7mo matematica1
- 1. Páginas para el alumno Matemática Cálculo Mental con Números Naturales Tercer ciclo de la escuela primaria G.C.B.A Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula s
- 2. Matemática Cálculo mental con números naturales Tercer ciclo de la escuela primaria Páginas para el alumno G.C.B .A. G.C.B.A Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula
- 3. Matemática. Cálculo mental con números naturales para el alumno / coordinado por Susana De Marinis. - 1a ed. - Buenos Aires : Ministerio de Educación - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, 2008. 56 p. ; 28x21 cm. ISBN 978-987-549-354-4 1. Material Auxiliar para la Enseñanza. I. De Marinis, Susana, coord. CDD 371.33 ISBN: 978-987-549-354-4 © Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula. 2007 Hecho el depósito que marca la Ley n° 11.723 G.C.B .A. Esmeralda 55, 8°. C1035ABA. Buenos Aires Correo electrónico: dircur@buenosaires.edu.ar Permitida la transcripción parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras, según Ley 11.723, art. 10°, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente; si éste excediera la extensión mencionada deberá solicitarse autorización a la Dirección de Currícula. Distribución gratuita. Prohibida su venta.
- 4. GOBIERNO DE LA CIUDAD DE BUENOS AIRES Jefe de Gobierno JORGE TELERMAN Ministra de Educación ANA MARÍA CLEMENT Subsecretario de Educación LUIS LIBERMAN Directora General de Educación ADELINA DE LEÓN Director de Área de Educación Primaria CARLOS PRADO Director del Área de Educación del Adulto y del Adolescente ALEJANDRO KUPERMAN G.C.B .A.
- 5. Matemática. Cálculo mental con números naturales Tercer ciclo de la escuela primaria Páginas para el alumno Coordinación autoral: Susana De Marinis. Elaboración del material: Claudia Broitman Este material es una adaptación del documento Cálculo mental con números naturales (G.C.B.A., Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2005; Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseñanza 2004-2007). Agradecimientos: A los docentes Eva Soledad Buzzett, Elías Capeluto, Carlos Casas, Liliana Orsi y Graciela Tojeiro, cuya lectura y análisis de prácticas han enriquecido este material. G.C.B .A. Edición a cargo de la Dirección de Currícula Supervisión de edición: Paula Galdeano. Diseño gráfico: Patricia Peralta. Apoyo administrativo y logístico: Olga Loste y Jorge Louit.
- 6. Índice Introducción.......................................................................................................................7 Sumas y restas ....................................................................................................................9 Actividad 1. Sumas y restas con números redondos y “casi redondos”...................................9 Actividad 2. Estimaciones de sumas y restas ................................................................... 10 Actividad 3. Cálculo de distancias entre números ............................................................. 11 Actividad 4. Analizar la conveniencia de hacer sumas y restas con cálculo mental, con calculadora, con cuentas o con estimaciones ............................................................. 12 Multiplicación y división .................................................................................................... 13 Actividad 1. Tabla de multiplicaciones ............................................................................ 13 Actividad 2. La tabla pitagórica para resolver divisiones ................................................... 15 Actividad 3. Multiplicación y división por 10; 100 y 1.000, y por otros números terminados en cero ....................................................................................................................... 16 Actividad 4. Usar la multiplicación por números “redondos” para otras multiplicaciones ....... 19 Actividad 5. Más cálculos a partir de uno conocido .......................................................... 20 Actividad 6. Estimación de productos ............................................................................. 24 Actividad 7. Estimación de cocientes.............................................................................. 27 Actividad 8. Relacionar cuentas con cálculos mentales ..................................................... 29 Sistema de numeración ...................................................................................................... 32 Actividad 1. Sumar y restar para armar y desarmar números ............................................. 32 Actividad 2. Monedas de $ 1 y billetes de $ 10 y $ 100 ..................................................... 33 Actividad 3. Armar números con multiplicaciones por 10, 100 y 1.000 ............................... 35 Actividad 4. Relaciones entre sistema de numeración y división por 10, 100 y 1.000 ............ 37 Actividad 5. Pensar sobre los números haciendo sumas y restas en la calculadora ................ 40 Actividad 6. Pensar sobre los números haciendo multiplicaciones y divisiones en la calculadora .............................................................................................................. 36 Qué aprendimos ................................................................................................................ 44 G.C.B .A. Para finalizar .................................................................................................................... 48
- 7. Introducción Introducción Este documento presenta un conjunto de actividades que involucran cálculos mentales con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números naturales.1 Estos cálculos mentales no necesitan hacerse en forma oral, ni velozmente, ni “en la cabeza”, pueden ser cálculos escritos, pero que –a diferencia de las cuentas tradicionales– se resuelven por una gran diversidad de formas de componer y descomponer los números. Por ejemplo, la multiplicación 4 x 53 podría resolverse realizando la cuenta pero también mediante procedimientos de cálculo mental como los siguientes, entre otras posibilidades: • Hacer cuatro veces 50 (50, 100, 150, 200) y cuatro veces 3 (3, 6, 9, 12) y sumar luego 200 + 12. • Hacer 4 x 50 = 200 y 4 x 3 = 12 y sumar ambos resultados. • Pensar que el doble de 53 es 106, y el doble de 106 es 212. ¿Por qué es importante aprender a hacer esta clase Matem’atica • Cálculo mental con números naturales de cálculos mentales? Por un lado, para usarlos en situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo, cuando hacemos compras, cuando calculamos cuotas, cuando vamos controlando cuánto devolvemos o debemos a un amigo, para determinar cuánto gastamos en transportes en una semana, o cuánto dinero se precisa para hacer una fiesta de cumpleaños. Muchas veces realizamos estos cálculos mentalmente, otras veces lo hacemos por escrito, pero en la mayoría de las situaciones componemos y descomponemos los números originales del cálculo para hacer otros, más fáciles. G.C.B .A. El cálculo mental, además de ser muy útil y necesario, promueve un tipo de trabajo matemático que exige decidir la estrategia más conveniente en cada caso, analizar y comparar diferentes maneras de resolver, comprender el origen de ciertos errores, probar si dicha estrategia 1 La mayor parte de estos funcionará con otros números, etc. Es decir, es un tema problemas fueron adaptados del documento Cálculo Mental con sobre el cual nos permitimos probar y desplegar ciertas Números Naturales. Plan Plurianual. formas de pensar, que son propias del trabajo matemático. GCBA. CONSULTAR CON VIRGINIA Por ejemplo, interpretar la información que trae un CÓMO SE PONE LA CITA COMPLETA. 7
- 8. matemática cálculo y que no es evidente, usar resultados conocidos para encontrar otros desconocidos, por ejemplo cuando asociamos que si 5 + 5 = 10, entonces 5.000 + 5.000 será igual a 10.000. Aprender a hacer cada vez más cálculos mentales por una parte, y aprender maneras de pensar en torno a los números y las operaciones son finalidades de este material. La inclusión de la calculadora en el trabajo matemático resulta esencial por diversos motivos. Por un lado, porque se ha convertido en una herramienta de cálculo muy extendida y es importante aprender a utilizarla. Pero conocer sus usos incluye también reconocer cuándo es útil y cuando “no tanto” (para 100 + 100 no “vale la pena” usar la calculadora, pero sí para 4.567 + 89.026). También en el trabajo con cálculos mentales la calculadora es una herramienta para explorar propiedades de los números y de las operaciones, y para constatar los resultados de otros tipos de cálculo. En este documento se proponen muchos cálculos G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula y problemas. Pero no se espera que ustedes ya sepan resolverlos desde el principio, sino que se los invita a que prueben cómo hacerlos. Luego de haber intentado resolverlos en forma individual o en parejas, en un momento posterior, entre todos, podrán analizar aciertos, errores y las diversas maneras de hacer cada cálculo. Los invitamos a que prueben (aunque se equivoquen), que escriban las diferentes formas que se les van ocurriendo, que acepten discutir y analizar sus errores y los ajenos, porque revisar los errores les permitirá mirar nuevamente los cálculos y aprender sobre ellos. Por último, les sugerimos que, cuando se equivoquen, no borren ni tachen lo que hicieron justamente para que puedan revisar G.C.B .A. y analizar las dificultades en forma conjunta. 8
- 9. Sumas y restas Sumas y restas Actividad 1. Sumas y restas con números redondos y “casi redondos” En esta actividad recordare- Problema 1 mos algunos cálculos de suma y resta cuyos resultados ya a) Resuelva los siguientes cálculos: tenemos memorizados. Rea- lizaremos otros cálculos de 1.000 + 1.000 = 3.000 + 3.000 = suma y resta que, aunque no 400 + 400 = 350 + 350 = los sepamos de memoria, son 2.000 + 2.000 = 250 + 250 = sencillos de hacer mental- 500 + 500 = 1.500 + 1.500 = mente. Es importante tener 4.000 – 3.000 = 450 – 50 = en cuenta que cualquier cál- 2.345 – 345 = 1.500 – 1.000 = culo admite muchas formas de resolución. En algunos b) Si conocía algunos resultados “de memoria” o pudo cálculos para hacer sumas y obtenerlos de inmediato, márquelos. restas es conveniente hacer otras más “redondas” y luego c) Los siguientes cálculos no se suelen recordar de usar el resultado obtenido. memoria, pero resolverlos puede ser sencillo: 3.500 + 3.500 = 2.000 + 2.000 + 450 = números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales 2.000 + 900 = 1.900 + 100 = 750 + 750 = 2.500 + 3.500 = 990 – 90 = 3.900 – 1.000 = 450 – 400 = d) Anote algunas sumas y restas que sepa de memoria: _________________________________________________ _________________________________________________ Mental _________________________________________________ G.C.B .A. Problema 2 Para resolver estos cálculos puede ser muy útil sumar o restar 10, 100, 1.000 y después agregar o quitar lo que falta. Por ejemplo, para 213 + 9 se puede hacer 213 + 10, que es más fácil, y luego sacarle 1. Para 250 + 101 es posible hacer 250 + 100 y al resultado sumarle 1. 9
- 10. matemática a) Busque una manera de averiguar el resultado de: 243 + 99 = 1.362 + 99 = 2.240 + 900 = 3.572 + 990 = 368 + 9 = 262 – 90 = 5.639 – 900 = 1.970 – 99 = b) Busque una manera de averiguar el resultado de: 864 + 11 = 864 + 101 = 529 + 11 = 529 + 101 = 963 + 101 = 7.305 + 101 = 7.305 + 1.001 = 7.305 + 11 = Actividad 2. Estimaciones de sumas y restas La estimación es hallar re- Problema 1 G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula sultados aproximados sin necesidad de una respuesta Trate de responder las preguntas sin hacer el cálculo exacta. Para estimar se utili- exacto: zan números “redondos” que facilitan las operaciones. En esta actividad usaremos la es- Lista de precios timación, que es muy útil en Heladera $ 966 Lavarropas $ 458 situaciones cotidianas en las Microondas $ 283 Estufa $ 322 que no se precisa exactitud Licuadora $ 135 Celular $ 185 (por ejemplo: ¿más o menos cuánto saldrá esta compra?; ¿cuánto pagaré aproximada- a Para comprar el celular y la licuadora, ¿alcanzan $ 500? mente cada cuota?; si com- b) Para comprar el lavarropas y el microondas, G.C.B .A. pro estas dos cosas, ¿saldrá ¿alcanzan $ 600? entre $ 100 y $ 150?) c) Para comprar la heladera y el celular, ¿alcanzan $ 1.000? Problema 2 a) 966 – 204 ¿será mayor o menor que 300? b) 669 – 578 ¿será mayor o menor que 400? c) 897 + 234 ¿será mayor o menor que 1.000? 10
- 11. Sumas y restas Problema 3 Para cada uno de los siguientes cálculos hay tres opciones, pero solo una de ellas es correcta. Sin hacer la cuenta, analice las opciones y marque cuál le parece que es el resultado correcto: a) 235 + 185 = 620 320 420 b) 567 – 203 = 464 264 364 c) 186 + 238 = 424 224 324 d) 639 – 278 = 361 461 261 Analicen entre todos las diferentes formas que utilizaron para saber “más o menos” los resultados sin hacer cuentas. Actividad 3. Cálculo de distancias entre números En muchas ocasiones preci- Problema 1 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales samos averiguar “cuánto le falta a un número para llegar Complete el cuadro: a otro”. Por ejemplo, si tengo $ 231 y quiero comprar algo Anote acá los ¿Cuánto hay para que cuesta $ 1.000, ¿cuánto cálculos que que sumarle obtener Respuesta me falta? Para obtener una necesite para a …. …? respuesta, es preciso averi- averiguarlo guar la distancia o diferen- 40 100 cia entre 231 y 1.000. En Mental esta actividad averiguarán 1.200 2.000 la diferencia entre dos nú- G.C.B .A. 350 1.000 meros por medio de cálculos mentales. 699 3.000 2.455 10.000 6.189 7.200 199 10.000 9.999 50.000 11
- 12. matemática Problema 2 Complete el cuadro: Anote acá los ¿Cuánto hay para cálculos que que sumarle obtener Respuesta necesite para a ... …? averiguarlo 3.000 2.500 4.000 1.200 4.500 400 2.300 1.000 470 320 3.450 1.100 267 155 G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula Entre todos comparen las diferentes formas que usaron para resolver los problemas. Si les parece necesario, pueden verificar los resultados con calculadoras. Actividad 4. Analizar la conveniencia de hacer sumas y restas con cálculo mental, con calculadora, con cuentas o con estimaciones Cuando los números son “redondos” es conveniente ha- Problema 1 cer sumas y restas mentalmente. En otros casos, conviene hacer sumas y restas con cuentas convencionales. A ve- Busquen entre todos G.C.B .A. ces es suficiente con hacer una estimación para resolver ejemplos de diferentes problemas. La estimación también es útil para anticipar casos en los que sea el resultado de las cuentas y controlar que los resultados conveniente obtener el obtenidos sean posibles. Y en muchos casos es conveniente resultado de distintos usar la calculadora. Para los cálculos cuyos resultados ya modos: con un cálculo sabemos de memoria no es preciso usar la calculadora. mental, con calculadora, con cuentas o con estimaciones. 12
- 13. Multiplicación y división Multiplicación y división Actividad 1. Tabla de multiplicaciones El trabajo con la tabla de Problema 1 multiplicaciones tiene mu- chos objetivos. Por un lado, La siguiente es una tabla de multiplicaciones que se llama ayudará a identificar cuáles Tabla Pitagórica. La inventó el matemático y filósofo resultados ya tienen memo- Pitágoras en Grecia hace más de dos mil quinientos años. rizados y cómo reconstruir Complétela con los resultados de las multiplicaciones. los que no recuerdan. Tam- bién permitirá conocer y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 usar propiedades de la mul- 1 tiplicación para realizar va- riados cálculos. 2 3 4 5 6 7 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales 8 9 10 Problema 2 Analicen la verdad o falsedad de estas afirmaciones Mental (preferentemente en parejas): G.C.B .A. • Todos los números están repetidos. • En la fila y en la columna del 5 todos los números terminan en 0 o en 5. • En la columna del 10 todos los resultados son el doble que los de la del 5. • Los resultados de la columnas del 2 son la mitad que los de la del 4. • Todos los números multiplicados por 0 dan 0. • Todos los números multiplicados por 1 dan 1. 13
- 14. matemática Problema 3 a) Busquen columnas o filas en las que los resultados sean el doble o el triple de los de otra columna o fila. Pueden analizar qué sucede con las del 3, el 6 y el 9, por ejemplo. b) Los resultados de la fila o la columna del 7 pueden reconstruirse sumando los resultados de las filas o columnas del 3 y del 4. Analicen si también sucede lo mismo sumando los de 5 y 2 y los de 6 y 1. c) ¿Qué resultados se obtienen al multiplicar cualquier número por 0? ¿Y por 1? Problema 4 Es posible hacer 4 x 8 mediante otros cálculos usando las propiedades de la multiplicación: G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula • Si se usa la propiedad asociativa, se puede descomponer el 8 y hacer, en lugar de 4 x 8, este otro cálculo: 4 x 2 x 2 x 2, y da el mismo resultado. • Si se usa la propiedad conmutativa, se puede alterar el orden de los números y en lugar de 4 x 8, hacer 8 x 4, y da el mismo resultado. • Si se usa la propiedad distributiva, se puede desarmar el 8 y en lugar de hacer 4 x 8, hacer 4 x 5 + 4 x 3, y da el mismo resultado. A partir de lo anterior, escriba otros cálculos que den el mismo resultado que: G.C.B .A. 6x9= 7x6= 5x8= 10 x 7 = 14
- 15. Multiplicación y división Problema 5 Aquí hay varios cálculos. En algunos casos las equivalencias son verdaderas y en otros, no. Coloque V o F en cada una. Intente analizarlas usando las relaciones entre números de los problemas anteriores. 8x9=8x3x3 9x9=9x2x3 9x6=9x2x3 5 x 10 = 5 x 5 x 5 5 x 10 = 5 x 2 x 5 5 x 9 = 5 x 10 - 5 7x7=7x5+7x2 3x9=3x5+3x4 3x9=3x3x3 Actividad 2. La tabla pitagórica para resolver divisiones Conocer los resultados de la Problema 1 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales tabla pitagórica puede servir también para resolver divi- a) ¿Cuál de estos números multiplicado por 5 da 40? siones rápidamente. 5 8 10 b) ¿Cuál es el número que, multiplicado por 7, da 21? 6 3 9 c) ¿Cuál es el número que, multiplicado por 8, da 32? 7 3 4 Mental d) Un número, multiplicado por 7, da 56. ¿Qué número es? G.C.B .A. _________________________________________________ Problema 2 A partir de los resultados de la tabla pitagórica, calcule: a) 36 : 6 = d) 36 : 4 = b) 48 : 8 = e) 42 : 7 = c) 81 : 9 = 15
- 16. matemática Actividad 3. Multiplicación y división por 10; 100 y 1.000, y por otros números terminados en cero Multiplicar y dividir por 10, Problema 1 100 ó 1.000 es muy sencillo en nuestro sistema de nume- En un taller guardan los tornillos en cajas de 10 tornillos, ración, justamente porque es de 100 tornillos y cajas de 1.000 tornillos. decimal. En estos problemas trabajaremos sobre esta cla- a) ¿Cuántos tornillos hay en 3 cajas de 10? ¿Y en 15 se de cálculos. Si precisaran, cajas de 10? pueden usar la calculadora b) ¿Cuántos tornillos hay en 7 cajas de 100? ¿Y en 22 para verificar resultados. cajas de 100? c) ¿Cuántos tornillos hay en 9 cajas de 1.000? ¿Y en 45 cajas de 1.000? Problema 2 Resuelva los siguientes cálculos: G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula 25 x 10 = 64 x 10 = 345 x 10 = 3.456 x 10 = 25 x 100 = 64 x 100 = 345 x 1.000 = 3.456 x 100 = Problema 3 ¿Cuáles de estos números podrían ser el resultado de una multiplicación por 10? 168 7.980 7.809 9.800 G.C.B .A. 5.076 3.460 Problema 4 Calcule mentalmente: a) 45 x ........ = 4.500 b) 128 x ........ = 1.280 c) 17 x .......... = 17.000 16
- 17. Multiplicación y división d) .... x 10 = 320 e) .... x 100 = 800 f) .... x 100 = 1.300 g) .... x 1.000 = 7.000 h) .... x 1.000 = 29.000 Problema 5 a) En una librería quieren ordenar los sobres. Si tienen 450 y los ponen en paquetes de a 10, ¿cuántos sobres arman?, ¿les sobran? b) Y si tienen 5.600 sobres y los ponen en paquetes de 100, ¿cuántos arman?, ¿les sobran? c) Y si tienen 6.700 y los ponen en paquetes de 10, ¿cuántos arman?, ¿les sobran? Problema 6 Dividir por 10, 100 y 1.000 seguramente también números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales les resulte muy sencillo para estos números. Intente resolverlos, sin hacer la cuenta de dividir. 340 : 10 = 3.400 : 100 = 34.000 : 10 = 45.00 : 100 = 24.530 : 10 = 230.000 : 100 = Problema 7 Mental a) ¿Cuáles de estos cálculos darán lo mismo que 4 x 2 x 10? Intente resolverlo sin hacer cada una G.C.B .A. de las cuentas. Puede consultar las propiedades enumeradas en el Problema 4 de la Actividad 1. 80 x 10 10 x 4 x 2 8 x 10 8x5x2 6 x10 4x2x5x2 4 x 20 17
- 18. matemática b) ¿Cuáles de estos cálculos darán lo mismo que 32 x 10? Intente resolverlo sin hacer cada una de las cuentas. Puede consultar las propiedades enumeradas en el Problema 4 de la Actividad 1. 8 x 4 x 10 4 x 2 x 4 x 10 8 x 40 10 x 32 3 x 10 + 2 x 10 10 x 10 + 10 x 10 + 10 x 10 + 2 x 10 Problema 8 a) Anote una única operación que deberá hacerse para que, a partir del número que aparece en la columna de la izquierda, surja en el visor de la calculadora el número escrito en la columna de la derecha. G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula Número original Cálculo Número “transformado” 28 280 6 120 470 47 8 2.400 6.300 63 12 3.600 4.000 40 Si lo considera necesario, puede verificar con la calculadora. G.C.B .A. b) Escriba qué cálculos son necesarios para pasar de un número al siguiente: 35 350 700 7.000 1.000 10 180 6 59 590 5.900 59 59.000 59 5.900 590 Si lo considera necesario, puede verificar con la calculadora. 18
- 19. Multiplicación y división Problema 9 Saber los resultados de la tabla pitagórica y a la vez saber cómo multiplicar por 10, 100 y 1.000 son conocimientos muy útiles para hacer rápidamente multiplicaciones por 20, 30, 40, 50, etc., o también por 200, 300, 400, etc. Calcule mentalmente: 4 x 60 = 12 x 20 = 15 x 30 = 200 x 70 = .... x 200 = 800 8 x ... = 320 .... x 50 = 1.000 .... x 50 = 4.000 Entre todos escriban una regla para multiplicaciones y divisiones por cualquier número terminado en cero. Intenten explicar por qué funciona. Actividad 4. Usar la multiplicación por números “redondos” para otras multiplicaciones números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales En esta actividad estudiare- Problema 1 mos cómo usar cálculos más sencillos para hacer otros a) Intente usar el cálculo 3 x 20 = 60 para resolver más complejos, a partir de estos otros cálculos: analizar las relaciones entre 3 x 21 ellos. Por ejemplo, para ha- 3 x 22 cer 102 x 8, es posible pen- sar 100 x 8 y 2 x 8, y sumar b) Para hacer 3 x 19, ¿es correcto pensar 3 x (20 – 1) Mental ambos resultados. O para ha- = 3 x 20 – 3 = 60 – 3 = 57? Puede consultar el cer 99 x 8 es posible hacer Problema 4 de la Actividad 1 y las propiedades que G.C.B .A. 100 x 8 y luego restarle 8. allí se enuncian. c) Intente resolver estos cálculos a partir de pensar en la multiplicación x 20: 5 x 19 = 7 x 19 = 30 x 19 = 19
- 20. matemática Problema 2 Calcule mentalmente estos productos usando la multiplicación por números “redondos”y las relaciones de los problemas anteriores. a) 5 x 29 = d) 6 x 21 = b) 7 x 49 = e) 5 x 22 = c) 3 x 19 = f) 4 x 53 = Problema 3 A partir del cálculo 15 x 30 = 450: a) ¿Qué multiplicaciones podría escribir de las que esté seguro de los resultados sin tener que calcularlos? b) Compare con algún compañero si se les ocurrieron los mismos. G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula Problema 4 Coloque V o F. Intente hacerlo sin hacer todas las cuentas. 4 x 75 = 4 x 70 + 5 x 70 51 x 17 = 50 x 17 + 1 x 17 99 x 12 = 100 x 12 – 12 Actividad 5. Más cálculos a partir de uno conocido Muchas veces los resultados Problema 1 G.C.B .A. ya conocidos nos permiten averiguar otros usando com- Estas multiplicaciones son correctas: posiciones y descomposi- ciones de los números. Por 2 x 28 = 56 3 x 28 = 84 ejemplo, si sabemos cuánto 4 x 28 = 112 5 x 28 = 140 cuestan 10 productos igua- les, usamos ese resultado Úselas para completar la tabla. Podrá resolver cada parte para averiguar cuánto cues- de varias maneras diferentes. tan 20. Si sabemos también 20
- 21. Multiplicación y división cuánto cuestan 5, podemos 8 6 10 20 30 40 50 100 usar ambos resultados para x 28 averiguar cuánto cuestan 15 productos iguales. En los siguientes problemas usare- Problema 2 mos un conjunto de cálculos dados para hacer otros. a) A partir de los siguientes resultados de multiplicaciones por 34, se pueden encontrar los resultados de otras multiplicaciones por 34. Por ejemplo, para averiguar 12 x 34 se puede usar 10 x 34 y 2 x 34, y sumar ambos resultados. Intente resolverlas. Multiplicaciones x 34 ya resueltas: 1 x 34 = 34 2 x 34 = 68 3 x 34 =102 4 x 34 = 136 5 x 34 = 170 6 x 34 = 204 7 x 34 = 238 8 x 34 = 272 9 x 34 = 306 10 x 34 = 340 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales Multiplicaciones x 34 para resolver usando las anteriores: 12 x 34 = 16 x 34 = 21 x 34 = 35 x 34 = Puede verificar los resultados con la calculadora si lo considera necesario. Mental b) Anote otras tres multiplicaciones que también se G.C.B .A. puedan calcular con la ayuda de los resultados que aparecen en la tabla anterior. Problema 3 Resuelva los siguientes cálculos sin hacer cada cuenta. Para averiguar los resultados puede usar las multiplicaciones que se ofrecen como datos y también las que va resolviendo: 21
- 22. matemática a) A partir de 3 x 40 = 120 calcule: 3 x 400 = 30 x 40 = 3 x 80 = 6 x 40 = 9 x 40 = b) A partir de 24 x 15 = 360 calcule: 24 x 30 = 48 x 15 = 240 x 150 = 24 x 45 = 24 x 60= Problema 4 a) A partir de usar 30 x 40 = 1.200, intente calcular cuánto será 1.200 : 30. ¿Y 1.200 : 40? b) Sin hacer toda la cuenta, a partir de la división 2.400 : 30 = 80 y de las cuentas que va resolviendo, G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula anote los resultados de los cálculos: 2.400 : 80 = 80 x 30 = 2.400 : ..... = 30 2.400 : ..... = 8 2.400 : 8 = c) Si usa 20 x 80 = 1.600, ¿qué divisiones podría escribir de la que esté seguro de los resultados sin tener que calcularlo? Problema 5 G.C.B .A. Se sabe que 100 x 30 = 3.000 y que 120 x 30 = 3.600. Calcule, sin hacer las cuentas, los resultados de: a) 220 x 30 = b) 320 x 30 = c) 420 x 30= Para cada caso, escriba los cálculos que precisó hacer para pensarlo. 22
- 23. Multiplicación y división Problema 6 Cuando tenemos que averiguar el resultado de una multiplicación por 5, a veces es más sencillo hacer la multiplicación por 10 y luego averiguar la mitad. También se puede averiguar el resultado de multiplicar por 50 multiplicando por 100 y luego calculando la mitad. a) Anote el resultado de los cálculos. Use el primero para averiguar el segundo. 18 x 10 = 44 x 100 = 18 x 5 = 44 x 50 = 120 x 10 = 58 x 100 = 120 x 5 = 58 x 50 = b) Calcule mentalmente. Puede usar la multiplicación por 10 o por 100 primero. 24 x 5 = 38 x 50 = números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales 72 x 5 = 24 x 50 = 15 x 5 = 36 x 50 = Entre todos piensen cómo se podrían resolver multiplica- ciones por 500 y por 25 a partir de hacer multiplicaciones por 1.000 y 100. Problema 7 Mental También es posible usar la división por 10 ó por 100 para resolver divisiones por 5 ó por 50. Pero a veces es difícil G.C.B .A. saber si va a dar la mitad o el doble. Intente anticipar las respuestas a estas preguntas: a) 480 : 5, ¿dará el doble o la mitad que 480 : 10? b) 560 : 50, ¿dará el doble o la mitad que 560 : 100? Finalmente, entre todos, pueden corroborar con la calcu- ladora e intentar formular una regla para saber, sin hacer 23
- 24. matemática la cuenta de dividir, si el resultado de una división por 5 ó por 50 será el doble o la mitad. Actividad 6. Estimación de productos Así como hemos visto para la Problema 1 suma y la resta, en muchos casos también es útil para di- a) En 11 cajas de 500 alfileres, ¿habrá más o menos de versos problemas estimar el 5.000 alfileres? resultado de multiplicaciones, tanto para resolver problemas b) En 111 cajas de 100 ganchitos mariposa, ¿habrá más en los que hay que averiguar o menos de 10.000 ganchitos? “más o menos” cuánto da, como para anticipar resulta- Problema 2 dos de cálculos. Una estrate- gia para estimar es “redon- A partir de usar estos cálculos: dear”, por ejemplo para hacer G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula 389 x 99, pensar cuánto daría 24 x 10 = 240 400 x 100 y así obtener un 24 x 100 = 2.400 resultado aproximado. 24 x 1.000 = 24.000 24 x 10.000 = 240.000 Decida si: a) 24 x 26 va a dar un número mayor, menor o igual a 300. b) 24 x 1234 va a dar un número mayor, menor o igual a 24.000 c) 24 x 754 va a dar un número mayor, menor o igual a 24.000 G.C.B .A. d) 24 x 11.111 va a dar un número mayor, menor o igual a 200.000 Entre todos expliquen las diferentes maneras que usaron para responder. 24
- 25. Multiplicación y división Problema 3 A partir de estos cálculos: 36 x 10 = 360 36 x 100 = 3.600 36 x 1.000 = 36.000 36 x 10.000 = 360.000 Decida si: 400 x 36 va a dar un número mayor, menor o igual a 3.000. a) 3.500 x 36 va a dar un número mayor, menor o igual a 40.000. b) 9.898 x 36 va a dar un número mayor, menor o igual a 360.000. c) 15.000 x 36 va a dar un número mayor, menor o igual a 400.000 Problema 4 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales Para cada una de las multiplicaciones que figuran en la siguiente tabla, indique en qué columna debería colocarse el resultado. Debe anticiparlo sin hacer la cuenta. Redondear le será de gran ayuda. Entre 100 Entre 1.000 Entre 10.000 Cálculo Entre 0 y 10 Entre 10 y 100 y 1.000 y 10.000 y 100.000 5 648 Mental 49 G.C.B .A. 34 1.575 99 94 5230 3 Al terminar, puede verificar con la calculadora. 25
- 26. matemática Problema 5 Para cada una de las siguientes multiplicaciones elija cuál le parece que será el resultado, sin hacer cuentas. “Redondeando” podrá tener una idea, ya que los tres números elegidos son de tamaños diferentes. a) 436 x 25 290 5.900 10.900 b) 60 x 45 27 2.700 270 c) 1.238 x 9 11.142 1.142 142 d) 732 x 120 87.840 87.840.000 8.000.080 Puede verificar los resultados con la calculadora, si le quedan dudas. Problema 6 G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula Mire los resultados de estas cuentas, ¿hay alguna en la que le parece imposible que el resultado escrito sea correcto? Puede ayudarse pensando en multiplicaciones por números “redondos”. Por ejemplo, para pensar cuánto dará más o menos la cuenta 489 x 18 es posible redondear “para arriba” 489 a 500 y 18 a 20. Y como 500 x 20 da 10.000, entonces 489 x 18 tendrá que dar menos que 10.000. 2.345 x 22 4.580 G.C.B .A. 5.678 x 99 56.780 479 x 19 9.101 26
- 27. Multiplicación y división Actividad 7. Estimación de cocientes Así como hemos visto en la Problema 1 Actividad 6 cómo estimar al resolver multiplicaciones, A partir de los siguientes cálculos también es útil estimar al 240 : 10 = 24 y por lo tanto 240 : 24 = 10 dividir. Un uso posible de la 2.400 : 100 = 24 y por lo tanto 2.400 : 24 = 100 estimación de cocientes será 24.000 : 1.000 = 24 y por lo tanto 24.000: 24 = 100 para resolver problemas en los que hay que averiguar Decida si: “más o menos” cuánto da el resultado de un reparto. a. 244 : 10 va a dar un número mayor, menor o igual a Otro uso será para anticipar 24. cuánto va a dar “más o me- b. 2.000 : 24 va a dar un número mayor, menor o igual nos” un cálculo de división a 100. y controlar al finalizar si el c. 23.598 : 24 va a dar un número mayor, menor o cociente obtenido es posible igual a 1.000. o no. Es decir, para “contro- lar” si la división podrá o no Problema 2 ser correcta. números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales A partir de: 36 x 10 = 360 36 x 100 = 3.600 36 x 1.000 = 36.000 36 x 10.000 = 360.000 Decida si: a) 400 : 36 va a dar un número mayor, menor o igual a Mental 10. G.C.B .A. b) 3.500 : 36 va a dar un número mayor, menor o igual a 1.000. c) 9.898 : 36 va a dar un número mayor, menor o igual a 1.000. d) 39.000 : 36 va a dar un número mayor, menor o igual a 10.000 27
- 28. matemática Problema 3 Para muchas divisiones es muy cómodo usar la calculadora. Pero, como a veces un error al apretar una tecla nos puede hacer obtener un resultado muy alejado de lo posible, es muy útil pensar antes “entre qué números estará más o menos” el cociente. Resuelvan las siguientes actividades en parejas. a) Sin hacer la cuenta exacta, indiquen en qué columna debería colocarse el cociente. Cálculo Entre 0 y 10 Entre 10 y 100 Entre 100 y 1.000 Entre 1.000 y 10.000 5.940 : 24 3.648 : 12 492 : 41 347 : 18 G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula 15.675 : 12 4.699 : 16 9.428 : 8 b) Inventen dos divisiones más en las filas vacías. c) Al finalizar, pueden controlar con la calculadora. Problema 4 Para cada una de las siguientes divisiones señale G.C.B .A. el número que le parezca más cercano al cociente. Nuevamente, para hacerlo, puede “redondear” para acercarse. Por ejemplo, si se trata de 436 : 35 se puede pensar como 400 : 40. Luego, verifique con la calculadora. a) 436 : 35 50 10 100 b) 6.000 : 55 100 200 300 c) 8.932 : 105 8 80 800 d) 817 : 21 4 400 40 28
- 29. Multiplicación y división Actividad 8. Relacionar cuentas con cálculos mentales Existen muchas maneras de hacer un mismo cálculo. Algunas cuentas que conocen son una versión económica producida a lo largo de muchos años. Y “esconden” muchos cálculos intermedios. Mostraremos esos cálculos “escondidos” en una multiplicación y en una división. Por ejemplo: 11 2.323 x 24 9.292 + 4.646 55.752 en realidad este cálculo no muestra que se está realizando, en el segundo caso, una multiplicación por 20, y no por 2. Por eso anotaremos el 0 de 2.323 x 20: 2.323 x 24 9.292 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales + 46.460 55.752 Y si escribimos qué multiplicaciones estamos realizando, nos queda: 2.323 x 24 9.292 (2.323 x 4) + 46.460 (2.323 x 20) Mental 55.752 G.C.B .A. Y si lo descomponemos aún más, el mismo cálculo también podría hacerse así: 2.323 x 24 23.230 (2.323 x 10) + 23.230 (2323 x 10) 9.292 (2323 x 4) 55.752 29
- 30. matemática Y en la división, esta es una cuenta bastante corta, que muchos usan: 7.835 25 33 313 85 10 Si escribimos en esa cuenta las restas, quedaría: 7835 25 –75 313 33 – 25 85 –75 10 Y si escribimos también el número “entero” que le restamos (ya que estamos multiplicando 25 por 300 y no por 3, y 25 por 10 y no por 1), quedaría: G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula 7.835 25 –7.500 313 335 cdu – 250 85 –75 10 Y si para no confundirnos escribimos que el primer 3 de 313 es un 300, el 1 de 313 es un 10 y el 3 es 3, y también escribimos qué multiplicaciones por 25 hacemos en cada caso, entonces la cuenta quedaría: G.C.B .A. 7.835 25 –7.500 x 25 300 335 – 250 x 25 10 + 85 –75 x 25 3 10 30 313
- 31. Multiplicación y división Es correcto usar cualquiera de estas maneras de hacer las cuentas, u otras que ustedes conozcan y les permitan obtener el resultado correcto. Analicen entre todos: a) Las diferentes maneras presentadas de hacer un mismo cálculo. b) ¿Qué “pasos intermedios” en cada cuenta prefiere cada uno registrar para equivocarse menos? c) Compartan si conocen otras formas de hacer cuentas para multiplicar y dividir, organizando los números de otra manera o con otros cálculos auxiliares. d) ¿Cómo se puede usar la estimación para controlar los resultados de cuentas exactas? e) ¿Con qué clases de números conviene hacer cálculos mentales y cuándo conviene hacer cuentas? números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales Mental G.C.B .A. 31
- 32. matemática Sistema de numeración Actividad 1. Sumar y restar para armar y desarmar números El sistema de numeración Problema 1 que utilizamos actualmente favorece hacer muchos cál- a) 3.000 + 300 + 30 + 3 = culos mentales, especialmen- b) 4.000 + 40 + 4 = te con la unidad seguida de c) 3.000 + 400 + 20 + 1 = ceros. En este capítulo van d) 8.000 + 400 + 4 = a resolver una variedad de problemas para los cuales es Problema 2 necesario analizar la ubica- ción de cada cifra y el valor ¿Con cuáles de estas sumas se arma 7.777? que tiene. Esta clase de pro- blemas permitirá anticipar 7.000 + 7 resultados sin hacer cuentas. 7.700 + 7 En primer lugar empezare- 7.000 + 700 + 77 mos con sumas y restas. 7.000 + 707 + 70 7.000 + 70 + 7 G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula Problema 3 Escriba varias sumas con números redondos que permitan armar el número 8.675. _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ Problema 4 Intente resolver estas sumas sin hacer las cuentas. Puede G.C.B .A. ser de ayuda anticipar cómo van a cambiar las cifras y cuáles van a cambiar. 3.456 + 1.111 = 3.456 + 111 = 3.456 + 101 = 3.456 + 1.101 = 32
- 33. Sistema de numeración Problema 5 a) ¿Qué número habrá que restar a 6.666 para que quede 6.606? ¿Qué número habrá que restar a 6.666 para que quede 6.066? b) ¿Qué número habrá que restar a 9.876 para que quede 9.800? ¿Qué número habrá que restar a 9.876 para que quede 9.076? c) ¿Qué número habrá que restar a 8.765 para que quede 8.005? ¿Qué número habrá que restar a 8.765 para que quede 8.705? Analicen entre todos cómo hacer las sumas de estos problemas y cómo darse cuenta de cuánto hay que restar sin hacer cuentas. Actividad 2. Monedas de $ 1 y billetes de $ 10 y $ 100 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales Si bien en nuestro sistema Problema 1 monetario hay billetes de $2, de $20 y de $50, en estos En una empresa van a implementar un nuevo sistema problemas solamente anali- de pago. Un cajero automático pagará los sueldos con zaremos qué sucede con los monedas de $ 1 y billetes de $ 10 y $ 100. Completen de $ 100, los de $ 10 y mone- el siguiente cuadro para saber cuántos billetes y das de $ 1, ya que el interés monedas entregará en cada caso. Tengan en cuenta que es resolver problemas en los este cajero siempre entrega la menor cantidad posible Mental que haya que descomponer de billetes; es decir si tiene que pagar $ 10, no va a y componer los números te- entregar 10 monedas de $ 1, sino un billete de $ 10 o si G.C.B .A. niendo en cuenta la informa- tiene que pagar $ 100, no va a entregar 10 billetes de $ ción que ofrece la escritura 10 sino uno de $ 100. del número. Sueldo a Billetes de Billetes de $ 10 Monedas de $ 1 pagar $100 $ 398 $ 893 $ 938 33
- 34. matemática $ 1.038 $ 1.803 $ 2.002 $ 2.020 $ 2.220 Problema 2 a) ¿Cómo podría pagar las siguientes cantidades el mismo cajero, usando sólo billetes de $ 100 y monedas de $ 1? $ 3.241 $ 8.097 b) ¿Y si el cajero sólo tuviera monedas de $ 1 y billetes de $ 10? G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula $ 1.475 $ 2.125 Problema 3 Un empleado de un negocio escribe algunos cálculos cuando tiene que pagar, para no confundirse. a) Si escribe 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1, ¿cuántos billetes de 100 y 10, y monedas de 1 tenía que usar para pagar? ¿Cuánto dinero representa el total? G.C.B .A. b) Si hace un pago con 4 billetes de $ 100, 5 billetes de $ 10 y 6 monedas de $ 1, ¿Cuáles de estos cálculos podría servirle para saber cuánto pagó? • 5 x 100 + 4 x 10 + 6 x 1 • 4 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1 • 5 x 10 + 4 x 100 + 1 x 6 34
- 35. Sistema de numeración c) Si hace un pago con 22 billetes de $ 100, 4 billetes de $ 10 y 5 monedas de $ 1, ¿Cómo podría anotarlo en un solo cálculo (como lo hizo en el ítem a)? _________________________________________________ _________________________________________________ Actividad 3. Armar números con multiplicaciones por 10, 100 y 1.000 Nuevamente armaremos y Problema 1 desarmaremos números. Esta vez, además de usar sumas y Indique cuál o cuáles de las opciones permiten formar el restas, se usarán multiplica- número: ciones por la unidad seguida de ceros. Esta clase de cálcu- 1.250: 12 x 100 + 5 x 10 los puede realizarse mirando 12 x 100 + 5 los valores de las cifras según 125 x 10 la posición que ocupan. Son 1 x 1.000 + 1 x 100 + 15 x 10 cálculos más o menos rápi- 12 x 100 + 50 x 10 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales dos, ya que no exigen hacer cuentas, sino anticipar “qué 5.348 5 x 1.000 + 4 x 10 + 3 x 100 + 8 va a pasar” a partir de con- 53 x 100 + 48 siderar las escrituras de los 51 x 100 + 24 x 10 + 8 números. 53 x 100 + 40 x 10 + 8 Entre todos analicen si hay alguna forma de resolver este problema sin hacer muchas cuentas. Mental Problema 2 G.C.B .A. ¿Qué número se forma en cada caso? a) 53 x 100 + 8 x 10 + 3 = b) 4 x 1.000 + 32 x 10 + 8 = c) 13 x 100 + 6 = d) 8 x 100 + 12 x 10 + 5 = e) 14 x 100 + 11 x 100 + 15 = f) 10 x 100 + 12 x 1.000 + 14 x 10 = 35
- 36. matemática Problema 3 En parejas, para cada número, propongan dos descomposiciones diferentes que contengan sumas y multiplicaciones con 10; 100 ó 1.000 a) 34.076: b) 8.976 c) 1.867 Problema 4 a) Calcule: 9 x 1.000 + 100 = 9 x 1.000 + 500 = 9 x 1.000 + 900 = 9 x 1.000 + 1.000 = 9 x 1.000 + 10 = 9 x 1.000 + 1 = b) ¿Cuáles de estos cálculos da 9.999? 9 x 1.000 + 9 x 100 + 9 9 x 1.000 + 900 G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula 9 x 1.000 + 999 9 x 1.000 + 9 x 100 + 99 99 x 100 + 99 x 1 9 x 1.000 + 9 x 100 + 9 x 10 + 9 x 1 9 x 1.000 + 1.000 Problema 5 a) ¿Cuáles de los siguientes cálculos dan 25.030? • 25 x 1.000 + 300 = • 25 x 1.000 + 30 = • 25 x 1.000 + 3 = G.C.B .A. b) ¿Cuáles de los siguientes cálculos dan 25.030? • 25 x 10 x 100 + 30 = • 25 x 100 + 30 = • 25 x 10 x 10 x 10 + 30 = • 250 x 100 + 30 = 36
- 37. Sistema de numeración Problema 6 Complete los números de la primera columna: El número... multiplicado por... da... 10 450 10 980 10 360 10 750 10 420 El número... multiplicado por... da... 100 4.500 100 3.200 100 1.700 100 3.800 El número... multiplicado por... da... números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales 1.000 4.000 1.000 7.000 1.000 45.000 1.000 36.000 Actividad 4. Relaciones entre sistema de numeración y división Mental por 10, 100 y 1.000 G.C.B .A. Nuestro sistema de numeración también favorece hacer más rápidamente divisiones por 10, 100 y 1.000. Realizaremos un conjunto de problemas que ayudarán a anticipar resultados al dividir. Para recordar: Dividendo divisor resto cociente 37
- 38. matemática Problema 1 Complete el cuadro. Seguramente no va a ser necesario que haga las cuentas escritas ya que los resultados obtenidos en una le serán de utilidad para la otra. Dividendo Divisor Cociente Resto 30 10 31 10 32 10 34 10 35 10 36 10 37 10 38 10 39 10 G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula 40 10 41 10 42 10 43 10 Analicen entre todos cómo va cambiando el cociente y el resto. ¿Cuál es el resto mayor? ¿Cada cuántos números cambia el cociente? Problema 2 a) Si cada uno de estos números se divide por 10, ¿cuál G.C.B .A. será el cociente entero? 30 35 38 40 45 48 b) Si cada uno de estos números se divide por 100, ¿cuál será el cociente entero? 100 102 120 180 190 195 200 38
- 39. Sistema de numeración c) Si cada uno de estos números se divide por 1.000, ¿cuál será el cociente entero? 1.000 2.000 2.100 2.350 2.930 3.000 3.500 d) Calcule: 20.000 : 10 = 20.000 : 100 = 20.000 : 1.000 = 20.000 : 10.000 = Problema 3 a) Complete las siguientes tablas: Cálculo Cociente Resto 1.234 : 10 1.234 : 100 1.234 : 1.000 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales Cálculo Cociente Resto 4.672 : 10 4.672 : 100 4.672 : 1.000 Cálculo Cociente Resto 48.530 : 10 48.530 : 100 Mental 48.530 : 1.000 G.C.B .A. 48.530 : 10.000 Problema 4 Entre todos formulen una regla para dividir mentalmente un número de dos o más cifras por 10; de tres o más cifras por 100; de cuatro o más cifras por 1.000; etcétera. Intenten explicar por qué funciona esa regla. 39
- 40. matemática Problema 5 Coloque un número en la calculadora de modo que, al dividirlo por 10, dé justo (es decir que en el visor no aparezca un resultado con coma). ¿Qué característica debe tener el número que elija? Actividad 5. Pensar sobre los números haciendo sumas y restas en la calculadora En estos problemas usarán la Problema 1 calculadora para modificar el número que aparece en el vi- a) Si se suma en la calculadora 1.000 + 100 + 100 + 10 sor, sin necesidad de borrar- + 10 + 1, ¿qué número aparecerá en el visor? lo. Nuevamente la informa- b) ¿Qué sumas haría en la calculadora para que se ción que brinda la escritura forme el número 327 utilizando sólo 1, 10 y 100 y el del número y las composi- signo +? ciones y descomposiciones c) ¿Cómo haría para anotar del mismo modo 3.207? ¿Y G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula con 1, 10, 100 y 1.000 serán 3.027? Puede usar también el 1.000. muy útiles para anticipar los resultados, sin hacer dema- Problema 2 siadas cuentas. Otros proble- mas exigirán anticipar resul- Anote los cálculos que va haciendo para “transformar” el tados y luego corroborarlos número en el visor de la calculadora. con la calculadora.2 a) Escriba en la calculadora el 7.863. Haga luego un solo cálculo para que aparezca el 863. _________________________________________________ _________________________________________________ 2 Si no todos tuvieran calculadora, pueden trabajar con una calculadora cada dos o tres alumnos. La b) Deje en el visor el 863. Haga una operación para que G.C.B .A. mayor parte de los problemas sólo se vea el 63. puede resolverse anticipando y la _________________________________________________ calculadora se usa para verificar o controlar los resultados. Es _________________________________________________ importante recordar que también las computadoras traen calculadora. c) Sin borrar el 63, trate que el visor muestre el 0. En Windows puede usarse apretando _________________________________________________ sucesivamente Inicio, Programas, Accesorios, Calculadora. También _________________________________________________ algunos celulares y relojes tienen calculadoras, y pueden usarlas para estos problemas. 40
- 41. Sistema de numeración Problema 3 Nuevamente anotarán números y harán un cálculo para que se transformen en otros números. Anoten los cálculos que van realizando en cada caso. a) En el visor de la calculadora aparece el número 5.468. ¿Cómo lograr que aparezca, con un solo cálculo, el número 5.068 sin borrar? _________________________________________________ _________________________________________________ b) ¿Y cómo haría para pasar del 5.068 con un solo cálculo al número 6.068? _________________________________________________ _________________________________________________ c) Ahora, a partir de 6.068 ¿qué cálculo permite pasar a 2.028? _________________________________________________ _________________________________________________ Problema 4 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales a) Escriba en la calculadora un número de tres cifras menor que 180. Réstele 10 todas las veces que pueda. Anote el número, la cantidad de restas y cuánto sobró. Número menor Cantidad de Sobra que 180 restas de 10 1º número 2º número Mental 3º número G.C.B .A. b) Busque otros números que al restarle muchas veces 10, llegue a 0. Número menor Cantidad de Sobra que 180 restas de 10 1º número 2º número 3º número 41
- 42. matemática Analicen entre todos cómo saber, antes de hacer los cálculos, cuántas restas se harán y cuánto va a sobrar. Actividad 6. Pensar sobre los números haciendo multiplicaciones y divisiones en la calculadora Nuevamente en estos pro- Problema 1 blemas el análisis de los números permitirá realizar a) ¿Qué números aparecerán en el visor de la cálculos. La idea de estos calculadora si se oprimen las siguientes teclas: 14 x problemas es ir anticipando 10 x 10 x 10 =? los resultados que se obten- b) ¿Y si se aprieta una vez más x 10? drán al dividir y multiplicar c) ¿Y si se aprieta dos veces más x 10? con la calculadora. Analicen entre todos cómo es posible saber qué número se forma sin realizar los cálculos. G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula Problema 2 Si se hicieran estas cuentas en la calculadora, ¿qué número aparecería en la pantalla? a) 34 x 10 x 10 : 10 x 10 = b) 120 x 10 : 10 : 10 = c) 54 x 10 x 10 : 100 = Pueden verificar, si precisan, con la calculadora. Problema 3 G.C.B .A. a) ¿Qué números van apareciendo en el visor de la calculadora si se oprimen las siguientes teclas: 123.000 : 10 : 10 =? b) ¿Y si se aprieta una vez más : 10? Analicen entre todos cómo es posible saber qué número se forma sin realizar los cálculos. 42
- 43. Sistema de numeración Problema 4 En parejas: a) Coloquen un número en la calculadora de manera tal que, al multiplicarlo por 10 x 10 x 10, se obtenga un número de 4 cifras. b) ¿Con qué números puedo obtener otro de 4 cifras? ¿Y si quisiéramos que tuviera 5 cifras? c) ¿Y qué números se podría colocar para obtener un número de más de 5 cifras? Problema 5 Para hacer en parejas: Coloquen un número en la calculadora de modo que, luego de dividirlo por 10 dos veces consecutivas (: 10 : 10), dé justo (es decir, que en el visor no aparezca un resultado con coma). ¿Qué característica debe tener el número que elijan? números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales Mental G.C.B .A. 43
- 44. matemática ¿Qué aprendimos? Esta es una selección de 15 Problema 1 problemas parecidos a los que han venido haciendo. Busque una manera de averiguar el resultado de: Para resolverlos, seguramen- te van a tener que volver a 66 + 11 = 664 + 101 = mirar problemas anteriores y 763 + 101 = 6.644 + 1.111= sus anotaciones. Resolverlos les permitirá seguir traba- Problema 2 jando todavía con aquellos temas que más dificultad les Para cada uno de los siguientes cálculos hay tres opciones, presentan y darse cuenta si pero solo una de ellas es correcta. Sin hacer la cuenta, tienen nuevas dudas. analice las opciones y marque cuál le parece que es el resultado correcto: a) 555 + 157 = 612 312 712 b) 789 – 234 = 155 455 555 Problema 3 G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula Complete el cuadro: Anote acá los ¿Cuánto hay para cálculos que que sumarle obtener Respuesta necesite para a... …? averiguarlo 440 1.000 200 2.000 50 1.000 2.699 3.000 G.C.B .A. Problema 4 Coloque Verdadero o Falso. Intente analizarlas usando las relaciones entre números sin hacer cada cuenta. 9x9=3x3x3x3 6x9=9x2x3 9x8=9x2x4 9x8=9x4+9x4 44
- 45. ¿Qué aprendimos? 3 x 75 = 3 x 70 + 3 x 5 51 x 18 = 50 x 18 + 18 99 x 44 = 100 x 44 – 1 x 44 Problema 5 a) En una librería quieren ordenar las carpetas. Si tienen 998 y las ponen en paquetes de a 10, ¿cuántas cajas arman? ¿cuántas les sobran? b) Y si tienen 998 y las ponen en paquetes de 100, ¿cuántas cajas arman? ¿cuántas les sobran? Problema 6 Anote una única operación, a partir del número que aparece en la columna de la izquierda para que aparezca en la calculadora el resultado escrito en la columna de la derecha. Número original Cálculo Número “transformado” números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales 345 34.500 6.000 6 3 3.000 Problema 7 Calcule mentalmente estos productos usando la multiplicación por números “redondos”. Mental a) 6 ´ 31 = G.C.B .A. b) 7 ´ 42 = c) 3 ´ 199 = Problema 8 a) En 11 cajas de 700 tornillos, ¿habrá más o menos que 7.000 tornillos? b) En 107 cajas de 100 tornillos, ¿habrá más o menos que 10.000 tornillos? 45
- 46. matemática Problema 9 Indique en qué columna debería colocarse el resultado. Debe anticiparlo sin hacer la cuenta. Puede redondear para averiguarlo. Cálculo Entre 0 y 10 Entre 10 y 100 Entre 100 y 1.000 Entre 1.000 y 10.000 7 x 56 444 x 11 99 x 4 Problema 10 a) ¿Qué número habrá que restar a 8.888 para que quede 8.808? b) ¿Qué número habrá que restar a 8.888 para que quede 8.088? G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula Problema 11 En un juego de mesa, el jugador que hace de cajero paga con billetes de 1, de 10, de 100 y de 1.000 pesos. Completen el siguiente cuadro para saber cuántos billetes entregará en cada caso teniendo en cuenta que siempre entrega la menor cantidad posible de billetes. Monto a pagar Billetes de $ 1.000 Billetes de $ 100 Billetes de $ 10 Billetes de $ 1 $ 5.679 $ 2.034 G.C.B .A. $ 1.980 Problema 12 Indique cuál o cuáles de las opciones permiten formar el número 5.653: a) 56 x 100 + 5 x 10 b) 56 x 100 + 53 46
- 47. ¿Qué aprendimos? c) 565 x 10 + 3 d) 5 x 1.000 + 6 x 100 + 5 x 10 + 3 x 1 e) 56 x 10 + 53 ´ 1 Problema 13 ¿Qué número se forma en cada caso? a) 5.000 + 500 + 50 + 5 = b) 5.000 + 500 + 5 = c) 5.000 + 55 = d) 44 x 100 + 5 x 10 + 5 = e) 3 x 1.000 + 3 x 10 + 3 = f) 333 x 100 + 6 = Problema 14 Complete el cuadro: Número... Multiplicado por da... 10 5.000 números naturales Matem’atica • Cálculo mental con Números Naturales 100 45.000 456 45.600 Problema 15 Complete el cuadro: Cálculo Cociente Resto Mental 5.555 : 10 G.C.B .A. 6.666 : 100 7.777 : 1.000 47
- 48. matemática Para finalizar ¿Qué problemas le resultaron ahora más sencillos que cuando los hizo por primera vez? ¿Qué estrategias de cálculo ahora tiene más disponibles y puede usar con más comodidad? ¿Usó alguna de estas maneras de hacer cálculos en situaciones de la vida cotidiana? ¿Qué problemas le siguen resultando muy complejos? ¿En qué páginas de este documento hay problemas similares a los que más le cuestan? Anote alguna manera de resolverlos. Seguramente, los que aún le son complejos, con más ejercitación también podrán convertirse en fáciles. G.C.B.A. • Ministerio de Educación • Dirección de Currícula G.C.B .A. 48