InduccióN.Ppt
- 1. El principio de Inducción Lic. Clara Grinblat
- 2. Ejemplo: Denótese por S n =1+2+3+4+...+n Consideremos que se afirma que: S n =n(n+1)/2 para n=1,2,... Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a saber S 1 =1(2)/2=1 S 2 =2(3)/2=3=1+2 S 3 =3(4)/2=6=1+2+3
- 3. Y podemos seguir escribiendo y verificando por ejemplo S(7)=7.8/2=28=1+2+3+4+5+6+7 Esto no nos asegura que la forma de calcular la suma sea cierta para todos los números naturales. ¿ Cuándo una propiedad es cierta para todos los números naturales? Sabemos que para todo entero positivo n, n! ≤ n n . La Inducción Matemática se usa para probar estos resultados:
- 4. Principio de inducción Principio de inducción : Supóngase que se tiene una proposición P(n) para cada entero positivo n, consideremos: a) Paso básico P(1) es verdadera , y b) Paso inductivo para todo número natural k, si P(k) es verdadera entonces P(k + 1) es verdadera. Entonces la proposición P(n) es verdadera para todos los enteros positivos
- 5. Principio de inducción (Formalizado)
- 6. Si el primer dominó cae, y si cae un dominó entonces cae el siguiente, entonces todos los dominós caen.
- 7. Utilice inducción para probar que la suma de los n primeros números naturales es n(n+1)/2
- 8. Primero probamos que la propiedad se cumple para 1 ( paso básico ) Se cumple en este caso pues 1 = 1(1+1)/2 Luego probamos el paso inductivo : Si la propiedad se cumple en un numero k arbitrario (hipótesis inductiva ) entonces también se cumple en k + 1.
- 9. Sea k un entero positivo arbitrario. Por hipótesis inductiva: k(k + 1) 1 + 2 + … + k =------------ 2 Entonces, 1 + 2 + …. + k + (k + 1) = k(k + 1) ---------- + (k + 1)= 2 k(k + 1) + 2(k+ 1) =-------------------------= 2 (k + 1)(k + 2) ----------------- Entonces se concluye que 2
- 10. La inducción también funciona si queremos probar algo para cada entero n ≥ b. Ejemplo: Use inducción para demostrar que si a es distinto de 1, (Suma Geométrica). 1+a 1 +a 2 +...+a n =(a n+1 -1)/(a-1) (1) Paso Básico : Se obtiene cuando n=0, 1=(a 1 -1)/(a-1), lo cual es verdadero. Paso Inductivo :Supongamos que la proposición es verdadera para n. Ahora 1+a 1 +a 2 +...+a n +a n+1 =(a n+1 -1)/(a-1)+a n+1 =(a n+1 -1)/(a-1)+(a n+1 (a-1))/(a-1) =(a n+2 -1)/(a-1) Como el paso básico y el paso inductivo ya han sido verificados, el principio de inducción matemática establece que (1) es verdadera para n=0,1,2,...
- 11. EJERCICIO Demostrar por inducción sobre n que S(n)=(1+2+3+….+n) 2 = 1 3 +2 3 +…+n 3 S(1) es obviamente cierta; veamos que se verifique S(k+1)= )=(1+2+3+….+k+(k+1)) 2 = 1 3 +2 3 +…+k 3 + (k+1) 3
- 12. Por definición de S(k) se tiene que S(k+1)= (1+2+3+….+k+(k+1)) 2 =(1+2+3+….+k) 2 +2(1+2+3+….+k)(k+1)+(k+1) 2 = =1 3 +2 3 +…+k 3 +2(1+2+3+….+k)(k+1)+(k+1) 2 por hipótesis inductiva =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 2 +2.(K+1)k.(k+1)/2 por resultado suma de los primeros k naturales
- 13. =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 2 +(k+1) 2 k= =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 2 .(1+k)= =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 Con los pasos básicos e Inductivo se ha demostrado el enunciado.