Vida numeros

Vida, números y formas
Grecia Gálvez
Silvia Navarro
Marta Riveros
Pierina Zanocco

Ministerio de Educación

Co - edición:

Programa de Mejoramiento de la Calidad de la Educación en
Escuelas Básicas de Sectores Pobres

Centro de Perfeccionamiento, Experimentación e
Investigaciones Pedagógicas

Santiago, reimpresión 1998

MINISTERIO DE EDUCACION
N° Inscripción 84.439
Prohibida la reproducción
sin previa autorización
HECHO EN CHILE

Portada: Verónica Araya
Ilustraciones: Claudio Martínez
Diagramación: Carlos Altamirano

MAVAL Ltda.
Pirámide 521 San Miguel
Fono: 552.1527 • 552.2899
D.A.E. O/C N° 10276

Indice

Presentación 5

Taller 1/ La matemática y nosotros 9

Taller 2/ Problemas en matemática 23

Taller 3/ Analizando, adaptando e inventando problemas 37

Taller 4/ Las mil y una maneras de resolver un problema 51

Taller 5/ Enseñando a resolver problemas 61

Taller 6/ Explorando el espacio 73

Taller 7/ figuras del plano y del espacio 91

Taller 8/ Reconstruyendo el sistema de numeración decimal 107

Taller 9/ Situaciones y combinaciones aditivas 121

Taller 10/ Revisando los algoritmos de la adición y la sustracción 139

Taller 11/ Situaciones y combinaciones multiplicativas 155

Taller 12/ Revisando el algoritmo de la multiplicación 173

Taller 13/ Revisando el algoritmo de la división 185

Taller 141 La matemática en nuestras aulas 195

Presentación
Vida, números y formas, es un material para ser
trabajado en Talleres de Perfeccionamiento en Matemática
por profesores de primer a cuarto año de Educación General
Básica; es fruto de la experiencia acumulada, en relación a
esta modalidad de perfeccionamiento, por el Programa de
Mejoramiento de la Calidad de las Escuelas Básicas de
Sectores Pobres.

Se concibe el Taller de Perfeccionamiento, como una
instancia de reflexión de los profesores, en lo relativo a la
orientación de los procesos de desarrollo y aprendizaje de
los alumnos. También constituye un espacio para el inter-
cambio organizado de experiencias y puntos de vista de los
profesores ypara el rescate y valoración de sus prácticas de
aula más exitosas.

El trabajo del Taller conduce a la reconstrucción de la
matemática que los profesores deben enseñar, y al esta-
blecimiento de nexos significativos entre los contenidos de
aprendizaje y la cultura en la que se encuentran inmersos sus
alumnos. Todo esto conlleva a la generación de propuestas
didácticas, posibles de experimentar a nivel de sala de
clases.

A través de diversas actividades, el Taller de Perfeccio-
namiento posibilita a los profesores vivenciar y analizar los

procesos de construcción de conceptos, el establecimiento matemática y temas considerados contenidos mínimos en la
de relaciones y procedimientos, para optimizar su compren- educación matemática de los alumnos de primer ciclo de
sión de los procesos de aprendizaje de sus alumnos, y estar Educación General Básica.
así en mejores condiciones para introducir mejoras en sus
prácticas de enseñanza. Resulta interesante señalar que los temas generales son
trabajados en el primero y en el último de los Talleres
El perfeccionamiento, así concebido, contribuye a garanti- propuestos. El Taller 1: «La matemática y nosotros», cons
zar el derecho de todos los alumnos a disfrutar de experiencias tituye un marco de referencia necesario de tener presente
educativas consideradas esenciales para su desarrollo y para la durante la realización de los siguientes Talleres. En éste se
construcción de sus conocimientos y abre un espacio a la proponen actividades para develar la actitud hacia la ma-
autonomía profesional de los docentes, permitiéndoles funda- temática de cada profesorparticipante, la influencia de ésta
mentar su toma de decisiones en relación al establecimiento y en la enseñanza y un análisis del sentido del aprendizaje
puesta en práctica dél currículum escolar. matemático para los alumnos de Educación General Básica.
En el último; Taller 14: «La matemática en nuestras
La concreción de este tipo de perfeccionamiento docente aulas», se plantea una revisión de la organización de las
requiere de un compromiso por parte de todos y cada uno de clases de matemática, de los momentos claves de éstas, de
los participantes del Taller, quienes deben aportar a la los recursos a los que más usualmente puede acceder un
creación de un clima de convivencia en las sesiones, que profesor, concluyendo con la evaluación, por parte de cada
permita la libre expresión de sentimientos e ideas, y a la participante, de los cambios que ha experimentado como
consecución del logro de los propósitos de cada Taller, enseñante de la asignatura, a raíz del perfeccionamiento.
mediante su participación en las sesiones y el cumplimiento,
entre una sesión y otra, del compromiso contraido con las En relación a los contenidos propios de la educación
«Tareas». Estos aportes significarán una contribución a la' matemática de escolares básicos, se presentan tres temáticas:
meta general del perfecionamiento que es introducirmejoras Resolución de problemas.
en la calidad de los aprendizajes matemáticos de los alumnos. Iniciación a la geometría.
Los Talleres de Perfeccionamiento en Matemática que Operatoria aritmética.
se proponen en este texto, abordan temas generales que un
profesor debe analizar para enfrentar la enseñanza de la Resolución de problemas, es un tema que puede cons-

tituirse en el eje central de la educación matemática en la Este tema se trabaja en el
escuela básica, dado que contribuye significativamente a Taller 6: «Explorando el espacio y
que los alumnos capten el sentido de los conocimientos Taller 7. «Figuras del plano y del espacio».
matemáticos que adquieren en la escuela y de sus relacio-
nes con los que logran y necesitan fuera de ella y favorece Finalmente el tema referido a operatoria aritmética,
el desarrollo de competencias básicas generales, tales atiende a la revisión de un contenido siempre presente en los
como; las habilidades para seleccionar, analizar, organizar cursos del primer ciclo de educación básica:
y comunicar información. adición, sustracción, multiplicación y división con números
naturales.
Este tema es trabajado, en forma específica, a través del: Este tema se inicia con un Taller destinado a una
Taller 2: "Problemas en matemática" revisión del sistema de numeración decimal, requisito in-
Taller 3. "Analizando, adaptando e inventando problemas" dispensable para manejar comprensivamente procedi
Taller 4. "Las mil y una maneras de resolver un problema " mientos de cálculo escrito. En los Talleres siguientes se
Taller 5: "Enseñando a resolver problemas". proponen actividades tendientes a analizar el significado de
la operatoria aritmética mediante problemas. Se plantea que
Los logros esperados en estos cuatro Talleres son a partir de situaciones aditivas es posible conceptualizar la
permanentemente evocados a través de los restantes. adición y la sustracción como problema inverso y, en forma
análoga, las situaciones multiplicativas generan los concep-
El tema iniciación a la geometría, ha sido incluido como tos de multiplicación y división. Se ofrecen también activi-
respuesta a una necesidad sentida y muchas veces plantea- dades para un análisis de los procedimientos o algoritmos
da por los supervisores y profesores que han participado en de resolución de ejercicios de operatoria.
este Programa. Se abordan aspectos que aparecen como
esenciales para los alumnos de primer ciclo, las nociones El desarrollo de este tema contempla el.
espaciales básicas (orientación, ubicación y movimiento en Taller 8: «Reconstruyendo el sistema de numeración
el espacio), cuerpos geométricos y polígonos. Se sugieren decimal»
actividades de integración con otras asignaturas, que favo- Taller 9.: «Situaciones y combinaciones aditivas»
recen el desarrollo de nociones espaciales y de conceptos Taller 10: «Revisando los algoritmos de la adición y de
geométricos en forma intuitiva. la sustracción»

Taller 11: nSituacionesycombfnacionesmultiplicativas»
Taller 12: «Revisando el algoritmo de la multiplicación»
Taller 13: «Revisando el algoritmo de la división».

Los Talleres, en la mayoría de los casos, consideran
tanto actividades- para el profesor, como sugerencias de
actividades y materiales para los alumnos de E.G. B., que se
espera sean incrementados con el aporte de los profesores.

En general, esta propuesta de perfeccionamiento sólo
cobra vida gracias al trabajo sesión a sesión de los partici-
pantes y es valiosa si logra traducírse en acciones en las
salas de clases.

Se desea dejarconstancia de nuestra gratitud a la Emba-
jada de Francia por el aporte académico que significaron la
presencia de los expertos franceses en Educación Matemática,
Profesores Guy Brousseau, Catherine Houdement , Daniélle
Ilergnes, Yves Clavier ya la Editorial Hatier por sus autorización
para utilizar las propuestas pedagógicas del texto «Objectif
Calcul» en la elaboración de este texto.

Finalmente-un agradecimiento muy especial a los su-
pervisores yprofesores que junto a nosotros fueron abriendo
este camino de perfeccionamiento profesional, sus obser
vaciones y sugerencias permiten brindar a otros docentes
una ruta ya explorada y enriquecida.

Las autoras.

Taller 1/

La primera parte de este Taller obedece al propósito de explicar en qué consiste, hacia dónde apunta
y cómofunciona este Programa de Perfeccionamiento. La segunda parte consiste en una invitación a revivir
experiencias personales relativas al aprendizaje y a la enseñanza de la matemática, para reflexionar luego
sobre su influencia en la disposición a aprender matemática que presentan hoy nuestros alumnos y, por
lo tanto, en sus rendimientos.

Actividad 1 / Luego, leen lo que sigue.
Mis expectativas Seguramente han observado que cadaTaller comienza
con un párrafo que explica sus propósitos y que, entre Taller
y el programa
y Taller, hay que hacer una Tarea. Esta consistirá general
mente en realizar alguna actividad con sus alumnos y en
Los profesores participantes se sientan, formando un
redactar sus conclusiones en un breve informe.
círculo. Esta distribución es adecuada para todos los Talleres.

El objetivo principal de organizar este perfeccionamien-
El conductor del Taller organiza una dinámica para que
to en forma de Talleres es facilitar el intercambio de expe-
l os participantes expresen sus expectativas. Por ejemplo,
riencias entre los profesores participantes y estimular su
pregunta: «¿qué esperan Uds. d e este trabajo de perfeccio
reflexión colectiva. Se trata de que, a partir de lo que hacen,
namiento?» y deja un tiempo para que cada persona reflexione
leen, piensan y conversan en los Talleres, vayan adoptando
i ndividualmente. Luego fabrica una pelota, arrugando una
criterios que les sirvan para optimizar su práctica profesio-
hoja de papel, y la lanza a cualquiera de los participantes
nal, aprovechando integralmente su experiencia e incorpo-
para que exteriorice su respuesta, en una sola frase. Al
rando también la experiencia y habilidades que sus alumnos
terminar, esta persona lanza la pelota a otra y así continúan,
desarrollan en .su vida extraescolar.
hasta que todos hayan intervenido. A medida que van
respondiendo, el conductor del Taller hace un punteo de las
Para fomentar el intercambio de experiencias y reflexio-
i deas principales, en el pizarrón.
nes, las actividades, en su mayoría, se realizarán en grupos.
Los grupos serán de dos o tres personas, si el total de
Una vez explicitadas las expectativas, corresponde
participantes del Taller es reducido, y de cuatro a cinco
que los participantes conozcan lo que se les ofrece: el
personas, en un Taller más numeroso. AÍ término de las
Programa de los catorce Talleres contenidos en este Manual.
actividades grupales, se ha programado una puesta en
común, en la que se comunican las conclusiones de cada
Individualmente, los profesores exploran el Manual:
grupo al resto de los participantes.
opinan sobre el título, leen la Presentación y el Indice, hojean
las páginas interiores para formarse una idea de su conte-
El desarrollo de las actividades propuestas en cada
nido.
Taller requiere de un conductor. Este puede ser un supervisor

u otro experto, pero también puede ser uno de los participan- separados, bajen sus hombros y dejen colgar sus brazos,
tes que; habiendo asistido al Taller anterior, se encargue de inclinen su cabeza hacia adelante soltando el cuelloy cierren
preparar la sesión siguiente, basándose en el Manual, y de sus ojos, respirando profundo para relajarse.
conseguir los materiales que allí se indiquen. A fin de
garantizar la continuidad del perfeccionamiento, es conve- Hablando en forma lenta y tranquila, haciendo pausas para
niente alternar sesiones conducidas por un supervisor u otro dar tiempo a que aparezcan las imágenes, dice:
experto, con sesiones a cargo de conductores internos al
• Concéntrese en sí mismo y preste mucha atención a l o
grupo de participantes.
que siente al escuchar la siguiente palabra: ..... MATE-
MATICA..... Trate de mantener sus sensaciones... sus
El Manual ha sido organizado en catorce Talleres. Cada
imágenes... sus sentimientos... Deje de lado sus pensa-
uno de ellos aborda un tema que puede ser desarrollado en
varias sesiones. De acuerdo a sus intereses y a su experien mientos y concéntrese en sus sentimientos... sus
cia, los participantes irán determinando, en conjunto con el emociones ...¿Qué siente?... ¿Qué emociones experi-
conductor del Taller, el ritmo con que van avanzando a través menta?
del Programa propuesto. Las autoras esperan que tengan un
• Retroceda mentalmente en el tiempo y véase a sí mismo
grato caminar.
como alumno, en clase de matemática... ¿Cómo se
sentía?... ¿Le gustaba esta asignatura?... ¿Cómo le iba
Actividad 2/ en matemática?... ¿Le era fácil aprender?... ¿Hubo
Mi experiencia cambios?... ¿En qué momentos?...

como alumno • Recuerde a quienes le enseñaron matemática... ¿Cómo
eran estas personas?... ¿Recuerda a alguna en espe-
Materiales: Una hoja con las preguntas, por profesor. cial?... ¿Qué siente al imaginársela? ... ¿Cuál fue el mejor
profesor de matemática que tuvo? ... ¿Y el peor?...
El conductor del Taller anuncia que van a hacer un ejercicio El conductor pide que abran sus ojos y, sin hacer ningún
de imaginería. Pide a los profesores que se sienten cómoda- comentario, contesten por escrito las preguntas del recuadro:
mente, apoyen ambos pies en el suelo dejándolos un poco «Mi experiencia como alumno», reproducidas en una hoja.

Mi experiencia como alumno

1. Durante el ejercicio, mi reacción al escuchar la palabra matemática fue:

- más bien positiva
- más bien negativa
- neutra

2. Durante mi época de estudiante, en matemática me sentí un alumno:

- Con facilidad para aprender esta asignatura
- Con dificultad para comprenderla
- Ni bueno ni malo, promedio

3. Creo que los aspectos positivos de los profesores de matemática son:

a)

b)

c)

4. Me parece que los aspectos negativos de los profesores de matemática son:

a)

b)

c)

No necesitan poner su nombre. una clase de matemática en su curso.... ¿Cómo se
siente?... ¿Cuáles son sus sensaciones... imágenes...
Después de recoger las respuestas, el conductor deja
sentimientos...? ¿Le gusta estar allí?... ¿Cómo siente el
un tiempo para que los profesores comenten las experien-
paso del tiempo?... ¿Se siente seguro o inseguro?... ¿En
cias evocadas durante el ejercicio, en la medida en que
qué se siente más inseguro?... ¿Cómo ve a sus alum-
deseen compartirlas. Es importante insistir en que centren
nos?...
sus comentarios en los sentimientos, más que en las posi-
bles explicaciones de ellos.
• Concentre ahora toda su atención en alguno de sus
alumnos e imagine, por un momento, que Ud. está en su
Se recomienda hacer una pausa, antes de
l ugar... ¿Cómo se siente?... ¿Le interesa la clase?... ¿Le
iniciar la siguiente actividad.
parece claro lo que le están explicando?... ¿Cómo ve a
su profesor?... ¿Se atreve a hacerle preguntas?... ¿Le
parece que Ud. es importante para él?... ¿Qué le gusta-
Actividad 3/ ría que fuera diferente?
Mi experiencia
como profesor El conductor pide que abran los ojos y, sin hacer
comentarios, contesten las preguntas del recuadro: «Mi
Materiales: Una hoja con las preguntas, por profesor.
experiencia como profesor», en la hoja previamente prepa-
El conductor del Taller pide nuevamente a los profesores rada.
que se sienten cómodamente y se relajen (repite las instruc-
ciones de.la actividad anterior). Después de recoger las respuestas, el conductor pro-
pone a los profesores que intercambien comentarios sobre
Hablando lentamente, con pausas, les dice: l o que sintieron y recordaron durante este segundo ejercicio.

0 Concéntrese en sí mismo e imagine que está haciendo

Mi experiencia como profesor
1. Los aspectos positivos de mis clases de matemática son:

a)

b)

c)

Z Los aspectos negativos de mis clases de matemática son:

a)

b)

c)

3. Cuando me puse en el lugar de uno de mis alumnos sentí que yo podría enseñarles mejor si

Actividad 4/ Actividad 5/
Análisis de las respuestas Definamos la tarea
Los profesores respondieron por escrito siete pregun- Se propone la lectura de un texto sobre el sentido de la
tas. De acuerdo al número de participantes en el Taller, uno enseñanza de la matemática en la escuela básica, con
o dos profesores se encargan de analizar y resumir, en un preguntas para pensar y responder.
papelógrafo, las respuestas a una misma pregunta. Para
facilitar su trabajo, cortan las hojas y juntan las respuestas a El conductor del Taller invita a los profesores a leer el
una misma pregunta. Al final, se hace una puesta en texto que sigue y a responder las preguntas que aparecen
común de los análisis realizados, con apoyo de los al final del mismo, las que se comentarán en el próximo
papelógrafos. Taller.

Aprendizaje matemático y contextualización lo que va a suceder si la compro. Esta es la forma en que
uso la matemática. Pienso que lo importante es usarla.
En la Universidad de Southern Illinois, en Edwardsville, Me parece que mucho de lo que se hace en las escuelas
Estados Unidos, el profesor Thomas C. O'Brien creó un no está relacionado con el contexto en que usamos la
Centro para Profesores, donde se realizaban activida- matemática. Las escuelas funcionan a nivel de un
des para la actualización de los profesores de Educa- simple entrenamiento de los niños para hacer o decir
ción Básica de la región. En una ocasión invitó a A. I. cosas. Se les dice: «3 + 4» y ellos responden: n7».
Weinzweg, profesor de matemáticas de la Universidad ¿Quién, en su sano juicio, se interesaría por saber que
de Illinois, en Chicago, a conversar con un grupo de tres más cuatro es igual a siete, a menos que eso tenga
profesores sobre la enseñanza de la matemática en la alguna utilidad? Seleccionamos lo que queremos ense-
escuela básica. Presentamos aquí un extracto de dicha ñar en la escuela por su utilidad, pero no les presenta-
conversación, que fue publicada por el Centro de Pro- mos a los niños las cosas contextualizadas. Nunca les
fesores dirigido por T.C. O'Brien. decimos que es importante saber que 3 + 4 = 7 porque
eso se puede aplicar en muchos contextos diferentes y
Weinzweg: Yo pienso que la matemática es una es posible ahorrarse mucho trabajo al no tener que
manera de pensar. La matemática es el arte de tratar de enfrentar cada nuevo contexto como si fuera una nueva
determinar qué sucederá cuando decido hacer algo, situación. Eso es precisamente lo esencial de la mate-
sin tener que hacerlo realmente. Por ejemplo, si tengo mática.
un espacio disponible en mi comedor y quiero comprar
una vitrina... O'8rien: La matemática se usa en la escuela para
acostumbrar a los niños a hacer lo que el profesor les
O'Brien: Tú no empiezas por traer la vitrina. dice que hagan.

Weinzweg: Yo no compro la vitrina hasta estar seguro Weinzweg: Sí, y también como mecanismo de se-
de que es del tamaño adecuado. Primero mido el lección de los alumnos. Los tests de inteligencia usan
espacio donde la voy a colocar y mido la vitrina, así sé tareas matemáticas, por ejemplo, de visualización es-

pacial. La mayoría de la gente tiene dificultades para desarrollo del pensamiento, es aprender a distinguir
visualizar. Pienso que esto se debe a que, aunque han entre lo que hay que considerar y lo que hay que ignorar,
tenido mucha experiencia en visualizar cosas, nunca al realizar una tarea.
han aprendido a localizar, no saben realmente qué
buscar, qué mirar, cuando ven algo. La gente que ha Weinzweg: Correcto. Pienso que constantemente nos
desarrollado naturalmente su habilidad en está área enfrentamos a una masa de estímulos. Y tenemos que
maneja, sin darse cuenta, ciertas claves. Parte del distinguir entre la información y el ruido de fondo. Nos
problema reside en que hay que trabajar con represen- fijamos en lo que creemos que constituye una información
taciones en dos dimensiones de objetos que son importante. Pero a veces, lo que es realmente importante
tridimensionales. Esto requiere el manejo de un código, no se ve de inmediato. Seguramente Uds. han tenido la
igual que la lectura y la escritura, y hay que aprender a experiencia de dar una serie de instrucciones a-un
descifrar ese código. Hay que aprender a fijarse en grupo. La gente empieza a trabajar y dé pronto se
cierto tipo de cosas y a no fijarse en otras. detienen. «No sabemos cómo seguir, dicen. Al repe-
tirles las mismas instrucciones exclaman: «Ah, ahora
O'Brien: ¿Y cómo aprendemos a fijarnos en lo que sí—, como si antes no se les hubiese dado la información.
corresponde? Lo que pasa es que, al principio, ellos se fijaron sólo en
lo que les parecía importante y desatendieron parte de
Weinzweg: Como matemático, me es difícil respon- la información que se les dió. Cuando avanzaron en la
der, porque yo, automáticamente, hago cosas de las realización de la tarea se encontraron en una situación
que no me doy cuenta. Dando un curso para profesores, en la que no disponían de suficiente información; en ese
sin embargo, he visto que personas que inicialmente momento, las informaciones que Uds. les repiten son
tenían muy poca habilidad para visualizar, pudieron significativas porque están referidas al contexto parti-
llegara resolver tareas más difíciles que las que aparecen cular en que ellos están funcionando. Ahora pueden
en los tests de inteligencia. asimilarlas y utilizarlas.

O'Brien: 0 sea que un aspecto importante, en el O'Brien: Eso significa que hay que observar en qué

parte de la tarea está el niño, no darle el flujo total de ejemplo, si le digo a uno de Uds.: «Cuente, la persona
información o de instrucciones en un solo paquete. designada dirá: « 1, 2, 3, 4, 5, 6-. Si luego le muestro un
puñado de cubos y le digo: «Cuente», la persona los irá
Weinzweg: Exactamente. Cuando trabajo con alum- señalando uno por uno mientras dice:; -f 1, 2, 3, 4, 5, 6».
nos, en cualquier nivel, les doy sólo la información Yo utilicé exactamente la misma orden verbal, pero las
suficiente para empezar. Les doy las reglas básicas del respuestas fueron diferentes.
juego. Y cuando avanzan en la tarea les digo: «ahora Usamos la palabra contar para designar acciones muy
voy a introducir una nueva regla». En ese momento esta variadas. Como matemático interesado en el aprendiza-
regla resulta significativa, porque están manejándola en je infantil, yo quiero desarrollar en los niños la com-
un contexto particular. Si yo tratara de darles todas las prensión del número. Primero tengo que preguntarme:
reglas al comienzo.s e produciría una situación frustran- ¿Por qué están interesados en el número? ¿Qué pro-
te para ellos y para mí. Yo diría: «Eso ya lo expliqué». Y blemas van a afrontar cuando usen números?¿ Cómo
el pobre alumno respondería: «Pero yo no lo entendí^ van a usar los números?
El se sentiría tonto, yo sentiría que él es tonto y que el Supongamos que estoy con un grupo de niños y tengo
curso no puso atención. La verdad es que ellos sí una bolsa de dulces. Como soy una persona conside-
pusieron atención, pero no lograron ensamblar todas rada y amable quiero dar un dulce a cada niño. Pero si
las piezas desde el principio. empiezo a repartir los dulces y no me alcanzan para
todos me encontraré en un gran problema. Necesito
O'Brien: Hablemos un poco acerca del contexto. Este saber lo que pasará, antes de ejecutar realmente la
parece ser un tema muy importante para ti. acción. Así, cuento el número de niños y el número de
dulces. Si el número de dulces no es menor que el de
Weinzweg: Bueno, cuando hablamos del aprendizaje niños, puedo iniciar el reparto sin ningún riesgo. Aquí
de los niños, lo que queremos que aprendan son con- estoy resolviendo un problema particular en un contexto
ceptos, conceptos matemáticos. Pero los conceptos no particular. Si quiero que los niños capten esta idea
vienen del aire, los desarrollamos para abordar situa- tengo que examinar detalladamente lo que pasa con el
ciones particulares en contextos particulares. Por número y con el contar y tengo que crear contextos de

manera que los niños construyan su noción de número Después de un tiempo de. tratar con adiciones
a partir de ellos. contextualizadas, el niño empieza a desarrollar su com-
Lo que sucede es que el niño crea una noción de prensión descontextualizada de 3 + 2 = 5. Se da cuenta
número para enfrentar un contexto y otra noción diferen- de que si sabe la respuesta en un contexto, puede
te para enfrentar otro contexto. Después de cierto aplicarla a cualquier otro contexto. Ahora tiene una
tiempo, el niño empieza a reconocer que si hace una razón para aprender que 3 + 2 = 5. Es un conocimiento
tarea en un contexto, puede cambiar a otro contexto y que le ahorra trabajo.
obtener la misma respuesta al hacer el mismo tipo de
tarea. Por ejemplo, en un juego tipo carrera de caballos, O'Brien: Esto le da mucho poder.
si un niño tira dos veces el dado y obtiene 3 y 2,
podemos escribir su tirada como: 3 + 2 = 5. Para el niño, Weinzweg: Absolutamente. La matemática es pode-
esta escritura tiene un significado contextual; significa rosa. Actualmente, juega un rol importante en casi todas
sólo que en su primera tirada le salió un 3, en la segunda las áreas. La razón es que los matemáticos desarrollan,
un 2 y que, en total, su caballo avanzó 5 espacios. en situaciones descontextualizadas, conocimientos que
luego podemos aplicar en toda clase de contextos
O'Brien: De lo que dices se desprende que gran parte diferentes. Pero lo que la gente olvida es que la mate-
del trabajo que los niños realizan en la escuela no tiene mática surgió originalmente de algún contexto.
ningún contexto.
O'Brien: Entonces, ¿cuál es su consejo para los profe-
Weinzweg: Precisamente. Parte importante de la en- sores?
señanza escolar consiste en presentar información sin
ningún contexto; y el niño no tiene cómo captarla, no Weinzweg: Pienso que para ayudar a un niño a
tiene cómo llegara la solución. Si le damos un problema desarrollar un concepto, hay que pensar en el contexto
contextualizado, puede llegara la respuesta; aunque no del cual surge el concepto. Hay que presentar una
recuerde cuánto es 3 + 2, puede reconstruirlo actuando situación y dejar que el niño funcione dentro del contex-
sobre la situación. to de manera que empiece a abordar el problema, a

desarrollar el concepto para resolver el problema, y a
estructurar y organizar sus experiencias. Y luego se 1. Weinzweg propone: « La matemática es el arte
debe proporcionar otros contextos para localizar la de tratar de determinar qué sucederá cuando
atención del niño en el hecho de que si resuelve un decido hacer algo, sin tener que hacerlo real-
problema en un contexto y obtiene una respuesta, y mente» . Aplique esta afirmación en el contexto
luego resuelve el mismo tipo de problema en un contex- siguiente y deduzca consecuencias: Ud. quiere
to diferente, obtendrá la misma respuesta. Una vez que i nvitar a una amiga a ver una película y a tomar
el niño toma conciencia de la utilidad de cambiar de un onces; abre su billetera y ve que tiene tres mil
contexto a otro, se da cuenta también de la utilidad de pesos.
aprender relaciones como 3 f 2 = 5 sin ningún contexto
particular, de manera que puedan aplicarse a toda 2. Ud. va ll egando a una esquina cuando dos
clase de contextos. autos chocan. Señale tres aspectos en los que
Lo que está faltando en la educación matemática es esa necesitaría fijarse y otros tres en los que no
progresión desde una situación ligada a un contexto necesitaría fijarse si estuviera dispuesto a de-
hacia una situación descontextualizada. Siempre ope- clarar como testigo.
ramos en situaciones descontextualizadas con los niños
y ellos ignoran el por qué, el dónde y el cómo han 3. Busque situaciones en las que sus alumnos
surgido las cosas que aprenden. usen habitualmente números, fuera de la sala de
Existe un' proverbio: «Si le das un pescado a un hombre, clases, y utilícelas para contextualizar dos ejer-
lo alimentas por un día. Si le enseñas a pescar, lo cicios de sustracción.
alimentas por toda su vida». En cierto sentido, eso es lo
que estoy tratando de decir aquí. No quiero darles a los 4. De acuerdo al proverbio citado por Weinzweg al
niños un pescado, quiero e; ,° - eñarles a pescar. final del texto, ¿Qué significaría «enseñar a
pescar» a los profesores en vez de «darles un
pescado», en un curso de perfeccionamiento?
Para pensar, y responder por escrito:

Taller 2/

En este Taller los profesores vivencian el proceso de resolución de problemas, analizan los procedimientos
que utilizan para resolverlos y las respuestas encontradas. Este análisis incluye la forma de presentación
del enunciado, la cantidad de datos, las relaciones numéricas entre éstos, laforma de preguntaryel sentido
que el problema tiene para quien lo resuelve. Todos estos aspectos son considerados en función del rol
que juegan en la generación de procedimientos para resolver los problemas propuestos.

Actividad 1 / profesores no debiera limitarse a entregar «recetas» sobre
cómo enseñar; debiera estimular la reflexión sobre la toma
Comentemos la tarea cotidiana de decisiones en el aula.

Los participantes intercambian opiniones sobre el texto
leído. Pueden responder preguntas como las siguientes:

¿Les resultó fácil su lectura?
¿Están de acuerdo con lo que dice Weinzweg?
¿Qué ideas nuevas sobre la matemática y su enseñanza
encontraron?
Actividad 2/
Luego comentan las respuestas que escribieron Para Resolvamos problemas
cada punto, leen algunas y las complementan con interven-
ciones orales de quienes hayan escrito algo diferente. Las Los profesores se agrupan para resolver los siguientes
i deas que se espera sean comentadas son: problemas.

Para el punto 1: La matemática es un medio para anticipar
resultados de acciones posibles.
La compra y venta del libro
Para el punto 2: Es posible desarrollar la capacidad de Alicia compra un libro de recetas en $3.900 y
discriminar información relevante de acuerdo a un propósito, se lo vende a una amiga en $3.960. Al día siguiente
en diversas situaciones. Alicia le compra el mismo libro a su amiga en $4.000
y lo vende a su vecina en $4.050. ¿Cuánto dinero
Para el punto 3: Es importante que los ejercicios de ma- ganó Alicia?
temática resulten significativos para los alumnos.

Para el punto 4: Un curso de perfeccionamiento para

Los chocolates de Ursula La consulta al médico
Estas son las reflexiones de doña Ursula: Antonio fue al médico porque se sentía con fiebre
Compré 100 bolsitas plásticas para vender cho- y mucho dolor de cabeza. Después de examinarlo
colates. el médico le recetó Gremapiesil, una pastilla cada
Puse 15 en cada una y con todos los chocolates 6 horas, durante 8 días. En la farmacia le informan
que tenía, completé 32 bolsas. que este remedio se vende en tiras de 6 pastillas y
Pensaba vender cada una en $360. en frascos que traen 20. El frasco vale $1,040 y la
Pero saqué mis cuentas y voy a ganar muy poco. tira $330. ¿Qué le conviene comprar a Antonio?
Es mejor que saque 3 chocolates de cada bolsa...
¿Cuántas bolsas le resultaron finalmente a doña
Ursula, si con los chocolates que sacó llenó otras y
todas tienen la misma cantidad?

El cerco del terreno
Don Aurelio quiere cercar su terreno. Decidió co-
l ocar estacas cada tres metros para tender un
cerco de alambre. Si tiene 100 estacas, ¿le sobran
o le faltan?, ¿cuántas?

Una vez que han terminado de resolverlos, los profeso- en $4 000 y venderlo en $4 050.
res comentan las dificultades que se les presentaron y
señalan el problema que les pareció más difícil y el más fácil. Es posible que algunos aseguren que la ganancia que
Lo fácil o difícil de un problema es relativo; puede'suceder obtiene Alicia es $70; el razonamiento que lleva a esa
que para alguien sea tan fácil resolver determinado proble- conclusión considera que hay una pérdida de $40 en el
ma que éste no sea un problema para él. momentó que Alicia compra el libro por segunda vez y paga
$4000.
Comparen el problema en cuestión con el siguiente:
Para plantear un problema de Matemática no bas-
ta con proponer una situación y una pregunta: es
necesario que, para quien lo resuelva, signifique Alicia compra un libro de recetas en $3 900 y se lo
un desafío, una interrogante que necesita la ela- vende a una amiga en $3 960. Al día siguiente,
boración de un plan y el diseño de una estrategia, Alicia compra un florero en $4 000 y se lo vende a
para encontrar la respuesta. su vecina en $4 050. ¿Cuánto dinero ganó Alicia?

En la siguiente tabla se puede visualizar un procedi-
miento de búsqueda de solución al problema modificado.
Actividad 3 Compra Venta Ganancia
Artículo
Comentemos los problemas
Libro $3900 $3960 $60
3/1. La compra y venta del libro Florero $4000 $4050 $50

Cada grupo comenta el resultado obtenido y explica la Total $7900 $8010 $110
manera cómo lo encontró. La respuesta correcta al problema
es: Alicia gana $110. Ella gana $60 al comprar el libro en Si aún quedan dudas sobre la respuesta correcta al
$3 900 y venderlo en $3 960; después gana $50 al comprarlo problema, es conveniente hacer una dramatización. Perso-

najes: Alicia, la vendedora de libros, la amiga, la vecinayotra • Hay 32 bolsas con 15 chocolates cada una, luego son
persona, que le presta dinero a Alicia para comprar el libro 480 chocolates.
por segunda vez. Al final de la escena, Alicia devuelve ese • Si se sacan 3 chocolates de cada bolsa, quedan 12 en
préstamo y cuenta su ganancia. cada una.
• Como todas las bolsas quedarán con 12 chocolates y
el total de chocolates es 480, el total de bosas llenas se
La forma de presentar un problema, su ENUNCIA- obtiene dividiendo 480 por 12. Resultan 40 bolsas.
DO, puede ser fuente de dificultades para su reso-
l ución, ya que para buscar la respuesta a un pro- Otra manera de encontrar la respuesta es:
blema, es necesario comprender bien de qué se
trata. • Hay 32 bolsas con 15 chocolates cada una.
• Si se sacan 3 chocolates de cada bolsa, en total se
Los enunciados de los problemas pueden tomar
sacan 96 chocolates.
forma de dramatización, historietas, texto con ilus-
• Quedan 32 bolsas con 12 chocolates cada una.
tración, sólo texto, dibujo con datos, presentación
• Con los 96 chocolates sacados se llenan 8 bolsas más.
oral.
• Resultan 40 bolsas con 12 chocolates.

Este problema incluye dos tipos de datos, los que son
3/2. Los chocolates de Ursula necesarios para resolverlo y los que, siendo pertinentes a la
situación, no se usan en el proceso de resolución.
Los grupos comparten los resultados y los procedi-
mientos utilizados para resolver este problema. Son datos necesarios: 32 bolsas, 15 chocolates por
bolsa, 3 chocolates que se sacan de cada una.
La respuesta correcta al problema es: doña Ursula llena
40 bolsas, con 12 chocolates cada una. Son datos innecesarios: 100 bolsas compradas, $360 el
precio de venta de una bolsa.
Un procedimiento posible para buscar respuesta al
problema es:

En otros problemas algunos datos no se explicitan
Los DATOS son otro componente de un problema. porque se supone que son conocimientos que ya posee la
Es habitual que los problemas incluyan sólo los persona que los resuelve: por ejemplo, que el día tiene 24
datos necesarios para resolverlos. Pero, también horas, en el problema de la consulta al médico; o porque lo
se pueden proponer problemas que tengan exce- que interesa es que los alumnos aprendan a recurrir a
so de datos o que no tengan todos los datos ne- diversas fuentes de información para obtenerlos. A veces,
cesarios para obtener su solución. Esto sirve para uno o varios de los datos necesarios para resolver un
aprender a diferenciar los datos relevantes de los problema deben ser inferidos de la información que se
irrelevantes, en la resolución de los problemas. proporciona.

Los datos no siempre son numéricos; en algunos pro-
En un problema, los datos no siempre se presentan blemas puede tratarse de formas, de relaciones lógicas, o de
ordenadamente en el enunciado. A veces, se presentan en ubicaciones en el espacio, como en el problema siguiente:
tablas o cuadros. Por ejemplo:

¿En cuál de las siguientes ciudades se presentó la Negro, el perro guar-
mayor diferencia de temperatura, el día 9 de julio de dián, está amarrado
1992? con una cadena de 2,5
metros a una barra que
mide 1 metro de largo.
CIRLE AYER En el dibujo, pinte el
Ciudad Min. Máx. Condición terreno que puede re-
correr elperro si el nudo
Arica 12,0 18,0 Despejado de la cadena se puede
Antofagasta 10,9 16,0 Despejado deslizar sobre la barra
Valparaíso 10,0 14,0 Nublado AB.
Temuco 6,6 13,0 Nublado
Valdivia 7,6 9,0 Lluvia

3/3. La consulta al médico pastillas y se quedan con esta opción. Es el número exacto
de pastillas que se necesitan.
Los grupos comparten las respuestas obtenidas e
i ntercambian información sobre los procedimientos utiliza- También hay quienes organizan la información en cua-
dos. dros y centran su atención en los precios.

Generalmente el proceso de resolución se incia calcu- Frascos
l lando la cantidad de pastillas necesarias para el tratamiento:
son 4 pastillas diarias, durante 8 días. En total, son 32 1 frasco 20 pastillas $1040
pastillas. 2 frascos 40 pastillas $2080

En seguida, algunos calculan el valor unitario. Tiras
En frascos, 1 040: 20 = 52 pesos, es el precio de una
pastilla. En tiras, 330: 6 = 55 pesos cada pastilla. 1 tira 6 pastillas $330
6 tiras 36 pastillas $1980
En consecuencia, parece más conveniente comprar
dos frascos.
Al hacer la comparación, resulta preferible comprar 6
Otros, en cambio, se preocupan de calcular cómo tiras porque sale más barato que los 2 frascos. Pero, si se
obtener el número de pastillas que se necesitan: establece la relación:
• 1 frasco, son 20 pastillas, me faltan
• 2 frascos, son 40 pastillas, me sobran 8 1 frasco 20 pastillas $1040
• 5 tiras, son 30 pastillas, me faltan 2 tiras 12 pastillas $660
• 6 tiras, son 36 pastillas, pero como sólo me sobran 4,
esta opción es la que más me conviene.
Al sumar se obtiene que 32 pastillas valen $1 700, lo
En este mismo cauce de razonamiento, hay personas que es más barato aún que comprar 6 tiras.
que se dan cuenta que con 1 frasco y 2 tiras logran 32

Habitualmente, las respuestas a este problema seña- 3/4. El cerco del terrreno
lando lo que le conviene comprar a Antonio, son tres:
Los grupos comentan el problema e indican la respues-
• dos frascos ta obtenida. El procedimiento habitual para resolver este
• seis tiras problema es calcular el perímetro del terreno y dividir este
• un frasco y dos tiras resultado por 3. Así se obtiene el número de estacas nece-
sarias.
Esta última es la mejor respuesta porque corresponde
a la compra más barata y a la cantidad exacta de pastillas. El perímetro es:
Sin embargo, siempre hay alguien que argumenta en favor 2 (80 + 40) = 240 metros
de una de las otras dos: "es mejor que le sobren pastillas El número de estacas se calcula con la división:
porque así tiene para la próxima vez que se enferme", "en 240: 3 = 80 estacas
frasco, los medicamentos se conservan mejor", "en una Como don Aurelio tenía 100, sobran 20 estacas. Esta
compra de remedios no se alcanza a sacar este tipo de sería la respuesta al problema.
cuentas", "¿qué significa preguntar qué le conviene comprar
a Antonio?" Pero, ¿cuántas estacas se necesitan para cada lado del
terreno? La respuesta a esta pregunta se obtiene calculan-
do.-
La PREGUNTA es otro componente de un proble- 80: 3 = y 40:3=
ma. Es la que señala el tipo de respuesta espera-
da y orienta, en consecuencia, los procedimientos ¿Qué significa, para la distribución de las estacas, que
de resolución del problema. Responder la pregun- «la división no sea exacta»?
ta equivale a decir que el problema está resuelto.
Si la pregunta es ambigua, es probable que se ob- Si las medidas de los lados fueran múltiplos de 3, el
tengan diferentes respuestas, según como hayan resto sería cero; esto significaría que en cada esquina del
i nterpretado la pregunta quienes resolvieron el
terreno quedaría ubicada una estaca. Pero, en el problema
problema.
en cuestión, que al dividir 80 por 3 el cociente sea 26 y el
resto sea 2, significa, en l a práctica, que si la primera estaca

se ubica a 3 metros de la esquina, la estaca número 26 se
ubicará en el metro 78 y faltarán 2 metros para llegar a la
esquina siguiente. Para resolver el problema práctico de
cercar un terreno es necesario colocar una estaca en cada
una de las esquinas; por consiguiente, decir que se necesi-
tan 80 estacas noes una respuesta que solucione el problema,
si se respeta la condición de colocar las estacas cada 3
metros.
Sin embargo, el problema de don Aurelio puede tener
una o varias soluciones que no respetan totalmente la
condición impuesta. Por ejemplo, la siguiente:

En esta solución, entre cuatro pares de estacas hay
menos de tres metros.

Al resolver un problema es necesario confrontar la adecuado a este reparto equitativo de globos es el
solución que se obtiene por la aplicación de un de la división euclídea o división con resto. En la
MODELO MATEMÁTICO, con la solución real del elección del modelo matemático adecuado, las re-
problema. Si, por ejemplo, se trata de repartir 15 l aciones entre los datos juegan un rol decisivo. Si
globos entre 2 amigos, de modo que ambos reci- en el anterior reparto de globos los amigos fueran 3
ban la misma cantidad y se usa el modelo matemá- y no 2, no se presentaría discrepancia entre la solu-
tico de la división con decimales: 15 : 2 = 7,5 se ción matemática y la solución real del problema. En
obtiene una respuesta que es correcta desde el forma similar, si el terreno de don Aurelio midiera 60
punto de vista del modelo empleado, pero que no metros de largo por 30 metros de ancho, el número
resuelve el problema; no tiene sentido decir que ca- de estacas resulta del perímetro dividido por 3 co-
da uno recibe 7,5 globos. El modelo matemático rrespondería a una solución real del problema.

En la solución que se presenta a continuación, se opta Para esto se hacen los cálculos siguientes:
por una distribución más simétrica. Sólo las estacas de las • 525 x 4 = 2100, lo que debe pagarse por llevar los
esquinas distan menos de tres metros de las contiguas. cinco paquetes
• 2100: 5 = $420, el precio real de un paquete, en el
supermercado

En el almacén del frente, el precio del paquete antes de
hacer la rebaja de 20%, era igual a $525. Para calcular el
precio rebajado se pueden hacer los cálculos siguientes:

• determinar primero el 10% de 525, que es igual a
52,5
• luego, el 20 % es igual a 52,5 x 2 = 105 pesos de
rebaja
• En consecuencia, el precio rebajado es:
525 - 105 = 420 pesos

Después de estos cálculos Alfonsina sabe que puede
comprar el detergente en el supermercado o en el almacén
3/5. La propaganda para el detergente porque va a pagar lo mismo por cada paquete, aunque en el
supermercado está obligada a comprar 5 paquetes.
Los grupos ponen en común los resultados obtenidos y
l os procedimientos utilizados. ¿Significa, entonces, que no hay diferencia entre ambas
propagandas? ¿es lo mismo decir PAGUE 4 Y LLEVE 5 que
La forma más frecuente de enfrentar este problema es REBAJADO EN UN 20%?
hacer primero el cálculo de cuánto vale un paquete, según
la propaganda: pague 4 y lleve 5.

El siguiente cuadro puede ayudar a responder estas
preguntas: La resolución de problemas es un excelente medio
para lograr la comprensión del sentido de los con-
ceptos matemáticos, por ejemplo, los conceptos
de adición, sustracción, multiplicación, división,
etc. Su aprendizaje no consiste en la memoriza-
ción de una definición, sino que pasa por un pro-
ceso de construcción personal. En este proceso
juega un rol importante la CONTEXTUALIZACION
DEL CONCEPTO en problemas que sea interesan-
te resolver.
El profesor es quien define la intención didáctica
del trabajo con problemas: para aplicar operatoria
ya aprendida, que es lo más habitual, para con-
ceptualizar, para desarrollar habilidades especifi-
cas, etc.

Si se pagan 80 paquetes, se llevan 100; significa que se
paga el 80% o, que se ha hecho una rebaja: de cada100 Antes de finalizar el taller en cada grupo eligen el o los
paquetes que se llevan, 20 no se pagan, es un 20% de rebaja problemas que les parecieron más interesantes y también
respecto al precio de los 100 paquetes. los que les interesaron menos. Comentan las opiniones que
apoyan esta selección y, si es posible, establecen cuáles
Este procedimiento está apoyado en el concepto de son los puntos de acuerdo sobre qué hace que un problema
porcentaje. resulte interesante.

El mayor o menor interés que genera un problema
Actividad 5
no depende sólo del tema al que se refiere. Los te- Definamos la tarea
mas pueden ser no tan interesantes y puede dise-
ñarse un problema atractivo por las relaciones en- Cada profesor elige uno de los problemas analizados
tre los datos, o por la pregunta, o bien por las difi- en el Taller y se lo propone a una persona adulta, dejándole
cultades para generar una estrategia de solución, el tiempo necesario para que lo resuelva y pidiéndole luego
o por el sentido que el problema tiene para quien que explique cómo lo hizo. Registra los procedimientos
l o resuelve. utilizados y sus comentarios para llevarlos al siguiente Taller.

La diversidad de procedimientos para enfrentar un
problema y las diferentes maneras para llegar a
una respuesta dependen de cada sujeto.

En los momentos de intercambio de estos proce-
dimientos cobra gran relevancia el clima de con-
fianza que debe generarse al interior del taller, el
que permite a cada participante plantear sus opi-
niones, sus dudas, sus desacuerdos, reconocer
sus errores y además se produce una valoración
del trabajo cooperativo, de la necesidad de tiempo
para poder pensar y organizar un camino de solu-
ción al problema.

Taller 3/

Este Taller tiene como propósito, conducir a los participantes a analizar problemas atendiendo al nivel
de significación de la situación para el alumno, al propósito u objetivo del docente y a la formulación del
problema, de tal manera que, habiéndose apropiado de ciertos criterios de análisis, logren adaptar e
inventar problemas adecuados para el grupo de alumnos que cada profesor tiene su cargo.

Actividad 1 / Actividad 2 /
Comentemos la tarea Analicemos problemas
desde distintas
Cada profesor lee el informe escrito que ha preparado.
Luego, comentan las estrategias y procedimientos que em- perspectivas
plearon los adultos consultados para buscar solución a los
problemas elegidos y las respuestas que dieron, destacan- 2.1. Los problemas
do las coincidencias y discrepancias. Concluyen respecto a y la vida de los alumnos
si las situaciones seleccionadas fueron efectivamente pro-
blemas para las personas consultadas. Cada profesor participante lee los siguientes problemas:

Los huesillos

Doña Rosalía preparó huesillos de postre. Repartió
3 por plato. Sirvió 8 platos y le sobraron 3 hue-
sillos.
¿Cuántos huesillos preparó doña Rosalía?

Las blusas

Catalina tiene tres sobrinas. A cada una de ellas le
hizo dos blusas para el colegio. Para cada blusa
necesita siete botones.
¿Cuántos botones necesita Catalina?

alumnos u observada habitualmente en su medio?

Las láminas

Problema sí No
Diego colecciona láminas para un álbum. Tiene un
montón que no alcanzan a ser 50. Si las reparte en Los huesillos
partes iguales entre 6 amigos, le sobran 3 y si las
reparte entre 7 amigos, le sobran 4. Las blusas
¿Cuántas láminas tiene Diego? Las láminas

Andrea y Tomás

Andrea y Tomás
Los profesores se organizan en grupos para:
Andrea se pesa en el almacén de la esquina. La
pesa marca 46 kg. En ese momento llega Tomás y compartir las respuestas de la tabla y verificar las
se sube junto a Andrea a la pesa, ésta marca ahora coincidencias y discrepancias,
104 kg. dialogar acerca de la conveniencia de que las situacio-
¿Cuántos kg. más pesa Tomás que Andrea? nes presentes en los problemas respondan, en la ma-
yoría de los casos, a situaciones del contexto cultural de
los alumnos y
En relación a cada uno de los problemas leídos, cada hacer una lista de actividades de niños y adultos de la
participante del Taller, contesta la pregunta que se enuncia comunidad que pudiesen ser consideradas en la for-
a continuación y marca con una X, su respuesta en la mulación de problemas.
columna Sí o No de la tabla.
Cada profesor señala algunos temas queél seleccionaría
La situación que se presenta en el problema, ¿corres- para redactar problemas porque considera responden a las
ponde a una situación que puede haber sido vivida por mis vivencias de sus alumnos.

El conductor del Taller hace presente al grupo que las 2,/2. Los problemas y
situaciones que consideran las experiencias de vida de los l os propósitos docentes
alumnos facilitan su aprendizaje, ya que les permiten rela
cionar acontecimientos de su vida diaria con los contenidos Cada uno de los participantes escribe, en una hoja, una
que la es^,uela l es ofrece y de esta manera lograr una mayor respuesta a la siguiente pregunta:
comprensión del concepto, relación o procedimiento implí- ¿Cuáles son los propósitos que quiero lograr cuando les
cito en la situación. planteo problemas a mis alumnos?
Comparten sus respuestas y hacen un listado general
de propósitos docentes para la resolución de problemas.
En grupos, resuelven los siguientes problemas; toman
El docente que conoce el medio en que viven sus nota de los procedimientos que utilizaron para resolverlos y
alumnos, su cultura, sus intereses, está en ópti- de sus respuestas.
mas condiciones para seleccionar situaciones que
l e permitan generar los aprendizajes que se propo- Recogiendo duraznos
ne desarrollar en los niños. Lo anterior no descarta
l a posibilidad de presentar situaciones correspon- Ocho niños salen a recoger duraznos.
dientes a contextos más amplios, que el niño pue- Cada uno recoge tres duraznos.
de comprender, ya sea porque son hechos de ni- ¿Cuántos recogieron entre todos?
vel nacional, que puede conocer a través de los
medios de comunicación o porque constituyen te-
mas de estudio de otras asignaturas. Lo importan- El reparto de duraznos
te es asegurarse de que la situación facilita al
alumno el logro del propósito para el cual el profe- Entre 8 niños recogieron 21 duraznos y los reparten
sor la seleccionó. de manera que unos reciben 3 y otros 2, porque la
cantidad de duraznos no alcanza para darles 3 a
cada uno.
¿Cuántos niños recibieron sólo 2 y cuántos reci-
bieron 3 duraznos?

dientes, con el fin de facilitar el análisis.
Don Raimundo
Es muy probable que frente al problema: Recogiendo
Este año, don Raimundo ha decidido repartir, en duraznos, hayan empleado la multiplicación 8 x 3 = 24 para
partes iguales, toda la producción de duraznos dar solución al problema y que por lo tanto la respuesta sea:
entre sus tres hijos. El piensa que así cada uno se entre los ocho niños o entre todos, recogieron 24 duraznos.
responzabi¡izará de la venta Calcula que aproxi-
madamente deberán repartirse unas 4 700 cajas. Con seguridad, para ninguno de los participantes del
¿Cuántas cajas le corresponden a cada hijo? Taller éste fue un problema, porque todos reconocen esta
situación como de tipo multiplicativo, pero sí puede serlo, y
muy importante, para los alumnos que no conocen o recién
empiezan a conocer la operación de multiplicación. Los
Vendiendo duraznos niños emplearán otros procedimientos de resolución, como
por ejemplo: dibujar los ochos niños, frente a cada uno
Pedro vendió 30 cajas de. duraznos a $1500 cada dibujar tres duraznos y luego contar los duraznos, o bien,
una. Angélica dice que ella vendió el doble de tomar fichas para representar duraznos, hacer ocho
cajas de duraznos que Pedro y que obtuvo la montoncitos de tres fichas y luego contarlas, etc.
misma cantidad de dinero por la venta. ¿A qué
precio vendió Angélica la caja de duraznos? Trata
de contestar sin hacer cálculos escritos. Este problema podría permitir a los alumnos cons-
truir un nuevo concepto o idea matemática, por
esto debería estar presente al inicio del proceso
enseñanza-aprendizaje de un nuevo tema, de un
Los grupos se reunen para compartir los procedimientos nuevo contenído.
de resolución y las respuestas.
Es importante que una persona vaya anotando en un
pizarrón o papelógrafo los procedimientos de resolución Frente al problema: El reparto de duraznos; los profesores
empleados en cada problema y las respuestas correspon- podrán haber empleado procedimientos de solución como

los siguientes: sólo pudo darle a 7 niños y el problema dice que son 8. Si
• Son 8 niños y hay 21 duraznos. las reparte de a 2, verá que después de haber dado 2 acada
• Como8x2= 16 y 21-16=5 uno de los 8 niños le sobran 5 fichas. A partir de estas
quedan 5 duraznos, después de haber dado 2 a cada constataciones es posible que redistribuya las fichas y
uno de los 8 niños. llegue a la solución.
• Por lo tanto a 5 niños se les puede dar 3 duraznos.

• Son 8 niños y hay 21 duraznos. Conviene hacer presente que este tipo de proble-
• Como8x3=24 y 24-21 =3 ma podría permitir a los niños empezar a elaborar
faltan 3 duraznos para poder dar 3 a cada uno de los 8 relaciones matemáticas interesantes, proceso im-
niños. portante en la enseñanza de la matemática en el
• Por lo tanto a 3 niños se debe dar 2 duraznos. nivel básico, aún cuando ellos empleen procedi-
mientos primitivos de resolución.
Ambos procedimientos arriban a la respuesta: 5 niños
reciben 3 duraznos y 3 niños, 2 duraznos.
Para dar solución al problema de Don Raimundo, los
El problema El reparto de duraznoz seguramente de- profesores pueden haber hecho un ejercicio de división:
mandó un pequeño esfuerzo a los participantes del Taller, dado 4 700: 3 =1 566 y dirán que cada hijo recibe 1 566 cajas y
que pusieron en juego un conjunto de relaciones y tuvieron que sobran 2. Como se pedía decir el número de cajas que
coordinar más datos que en la situación anterior. recibiría cada hijo,se espera que la respuesta no haya sido
l a de la calculadora: 1 566,6666667, lo que nos llevaría a
Este problema podrá ser resuelto por los niños con decir que cada hijo recibió aproximadamente 1 567 cajas.
procedimientos que irán desde el tanteo sistemático hasta De todas maneras, es probable que este problema no haya
procedimientos similares a los empleados por los profeso- sido realmente problema para ningún participante del Taller,
res. pero sí será un problema para los niños que aún no conocen
o no dominan alguna de las formas de resolver ejercicios de
Es así, como un niño que toma 21 fichas para represen- división y para ellos puede ser interesante. Los alumnos
tar los duraznos y las reparte en grupos de a 3, constata que podrán pensar así:

• Si de las 4 700 cajas se da 1 000 a cada hijo se habrá Dar respuesta a este problema demanda a todos, al
repartido 3 000 cajas y quedan 1 700 por repartir. menos una lectura cuidadosa. Además, a los alumnos de
• De las 1700 cajas que quedan, se puede dar 500 a cada básica los lleva a hacer un esfuerzo para establecer una
hijo y se habrá repartido 1 500 cajas más, quedando relación de igualdad entre dos pares de factores: 30 x 1.500
sólo 200. y 60 x 750. Si uno de los factores se duplica, mantener la
• De las 200 que quedan, se puede dar 60 a cada hijo y igualdad exige que el otro se divida por 2; es decir, se
se habrá repartido 180 cajas más, quedando sólo 20. considere la mitad. Lo más probable es que la mayoría de los
• De las 20 que quedan se puede dar 6 a cada hijo y se niños haga por escrito el procedimiento de calcular el dinero
habrá repartido 18 cajas más, quedando sólo 2. obtenido por Pedro: 30 x 1 500 y luego divida este resultado
• Luego, cada hijo recibe 1 000 + 500 + 60 + 6, o sea por 60, para decir que Angélica vendió a $750 la caja de
1 566 cajas y sobran 2. duraznos.

Este tipo de problema podría facilitar, a los alum-
nos que aún no conocen una forma de resolver
ejercicios de problemas de operatoria, el proceso
de construcción de un algoritmo, y en el caso de
los niños que ya han aprendido el procedimiento
tradicional, podría apoyar la comprensión de pro-
cedimientos conocidos.

Los profesores, luego de leer el problema: Vendiendo
duraznos, pueden haber contestado que Angélica tiene que
haber vendido a $750 la caja de duraznos, porque si vendió
el doble de cajas y recibió la misma cantidad de dinero, debe
haber vendido los duraznos a la mitad de precio que Pedro.

Los profesores leen el listado general de propósitos
Este tipo de problema podría llevar a los alumnos docentes para la resolución de problemas que habían elabo-
a efectuar una aplicación de la operatoria en forma rado previamente, lo analizan y completan. Comentan aqué-
comprensiva. Es importante que el profesor plan- llos que les parecen más importantes de incorporar en la
tee este tipo de problemas a sus alumnos, para planificación de sus clases.
que ellos puedan aplicar lo aprendido y demostrar
el dominio que tienen de cada operación, así co-
mo de las relaciones entre éstas.
Al presentar un problema a los alumnos el profesor
puede perseguir propósitos distintos; que sus
alumnos construyan o generen un nuevo concepto
Actividad 3/
o idea matemática, que elaboren una relación ma- Adaptemos e
temática, que construyan un algoritmo de resolu-
inventemos problemas
ción de ejercicios de operatoria, o que evidencien
sus niveles de logro en algunos aprendizajes ma-
3/1. Análisis y adaptación de problemas
temáticos.
Es así como los problemas cobran sentido durante
El conductor hace presente al grupo que a continuación
todo el proceso enseñanza aprendizaje de un tema
analizarán un conjunto de problemas que han sido formula-
matemático y no pueden quedar reservados sólo
dos a partir de una situación común, las ofertas de un
para la etapa final con el único propósito de apli-
almacén.
cación de lo aprendido o con fines de evaluación.
Los profesores se organizan en grupos y se reparten los
problemas, de manera que cada grupo analice al menos dos
de éstos. Los resuelven y establecen diferencias en cuanto
a la cantidad de información que entregan y a la forma de
presentación de la misma.

A. Don Luis

Don Luis fue al almacén "La pulga saltarina", y
compró un bidón de 10 litros para la parafina. El
recibió de vuelto $ 410. ¿Con cuánto pagó don
Luis?

B. Las ofertas

La señora Juana fue al almacén y compró:

Compras Precio por unidad Total
2 kilos de azúcar
1 paquete de
manteca
2 rollos de papel
higiénico
1 tarro de jurel
Total

Completa la tabla y averigua cuánto gastó doña
Juana.

C. El té de Luisa

Luisa supo que en «La pulga saltarina» el té está
en oferta, pero que lo venden sólo en cajas de 100
bolsitas. Luisa cree que le conviene porque le va a
durar más de 15 días.
¿Cuántas personas toman té en la casa de Luisa?

D.Las compras de Isabel

¿Qué productos en oferta podría comprar Isabel
en "La pulga saltarina", con los $1500 que tiene, si
quiere que le den de vuelto al menos los $100 que
necesita para un pasaje de micro?

E. Las cuentas de Armando

Armando calculó que en las compras de almacén
no puede gastar más de $10 000 en la quincena.
Hoy pasó a «La pulga saltarina y compró 1 kilo de
tallarines y 114 kilo de vienesas.
¿Cuánto le dieron de vuelto, si pagó con un billete
de $ 5 000?

Comentan las diferencias encontradas en la formula- Es conveniente presentar enunciados de proble-
ción de estos problemas. mas que contengan sólo la información estricta-
mente necesaria y cuya carga verbal sea la indis-
Entre todos los participantes, completan con las pala- pensable para que el alumno pueda imaginar bien
bras Sí o No, la siguiente tabla que copian en el pizarrón o la situación, cuando el propósito es introducir un
en un papelógrafo. concepto, un algoritmo o llevar al alumno a visuali-
zar una nueva relación. Por otra parte, los enuncia-
dos de problemas que contienen datos no nece-
El enunciado... A B C D E F sarios para la elaboración de la respuesta, pero sí
pertinentes a la situación, son más adecuados
...tiene sólo los datos cuando el propósito que persigue el profesor es
necesarios. que los alumnos seleccionen datos y evidencien
una buena comprensión de la situación y de la
pregunta. Finalmente, aquellos enunciados de pro-
...tiene datos innece-
sarios blemas que no tienen información suficiente para
dar respuesta, sirven a propósitos de desarrollo de
... no tiene suficiente habilidades comprensivas, evitan la mecanización
i nformación. y cuando los alumnos responden justificando la
imposibilidad de dar respuesta revelan altos nive-
les de logro.
Comparten las respuestas dadas y las relacionan con los
propósitos que persigue el docente cuando presenta pro-
blemas a sus alumnos. Cada grupo elige uno de los problemas analizados,
para adaptarlo a un propósito distinto del que se visualiza en
la formulación dada, pudiendo introducir adaptaciones en
los datos, en la forma de presentación, en la pregunta, etc.

Comparten los problemas adaptados, analizan y justifi- exploración de soluciones y desarrollar la capaci-
can los cambios introducidos. dad de señalar la información que permitiría dar
una respuesta numérica.
Observan las respuestas dadas a los problemas A, B, C,
D, E y F y los clasifican en aquéllos que:
Así, frente al problema: «El té de Luisa», una buena
• tienen una respuesta numérica única respuesta es decir que no es posible señalar el número de
• tienen respuestas numéricas múltiples personas que toman té en la casa de Luisa, porque falta
• no tienen respuesta numérica información relativa al número de veces que toman té en el
día cada una de las personas, rendimiento que le dan a cada
Reflexionan acerca de cuándo es adecuado presentar bolsita, uso del té para otras personas, por ejemplo visitas,
a los alumnos cada una de estas categorías de problemas. etc. Es posible, dándose algunos supuestos, intentar una
aproximación de respuesta numérica; por ejemplo: en la
casa de Luisa hay como mínimo 3 personas que toman té, si
Es necesario utilizar problemas de respuesta nu- se supone que toman té dos veces al día y que cada persona
mérica única, cuando los alumnos se están inician- ocupa una bolsita cada vez, 3 personas en 15 días gastarían
do en un aprendizaje, reservar aquéllos de res- 90 bolsitas de té y como la caja trae 100 bolsas podría
puesta númerica múltiple para presentarlos a los cumplirse que dure más de 15 días como piensa Luisa. O
alumnos cuando ellos manejan los conceptos o bien, estimar que una bolsita de té es suficiente para que
relaciones implicadas, lo que les permite explorar una persona tome dos veces al día, yen ese caso pensar que
soluciones. Finalmente aquellos problemas, para en la casa de Luisa pueden tomar té 6 personas.
los cuales no es posible dar una respuesta numé-
rica, parece conveniente presentarlos ocasional- Cada participante elige uno de los problemas presenta-
mente para llevar a los niños a enfrentar desafíos dos en el Taller, para introducirle las modificaciones que le
diferentes, evitar la mecanización, afianzar la com- permitan aplicarlo a sus alumnos, teniendo en consideración
prensión de las situaciones y preguntas previo a la sus actuales necesidades de aprendizaje matemático. Estas
adaptaciones podrán hacer variar el propósito y el grado de

dificultad del proceso de resolución. Actividad 4/
Comparten los problemas adaptados, analizan y justi- Definamos la tarea
fican los cambios introducidos.
Los profesores se comprometen a aplicar a los alumnos
3/2. Creando problemas de su curso el problema: «Las blusas, y uno de los
problemas adaptados o inventados por ellos, los que serán
Cada profesor inventa un problema que considere analizados en el próximo Taller.
adecuado para su curso, lo escribe en una hoja de papel y
l o intercambia con otro participante. Acuerdan hacer algunas observaciones durante el tra-
bajo de problemas con los alumnos, respecto a:
Leen algunos de los problemas creados, señalan el
propósito docente más relevante y fundamentan la elección • l as reacciones de los alumnos al presentarles el problema
de la temática de cada uno de éstos. • las formas de resolución que emplean
• los comentarios que hacen durante el proceso de reso-
Analizan los problemas presentados, introducen modi- lución
ficaciones si es necesario.
Elaboran un informe escrito dando cuenta de las reac-
ciones, comentarios y procedimientos de resolución em-
pleados por los alumnos, frente a los problemas planteados.

Taller 4/

A través del análisis de los procedimientos utilizados por alumnos para resolver situaciones
problemáticas, los participantes se interesan por averiguar y, por lo tanto entender, como piensan los niños
cuando plantean sus propios procedimientos de solución, sean éstos conducentes o no a una respuesta
correcta. Además, comprenden y valoran los distintos procedimientos de solución, considerando este
proceso como una estrategia que entrega información para conducir el proceso enseñanza- aprendizaje.

Actividad 1 / Los participantes, en forma colectíva

Comentemos la tarea • I nforman en qué cursos se trabajó el problema.
• Analizan los caminos de solución que utilizaron los
Los participantes comentan su experiencia, relaciona- alumnos, en cada uno de los cursos en que se aplicó.
da con la aplicación de los problemas creados. Discuten las • Distinguen distintas formas de abordar el problema
temáticas seleccionadas, las reacciones de los alumnos y con dibujos, esquemas, números, entre otras.
los procedimientos empleados
Los participantes, en grupos revisan los procedimien-
tos que a continuación se presentan, obtenidos en una
aplicación individual del problema.
Actividad 2/
Más de un camino para
llegar a una respuesta
2/1. El problemas de las blusas
Catalina tiene 3 sobrinas. A cada una de ellas le
hizo 2 blusas para el colegio. Para cada blusa
necesita 7 botones.¿Cuántos botones necesita
Catalina?

(') En este Taller, el comentario de la tarea se divide en dos partes, la
primera se realiza en la Actividad 1, correspondiendo a la creación de
problemas. La segunda parte, la aplicación del problema de "Las
Blusas", se desarrolla en la Actividad 2.

53

Margarita, de segundo año básico, solicitó ayuda para una de las blusas , trazó tres pares de líneas, es decir seis
l eer el problema. Luego de escucharlo, dijo: «Latía Catalina líneas, y en cada una dibujó siete botones. Enseguida dijo:
tiene tres sobrinas, a la vez que hablaba iba dibujándolas; «Necesita catorce botones para las dos blusas y como son
l uego trató de leer nuevamente el problema, para enseguida tres sobrinas voy a sumar catorce más catorce más cator-
explicar y dibujar al mismo tiempo: «Le hizo dos blusas l a ce», escribió el ejercicio. Finalmente escribió su repuesta.
cada una». Margarita volvió a mirar los datos del problema
y dijo: «La tía Catalina necesita siete botones para cada
blusa». Empezóa dibujar los botones en cada blusa diciendo:
«uno, dos, tres, ..... . siete». Cuando terminó de dibujar los
botones, los contó todos de una vez y dijo: «Necesita
cuarenta y dos botones.

Julia, de tercer año, lee el problema y explica: «Voy a
dibujar unos palitos. Casi al borde de la hoja, dibuja por
cada botón un palote, diciendo: auno,dos tres,
cuatro ...... ..catorce», vuelve a repetir el conteo y dice: «aquí
hay parados blusas; repite lo mismo dos veces más, cuenta
el número de palotes que hay en cada conjunto y comenta:
Constanza, de tercer año, leyó el problema y explicó: apara cada dos blusas necesita catorce botones y como son
«Voy a dibujar primero los botones que necesita para cada tres sobrinas, la tía ... _, piensa un poco, mira y dice: «voy a

sumar catorce más catorce más catorce, ¿si? ¿no es cier- • Comparan los procedimientos de estos alumnos, refle-
to?». Al contestársele afirmativamente, escribió el ejercicio y jados en los relatos leídos, con los utilizados por sus
su respuesta. alumnos.

2/2. El proaiema de los transportes

Quince amigos organizan un paseo.Disponen de 5
bicicletas y 2 coches tirados por caballos. Los
coches tienen una capacidad de 3 personas, cada
uno.¿Cuántas personas se deben ir a pie?

Los participantes, en grupos:

Leen el problema.
Revisan los trabajos que a continuación se presentan,
resultantes de una aplicación individual del problema.
En esta revisión se sugiere observar, entre otros aspec-
tos, el papel que juega el dibujo y el orden en que
Rosa, de cuarto año, lee el problema y comenta: Es realizan los ejercicios.
fácil, para cada blusa necesita siete botones y Catalina hace Escriben un pequeño relato del razonamiento, que
dos blusas, así que voy a sumar siete más siete», escribe el piensan, siguió cada uno de los niños, para desarrollar
ejercicio y una respuesta parcial. Luego vuelve a explicar: el problema.
«Como las sobrinas son tres, ahora sumo catorce más Plantean, por escrito, las preguntas o dudas que pue-
catorce más catorce». Rosa realiza el ejercicio y escribe, por den haber manifestado los niños, cuando estaban resol-
últi mo, su respuesta. viendo el problema.

• Ponen en común, los análisis y conclusiones.

2/3 El problema de los duraznos

Entre 8 niños recogieron 21 duraznos y los reparten
de manera que unos tendrán 3 y otros 2, porque la
cantidad de duraznos no alcanza para darles 3 a
cada uno.
¿Cuántos niños recibieron sólo 2duraznosycuántos
recibieron 3?

Los participantes, en grupos

• Leen el problema.
• Imaginan y escriben procedimientos de solución que
podrían utilizar los alumnos de diferentes cursos, para
abordar el problema.
• I maginan y escriben posibles errores en que pueden
i ncurrir los alumnos, de los distintos cursos.
• Revisan y comentan los procedimientos para resolver el
Javiera, de segundo año básico, dibujó primero los
problema, que se presentan a continuación.
ocho niños, luego comenzó a repartir los duraznos a los
niños, dibujándole uno a cada uno. Al repartir contaba:
"uno,dos,tres,cuatro,etc «.Cuando llegó al número veintiuno
trazó una raya divisoria y dijo:- Estos (mostrando los cinco
niños dibujados) recibieron tres y éstos (mostrando el resto
de los niños dibujados) dos» Se le pide, por último, que
escriba la respuesta.

Hugo, de tercer año, leyó el problema, escribió primero
su esquema de resolución y dijo: «tengo que dividir veintiuno
por tres». Hizo el ejercicio y explicó: « a todos los niños les
tocaron tres duraznos . Se le pidió que leyera el problema de
nuevo, Hugo miró y escribió su respuesta.»

Marcelo, también de segundo año básico, dibujó los
veintiún duraznos, luego los agrupó todos de a tres, enseguida
contó los grupos y dijo: a Ah , no me alcanza para los ocho
niños, me alcanza para siete». Pensó un poco, enseguida
tomó su goma y borró algunas de las agrupaciones volvió a
contar y a agrupar, para después decir la respuesta correcta
y escribirla.

Caria, de cuarto año, necesitó inicialmente de un apoyo
gráfico, el cual finalmente borró, para luego establecer
Actividad 3/
relaciones entre los grupos formados y la correspondiente Definamos la tarea
multiplicación.
La invención de problemas, por parte de los alumnos,
es una actividad que nos brinda excelentes oportunidades
para conocerlos, en cuanto a sus intereses, sus conflictos,
sus relaciones entre pares, constituyéndose además, en una
actividad muy significativa para ellos.

I nstrucciones para los profesores:
• Proponga a sus alumnos inventar problemas; la organi-
zación del curso puede ser en parejas o en grupos. No
les sugiera temas, sólo motívelos para que se sientan
capaces de hacer el trabajo.
• Una vez terminada la experiencia, haga un resumen de
l as temáticas abordadas por los alumnos, informando
sobre la coherencia de los problemas y el tipo de
preguntas formuladas.
• Seleccione algunos de los problemas, para llevarlos al
próximo Taller.

Taller 5/

Con este Taller se pretende estimular la reflexión de los profesores, tanto sobre lo que hacen como
sobre lo que podrían hacer, cuando plantean problemas a sus alumnos. Entre los quehaceres reales y
posibles, se trata de que identifiquen aquéllos que pueden ayudar a los alumnos en el aprendizaje de la
resolución de problemas.

Actividad 1/
En la clase de Mari Carmen
Comentemos la tarea
M.C. dice: « ¡A ver niños, hoy vamos a resolver un problema!».
Los profesores muestran los problemas inventados por M.C. dicta el problema.
sus alumnos. Cuando los niños han terminado de resolverlo, M.C. pregunta:
«¿Cuál fue la respuesta?»
Comentan qué expectativas tenían, antes de proponer Los niños dan diversas respuestas y M.C. las anota en el
esta actividad a sus alumnos y las contrastan con los pizarrón, sin indicar cuál es la correcta.
resultados encontrados. M.C. dice: «Hay tres respuestas diferentes: 25, 38 y 42. Juanito,
a ti te salió 25, pasa al pizarrón y explícanos cómo lo hiciste».
Analizan las temáticas escogidas por sus alumnos
para inventar problemas, la coherencia de las situaciones
planteadas, el interés de las preguntas formuladas. En la clase de Ramón

I ntercambian algunos de los problemas planteados en R. dice: «Ya que estamos hablando de enfermedades, les voy
un curso para proponerlos a los alumnos de otro curso. a poner un problema de remedios. Anita, ¿qué te recetó el
doctor cuando fuiste al consultorio?» Varios niños cuentan qué
remedios les dieron. R. s e interesa por la frecuencia con que
l os tomaron.
Actividad 2/ R. plantea un problema en el que, a partir de la receta que dio
el médico, hay que determinar cuántas pastillas tiene que
Las etapas de la tomar el paciente y a qué horas debe tomarlas.
resolución de un problema Los alumnos resuelven el problema, trabajando por grupos.
Mientras, R. se pasea entre los grupos y se fija en lo que están

En grupos, los profesores leen los siguientes registros de haciendo. Cuando terminan, R. dice: "Ahora guarden sus

clases. cuadernos porque nos toca musicá .

Un esquema para orientar el trabajo
En la clase de Julia en resolución de problemas

J. dice: «Abran su libro en la pág. 59 y lean el problema N4 4». Aprender a resolver problemas no significa sólo asimilar
Después de un rato, J. pregunta: «¿Quién puede explicar de técnicas para aplicarlas en determinados casos. Significa
qué se trata este problema?» Varios alumnos intervienen. también atreverse a buscar una respuesta cuando no se
J. ayuda a organizar la información: «A ver, qué es lo que sabe cómo llegar a ella, probar diferentes caminos y descar-
sabemos?... ¿Y qué nos preguntan?... » Anota en el pizarrón los tar los que no acercan a la solución, compartir las propias
datos y la pregunta. ideas y aceptar sugerencias de los compañeros o del
J. dice: «Muy bien, ahora que está claro de qué se trata el profesor, reconocer sus dificultades y pedir ayuda para
problema, ¿pueden imaginarse más o menos cuánto va a ser superarlas, explicar los procedimientos seguidos y funda-
el resultado? ¿Cuánto crees tú, Manuelito?...» Va anotando las mentar las respuestas encontradas.
estimaciones en un borde del pizarrón.
J. dice: Bueno, ahora pónganse a trabajar. Pueden hacerlo Se aprende a resolver problemas, resolviendo proble-
solos o en grupos, como Uds. quieran. mas en clase. Si en una clase no se alcanza a completar el
Los niños resuelven el problema. Cuando han terminado, J. trabajo con un problema, es necesario retomarlo en la
pregunta qué resultado obtuvieron. próxima clase.
Una vez identicada la respuesta correcta, J. pregunta: «¿Quién
estuvo más cerca del resultado, en su estimación?». Lo veri- Etapa 11 Cuando se plantea el problema
fican, mirando las anotaciones del borde del pizarrón.
Qué problemas elaboramos o elegimos, entre los pro-
puestos por los alumnos: un tema interesante, una
En cada grupo los profesores comentan lo que hicieron pregunta relevante, un contenido matemático adecua-
Mari Carmen, Ramón y Julia y lo comparan con lo que ellos do.
hacen cuando plantean problemas a sus alumnos. Cómo los presentamos: en relación con otras
asignaturas, con participación de los alumnos, en forma
En grupos, los profesores leen el siguiente texto. oral, escrita o con dibujos.
Cómo averiguamos si los alumnos han comprendido un

problema: dificultades de comprensión que surgen y • Qué hacemos: desplazarnos por la sala, fijarnos en los
cómo enfrentarlas. procedimientos de los alumnos, atender a sus pregun-
Qué indicaciones damos para orientara los alumnos en tas, permanecer en estado de alerta.
la resolución de un problema: pocas, las mínimas sufi- • Cuándo intervenimos: cuando los vemos distraídos o
cientes para que empiecen a trabajar. haciendo otra cosa, cuando los notamos demasiado
abrumados. En este último caso, les damos alguna pista
para que puedan seguirbuscando, pero no les decimos
En síntesis: directamente cómo llegar a la solución.
Busquemos problemas interesantes para los alum-
nos.
Conversemos con ellos hasta estar seguros de que En síntesis:
comprenden el problema planteado. Respetemos el trabajo de los alumnos, dejémoslos
No les digamos lo que tienen que hacer para resol- tranquilos.
verlos; dejémoslos buscar, explorar, decidir por sí Permitámosles conversar sobre lo que hacen y ele-
mismos lo que harán. gir sus procedimientos y apoyos.
Permanezcamos atentos a lo que está sucediendo
en la clase, listos para intervenir cuando nos parez-
Etapa 21 Mientras los alumnos trabajan ca necesario.

• Qué procuramos: que los alumnos se sientan tranquilos,
con tiempo suficiente para pensar y para poner en Etapa 31 Cuando el problema ya está resuelto
práctica las ideas que se les vayan ocurriendo.
• Qué permitimos: que los niños se comuniquen mientras • Qué respuestas dieron los alumnos: pedimos que digan
trabajan, que intercambien opiniones, que conversen su respuesta; registramos todas las que nos dan en el
sobre cómo resolver el problema. También, que cada pizarrón, sin decir cuál es la correcta.
uno use el procedimiento que más le acomode, apoyán- • Qué procedimientos usaron: pedimos a algunos alum-
dose en materiales concretos, dibujos, esquemas u nos que expliquen cómo procedieron para llegar a su
operaciones con números. respuesta, incluyendo los tanteos iniciales; ponemos en

evidencia eventuales errores, explicándolos sin desva- Los profesores identifican, en el video, acciones corres-
lorizar el trabajo de los alumnos que los cometieron. pondientes a cada una de las etapas descritas en el texto«Un
Cuál es la respuesta correcta y el procedimiento más esquema para orientar el trabajo en resolución de proble-
eficiente: identificamos la respuesta correcta y compa- mas».
ramos los procedimientos que permitieron obtenerla
para identificar el más sencillo, seguro y eficaz.

En síntesis:
Actividad 3/
Pongamos en común las respuestas obtenidas y Para que todos
los procedimientos seguidos. lleguen a la cumbre
Identifiquemos la respuesta correcta y el mejor pro-
cedimiento para obtenerla, dentro de las posibilida- 3/1. Un ejercicio de imaginería
des del grupo curso.
El conductor del Taller pide a los profesores que se
pongan cómodos, cierren los ojos y recuerden una expe-
Trabajando en grupos, los profesores identifican, en el riencia personal en la que hayan sentido que fracasaban
esquema anterior, a qué etapas corresponden las actividades en algo. Les pide que se concentren en los sentimientos
realizadas por Mari Carmen, Ramón y Julia. que experimentaron, que traten de revivirlos.

Cuando terminan el trabajo grupal, ponen en común lo Después de abrir los ojos, los profesores comparten
que les pareció más interesante de lo realizado por estos sus vivencias.
tres profesores, refiriéndolo al texto leído.

La i ncapacidad de resolver un problema puede ser
Se recomienda ver el video: «Problemas: Comuni- vivida por los alumnos como una experiencia de
dad y Escuela, del Programa de las 900 Escuelas. fracaso. ¿Qué podemos hacer para evitarlo?

El conductor del Taller comenta con los profesores la ventaja y el riesgo especificados.
i mportancia de que, cuando se resuelve un problema en la
clase, todos los niños logren llegara la respuesta, cualquiera Finalmente, deciden si el recurso les parece o no
sea el procedimiento que les permita encontrarla. adecuado para aplicarlo en sus cursos y registran su deci-
sión en la siguiente Tabla.
3/2. Calificando recursos metodológicos

En esta actividad los profesores trabajarán con dos 2 3 4 5 6 7 8 91011
li stas: Recursos ventajosos
Lista de recursos metoaológicos que contiene aquellos Recursos riesgosos
recursos que puedan ser utiles para procurar que todos los
alumnos resuelvan los problemas planteados en clase. Al término de la actividad, cada grupo informa a los
Lista de ventajas y riesgos correspondientes a cada uno demás cuáles sonios tres recursos que le parecieron más
de los recursos de la lista anterior ya que ninguno es importantes, entre los que eligieron como ventajosos.
infalible.

Materiales: Dos dados para cada grupo de profesores. Lista de recursos metodológicos

En grupos, cada profesor lanza los dados. 2 Plantear problemas interesantes para los
alumnos. También se les puede proponer un tema y
Busca, en la primera lista, un recurso metodológico pedirles que hagan preguntas y precisen qué datos
correspondiente al puntaje obtenido. Si el recurso ya ha sido necesitan para responderlas. Ejemplo:
sorteado o si le sale doble seis. vuelve a tirar los dados. En Tema: Un partido de foot-ball. Pregunta: Dinero recau-
cualquier otro caso, lee la descripción del recurso y da su dado. Datos: Entradas vendidas y sus precios:
opinión sobre su utilidad.
3 Ayudar a la comprensión del problema planteado. Ha-
Luego comentan, en el grupo, la tactibilidad de este cerles preguntas, pedirles que expliquen lo que enten-
recurso para cada uno de ellos y leen, en la segunda lista, la dieron, que identifiquen la pregunta y los datos.

4 Disminuir la dificultad del problema planteado. Si los material concreto, o que hagan dibujos o esquemas,
niños no se sienten capaces de resolverlo, estimularlos pero de acuerdo a sus propias ideas.
para que lo intenten; si la mayoría no sabe qué hacer,
cambiar el problema por otro más simple, por ejemplo, 10 Ayudar a los alumnos que están con muchas dificulta-
con datos nunféricos más pequeños. des, durante la resolución. Conversar con ellos, darles
ánimo y sugerirles alguna manera de superar la dificul-
5 Pedir que estimen el resultado, antes de resolver un tad que enfrentan.
problema. Al final, comparar la respuesta correcta con
las estimaciones, destacando las mejores aproximacio- 11 Dedicar tiempo al análisis de las respuestas obtenidas
nes. y de los procedimientos empleados por los alumnos.
Pedir a algunos que expliquen cómo resolvieron el
6 Darles tiempo suficiente para que todos alcancen a problema, para comparar los distintos procedimientos
resolver el problema. No presionarlos, ni permitir que se e identificar la respuesta correcta.
genere un ambiente tenso.

7 Permitir que los alumnos se comuniquen, mientras re- Lista de ventajas y riesgos
suelven el problema, tanto si están trabajando indivi-
dualmente como si lo hacen en grupos. En este último Ventajas Riesgos
caso, permitirles que se distribuyan tareas parciales.
2 Que se sientan moti- Que se entusiasmen
8 Prestar atención a los diferentes caminos que están vados para trabajaren tanto hablando del
siguiendo los alumnos para resolver el problema. Reco- el problema. tema que el problema
rrer la sala, fijarse en lo que están haciendo y, si no se les resulte irrelevante
entiende qué está tratando de hacer un alumno o un
grupo, preguntárselo. 3 Facilitarles la tarea de Darles demasiada in-
relacionar adecuada- formación sobre lo que
9 Permitirles que recurran a cualquierprocedimiento para mente los datos. tienen que hacer para
tratar de resolver el problema. Sugerirles que usen resolver el problema.

Ventajas Riesgos Ventajas Riesgos

4 Que los niños desa- Que se acostumbren a tren su resultado al
rrollen su confianza en no esforzarse para en- profesor y luego reali-
su propia capacidad frentar actividades cen otra actividad.
deresolverproblemas. complejas, a no asu-
mir el riesgo de equi- 7 Que a medida que al- Que algunos alumnos
vocarse. gunos alumnos en- trabajen y otros sólo
cuentren procedi- copien, sin entender lo
3 Que los niños desa- Que crean que no es mientos adecuados que hacen.
rrollen su capacidad necesario resolver el para resolver el pro-
de cálculo mental problema, que basta blema, éstos se difun-
aproximado. Que dis- con estimar el resulta- dan a través del curso,
pongan de una refe- do. sin que sea el profesor
rencia para controlar quien los impone.
sus respuestas y co-
rregir errores gruesos 8 Aprender acerca de Perturbar el trabajo de
de cálculo. las diversas formas los niños. Dedicarse
que usan los niños mucho a algunos
6 Que los alumnos per- Que los-que terminan para resolver los pro- alumnos y descuidara
ciban que su trabajo primero se aburran, o blemas. los otros.
es respetado y valo- les den la respuesta a
rado. los otros. Para contra-
rrestar este riesgo se 9 Que adquieran confian- Que elijan procedirnien-
les puede pedir a los za en su capacidad inte- tos laboriosos e inade-
niños que, a medida lectual, a partir de expe- cuados, con los que tra-
que terminen, mues- riencias exitosas. bajarán mucho sin llegar

Ventajas Riesgos Actividad 4/
a ninguna parte. Que no Y también
se esfuercen por aplicar ayudémoslos a progresar
sus nuevos conocirrlen-
tos yse queden con pro- El conductor del Taller comenta con los profesores que
cedimientos más ele- es necesario que todos los alumnos resuelvan, de alguna
mentales. manera, los problemas planteados en la clase, pero que esto
no basta.
10 Evitar que loes alumnos Darles demasiada infor-
se angustien y desarro- mación privándolos de la
llen una actitud negativa oportunidad de pensar
hacia la matemática. por sí mismos.

11 Apoyar la corrección en Que los niños se burlen
argumentos y demostra- de los que llegaron a res-
cionesynosóloenloque puestas erróneas. Que se
dice el profesor. Mostrar confundan, al no enten-
quepordistintoscaminos der los procedimientos
se puede llegar a un re- desuscomparñeroas. Que
sultadocorrecto. Mostrar se desinteresen y no se
que hay procedimientos escuchen entre sí.
más rápidos, más segu-
ros o más sencillos que
otros.

En grupos, los profesores intercambian sus ideas para 3 Después de resolver un problema, poner en común los
responder a esta última pregunta. procedimientos empleados por los alumnos y compa-
Luego, ponen en común las ideas que surgieron y rarlos, mostrando cuáles son más rápidos, más seguros
hacen una lista de ellas. o más sencillos.

Para complementar su lista, los profesores leen las 4 Proponer, a los alumnos que dominen un determinado
siguientes recomendaciones. Evalúan su adecuación para procedimiento de resolución, que lo expliquen a otros
l ograr que los alumnos se habitúen a utilizar los procedimien para que traten de aplicarlo a un problema similar. Es
tos más rápidos, más seguros y más eficientes que tienen a decir, fomentar la difusión de los procedimientos más
su disposición, cuando resuelven problemas. eficientes entre los alumnos.

5 Ejercitar la asimilación de sumas de dígitos y de pro-
Recomendaciones ductos de dígitos. Esto puede contribuir a que los ni-
dos se sientan más seguros en el uso de la operatoria
1 Plantear el mismo problema, varias veces, proponien- aritmética.
do, a modo de desafío: «A ver si ahora lo pueden resol-
ver sin material, o sin sumar...» 6 Pedir a los alumnos que inventen problemas cuyo pro-
Si hay alumnos que se bloquean con esta restric- cedimiento de resolución más eficiente corresponda a
ción, permitirles que resuelvan el problema como una operación determinada, como 28 x 7, por ejemplo.
ellos saben y repetir el desafío más adelante. De está manera, tendrán que reflexionar sobre el senti-
do de las diversas operaciones.
2 Plantear problemas que correspondan a variaciones de
otros que ya han sido resueltos. Por ejemplo, aumentar Por más que se quiera que los alumnos usen los
el número de objetos de manera que a los alumnos les procedimientos más adecuados para resolver determinado
resulte más práctico hacer un cálculo numérico que di- tipo de problemas, no es conveniente decirles qué procedi
bujarlos. miento deben emplear, al plantearles un problema. Hay que
dejar que ellos decidan lo que van a .hacer, para que
aprendan a escoger, dentro de su repertorio de conocimien-

tos, aquéllos con los que se sientan más seguros y que crean Actividad 5/
que les servirán para resolver el problema. A sí adquirirán
métodos de trabajo; aprenderán a organizar las informa- Definamos la tarea
ciones, a identificar las incógnitas, a planear una estrategia,
etc. Esto les permitirá atreverse a abordar la resolución de Entre los recursos que han sido considerados como
problemas muy diversos. ventajosos, cada profesor elige dos, que no utilice habitual-
mente y le interese poner a prueba. Planifica su aplicación al
proponer un problema para que sus alumnos lo resuelvan en
En síntesis, para que los alumnos se apropien de l a clase.
los procedimientos más eficientes para resolver un
tipo determinado de problemas, lo único que de Elabora un informe escrito, indicando:
ninguna manera conviene decirles es: «esto es lo • Qué recursos eligió y por qué le interesaron
que tienen que hacer». Tal consejo les servirá para • Qué problema propuso a sus alumnos
resolver el problema actual pero no les ayudará a • Qué dificultades experimentó, para aplicarlos recur-
abordar el siguiente. sos seleccionados
• Qué conclusiones puede sacar sobre la factibilidad
de usar esos recursos con sus alumnos

Taller 6/

Este Taller propone que los profesores visualicen la importancia y necesidad de estimular el desarrollo
de las nociones espaciales, en los alumnos, a través de su participación en situaciones que las involucren.
Además se presentan actividades, destinadas a los niños, relacionadas con orientación, organización y
estructuración del espacio.

Actividad 1/ de plano, códigos y referentes utilizados en su representa-
ción, relaciones espaciales y conceptos geométricos que
Comentemos la tarea utilizaron.

Los participantes, en conjunto, hacen una lista de los
Entenderemos por plano la representación gráfica
recursos metodológicos utilizados en el desarrollo de la
-de un terreno, de una ciudad, de una casa, etc.-
experiencia con los alumnos. Comentan los criterios de
realizada sobre una superficie. Se diferencia del
selección, destacando las coincidencias.
mapa, en que éste es una representación topográ-
fica de la Tierra, de sus accidentes geográficos o
Cada participante lee el problema que planteó en la
realidad geo-política.
clase. Conversan acerca de la temática de los problemas
creados e intercambian opiniones sobre los resultados ob-
tenidos en la experiencia con los alumnos. 2/2. Comunicando recorridos

Los participantes se organizan en grupos. Cada grupo
Actividad 2/ elige un lugar conocido por todos; por ejemplo, la plaza, el

Ubicándonos en el espacio Correo, la Municipalidad, etc. El lugar elegido no es comu-
nicado a los otros grupos.

2/1. Construyamos un plano del lugar Tomando como punto de partida el lugar de reunión,
elaboran las instrucciones necesarias para realizar un reco-
En grupos de trabajo, los integrantes del Taller hacen un rrido que debe permitir a otras personas llegar al lugar
plano del fugar donde se está desarrollando la reunión, seleccionado. Las instrucciones del recorrido deben darse
determinando algunos referentes que faciliten su ubicación. por escrito, en un papelógrafo, sin indicar el nombre ni
ninguna otra pista que permita identificar el lugar de llegada.
Una vez concluido el trabajo, los planos se exponen y se La forma de comunicar las instrucciones la elige cada grupo,
procede a realizar un comentario sobre la actividad desarro- pudiendo éstas ser, por ejemplo: planos, información codi-
ll ada, desde diferentes puntos de vista; por ejemplo: concepto
ficada, descripción de caminos, etc.

• I ntercambian las instrucciones entre los grupos, para
Actividad 3/
que éstas sean analizadas. La intención primera es
comprobar si se comunica lo solicitado, es decir, si el
Revisemos actividades
punto de llegada descubierto por un grupo coincide para el desarrollo de la
con el determinado por el grupo que propuso el reco- ubicación espacial
rrido. Si no se logra esta coincidencia, el grupo que
i nterpreta el recorrido, debe proponer las modificacio-
nes respectivas, sin cambiar la forma de comunicación. Las actividades siguientes tienen como propósito
que los niños desarrollen habilidades para ubicar-
• Exponen los papelógrafos, con el propósito de analizar se en el espacio, que sean capaces de organizarlo
el nivel de claridad del mensaje y visualizar diferentes y estructurarlo. .
formas de comunicar las instrucciones. En caso de que El niño, tanto en su vida escolar como en la ex-_
fueran todas muy semejantes, se intercambian opinio- traescolar necesita manejar relaciones espaciales,'
nes para que entre todos busquen otras posibilidades por ejemplo, relaciones de vecindad, distancia, po-
de comunicación. siciones relativas, etc. Aprender a ubicarse en el
espacio, en su entorno próximo, significa, también,
• Expresan las dificultades que se les presentaron al ser capaz de utilizar un vocabulario que 1e permita
realizar la tarea. Estas pueden estar referidas a. las diferenciar ubicaciones relativas a un referencial.
habilidades de ubicación u orientación espacial, a la
forma de organización de las instrucciones, al estilo de El niño, al inicio del desarrollo de las nociones es-
comunicación u otros. paciales tiene como referencia¡ su propio cuerpo,
describe la posición de los objetos o personas
• Reflexionan, en conjunto, acerca de las relaciones es- que están cerca suyo, con respecto a su propia
paciales y conceptos geométricos que utilizaron al orientación. Más adelante logra utilizar otros cefe-
cumplir la tarea encomendada. Por ejemplo: puntos renciales que pueden ser fijos o móviles, logrando
cardinales, calles paralelas, calles perpendiculares, describir ubicaciones con respecto a otras perso-
lateralidad (izquierda-derecha), otras relaciones espa- nas u objetos; de esta forma aprende a ubicarse
ciales (arriba, abajo, atrás, entre, etc.). como un objeto entre otros.

Los participantes revisan el conjunto de actividades aproximado al largo del paso que puedan dar los niños.
que se proponen a continuación, destacan, en algunas de Primero se determinan puntos de partida, luego por
éstas, las posibilidades de integración con otras asignaturas turno los niños se desplazan por el cuadriculado, obe-
e incrementan el listado con otras ideas. deciendo las órdenes dadas por el profesor; por ejem-
plo: dos pasos hacia adelante, uno hacia la izquierda,
3/1. En el patio tres hacia atrás, etc. Una variación posible es que un
niño recorra un camino por el cuadriculado y otro
• Los niños juegan a Simón manda: El profesor registre, de alguna forma, los desplazamientos que está
prepara el terreno ubicando algunos objetos visibles en realizando. Entre todos inventan códigos que permitan
el patio, que pasan a conformar puntos de referencia; comunicar, por escrito; los desplazamientos que se
por ejemplo, una caja grande de cartón, una mesa, una realizan en el cuadriculado. De esta forma, dado un
silla, etc. Saca los niños al patio y da órdenes que ellos código, el niño podrá desplazarse por el cuadriculado
deben obedecer. «Simón manda ubicarse a la izquierda marcado, o viceversa.
de la mesa. «Simón manda ubicarse delante de la
caja. Simón manda ubicarse entre la silla y la mesa.
«Simón manda convertirse en estatua». «Simón manda
a la estatua girar media vuelta». «Simón manda a la
estatua girar un cuarto de vuelta», etc. Los niños que
tardan en llegar a la ubicación o se equivocan, pueden
dar prenda, para luego cumplir alguna penitencia.

• Los niños se desplazan en cuadriculados
marcados con tiza: Para la actividad se necesita • Los niños registran desplazamientos en cua-
que un sector del patio esté cuadriculado. Dependiendo driculados marcados en hojas de papel: En hojas
del curso, se recomienda realizar con los alumnos este de papel cuadriculado y utilizando el código convenido
cuadriculado, por ser una excelente actividad para en la actividad anterior, los niños registran o interpretan
aplicar conceptos de paralelismo,y perpendicularidad, recorridos, desplazándose en el plano representado
entre otros. El tamaño de cada cuadro debe ser por el papel.

A continuación se muestra un ejemplo. ¿quién se sienta entre Luisa y Ana?, etc. El niño contes-
ta, dando el nombre del compañero. También se puede
jugar a que los niños contesten verdadero o falso, frente
a proposiciones dichas por el profesor, por ejemplo, él
dice: Eugenio se sienta a la izquierda de Yolanda, los
niños contestan verdadero o falso.

• Los niños cacen su ubicación en la sala: El pro-
fesor le pide a los niños que digan su ubicación en la sala,
el niño seleccionado parte diciendo su nombre y agregan
do como información su ubicación en relación a otro niño,
por ejemplo: me llamo María y me siento delante (detrás, a
la derecha, a la izquierda, etc.) de Marcelo .

• Los niños se ubican en la sala de clases,
tomando en cuenta un referente: Todos los niños
Las dos actividades anteriores cumplen con el pro- pasan a pararse cerca del pizarrón. El profesor se sienta
pósito de codificar y decodificar una acción de en algún lugar de la sala y da instrucciones como las
desplazamiento, poniendo a su vez en práctica un siguientes: Elena siéntate a mi derecha, Lucía siéntate
vocabulario de relaciones tales como: izquierda- a mi izquierda, Luis siéntate delante de Lucía, etc.
derecha, avanzar-retroceder, arriba-abajo, etc.
Se sugiere que estas actividades se centren en el
desarrollo de las relaciones: izquierda-derecha, delante-
3/2. En la sala de clases detrás y entre.

• Los niños dicen el nombre de un compañero: Si los niños ya saben identificar sus nombres escritos,
el profesor hace preguntas como las siguientes a algún podemos realizar actividades como las que se presentan a
niño del curso: ¿quién se sienta delante de Rosa?, continuación.

• Los niños establecen relaciones espaciales con las del plano. En caso de detectar errores, tos niños
que, se presentan entre parejas de compañe- pueden hacer las correcciones correspondientes, para
ros: El profesor escribe el nombre de dos niños en la finalmente pegar las tarjetas en el papel.
pizarra, y pide a los alumnos que digan alguna frase que
relacione sus ubicaciones. Por ejemplo, un niño podría Como paso siguiente, el profesor levanta el plano del suelo
decir: Ana está a la izquierda de Marcelo, el profesor y lo. coloca en posición vertical, para que los niños logren
enseguida deberá hacer reflexionar a los niños preguntan- establecer relaciones entre los dos puntos devista, horizontal
do ¿y cómo está ubicado Marcelo en relación a Ana?, con y vertical. Ellos deben realizar todas las acciones que les
el propósito de establecer la simetría de la relación dada. permitan comprobar sus ubicaciones, porejemplo, mirando
Una variación de esta actividad podría ser la siguiente: los el plano los niños reconstituyen dos o tres hileras que
niños, trabajando en grupo, escriben una orden, para que correspondan a sus posiciones en la sala, relacionan las
sea obedecida por dos o tres compañeros. Por ejemplo: ubicaciones arriba en el plano, con adelante en la sala;
María se sienta delante de Julia y Julia delante de Luis. abajo en el plano, con atrás en la sala.

• Los niños construyen el plano de su sala de Otra actividad posible de realizar, a continuación de la
clases: El profesor reparte a cada niño una tarjeta, anterior, es entregar a cada niño una hoja de papel que
para que escriba su nombre. En el suelo ubica un papel, contenga el dibujo del plano de la sala de clases, donde
en éste se han marcado algunos puntos de referencia: estén representados los bancos de los niños y algunos
pizarrón, ventanas, puerta, mesa del profesor. El tamaño de los puntos de referencia. El niño puede, por ejemplo,
del papel debe estar de acuerdo con el de las tarjetas. dibujar los puntos de referencia que no aparezcan en el
El profesor da un punto de referencia como punto de dibujo, pintar la representación de su banco, anotar el
partida del juego. Dice: aquí se sienta Juanito. Si el niño nombre del compañero que esté ubicado delante, de-
está de acuerdo, ubica su tarjeta en el plano. Luego trás, a la izquierda, etc.
continúan todos los niños, por turno, ubicando su tarjeta
en el plano. Los participantes conversan acerca de la posibilidad de
i ntegración de esta actividad con la asignatura de Ciencias
Una vez ubicadas todas las tarjetas, los niños se sientan Sociales, destacando la factibilidad de que al realizarla con
en sus puestos y comparan las ubicaciones en la sala los niños, el profesor propicie el desarroffo de los objetivos

propuestos en la asignaturas de Matemática y de Ciencias do el material de las fichas de colores, por el lado
Sociales, trabajando así un proceso de enseñanza-aprendi- blanco. La figura no debe ser vista por el resto de los
zaje articulado y relacionado. participantes.

Los integrantes del grupo leen los siguientes propósitos, El participante que construyó la figura da las instruccio-
comentando el significado de cada uno de ellos y relacionándo- nes necesarias, para que el resto de las personas logre
l os con las actividades anteriormente propuestas: construirla. Otro integrante del grupo anota las instruc-
ciones dadas, en el pizarrón. En esta modalidad no se
Manejar orientación (izquierda -derecha; arriba-abajo; permiten preguntas aclaratorias.
delante-detrás, etc.)
• Con relación al propio cuerpo Comparan las figuras armadas con la construida por el
• Respecto a otros objetos participante que dio las instrucciones. Se comentan las
• Respecto a otras personas dificultades encontradas para cumplir con ¡atarea, por
ejemplo: claridad y precisión de las instrucciones, falta
Manejar movimientos relacionados con giros. de información u otras razones.

El juego se puede variar permitiendo preguntas
aclaratorias al momento en que cada participante reci-
be las instrucciones para construir la figura. Es conve-
Actividad 4¡ niente, para realizar el análisis de lo acontecido, que se
registren tanto las instrucciones dadas como las pre-
Estructurando el plano guntas formuladas. Al mostrar las figuras construidas
por cada uno, verifican si hubo mayores aciertos, si
Materiales: 15 fichas por pareja del material llamado disminuyeron las dificultades, etc.
"Fichas de colores": 10 de forma cuadrada y 5 rectangula-
res, de distintos colores. Comentan la necesidad de contar con puntos o siste-
mas de referencia que faciliten la comunicación de la
• Un participante del Taller, construye una figura utilizan- ubicación de las fichas.

Algunos autores sostienen que un elemento importante para
La utilización de sistemas de referencia convencio- utilizar adecuadamente un sistema de referencia es manejar
nales surge de la necesidad de contar con una for- la direccionalidad, aduciendo que las relaciones espaciales
ma de comunicación, más precisa y a la vez fácil, se exploran inicialmente a lo largo del eje vertical, o sea,
que permita determinar la ubicación de una perso- mirando hacia arriba y hacia abajo.
na u objeto tanto en el plano como en el espacio.
Relaciones tales como las ya nombradas (arriba - abajo)
Un sistema de referencia conocido es el de las
y otras como encima - debajo tienen, entre sí, un significado
coordenadas cartesianas el cual permite ubicar
muy diferente, lo que no se presenta en las relaciones de
puntos en el plano.
orientación horizontal. Por ejemplo, si estamos en una posi-
ción determinada, sabemos lo que está en frente y detrás
nuestro, pero si giramos media vuelta, lo que tentamos
delante ahora está atrás y viceversa, asfcomo también lo que
estaba a nuestra derecha ahora está a nuestra izquierda.
Estas ideas permiten comprender por qué los niños tienen
Actividad 5/ más dificultades en desarrollar la lateralidad que aquellas
Revisando actividades nociones relacionadas con la verticalidad.
para el desarrollo de la Los antecedentes anteriores hacen necesario que el
estructuración espacial niño realice actividades que lo lleven a poner en práctica sus
sistemas referenciales, desde los más básicos hasta llegar
a aquéllos convencionales, como lo son las coordenadas
Los participantes leen el texto que sigue: cartesianas.
La estructuración espacial está referida, además, a la
El movimiento en el espacio supone la necesidad de
composición de las partes en relación a un todo, por lo cual
utilizar puntos de referencia, los cuales deben llegar a
actividades relacionadas con mosaicos, simetrías, y pavi
constituirse en un sistema. Su desarrollo se fundamenta en
la capacidad natural de utilizar un marco de referencia, a su mentación entre otras, son apropiadas para estimular en los
niños este nivel de desarrollo espacial.
vez natural, como lo son la horizontalidad y la verticalidad.

Los integrantes revisan el conjunto de actividades que
se proponen a continuación e incrementan el listado con
otras ideas.

Los niños construyen figuras: Esta actividad es
semejante a la realizada por los participantes del Taller
en la Actividad 4. Inicialmente las instrucciones para
construir el todo pueden ser dadas por el profesor, para
que luego este rol lo tomen los alumnos. A continuación
se muestran posibles figuras. En algunas de éstas se
trabaja también con fichas triangulares, las que co-
rresponden a cuadrados cortados por una de sus
diagonales.

Los niños construyen mosaicos: Utilizandocomo
material las fichas de colores (cuadradas, rectangula-
res y triangulares, de distintos colores ) se pueden
realizar las siguientes actividades:

- Copian patrones dados, una o más veces, respe-
tando forma y color.
- Construyen la imagen de una figura, dado un eje de
simetría externo a ésta, en posición vertical, hori-
zontal u oblicuo.
- Construyen la parte que falta de una figura, dado un
eje de simetría interno a ésta.

Los niños replican la imagen de una figura que Los plegados en papel también son un excelente apo-
se proyecta en un espejo: Ubicando un espejo en yo para trabajar tanto la noción de simetría como de otros
posición perpendicular al papel donde se ha dibujado conceptos geométricos.
una figura, el niño dibuja la imagen que se ve en el
espejo, simétrica a la figura.

La actividad anterior puede realizarse sin espejo.Se le
entrega al niño figuras dibujadas en papel cuadriculado, él • Los niños, utilizando un material concreto,
debe copiarlas o completarlas, tal como muestran las ilustra determinan giros: El profesor entrega a los alumnos
ciones, imaginando que en el eje marcado existe un espejo. un conjunto de tarjetas, todas con el mismo dibujo. Los
niños forman una, hilera con éstas, ubicándolas en la
misma posición. Luego tomando en cuenta la posición
inicial de la primera tarjeta, la cual no varía, reciben
órdenes para girar la tarjeta siguiente; por ejemplo, un
cuarto de vuelta en la dirección en que se cierra una
ll ave de agua; que otra la giren media vuelta en relación
a la primera tarjeta; tres cuartos de vuelta; una vuelta
completa, etc. El centro de giro, en las tarjetas, está
representado, por la intersección de sus diagonales .

También es posible trabajar con sólo una tarjeta. Se Si los niños tienen dificultades, como actividad previa
sugiere colocar un alfiler al centro de ésta y luego girarla, nos podemos ayudar de un lápiz que lo ubicamos en una
de acuerdo a órdenes similares a las dadas en la actividad posición y luego lo vamos haciendo girar. En esta activi
anterior. Es importante que los niños comparen las accio- dad, el centro de giro, corresponde a un extremo del lápiz.
nes realizadas, tomando en cuenta la posición inicial, la or-
den dada y la posición final. Veamos algunos ejemplos: en
algunos se les pide girar la tarjeta, en otras deben descu-
brir la amplitud del giro, etc.

Los niños completan figuras: A través de este tipo de 8 Este, 4 Norte o bién 8 4
actividades, los alumnos establecen relaciones entre
las partes y el todo.

Los niños pavimentan el plano: Teniendo como
material las fichas de colores, los alumnos, cubren una
región limitada, sin dejar espacios vacíos entre cada
figura. Esta actividad, relacionada con simetrías, rota-
ciones y traslaciones, se puede enriquecer utilizando
Los niños trasladan figuras a través del otras figuras para cubrir el plano. Los niños, a través de
cuadriculado: Estableciendo relaciones entre esta actividad, logran descubrir propiedades de las
sus propios desplazamientos por el cuadriculado y figuras utilizadas, tales como congruencia de lados y
l a posibilidad de que cada punto de una figura se complementariedad de ángulos.
desplace en el plano, el niño traslada figuras en un
cuadriculado, utilizado como sistema de referen-
cia. Los puntos determinados, en l a figura, se
trasladan de acuerdo a un código especificado por
ellos. El niño, luego de trasladar los puntos, los une
con líneas rectas, con el propósito de formar la
figura. En la primera ilustración podemos ver que
cada punto se trasladó 8 unidades hacia la dere-
cha y 4 hacia arriba.Otro código posible de usar es

Los niños amplían figuras: Dibujan una figura en el Los participantes, en conjunto, hacen un registro de
cuadriculado, Imaginan que la observan a través de una las relaciones espáciales o conceptos geométricos implíci-
l upa. Para ampliar Ía figura establecen una proporción, tos en las actividades propuestas y entregan sugerencias
por ejemplo cuatro cuadrados por cada cuadrado. para incrementar el listado.
Construyen la figura ampliada.

Actividad 6/
Integrándonos
con otras asignaturas
Los participantes leen las siguientes actividades, que
También se pude realizar la acción inversa, o sea se realizan en otras asignaturas y que ofrecen excelentes
reducir una figura. posibilidades para apoyar el desarrollo de las nociones
espaciales en los niños .

Identifican en cada una, las relaciones espaciales y
nociones geométricas presentes, haciendo un registro de
ellas.

Incrementan el listado, proponiendo actividades o si-
tuaciones que se realizan en otras asignaturas y que con-
tribuyen al desarrollo de las nociones espaciales.

*El profesor de Artes Plásticas propuso construir un • El profesor de Técnicas Manuales enseñó a sus alum-
mosaico. Luis, uno de sus alumnos, presentó el siguien- nos a construir un barco, utilizando la técnica del ple-
te trabajo. gado.

Actividad 7/
Definamos la tarea
La lectura del siguiente texto le orientará para desarro-
ll ar la parte práctica de la tarea.

En este trabajo se han aplicado nociones de simetría, La preocupación y ansiedad existentes en muchas
rotaciones, relaciones entre ángulos, entre otras. personas, para que los niños adquieran destrezas numéri-
cas, tiende a dejar en segundo plano el hecho que casi todo
• La profesora de Educación Física da instrucciones al el mundo debe afrontar con mayor frecuencia problemas
curso para realizar una actividad: espaciales que problemas numéricos.

Mirando al frente, tres rebotes, girar un cuarto de Es difícil aceptarlo en una primera instancia, sin embar-
vuelta hacia la izquierda, dar tres rebotes, girar al go si analizamos los siguientes ejemplos, seguramente lo
frente, tres rebotes, girar un cuarto devuelta hacia visualizaremos más fácilmente. Detengámonos a reflexionar
l a derecha, girar al frente, girar media vuelta y sobre algunas de las tareas que se deben realizar en
repetir los rebotes. diferentes actividades laborales. Por ejemplo, un arquitecto,
al preparar el plano de una casa debe imaginarse la mejor
La profesora de Ciencias Sociales solicita a sus alum- forma de distribuir las habitaciones, según lo solicitado por
nos construir una maqueta, donde se ubique la escuela su cliente, un albañil, al construir una muralla, debe manejar
y algunos lugares conocidos cercanos a ésta. perpendicularidad, un campesino, al preparar el terreno

para algunos cultivos, debe formar surcos paralelos, etc. para la comprensión y apreciación de nuestro entorno. Una
¿Verdad que podrfan ser muchas más las acciones, relacio- gran parte de tal apreciación será fruto de la comprensión y
nadas con un trabajo específico, en que es necesario contar captación de lo espacial, por la manifiesta razón de que
con un buen desarrollo de pensamiento espacial para su nuestro ambiente físico lo es.
óptima realización?
No debe extrañarnos entonces que las actividades de
Ahora nos referiremos a algunas actividades cotidianas. iniciación a la Geometría estén relacionadas con la explora-
No pocos son los que al intentar armar un juguete siguiendo ción del espacio, la cual está dirigida por un lado a las
las instrucciones de un folleto,han fracasado. Aquéllos que acciones que vivenciamos directamente en el espacio real y
conducen un vehículo y que se han visto en la necesidad de por otro a sus representaciones, donde hacemos uso de
estacionar en un espacio reducido, pueden haber tenido figuras y diagramas.
como consecuencia un roce con los vehículos ya estacio-
nados. Cuántas veces nos ha tocado ubicar una sala en un Veamos ejemplos para clarificar estas dos últimas ideas.
hospital y hemos pasado dos o tres veces por el mismo lugar Es muy distinto para un niño vivenciar el recorrido de su casa
sin encontrarla. También el ubicar una calle en un mapa a la escuela, que relatar oralmente cuál es éste y luego
puede presentar dificultades si no se maneja el sistema de representarlo a través de un dibujo. También, en el deporte,
referencia utilizado. Qué necesarias son las habilidades es diferente seguir las instrucciones de un entrenador en la
espaciales para entrar y ubicar, adecuadamente, los mue- cancha -espacio real- que recibir otras complementarias, a
bles en una casa. través de un diagrama, de acuerdo a los resultados del
primer tiempo.
La lista podría seguir extendiéndose, pero seguramente
ya nos hemos dado cuenta de la necesidad e importancia Uno de los primeros aspectos interesantes que debe-
de desarrollar estas habilidades, de proporcionar a los niños mos trabajar, con nuestros alumnos de Primer Ciclo de
conjuntos de experiencias, que les permitan descubrir y Educación General Básica, relacionados con conceptos
analizar conscientemente estrategias, que a su vez los lleven geométricos, está referido a la orientación espacial.
a solucionar problemas que requieran de pensamiento es-
pacial. La primera aproximación del niño hacia la Geometría
La Matemática ofrece, al igual que el lenguaje, una vía está relacionada con la exploración del espacio y nuestro

propósito será que el niño se maneje en éste, llegue a La organización del espacio se refiere al reconocimiento
dominarlo y lo construya por sí mismo. de relaciones como distancia (proximidad o lejanía), tamaño
(grande, mediano y pequeño), posición relativa de las partes
Cuántos alumnos son catalogados de mediocres en de un todo, reconocimiento de algunos movimientos del
otros aspectos de su formación, por ejemplo en lectura, sujeto o de objetos que experimentan giros o cambios
escritura, o en actividades musicales o artísticas, cuando relativos de posición.
justamente sus problemas derivan de un escaso dominio de
las relaciones espaciales. La estructuración se refiere a la composición y descom-
posición de un todo en partes o sectores, cuya identificación
Está demostrado, por especialistas, que los conceptos se facilita mediante mediciones, que pueden ser efectuadas
espaciales no son innatos, sino que se elaboran y estructuran a lo largo de ejes perpendiculares entre sí.
a través de las experiencias activas de los niños.
Al interior de la orientación espacial, una noción impor-
Podemos identificar tres elementos: la orientación, la tante es la de direccionalidad, como orientación hacia un
organización y la estructuración. punto de referencia determinado, como previsión de un
punto de llegada cuando aún se está recorriendo el camino.
La orientación corresponde a un sistema de relaciones
espaciales en el que es preciso reconocer los puntos de
referencia claves.

Los primeros referenciales están ubicados en el propio
cuerpo del niño. Los últimos, en cambio, corresponden a los La parte práctica de la tarea consiste en que cada
puntos cardinales. También podemos considerar otros profesor selecciona alguna de las actividades propuestas
referenciales; por ejemplo, para situarse en un mapa, en las en este Taller, relacionadas con el concepto de simetría,
calles de la ciudad, éstos se transforman en señales, que para trabajarla con sus alumnos. Observa sus reacciones,
finalmente se apoyan en los dos referenciales claves ya registra los resultados que obtiene , las dificultades a las
nombrados. cuales se enfrenta, etc. y escribe un breve informe.

Taller 7/

En este Taller los profesores construyen cuerpos utilizando cajas de fósforos y, por medio de plegados
y cortes, construyen figuras planas. Interesa que realicen, a partir de estas construcciones, un análisis
sobre algunas propiedades de los prismas y de los cuadriláteros y que intercambien los procedimientos
utilizados.

Actividad 1 / cuatro o cinco cajas realizando la misma actividad y regis-
trando siempre el número de caras, de aristas y de vértices.
Revisemos la tarea
Si lo necesitan, unen con scotch las superficies de las
Los profesores informan qué actividades seleccionaron cajas do fósforos para que las construcciones sean más
para trabajar con sus alumnos. Comparten las observacio- fáciles de manipular.
nes registradas y organizan secuencialmente las activida-
des aplicadas en sus cursos. Todas las construcciones que los profesores realizaron
en esta actividad pertenecen a la clase de los cuerpos
poliedros.

Actividad 2/
Analizando cuerpos Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado sólo por
superficies planas, que se llaman caras. Si un cuerpo está
geométricos limitado por superficies curvas o por superficies curvas y
planas pertenece a la clase de los cuerpos redondos.
2/1. Elementos de un cuerpo construido
Un poliedro es convexo si al apoyar cualquiera de sus
Materiales: 5 cajas de fósforos por grupo de trabajo caras sobre un plano, por ejemplo, sobre una mesa, todo el
Un rollo de scotch cuerpo se ubica a un mismo lado de ese plano.

Los profesores registran el número de caras, de aristas
y de vértices que tiene una caja de fósforos.

En seguida, construyen diversos cuerpos, usando dos Entre las construcciones realizadas, los profesores dis-
cajas de fósforos; verfican si hay o no variaciones en el criminan las que son poliedros convexos de las que no lo
número de caras, de aristas y de vértices. Amplían a tres, son.

Comparten los resultados obtenidos y los diferentes
En un poliedro convexo la relación entre el número de procedimientos utilizados. Comparan la dificultad para
caras (C), de aristas (A) y de vértices (V) está dada por realizar esta actividad con la que experimentaron al realizar
la actividad anterior.

Esta relación se conoce con el nombre de fórmula de
Euler, porque fue descubierta por el matemático suizo del
siglo XVIII, Leonard Euler.
Actividad 3/
Cuerpos geométricos
en la sala de clases
Los participantes del Taller verifican que se cumple es-
ta relación para todos los poliedros convexos construidos. En grupos de trabajo, los profesores eligen una de las
cuatro situaciones descritas a continuación y diseñan acti-
¿Cómo aseguran que contaron todas las caras, aristas vidades útiles para que los alumnos se familiaricen con los
y vértices y que los contaron sólo una vez? Comparten los poliedros y aprendan a identificar y contar caras, aristas y
procedimientos utilizados, especialmente en los poliedros vértices en poliedros convexos.
no convexos.

1. Construir con cubos o envases, realizando actividades
212: Elementos de un cuerpo representado. como las siguientes:
• Construcción libre
• Copia de construcciones hechas por un alumno o
grupo de alumnos, mirándolas
• Comunicación oral para que otro haga la misma
construcción, sin verla
• Comunicación a través de dibujos hechos por los
alumnos para que otro haga la misma construcción,
sin verla
• Construcción a partir de un dibujo dado por el profesor

11. Decorar envases:
• Forrarlos Las actividades mencionadas y otras que sugieran
• Pintar o pegar dibujos, papel picado, arenilla, l os participantes en el Taller, son habituales en las
conchitas, etc., en cada una de las caras clases de educación artística y manual. Es conve-
• Pegar cintas engomadas en las aristas niente que se aprovechen esas mismas activida-
• Poner pompones o cintitas en los vértices des para sacarles partido desde la perspectiva del
conocimiento de la Geometría.
111. Desarmar y volver a armar envases para visualizar la
relación entre el patrón plano o red y el cuerpo correspon-
diente.

I V. Construir cuerpos en greda o plasticina.

Comentan la elección de la situacion y las actividades
Actividad 4/
diseñadas. Responden las preguntas siguientes: Figuras geométricas
con plegados y cortes
¿Cuales son, a juicio de los participantes del Taller, las
mejores actividades para que los alumnos identifiquen Materiales: 10 hojas de papel, preferentemente de copia,
las caras? ¿Cuáles para que las cuenten? por participante
Un par de tijeras por grupo
¿Qué actividades son las más adecuadas para identifi- Una escuadra y un compás por grupo
car y contar aristas?
4/1. Dobleces y cortes
¿Cuáles permiten la identificación y el conteo de vérti-
ces?
En grupos, cada profesor toma una hoja, hace dos do-
bleces y luego recorta lo que quiera. Antes de desdoblar la
Cada profesor elige una de las actividades diseñadas hoja dibuja cómo cree que quedará al extenderla.
para realizarla con sus alumnos.

Conviene que los profesores experimenten con los • Haga dos dobleces perpendiculares entre sí
dobleces y cortes hasta que logren anticipar lo que aparece- • Haga un corte recto que pase por los dos bordes
rá en la hoja desdoblada. plegados.
• Quédese con la parte recortada y deseche el resto de
la hoja.
• Dibuje la figura que cree que aparecerá al desdoblar
la parte recortada.
• Compare su dibujo con el recorte extendido.

¿Qué características comunes tienen las figuras que
resultan al desdoblar la parte recortada?

Conviene que analicen la medida de los lados y la dé¡
ángulo formado por las diagonales. Pueden constatar sus
hipótesis mediante plegados y superposiciones. ¿A qué
corresponde; en lafigura recortada, cada uno de los dobleces
iniciales y el corte?

Las figuras que aparecen tienen las siguientes carac-
terísticas:
Una vez lograda cierta familiaridad con esta actividad
• Son figuras cerradas, limitadas por lados rectos, en
se puede pedir que lafigura recortadacumpla determinadas
consecuencia son polígonos.
condiciones. Por ejemplo, ¿qué dobleces y qué cortes hay
• Tienen cuatro lados, por lo tanto son cuadriláteros.
que hacer para que resulte una estrella de 4, de 6, o de 8
• Los cuatro lados miden lo mismo, luego son
puntas?
equiláteros.
• Los ángulos opuestos son de igual medida.
4/2. Cuadriláteros
• Las diagonales se dimidian y son perpendiculares
En los mismos grupos de trabajo, cada profesor toma entre sí, en consecuencia son rombos.
una hoja y sigue estas instrucciones:

4/3. Generando rombos ¿Es posible que entre éstos aparezca un cuadrado? Un
cuadrilátero equilátero cuyos ángulos son rectos, es decir
Repiten la actividad anterior, pero esta vez hacen un miden 90 grados, es un cuadrado.
doblez en lugar del corte; al extender la hoja queda marcado
un rombo. Vuelven a doblar y marcan, en la misma hoja, En la ilustración anterior, en el conjunto de rombos que
diferentes rombos cuyas diagonales coincidan. tienen dos vértices comunes, puede apreciarse que varía la
medida de los ángulos interiores. En los ángulos corres
Al extender la hoja se puede obtener conjuntos de pondientes a los vértices comunes, el menor es agudo, mide
rombos como los siguientes: menos de 90 grados; el mayor es obtuso, mide más de 90
grados. Entre ambos debe existir un ángulo. que mida
exactamente 90 grados.

4/4. Cuadrados

A partir de dos dobleces perpendiculares entre sí, los
profesores buscan cómo pueden obtener un cuadrado con
un solo corte recto.

Ponen en común los procedimientos encontrados, dife-
renciándolos de los que les permiten obtener rombos.

El corte que permite obtener un cuadrado es el que
genera la misma longitud en ambas diagonales: en un
cuadrado las diagonales tienen la misma medida.

4/5. Construcciones con escuadra y A continuación realizan un procedimiento de construc-
compás ción análogo, a partir de dos diagonales no perpendiculares.

Los profesores construyen un cuadrado y un rombo, Comparan estas figuras con las obtenidas en la cons-
utilizando escuadra y compás, a partir de lo que han cons- trucción anterior.
tatado sobre las diagonales de estas figuras: son perpendi
culares, se dimidian y, en el caso del cuadrado, son de igual
medida.

El cuadrado, el rectángulo, el rombo y él romboide son
paralelogramos. Tienen en común las siguientes caracterís-
ticas:
• Los lados opuestos son paralelos.
• Los lados opuestos son de igual medida.
• Las diagonales se dimidian.
• Los ángulos opuestos son de igual medida y la suma
de dos ángulos consecutivos es 180 grados.

Los cuadriláteros se pueden clasificar según cuantos
pares de lados paralelos tengan en:
PARALELOGRAMOS : dos pares
TRA PECIOS : un par Al desdoblar los dos últimos dobleces, se obtienen tres
TRA PEZOIDES ningún par ángulos de 60 grados cada uno. ¿Por qué miden 60 grados?

Hacen de nuevo los dobleces y buscan cómo hacer un
corte para obtener un triángulo equilátero. Hacen ese corte y
comentan los diferentes procedimientos que emplearon.
4/6. Otros Polígonos

En grupos de trabajo, los profesores toman una hoja y Un triángulo equilátero tiene sus tres lados de igual
marcan un doblez que la atraviese totalmente. medida y cada uno de sus tres ángulos mide 60 grados.

A continuación hacen dos dobleces que partan de un Antes de desdoblar la figura recortada, dibujan cuál creen
mismo punto del primer doblez, cuidando que las tres partes que será la forma que aparecerá al extenderla totalmente.
que se forman coincidan exactamente.

Desdoblan la figura recortada paso a paso. Inicialmente
es un triángulo equilátero y al extender el primer doblez Plegados y cortes son recursos que se pueden
aparece un rombo. usar, entre otros, para generar figuras, para com-
parar medidas de lados, de diagonales y de ángu-
Después, al extender el doblez siguiente, aparece un los, para bisectar y trisectar ángulos, para trazar
trapecio, que es un cuadrilátero que tiene un par de lados perpendiculares y para reconocer simetrías.
paralelos. Este trapecio es muy especial porque tiene tres
l ados de igual medida y el cuarto mide el doble que cualquie-
ra de los otros tres lados.

Finalmente aparece un hexágono, esto es, un polígono
de seis lados. En este hexágono tanto sus lados como sus
ángulos son de igual medida, por esto es un hexágono
regular.
¿Cómo se puede obtener, por medio de plegados y
Actividad 5/
cortes un dodecágono, que es un polígono de 12 lados, o un Plegados y cortes
octógono, que es un polígono de 8 lados? ¿Cómo obtener un en la sala de clases
polígono con el máximo de lados posibles?
Materiales: Figuras recortadas, reproduciendo las que
aparecen en las tres páginas siguientes; un
juego por grupo de trabajo.

Los profesores eligen una de las siguientes series de
figuras y diseñan actividades útiles para que los alumnos
constaten propiedades de las figuras planas. En algunos
casos es conveniente que reproduzcan varias veces las
figuras más pequeñas.

1. Figuras: A B D U EGO buscar dobleces para poder obtener las figuras más peque-
Se pueden proponer actividades de clasificación consi- ñas a partir de las inmediatamente más grandes y comparar,
derando los criterios siguientes: posteriormente, las medidas de los lados, ángulos y
• Número de lados; como resultado de esta clasifica- diagonales.
ción se usan los nombres de triángulos y cuadriláte-
ros. IV. Figuras: D E G O
• Presencia de ángulos rectos; se puede comprobar si Con dobleces y superposiciones, se trata de encontrar
un ángulo es recto por medio de una escuadra o, en cómo doblar las figuras G y O para obtener la D. En seguida;
su defecto, con un papel en el que se han hecho dos qué dobleces y cortes permiten obtener las figuras G y O a
dobleces perpendiculares entre sí. partir de la E. Posteriormente, se puede comparar lados,
• Igualdad de medida de lados; en esta clasificación se ángulos y diagonales.
distinguen los que tienen todos sus lados de igual
medida, los que tienen dos lados de igual medidaylos Cada profesor elige una de las actividades diseñadas
que tienen dos pares de lados de igual medida. para realizarla con sus alumnos.

11. Figuras: A C I J
Se trata de encontrar cómo doblar la figura C para
obtener la A. En seguida, qué dobleces hacer en la figura I
para generar las dos anteriores y también para obtener sólo Actividad 6/
la figura A. Finalmente, qué dobleces en la figura J permiten
obtener todas las figuras anteriores. Definamos l a tarea
Después de realizar la actividad de los dobleces, se Los profesores planifican la realización con sus alumnos
puede comparar la medida de los lados, ángulos y diagonales de las dos actividades elegidas durante el Taller, referidas a
de todas las figuras de esta serie. cuerpos (actividad 3) y a figuras geométricas (actividad 5).
Para el Taller siguiente deben llevar algunos trabajos hechos
111. Figuras: D U F O por sus alumnos y un informe sobre la forma en que se
En forma análoga a la actividad anterior, se trata de desarrolló la ,actividad.

Taller 8/

Se espera que a través del Taller los profesores profundicen su comprensión del sistema de
numeración decimal, valoren este contenido por sus proyecciones en el aprendizaje de otros temas
matemáticos, revisen sus prácticas de enseñanza en relación con el tema y analicen algunas actividades
que les permitan a los alumnos acrecentar el nivel de aprendizaje de este tema.

Actividad 1 / Escriben con los dígitos que acaban de conocer los
siguientes datos numéricos.
Comentemos l a tarea
• Número de su Escuela
Los profesores comentan las actividades que realiza-
ron con sus alumnos, en relación a cuerpos y figuras geo- • Año importante para Ud:
métricas, leen los comentarios escritos que elaboraron
acerca de la forma en que realizaron las actividades e in-
• Número de su carnet de identidad
tercambian algunos trabajos de los alumnos.

Tratan de memorizar las cifras que acaban de cono-
cer, luego las tapan con una hoja de papel y tratan de
Actividad 2/ completar la siguiente serie con los números que faltan:

Escribamos cantidades
con cifras extrañas
Los profesores se organizan en grupos para realizar las
siguientes actividades:

Imaginan un país desconocido, donde los dígitos se
escriben ordenadamente, y a partir del cero, de la siguiente
manera:
Conversan acerca de las diferencias y semejanzas
entre esta manera de comunicar cantidades y la que
usamos habitualmente.
En ese país, 1992 se escribe así: Comentan las dificultades que tuvieron para el apren-
dizaje de los nuevos símbolos y las relacionan con las que
han observado en los alumnos al aprender los dígitos.

que se indica, en cada caso.
La realización de estas actividades puede permitir 1. Toman 18 fichas amarillas.
una mayor toma de conciencia del esfuerzo que
Canjean 5 fichas amarillas por una roja, todas las veces
demanda el aprendizaje de un conjunto de símbo- que se pueda.
l os por parte del alumno y cómo esto puede ser Completan el resultado expresado en fichas y compa-
facilitado manteniendo estos símbolos a la vista y ran esta forma de comunicación con la notación con-
permitiendo que los niños recurran a este apoyo vencional, que se usa al agrupar de diez en diez.
cuando lo necesiten. El sistema empleado para
representar cantidades en los ejercicios anteriores
es semejante en sus reglas generales al sistema
de numeración decimal y difiere de éste sólo en la
forma de representar los dígitos.

Se acuerda leer el numeral resultante tres-tres y no
Actividad 3/ treinta y tres porque tenenos 3 quinas o quintetos de
Agrupemos de a cinco, de a fichas ( y no 3 decenas) y 3 unidades o fichas.
cuatro, de a tres... de a diez ¿Cuál hubiese sido el resultado si se hubiese tomado 19
fichas amarillas?, ¿y si se hubiese iniciado el canje con
3/1. Canjeando
20 fichas amarillas?

Materiales : 1 bolsa de fichas de colores, por grupo.
11. Toman 18 fichás amarillas.
Canjean 4 fichas amarillas por una roja, todas las veces
El conductor propone a los profesores desarrollar, en
que se pueda.
grupos, las actividades siguientes. En éstas se les solicita Canjean 4 fichas rojas por una ficha azul, todas las
tomar 18 fichas amarillas y canjearlas de acuerdo a la regla
veces que se pueda.

Expresan el resultado en fichas. ¿Qué representa la cifra 2 en el numeral resultante?, ¿y
cada una de las cifras 0?.

¿Cuál hubiese sido el resultado si se hubiese tomado 20
Expresan el resultado en ¡anotación que hemos acorda- fichas amarillas?, ¿y si se hubiese iniciado el canje con
do, con cifras y con palabras. 27 fichas amarillas?.

¿Cuántas fichas amarillas deberían tomarse al i nicio
para que el resultado fuese 10 (uno-cero) ?.
¿Por qué el resultado no podrá leerse ciento dos?.

¿A cuántas unidades o fichas amarillas equivale la cifra IV. Toman 18 fichas amarillas.
1 que aparece en el resultado? Canjean 10 fichas amarillas por una roja, todas las
veces que se pueda.
111. Toman 18 fichas amarillas.
Canjean 3 fichas amarillas por una roja, todas las veces Expresan el resultado en fichas.
que se pueda.
Canjean 3 fichas rojas por una ficha azul, todas las
veces que se pueda.
Expresan el resultado en fichas.
El conductor del Taller pide a los profesores que
comparen los resultados de las actividades que acaban
de realizar, conversen acerca de las dificultades que
Expresan el resultado en la notación convencional con tuvieron para desarrollarlas y luego comenten las seme-
cifras y con palabras janzas y diferencias entre los sistemas de numeración
utilizados.

En las actividades anteriores, se ha representado 18 de
cuatro maneras, con distintos sistemas de numeración

posicional, se ha modificado la cantidad de elementos de las nidos en éstos. Repiten esta acción hasta agotar las fichas
agrupaciones, es decir se ha trabajado con distintas bases del pozo.
y en todas se ha dado una regla de canje similar. Se concluye Terminada esta primera vuelta, los jugadores canjean
que un mismo número puede tener múltiples representacio- 12 fichas cuadradas (una docena) por una ficha rectangular,
nes, dependiendo del sistema de numeración que se esté todas las veces que puedan.
utilizando. Las fichas cuadradas que fueron canjeadas vuelven a
formar el pozo Juegan una segunda vuelta de la misma forma
El aprendizaje del sistema de numeración decimal im- que la primera y canjean 1 docena de fichas cuadradas por
plica, por una parte, el conocimiento de un conjunto de una ficha rectangular todas las veces que puedan.
símbolos y por otra la comprensión y manejo de reglas de
agrupación que se reiteran y que permiten establecer rela- Una vez hecho esto, anotan en una hoja sus puntajes en
ciones entre las cifras. Cuando se dice dieciocho y se número de fichas rectangulares y cuadradas y en forma
escribe 18, se esta representado un número natural de convencional en base doce.
acuerdo al sistema de numeración decimal, es decir se Es posible que alguna persona haya obtenido como
considera 1 grupo de 10 elementos y además 8 elementos, resultado 0, 1 ó 2 fichas rectangulares, o docenas y 10 u 11
mediante las cifras 1 y 8, respectivamente. fichas cuadradas, o unidades; en este caso necesitan utilizar
dos nuevos símbolos, para esto pueden emplear el símbolo
3/2. Docenas y más docenas para representar 10 y § para representar 11.

Materiales: 1 bolsa de fichas de colores y 2 dados, por Es importante percatarse que todo sistema de nume-
grupo. ración posicional requiere tantas cifras como su base, es así
como en el sistema decimal se ocupan diez cifras o dígitos,
Los profesores se organizan en grupos para jugar a: en la base tres, sólo las cifras 0, 1 y 2 y en la base doce se
«Docenas y más docenas» . necesitan doce símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ', § .
Colocan al centro de la mesa un pozo con todas las
fichas cuadradas y a un lado las fichas rectangulares. Ordenan los puntajes de mayor a menor y comparten la
Por turno, cada jugador tira los dados y saca del pozo tabla de resultados del juego con los demás integrantes del
tantas fichas cuadradas como la suma de los puntos obte- Taller.

Actividad 4/ oración la cantidad, que aparece destacada, en forma
Fraccionando decimalmente decimal, considerando la unidad de medida que se indica
en cada caso.
l a unidad
A. Carmen tiene en su costurero dos trozos de cintas de
Hasta el momento se ha utilizado el sistema de numera- colores, de 125 centímetros cada uno.
ción decimal para representar cantidades de unidades. La
forma como se nombran con palabras las cantidades da 125 centímetros = 1,25 metros
cuenta de la organización del sistema, en unidades, dece-
nas ycentenas de unidades, en unidades decenas y centenas B. Darío compró 300 gramos de mortadela para llevar a su
de miles, en unidades, decenas y centenas de millones, casa.
El cuadro siguiente muestra esta organización.
300 gramos = kilógramos
Miles de
Millones Millones Miles Unidades C. Josefina llegó extenuada después de correr 2 300 metros.

C I D U C D U C D U C D U 2 300 metros = kilómetros

D. La modista dijo que con 60 centímetros más de tela
Cuando se nombra una cantidad muchas veces no se alcanza para una blusa.
señala las unidades a las que se hace referencia, así al
hablar de 1992, se da por supuesto que todos saben que se 60 centímetros = metros
trata de 1992 unidades de año.
Ahora, se verá como el sistema de numeración decimal E. El bus llegó con 90 minutos de retraso, porque tuvo una
también permite representar fracciones decimales, es decir, pana a pocos kilómetros de San Fernando.
décimos, centésimos, milésimos, ... de unidad.
90 minutos = horas
El conductor solicita a los profesores escribir, para cada

F. Nos demoramos 2 horas 45 minutos en contestar la décimos de unidad, centésimos de unidad y milésimos de
prueba, sin embargo, no salimos cansados. unidad.

2 horas 45 minutos = horas

G. Recogimos 102 huevos en la tarde del martes. Unidades Wilésirnos

100 huevos = docenas C D U d c m

M. El grupo demoró 27 meses en poder lograr la meta de
tener una nueva sede.

27 meses = años Los profesores conversan acerca de la incidencia que
tiene el aprendizaje del sistema de numeración decimal en
Los profesores comparan sus respuestas y comentan otros aprendizajes matemáticos; como las fracciones deci
las diferencias. males, la operatoria aritmética, los sistemas de unidades de
medida, etc.
El conductor hace notar que entre las unidades dadas
existen dos tipos, aquéllas que convencionalmente están
organizadas decimalmente; medidas de longitud, de peso,
etc. y aquéllas estructuradas de acuerdo a otras relaciones
numéricas, como el tiempo (horas,años, etc.). Por ello, 300
gramos equivalen a 0,300 kilógramos, 90 minutos equivalen
a 1,5 horas, 102 huevos a 8,5 docenas y 27 meses a 2,25
años.

La actividad anterior también ha demandado la amplia-
ción de la tabla ya presentada; ha sido necesario ubicar

Actividad 5/ sienten frente a la sucesión de números que van aparecien-
El sistema de numeración do en algún tipo de contador; los educadores pueden
decimal en el aula satisfacer esta inquietud dando respuestas a sus preguntas,
respuestas que a veces los llevarán a numerar, incluso más
allá del ámbitonumérico que han elaborado conceptualmente,
5/1 Los niños viven inmersos en un ambiente
se trata de no frenar el interés de los alumnos, de no paralizar
numerado
su exploración, cuidando de enfatizar en los procesos siste-
máticos de aprendizaje la comprensión del significado de
Los profesores leen y comentan el siguiente texto:
las expresiones numéricas y de su forma de notación.

Los niños muestran gran interés por aprender a nume-
No podemos dejar de tener en cuenta que, antes de
rar grandes cantidades, en parte por los estímulos que para
iniciar el aprendizaje matemático escolar, los niños han
este aprendizaje les brindan los adultos en el medio
logrado una natural familiarización con algunos números y
extraescolar y también por el hecho de encontrar «números»
las representaciones de los mismos, estos logros constitu-
en diversos objetos o situaciones de su ambiente, por
yen una excelente base para el aprendizaje sistemático de
ejemplo en:
los números y su representación.
• las páginas de los textos escolares,
• la numeración de las casas,
• los calendarios,
5/2. Actividades para que los niños usen y
• los boletos de locomoción,
comprendan el sistema de numeración
• las boletas de compra,
decimal
• los letreros de propaganda,
• los relojes digitales, Los profesores leen lo siguiente:
• las camisetas deportivas,
• el contador de la bomba de bencina, etc.
Los niños usan y comprenden el sistema de numeración
decimal cuando son capaces de leer y escribir numerales,
En muchas ocasiones, los niños muestran interés por manejar las reglas de canje en sentido directo e inverso,
leer estas cantidades o expresan lo maravillados que se reconocer expresiones equivalentes para una misma canti-

dad y aplicar estos conocimientos en situaciones diversas.
La consecución de estos logros, por parte de los alumnos,
demanda del profesor una cuidadosa selección de las Billetes de $1, $10, $
actividades y de los materiales que les proporcionará. 100 y $1000.

En las actividades básicas que se presentan a continua-
ción se consideran fundamentalmente los siguientes mate-
riales:

Palitos y elásticos, o
en su defecto cualquier
material posible de agru- Fichas de colores; rojo,
par de a 10 en 10. verde, azul y amarillo, para
lasque se define una regla
de canje.

Cinta numerada:
huincha que tiene los nú-
meros del 1 al 30, escritos
por un lado con cifras y por
el otro con palabras, y que
puede ser completada
hasta el 100.
Abaco.

Algunas actividades para:
Tarjetas de números:
de unidades, decenas, 1. Contar, leer y escribir cantidades.
centenas y unidades de mil.
• Repetir rimas que les ayuden a aprender, en orden, los
nombres de los números, por ejemplo:

Uno, dos, tres, cuatro
ll evé mi perro al teatro.
Tablero con columnas
Cinco,seis, siete, ocho
para las unidades (U), de-
allí me comí un bizcocho.
cenas (D), centenas (C) y
Nueve, diez, eso es,
unidades de mil (UM).
y volvimos a casa otra vez.

• Contar grupos de objetos, de uno en uno, en sentido
creciente y decreciente.
• Modelar, recortar, pintar y remarcar los símbolos de
Contador: dispositivo los dígitos.
con cuatro ruedas que de • Leer en orden una serie de números con apoyo en la
derecha a izquierda repre cinta numerada.
sentan las unidades, dece- • Leer a coro los números del 1 al 30 en una hoja de
nas, centenas y unidades calendario.
de mil. Cada rueda al girar • Recortar los números de una hoja de calendario y
muestra las cifras del 0 al 9 l uego ordenarlos formando una línea del 1 al 30,
• Contar grupos de objetos de dos en dos, de tres en
tres, etc.
• Contar del 1 al 100 con apoyo del contador.
• Leer en orden los números de las páginas de un libro

• Leer y escribir números al dictado 11. Efectuar canjes de 10 unidades por una decena y de 10
• Completar cuadros organizados de números decenas por 1 centena, y representar cantidades de unida-
des, con apoyo de material.

Con palitos:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 •Formar atados de 10 palitos, unirlos con un elástico y
nominar al atado decena, hacer un paquete con 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 atados de palitos (decenas) y nominar a esta agru-
pación centena.
21 22 24 25 26 27 28 29 30
• Recibir un conjunto de palitos,canjeat grupos de 10
de éstos por atados, todas las veces que sea posible.
31 32 33 34 36 37 38 39 40
Expresar la cantidad de palitos en tantos atados o
41 42 43 44 45 45 47 49 50 decenas y tantos palitos o unidades.
• Contar de 10 en 10, de 100 en 100, con apoyo de este
51 52 53 54 55 56 57 58 59 material.
• Representar un número dado por el profesor con
62 63 64 65 66 67 68 69 70 paquetes, atados y palitos y traducir esta represen-
tación en tantas centenas, más tantas decenas, más
71 72 73 74 75 76 78 79 80 tantas unidades.

81 82 83 84 85 87 88 89 90 Con billetes:
• Canjear 10 billetes de $1 por 1 billete de $10, 10
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 billetes de $10 por un billete de $100 y 10 billetes de
$100 por un billete de $1000.
• Recibir una cantidad de billetes de $1, canjear por
Los profesores comentan las actividades propuestas e billetes de $10 todas las veces que puedan y expresar
i ntercambian otras que ellos pueden haber realizado, con la cantidad de dinero.
éxito, para contar, leer y escribir numerales.

• Reconocer una cantidad representada por un conjun-
to de billetes, expresarla de dos maneras; en número
de billetes con su valor respectivo y en unidades, por
ejemplo: 3 billetes de $100, 4 billetes de $10 y 5
billetes de $1, es decir $ 345.

Los profesores comentan las actividades propuestas y
se organizan en grupos para plantear actividades con
canjes, utilizando cada grupo uno de los siguientes mate-
riales:
Fichas de colores
Abaco

Exponen su trabajo y proponen un orden, de acuerdo a
l os materiales considerados, desde la actividad más fácil
hasta la más difícil.

111. Representar una misma cantidad de diversas formas,
con apoyo en un material y describir con palabras lo repre- Los profesores comentan la importancia que para la
sentado. resolución de ejercicios de sustracción tiene este tipo de
actividad, por ejemplo para resolver
• Representar con billetes una cantidad dada, efectuar 1342 - 867 = , en este caso la descomposición de
canjes para buscar otras formas equivalentes y ex- 1342 en 12 centenas + 13 decenas + 12 unidades
presar estas representaciones en número de billetes es la más adecuada para resolver el ejercicio.
por su valor respectivo y en unidades.
• Señalar la cantidad total de dinero representado en Buscan diversas formas de representar una cantidad de-
cada línea y el número total de billetes empleados. terminada con otros materiales, señalan cuáles serían más
apropiados para sus cursos y fundamentan su selección.

IV. Establecer el valor de posición de las cifras de un numeral. • Contestar problemas:
Soy un número mayor que 400 y menor que 500, en las
• Representar una cantidad en el ábaco, por ejemplo decenas y unidades tengo la cifra 5. ¿Quién soy?.
21, agregar 1 ficha en la varilla de las unidades y leer Soy menor que 2000 y mayor que 1000, el dígito de las
la cantidad, agregar 2 fichas en las unidades y leer la unidades es igual al de las decenas y suman 4, el dígito de
cantidad, agregar 1 ficha en la varilla dulas decenas las centenas es igual al de las unidades de mil. ¿Quién soy?.
y leer la cantidad, agregar 2 fichas en las decenas y
l eer la cantidad.... Comentar los resultados. Los profesores comentan las actividades propuestas e
• Formar números con las tarjetas de números;tomar las intercambian algunas de su repertorio destinadas a establecer
tarjetas de las unidades y decenas y representar, por el valor posicional de las cifras.
ejemplo 22, luego 23, 33, 34, 44, etc. Señalar en cada
ocasión el valor en unidades de cada dígito o cifra.
• Representar con billetes sobre el tablero de cuatro Actividad 6/
columnas una cantidad de dinero, de manera que los
billetes de $1 queden bajo la columna de las unida- Definamos la tarea
des, los billetes de $10 bajo las columnas de las
decenas... Contestar preguntas tales como: ¿Cuanto Comentan las dificultades que han observado en sus
dinero hay en la columna de las centenas? ¿Cuántos cursos en relación al manejo por parte de los alumnos del
billetes hay en la columna de las centenas?... sistema de numeración, ya sea en actividades propias de este
• Tomar de las tarjetas de números, tres correspondien- tema o en su aplicación al resolver ejercicios de operatoria.
tes a las unidades, por ejemplo 5, 8 y 3 y tomar de las Seleccionan una de las dificultades que han comentado y
tarjetas de decenas 50, 80 y 30. Formar con éstas acuerdan realizar en sus cursos algunas actividades, de las
todos los números distintos que puedan, anotarlos y propuestas en el Taller, que creen pudiesen ayudar a sus
l uego ordenarlos de menor a mayor. Contestar pre- alumnos a superar la dificultad.
guntas como las siguientes: ¿Qué números tienen la Cada profesor se compromete atraer, para compartir en
cifra 8 en las decenas?, ¿Qué números tienen la cifra el próximo Taller, un informe escrito en el que consigne las
8 en las unidades? ¿Qué números son mayores que actividades realizadas en su curso, las adaptaciones que les
53?... hizo al aplicarlas y las reacciones de sus alumnos

Taller 9/

En este Taller se señala a los profesores la importancia de conceptualizar y de ejercitar la adición y
la sustracción por medio de situaciones problemáticas de interés para los alumnos. Se plantea la
complementariedad de la adición y de la sustracción y la conveniencia de ejercitar sistemáticamente
diversos tipos de problemas para que los alumnos capten el sentido de ambas. Finalmente, se proponen
algunas actividades para facilitar la comprensión y la asimilación de las combinaciones aditivas básicas.

Actividad 1 /
3/ En la mañana, doña Peta tenía 15 empanadas.
Comentando la Tarea Preparó 6 más. ¿Cuántas tiene ahora?

Los profesores comentan qué actividades selecciona-
ron para trabajar en clases, informan qué adaptaciones les
hicieron y cómo reaccionaron sus alumnos. 4/ Doña Peta tenia hoy 24 empanadas. Vendió 7.
I ntercambian opiniones respecto a las actividades que ¿Cuántas le quedan?
l es han parecido más adecuadas para reforzar el aprendi-
zaje del sistema de numeración decimal.

5/ Doña Peta mandó a sus hijos a vender empana-
Actividad 2/ das. Monchito se llevó 17 y la Petita se llevó 23.
¿Quién llevó más empanadas, y cuántas más?
Problemas para resolver
En grupos, los profesores resuelven los siguientes pro-
analizan los procedimientos que usaron, escri-
blemas biendo las relaciones numéricas que les permitieron resolver
cada problema.

Actividad 3/
Tipos de problemas de
adición y de sustracción
A través de esta actividad se analizarán tres tipos de
problemas:

De unir y de separar Ambos problemas se refieren a una colección o conjun-
De agregar y de quitar to de empanadas que se pueden considerar, o bien juntas,
De comparar o bien separadas en dos clases: las de pino y las de queso.

La ejercitación sistemática de problemas de estos Los problemas de unir se resuelven habitualmente con
tres tipos ayudará a los alumnos a captar el senti- una adición. En este caso: 12 + 7 = n significa que hay que
do de la adición y de la sustracción y a distinguir juntar las empanadas de pino con las de queso y contar o
cuándo corresponde usarlas. calcular el total de empanadas. La acción de unir puede
referirse al hecho físico de poner las empanadas en una
misma fuente, o al hecho mental de no considerar de qué son
3/1. Problemas de unir y de separar las empanadas y ponerlas en una sola categoría al determi-
nar su cantidad.
Los profesores leen el texto que sigue.
Los problemas de separar se pueden resolver mediante
una sustracción: En este caso:28 -18 =n significa que hay que
Entre los problemas de doña Peta, son de unir y de separar del total de empanadas las que son de queso y contar
separar los siguientes: o calcular las restantes. La separación, al igual que la unión,
puede corresponder a una acción física o mental. También es
« 12 de pino y 7 de queso, «28 empanadas, 18 de queso, posible resolverlos problemas de separarmediante una adición
¿cuántas empanadas?» ¿cuántas de pino?» en la que se desconoce uno de los sumandos. En este caso:
18 + n = 28, lo que significa que hay que determinar cuántas
pino queso pino queso
empanadas de pino habría que juntar cono las 18 de queso para
obtener el total de 28 empanadas.

Un tipo especial de problemas de separación son
aquéllos en que, conocida la cantidad total, hay que sepa-
rarla en dos grupos de cualquier tamaño. En este caso, las
respuestas posibles son varias.

En un paquete de galletas quedan 7. ¿Cómo se las tas y también aplicados?
pueden repartir Rodolfo y Carlos?
Ponen en común los problemas inventados y comentan
cuáles se pueden resolver con adiciones y cuáles con sustrac-
Carlos Rodolfo ciones.

Otras situaciones que se prestan para plantear proble-
mas de unir y de separar son:
• Una colección de estampillas donde hay estampillas de
Chile y de Argentina.
• Los alumnos de un cursó, en el que hay niños y niñas.
• Un corral de animales, donde hay pavos y gallinas.
• Un cordel con ropa tendida, donde hay camisas y
pantalones.
• Una cuenta, que incluye el precio de un sandwich y de
una bebida.
Por grupos, los profesores buscan temas interesantes • Un ramo de flores, en el que hay chinitas y crisantemos.
para sus alumnos y apropiados para plantear problemas de
unir y de separar. Eligen uno e inventan por lo menos tres
problemas diferentes.

El conductor del Taller advierte que las colecciones o
conjuntos que se unen y se separan deben estar bien
definidos y no deben tener elementos en común. Así, los 3/2. Problemas de agregar y de quitar
alumnos de un curso pueden ser separados fácilmente en
niños y niñas, pero no es tan fácil separarlos en « deportistas» Los profesores leen el siguiente texto.
y «aplicados» porque, ¿dónde quedan los que son deportis-

Entre los problemas de doña Peta, son de agregar y de los datos y la incógnita. Cada Ifnea de los cuadros.siguientes
quitar: corresponde a una posible variación del problema.

15 empanadas, preparó n24 empanadas, vendió 7,
otras 6,¿cuántas tiene?» ¿cuántas tiene?»

Estos dos problemas se refieren a cambios que tienen
lugar a lo largo del tiempo. En ellos se puede distinguir un
momento inicial (M.I.), una acción intermedia (agregar ó Por grupos, los profesores resuelven las variantes de
quitar) y un momento final (M.F.). problemas de agregar y quitar descritas en los dos cuadros
anteriores. Analizan en qué casos usan adiciones y en
Los problemas de agregar pueden resolverse con una cuáles sustracciones.
adición. En este caso. 15 + 6 =n,
lo que significa que a las
15 empanadas que había al principio se le agregaron 6. Ponen en común los análisis realizados asociando a
cada variante una o más de las siguientes expresiones:
Los problemas de quitar suelen resolverse con una • Adición, conocidos los sumandos
sustracción. En este caso: 24 - 7 = F'j
significa que, de las • Adición, conocidos la suma y un sumando
24 empanadas iniciales, hay que descontar las 7 vendidas. • Sustracción, conocidos el minuendo y el sustraendo
• Sustracción, conocidos la diferencia y uno de los otros
La formulación de los problemas de agregar y de quitar dos términos
se puede variar, cambiando el lugar en que se encuentran

Otras situaciones útiles para plantear problemas de referirse a cuántos objetos más hay en la colección mayor o
agregar y de quitar son: a cuántos objetos menos hay en la colección menor.

El problema puede resolverse apareando los objetos de
ambas colecciones y contando los que quedan sin pareja
También mediante una sustracción, como: 23 -17 = n , o
una adición en la que se conoce la suma y un sumando,
como. 17 + n = 23 que puede interpretarse como:
¿Cuántas empanadas le faltan a Monchito para tener lo
mismo que Petita?. Otro procedimiento posible consiste en
plantear. 23 - n = 17 , que puede expresarse como:
¿cuántas empanadas le sobran a Petita para tener lo mismo
que Monchito?
3/3. Problemas de comparar
Es posible variar la formulación de los,problemas de
Los profesores leen el texto que sigue. comparar si se cambia el lugar en que se encuentran los
datos y la incógnita. El siguiente cuadro muestra estas
Entre los problemas de doña Peta, es un problema de variaciones.
comparar:

-Monchito se llevó 17 empanadas y la Petita 23. ¿Quién
llevó más, y cuántas más?»

Monchito:
Petita: .......................

En este problema se trata de comparar dos cantidades
y encontrar la diferencia entre ambas. La pregunta puede

Otro tipo de problemas de comparar son los que con-
trastan una situación que corresponde al momento actual En una conejera había doce conejos. Un día la
con otra futura, o pasada. puerta de una jaula se quedó abierta y se escaparon
cinco conejos. ¿Cuántos quedaron?

Mariela va a casa de su abuelita, que queda a 13
cuadras de la suya. Ya caminó 8 cuadras, ¿Cuán-
tas cuadras le faltan para llegar? Juanito Gómez cumplió 9 años en 1992. ¿Qué edad
tendrá en el año 2 000?

En grupos, los profesores escogen un tema de compa- Ponen en común las representaciones que utilizaron.
ración que piensen que interesará a sus alumnos y elaboran
por lo menos tres forrhulaciones diferentes de problemas de En el problema de la conejera, cada conejo puede ser
comparación. . representado por un dibujo o un símbolo cualquiera. Algunos
de éstos podrán ser marcados, para identificar a los conejos
Ponen en común los problemas elaborados y buscan que se escaparon.
nuevas variantes para cada tema de comparación escogido,
cuidando que las preguntas sean relevantes.

Actividad 4/
Cómo representar lo que
se suma y lo que se resta
Por grupos, los profesores resuelven los problemas
siguientes, utilizando representaciones gráficas.

En el problema de la edad de Juanito, no resulta El conductor del Taller sugiere a los profesores que
adecuado representar cada año por un dibujo aislado. La busquen temas atractivos para los alumnos, como podrían
recta numérica constituye una buena representación, ya que ser historias protagonizadas por ellos, y que se las cuenten
muestra el carácter continuo y secuencial del transcurso del varias veces, mientras logren mantenerlos interesados, va-
tiempo. riando sistemáticamente:

Las cantidades en juego (los números)
El tipo de problemas (de unir y de separar, de
agregar y de quitar, de comparar)
El tipo de objetos involucrados (objetos aisla-
bles o magnitudes continuas)
Por grupos, los profesores inventan problemas de adi- Lo que se pregunta y la información que se da
ción y de sustracción que puedan ser representados por (lo que dará ocasión a la práctica de la adición
conjuntos de dibujos o símbolos, como el problema de la o de la sustracción)
conejera, y otros que convenga representarlos por una recta
En los casos en que tanto la adición como la sus-
numérica, como el de la edad de Juanito.
tracción son posibles es conveniente permitir que
los alumnos usen una u otra, indistintamente.
Al final, hacen una lista en la que anotan con qué clase
de objetos trabajaron, en cada tipo de problemas.

se apoyan en materiales concretos, para orientar y
Actividad 5/ comprobar sus cálculos.
Combinaciones
aditivas básicas ?,l A similación de las combinaciones aditivas básicas.
En esta etapa se trata de facilitar la memorización y el
cálculo rápido de adiciones y sustracciones en el ám
Los profesores leen el texto siguiente.
bito del 0 al 20. Para ello, hay que ayudarles a visualizar
las relaciones entre los diversos ejercicios que se les
Se consideran como combinaciones aditivas básicas
proponen y proporcionarles instancias de práctica va-
las adiciones de dos sumandos cuya suma es igualo menor
riadas y amenas.
que 20. Su dominio constituye una de las bases del cálculo
mental y escrito correspondiente a la operatoria aritmética.
Por grupos, los profesores reflexionan sobre la cantidad
de tiempo de clases que dedican al aprendizaje de las
A l término del Primer Ciclo de la Educación General
combinaciones aditivas básicas.
Básica es indispensable que todos los alumnos manejen
estas combinaciones en forma rápida y segura, sin cometer
Intercambian experiencias respecto a las actividades
errores.
de aprendizaje que organizan.
El aprendizaje de las combinaciones aditivas básicas
Los profesores de cuarto año informan sobre la canti-
requiere de bastante tiempo, dedicado a actividades que
dad de alumnos de su curso que aún cuentan con los dedos
aseguren la conceptualización y, posteriormente, la asimila
o se demoran en calcular una combinación aditiva básica.
ción de éstas. Por ello, puede ser desglosado en dos etapas:

1/ Conceptualización de las combinaciones aditivas bási- Opinan sobre la relación entre una deficiente asimilación
de las combinaciones aditivas básicas y los errores de
cas.
Etapa destinada a que los alumnos comprendan las cálculo en la operatoria aritmética.
relaciones aditivas en el ámbito del 0 al 20. A prenden a
encontrar la suma, dados los sumandos, y a descom- Luego, analizan las dos actividades que se describen a
continuación, e identifican cuál corresponde a cada una de
ponerunacantidad enpares de sumandos. Inicialmente,

las etapas del aprendizaje de las combinaciones aditivas
básicas descritas en el texto que leyeron. El mago adivinador

Finalmente, ponen en común sus conclusiones. Materiales: Una bolsa no transparente, fichas de
colores y un dado, o tarjetas con los números del 1
al 6.
Gana la suma mayor
Descripción: Al comienzo, el profesor muestra
Materiales: Dos conjuntos de tarjetas con los que la bolsa está vacía y dice: « Nada por aquí,
números del 1 al 9 para cada grupo de alumnos. nada por allá». Un alumno lanza el dado o toma una
También sirve un juego de naipes. tarjeta; supongamos que sale el 3. El mismo alumno
pone 3 fichas en la bolsa. A continuación, otro
Descripción: Por grupos, los alumnos colocan alumno lanza el dado y pone en la bolsa la cantidad
las tarjetas boca abajo, al centro de la mesa. Por correspondiente de fichas.
turnos, cada jugador sacados tarjetas. Completada El profesor pregunta cuántas fichas hay ahora en la
una vuelta, los jugadores muestran los números bolsa. ¿Están todos los alumnos de acuerdo? Es
que sacaron y dicen su suma. Gana el que tiene la posible verificar la respuesta sacando las fichas de
suma mayor, siempre que no se haya equivocado l a bolsa y es necesario hacerlo si hay alumnos que
al calcularla. El ganador se lleva todas ,las tarjetas tienen dudas.
de la vuelta e inicia la vuelta siguiente. Gana el Si los alumnos responden sin dificultad, laactividad
juego quien haya reunido más tarjetas. se puede realizar con números del 1 al 10.

Descripción: El profesor explica que las fichas son pulgas;
Actividad 6/
cada pulga salta en la cinta tantos números como lo que
Definamos la Tarea i ndica el dado. Gana el niño cuya pulga llega más lejos en
dos jugadas. Mientras juegan, el profesor los estimula a que
Antes del próximo Taller, los profesores deberán leer la calculen a qué número llegarán en la segunda jugada.
lista de actividades que se proponen a continuación, para Luego comprueban si acertaron, desplazando la ficha.
promover el aprendizaje de las combinaciones aditivas
básicas. Cada profesor elige por lo menos una de estas Variaciones: Gana el juego el niño cuya pulga llegue más
actividades, la pone en práctica con sus alumnos y escribe lejos en tres o en cuatro jugadas. O el que primero llegue al
un informe en el que incluye: número 30.
• La actividad elegida Con la cinta, sin la ficha. Lanzan el dado y registran en
• Si la realizó tal como está propuesta o con modifica- sus cuadernos cada jugada. Si es necesario, usan la cinta
ciones, indicando cuáles para encontrar a qué número llegan.
• Las reacciones de sus alumnos Sin cinta, ni ficha. Lanzan el dado y registran en sus
• Otras actividades que le gustaría probar en el aula cuadernos lasjugadas, calculando, a su manera, los números
a los que llegan. Esta situación es más difícil, porque los
alumnostienen que imaginar l aacción ynopueden comprobar
Actividades para el aprendizaje inmediatamente con el material.
de las combinaciones aditivas básicas Sin cinta, ni ficha, ni dado. El profesor inventa historias
del tipo: «La pulga de Alicia está en el 3 y en el dado sale el
1. Para la conceptualización de las 5, ¿a qué número llega la pulga?»
combinaciones aditivas básicas
El mago que saca fichas
Los saltos de la pulga
Materiales: Una bolsa no transparente, fichas de colores
Materiales: Una cinta de papel numerada hasta el 30 y un y un dado, o tarjetas con los números del 1 al 6.
dado para cada grupo de alumnos. En los grupos, cada
alumno tiene una ficha de un color diferente. Descripción: El profesor muestra que la bolsa está vacía.

Luego colocan dentro un número determinado de fichas, por Jugar sin fichas y con la cinta. Los alumnos registran las
ejemplo, 7. Un alumno lanza el dado o toma una tarjeta; jugadas en sus cuademos y se apoyan en la cinta para
sacan de la bolsa el número de fichas indicado. confirmar sus respuestas.
El profesor pregunta cuántas fichas quedan en la bolsa. Sin fichas y sin cinta, sólo con el dado. Su único apoyo
Los niños responden y su respuesta es verificada abriendo es el registro escrito.
la bolsa y contando las fichas. Sin ningún material, en base a historias relatadas por el
profesor.
Variaciones: Una vez colocada en la bolsa una cantidad
conocida de fichas el profesor pregunta cuántas hay que
sacar para que queden, por ejemplo, 3. Los alumnos respon- Sumando puntos
den, se saca el número de fichas que ellos dijeron y luego se
comprueba si efectivamente quedan 3 en la bolsa. Materiales: Dos dados y una hoja con una tabla aditiva, sin
Sin bolsa, ni fichas: Cuando los alumnos ya estén los resultados, por grupo.
familiarizados con el juego se puede inventar historias: «En
la bolsa hay 9 fichas. Pedro lanza el dado, le sale 2; saca 2
fichas, ¿cuántas quedan en la bolsa?».

La pulga salta hacia atrás

Descripción: Este juego es similar a «Los saltos de la
pulga». La diferencia consiste en que ahora la pulga retroce-
de a partir de un número determinado de la cinta numerada,
tantos números como indica el dado. El número de partida
puede ser 10, i nicialmente.
Descripción: En una primera etapa todos los alumnos se
Variaciones: Iniciar el retroceso desde un número cada agrupan en torno a la tabla, trazada en el piso o sobre una
vez mayor, de acuerdo a los logros que muestren los niños. hoja grande de papel. Un alumno lanza el primer dado, lo

coloca sobre el número que salió, en la hilera horizontal, e Cargando el carrito
i dentifica su «camino» (la franja vertical, bajo el dado). Otro
alumno lanza el segundo dado y hace lo mismo, pero Materiales: Un juego de tarjetas par - impar, -por grupo.
colocando el dado.sobre el número correspondiente en la
hilera vertical. Descripción: En cada grupo, distribuyen las tarjetas sobre la
El profesor pregunta cuántos puntos obtuvieron con los mesa, en desorden. Un alumno toma una tarjeta, la esconde en
dos dados. Los alumnos responden y, después de verificar su falda y dice cuántos puntos tiene. Un segundo alumno toma
su respuesta, anotan la suma en la casilla en que se juntan otra tarjeta y hace lo mismo. Entonces, cada miembro del grupo
los «caminos de ambos dados. debe armar un «carrito donde quepan exactamente las dos
A medida que el juego se desarrolla, van completando tarjetas, yuxtapuestas. El «carro puede estar formado por una
la tabla y ejercitando su lectura. Al término de esta etapa tarjeta o bien por dos, siempre que una de ellas sea la del 10.
colocan latablaen unamuralla, para que puedan consultarla Comprueban si los «carros» están bien armados poniendo
cuando lo necesiten. encima las dos «cargas. En cada jugada, verbalizan el ejercicio,
En una segunda etapa, los niños practican el mismo por ejemplo: «cinco más cinco son diez.
juego por grupos. Cada grupo completa su propia tabla.
Variaciones: Si se equivocan demasiado, pueden practi-
Variaciones: Extender la tabla hasta el 10, o hasta el 12, car el juego de modo que, en un primer período, sólo puedan
utilizando dos dados para determinar cada sumando. esconder cargas que tengan de 1 a 5 puntos.
Con la tabla colocada en una muralla, el profesor El profesor dice, por ejemplo: «carguen el carro del 9 con
plantea situaciones ficticias del tipo: «A Manuel le salió 5 y a dos cargas. Por parejas, los alumnos toman la tarjeta del 9 y
Rosita 3. ¿Cuántos puntos sacaron entre los dos? Si no lo buscan otras dos tarjetas que, yuxtapuestas, coincidan exac
saben, fíjense en la tabla, antes de contestar. tamente con ella. Luego, cada pareja dice qué tarjetas encontró.
Tapando los números escritos en los bordes de la tabla
eligen un número que esté en el centro, por ejemplo, el 8. Decenas con los dedos
Buscan números que tendrían que salir en los dados para
que los puntos sumados fueran 8 y los registran. Luego Materiales: Las manos de los niños.
destapan los bordes para comprobar sus respuestas.
Descripción: El profesor muestra con sus dedos un núme-

ro y los alumnos responden levantando el número de dedos Contar y descontar
necesarios para completar una decena. Es un juego de fácil
control porque todos los alumnos deben mostrar la misma Descripción: Participa todo el curso. El profesor parte
cantidad de dedos. diciendo el 1 y los alumnos continúan el conteo. Una vez que
terminaron se empieza a descender en el conteo. Después
Varlaciones: En vez de mostrar sus dedos el orofesor dice se cuenta de diez en diez y se retorna. Se cuenta de dos en
un número y pide a un alumno que diga el número necesario dos, de cinco en cinco, siempre en sentido directo e inverso.
para completar una decená. Si otros alumnos no están de Es importante hacerlo lentamente al principio, para que los
acuerdo con la respuesta, levantan sus dedos para mostrar alumnos puedan sacar las cuentas, ejercitando las combina-
su respuesta. ciones aditivas básicas.
Antes de iniciar el juego eligen un número, por ejemplo,
el 7. Si el profesor levanta su mano con 3 dedos extendidos, El doble gana
los alumnos deberán levantar la suyacon 4, para completar
7. Una vez familiarizados con el juego, los alumnos lo Materiales: Las manos de los niños.
practican en parejas; cada pareja elige un número diferente
y, después de jugar, registra las descomposiciones aditivas Descripción: Organizados en parejas, los niños dicen:
encontradas. Pueden colocar en la muralla los registros «ca-chi-pún » y muestran, simultáneamente, una mano cada
correspondientes a los números que más les costó des- uno con algunos dedos estirados para representar un núme-
componer, como ayuda - memoria. ro. Si ambos señalan el mismo número, deben decir su suma
y ganan un punto; por ejemplo: «tres más tres son seis.
Después de un período de práctica del juego, registran
Ni. Para la asimilación de todas las adiciones que encontraron.
las combinaciones aditivas básicas
Variaciones: Practican el juego con las dos manos, cui-
Este tipo de actividades puede iniciarse cuando los dando de usar una mano para representar los números hasta
alumnos ya han entendido parte de la tabla aditiva del 1 al 10 el 5 y las dos manos sólo a partir del 6, para que la
y debe prolongarse hasta que logren un manejo expedito de representación visual de cada número sea siempre la mis-
todas las combinaciones de esta tabla. ma.

En grupo, hacen dos tarjetas con cada número cuyo El otro alumno, a su turno, procede de igual manera. Gana el
doble aún no hayan memorizado. Las distribuyen sobre la que pone la quinta ficha en una línea. También se puede
mesa, por el reverso. Por turnos, cada alumno levanta dos colorear un sector de la tabla. En este caso, gana el que
tarjetas; si ambas tienen el mismo número, debe decir el coloca la última ficha de color, en el sector seleccionado. El
doble para ganar un punto. trabajo de control de los resultados se facilita con la tabla
aditiva colocada en la muralla.
Lotería A la búsqueda del sumando perdido. Un alumno lee la
ficha numerada y el profesor dice un número menor. El
Materiales: Fichas con números del 1 al 20. Una tabla alumno debe encontrar el número que, sumado al que dijo el
aditiva del 1 al 10 sin llenar y 10 fichas de colores, por profesor, de como resultado el número que leyó. Tapa estos
alumno. tres números en la tabla aditiva, con fichas de colores. Se
constata si está correcto y se reinicia el juego.
Descripción: Juega el profesor con todo el curso. Las
fichas con números están en una bolsa; un alumno saca una El que saca trece, gana
ficha al azar, lee el número, lo anota en el pizarrón y lo
devuelve a la bolsa. Cada alumno busca, en su tabla aditiva, Materiales: Dos conjuntos de tarjetas con los números del
una ubicación correcta del número leído y coloca una ficha 1a19.
de color en esa casilla. Por ejemplo, si se saca de la bolsa el
número 9, un alumno podrá poner su ficha de color en la Descripción: Los alumnos se organizan en grupos. Las
intersección de 5 y 4; otro la pondrá en la de 6 y 3. Gana el dieciocho tarjetas se colocan boca abajo, al centro de la
que primero complete 5 fichas de color en una misma línea mesa. Porturnos, cada alumno saca unatarjeta. Completada
de la tabla. Para verificar si está correcto, el alumno lee los una vuelta, cada jugador dice en voz alta qué número le tocó
sumandos correspondientes a cada ficha y el profesor revisa y qué número le falta para obtener 13. En la vuelta siguiente
si los resultados están anotados en el pizarrón. sacan, cada uno, otra tarjeta. Se pueden presentar tres
casos: sacar exactamente el número necesario para com-
Variaciones: Jugar en parejas, con una sola tabla aditiva. pletar 13 y convertirse en ganador; sacar un número mayor
Por turnos, un alumno saca una ficha numerada de la bolsa, que el requerido y convertirse en perdedor; sacar un número
lee el número y coloca la ficha de color en la casilla que elija. menor que el necesario, lo que da derecho a sacar otra

tarjeta en la vuelta siguiente y convertirse en ganador o Naipes con sumas y restas
perdedor. Gana el jugador que compone el número 13 con
la menor cantidad de tarjetas. Material: Tarjetas en blanco.

Variaciones: Cambiar el número que hay que componer. Descripción: Los alumnos, guiados por el profesor,-ela-
boran tarjetas en las que escriben una adición o una sustrac-
Para atrás y para adelante ción, con números entre 1 y 20, sin poner el resultado. Se
organizan en grupos para jugar. Colocan las tarjetas al
Materiales: Por pareja, una cinta numerada, un dado, una centro de la mesa, boca abajo. Cada alumno toma una
tarjeta con el signo + y otra con el signo -, dos fichas de tarjeta, la lee, calcula el resultado y lo dice en voz alta. Gana
diferentes colores. el alumno que obtiene un número mayor, como resultado.

Descripción: Un alumno lanza el dado y toma una de las Variaciones: Organizar el mismo juego, elaborando tar-
tarjetas con signos. A partir de la casilla en que se encuentra, jetas con las combinaciones aditivas básicas que los alumnos
hace saltar su ficha el número de casillas que indica el dado, presenten más dificultades para retener.
hacia adelante si tomó el signo + y hacia atrás si tomó el
signo-. Gana el que llega primero a un número preestablecido.

Variaciones: Sin fichas y con la cinta numerada. En este
caso, llevan un registro escrito de las jugadas. La cinta sirve
sólo para comprobar los resultados.
Se puede organizar un juego colectivo; el profesor dice
un número, el 8, por ejemplo, e indica: «sumen 2». Porturnos,
los alumnos van diciendo: 10 - 12 - 14, etc., hasta que el
profesor golpea con sus manos y cambia la orden diciendo,
por ejemplo: « resten 3». A partir del último número dicho, los
alumnos comienzan a restar 3, por turnos, hasta que el
profesor cambie nuevamente la orden.

Taller 101

Se espera que a través del Taller, los participantes tengan oportunidad de reflexionar sobre el
significado de los procedimientos que ellos utilizan, para resolver ejercicios de adición y sustracción. Se
analizan algunos algoritmos en contextos significativos y se proponen además otros procedimientos para
enfrentar más fácilmente la operatoria.

Actividad 1 / «Hace muchos años, un niño de tercer año me pregún-
tó: «¿Por qué la división se hace al revés que los demás
Comentemos la tarea cálculos?» Un tanto sorprendida, le pedí que me explicara
mejor su pregunta. Con la ayuda de sus compañeros, la
Los participantes informan sobre la actividad que se reformuló en los siguientes términos: «Cuando uno suma,
l eccionaron para trabajar en su curso, explican las razones
resta o multiplica, empieza por las unidades, sigue por las
de esta selección y de las modificaciones que hayan hecho. decenas; etc. Cuando uno divide, empieza por el número
Comentan las reacciones de sus alumnos, opinan sobre la más grande- es decir, por el valor posicional mayor- y sólo al
utilidad de estas actividades y programan una secuencia final divide las unidades. ¿Por qué?» Les dije que nunca se
para continuar probándolas en sus cursos. me había ocurrido plantearme esa interesante pregunta. Un
niño agregó: « Yo pienso que, como en la división se reparte,
es mejor repartir primero lo más grande y después lo más
pequeño». Uno de sus compañeros objetó: «Sí, pero en este
Actividad 2/ caso tendría que pasar lo mismo cuando restamos porque
El significado de también sería lógico quitar primero de los números más
grandes y después de los más chiquitos^
l os algoritmos
Les propuse que retomáramos el problema al día si-
Los participantes leen el relato que se presenta a guiente, una vez que hubiera reflexionado lo suficiente como
continuación, identifican y analizan los planteamientos que para encontrar juntos una respuesta. Unas cuantas horas de
subyacen en la experiencia que se describe, manifestando trabajo, conversando con varios profesores dula escuela -
su acuerdo o desacuerdo con éstos. resolviendo muchas adiciones, sustracciones, multiplicacio-
nes y divisiones- nos revelaron que cualquiera de esos
El relato refleja l as i deas principales de un artículo cálculos podría resolverse «al derecho» y «al revés», que
titulado «Acción y conocimiento matemático» publicado en era posible llegar al resultado correcto tanto comenzando
la Revista «Psicología Educativa» N° 10,1986, Medellín, por el valor posicional inferior como por el superior. Descu-
Colombia, escrito por l a profesora Delia Lerner, Asesora brimos también que, en algunos casos, los dos métodos
Pedagógica de la Universidad Nacional de Buenos Aires. eran igualmente económicos pero, en otros casos, resultaba

mucho más económica la dirección convencional. dolo de cualquiera de las dos formas, otros sostenían que no
era así
¿Cómo comunicar a los niños estos descubrimientos?
Sabíamos que los descubrimientos no se transmiten, lo único Decidimos entonces analizar los ejercicios que ellos
que puede hacerse es crear las condiciones para que los habían hecho, para determinar las semejanzas y diferencias
demás tengan la oportunidad de hacerlos. Por lo tanto, al que pudieran existir entre los cálculos que permitían obtener
volver al aula, no pretendí explicar a los niños las soluciones el mismo resultado en las dos direcciones y los que, según
que habíamos encontrado. Les dije, en cambio, que para ellos, no lo permitían.
encontrar una respuesta a la pregunta que ellos se habían
formulado, era necesario hacerse antes otra pregunta: ¿Es
obligatorio multiplicar, sumar, restar y dividir en la forma
habitual o bien es posible hacerlo también en dirección
inversa?

Las opiniones de los niños fueron diversas y pueden
resumirse en las tres siguientes:

• No se puede hacer al revés.
• Se puede, pero no dará el mismo resultado. Al comparar varios cálculos de cada tipo especificado,
• Se puede y dará el mismo resultado. los niños descubrieron que, en el primer caso, se trataba de
situaciones que no requerían ninguna reagrupación -"sin
Se propuso entonces que buscáramos juntos formas de reserva "- en tanto que, en el segundo, era necesario reagru-
verificar o rechazar las diversas hipótesis planteadas. Los par. Por lo tanto, en este último caso, los resultados que se
niños opinaron que era necesario intentar resolver todos los obtenían al realizar la operación de izquierda a derecha eran
ejercicios en las dos direcciones y que lo más fácil era absurdos: como no se podía pasar al lugar de las decenas
empezar sumando. Cada niño inventó y resolvió un ejercicio la nueva decena formada al reunir las unidades, se obtenían
de adición, pero esto no permitió llegar a un acuerdo: números mucho mayores de lo que era lógico esperar a
algunos sostenían que se obtenía el mismo resultado hacién- partir de los sumandos.

colocar las decenas en el lugar de las centenas y ésa es la
razón por la cual los resultados eran tan absurdos.

Una vez logrado el acuerdo, les pregunté: «Si se puede
obtener el mismo resultado en las dos direcciones ¿por qué
será que al sumar empezamos por las- unidades?» La res
Dije que me parecía muy raro que se pudiera obtener el puesta fue unánime: «¡Porque es más fácill» Sin embargo,
mismo resultado en unos casos y no en otros y propuse algunos niños dijeron que era más interesante hacerlo «al
buscar algún procedimiento que permitiera resolver el pro revés» porque uno se veía obligado a «pensar más». Pre-
blema que nos planteaban las adiciones en las que era gunté qué era lo que tenían que pensar tanto y ellos
necesario reagrupar. Después de una discusión en peque- respondieron: «Uno no se puede olvidar qué es lo que está
ños grupos, a lo largo de la cual los niños volvieron a hacer sumando, hay que prestar atención todo el tiempo para
muchos ejercicios en ambas direcciones, varios de ellos saber s¡ se trata de decenas o de centenas».
encontraron la solución formulando una regla suplementar¡a
que decía: «A ún cuando la adición se realice «al revés», la Luego seguimos un proceso similar para las otras ope-
reagrupación debe hacerse en la dirección convencional». raciones -muy rápido para la sustracción y la multiplicación,
más difícil en el caso de la división- y los niños comprobaron
Ejemplos: que las conclusiones a las que habíamos llegado con res-
pecto a la adición eran generalizables a los otros cálculos.
Esta situación muestra claramente la necesidad de que los
niños reconstruyan porsímismos el proceso a través del cual
se producen los conocimientos, aún cuando se trate -como
en este caso- de contenidos que resultan de una convención
social tan establecida que nosotros mismos ya no sabemos
cómo ni por qué se llegó a ella. Hemos podido observar
también que los niños actúan intelectualmente no sólo sobre
Todos los niños consideraron que éste era el único objetos concretos, sino también cuando trabajan con lápiz y
procedimiento posible, puesto que, si no se utiliza, hay que papel, es decir, sobre representaciones e incluso sobre

procedimientos adquiridos de manera más o menos mecá-
nica. Ellos se plantean problemas, formulan hipótesis y La familia Soto viaja de Santiago a Antofagasta,
buscan formas de ponerlas a prueba. Para verificar estas ellos recorren aproximadamente 1 370 Kms.
hipótesis, coordinan sus acciones de diferentes maneras -
en este caso variando el orden en que se realizan- y reflexio- La familia Riganaza viaja de Santiago a Puerto
nan acerca de los resultados obtenidos así como acerca de Montt, ellos recorren aproximadamente 1050 Kms.
las acciones mismas. De este modo se hace posible, en la
situación particular que estamos analizando, descubrir que Si la familia Riganaza desea ir a visitar a la familia
el resultado es independiente del orden en que se ejecutan Soto, a la ciudad de Antofagasta ¿ Cuántos kiló-
las acciones y comprender las razones que llevaron a elegir metros debe recorrer?
el procedimiento convencionalmente utilizado.

• Solucionan el problema en pequeños grupos.
• Escriben la forma en que lo resolvieron, o sea los pasos
que siguen para resolver el ejercicio, ya sea que lo
hagan mentalmente o por escrito.
• Ponen en común los algoritmos utilizados, los comparan
y establecen semejanzas o diferencias .
Actividad 3/
Diferentes algoritmos 3/2. Haciendo un presupuesto
de adición para un solo
Los participantes leen el siguiente problema.
problema
3/1. De viaje por chile

9 Los participantes leen el siguiente problema.

Marcelo dijo: voy a calcular cuánto sale comprar la
Tres amigas, Viviana, Consuelo y Pilar, desean bebida y los duraznos, tomó un lápiz y resolvió el ejercicio
preparar una comida para algunos amigos, deci- así:
den hacer arroz con salchichas en salsa de tomate,
duraznos de postre y bebidas. Los invitados son
tres, más ellas, los padres y un hermanito de la
dueña de casa, el que participa activamente de la
idea . El presupuesto debe ser, entonces, para
nueve personas. Para llegar al resultado, razonó así:

Mirando los precios en una propaganda, las ami-
gas y Marcelo; el hermanito, hacen una lista para
l uego realizar los cálculos.

ARROZ $383
SALCHICHAS $450
SALSA DE TOMATE $235 Necesitamos $1370 para comprar la bebida y el postre,
BEBIDAS $475 dijo Marcelo.
DURAZNOS AL JUGO $895
Viviana, -por su cuenta, realizó los siguientes cálculos.
El resto de las cosas necesarias para cocinar las
pone la dueña de casa. 31
383
i Listo! dijeron las amigas, ahora a calcular. 450 Viviana dijo: por lo
235 menos necesitamos
475 $2 438, para hacer
+ 895 todas las compras.
2438

Pila( también hizo sus cálculos. que su suma parcial pasa de diez, tarja el número,
conserva las unidades y les suma el número que sigue.
383 Por ejemplo: 3 + 5 = 8; 8 + 5,= 13, tarja este 5, conserva
450 el 3, y sigue sumando. Antes de sumar los números que
235 corresponden a las decenas, cuenta la cantidad de
475 tarjas en la columna de las unidades, la que corres0on-
+ 895 de a la «reserva». Luego, sigue sumando las decenas
18 de la misma manera; una tarja, más 8 son 9, más 5 son
320 14, tarjo el 5 y conservo 4; luego 4 más 3 son 7, más 7
+ 2100 son 14, tarjo el 7 y conservo 4; a continuación, 4 más 9
2438 son 13, tarjo el 9 y escribo 3. Paso a sumar la columna
de las centenas, cuento primero el número de tarjas que
Estoy de acuerdo, necesitamos $ 2 438, dijo Pilar. se hicieron en la posición de las decenas y las sumo al
primer número que corresponde a las centenas.
Al mismo tiempo, trabajaba Consuelo.
Las tres amigas y Marcelo, pudieron realizar los cálculos
383 sin mucha dificultad.
00
235 Los participantes, trabajando en grupos:
410
+ 05 • Analizan cada uno de los algoritmos utilizados por
2438 Viviana, Consuelo, Pilar y Marcelo, determinan sus
ventajas o desventajas
Consuelo, también coincidió con la cantidad.

Consuelo utiliza una forma de sumar que le facilita el
conteo de las reservas. Comienza sumando los núme-
ros que ocupan la posición de las unidades, cada vez

En el primer algoritmo Marcelo aplicó sus conocimien-
Al trabajar algoritmos, deben considerarse las mis- tos de Sistema de Numeración Decimal y la propiedad
mas recomendaciones que para el proceso ense- asociativa de la adición.
ñanza-aprendizaje de cualquier concepto, noción El algoritmo de Pilar es semejante al de Marcelo, ella no
o habilidad matemática; nos referimos a aquéllas descompone los números, pero sí suma primero las unidades,
relacionadas con la utilización de material concre- l uego las decenas y por último las centenas; para obtener el
te. La comprensión de cualquiera de los procedi- resultado final Pilar suma sus resultados parciales.
mientos se agiliza si se utilizan primero repre-
sentaciones concretas, luego gráficas y por último Los otros dos algoritmos, el de Viviana y Consuelo,
las simbólicas. Son materiales concretos adecua- también son semejantes entre sí. Viviana suma en cada
dos: los billetes, con su respectivo tablero, un ába- posición y escribe la «réserva» sobre la posición de orden
co, construido en cualquiera de sus versiones, las superior siguiente, Consuelo, en cambio, se apoya en el
tarjetas con números, entre otros. conteo de las tarjas.

• Proponen otros algoritmos conocidos por ellos.
• Conversan sobre la factibilidad de que sus alumnos
Se recomienda ver el video: "Operatoria Aritmética utilicen diferentes algoritmos para encontrar el resulta-
en la Escuela Básica", del Programa de las 900 do de un ejercicio.
Escuelas. • Relacionan sus propias conclusiones, con las plantea-
das en la lectura presentada en la Actividad 2.
• Ponen en común, el trabajo realizado en los grupos.
• Escriben un breve informe, donde establecen semejan-
zas y diferencias entre los algoritmos presentados en el
problema.

El conductor del Taller puede dirigir la atención hacia los
siguientes aspectos.

Actividad 4/ Si alguien dice: «pido 1 », ¿a quién le pide?, ¿cuándo
devuelve lo que pidió?, ¿a quién le devuelve?
Conociendo diferentes
algoritmos de sustracción Si alguien dice: «pido 1 y tengo 12», ¿si pidió 1, y tenia
2, cómo puede tener 12 ahora? etc.
411. Un problema «histórico-
• Analizan y comentan las siguientes formas de abordar
el problema, propuestas por Raúl y Yolanda.
Los participantes, en conjunto

La proposición de Raúl
• Leen el siguiente problema:
El problema se puede traducir así:
¿Cuántos años han pasado desde que Diego de
Almagro descubrió Chile?

• Resuelven el problema
Un «voluntario» hace la sustracción en la pizarra, expli-
cando cada paso:

1 992
-1536
456 La distancia entre 1536 y 1992 es equivalente a la suma de
los tramos:
• Ponen en común sus procedimientos, relatando los
pasos que siguen para resolver la sustracción. Res- 4+60+300+92=456
ponden preguntas como éstas: ¿Alguien hace la sus
tracción de otra manera? ¿Cuál? Háganla y comparen. Son 456 años.

La proposición de Yolanda
Una manera de resolver ejercicios de sustracción
Otra manera de encontrar el sumando desconocido es: consiste en considerarlos como adiciones en las
que se desconoce uno de los sumandos.

Los participantes dan respuesta a la siguiente pregunta:

¿Es posible invertir el procedimiento utilizado en la recta
Este procedimiento también se puede usar aunque el numérica?
ejercicio se escriba así:
Intentan dar respuesta a la pregunta, con el siguiente
problema:

En 1992 se celebran los 215 años del natalicio de
En este caso se está planteando una sustracción, pero José de San Martín ¿En qué año nació?
se está resolviendo una adición:

4/2. Cambiando antes de restar

Materiales: Una bolsa del material «Los billetes por cada
grupo.
Por ejemplo, en la columna de la unidades diríamos

Los participantes leen el problema, plantean la sustrac-
ción y la resuelven, utilizando los "billetes ", como material
de apoyo.

pagar los $3 755 y les quedan, $1807.
El Tercero A ha reunido $5 362 para la fiesta de fin
de año. En el Consejo de Curso decidieron pagar
con ese dinero el vidrio que rompió casualmente La comprensión de este procedimiento se facilita
Anita. El vidrio costó $3 755 ¿Cuánto dinero les cuando, como en el caso de los billetes, el sistema
queda? de medidas está organizado de 10 en 10.

El procedimiento puede esquematizarse así: 4/3. Sumando y restando constantes

• Los participantes, en conjunto, conversan sobre algu-
nas estrategias para resolver adiciones y sustracciones,
donde se facilite el cálculo mental.
• Registran por escrito los algoritmos propuestos.
• Analizan y resuelven los siguientes ejercicios, aplican-
do alguna estrategia que facilite su cálculo.

• Revisan otras estrategias propuestas

Para pagar $5 tuvieron que cambiar un billete de $10 por 198 198+2 200
10 billetes de un peso. +378 378+2 +380
580-4=576
Asimismo, para pagar $700 tuvieron que cambiar un
billete de $1000 por 10 billetes de $100. Hecho esto, pueden Se ha sumado una constante 2 a ambos sumandos para

redondear los sumandos; 200 + 380 se suma y al «Dado que una decena es igual a 10 unidades, si
resultado se le restan 4 unidades. sumamos 10 unidades al minuendo y 1 decena al sustraendo,
la diferencia entre ambos términos será la misma, con la
ventaja de que será más fácil encontrarla. Tendremos:

1992+ 10 unidades 1 99(12)
1536+ 1 decena -15(4)6
El minuendo se expresa como 100 -1, y el sustraendo
Sumar o restar una misma cantidad al minuendo y al
como 100 + 4, se suma 100 más 100 y se resta 4 menos
sustraendo, en la sustracción, puede servir como un «truco»
1. El resultado final es 203.
para simplificarla.

Revisan y resuelven los siguientes ejercicios.
Vean un ejemplo:

723 (+3)... 726 (+10)... 736
-387 (+3)... -390 (+10)... -400
Reflexionan para dar respuesta a la siguiente pregunta:
En este caso, el «truco» consiste en sumar lo que sea
¿Por qué en todas estas sustracciones se obtiene el
mismo resultado? necesario para tener decenas completas y luego centenas
completas en el sustraendo.
Recuerdan el problema del descubrimiento de Chile:
La diferencia entre minuendo y sustraendo se
1992
mantiene constante cuando a ambos se les suma
-1536
o se les resta una misma cantidad.

• Leen y comentan la siguiente estrategia para facilitar el
cálculo mental.

Aplican la conclusión del punto anterior a la resolución
Hay niños que cometen errores en las sustraccio-
del siguiente problema.
nes porque restan el número menor del mayor
aunque el número mayor esté en el sustraendo.

Aníbal tiene 8 años y Camila 25. Dos años más Daniel también lo hace así y no le va mal. Vean co-
tarde Aníbal tiene 10 años y Camila 27. mo lo aplica en el problema histórico.
Aníbal suspira: ¡Me siguen faltando 17 años para
ser de su edad!

Esto está mal ¿verdad? Es que Daniel todavía no ha
puesto los signos. En cada columna, si el número
mayor está en el minuendo escribe el signo + y si
está en el sustraendo escribe el signo - porque la
diferencia es negativa.

Actividad 5/
Otras técnicas para
resolver ejercicios de Ahora escribe el resultado en forma desarrollada
sumando los números que tienen signo + y restan-
adición y sustracción do los que tienen signo -

5/1. Un procedimiento «algebraico»
para restar

Los participantes, en pequeños grupos, leen y comentan
el siguiente caso. Este es el resultado, han pasado 456 años.

Actividad 6/
Definamos la tarea
Una de las ideas principales, transmitidas a través de
los Talleres, es la necesidad de contextualizar los aprendi-
zajes matemáticos.Los algoritmos no se escapan de esta
recomendación, por lo tanto es necesario contar con pro-
blemas que faciliten su comprensión.

Los participantes diseñan dos situaciones problemáti-
cas de adición o de sustracción y las proponen a sus
alumnos. Para el Taller siguiente deberán llevar un informe
escrito que incluya las situaciones propuestas y una selec-
ción de las diferentes maneras que utilizaron los niños para
resolverlas.

Taller 111

EsteTallertiene como propósito que los participantes revisen diversos tipos de situaciones multiplicativas
que les permitan orientarla conceptualización y ejercitación de la multiplicación y división. Se espera que
l os profesores tomen conciencia de la importancia de ligar estos aprendizajes con situaciones interesantes
para los alumnos que les permitan dar significado a la operatoria. Se proponen, además, actividades para
l a construcción y asimilación de las combinaciones multiplicativas básicas.

Actividad 1 / 3. El curso de Omar recibe 54 lápices. Vienen en 9
Comentemos la tarea cajas con igual número de lápices cada una.
¿Cuántos lápices trae cada caja?
Los profesores ponen en común las situaciones plan-
teadas a sus alumnos, las analizan y comentan sobre las
maneras en que los alumnos hicieron l os cálculos. 4. Silvia compra 6 chupetes. Un chupete cuesta
$15. ¿Cuánto debe pagar por su compra?.
Finalmente, evalúan esas situaciones y seleccionan las
mejores, con el fin de seguirlas probando en sus cursos.
5. Marcela compró 5 calugas en $ 50 ¿Cuánto
Actividad 2/ dinero debe reunir si ella quiere comprar 15 calugas?

Problemas para f eer
y resolver 6. Marcos sabe que ofrecen 6 chilenitos en $480.
¿Cuánto debe pagar él si necesita comprar 9
En grupos, los profesores resuelven cada uno de los chilenitos?
siguientes problemas.

7. Pepe tiene 3 poleras; una blanca, una azul y una
1. El curso de Víctor recibe 8 cajas de lápices. En negra y 2 pantalones; uno de mezclilla y otro de
cada caja vienen 6 lápices. ¿Cuántos lápices cotelé. Si combina de todas las formas posibles sus
recibe el curso? poleras y pantalones. ¿Cuántas tenidas distintas
puede armar?

2. El curso de Andrea recibe 42 lápices. Vienen en
cajas de 6 lápices. ¿Cuántas cajas recibe el curso
de Andrea?

12 lápices.
8. Daniel quiere embaldosarunaterraza, que a lo largo
caben 30 baldosas y a lo ancho 12. ¿Cuántas baldo- Y, en vez de decir: 18 dividido 6 es igual a 3
sas debe tener Daniel para hacer este trabajo? pueden decir: si tengo 18 sillas y las coloco en filas con
6 sillas cada una, formo 3 filas.

9. Juan ha terminado de colocar los azulejos en una En esta actividad se analizarán tres tipos de problemas:
pared del baño, ocupó 240 azulejos, si él colocó filas
de 12 azulejos cada una. ¿ Cuántas filas colocó?. De agrupamientos y distribuciones equitativos
De variación proporcional
De combinaciones
Analizan los procedimientos que usaron para resolver
los problemas y escriben el ejercicio que utilizaron en cada El trabajo de comprensión y resolución por parte de los
caso. alumnos de estos tipos de problemas les permite captar el
significado de la multiplicación y división y los prepara para
poder usar esta operatoria adecuadamente y con seguri-
Actividad 3/ dad.

Tipos de problemas de 3/1. Problemas de agrupamientos
multiplicación y división y distribuciones equitativos

El aprendizaje de la multiplicación y la división se facilita Los profesores leen el texto siguiente:
si cuando los niños calculan ejercicios de multiplicación o
división, pueden atribuirle un significado específico a cada Dentro de los problemas de agrupamientos y distribu-
una de las cantidades que intervienen. ciones equitativos se distinguen dos categorías:

Así en lugar de decir: 2 por 6 son 12 A) conjuntistas: aquéllos en los que hay una colección
pueden decir: en 2 cajas con 6 lápices cada una, hay de objetos-envases que actúan como recipientes o conti-

nentes y cada uno de éstos contiene igual cantidad de El curso de Andrea recibe 42 lápices. Vienen en
objetos-elementos, cajas de 6 lápices cada una. ¿Cuántas cajas recibe
B) de arreglos rectangulares o cuadrados: aquéllos en el curso de Andrea?
los que hay un conjunto de elementos ordenados en un
número de columnas (o filas) con igual número de elementos En este problema se señala el número total de lápices
en cada una. recibidos y el número de lápices por caja, para dar respuesta
a la pregunta es necesario tomar los 48 lápices e ir formando
La denominación de estas categorías de problemas cajas con la medida dada, es decir con 6 lápices, por esto
viene del hecho que para los primeros suelen ser adecuadas último, éste es un problema de división-medición,
las representaciones conjuntistas, mientras que para los
segundos se suele usar modelos de tipo geométrico; arre- El curso de Omar recibe 54 lápices. Vienen en 9
glos cuadrados o rectagulares: cajas con igual número de lápices cada una.
¿Cuántos lápices trae cada caja?
El curso de Víctor recibe 8 Daniel quiere embaldosar
cajas de lápices. En cada una terraza, que a lo largo En este problema se señala el número total de lápices
caja vienen 6 lápices. caben 30 baldosas y a lo recibidos y el número de cajas; para dar respuesta a la
¿Cuántos lápices recibe el ancho 12. pregunta será necesario repartir equitativamente los 48
curso?. ¿Cuántas baldosas debe lápices en las 9 cajas, poresto último éste ps un problema de
tener Daniel para hacer el división-partición.
trabajo? En los problemas de división es indispensable-señalar
que el reparto se hará en partes iguales, en este caso, que
Ambas categorías de problemas se resuelven gene- en cada caja hay «igual número de lápices» Sí no se señala,
ralmente con un ejercicio de multiplicación. deberíamos aceptar múltiples respuestas, pues 54 lápices
El curso de Víctor tiene 48 lápices (8 x 6) y Daniel se pueden distribuir en 9 cajas de muy diversas maneras, por
necesita 360 baldosas (30 x 12). ejemplo:
Cada uno de estos problemas da origen a otros dos que
5+5+5+5+5+5+8+8+8=54
se pueden resolver mediante una división.
6+6+6+6+5+5+5+5+10=54

El problema de «Daniel y las baldosas», también puede Ejemplos:
originar dos problemas que se pueden resolver mediante Paquetes con 4 velas cada uno
una división, en ambos uno de los datos dados es el Floreros con 12 flores cada uno
producto representado por el arreglo rectangular o cuadra- Paneras con 6 panes cada una
do y el otro una de las medidas, preguntando por la otra Bandejas con 10 empanadas cada una
medida., Sobres con 5 láminas cada uno
Cajas, con 3 pañuelos cada una

En grupos, los profesores buscan temas apropiados Situaciones adecuadas para plantear problemas de
para plantear problemas de agrupamientos y distribuciones agrupamientos y distribuciones equitativos, de la categoría
equitativos, tanto de la categoría denominada conjuntista de arreglos rectangulares o cuadrados, son aquéllas que
como de los denominados arreglos rectangulares o cuadra- consideran elementos que en la vida diaria suelen disponer-
dos. Eligen dos temas, aquéllos que les parecen más inte- se en este tipo de arreglos.
resante para los alumnos, y redactan al menos dos proble-
mas, con cada uno de los temas. Ejemplos:
Cuadrados de un tablero de juego
Ponen en común los problemas inventados, comentan Botellas de bebida en una caja
cuales se pueden resolver con multiplicaciones y cuáles con Butacas en un cine
divisiones. Clasifican los problemas en las categorías Huevos en una bandeja
conjuntista y de arreglos rectangulares y cuadrados. Vidrios de una ventana
Ventanas de un edificio

rrtas de agrupamientos y distribuciones equitativos, de la 3/2. Problemas de variación proporcional
categoría conjuntista, son aquéllas que consideran objetos
envases de uso común: paquetes, floreros, paneras, bande- Los profesores leen:
jas, sobres, etc yobjetos-elementos tales-como velas, flores,
panes, empanadas, láminas, etc. Son problemas en que se establece una corresponden-

cía múltiple entre dos conjuntos de medidas. En grupos, los profesores resuelven cada uno de los
casos presentados en los recuadros.
Veamos un ejemplo: Comparten los procedimientos empleados. Escriben
l os ejercicios que hicieron para resolverlos y luego indican
cuáles problemas resolvieron sólo multiplicando, cuáles sólo
dividiendo, y cuáles dividiendo y multiplicando.
Buscan otras situaciones adecuadas para plantear este
tipo de problemas y cada profesor redacta tres problemas
diferentes.
Ponen en común los problemas planteados.
El precio de cada pan es de $ 20. Se establece una corres-
pondencia múltiple, de 1 a 20, entre las cantidades de panes y
las de dinero. El valora pagar varía proporcionalmente al número
de panes y el número de panes que se puede comprar varía
proporcionalmente a la cantidad de-dinero. mas de variación proporcional, pueden ser:
Una campaña de salud, en la que cada participante
En un problema de variación proporcional, podemos distin- visita 6 familias.
guir básicamente tres casos que se presentan en cada uno La confección de carritos con 4 ruedas, de delantales
de los siguientes rieles: con 5 botones.
Una fábrica donde se producen 50 vasos cada 4 horas.
Un enfermo que debe tomar 3 pastillas, 3 veces al día.
Una estufa a parafina que consume 2 litros de parafina
cada 6 horas.
Un intercambio de objetos de diferente valor, por ejem-
plo; una estampilla extranjera por 4 nacionales o-1 lámina
escasa por 10 láminas fáciles de encontrar.
Un dibujo cuyas medidas se duplican o se triplican para
agrandarlo.
Una receta cuyos ingredientes son para 6 personas y

que se quiere preparar para 3 personas. un conjunto de 3 poleras y un conjunto de 2 pantalones y se
Una convivencia donde se parte cada queque en 20 pregunta por el conjunto de tenidas.
tajadas.
Una escuela donde se distribuyen 4 libros por alumno. Pepe tiene 3 poleras; una blanca, una azul y una
negra y 2 pantalones; uno de mezclilla y otro de
Las situaciones de variación proporcional son abundantes cotelé. Si combina de todas las formas posibles sus
en la vida práctica, pero debemos estar alerta para delimitar en poleras y pantalones. ¿Cuántas tenidas distintas
cada una de ellas el rango en que la variación proporcional es puede armar?
válida. Así, por ejerrplo, un atleta que corre un circuito en 3
minutos, después de un tiempo se fatigará yaumentará el tiempo Para dar respuesta se requiere de un ejercicio de
que emplee en este recorrido. Un enfermo que toma un remedio multiplicación.
puede experimentar mejoría y requerir una dosis diferente Un situación multiplicativa de combinación puede plan-
después de unos días. El precio del pan amasado puede tearse a los niños como una actividad que ellos pueden
disminuir, sien vez de encargar 12 panes, le pedimos a la señora resolvér con material concreto, para posteriormente ubicar
que amasa que nos prepare 300 panes. Teniendo esta pre- sus respuestas en tablas o diagramas, con dibujos o con
caución, los problemas de variación proporcional se prestan palabras. Lo importante es que el alumno construya todas
admirablemente para la comprensión y ejercitación de la mul- las posibles combinaciones distintas y que establezca una
tiplicación y división. relación entre el número de elementos de los conjuntos y el
número de combinaciones obtenidas.

3/3. Problemas de combinaciones Veamos un ejemplo:

Los profesores leen el siguiente texto: Juan y Paola están armando figuras como ésta con
piezas cuadradas de color azul, rojo y verde y
Son problemas en los que dado el número de elementos piezas rectangulares de color amarillo, rojo y azul.
de dos conjuntos, se trata de determinar el conjunto produc- ¿Cuántas figuras distintas en color pueden armar?
to.
Asf en el problema siguiente, se señala, que Pepe tiene Conviene que las niños tengan suficiente material a su

disposición para que puedan armar todas las combinacio- ¿Son diferentes estas figuras?
nes, sin tener que desarmar una figura para hacer otra.
Una vez que han armado las figuras, se les puede pedir ¿Por qué?
que las revisen para constatar que no hay ninguna igual a Cuando se hayan familiarizado con la obtención de las
otra en el color. Luego podrán ordenarlas, colocando en una combinaciones, los alumnos podrán resolver problemas
fila todas las que tienen la pieza rectangular de un mismo como los siguientes:
color, para luego dejar en una misma columna las que tienen
la pieza cuadrada del mismo color. Así estarán en condiciones Tenemos 12 figuras distintas en color yse ha usado
de completar una tabla como la siguiente. 3 colores distintos de piezas rectangulares¿ De cuántos
colores son las piezas cuadradas que se ha usado?

Tenemos 16 figuras distintas en color y se ha usado
4 colores distintos de piezas cuadradas.¿De cuántos
colores son las piezas rectangulares que se ha usado?

Este tipo de problemas tiene menos aplicaciones en la
vida práctica, pero son de gran valor para el desarrollo del
pensamiento lógico del niño, por lo que es necesario consi-
derarlos.

Situaciones que se prestan para plantear problemas de
combinaciones, pueden ser:
Sandwichs distintos con 3 tipos de pan (hallulla, molde
y marraqueta) y 4 tipos de relleno (manjar, mermelada,
La tabla permitirá a los niños contestar estas preguntas: queso, paté)
¿De cuántos colores distintos hay piezas rectangulares? Globos distintos que resultan de combinar 3 formas
¿De cuántos colores distintos hay piezas cuadradas? (salchicha, conejo, redondo) y 5 colores (azul, verde, rojo,
¿Cuántas figuras distintas en color se pudieron formar? amarillo, morado)

Nombres de personas que se pueden formar con 5 está más al alcance de todos. Todo lo anterior lleva a concluir
nombres distintos y 4 apellidos distintos. que en el proceso de aprendizaje matemático de este tema
se debe enfatizar lo conceptual de la multiplicación y
En grupos, los profesores escogen una situación que división, el manejo comprensivo y flexible de las combinacio-
piensan podría ser interesante para los alumnos y que es nes multiplicativas básicas y el desarrollo de estrategias de
adecuada para plantear problemas de combinaciones. cálculo estimativo o aproximaciones.
Elaboran tres formulaciones diferentes de este tipo de pro-
blemas. El aprendizaje de las combinaciones multiplicativas
Ponen en común los problemas elaborados y los corrigen, básicas requiere de numerosas actividades que aseguren la
si es necesario. conceptualización y la asimilación de éstas.

La etapa de conceptualización de las combinaciones
multiplicativas básicas está destinada a la formación por
Actividad 4/ parte de los alumnos de «las tablas de multiplicar», a través
Combinaciones del uso de materiales concretos o situaciones de juego.

multiplicativas básicas La etapa de asimilación de las combinaciones
multiplicativas básicas es una etapa orientada a la «memo-
Los profesores leen el siguiente texto: rización comprensiva» de los productos básicos, apoyada
ésta por el establecimiento de relaciones que facilitan el
El manejo rápido y seguro de las combinaciones cálculo de los productos, una práctica sistemática y la
multiplicativas básicas, es decir las multiplicaciones de incorporación de estrategias de estimación de resultados.
factores iguales o menores que 10, es un logro que deben
alcanzarlos alumnos durante la escolaridadbásica, pues les
permiten enfrentar en buena forma los procedimientos tradi- Los profesores comentan sus experiencias de enseñanza
cionales de cálculo y estudiar otras relaciones numéricas de las tablas de multiplicar y comparten recursos que
También es un hecho que el acceso a las calculadoras de consideran exitosos para que los niños las construyan.
bolsillo es cada día mayor, debido a que su costo económico Hacen un listado de actividades y materiales que podrían

utHizar en la etapa de asimilación de las combinaciones Finalmente, se puede pedir a los niños que lean como
multiplicativas básicas. una serie los números remarcados: 3, 6, 9, 12, etc.
Leen las actividades que se presentan a continuación y
l uego comentan las adaptaciones que le harán a una de ellas Los ayudantes de doña Pancracia
para realizarla con sus alumnos.
Materiales: Tiras de papel numeradas del 1 al 20, del 1 al
Embaldosando 30, del 1 al 40,.... del 1 al 100. Conviene tener tantas tiras
como parejas de alumnos participantes. Tijeras, pegamento,
Materiales: Una bolsa de fichas cuadradas, por grupo. papel blanco.

Descripción: El profesor les dirá que se trata de ir colocando Descripción: El profesor explica que doña Pancracia
las fichas ordenadamente de a3, como si fueran baldosas quiere colocar en bolsitas los alfajores que ha preparado
decorativas de un piso. Se dejará a los niños usar los colores para la venta, pero su problema es sacar las cuentas para
libremente, pero se les insistirá que coloquen sólo tres en saber cuántos alfajores necesita para una cantidad de
cada fila. bolsas. Cada pareja de niños recibe una tira de papel
Una vez que los niños han formado 10 filas, se los hará numerada y una instrucción específica.
verbalizar el resultado de la acción:

También es posible contar marcando en un tono más A la pareja de niños que recibió la tira numerada hasta
fuerte el tercer elemento de ¡afila. 20, se le pedirá imaginar que doña Pancracia coloca dos
alfajores por bolsa, a los que recibieron la tira numerada
hasta 30, que doña Pancracia coloca 3 alfajores por bolsa...
a los que recibieron la tira numerada hasta 100, 10 alfajores
por bolsa.
Cada pareja de niños corta la tira numerada y pega los

trozos resultantes en cada caso sobre el papel blanco, de ¿Cuántas bolsas puede llenar con 18 alfajores?
manera que les permita contestar rápidamente el número de • Si coloca 2 alfajores en cada bolsa, 9 bolsas
alfajores que necesita doña Pancracia para diferentes can- • Si coloca 3 alfajores en cada bolsa, 6 bolsas
tidades.de bolsas. • Si coloca 6 alfajores en cada bolsa, 3 bolsas
• Si coloca 9 alfajores en cada bolsa, 2 bolsas
Los niños que recibieron la tira numerada hasta 30,
podrían organizar su trabajo así:
Esta ejercitación llevará a los alumnos a darse cuenta
que, para responder las preguntas, sólo necesitan contar las
1 2 3 filas horizontales y consultar la última columna, en cada una
de sus tablas. Entonces el profesor les puede proponer que
4 5 6 reunan toda la información en un solo cuadro, como el
siguiente:
7 8 9
N4 de alfajores
10 11 12 por bolsa 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N 4 de bolsas
2
Cuando todos tiene su tabla organizada, el profesa 3
hará preguntas para que la utilicen. 4
5
Doña Pancracia quiere saber: 6
7
¿Cuántos alfajores necesita para 5 bolsas? 8
• 10 alfajores, si coloca 2 en cada bolsa 9
• 15 alfajores, si pone 3 en cada bolsa 10
0 20 alfajores, si coloca 4 en cada bolsa...

Una tabla de este tipo puede ser utilizada para calcular
productos y para calcular cuocientes.

Ejemplos:
2 bolsas con 5 alfajores cada una. ¿Cuántos alfajores?
Buscan en lafila del 2, bajo la columna del 5 y encuentran
el productol0 (alfajores).

10 alfajores en 2 bolsas. ¿Cuántos alfajores en cada
bolsa?
Buscan en la fila del 2 , hasta encontrar el número 10 y
siguiendo la columna encuentran el cuociente 5 (alfajores).

10 alfajores, de 5 en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas? Esta nueva tabla es conveniente que sea colocada en
Buscan en la columna del 5, hasta encontrar el número un lugar visible de la sala, que tenga un tamaño suficiente-
10 y siguiendo ¡afila encuentran el cuociente 2 (bolsas). mente grande para ser consultada por todos los alumnos. Es
deseable que los productos estén escritos en tarjetas posi-
Esta tabla inicial permitirá presentar posteriormente otra bles de ser retiradas a medida que los alumnos los memori-
que incluya los productos por 0 y por 1 zan, manteniendo a la vista sólo aquéllos que aún no dominan.

1 bolsa con 0 (ningún) alfajor; 0 (ningún) alfajor.
0 (ninguna) bolsa con 2 alfajores; 0 (ningún) alfajor. Actividad 5/
1 bolsa con 1 alfajor, 1 alfajor.
1 bolsa con 2 alfajores; 2 alfajores. Definamos la tarea
Comentan la necesidad de apoyar el aprendizaje
de las combinaciones multiplicativas básicas, en la
etapa de construcción y en la de asimilación con acti-

vidades variadas. Se comprometen a leer las actividades que hicieron y que digan el total de cuadraditos o cargas que
que se les ofrecen, para luego seleccionar una para resultan.
trabajarla con sus alumnos.

Preparan un informe escrito para la próxima sesión de
Taller que contemple los siguientes puntos:
1 carro con 3 cargas, 3 cargas
• Nombre de las actividades que le parecieron interesan-
tes. Razones.
• Actividad que pudo trabajar con sus alumnos, si le hizo
adaptaciones, ¿cuáles?,¿cómo reaccionaron los alum-
nos? 2 carros con 3 cargas cada uno, 6 cargas
• Otra actividad que estaría dispuesto a probar en el aula.

Actividades para que todos los alumnos
aprendan las tablas de multiplicar
3 carros con 3 cargas cada uno, 9 cargas
Los trenes
El juego continuará hasta armar 1 tren con 10 carros
Materiales: Un juego de tarjetas par-impar por pareja de
alumnos. Esta actividad ha sido ejemplificada con «el tren del 3»,
sin embargo el material permite formar hasta el tren del 10.
Descripción: Se trata de ir armando el «tren del 3»;
ll amado así porque cada carro es una figura de tres
cuadraditos, o tres cargas. El profesor podrá dibujar en el Contando-cantando
pizarrón una máquina que lleva escrito el 3. Pedirá a los niños
que construyan trenes con un determinado número de Es necesario elegir una historia que les resulte familiar
carros. En cada ocasión pedirá a los niños que verbalicen lo a los niños, por ejemplo:

Una fabrica de velas que las envasa en paquetes de a 4. productos de dos cifras y facilita la comprensión del signifi-
Una señora que vende tiras con 5 calugas de shampoo cado de la división, siempre que el número inicial sea un
cada una. múltiplo del divisor.
Una máquina que tapa 4 botellas de una sola vez.
¡Cachipún!
Veamos este juego con la rima de la gallina francolina:
«La gallina francolina puso 1 huevo en la cocina, puso Materiales: Una bolsa no transparente para colocar
1, puso 2, puso 3...». tarjetas con dígitos.
« La gallina francolina puso 3 huevos en la cocina, puso
3, puso 6, puso 9, puso 12, ...». Descripción: Se saca una tarjeta de la bolsa, al azar.
«La gallina francolina puso 4 huevos en la cocina, puso Supongamos que salió el 3. Por turno los niños van cantando
4, puso 8, puso 12, puso 16, ...». en voz alta, a partir de 1. El primer niño dice 1, el vecino dice
2, el que sigue en lugar de 3 deberá decir icachipún!, siguen
Los niños pueden ir colocando una ficha por cada postura, numerando pero en lugar de decir cualquier múltiplo de 3, el
así en este último canto al decir 12, tendrán 3 fichas (3 x 4) y niño al que le corresponde dirá icachipún!
cuando digan 16, tendrán 4 fichas o posturas ( 4 x 4).
Conviene iniciar este juego sorteando tarjetas de dígitos
Esta rima también puede «cantarse al revés»: 2, 3, 4 y 5 y luego cuando lo hayan dominado agregar las
«Hay 30 huevos en la cocina, saco 1 huevo, 29, saco tarjetas 6, 7, 8 y 9.
otro, 28, saco otro, 27 ...».
«Hay 30 huevos en la cocina, saco 3 huevos, 27, saco La rayuela
tres, 24, saco tres, 21 ...».
Materiales: Se dibuja una rayuela en el suelo y se da a los
Los niños que tengan dificultad en esta actividad podrán niños tejos para jugar.
ayudarse con una tira numerada hasta el 100, para que vayan
desplazando el dedo sobre ella y encontrando el número
que deben decir.
El contar hacia atrás ayuda a la memorización de los

Descripción: Por turno, cada jugador lanza 8 veces el tejo. torres, va nombrando a cada pareja para que diga o escriba
Van anotando en el suelo o en un papel el resultado de sus en el pizarrón, lo que ellos formaron y su total de tapitas. Por
tiradas. ejemplo: « 8 torres de 3 tapitas y 1 tapita más; total 25
tapitas » .
Cuando todos los jugadores han lanzado, calculan sus
puntajes sumando lo obtenido en cada tirada o agrupando Cuando esto se ha logrado se puede empezar a jugar
l as tiradas en que obtuvieron el mismo puntaje para luego a «adivinar las torres». Una pareja de niños arman torres y las
sumar. ocultan con sus cuadernos. Dicen a sus compañeros algu
nos datos y les piden que «adivinen» cómo son las torres
Por ejemplo: ocultas. Por ejemplo: hicimos 6 torres y ocupamos 24 tapitas,
Caraosobtuvo; 3+5+3+5+8+5+8+8=45 ¿cuántas tapitas tiene cada torre?

es decir: 3 tiradas de 5 puntos 3x5 = 15 El profesor podrá desafiar a los niños a armar torres con
3 tiradas de 8 puntos 3 x 8 = 24 12, 18, 24 o más tapitas y anotar todas las soluciones que
2 tiradas de 3 puntos 2x3= 6 encuentren.
total: 45 puntos.
Adivina el color
Gana el jugador que obtiene el más alto puntaje.
Materiales: 30 fichas cuadradas, 15 azules y 15 amarillas.
Las torres
Descripción: Se juega en grupos de 4 niños. Ponen las 30
Materiales: Tapitas de bebida o fichas de colores. fichas sobre la mesa con el color hacia abajo. Se determina
el valor de los colores, por ejemplo, la ficha azul vale 3 puntos
Descripción: El profesor entrega a cada pareja de niños y la amarilla 4 puntos. Por turno, cada niño dice un color y
un «montón» de tapitas y los desafía a contarlas rápidamente luego da vuelta una ficha. Si acierta con el color, gana la
haciendo torres de 3 o de 5 o de 6... tapitas. ficha, en caso contrario la vuelve a dejar sobre la mesa con
el color hacia abajo revolviéndola con las otras. Juegan
Cuando el profesor ve que los niños han armado sus hasta agotar las fichas.

Al terminar de jugar, cada niño separa sus fichas azules
y amarillas, luego calcula cuántos puntos obtuvo y muestra
su cálculo a sus compañeros para que lo revisen. Gana el
que obtiene mayor puntaje y sacó bien el resultado.

Variaciones: cambiar los valores asignados a cada color.
Jugar con fichas de tres o cuatro colores. Jugar con fichas
cuadradas y rectangulares de dos colores. Cada ficha
rectangular vale el doble del valor de una ficha cuadrada de
igual color.

Taller 121

Se espera que este Taller sea una instancia de reflexión sobre el algoritmo de la multiplicación que
permita visualizar la conveniencia de enseñarlo en contextos significativos, a fin de que los alumnos
comprendan la lógica de la descomposición en productos parciales que subyace a este algoritmo. Se
trabaja también otro procedimiento para disminuir las dificultades que derivan de las resevas en los
productos parciales y finalmente, se presentan formas de cálculo más rápidas para algunos casos de
multiplicación.

Actividad 11
Las cajas de frutillas
Comentando la tarea
En el Puesto N°5 de la Feria Municipal se vendieron
Los profesores comentan las actividades que leyeron y 48 cajas de frutillas. ¿Cuánto dinero recibieron por
señalan las razones que los llevaron a seleccionar la que esta venta si vendieron cada caja en $5 200?
trabajaron con sus alumnos, informando sobre las adapta-
ciones realizadas.
Ponen en común las diferentes estrategias utilizadas
En relación con la experiencia en la sala de clase, para resolver el problema. Luego comentan y comparan con
ponen en común las reacciones de los alumnos, distinguiendo, las que se proponen a continuación.
si es posible, lo afectivo: entusiasmo, interés, agrado, com
promiso con el trabajo y los aprendizajes logrados. Final- 1. De caja en caja
mente, señalan qué otra actividad de las comentadas, estarían
dispuestos a trabajar con sus alumnos. La siguiente tabla permite visualizar una manera de
resolver el problema.
Actividad 21
Revisando el algoritmo
de la multiplicación
211. ¿Cómo multiplicar sin conocer el
algoritmo?

Los profesores resuelven el siguiente problema sin
utilizar el algoritmo habitual de la multiplicación, aunque
pueden sumar y restar. El problema podría ser resuelto sumando $5 200 mu-
chas veces, hasta completar las 48 cajas vendidas.

Para este caso, esta estrategia es muy lenta; sin embar- Luego, por las 48 cajas se reciben $ 249 600. Después
go, la adición de sumandos iguales puede ser un buen del proceso de duplicación, bastó una adición de dos
recurso para resolver otros problemas de multiplicación. Por sumandos para resolver el problema.
ejemplo, si sólo se venden dos cajas de frutillas, ¿cuál es la
cantidad de dinero recibida por esta venta? En este caso, 1/1. Agrupando cajas de diez en diez
5 200 + 5 200 puede ser un procedimiento incluso más
rápido que hacer la multiplicación. Esta es otra forma de disminuir el número de sumandos.
El precio de cada grupo de 10 cajas se puede determinar
11. Duplicando el número de cajas también a partir de la duplicación:

Otra alternativa de resolución es duplicar el número de Cajas Precio
cajas y sus correspondientes precios reiteradamente, hasta

Para calcular lo que corresponde a las 48 cajas, se
suman los precios de 16 y de 32:
Se verifica que en el sistema de numeración decimal, al
multiplicar por 10 el producto se obtiene cambiando cada
cifra al orden inmediatamente superior. Multiplicar 5 200 por
10 equivale a transformar las 5 200 unidades en 5 200

décenas, l as que corresponden a 52 000 unidades. De este El precio de las 8 cajas restantes se determina:
hecho deriva la regla que afirma que para multiplicar un
número por 10 basta con agregarle un 0 a dicho número. Cajas Precio

1 5200
Esta fiegla podrá ser descubierta por los propios 2 10 400
4 20 800
alumnos, si resuelven, sumando, bastantes ejerci-
8 41 600
cios de multiplicación por 10.

El precio de las 48 cajas se obtiene sumando los
Las reglas de multiplicación por 10 y por otras po-
resultados anteriores:
tencias de 10 son consecuencia de las propieda-
des del sistema de numeración, por lo que los
alumnos al descubrirlas, enriquecerán paralela-
mente su :conocimiento en numeración y en multi-
plicación.

El problema se resolvió calculando separadamente los
Conocido el precio de 10 cajas, es posible realizar los productos de 5 200 x 40 y de 5 200 x 8 y luego sumándolos.
siguientes cálculos, para determinar él precio de 48 cajas.
Estos cálculos se pueden organizar de . la siguiente
Cajas Precio manera:

10 52 000
20 104000
40 208000

O bien, de acuerdo a una escritura que se aproxima 1/2.Otra construcción del algoritmo de la
más al algoritmo habitual de la multiplicación, en el cual se multiplicación
multiplica primero por 8 y después por 40:
Los profesores leen el siguiente problema

Las butacas del teatro

En un teatro hay 24 filas con 32 butacas cada una.
¿Cuántos asientos tiene el teatro?
Existen distintos algoritmos para calcular el pro-
ducto, en una multiplicación. La mayoría de estos
procedimientos se apoya en el sistema de numera- Proponen posibles procedimientos de resolución que,
ción y en sus propiedades. a su juicio, pueda hacer alguien que no conozca el algoritmo
Si se quiere multiplicar 453 x 239, se calcula de la multiplicación, pero que sí comprende el significado de
453 x 200 esta operación y domina las combinaciones multiplicatívas
453 x 30 básicas.
453 x 9, y se suman los productos
parciales. Ponen en común los procedimientos propuestos. En
seguida leen los que se presentan a continuación.
Lo que varía de un algoritmo a otro es el orden en
que se realizan los cálculos y la disposición en la
1. Representar el problema como lo indica el dibujo. En
que se colocan los números.
lugar de contar las butacas de una en una, hacer
diferentes descomposiciones del número de filas y del
número de butacas por fila, calcular los productos
parciales correspondientes a cada sector y luego su-
marlos.

Por ejemplo: 1/1. Hacer aún menos descomposiciones.

30 2

20 600 40

4 120 8

En total son: 160 x 3 + 96 x3 butacas. En total son: 600 + 120 + 40 + 8 butacas.

11. Con una representación semejante a la anterior o en un La adición correspondiente a esta descomposición
cuadriculado, hacer descomposiciones decimales. Por puede ordenarse de diferentes maneras. Una de ellas es:
ejemplo:

10 10 10 2
10 100 100 100 20
10 100 100 100 20
4 40 40 40 8 Y, sintetizando aún más, se pueden ordenar de la siguiente
manera:

En total son: 100 x 6 + 40 x 3 + 20 x 2 + 8 butacas.
x 24
4 filas de 32 butacas
Quien haga esta descomposición ya ha descubierto la
20 filas de 32 butacas
facilidad de cálculo de la multiplicación por 10 y por otras
potencias de 10.

Actividad 3/
Facilitando el algoritmo
A continuación se presenta un procedimiento para
Este se diferencia del ordenamiento anterior porque se multiplicar, apto para quienes cometen errores -comiéndo-
omite el cero de las 640 butacas. Son 20 filas de 32 butacas se las reservas» al calcular los productos parciales. Si en el
que equivalen a 2 decenas de filas de 32 butacas, o sea, a problema de las butacas del teatro, éste tuviera 28 filas con
64 decenas de butacas. 37butacas en cada una, la respuesta sería 37x28, la que se
puede calcular con la técnica siguiente.
¿Cuántos asientos tendría el teatro si tuviera 32 filas con
24 butacas cada una? ¿Cuáles serían para este problema 1. Se disponen los números que se vana multiplicar como
l as descomposiciones más adecuadas? lo indica el dibujo: uno horizontal y el otro verticalmente,
escrito de arriba hacia abajo.
¿Es posible resolver el problema de las cajas de frutillas
por medio del diagrama rectangular utilizado en el problema
del teatro?

El diagrama rectangular surge como representación
del problema «Las butacas del teatro», y se comple- 11. Se cuadriculan yse trazan las diagonales de los cuadra-
menta con un procedimiento para calcular produc- dos que se forman, como lo señala el dibujo.
tos parciales. El diagrama y el procedimiento de cál-
culo se pueden generalizar a otros problemas.

111. Siguiendo cualquier orden, se escribe en cada uno de Actividad 4/
los cuadrados el producto de los números que encabe-
zan la fila y la columna correspondiente, escribiendo la Algunas formas
cifra de la decena sobre la diagonal y la de las unidades, económicas para
bajo la diagonal.
multiplicar
Las multiplicaciones entre dos números se realizan
generalmente, utilizando el algoritmo habitual que es el que
se enseña en las escuelas básicas. Pero, hay algunos
productos que - conviene calcular con procedimientos más
rápidos.
IV. Una vez escritos todos los productos, se suma siguiendo la
dirección indicada por las diagonales, teniendo cuidado, A continuación se han seleccionado algunos de estos
¡ahora síl, de no «comerse las reservas al sumar». procedimientos, que se basan: en propiedades de la multi-
plicación y del sistema decimal de numeración.

4/1. Multiplicando por 25

Los profesores completan la siguiente tabla y buscan
una relación entre los productos que resultan.

x10 x5
4 40 20
9 .. ..
26 .. ..
496 .. ..
675 ..

La tabla sugiere una manera rápida de multiplicar Lo anterior equivale a anotar:
cualquier número por 5, ¿en qué consiste?
38 x 25 = 950
Los profesores proponen otras multiplicaciones por 5,
l as que resuelven multiplicando por 10 y calculando la mitad Los profesores ejercitan este procedimiento para mul-
del producto obtenido. Si el número que se multiplica por 5 tiplicar por 25.
es muy grande, el cálculo del producto puede hacerse con
ayuda de papel y lápiz para no cometer errores con las cifras. Aprovechando la facilidad de cálculo que tiene la
multiplicación por 5, se pueden generar procedimientos
Como 25 es equivalente a 5 x 5, también se puede análogos para multiplicar por 50 y por 500.
abreviar la multiplicación por 25, multiplicando dos veces
sucesivas por 5. 4/2. Descomponiendo un factor en otros
dos factores
Por ejemplo, para calcular 38 x 25 se calcula 38 x 5 x 5,
y para realizarlas multiplicaciones por 5, se aplica la regla Los profesores analizan el ejemplo siguiente.
anterior.
Calcular 386 x 24
La secuencia de cálculos se anota a continuación:
Como 24 = 6 x 4, la acción de multiplicar por 24 es
38 x 10 = 380, luego 38 x 5 = 190 equivalente a multiplicar sucesivamente por 6 y por 4.
190 x 10 = 1900, luego 190 x 5 = 950
En consecuencia se puede anotar la siguiente igualdad:

O sea, 386x24=386 x6 x4

Calculando sucesivamente los productos se tiene:

Luego, 386 x 24 = 9 264

Este procedimiento es útil para multiplicar números que
se puedan descomponer en factores que permitan una
multiplicación de cálculo más rápido. Se apoya en el proceso
de factorización de un número y en la propiedad asociativa
Luego, 386 x 24 = 9 264 de la multiplicación.

Pero, 24 admite diferentes factorizaciones:
24=12x2 24 =4 x3 x2 4/3. Aprovechando las potencias de 10
24=6x4 24=2 x2 x2 x3
A veces calcular productos del tipo 564 x 7 003 genera
24=3x8
dificultades por la presencia de los ceros. Se facilita bastante
Cualquiera puede ser utilizada, la que resulte más su cálculo, si se expresa esta multiplicación de la manera
cómoda, para realizar una multiplicación en que uno de los siguiente:
factores es 24.
Porejemplo: 386x24=386 x2 x2 x2 x3
Calculando sucesivamente los productos se obtiene:

Luego, 564 x 7 003 = 3 949 692

Este procedimiento se puede aplicar a multiplicaciones
en las que intervienen números que se pueden descompo-
ner en una potencia de 10 por un dígito más (o menos) un
número de una cifra.

Por ejemplo:

múltiplicar por 101 equivale a multiplicar por (100 + 1),
multiplicar por 3 004, equivale a hacerlo por (3000 + 4),
multiplicar por 99, equivale a multiplicar por (100 - 1),
multiplicar por 998, es lo mismo que por (1000 - 2), etc.

Actividad 5/
Definamos la tarea
Los profesores diseñan un problema cuya resolución
requiera la multiplicación de 420 x 1 642. Lo resuelven
utilizando el algoritmo que usan siempre explicitando el
significado de los productos parciales que intervienen y
recurriendo a alguno de los procedimientos reseñados en el
Taller. Al Taller siguiente llevan el problema, los procedi-
mientos de resolución utilizados y las correspondientes
explicitaciones, por escrito.

Taller 131

Se espera que este Taller sea una instancia de reflexión sobre el algoritmo de la división que permita
visualizar la conveniencia de enseñarlo en contextos significativos, para que los alumnos comprendan la
lógica de descomposición a partir de las cifras de más alto rango, los canjes a cifras de orden menor, los
cálculos intermedios y la igualdad que relaciona dividendo, divisor, cociente y resto.

Actividad 1 /
Transportando fruta.
Comentando la tarea
En un packing se embalaron 15 345 cajas de fruta.
Los profesores presentan los problemas que diseñaron. Un camión transporta 470 cajas. Para pagar a la
Opinan respecto a la calidad de los mismos, en cuanto a empresa de transportes hay que calcular el número
interés del tema y a relevancia de las relaciones entre los de camiones cargados que salieron.
datos y la pregunta formulada.
Analizan el proceso de resolución del ejercicio propuesto
y los significados de los productos parciales en los diversos Ponen en común las diferentes estrategias utilizadas
problemas diseñados. para resolver el problema. Luego, leen y comentan las que
Finalmente, aclaran posibles dudas sobre el algoritmo se proponen a continuación.
de la multiplicación.'
1. Un camión tras otro

En la siguiente secuencia de cálculos se puede visualizar
una manera de resolver el problema.

Hay 15 345 cajas. Si sale un camión quedan:
Actividad 2/
Dividir sin saber
el algoritmo
Si sale otro camión quedan:
Los profesores resuelven el siguiente problema sin
utilizar su forma habitual de dividir, aunque pueden sumar,
restar y multiplicar.

Es posible resolver el problema, restando 470 cajas número de camiones que salen.
tantas veces como sea necesario hasta llegar a tener una
cantidad menor que 470; luego, para saber el número de Si 1 camión transporta 470 cajas,
camiones que salieron, contar las veces que se restó 470.
Pero esta estrategia es excesivamente lenta. 10 camiones transportan 4 700 cajas
100 camiones transportan .47 000 cajas
Sin embargo, la sustracción reiterada del mismo número
puede ser un buen recurso para solucionar problemas que Como el total de cajas es 15 345, no podrían salir 100
tengan datos como los siguientes: "Si hay que despachar camiones. Si, reiteradamente, se resta la cantidad de cajas
1 410 cajas, ¿Cuántos camiones se necesitan?" que transportan 10 camiones, la cantidad de cajas que va
quedando es:

Se necesitan 3 camiones.
Hasta aquí han salido 30 camiones y sólo quedan 1 245
cajas; entonces, se puede restar la cantidad de cajas que
La dificultad de una división no depende sólo del transporta un camión, todas las veces que se pueda, hasta
ámbito numérico y del divisor; también depende que queden menos de 470 cajas.
de la relación entre ambos.

11. Salen varios camiones a la vez

Otra alternativa de resolución es la de ir restando de una En total, salieron 32 camiones y quedaron 305 cajas,
vez lo que se llevan varios camiones. Para calcular lo que hay cantidades que corresponden, respectivamente, al cociente
que restar, se multiplica lo que transporta un camión, por el y al resto, en la división de 15 345 por 470.

Con estas multiplicaciones y sustracciones el problema
se resolvió más rápido.

La solución matemática indica que salieron 32 camio-
nes y quedaron 305 cajas. La solución práctica puede ser ¿Cuántos viajes son necesarios para las 1 245 cajas
que se contrató un flete más para las 305 cajas que quedaron. que quedan?

111. Abreviando el proceso Si 1 camión transporta 470 cajas,

Para agilizar el cálculo, se intentará disminuir el número 2 camiones transportan 940 cajas
de sustracciones. 3 camiones transportan 1 410 cajas

Sabiendo lo que transportan 10 camiones, se puede Como quedan 1 245 cajas y 2 camiones transportan
calcular lo que transportan 20, 30, 40, etc, cuidando que la 940 cajas, se puede decir que quedan 305 cajas en el
cantidad de cajas transportadas sea menor que el total de packing, después que han salido 32 camiones cargados.
cajas.
Los cálculos que se acaba de hacer se pueden
Si 10 camiones transportan 4 700 cajas ordenar de una manera que se aproximé al algoritmo de
l a división:
20 camiones transportan 9 400 cajas

Como en el packing hay 15 345 cajas, se puede
considerar que salen 30 camiones que transportan 14 100
cajas. Luego, quedan:
El significado de cada una de estas cantidades es:

15345, total de cajas embaladas
470, cajas que transporta un camión En el proceso de aprendizaje del algoritmo de la
14100, cajas que transportan 30 camiones división, es muy importante asegurarse que los
1 245, cajas que quedan, después de la salida alumnos capten los significados de las cantidades
de 30 camiones i niciales e intermedias. De ahí la conveniencia de
940, cajas que transportan 2 camiones plantear situaciones problemáticas cuando apren-
305, cajas que quedan, después de la salida den y ejercitan el algoritmo de la división, para que
de 32 camiones cuenten con referentes concretos para interpretar
cada término de la relación:
La situación final es que las 15 345 cajas de fruta se
transportan en 32 camiones, con 470 cajas cada uno y DIVIDENDO: DIVISOR = COCIENTE
quedan 305 cajas en el packing.

Las relaciones entre estas cantidades se pueden ex- RESTO
presar en la siguiente igualdad:
También es conveniente que aprendan a expresar
470 x 32 + 305 = 15 345 l as relaciones existentes entre los términos que in-
tervienen en una división, de la siguiente forma:

DIVISOR X COCIENTE + RESTO = DIVIDENDO

Actividad 3/ Se toman los 8 billetes de $1000 y se reparten en partes
iguales entre los cinco amigos:
Otra construcción del
algoritmo de la división
Materiales: una bolsa del material «Los billetes, por
grupo:
A cada uno le corresponde 1 billete de $1000 y sobran
Los profesores leen el siguiente problema y lo resuelven 3 billetes de $1 000.
concretamente, usando el material.
Estos 3 billetes se canjean por 30 billetes de $100 que
se juntan con los 2 de $100 que había inicialmente. Entonces
Saliendo de pesca hay 32 billetes de $100 para repartir equitativamente, entre
los cinco amigos:
Cinco amigos salieron a pescar Vendieron lo que
pescaron en $ 8 262 y se lo repartieron en partes
iguales. ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Cada amigo recibe 6 billetes de $100 y sobran 2 de
estos billetes.
Los profesores comentan lo que hicieron y establecen
las relaciones entre las acciones realizadas y el algoritmo de Los 2 billetes de $100 se canjean por 20 billetes de $10.
la división correspondiente. Luego comparan su análisis con Quedan 26 billetes de $10 considerando el canje recién
lo que se propone a continuación. hecho y los 6 que había inicialmente. Al repartirlos en partes
i guales entre los 5 amigos se .obtiene:
Se supone que el dinero a repartir corresponde al
siguiente número de billetes y sus correspondientes valores.

Valor de cada billete $1000 $100 $10 $1
Cantidad de billetes 8 2 6 2

A cada uno le corresponden 5 billetes de $10 y queda
1 billete de $10 sin repartir.

Se canjea este billete por 10 billetes de $1, que se juntan
con los 2 billetes de $1 que había al inicio del reparto. Se
reparten equitativamente los $12 entre los cinco amigos:

El resultado obtenido puede expresarse en la siguiente
Cada amigo recibe $2 y sobran 2 billetes de $1. igualdad:

1 652x5+2=8262
La cantidad de dinero que sobra no puede ser mayor
que el número de amigos entre los que se reparte el dinero. Este procedimiento de construcción del algoritmo de la
Esta afirmación, que es obvia en este caso, no lo es tanto si división es recomendable sólo si la cantidad que se divide
se trabajara el algoritmo de la división sólo a nivel numérico, está expresada en unidades que pertenezcan a un sistema
sin contextualización. decimal de medidas, por ejemplo, metros, decímetros,
centímetros, milímetros. En caso contrario, exige de parte de
Resumiendo los resultados parciales obtenidos, cada los alumnos un muy buen manejo del sistema de numeración
amigo recibe 1 billete de $1 000, 6 billetes de $100,5 ~de $10 decimal; deben reconocer, nombrar y canjear unidades,
y 2 billetes de $1, lo que es equivalente a $ 1 652 y sobran decenas, centenas, etc.
$2.
Sin embargo, es posible construir algunas situaciones
Al hacer una síntesis y escribiendo juntos los cálculos para adecuarse a la exigencia del sistema decimal, por
parciales, se obtiene el algoritmo que se usa para calcular ejemplo, paquetes con 10 galletas, cajas con 10 paquetes,
una división: cajones con 10 cajas, o bien, tiras con 10 pastillas, cajas con
10 tiras, paquetes con 10 cajas.

Actividad 4/
Definamos la tarea
Los profesores diseñan un problema cuya resolución
requiera el cálculo de 3 458 : 23, lo resuelven, explicitan el
significado de los cálculos intermedios y expresan la co
rrespondiente igualdad que relaciona el dividendo, el divi-
sor, el cociente y el resto. Al taller siguiente llevan este
problema ylascorrespondientes explicitaciones, porescrito.

Taller 14/

Se espera que este Taller constituya una instancia de reflexión colectiva sobre la clase de matemática:
cómo organizarla y cómo aprovechar los recursos disponibles, cómo asignar tareas y cómo evaluar. El
i ntercambio de opiniones entre los profesores, junto alas sugerencias contenidas en este Manual, debieran
constituir estímulos para repensar el quehacer docente individual en la asignatura de Matemática y para
tomar decisiones colectivas que contribuyan a mejorar la educación matemática en la escuela.

Actividad 1 / En grupos, los profesores se ponen de acuerdo sobre
las partes que, en su opinión, debe contener cualquier clase
Comentemos la tarea de matemática en el primer ciclo básico. Hacen una lista de
éstas, en un papelógrafo.
Los profesores cuentan los problemas que diseñaron. En cada grupo, una vez terminada la tarea anterior
Opinan respecto a la calidad de los mismos, en cuanto a toman al azar una hoja por profesor, de entre las que
i nterés del tema y a relevancia de las relaciones entre los escribieron previamente. Tratan de relacionar los punteos
datos y de la pregunta formulada. i ndividuales con la lista construida por el grupo.
Analizan el proceso de resolución del ejercicio propuesto A continuación, cada grupo presenta a los demás su
y los significados de los cálculos intermedios y de la igualdad papelógrafo y hace comentarios respecto a la presencia o
planteada. ausencia de relaciones entre las partes de su lista y los
Finalmente, aclaran posibles dudas sobre el algoritmo punteos que el grupo revisó.
de la división. Finalmente leen el texto siguiente, y lo comentan.

Actividad 2/ Todo profesor aspira a organizar sus clases de manera
que sean ágiles, entreteniclas y que favorezcan los aprendi-
Organización y ritmo zajes previstos.
de las ,clases Sin embargo, las clases de matemática a veces resultan
lentas, monótonas y poco productivas: tal vez el profesor
Materiales: Un papelógrafo y un plumón para cada grupo centró su atención en unos pocos alumnos y los más rápidos
de profesores. se aburrieron...

Cada profesor recuerda una de las últimas clases de ¿Cómo mejorar la organización y el ritmo de nuestras
matemática que ha hecho y escribe, en una hoja, un punteo clases de matemática? Una posibilidad es diversificar las
secuenciado de lo que hizo en esa clase, procurando ser actividades de cada clase, a partir de una propuesta como
sintético. Dobla su hoja, sin poner su nombre, y la entrega al la que a continuación se describe.
conductor del Taller.

I. Los ejercicios de cálculo alumnos formen grupos preestablecidos, compartan
los resultados entre ellos y posteriormente con todo el
Antes de iniciar formalmente una clase, se le propone al curso.
profesor que, a modo de saludo, trabaje unos cinco minutos
resolviendo ejercicios de cálculo. La intención pedagógica • usar una pequeña pizarra o una hoja donde se anota el
es lograr que los alumnos se apropien de las relaciones resultado y posteriormente se muestra al profesor ylo al
numéricas involucradas. Por ejemplo, el profesor escribe en curso.
el pizarrón la siguiente serie de ejercicios.
II. La conexión entre clase y clase
9+9= 90 +90= 900+900=
Este momento está pensado para darle sentido y conti-
Aquí, no sólo se pretende que los alumnos encuentren nuidad a las clases. Se sugiere recordar la clase anterior y
los resultados, sino también que capten la relación existente presentar lo que se va a trabajar en esta clase.
entre los ejercicios, la que les permitirá simplificar sus
cálculos. Para consolidar lo aprendido en la clase pasada, o para
iniciar esta clase, se propone revisar ylo corregir la tarea.
Probablemente será necesario establecer ciertas nor-
mas para evitar que sólo los alumnos más rápidos trabajen. 111. La elaboración de nuevos aprendizajes
Se pueden sugerir algunas, como las siguientes:
Este es el momento destinado al logro de un nuevo
• que los alumnos anoten el resultado y lo digan sólo en aprendizaje; el profesor pone en juego sus estrategias
el momento en que el profesor lo pida. metodológicas: puede ser con un juego, con la resolución de
uno o varios problemas, mediante explicaciones en el piza-
• que los alumnos indiquen para informar al profesor que rrón, trabajando con material concreto, etc. Los alumnos
ya lo resolvieron y que lo digan cuando el profesor lo podrán organizarse en grupos, hacer trabajo individual, usar
pida. el libro de texto, en fin, lo que el profesor proponga.

• que en el momento en que el profesor señale, los Lo esencial de este momento es que está dedicado a

lograr un nuevo aprendizaje. Si ímaginamos que los ejerci- Esta propuesta es un intento de darle una organización
cios orales son el saludo, esta parte corresponde a la a una clase de matemática generando momentos claramen-
conversación seria. te diferenciados en sus intenciones, comparables al saludo,
la presentación, la conversación seria, con su secuela de
IV. La práctica de lo aprendido comentarios, y la despedida.

En este momento se sugiere que los alumnos desarro- Corresponde al profesor decidir si los toma todos para
llen actividades, en grupo o individualmente, para consoli- todas sus clases o si, para determinadas sesiones, deja
dar los aprendizajes del momento anterior. Son compara algunos de lado o agrega otros, de acuerdo a sus intencio-
bles a los comentarios que derivan de la conversación seria. nes específicas.

Los alumnos podrán hacer ejercicios, consultarán du-
das en algunos casos, trabajarán en su libro de texto o con Actividad 3/
otro material, etc. Es muy útil, para este momento, que el
profesor tenga a su disposición ejercicios con cierto nivel de Medios para la
complejidad para que trabajen los alumnos más rápidos. enseñanza - aprendizaje
Es altamente conveniente terminar este momento con
de la matemática
una comparación de resultados, cotejando de alguna mane-
ra si los ejercicios fueron bien resueltos o no. Variados son los medios con que cuentan los profesores
paraorganizar las actividades de aprendizaje de sus alumnos.
V, El balance de la clase y la tarea ¿Cómo podríamos sacar de ellos el mayor provecho posible?

Este es el momento final de la clase, es la despedida. El 3/1. Los textos escolares
profesor y sus alumnos comparten los logros de la clase, que
es lo que se sacó en limpio del trabajo realizado; es el Materiales: Textos de matemática en uso en la escuela,
momento de proponer la tarea y dar término a la clase. desde primero a cuarto año básicos.

Los profesores forman cuatro grupos, uno para analizar Presentación de las explicaciones proporcionadas por
cada texto. Cada profesor se incorpora al análisis del texto el texto a los alumnos.
que mejor conoce, aunque no corresponda al curso que
tiene actualmente. Proporción entre explicaciones y ejercitación, en el
texto.
Responden las siguientes preguntas:

1. ¿Les resulta adecuado este texto, para trabajar con sus Tanto las características de tos alumnos como fa
alumnos? Indiquen ventajas e inconvenientes que han experiencia del profesor varían, de un aula a otra.
Es imposible que un mismo texto se adecúe a to-
podido constatar.
das las situaciones. El texto da orientaciones ge-
11. ¿Qué actitud manifiestan sus alumnos ante este texto? nerales, proporciona modelos de explicaciones y
Indiquen si les resulta atractivo, si lo hojean por iniciativa de ejercicios. Es legítimo que cada profesor lo use
propia o sólo lo abren cuando Uds. así lo indican. selectivamenté y lo complemente con otros textos
y materiales y con sus ideas personales.
111. ¿Se ciñen Uds. a las orientaciones metodológicas pre-
sentes en el texto? ¿Lo consultan para preparar sus
clases? ¿Para qué temas lo consultan más?
3/2. Otros medios
IV. Con sus alumnos, ¿usan el texto en todas las clases?
¿Lo siguen correlativamente o se saltan páginas? ¿Para Materiales: Un ejemplar de muestra de todos los libros de
qué tipo de actividades lo usan más? matemática y de los materiales concretos que existan en la
escuela.
Ponen en común sus respuestas. Colectivamente,
acuerdan lo que le pedirían a los autores de textos de En grupos, los profesores realizan un inventario de los
matemática en cuanto a: medios con que cuentan para enseñar matemática, aparte
de los textos escolares en uso. Incluyen otros libros de texto,
Orientaciones metodológicas para el profesor. libros de consulta y materiales concretos.

En relación a los libros, intercambian información semillas, tapas de botellas), juegos (dados, naipes,
respecto a: dominoés), objetos con números (calendarios, huinchas
de medir), etc.
Qué libros existen, actuales y antiguos Concluyen diseñando una estrategia para racionalizar
el uso de los materiales concretos existentes, para difundir
Quién los conoce o sabe en qué aspectos pueden y/o reproducir aquellos materiales que pertenezcan aun solo
complementar a los textos vigentes profesor y para recopilar, adquirir o producir otros materia-
les, que los participantes del Taller consideren necesarios.
Quién los tiene o los puede conseguir
Deciden respecto al mejor lugar para guardar los mate-
Concluyen diseñando una estrategia para organizar la riales y designan a una persona como responsable de su
Biblioteca Pedagógica de Matemática, de manera que los conservación y préstamo.
li bros que existan o se puedan conseguir estén disponibles
para su consulta oportuna por los profesores. Deciden Finalmente, desarrollan iniciativas para la producción y
acerca del mejor lugar para ubicar la Biblioteca y de la administración de archivos comunes, que contengan
persona que organizará su funcionamiento. otros medios complementarios, tales como:

En relación a losmateriales concretos, intercambian Fichas de actividades para desarrollar con los alumnos,
información sobre: clasificadas por contenido matemático e indicando los
materiales necesarios.
Qué materiales existen: los que maneja cada profesor
en su sala y los compartidos por varios profesores. Fichas de trabajo para los alumnos, reproducibles por
cada profesor cuando lo requieran.
Donde se guardan actualmente los materiales existen-
tes y quiénes los usan. Banco de problemas, clasificados por temas (áreas de
interés de los alumnos) y por contenido matemático.
Con qué otros materiales seria necesario contar en la Banco de preguntas para pruebas, clasificadas por
escuela. Por ejemplo: materiales de desecho (envases, curso y por contenido matemático. Puede incluir una

sección de preguntas de selección múltiple, utilizables 4/1. Las tareas
en la preparación de los alumnos para el SIMCE.
En grupos, los profesores intercambian su opinión so-
El conductor del Taller recomienda a los profesores bre las siguientes cuestiones:
desarrollar sólo algunas de estas iniciativas, tomando el
máximo de precauciones para garantizar su funcionamiento: ¿Qué sentido puede tener asignar tareas de matemática
prever fuentes de financiamiento, determinar personas res- a alumnos del primer ciclo básico?
ponsables, pedir las autorizaciones necesarias, etc.
¿Qué tipos de tareas dan habitualmente a sus alumnos,
en matemática? ¿Qué otros tipos podrían darles?
La organización de sistemas para el manejo de
medios auxiliares a la enseñanza de la matemática ¿Con qué frecuencia asignan tareas, en matemática?
tiene el sentido de facilitar el trabajo de los profe- ¿Sería preferible hacerlo más o menos seguido?
sores, contribuyendo a mejorar la calidad de la
educación impartida. Toda iniciativa que compli- Ponen en común sus respuestas en búsqueda de conclu-
que innecesariamente el ejercicio de la docencia siones. A continuación, leen y comentan el texto siguiente.
en la escuela, debe ser desechada.

Tradicionalmente, las tareas han formado parte de la
cultura escolar. Alumnos y padres las esperan y, muchas
Actividad 4/ veces, se considera que un profesor es «más preocupado»
si suele dar tareas y las revisa oportunamente.
Controlando el proceso de
enseñanza-aprendizaje Sin embargo, existe el riesgo de que las tareas se
conviertan en actividades tediosas, que generan conflictos
en la vida familiar, sin llegar a constituirse en desafíos
Se propone a los participantes del Taller el análisis de
interesantes, útiles para ejercitar o complementar lo apren-
dos medios de control del proceso de enseñanza-aprendi-
dido en clases.
zaje: las tareas y las evaluaciones.

Una tarea será más funcional al proceso de enseñanza- excepcionalmente se les puede pedir que consulten a sus
aprendizaje si el profesor y los alumnos comparten el obje- padres o hermanos mayores. Los alumnos debieran com-
tivo con que fue asignada: para afianzar ciertos aprendiza prender que es importante mostrar sus errores al profesor
jes, para buscar información complementaria o para intentar para que éste pueda ayudarlos en su aprendizaje.
una primera aproximación a la resolución de un problema.
Junto a estos propósitos, también es importante generar En principio, es conveniente dar tareas clase a clase,
oportunidades para que los alumnos disfruten con la asigna- para dar continuidad al aprendizaje yapoyar la formación de
tura. hábitos de uso del tiempo y de responsabilidad. Sin embar
go, si el profesor no ha podido planificarla, es preferible no
En el primer ciclo básico, las tareas deben ser breves y dar tarea a improvisar una que pueda resultar poco signifi-
relativamente fáciles de realizar. Así contribuirán a desarro- cativa.
llar en el niño el hábito de responsabilizarse frente a una
actividadengomendada, que no debiera llegara serfatigante. Al decidir respecto a la asignación de tareas, es indis-
pensable considerar las condiciones del hogar de los alum-
Es importante buscar tareas relevantes para el aprendi- nos, para dosificarlas adecuadamente, tanto en cantidad
zaje y, al mismo tiempo, entretenidas para los alumnos. Por como en frecuencia.
ejemplo, en primer año, recortar dígitos de un calendario y
tratar de pegarlos ordenados, de menora mayor. O, en tercer Para revisar el cumplimiento de las tareas, es conve-
año, buscar información númerica en la prensa e intentar leer niente buscar formas rápidas y eficientes, como el intercambio
las cantidades. de cuadernos entre alumnos o la corrección individual, en
ambos casos, con la guía del profesor.
También puede resultar atractivo darles cuadros con
números y pedirles que busquen los que cumplan alguna Cada profesor, en conjunto con sus colegas, deberá
condición, por ejemplo, los pares cuya suma sea menor que decidir si asigna o no una nota a las tareas, a fin de estimular
48. su cumplimiento y calidad, siempre que esto no desvirtúe el
propósito educativo de ellas.
Normalmente, las tareas deberían ser realizables por la
mayoría de los alumnos sin apoyo de otras personas; sólo

4/2. La evaluación básico han contribuido a centrar el proceso evaluativo casi
exclusivamente en la medición del nivel de aprendizaje de
En grupos, los profesores intercambian opiniones acer- los alumnos.
ca de las siguientes preguntas:
Para la calificación de los alumnos es posible considerar
Los profesores, a través de diversos medios, ¿evalúan no sólo los resultados de pruebas sino también los trabajos
permanentemente el proceso enseñanza-aprendizaje? efectuados en clase o como tarea, y la participación en las
¿Qué aspectos evalúan de éste? actividades de clase.
En el primer ciclo básico, es importante que la califica-
¿Cómo se dan cuenta los profesores si los niños logran ción sea usada como un medio para estimulara los alumnos.
aprender lo que se han propuesto enseñarlec? Ocasionalmente, se podrá asignar puntos adicionales que
contribuyan a mejorar la calificación de un alumno que, a
El análisis de los resultados de las pruebas, ¿les ha juicio del profesor, ha iricrementado sustantivamente sus
ayudado a introducir cambios en su forma de enseñar? logros.

Ponen en común sus respuestas y, a continuación, leen Además de calificar a los alumnos, es necesario que los
y comentan el siguiente texto: profesores reserven tiempo para evaluar la propia acción
docente y los restantes elementos del proceso enseñanza
aprendizaje. Cuando los alumnos no han logrado algunos de
los objetivos propuestos, es conveniente que el profesor se
Evaluar el proceso enseñanza-aprendizaje de la mate- pregunte qué modificación de sus estrategias metodológi-
mática significa buscar medios para obtener información cas, de los medios empleados, del clima de la clase, etc,
relevante acerca de cada uno de los elementos participan podrían contribuir a mejorar el nivel de aprendizaje.
tes: profesor, alumnos, estrategias metodológicas, medios,
clima de la clase, etc.

Sin embargo, las normas que obligan a los profesores a
calificar el rendimiento de sus alumnos desde el primer año

ahora la considera inadecuada, alguna forma de enseñar
Actividad 5/ que se propone no volver a utilizar, etc.
Hagamos un balance Una vez que terminan de escribir, cada profesor dobla
su hoja y la rompe en los trozos más pequeños que pueda
Materiales: Dos hojas de papel por participante. Dos para luego, por turno, ir a depositar los trozos de papel a la
cajas, una forrada con papel negro u otro color oscuro y otra caja negra u oscura. Mientras hacen esto, el conductor les
blanca o de un color alegre. Papelógrafo. puede sugerir que todos piensen, que efectivamente deja-
rán en el pasado aquellas prácticas pedagógicas que han
Los profesores se ubican en círculo y en forma libre decidido abandonar.
comentan el significado que para cada uno ha tenido este
ciclo de Talleres de perfeccionamiento, lo más relevante de Luego, el conductor pide que cada profesor escriba en
l o que han aprendidp y los factores principales (personas, una hoja algo que como consecuencia de su participación
actividades, materiales, etc) .a los que atribuyen su aprendi- en los Talleres, quiere incorporar en su labor docente a nivel
zaje. Se organizan para hacer una síntesis de sus comenta- de sala de clases; algo muy concreto, factible de realizar si
rios en un papelógrafo, por ejemplo, cada persona escribe se lo propone.
una frase que sintetiza lo más significativo para ella y el o los Una vez que terminan de escribir, comparten sus com-
factores que a su juicio más influyeron en sus logros. promisos de cambio aquellos profesores que lo desean y
luego, por turno los van depositando en la caja blanca o de
Los Talleres de perfeccionamiento cumplen su propó- color alegre. Mientras hacen esto, el conductor les puede
sito fundamental si cada profesor después de ellos modifica sugerir que expresen su solidaridad con el colega que
sus prácticas a nivel de aula y asegura con ello una mejor deposita su compromiso con un aplauso.
calidad en los aprendizajes de sus alumnos.

El conductor del Taller pide que cada profesor escriba El perfeccionamiento docente verdadero continúa
en una hoja aquello que, a raíz de sus reflexiones en los en cada una de las aulas de los profesores com-
Talleres, quiere abandonar de sus prácticas en la sala de prometidos en generar en todos los alumnos la
clase; algún hábito docente que quiere suprimir, alguna alegría de seguir aprendiendo cada día más.
forma de interacción que no quiere volver a usar porque

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