Patrones numéricos

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
CURSO DE NIVELACIÓN DE CARRERA-SENESCYT
TEMA: PATRONES NUMÉRICOS
AUTORES: Mora Lombeida Lady Russhell.
Garófalo Yánez Solange Lilibeth.
Cedeño Marcatoma Edison Xavier.
Salazar Solórzano Fernando Josué.
CURSO: ING12V
TUTOR: Ing. Erwin Jurado.
FECHA DE PRESENTACIÓN: 02-03-2016
GUAYAQUIL – ECUADOR

1
ÍNDICE GENERAL
INDICE GENERAL...................................................................................................................... 1
INTRODUCCIÓN......................................................................................................................... 2
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA............................................................................................ 2
OBJETIVOS.................................................................................................................................. 2
PROPUESTA DE SOLUCIÓN.................................................................................................... 3
CONCLUSIONES......................................................................................................................... 9
RECOMENDACIONES............................................................................................................... 9
BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................................... 9

2
INTRODUCCIÓN
En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una
infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro
que toma una infinidad de valores enteros.
Vamos a realizar la demostración a través del teorema de inducción, para la
resolución de propuestas y demostrarlo físicamente.
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Las piezas pueden tener cualquier forma y se puede construir de cualquier
material que se decida. Se debe tener la cantidad suficiente de piezas
semejantes para la búsqueda del patrón numérico y la construcción de la
proposición para el cual se cumple el principio de inducción matemática.
El principio de inducción matemática se afianza con este proyecto.
A continuación se presentan algunas reglas que el estudiante debe conocer:
OBJETIVOS
 Determinar la regla que rige algún comportamiento numérico después de
haber generado por lo menos cierta cantidad de ocurrencias de una
secuencia.
 Dada una propiedad de los números naturales, demostrarla aplicando el
Teorema de inducción.

3
PROPUESTA DE SOLUCIÓN
1. Axiomas de Peano
Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de
investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la
consistencia y completitud en la Teoría de números.
Los axiomas de Peano no se ocupan del significado de "número natural", sino
que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que
caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos,
todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la
lógica.
Los cinco axiomas de Peano
 El 1 es un número natural.
 Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un
número natural.
 El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
 Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y
m son el mismo número natural.
 Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el
sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces
todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el
axioma de inducción, y captura la idea de Inducción matemática.

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2. La inducción matemática:
Si en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un
número natural n se verifica para su sucesor, n + 1, cualquiera que sea n,
entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n
hasta el infinito. Si sabemos, además, que se verifica para el primero de los
números naturales, que no es sucesor de ningún otro, entonces hay que
concluir que la propiedad se verifica para todo elemento de .
Es decir, para probar que una propiedad se cumple en todos los números
naturales, basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuación,
suponer que se cumple para un natural n, y a partir de esta suposición, deducir
que se ha de cumplir para el natural siguiente, n + 1.
Teorema de Inducción
Si p(n) es una propiedad sobre el conjunto de los números naturales , tal que:
p(1) ≡ 1 (Caso base)
∀n [p(n) ⇒ p(n + 1)] (Paso inductivo)
Entonces, ∀n ∈ p(n) ≡ 1, es decir, Ap(n) =

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1. En un supermercado quieren apilar las naranjas en una base sólida, de
forma que cada naranja se encuentre en contacto con la capa inferior.
¿Cuántas naranjas serán necesarias para formar una figura geométrica
de n capas?
REGLA: 𝟏 + 𝟐 + 𝟑+. . . . +𝒏 =
𝟏
𝟐
𝒏(𝒏 + 𝟏)
Demostración:
𝒑(𝟏): 1 =
1
2
(1)(1 + 1)
1 =
1
2
(2)
1 = 1
𝒑(𝟏) = 𝟏
𝒑(𝒌) = 𝒑(𝒌 + 𝟏)
𝒑(𝒌): 1+. . . . . +𝑘 =
1
2
𝑘(𝑘 + 1)
𝒑(𝒌 + 𝟏): 1+. . . . . +𝑘 + (𝑘 + 1) =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

6
𝒑(𝒌) + (𝒂𝒌 + 𝟏) = 𝒑(𝒌 + 𝟏)
[
𝑘(𝑘 + 1)
2
+ (𝑘 + 1)] =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
[
𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1)
2
] =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝒑(𝒌) = 𝒑(𝒌 + 𝟏)
Entonces p(k + 1) es verdadera siempre que p(k) lo sea.
Por el primer principio de inducción matemática se concluye que p(n) es
verdadera n +
.

7
2. Un grupo de jóvenes desea agrupar los palitos de fósforos
secuencialmente tal como se muestra en la figura. Si se continúa la
misma secuencia de ir agregando cuadrados, ¿Cuántos palitos se
usarían para construir una figura plana?
REGLA: 𝟔 + 𝟗 + 𝟏𝟐+. . . +𝟑(𝒏 + 𝟏) =
𝟑
𝟐
𝒏(𝒏 + 𝟑)
Demostración:
𝒑(𝟏): 3(1 + 1) =
3
2
(1)(1 + 3)
6 =
3
2
(4)
6 = 6
𝒑(𝟏) = 𝟏
𝒑(𝒌) = 𝒑(𝒌 + 𝟏)
𝒑(𝒌): 6 + 9 + 12+. . . . +3(𝑘 + 1) =
3
2
𝑘(𝑘 + 3)
𝒑(𝒌 + 𝟏): 6 + 9 + 12+. . . . +3(𝑘 + 1) + 3(𝑘 + 2) =
3
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 4)

8
𝒑(𝒌) + (𝒂𝒌 + 𝟏) = 𝒑(𝒌 + 𝟏)
3
2
𝑘(𝑘 + 3) + 3(𝑘 + 2) =
3
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 4)
[
3𝑘(𝑘 + 3)
2
+ 3(𝑘 + 2)] =
3
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 4)
[
3𝑘2
+ 9𝑘 + 6(𝑘 + 2)
2
] =
3
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 4)
[
3𝑘2
+ 9𝑘 + 6𝑘 + 12
2
] =
3
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 4)
[
3𝑘2
+ 15𝑘 + 12
2
] =
3
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 4)
[
3
2
(𝑘2
+ 5𝑘 + 4)] =
3
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 4)
3
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 4) =
3
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 4)
𝒑(𝒌) = 𝒑(𝒌 + 𝟏)
Entonces p(k + 1) es verdadera siempre que p(k) lo sea.
Por el primer principio de inducción matemática se concluye que p(n) es
verdadera n +
.

9
CONCLUSIONES
Después de haber generado por lo menos cierta cantidad de ocurrencias de
una secuencia, determinar la regla que rige algún comportamiento numérico.
Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la
proposición la satisfacen todos los números naturales.
RECOMENDACIONES
Usar palillos de helado, en vez de palos de fósforos.
BIBLIOGRAFÍA
Peano, Giuseppe (marzo de 1979). Velarde Lombraña, Julián (ed.). Los
principios de la aritmética: expuestos según un nuevo método., Velarde
Lombraña, Julián; tr., 1 edición (en español)
Instituto de Ciencias Matemáticas (ICM) de la Escuela Superior Politécnica del
Litoral (mayo de 2006). Fundamentos de Matemáticas para Bachillerato.,
Ecuador - Guayaquil, ICM, 2 edición.

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