significa que el ńgulo orientado entre dos caminos γ1 y γ2 es igual al ńgulo orientado entre los
a a
caminos transformados f ◦ γ1 y f ◦ γ2 .

 f : D −→ R


f ∈ Aplicaciń conforme/zc :=
o z −→ (u v) : ux , uy , vx , vy ∈ C/D

∀ (γ1 γ2 ) : zc = γ1 (c1 ) = γ2 (c2 ) =⇒ Ang(γ1 , γ2 ) = Ang(f ◦ γ1 , f ◦ γ2 )


100 CAP´ ´

γ2

f ◦ γ1

γ1 f ◦ γ2
zc α
α

f (zc )

Figura 4.11: Conservaciń del ńgulo entre dos caminos mediante una aplicaciń conforme f .
o a o

En particular, una aplicaciń conforme transforma caminos ortogonales α = ± π en caminos orto-
o 2
gonales, caso de inter´s para el estudio de las l´
e ıneas equipotenciales de un campo y sus trayectorias
ortogonales: las l´
ıneas de campo.

Observaciń 1: Una aplicaciń f se dice que es isogonal cuando en su transformaciń conserva los angulos
o o o ´
de dos caminos en m´dulo, es decir sin especificar la orientaciń.
o o
Es decir, la aplicaciń isogonal asegura la conservaciń del valor absoluto del ńgulo en la transformaciń,
o o a o
pero no asegura la conservaciń del signo.
o
Es condiciń necesaria entonces, para que una aplicaciń sea conforme, que sea isogonal.
o o
Condiciń necesaria y suficiente, desde el punto de vista vectorial, para que una transformaciń sea
o o
isogonal es que para todo par de vectores (x1 x2 ) se cumpla:

X1 • X2 x1 • x2
∀ (x1 x2 ) =
|X1 ||X2 | |x1 ||x2 |

donde con X may´ sculas se has simbolizado los transformados de x min´ sculas, es decir:
u u

A : x −→ A x = X

Antes de estudiar las condiciones generales que debe cumplir una funciń f de variable compleja para
o
ser una aplicaciń conforme es inmediato observar que:
o

Condiciń necesaria para que f sea una aplicaciń conforme en zc es que el jacobiano sea distinto de
o o
cero:

f ∈ Aplicaciń conforme/zc =⇒ |J(f, zc )| = 0
o

Es obvio que para que existan los ńgulos orientados entre caminos, tanto γ como f ◦ γ deben ser
a
regulares.

Por lo tanto, (f ◦ γ)′ = 0 implica que el jacobiano no es nulo de acuerdo con el resultado obtenido en
la secciń anterior “in fine”.
o

´

Observaciń 2: A los efectos posteriores de estudiar las caracter´
o ısticas generales de la aplicaciń lineal
o
J(f, zc ) : T −→ J · T : |J| = 0
cuyo determinante no es nulo, conviene recordar las propiedades que debe tener una aplicaciń lineal de
o
dos dimensiones:
A : x −→ A x = X
para que conserve los ńgulos entre dos vectores de la transformaciń.
a o

Para ello es condiciń necesaria (no suficiente) que se conserve el producto interno, salvo constante
o
positiva, para cualquier par de vectores (x1 x2 )3 :
∀ (x1 x2 ) X1 • X2 = k x1 • x2 : k0
xT AT
1 · A x2 = k T
x1 · x2

Como esta igualdad debe cumplirse para cualquier par (x1 x2 ) debe ser:

AT · A = k I

Es decir, A es ortogonal salvo constante

AT = k A−1

La forma general de A se deduce de esta ultima igualdad haciendo:
´

a b
A= |A| = 0
c d
a c k d −b
=
b d ad − bc −c a

k
Llamando K = ad−bc resulta

Kd −Kb
=
−Kc Ka

De la igualdad de matrices se obtiene como unica posibilidad:
´

K = ±1

Por lo tanto, las dos matrices que mantienen el producto interno, salvo constante son:

a −b cos(α) − sen(α)
K = 1 =⇒ A = =R
b a sen(α) cos(α)

a b cos(α) sen(α)
K = −1 =⇒ A = =R
b −a sen(α) − cos(α)

3 En el desarrollo siguiente se expresa el producto interno de dos vectores cualesquiera x, y ∈ R2 como x • y = xT · y,

donde xT representa el vector transpuesto de x, y · representa el producto usual de matrices.

102 CAP´ ´

donde
√
R = a2 + b 2
α = Arg(a, b)

sin embargo, una sola de ellas conserva los ńgulos orientados, pues:
a

cos(α) − sen(α) r cos(θ) cos(α) cos(θ) − sen(α) sen(θ)
=r
sen(α) cos(α) r sen(θ) sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)

= r ei(α+θ)

representando entonces la primera de las dos matrices una rotaciń para R = 1 o una rotaciń con
o o
dilataciń para R = 1 (homotecia), y por lo tanto conservando los ńgulos orientados, mientras que:
o a

cos(α) sen(α) r cos(θ) cos(α) cos(θ) + sen(α) sen(θ)
=
sen(α) − cos(α) r sen(θ) sen(α) cos(θ) − cos(α) sen(θ)

= r ei(α−θ)

la aplicaciń de la segunda matriz es una simetr´ respecto de la recta que pasa por el origen, de pendiente
o ıa
α
2 . Si R = 1 es una simetr´ y una dilataciń si R = 1, no conservńdose por lo tanto los ńgulos orientados.
ıa o a a

y X2 z y X2 z

X1
X1

x2

x1
x1 α
2
x2

x x
K=1 K = −1
Figura 4.12: Transformaciń de ńgulos para aplicaciones con distintos valores de K. Para K = 1 es conforme,
o a
mientras que para K = −1 es s´lo isogonal.
o

En resumen:
Teorema 4.9.3. Para que una aplicaciń lineal en dos dimensiones A : x −→ A x conserve los angulos
o ´
orientados, es condiciń necesaria y suficiente que la matriz A sea regular y del tipo:
o
a −b
A=
b a
Es decir:
A : R2 −→ R2
x −→ A x 
 a −b
 A=
∀ (x1 x2 ) Ang(x1 , x2 ) = Ang(A x1 , A x2 ) ⇐⇒ b a

|A| = 0


´

Analizando las caracter´
ısticas que debe cumplir una funciń de variable compleja, para que sea una
o
aplicaciń conforme se llega a:
o
Teorema 4.9.4. Condiciń necesaria y suficiente para que una funciń f : D −→ R de partes real e
o o
imaginaria con derivadas primeras continuas, sea aplicaciń conforme en zc , es que f sea holomorfa y
o
de derivada primera no nula en ese punto.

f ∈ H/zc
⇐⇒ f ∈ Aplicaciń conforme/zc
o
f ′ (zc ) = 0

Demostraciń. De acuerdo al an´lisis hecho en la Observaciń 2 anterior, para que la aplicaciń lineal
o a o o
tangente conserve los ńgulos orientados debe ser del tipo
a
a −b
J(f, zc ) =
b a
|J(f, zc )| = 0

Como por definiciń, J tiene como elementos las derivadas parciales de u y de v, que son continuas,
o
resulta:
ux uy
J(f, zc ) =
vx vy

ux = vy 

uy = −vx ⇐⇒ f ∈ H/zc

ux , uy , vx , vy ∈ C/zc


|J| = ux vy − uy vx
⇐⇒ f ′ (zc ) = 0
= u2
x + 2
vx =0

La doble implicaciń del teorema surge inmediatamente de la reversibilidad de la demostraciń.
o o
De acuerdo con el resultado obtenido, se desprende:
Corolario 4.9.4.1. Condiciń necesaria y suficiente para que un camino transformado por una funciń
o o
holomorfa sea regular, es que el camino original sea regular y que la derivada primera sea no nula.

f ∈ H/zc
f ′ (zc ) = 0
⇐⇒ (f ◦ γ)′ = 0
γ ′ (c) = 0

Bajo las hip´tesis anteriores, f es holomorfa en zc y con derivada no nula, resulta:
o

(f ◦ γ)′ = f ′ · γ ′

por lo tanto, la aplicaciń lineal tangente J(f, γ(c)) puede ser expresada por:
o

z −→ f ′ (zc ) · z

que representa una homotecia compleja (rotaciń y dilataciń) de γ sobre s´ mismo. El coeficiente de
o o ı
dilataciń es |f ′ (zc )| y el ńgulo de rotaciń es Arg(f ′ (zc )).
o a o

104 CAP´ ´

En el caso de que f ′ (zc ) = 0, siendo f una funciń no constante, no se mantiene el ńgulo orientado.
o a
Se puede demostrar que el ńgulo entre dos caminos, en este caso, se transforma de un valor α a un valor
a
nα, donde n es el orden de la menor derivada no nula en zc .

Si la funciń f : D −→ R es una aplicaciń conforme sobre todos los puntos del domino D, se dice
o o
que f es una representaciń conforme de D sobre f (D).
o

f ∈ Representaciń conforme/D, f (D) := ∀ z ∈ D,
o f ∈ Aplicaciń conforme/z
o

f ∈ Representaciń conforme/D, f (D) := La funciń f es una representaciń conforme de D sobre f (D)
o o o

La existencia de f ′ (z) = 0 asegura la no nulidad del jacobiano |J(f, z)|; lo cual, de acuerdo a lo ya
mencionado en 4.9.3, implica la existencia de la funciń inversa de f
o

f −1 : f (D) −→ D
w −→ z : w = f (z)

Existe tambiń la derivada de la funciń inversa, seg´ n las reglas normales
e o u

1
(f −1 )′ =
f ′ (z)

En este caso, entonces, la funciń f es biyectiva.
o
La funciń inversa tambiń es una representaciń conforme de f (D) sobre D.
o e o

Quedan explicadas, a la luz de la representaciń conforme, las propiedades de las transformaciones
o
complejas dadas como ejemplo en 3.2 y 4.7.2.

4.9.5. Transformaciń de ´reas e integrales dobles
o a
Sea f una representaciń conforme de D sobre f (D). Para estas funciones se puede llegar a una
o
f´rmula particular de c´lculo de ´reas.
o a a

Si f (D) es un conjunto sobre el cual puede calcularse la integral que define el ´rea, entonces se acuerdo
a
a las reglas de cambio de variables:

A= du dv = |J| dx dy
f (D) D

pero como

|J| = u2 + vx
x
2

= |f ′ (z)|2

Resulta entonces:

du dv = |f ′ (z)|2 dx dy
f (D) D

f´rmula que establece la relaciń de ´reas en una transformaciń conforme.
o o a o

´

4.9.6. Los problemas de la representaciń conforme
o
Sea una funciń de variable compleja f que transforma un conjunto D en otro f (D).
o

Se pueden plantear entonces dos problemas llamados directo e inverso de representaciń conforme.
o

I. Problema directo de la representaciń conforme.
o
Dado el conjunto D y la funciń f , hallar la imagen f (D). La funciń f tiene que ser holomorfa y
o o
no constante.
II. Problema Inverso de la representaciń conforme.
o
Dados dos conjuntos D y D′ , hallar la funciń f holomorfa que sea una representaciń conforme
o o
de D sobre D′ .

El problema inverso no siempre tiene soluciń y existen teoremas generales que se ocupan del tema,
o
pero tampoco dan soluciń en todos los casos.
o
En la prćtica se suelen emplear soluciones aproximadas que dan origen a dif´
a ıciles problemas de c´lculo
a
num´rico.
e
Otro m´todo importante para resolver el problema inverso es la tabulaciń de representaciones con-
e o
formes seg´ n el problema directo.
u

El problema inverso tiene especial´ ısimo inter´s en las cuestiones relacionadas con los campos poten-
e
ciales, es decir, los conjuntos abiertos sobre los cuales se cumple la ecuaciń de Laplace:
o

∇2 u = uxx + uyy = 0

que rige en campos elćtricos, magn´ticos, gravitatorios, hidrodin´micos y teor´ del calor.
e e a ıa

Un problema tipo es el siguiente:
Conocido el potencial sobre la frontera de un conjunto abierto D (representada por el lazo γ) que en
particular puede ser una l´
ınea equipotencial, hallar la distribuciń de potencial en el interior de D.
o

Este puede encararse (no siempre tiene soluciń) hallando una funciń f que sea una representaciń
o o o
conforme de D sobre un conjunto D′ de geometr´ sencilla (por ejemplo un c´
ıa ırculo) sobre el cual se
conozca el potencial en todos sus puntos.
Invirtiendo la funciń f , el problema planteado queda resuelto. En particular pueden hallarse las
o
l´
ıneas equipotenciales y las l´
ıneas de campo en el conjunto D.

γ
γ′
f
D′
D

Figura 4.13: L´
ıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representaciń conforme.
o

106 CAP´ ´

4.9.7. La inversiń
o
El estudio de la funciń inversiń tiene particular importancia en las aplicaciones de representaciń
o o o
conforme.
ˆ ˆ
inv : C −→ C

 1/z
 z = 0, z = ∞
z −→ 0 z=∞

∞ z=0


o o ˆ
Es fćil verificar que la inversiń es una biyecciń de C sobre s´ mismo.
a ı
En coordenadas cartesianas las inversiń, para z = 0 y z = ∞ puede presentarse como la transforma-
o
ciń que sigue, y su inversa:
o
x −y
(x y) −→ (u v) = ( , )
x2 + y 2 x2 + y 2
u −v
(u v) −→ (x y) = ( 2 , )
u + v 2 u2 + v 2
o tambiń en coordenadas polares
e
(r θ) −→ (R Θ) = ( 1 , −θ)
r
1
(R Θ) −→ (r θ) = ( R , −Θ)
Las expresiones en coordenadas polares permiten una interpretaciń sencilla de la inversiń de un
o o
1
complejo z = (r θ). El complejo z tiene por m´dulo al rec´
o ıproco del m´dulo de z, y por argumento el
o
1 1
opuesto del argumento de z, es decir z = ( r , −θ). Geom´tricamente:
e

z

r

θ
x −θ u

1
r
1
z

Figura 4.14: Transformaciń de vectores mediante una inversiń.
o o

Las construcciones geom´tricas m´s sencillas para obtener la rec´
e a ıproca de un complejo son:
z

β
Construyendo dos trińgulos semejantes, como mues-
a
r
tra la figura 4.15, se obtiene que R = 1 , pues:
r

r 1 

= 
sen(α) sen(θ)  1 θ α
=⇒ R =
R 1  r θ β 1 x
= 
 R α
sen(θ) sen(α)
1
Figura 4.15: Construcciń geom´trica para
z o e
obtener la rec´
ıproca de un complejo.

´

z

r

Un segundo m´todo, mostrado en la figura 4.16, se
e
θ
1 basa en un m´todo semejante al anterior con apoyo
e
θ
x en la circunferencia de radio unitario.
1
r
1
z

Figura 4.16: Construcciń geom´trica alter-
o e
nativa para hallar la rec´
ıproca de un n´mero
u
complejo.

Una aplicaciń de utilidad es la inversiń de la familia γ
o o

γ a(x2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0

que representa a todas las circunferencias del plano para a = 0 y a todas las rectas del plano para a = 0.

Si se aplica la inversiń a la familia anterior, resulta:
o

f ◦γ a + bu − cv + d(u2 + v 2 ) = 0

que es una ecuaciń de las mismas caracter´
o ısticas de la anterior, representando todas las circunferencias
del plano para d = 0 y a todas las rectas del plano para d = 0.

En el cuadro 4.1, preparado al efecto, se muestran todos los casos posibles de transformaciń de cir-
o
cunferencias y rectas por medio de la inversiń.
o

En los respectivos gr´ficos se presentan las construcciones geom´tricas convenientes para obtener la
a e
inversiń propuesta. Para ello debe recordarse que el punto z, perteneciente a γ de m´ximo m´dulo, se
o a o
transforma en el punto w, perteneciente a f ◦ γ de m´ınimo m´dulo; y que tambiń la transformaciń es
o e o
conforme, es decir, mantiene los ńgulos orientados.
a

4.9.8. La funciń homogr´fica
o a
Se llama funciń homogr´fica no degenerada u homografá a la funciń racional:
o a ı o
ˆ ˆ
Hom : C −→ C

 az + b d a, b, c, d ∈ C


 cz + d z=− z=∞ :
c ad − bc = 0


z −→ a z=∞
c

d


∞

z=−
c

108 CAP´ ´

γ |z f ◦γ |w

y z v w
(0 0) ∈ γ (0 0) ∈ f ◦ γ

γ

α
x α u
f ◦γ
a=0
d=0
Recta que pasa por (0 0) Recta que pasa por (0 0)

y z v w
(0 0) ∈ f ◦ γ

(0 0) ∈ γ
/
A

α
γ x α u
f ◦γ
a=0
A′
d=0
Recta que no pasa por (0 0) Circunf. que pasa por (0 0)

y z v w
(0 0) ∈ γ (0 0) ∈ f ◦ γ
/
A

f ◦γ
α γ
x α u
′
A
a=0
d=0
Circunf. que pasa por (0 0) Recta que no pasa por (0 0)

y z v w
(0 0) ∈ γ
/ A (0 0) ∈ f ◦ γ
/

γ
B
α
x α u
A′ f ◦γ
a=0
B′
d=0
Circunf. que no pasa por (0 0) Circunf. que no pasa por (0 0)

Cuadro 4.1: Diversas transformaciones mediante la funci´n inversi´n.
o o

´

Si se supusiera que ad − bc = 0, la funciń homogr´fica se reducir´ a una constante.
o a ıa

Si c = 0, la homograf´ se reduce a la funciń lineal
ıa o
a b
z −→ z+
d d
Si c = 0, la homograf´ puede llevarse a la forma
ıa
β
w−α=
z−δ
que representa sucesivamente:

I. Desplazamiento z1 = z − δ
1
II. Inversiń
o z 2 = z1
III. Homotecia z3 = β z2
IV. Desplazamiento w = α + z3
y que permite interpretar fćilmente la transformaciń de circunferencias y rectas por medio de la
a o
tabla hecha para la inversiń.
o

Recta que pasa por δ ←→ Recta que pasa por α
Recta que no pasa por δ ←→ Circunf. que pasa por α
Circunf. que pasa por δ ←→ Recta que no pasa por α
Circunf. que no pasa por δ ←→ Circunf. que no pasa por α

La homotecia est´ caracterizada por un giro definido por el Arg(β) y una dilataciń definida por el |β|.
a o

La homograf´ permite tambiń estudiar la representaciń conforme de c´
ıa e o ırculos en semiplanos, o
c´
ırculos en c´
ırculos, u otras combinaciones de conjuntos del plano limitados por circunferencias y rectas.

2282720 Analisis De Funciones De Variable Compleja

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (9)

Destacado (15)

Similar a 2282720 Analisis De Funciones De Variable Compleja (20)

Último (20)

2282720 Analisis De Funciones De Variable Compleja