Inducción Matemática
- 1. Mett ® Inducci´n y sumatorias o 1 n 1. Demuestre ,utilizando inducci´n, que o k=1 k2 1 n = +k n+1 ∀n ∈ N Soluci´n. o Para n = 1 1 k=1 k2 1 1 =? +k 1+1 1 12 + 1 1 2 =? = 1 2 1 2 Hip´tesis de Inducci´n: o o n k=1 k2 1 n = +k n+1 Por demostrar: n+1 k=1 k2 n+1 k=1 1 n+1 = +k n+2 1 = 2+k k n k=1 k2 1 +k + (n + 1)2 1 + (n + 1) 1 n + 2 n + 1 n + 2n + 1 + n + 1 n 1 = + 2 n + 1 n + 3x + 2 n 1 = + n + 1 (n + 1)(n + 2) = = n(n + 2) + 1 (n + 1)(n + 2) = n2 + 2n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)2 (n + 1)(n + 2) n+1 = QED. n+2 = Ana Mar´ Albornoz R. ıa
- 2. Mett ® Inducci´n y sumatorias o 2 2. Demuestre, por inducci´n, que n2 + n es par ∀n ∈ N o Soluci´n. o Para n = 1 12 + 1 = 2 es par. Hip´tesis de inducci´n: o o n2 + n es par, es decir n2 + n = 2k con k ∈ Z Por demostrar: (n + 1)2 + n + 1 es par. n2 + 2n + 1 + n + 1 = (n2 + n) + 2n + 2 = 2k + 2n + 2 = 2(k + n + 1) es par. QED 3. Demuestre, usando inducci´n, que los n´meros de la forma 5n3 + 7n son divisibles o u por 6. Soluci´n. o Para n = 1 5(1)3 + 7(1) = 12 = 6 ∗ 2 Hip´tesis de inducci´n: o o 5n3 + 7n = 6k con k ∈ Z Por demostrar: 5(n + 1)3 + 7(n + 1) = 6p con p ∈ Z 5(n + 1)3 + 7(n + 1) = 5(n3 + 3n2 + 3n + 1) + 7n + 7 = 5n3 + 15n2 + 15n + 5 + 7n + 7 = 5n3 + 7n + 15n2 + 15n + 12 = 6k + 12 + 15(n2 + n) = 6k + 12 + (5)(3)(n2 + n) Del ejercicio anterior sabemos que (n2 + n) es par: = 6k + 12 + (5)(3)(2s) = 6k + 12 + (6)(5)s = 6(k + 2 + 5s) que es divisible por 6. QED. o 4. Demuestre,usando inducci´n, que si a > −1 entonces (1 + a)n ≥ 1 + na Soluci´n. o Para n = 1 (1 + a)1 ≥ 1 + 1a Hip´tesis de inducci´n: o o n (1 + a) ≥ 1 + na Por demostrar que: (1 + a)n+1 ≥ 1 + (n + 1)a Partiendo de la hip´tesis: o n (1 + a) ≥ 1 + na Ana Mar´ Albornoz R. ıa
- 3. Mett ® Inducci´n y sumatorias o 3 Como a > −1 entonces (1 + a) > 0 y podemos multiplicar la desigualdad por (1+a) (1 + a)n (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a) (1 + a)n+1 ≥ 1 + a + na + na2 (1 + a)n+1 ≥ 1 + a(n + 1) + na2 ≥ 1 + a(n + 1) QED Ana Mar´ Albornoz R. ıa