Abn 1

Introducción
Hace cuarenta años Ablewhite (Ablewhite,
1971) advertía de los muchos problemas que se
originaban en el aprendizaje de las operaciones,
y cómo los alumnos con dificultades sufrían en
mayor medida la irracionalidad del método que
se utilizaba. Era impresionante su grito de gue-
rra: «¡Cientos de años contra ellos!». Desde
entonces han sido múltiples los autores (Alca-
lá, 1986; Baroody, 1988; Castro, Rico y Castro,
1987; Chamorro, M. C. (coord.), 2005; Dick-
son, Brown y Gibson, 1991; Ferrero, 1984;
Gómez Alfonso, 1999; Jaulin-Mannoni, 1980;
Kamii, 1986; Maza, 1989; Mialaret, 1977; N.
C. T. M., 2000; Pereda, 1987; Resnick y Ford,
1990; VV. AA., 2007; Vergnaud, 1991) que
han señalado disfunciones y complicaciones
EL MÉTODO DE CÁLCULO ABIERTO BASADO EN
NÚMEROS (ABN) COMO ALTERNATIVA DE FUTURO
RESPECTO A LOS MÉTODOS TRADICIONALES
CERRADOS BASADOS EN CIFRAS (CBC)
The method of open calculation based on numbers (ABN) as a
future alternative with respect to the closed traditional
methods based on figures (CBC)
JAIME MARTÍNEZ MONTERO
Inspector de Educación
INTRODUCCIÓN. Se hace un recorrido por las dificultades que siempre ha planteado el cálculo tra-
dicional y las alternativas que se han puesto en marcha, así como el origen del cálculo ABN.
MÉTODO. La investigación se ha llevado a cabo dentro del enfoque de la matemática realista,
siguiendo fundamentalmente una metodología cualitativa. RESULTADOS. Los resultados obtenidos
han confirmado que los alumnos que emplean el método de cálculo ABN alcanzan mejor rendi-
miento en cálculo mental, operaciones y resolución de problemas que los que siguen el método
tradicional o CBC. DISCUSIÓN. Las limitaciones en los contenidos de la evaluación, los tiempos
empleados por los disintos alumnos en la realización de la misma, así como la diferente extrac-
ción social de los alumnos, hacen suponer que las distancias alcanzadas en cuanto a las compe-
tencias matemáticas de uno y otro grupo podrían ser mayores.
Palabras clave: Adición, Cálculo, Destrezas básicas, División, Multiplicación, Operaciones
numéricas, Problemas verbales, Sustracción.
Bordón 63 (4), 2011, 95-110, ISSN: 0210-5934 • 95
Fecha de recepción: 30-09-10 • Fecha de aceptación: 05-07-11
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derivadas del empleo de unos algoritmos muy
poco adecuados para los sujetos a los que se
destinaban. Han tenido poco éxito, y las cuatro
operaciones se siguen enseñando, muy mayori-
tariamente, como hace decenas de años, sin que
por ello haya disminuido la preocupación por
los bajos rendimientos que se obtienen (Gil
Flores, 2008)
No hemos encontrado antecedentes en la apli-
cación de los modelos de algoritmos que aquí
se propugnan. Tan sólo hay una recomenda-
ción, respecto a uno de los modelos de sustrac-
ción, recogido en un artículo (Ramírez Martí-
nez y Usón Villalba, 1996). En la actualidad, lo
que abunda es la recomendación de un mayor
protagonismo del cálculo mental, una adecua-
da ubicación de la calculadora y un mayor énfa-
sis en las destrezas de estimación, incluyendo
los problemas de iniciación al cálculo desde
edades muy tempranas (Fernández Escalona,
2007). También se observa una transición o
graduación que va desde los cálculos espontá-
neos de los alumnos a la sistematización de los
algoritmos clásicos. Como ejemplo podemos
citar el documento «Guidance paper-calcula-
tion», de 2008, incluido por el Ministerio de
Educación británico en su página web y que
sirve de guía a la importante renovación de la
metodología matemática que se está llevando a
cabo en ese país.
La experiencia que estamos desarrollando tiene
como precedentes más claros las actuaciones
puestas en marcha en Holanda con el fin de
renovar la enseñanza-aprendizaje del cálculo.
En concreto nos referimos a:
• El «Proeve» (Treffers, A., de Moor, E., y
Feijs, E., 1989) o «Diseño de un programa
nacional para la educación matemática en
escuelas primarias». Pese a que el título
habla de un «programa nacional», no hay
tal cosa, sino unas propuestas de actuación
dirigidas a todo el país. Las diversas publi-
caciones que componen el «Proeve» reco-
gen descripciones de los diversos dominios
dentro de las matemáticas. Este trabajo no
tiene como fin ni está pensado para su uti-
lización directa por parte de los docentes,
sino como un apoyo para los autores de
libros de texto, formadores de maestros,
asesores e inspectores, pese a su estilo fácil
y a la abundancia de dibujos y ejemplos.
Siguen apareciendo publicaciones dentro
de este marco y están recogidos casi todos
los contenidos propios de la materia: des-
trezas numéricas básicas, algoritmos escri-
tos, razones y porcentajes, fracciones y
números decimales, medición y geometría.
• Los «Bosquejos de trayectorias longitudi-
nales de enseñanza-aprendizaje», puestos
en marcha en 1997 y sobre los que se
sigue trabajando. Los «Bosquejos» reco-
gen los pasos que se tienen que recorrer
para que los estudiantes alcancen los
objetivos establecidos para su proceso de
enseñanza y facilita a los profesores un
bosquejo narrativo de cómo puede reali-
zarse el proceso de aprendizaje, incluyen-
do materiales de trabajo, ejemplos, graba-
ciones, vídeos, etc.
También nos movemos en la órbita de los
modelos constructivistas, con origen, siquiera
sea remoto, en el psicólogo ginebrino Jean Pia-
get, que representa y difunde su discípula C. K.
Kamii (Kamii y Dominick, 1998). Respecto a
los fallos y dificultades de los algoritmos tradi-
cionales de cálculo, se han tenido en cuenta las
aportaciones de Ashlock (Ashlock, 2010).
En lo que se refiere al director de la presente
investigación, hace más de una década (Martí-
nez Montero, 2000) que aparece su primera
propuesta sobre la alternativa al formato de las
operaciones de adición, sustracción, multipli-
cación y división. Más recientemente, un
segundo libro se ocupa de explicar pormenori-
zadamente el nuevo sistema de cálculo (ibíd.,
2008). Finalmente, un último libro incorpora
el nuevo método a la enseñanza correctiva de
las Matemáticas (ibíd., 2010), en el que ya se
explicita para su traslado al aula el nuevo modo
Jaime Martínez Montero
96 • Bordón 63 (4), 2011, 95-110

de calcular: paso del algoritmo antiguo al nue-
vo, técnicas, secuencia de aprendizaje, aprendi-
zaje de tablas y conexión con problemas.
La actual postura del autor se debe a dos traba-
jos importantes. Uno, la realización de la tesis
doctoral (Martínez Montero, 1995), que permi-
te una aproximación complementaria al apren-
dizaje de las operaciones, y que apunta muchas
de las dificultades que tiene el alumnado a la
hora de resolver problemas, y dónde se origi-
nan las mismas. El otro, la investigación que
concluyó en el artículo, de título bastante escla-
recedor, «Los efectos no deseados (y devasta-
dores) de los métodos tradicionales de apren-
dizaje de la numeración y de los cuatro
algoritmos de las operaciones básicas» (Martí-
nez Montero, 2001). En él se muestra clara-
mente cómo el aprendizaje de las operaciones
con los modelos de algoritmos utilizados impi-
den un desarrollo adecuado del cálculo pensa-
do y estimativo.
Objetivos
Como objetivo general nos marcábamos erradi-
car los viejos formatos de las operaciones bási-
cas y sustituirlos por los formatos abiertos
basados en números, como paso para conseguir
la renovación total del proceso de enseñanza-
aprendizaje del cálculo y los problemas en los
cinco primeros cursos de la educación prima-
ria, adoptando la metodología que se deriva de
los mismos y utilizando como soporte formal
para el aprendizaje de los problemas los mode-
los basados en las categorías semánticas. Ello
implica otros objetivos que se desprendían del
mismo:
1. La mejora del cálculo mental y la capaci-
dad de estimación.
2. La mejora significativa de la capacidad
de resolución de problemas.
3. Por último, pero no lo último, la crea-
ción de una actitud favorable al aprendi-
zaje matemático.
En definitiva, se perseguía conseguir que los alum-
nos en Primaria, conforme a su edad y a su grado
de madurez, alcanzaran competencia matemática.
Metodología y modelos
Muestra
La investigación de la que damos cuenta se ha
desarrollado durante el curso 2009-2010 en
cuatro colegios públicos de la Bahía de Cádiz,
participando en el mismo, además del autor y
director, ocho docentes, nueve grupos y un
total de 210 alumnos.
Sin embargo, aquí nos ocuparemos exclusiva-
mente de los logros de los dos grupos de 2º de Pri-
maria de los colegios públicos Andalucía y Carlos
III, por las razones que se explican más adelante.
Enfoque metodológico general
Nos situamos dentro del enfoque de la EMR
(enseñanza matemática realista), que se viene a
El método de cálculo abierto basado en números (ABN) como alternativa de futuro respecto a los métodos…
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Alumnos
Centro. Ciudad Nº Docentes 1º 2º 3º 4º 5º Total
“Andalucía” Cádiz 2 24 24 20 68
“Carlos III” Cádiz 1 25 25
“Reyes CC.” Puerto Real 3 50 25 75
“Reggio” Puerto Real 2 22 20 42
Total 8 46 99 20 20 25 210

definir como que la matemática en la escuela es
una actividad humana, que se tiene que nutrir
de la propia experiencia, que debe adaptarse a
las características de los alumnos y que debe
estar conectada con la vida y con las necesida-
des reales de los sujetos (Van den Heuvel-Pan-
huizen, M., 1998). No se trata de preguntar,
como decía Freudenthal, cuánta matemática
debe aprender un niño, sino más bien cuánta
matemática, en la educación primaria, puede
contribuir a la dignidad humana del niño. Es
Freudenthal, en el antiguo IOWO (predecesor
del actual Instituto Freudenthal) allá por los
años setenta, el que inicia este enfoque. Su fru-
to más temprano es el llamado Proyecto Wisko-
bas (De Jong, 1986), que fue un referente en
toda Europa. En su formulación actual, la EMR
fue determinada por este relevante autor (Freu-
denthal, 1977; 1979). En esencia, se trata de
que las matemáticas tengan contacto con la rea-
lidad, estén asociadas a las experiencias de los
niños y deban tener un valor social y humano.
Las matemáticas no deben ser una asignatura a
transmitir, sino una oportunidad guiada que
deben tener los alumnos para reinventarlas.
Más tarde, es Treffers el que, describiendo las
bases teóricas del Proyecto de Wiskobas (Tref-
fers, 1987) establece los dos tipos o vías de
matematización en la escuela: la horizontal, en
la que los estudiantes crean herramientas y
aplican sus conocimientos para resolver tareas
y problemas, y la vertical, que es el proceso de
reorganización de la propia experiencia mate-
mática conforme se aprenden nuevos concep-
tos y estrategias. Como hemos señalado con
anterioridad, también nos movemos en la órbi-
ta de los modelos constructivistas, que arran-
can hace décadas con las teorías del psicólogo y
epistemólogo ginebrino Jean Piaget. Entre sus
trabajos más destacados se cuentan los de su
discípula C. K. Kamii (Kamii y Dominick,
1998).
Los principios en los que se basa nuestro méto-
do parten de las evidencias del enfoque EMR
sobre cómo aprende el niño los conceptos ma-
temáticos y cuál es su experiencia matemática.
También sobre los hallazgos efectuados por la
investigación en didáctica de las matemáticas.
Y naturalmente en las buenas prácticas escola-
res. Son los que siguen:
Principio de igualdad. No existe un «gen» mate-
mático que sea poseído por algunos alumnos y
no por otros, y que dicho gen predisponga al
aprendizaje. No hay personas «negadas» para
la matemática, y ante las cuales cualquier
esfuerzo es inútil. Lo que señalan las investiga-
ciones es lo contrario. El ser humano viene, de
nacimiento, muy bien dotado para el aprendi-
zaje matemático. Es capaz de desarrollar nota-
bles destrezas incluso en ausencia de instruc-
ción. Es cierto que, como en todos los demás
campos, hay sujetos que aprenden con más
facilidad que otros. Pero con las ayudas necesa-
rias todos los alumnos pueden alcanzar una
competencia matemática aceptable.
Principio de la experiencia. La matemática es
una materia muy abstracta, y los niños y niñas
de la escuela primaria deben abstraer un con-
junto de conceptos cuando su pensamiento se
encuentra en la fase de las operaciones concre-
tas. Por tanto, no se puede suprimir la expe-
riencia directa del manejo de los objetos o de
las acciones que se realizan con ellos por apren-
dizajes verbales o sustitutivos. Por ello, el niño
debe ser constructor activo de su propio apren-
dizaje. No vale siquiera que lo vea hacer a otro,
de la misma manera que no aprende a nadar
por el hecho de ver a un compañero o a un pro-
fesor nadando estupendamente.
Principio del empleo de números completos. Es
un principio irrenunciable y que marca el pun-
to de ruptura con la metodología tradicional. El
alumno manipula, opera, calcula y estima con
números completos, sin divisiones artificiales
que le lleven a trabajar exclusivamente con
cifras sueltas. Cuando el tamaño o estructura
del número hagan que sea muy compleja su
utilización, el sujeto lo divide en números com-
pletos más pequeños, pero nunca en unidades
sin sentido.
98 • Bordón 63 (4), 2011, 95-110

Principio de la transparencia. El principio de la
transparencia se puede considerar desde más
de un punto de vista. Por un lado, hace referen-
cia a que en el aprendizaje de los contenidos
matemáticos no se oculten los pasos y procesos
con que se construyen los mismos. Por otro
lado, que los materiales y recursos simbólicos
que se empleen reflejen de la forma más fiel
posible la realidad que toman como referencia.
En el primer caso, todos los algoritmos ABN
reflejan con absoluta fidelidad los pasos inter-
medios que se realizan en la construcción del
resultado. En el segundo, los materiales utiliza-
dos cumplen con este requisito.
Principio de la adaptación al ritmo individual de
cada sujeto. Es estéril que todo el alumnado rea-
lice las tareas de cálculo de la misma forma y en
los mismos tiempos. Por ello, la estructura de
los algoritmos ABN es muy flexible, y hace
posible la adaptación al ritmo individual de
cada uno, permitiendo los desdobles y facilita-
ciones de cálculos que en los formatos tradicio-
nales son, sencillamente, imposibles.
Principio del autoaprendizaje y del autocontrol.
Que se consigue gracias a la peculiar estructura
de los nuevos algoritmos. El poder desdoblar o
agrupar los diversos cálculos, el manejo simul-
táneo de la totalidad de la estructura aditiva o
multiplicativa de que se trate, el control de
todos los pasos intermedios, abre las posibilida-
des de integrar y acortar los procesos interme-
dios, así como el que sea el propio sujeto el que
verifique la exactitud de lo que hace.
Orientación metodológica general
del proyecto de innovación
El proyecto realizado ha exigido fundamental-
mente la realización de trabajos de campo, con
presencia permanente en el aula, desarrollando
el director directamente con los alumnos pro-
cesos de enseñanza-aprendizaje y proporcio-
nando a los docentes materiales de desarrollo,
orientación en su aplicación y evaluación de
resultados, y guía en la planificación de la pues-
ta en marcha de nuevos pasos. Hablamos enton-
ces de una metodología aplicada, activa, descrip-
tiva, de estudios de campo. Por ello, el modelo
elegido para adaptarnos a esta situación es el
de Investigación-Acción (Corey, 1949; Ebbut,
1983; Elliot y otros, 1986). Su propósito es hacer
más eficaz la práctica educativa y el perfecciona-
miento del profesor, mediante la participación
en programas de trabajo diseñados por un
experto, en los que aparecen preestablecidos los
propósitos y el desarrollo metodológico que hay
que seguir. La mayor parte del trabajo se ha lle-
vado a cabo en las aulas, con diversos tipos de
metodologías en función de las actividades desa-
rrolladas. Se han integrado las metodologías cuan-
titativas y las cualitativas, pero predominando
estas últimas en lo que se refiere a las actuacio-
nes ante los niños, en las que no sólo ha habido
observación, sino interacción directa con el gru-
po-clase, con grupos pequeños de alumnos o con
alumnos individuales.
Contenido
Suma o adición
La esencia de la suma o adición es que hay que
acumular un sumando en el otro. Una vez que
esté totalmente acumulado, el nuevo sumando
nos dará el resultado. En el algoritmo tradicio-
nal el formato sólo permite que se haga de una
manera: descomponiendo los sumandos en
unidades, decenas, centenas, etc.; colocándolos
adecuadamente y, a partir de ahí, realizando
una combinación unidad a unidad y siguiendo
el orden de menor a mayor (sin excepciones
y sin posibilidad de saltar esta regla).
¿Cómo ha realizado una niña de Segundo la
suma de 389 más 149 (figura 1)? En primer
lugar, no ha respetado el orden de acometida.
Primero se ocupa con las centenas, luego con
las unidades, para terminar finalmente con las
decenas. Podría haber cambiado el orden, o
haber desglosado un cálculo en dos.
Bordón 63 (4), 2011, 95-110 • 99

La figura 2 corresponde a una alumna de Primero
que se inicia en la operación. Tantea prudentemen-
te y sólo da el paso cuando lo ve muy claro. Se pue-
de pensar que no es deseable dar tantos rodeos para
realizar los cálculos. Pero a ello se le puede contra-
poner un argumento muy poderoso: lo que no se
puede es exigir los mismos niveles de dificultad a
todos los niños y niñas, sean cuales sean las cuali-
dades de los alumnos para realizarlos (memoria a
corto plazo, velocidad de procesamiento, capaci-
dad de recuperación de la información).
Resta o sustracción
En la resta o sustracción se emplean tres mode-
los básicos diferentes, que se adaptan a los diver-
sos tipos de problemas. El primero de ellos sirve
para los problemas de detracción y de compara-
ción. Son los que siguen (Martínez Montero,
2008):
Formato por detracción y comparación
La operación de la figura 3 ejemplifica la sustrac-
ción 437-294, y fue realizada por una alumna de
2º curso de Primaria. Su fundamento es muy
sencillo: va quitando de ambos términos la mis-
ma cantidad, hasta que desaparece la más peque-
ña. Lo que queda de la mayor es el resultado.
En el caso de los problemas de detracción (p.e.,
CA2: «Tenía 12 € y me he gastado 4. ¿Cuántos
me quedan»?), la primera columna expresa la
cantidad inicial, la segunda la cantidad que se
va gastando, y la tercera lo que queda por gas-
tar. En otros colegios las cantidades parciales
que se detraen no se colocan en el centro, sino
a la izquierda o la derecha del todo. Tal aspec-
to es irrelevante. En el caso de los problemas de
comparación las columnas son, siguiendo el
orden de la figura, la cantidad comparada, la
que se retira y la que sirve de referente.
Formato en escalera ascendente
Es el proceso de sustracción más natural y el que
más tienden a emplear los niños. Es el sistema
que se emplea en las «vueltas» de las tiendas,
100 • Bordón 63 (4), 2011, 95-110
FIGURA 1
FIGURA 3
FIGURA 2

y sigue la progresión de abajo a arriba. Al igual
que en los ejercicios de numeración, el alumna-
do procesa mejor los datos y de manera más efi-
ciente cuando se presentan de manera ascenden-
te, que cuando lo hacen en sentido descendente.
El modelo sólo requiere dos columnas. En la pri-
mera se irán colocando las cantidades parciales
que se van añadiendo. En la segunda, el progre-
so hasta llegar a la cantidad deseada.
El proceso es fácil de explicar. Se parte del sus-
traendo, y hay que ir añadiéndole cantidades
hasta que se llega al minuendo. La figura 4
muestra cómo un alumno de 2º resuelve un
problema de igualación 1. Va añadiendo al sus-
traendo (primera columna) las cantidades que
considere necesarias, y en la segunda columna
escribe a las que ha llegado. Cuando llega al
número solicitado, suma todo lo añadido para
hallar el resultado. En realidad, por el sentido y
por la mecánica de la operación, se trabaja más
la suma que la resta.
Formato en escalera descendente
Soporta el mismo fundamento que el algoritmo
anterior, pero cambiando el sentido. Se trata de
partir de una cantidad para, haciéndola más
pequeña, llegar a otra. Esta niña ha hecho los
cálculos de modo muy directo. La operación
respondía al problema de averiguar los pisos
que se tenían que descender (en una torre
gigantesca) desde el 364 hasta el 138. Bajó pri-
mero las dos centenas, luego las dos decenas, y
tomó sus precauciones cuando llegó a las uni-
dades.
La figura 6 representa la solución al mismo
problema, pero de una forma más creativa. La
alumna baja 200 pisos, y luego 30. Como se ha
quedado 4 pisos más abajo, los sube en el últi-
mo cálculo. Nótese que esta alumna ha sumado
las cantidades que tiene el mismo sentido
(bajar) y ha restado la que lo tiene distinto
(subir), con independencia de los signos.
Multiplicación o producto
La figura 7 es la foto del cuaderno de una niña
que ha comenzado sus multiplicaciones. El algo-
ritmo es el clásico desarrollado, con la única
variante de que se acumulan inmediatamente los
productos parciales que se van consiguiendo.
Bordón 63 (4), 2011, 95-110 • 101
FIGURA 4
FIGURA 5
FIGURA 6

Los alumnos de 2º comenzaron a multiplicar en
el tercer trimestre, por lo que no han alcanzado
aún la soltura y la rapidez de manejo que se
espera. Suponemos que, al avanzar en su domi-
nio, serán capaces de subsumir varios cálculos
en uno solo.
Pero ya apuntan maneras y a dejar su sello en
cada operación. María, por ejemplo, multiplica
213x4 realizando primero las centenas, y luego
descompone el 13 en 8 y 5 (en lugar de multi-
plicar por 10 y por 3). Cuando multiplica 107,
descompone el siete en seis y uno. Tampoco
multiplica el 14 de 214, sino que lo hace por
200, por 9 y por 5.
La división o cociente
Si el niño domina la tabla de multiplicar, enten-
diendo por ello que no sólo sabe multiplicar
unidades, sino también decenas, centenas y
millares, entonces sabrá resolver todas las divi-
siones por una cifra de una forma rápida y con
un gran componente mental. Por lo visto hasta
la fecha, tal vez sea esta la operación que más le
gusta realizar.
La figura 8 muestra el formato de la división.
Ha sido resuelta por un niño de 2º. Consta de
tres columnas. La primera de la izquierda reco-
ge las cantidades totales a repartir. La del cen-
tro, las que escoge el niño para hacer la distri-
bución exacta. La última, debajo del divisor,
recoge los cocientes parciales. La suma de ellos
dará el cociente total. La cantidad que quede en
la primera columna será el resto. En el caso
presente, el niño ha repartido 633 € entre dos
personas, y ha repartido también, sin que nadie
se lo indique, el euro restante.
Las tres fotos que siguen (figuras 9, 10 y 11), mues-
tran las posibilidades de adaptación del algoritmo a
la individualidad de cada uno de los alumnos.
102 • Bordón 63 (4), 2011, 95-110
FIGURA 7
FIGURA 8
FIGURA 9
FIGURA 10

Evaluación
Los grupos de alumnos evaluados han sido los
pertenecientes a los cursos segundos de los CEIPs
Andalucía y Carlos III, de Cádiz. Ha habido tres
razones para ello. En orden de importancia son:
• Han sido los únicos grupos que sólo han
trabajado el cálculo siguiendo el método
ABN desde el comienzo de su escolaridad.
• Se trata del curso final de un ciclo que tie-
ne claramente establecidos en el currícu-
lum oficial los objetivos a alcanzar.
• Las exigencias de tiempo y las limitacio-
nes del personal evaluador desaconseja-
ban afrontar las tareas de evaluación de
otros grupos, al no garantizar las necesa-
rias condiciones de objetividad y rigor.
En la primera semana de junio de 2010 se aplica-
ron unas pruebas que contenían reactivos sobre
cálculo mental, resolución de operaciones y reso-
lución explicada de problemas. Esas partes pre-
guntaban por el nivel de logro de los tres primeros
objetivos que señalamos en el lugar correspon-
diente. Respecto al cuarto objetivo, tenemos
muchas constancias y testimonios de que ha cam-
biado sustancialmente la actitud de los alumnos y
sus familias hacia el trabajo matemático, pero no
expresadas de manera que se puedan traer aquí.
El equipo evaluador estuvo dirigido por el direc-
tor de la investigación, y formado además por un
inspector de educación, un profesor titular de la
Facultad de CC.EE. de la Universidad de Cádiz
y una psicóloga becaria en un máster de esta uni-
versidad.
Sirvieron de contraste cuatro grupos de alum-
nos de 2º curso de Primaria, pertenecientes a
dos colegios privados concertados de mucho
prestigio en la provincia, y que accedieron
voluntariamente a someterse a esta compara-
ción. Los mencionados grupos tenían en total
94 alumnos. Cada colegio aportó dos grupos.
Como cada uno tenía más de dos grupos de 2º,
fueron los propios centros los que eligieron a
los grupos que iban a ser sometidos a la evalua-
ción. Suponemos, aunque no tenemos ningún
dato de ello, que elegirían a las clases más pre-
paradas.
Las entrevistas individuales fueron llevadas a
cabo por el equipo evaluador (muy mayorita-
riamente por el director de la investigación),
sin otra presencia que el alumno y el evaluador.
La prueba colectiva fue aplicada también por el
equipo evaluador, si bien con la presencia de
los correspondientes maestros tutores. Todas
las preguntas que hicieron los alumnos respec-
to a lo que se les pedía exactamente fueron con-
testadas por un miembro del equipo evaluador.
Ni en las entrevistas individuales ni en la apli-
cación colectiva hubo limitación de tiempo.
Los resultados obtenidos se ofrecen a continua-
ción. En cada bloque se expresa la forma con-
creta de aplicación.
Resultados en 2º curso de Primaria
(*) Diferencia significativa a favor a un nivel
de probabilidad del 95%. Cuando existe la
misma, se sitúa en la casilla de arriba el coefi-
ciente alcanzado.
Alumnos CBC: alumnos que siguen el método
tradicional (cerrado, basado en cifras).
Alumnos ABN: alumnos que siguen el método
de cálculo abierto, basado en números.
Todos los resultados se expresan en porcen-
tajes.
Bordón 63 (4), 2011, 95-110 • 103
FIGURA 11

Cálculo mental
A los alumnos se les presenta un cartel con las
operaciones indicadas. Han de dar el resultado de
viva voz, sin poder utilizar ningún utensilio. Fue
una prueba de aplicación individual.
Calcula, sin hacer operaciones:
Resolución de operaciones
Es una prueba de aplicación colectiva. Los alum-
nos debían resolver las operaciones con la técnica
que conocieran utilizando exclusivamente lápiz y
papel.
104 • Bordón 63 (4), 2011, 95-110
a) 428 + 351 = 779
.00 Muy Bien Bien Regular Mal
Alumnos CBC 85 7 1 7
Alumnos ABN* 100 0 0 0
Sig. (2-tailed): .014
b) 628 + 239 = 867
Muy Bien Bien Regular Mal
c) 586 + 352 = 938
d) 934 – 213 = 721
e) 448 – 229 = 219
f) 727 – 355 = 372
g) 234 X 2 = 468
h) 313 X 3 = 939
Alumnos ABN 80 9 0 11
i) 628 : 2 = 314
a) 499 + 289 = 788
Redondeo Bien Regular Mal

Resolución de problemas y explicación
de los procesos intermedios
Es una prueba de aplicación individual. Se le pre-
gunta al alumno, una vez realizada la operación
que resuelve el problema, por la parte del mismo
que está resuelto en función del avance de la ope-
ración.
Bordón 63 (4), 2011, 95-110 • 105
b) 800 – 395 = 405
c) 497 x 2 = 994
d) 814 : 2 = 407
a) Dos hermanos gemelos son tan iguales que hasta
tienen el mismo dinero en la hucha. Entre los dos reú-
nen 378 €. ¿Cuántos euros hay en cada hucha?
Bien. Bien. Mal
Explica los No sabe resuelto
procesos explicar
los procesos
Alumnos CBC 0 0 100
Alumnos ABN* 78 0 22
b) En el patio estábamos 128 niños y niñas. Han veni-
do otros 176. ¿Cuántos nos hemos juntado?
Bien. Bien. Mal
procesos explicar
los procesos
Alumnos CBC 29 54 17
Alumnos ABN* 91 7 2
c) Mi Colegio tiene 423 niños y niñas. El Instituto tie-
ne 177 más. ¿Cuántos alumnos y alumnas tiene el Ins-
tituto?
Bien. Bien. Mal
procesos explicar
los procesos
Alumnos ABN* 91 0 9
d) El sábado fueron al parque de atracciones 234
niños y niñas, y al cine 127. ¿Cuántos más deberían
haber ido al cine para que a los dos sitios hubiera ido
el mismo número de niños y niñas?
Bien. Bien. Mal
procesos explicar
los procesos
Alumnos CBC 8 47 45
Alumnos ABN* 69 4 27
e) Una bicicleta cuesta 158 €. Una videoconsola cues-
ta 2 veces más. ¿Cuánto cuesta la videoconsola?
Bien. Bien. Mal
procesos explicar
los procesos
Alumnos ABN* 96 2 2

Discusión
Salvo en una de las preguntas (la correspon-
diente a la letra «h» del cálculo mental), las
diferencias a favor de los niños que han traba-
jado en exclusiva con el cálculo ABN son muy
claras. Todavía lo son más si se toman en cuen-
ta algunas circunstancias.
La primera de ellas es la autolimitación de los
contenidos que se deberían incluir en la evalua-
ción. No se pudieron incluir actividades avan-
zadas de numeración, ni nada referido a sumas
y restas con decimales. Tampoco se pudieron
incluir multiplicaciones en las que uno de los
factores fuera superior a tres, ni divisiones que
tuvieran como divisor un número que no fuera
el dos. La razón era que los alumnos CBC no se
habían ocupado de tales aspectos y los dejaban
para ocuparse de ellos en el curso siguiente.
La segunda se refiere al cálculo mental, en el
que las diferencias que se expresan no han teni-
do en cuenta un factor muy importante: el
tiempo que empleaban los alumnos en la con-
testación. Los niños ABN han contestado la
mayoría en un lapso no superior a los veinte
segundos; los niños CBC han tardado mucho
más. Si nos hubiéramos tenido que atener a los
tiempos estimados que se recogían en el proto-
colo, apenas si hubieran respondido algunos de
los niños que siguen el cálculo tradicional.
La tercera señala la desaparición de un factor
que siempre está presente en los diferentes resul-
tados de evaluaciones externas que se llevan a
cabo: la muy diferente extracción social de unos
niños y otros. Los alumnos del método ABN per-
tenecen a colegios de barriadas suburbiales, de
familias muy humildes, con enormes dificulta-
des de todo tipo. El alumnado de los colegios
que sirvieron de contraste lo son de centros que,
a nivel provincial, se consideran de élite, al que
asisten niños de clase media y de clase media
alta. La constatación de esta circunstancia es
fácil de establecer. El primer criterio de acceso a
los centros, cuando los alumnos entraron en sus
respectivos colegios, es la proximidad domicilia-
ria. Por ello, la ubicación de los centros públicos
en barriadas periféricas determina la población
que recibe. En el caso de los dos centros de con-
traste, uno de ellos es totalmente privado, con lo
que las familias han de subvenir al coste total de
la enseñanza. El otro es concertado, pero está
situado en la zona más noble de la ciudad, don-
de las viviendas alcanzan el precio más elevado y
es mayor el nivel de servicios.
No se considera determinante la presencia del
investigador en las aulas y en la dirección de la
106 • Bordón 63 (4), 2011, 95-110
GRÁFICO 1. Cálculo mental. Valores medios
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
ABN CBC
CMA CMB CMC CMD CME CMF CMG CMH CMI
GRÁFICO 2. Operaciones. Valores medios
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
ABN CBC
División
Producto
Resta
Suma
GRÁFICO 3. Resolución de problemas. Valores medios
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
ABN CBC
E
D
C
B
S

experiencia. En primer lugar, porque tal pre-
sencia eras muy restringida en el tiempo: alre-
dedor de una hora cada quince días, y en
segundo lugar porque la ejecución material de
las acciones necesarias para el desarrollo del
mismo era siempre llevada a la práctica por las
maestras. En cualquier caso no se puede pasar
de la suposición, puesto que no han existido
grupos de alumnos que paralelamente hayan
aplicado el método sin que en ello interviniera
el director del mismo.
Conclusiones
Los resultados obtenidos no dejan lugar a nin-
guna duda. Los alumnos ABN alcanzan un
nivel de logro muy superior a los que siguen
el método tradicional. Hay que descartar que
la causa fuera una mala práctica profesional
por parte de los grupos de contraste. Al con-
trario, dentro de las limitaciones impuestas
por la metodología, pudimos comprobar el
alto nivel de los alumnos CBC. El asunto está
en las limitaciones del método que se emplea
con ellos.
Los resultados alcanzados por los alumnos
ABN en el apartado de las operaciones han sido
superiores a lo esperado. A priori, se podría
pensar que, dado el exhaustivo tratamiento y el
casi completo adiestramiento que los niños
CBC tienen con las tablas y las cuentas, estos
alumnos podrían estar por encima de los suje-
tos de la investigación. No ha sido así, y aunque
no haya habido un contraste objetivo respecto
a los tiempos, no han sido más rápidos los pri-
meros alumnos que los segundos. Este aspecto
es muy importante: ni siquiera un adiestra-
miento muy mecánico y repetitivo supera a la
velocidad que se alcanza cuando los cálculos se
hacen con sentido y de manera reflexiva.
Respecto al cálculo mental, el alumnado ABN
ha sobresalido por su técnica. Los alumnos CBC
tienen muchas dificultades: cada ejercicio que
se les sometía lo representaban mentalmente
como una cuenta, que también resolvían men-
talmente, y en las que las cifras del resultado
también tenían que ser guardadas en la memo-
ria para luego ser apiladas en el orden previsto
para formar el resultado. De ahí el tiempo que
tardaron y los errores que cometieron. En cam-
bio los alumnos ABN operan directamente con
los números siempre de izquierda a derecha, y
hacen valer su destreza gracias al entrenamien-
to con material manipulativo y al manejo de
tablas.
En cuanto a la resolución explicada de proble-
mas, las diferencias tan acusadas también se
deben a los diferentes métodos empleados.
Los formatos del cálculo CBC impiden gober-
nar los procesos que ellos mismos desencade-
nan. Resuelven los problemas casi por acerti-
jo, y la operación que emplean para hallar el
resultado no tiene que ver con la naturaleza de
los mismos. En definitiva, y para no extender-
nos, reproducen las conductas erróneas que
tantas veces se han recogido en la literatura
científica.
El método basado en algoritmos ABN consigue
un mejor rendimiento de los sujetos menos
dotados, que el que se obtiene con la aplicación
de la metodología tradicional. En el primer
caso, las diferencias intergrupos, entre el alum-
no que obtiene mejores resultados y el que los
obtiene peores, son de 20 puntos, con una des-
viación típica de 5.87. En el segundo, esa dife-
rencia es de 30 puntos, y la desviación típica
alcanza los 6.82 puntos.
Es muy reconfortante incluir como conclusión
que las grandes diferencias entre la extracción
social de los alumnos de ambas metodologías
no ha tenido, en los resultados finales, el peso
que normalmente se le otorga en otros estudios
de evaluación externa. Creemos que es una
magnífica noticia para la escuela, que reafirma
su espíritu y propósitos. Una actuación docen-
te adecuada con un método idóneo puede sal-
var muchos de los inconvenientes y obstáculos
que pueda presentar la población.
Bordón 63 (4), 2011, 95-110 • 107

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Finalmente, y con gran esperanza, los resulta-
dos de la investigación muestran que las mate-
máticas pueden dejar de ser la vara de medir
inteligencias o el estrecho paso que se utiliza
para seleccionar a unos alumnos y discriminar a
los demás, y que se pueden convertir en lo que
siempre han debido ser: una poderosa herra-
mienta de desarrollo intelectual de los niños y
niñas, una pieza fundamental en la construc-
ción de su pensamiento lógico y crítico.
108 • Bordón 63 (4), 2011, 95-110

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Fuentes electrónicas
http://algoritmosabn.blogspot.com [Fecha de consulta: 18/Septiembre 2010]
Abstract
The method of open calculation based on numbers (ABN) as a future alternative with respect to the
closed traditional methods based on figures (CBC)
INTRODUCTION. This paper considers the difficulties that have derived from traditional mathematics
and the alternatives that have been developed, as well as the origin of ABN (the Open Number Met-
hod). METHOD. The research was undertaken from a mathematical realist approach, principally
using a qualitative methodology. RESULTS. The results obtained have confirmed that students using
the ABN method achieve better performances in mental arithmetic, operations and problem-solving
than those using a traditional method. DISCUSSION. The limitations in the contents of the evaluation,
the time taken by the different students to complete it, as well as the varied social backgrounds
of the students suggest that the differences in mathematical competence shown between groups
could be greater.
Keywords: Addition, Computation, Basic skills , Division, Mu ltiplication, Number operations, Word’s
problems, Subtraction.
Résumé
La méthode de calcul ouvert basée en nombres (OBN) en tant qu’alternative d’avenir par rapport
aux méthodes traditionnelles fermées basées en chiffres (FBC)
INTRODUCTION : Il s’agit d’un parcoure à travers les difficultés que le calcul traditionnel a toujours
posé et les alternatives qui ont été mises en marche, aussi bien que l’origine du calcul OBN.
Bordón 63 (4), 2011, 95-110 • 109

MÉTHODE : La recherche a été menée dans le cadre du réalisme mathématique, en suivant une
méthode fondamentalement qualitative. RÉSULTATS : Les résultats ont confirmés que les élèves qui
emploient la méthode de calcul OBN obtiennent des meilleures performances en calcul mental,
opérations et résolution de problèmes, que ceux qui suivent la méthode traditionnelle ou FBC.
DISCUSSION : Les limitations dans les contenus d’évaluation et les temps employés par les différents
élèves pour sa réalisation, nous font supposer que les distances en termes de compétences
mathématiques entre les deux groupes pourraient être encore plus grandes.
Mots clés: Addition, Calcul, Habilités basiques, Division, Multiplication, Opérations numériques,
Problèmes verbales, Soustraction.
Perfil profesional del autor
Inspector en la Delegación Provincial de Cádiz. Doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación. Ha
sido también profesor asociado de la Universidad de Cádiz, en el Departamento de Didáctica, y
miembro del Comité Científico de la Agencia Andaluza de Evaluación. Autor de numerosos traba-
jos sobre evaluación, y sobre didáctica de las matemáticas, sobre los que ha publicado diversos ar-
tículos y libros.
Correo electrónico de contacto: Jaime.martinez@uca.es.
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