Modulo 1ra parte
- 1. Estrategias para la construcción del Sistema de Numeración Decimal (SND) CÓMO GENERAR APRENDIZAJES EN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Matemática Módulo 1
- 3. Introducción Durante estos últimos diez años, investigaciones, estudios y experiencias realizadas acerca de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas afirman que: • “La actividad matemática es una actividad humana más”…1 , por lo que se considera que “saber matemáticas” es “hacer matemáticas”, lo cual implica, entre otros aspectos, la resolución de problemas de la vida cotidiana. Se trata, entonces, de presentar problemas donde “el contexto debe ser considerado por sí mismo y constituir un mensaje y las matemáticas un medio para decodificarlo”2 . • Para conseguir una actividad matemática significativa hay que partir de la experiencia real de los estudiantes, de situaciones extraídas de lo que viven, de aquello que está ligado a sus intereses, sus juegos, sus imaginaciones, sueños y deseos. Ya sean situaciones espontáneas o provocadas, hay que explotarlas con vivencias colectivas o individuales en el ambiente del aula. • El desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos niveles, donde los contextos y las ideas matemáticas poseen un papel relevante, y ese desarrollo se lleva a cabo en un proceso didáctico que implica, por parte del docente, transformar ese saber adulto que tiene de los conceptos matemáticos en un saber que hay que enseñar a estudiantes que proceden de diferentes contextos familiares y poseen diversas historias de crianza y estimulaciones previas de sus aprendizajes. • Según Bruno D´Amore, el aprendizaje de la matemática no comprende solo la construcción de conceptos, sino que “consta de (al menos) 5 tipologías diversas de aprendizaje: aprendizaje conceptual (noética), aprendizaje algorítmico (calcular, operar…), aprendizaje de estrategias (resolver, conjeturar…), aprendizaje comunicativo (argumentar, demostrar), aprendizaje y gestión de las transformaciones, de tratamiento y conversión de representaciones, del lenguaje común oral y escrito, de gráficos, diseños, de esquemas no verbales”3 . 1 Vicenç Font, refiriéndose a los trabajos de Freudenthal. 2 Bressan. Página 3 del artículo Principios de la educación matemática realista citando a Freudenthal, matemático y educador (1905 – 1990), quien fundó el Instituto Freudenthal para la Ciencia y la Educación Matemática en Utrecht. Incansable propulsor de un cambio en la enseñanza tradicional de la matemáti- ca, así como de los ICME. Recuperado de https://lasmatesdeinma.files.wordpress.com/.../principios-de-edu- cacion-m... 3 Bruno D´Amore, Pinilla (febrero 2014), VII Coloquio Internacional de Enseñanza de las Matemáticas IREM: El papel de la epistemología en la formación de los maestros de matemática. 1
- 4. • Actualmente existen diversos enfoques teóricos para explicar la complejidad del proceso enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, “debido a los mismos conceptos matemáticos y por lo complejo y problemático que es el mismo proceso de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en las instituciones educativas”4 . • Para desarrollar habilidades matemáticas, los estudiantes deben tener confianza en su propia capacidad y propia identidad como aprendices de matemáticas, gracias a la existencia de estrategias como la de ser acogidos por el docente en sus preguntas y ejemplos de sus intuiciones y respuestas, que los hacen sentirse capaces en sus primeros aprendizajes matemáticos, y de repreguntas del docente que los invitan a profundizar en nuevas ideas matemáticas y, de hecho, a apropiarse de estas. • Los docentes deben dar a los estudiantes la oportunidad de reconstruir los conceptos matemáticos y propiciar un proceso de enseñanza-aprendizaje muy interactivo. • Saber que lo que un estudiante es capaz de aprender por sí mismo, viene determinado por su nivel de desarrollo evolutivo y por sus conocimientos previos, pero esta capacidad de aprendizaje hay que diferenciarla de la capacidad de aprender con la ayuda y el estímulo de otras personas (no solo los profesores, también los amigos, padres, compañeros, etc.) La diferencia entre estos dos niveles de capacidad es lo que Vygotsky llama la zona de desarrollo próximo. Así pues, la enseñanza más eficaz es aquella que parte del desarrollo efectivo del estudiante, no para amoldarse a él, sino para hacerlo progresar a través de la zona de desarrollo próximo, y de esa manera generar nuevas zonas de desarrollo próximo.5 Desde luego, estos estudios enfatizan en la necesidad de contar con actividades desafiantes y con una alta calidad profesional de los docentes que enseñan matemáticas6 , quienes deberán encargarse de promover experiencias más retadoras en la matemática escolar. Es decir, trabajar en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes, de tal manera que para ellos sea tanto personalmente apropiado como divertido, y que les permita dejar todas las opciones abiertas cuando tomen decisiones en la vida, “desde la 4 Vicenç Font, Universidad de Barcelona, Coloquio Internacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Lima, 2008. 5 Vincent Foll, 2008 6 Golding M. y Kyriacou C. (2008). A Systematic Review of the Use of ICTs in Developing Pupils’ Understanding of Algebraic Ideas. Se tradujo y adaptó un documento para los docentes en marzo 2013. 2
- 5. profesión a seguir, hasta las finanzas personales y el ejercicio de los derechos del ciudadano7 . ¿Qué pretenden los módulos? Profundizar en el conocimiento, habilidades, actitudes y en el uso de estrategias para resolver problemas que debe manejar el docente, a fin de desarrollar en sus estudiantes una comprensión numérica, determinadas habilidades operatorias y un saber resolver problemas relacionados con situaciones de cantidad en contextos conocidos y definidos en el marco curricular del segundo y cuarto grado de educación primaria. ¿Qué tareas tiene que realizar el docente para llevar a cabo el curso? • Transformar ese saber adulto que tiene de los conceptos matemáticos en un saber que hay que enseñar a los estudiantes. • Saber comunicar la matemática a los estudiantes: niñas y niños de entre 8 y 10 años, que llegan a las aulas de segundo y cuarto grado con su propia historia personal, su lengua, sus costumbres y sus vivencias en un determinado contexto escolar. Tarea también muy compleja, dada la naturaleza misma de los conceptos y los aspectos lingüísticos que hay que afrontar en cada aula: “Si no comprendo el sentido de lo que me hablas, no entiendo”. Por eso, será conveniente que cada docente: - Estudie el módulo siguiendo los acuerdos dados en un curso virtual. - Experimente en grupo, con otros docentes, las actividades antes de aplicarlas en el aula. - Aplique las actividades a los estudiantes y registre las respuestas, las preguntas, los comentarios y las producciones que realicen en el transcurso de las interacciones con él y con los materiales educativos de los que disponen, incluidas las TIC. - Comparta con otros docentes las mismas experiencias pedagógicas, para reflexionar acerca de logros y dificultades encontradas en la aplicación y recreen nuevas actividades. - Consulte permanentemente sus hallazgos, comentarios e inquietudes con las monitoras y tutoras del curso. 7 María Falk de Losada, investigadora de la Universidad Antonio Nariño. Actas del XXIV Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística. Septiembre 8, 9 y 10 de 2011, Bogotá, Colombia. 3
- 6. En este módulo se abordarán las concepciones de número y numeración, así como la incidencia de estos aprendizajes en el cálculo numérico. La enseñanza y el aprendizaje de la numeración, como sistema, permiten a los estudiantes identificar las convenciones y leyes que la configuran, y ofrecen la posibilidad de trabajar diversas nociones matemáticas importantes para el desarrollo de las capacidades de los estudiantes de segundo y cuarto grado de educación primaria. ¿Qué conocimientos básicos habrá que tener en cuenta? Todos los sistemas de numeración tienen los mismos principios y estos se basan en el denominado algoritmo de la división.8 Si tenemos estos objetos: y los dividimos en agrupaciones de 10 objetos (10 es la base del Sistema de Numeración Decimal), tendremos 2 agrupaciones de 10 objetos (2 decenas) y sobrarán 4 objetos (4 unidades), estos últimos serán el residuo que siempre será menor que 10. ¿Cuántos elementos hay en total? 24 objetos. Y 24 equivale a 2 decenas y 4 unidades. En el Sistema de Numeración Decimal se emplean diez símbolos para representar todos los números naturales, por ello, se le conoce también como Sistema de Base 10. Estos símbolos, conocidos como dígitos o cifras, son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Por ejemplo, si un número natural se representa por 4647, esta expresión significaría: 4 647 = 4 × 1 000 + 6 × 100 + 4 × 10 + 7 Se trata de una descomposición multiplicativa. Si la expresamos como una expresión polinómica en potencias de la base 10: 4647 = 4 × 103 + 6×102 + 4 × 8 A partir del documento “Hacia los Números”, elaborado por Alex Molina para la capacitación de docen- tes del Proyecto Cruzada Regional por los aprendizajes fundamentales de niñas y niños de Huancavelica, en el verano 2013. 4
- 7. 101 + 7 × 100 , se dice que es una descomposición polinómica del número 4647. En la expresión decimal de 4 647 cada dígito tiene un nombre: M C D U 7 → 7 unidades 4 0 → 4 decenas o 40 unidades 6 0 0 → 6 centenas o 60 decenas o 600 unidades 4 0 0 0 → 4 millares o 40centenas o 400 decenas o 4000unidades La cifra o el dígito 4, por la posición que ocupa, tiene diferentes significados (más conocido como valor posicional). Como vemos, el 4 en la posición de las decenas significa 4 decenas (40 unidades), mientras que en el lugar de las unidades de millar significa 4 millares (4000 unidades). Es decir, cada dígito tiene un doble valor: el valor correspondiente al número de unidades que representa y el valor relativo a la posición que ocupa en el SND, a este valor se le conoce como valor posicional. ¿Cuál sería la descomposición aditiva y multiplicativa de otro número como, por ejemplo, 2016? ¿Cómo construyen los estudiantes el SND? La comprensión del SND necesita ser construida por cada niño y niña. No basta la tradicional escritura y lectura del número ni el uso irreflexivo del tablero de valor posicional para desarrollar dicha comprensión. Esto se logrará en la medida que les brindemos oportunidades de aprendizaje adecuadas y diversas. Para generar dichas oportunidades de aprendizaje, es necesario conocer primero cómo se construye el SND9 . Tarea de los participantes: Identificar en qué proceso de la construcción del SND se encuentra cada uno de los estudiantes o el grupo de estudiantes que tiene dificultades en el aula. Se trata de analizar las páginas 24, 25 y 26 de “¿Cómo construyen nuestros niños el SND?”10 aplicar una de esas experiencias que allí se presentan, para luego socializar los hallazgos y las reflexiones que se susciten en el grupo de participantes. El documento citado presenta algunos de los procesos que siguen los niños y las niñas al construir el Sistema de Numeración Decimal, y es necesario que los conozca el docente. Estos procesos están asociados a la: 9 UMC, MED, 2010, página 24 del informe Resultados ECE 2010 “Recomendaciones para mejorar la compren- sión del SND”. Recuperado de Guiadeanalisis2doPruebadeMatematica_web 10 UMC, MED, 2010, páginas 24 a 26 del informe Resultados ECE 2010 “Recomendaciones para mejorar la comprensión del SND”. Recuperado de Guiadeanalisis2doPruebadeMatematica_web 5
- 8. • Construcción del número: - Relaciona los números con objetos de su entorno, no necesariamente cuantitativos. - Relaciona los números con una cantidad de elementos. - Comprende el número en el sentido ordinal únicamente. • Comprensión del SND: - Comprende el número como unidades únicamente. - Comprende el número como unidades y decenas. - Comprende el número como unidades, decenas y centenas. - Establece equivalencias entre unidades, decenas, centenas y millares, es decir, comprende el proceso recursivo de la numeración.11 Asimismo, en las recientes evaluaciones de la ECE, se ha puesto mayor atención en las operaciones de composición y descomposición y las relaciones de equivalencia, de inclusión y de recurrencia que el niño y la niña deben construir para comprender el SND. También será importante tener en cuenta los aportes del trabajo didáctico acerca de la numeración escrita de otros investigadores. Así, Lerner y Sadovsky (1997) nos dicen que en este trabajo de la numeración es imprescindible tener presente una cuestión esencial: se trata de enseñar –y de aprender– un sistema de representación. Habrá que crear, entonces, situaciones que permitan tanto develar la organización propia del sistema como descubrir de qué manera este sistema encarna las propiedades de la estructura numérica que él representa.12 11 UMC, MED, 2010, páginas 24 a 36 del Informe resultados ECE 2010 “Recomendaciones para mejorar la comprensión del SND”. 12 Lerner, D. y Sadovsky, P. “El sistema de numeración: un problema didáctico” en Didáctica de las Matemáti- cas, Paidos, 1997. https://www.google.com.pe/sear- ch?q=sistema+de+numeraci%C 3 % B 3 n + d e c i m a l & e s p v = 2 & b i - w=1920&bih=984&source=lnms&tbm= isch&sa=X&ved=0ahUKEwiYl8b- zpabPAhXQsB4KHcxvD2QQ_AUIBig B#tbm=isch&q=objetos+agrupa- dos+por+decenas&imgrc=RJ1_Iqb -oS49bM%3A 6
- 9. La organización del Sistema de Numeración Decimal implica los significados de número, relación de orden y de adición y multiplicación, por lo tanto, comparar números y operar con ellos son puntos a considerar en el uso de la numeración escrita. También uno de los aspectos que menos se atiende en el aula es la interpretación y producción de escrituras numéricas, luego de los procesos de manipulación y representación gráfica con materiales educativos (regletas de colores13 , cubitos, barras, placas, cubo de base diez14 , bolsas15 , placas16 y ábacos17 ), que si bien han sido enfatizados en los primeros grados como procesos en el aprendizaje de la numeración hasta las centenas, continúan en los grados siguientes como procesos aislados sin ser conectados con los procesos de producción e interpretación numérica. Los procesos de evaluación formativa que realizan los docentes en las instituciones educativas también evalúan con más énfasis los procesos de representación gráfica, desconectados de los procesos de representación y producción escrita. Las dificultades se acrecientan cuando no resuelven problemas de medición sencillos y conocidos (estaturas de los estudiantes en cm o m o de distancias recorridas en km (entre ciudades vecinas). Son unidades longitud de uso muy conocido pero desvinculadas del manejo de equivalencia entre las unidades del sistema de numeración decimal. Las experiencias realizadas por Kamii18 y otros investigadores han demostrado que los niños y las niñas tienen serias dificultades para comprender el valor posicional, incluso cuando ya escriben números de varias cifras y se encuentran finalizando la educación primaria. Sin embargo, la mayoría de docentes piensa que este desconocimiento es una baja dificultad y confían en el conteo oral y escrito. Teniendo como sustento lo anterior y el seguimiento y la sistematización de prácticas pedagógicas, se puede afirmar que una comprensión del Sistema de Numeración Decimal y resolución de problemas implica: • Identificar representaciones de números con distintos materiales educativos físicos como mediadores en la construcción de los significados del número y de las operaciones, la exploración de las relaciones numéricas y de las magnitudes. • Representar los números en distintas formas y ejemplificar las relaciones entre 13 Regletas de Cuisenaire (1907) 14 Materiales de la base diez de los Multibase de Dienes 15 Objetos que sirven para guardar las agrupaciones de 10, 100, 1000 16 Tarjetas rectangulares que muestran 10 cuadrados dispuestos asi: 17 Ábacos abiertos o cerrados, Yupana (ábaco peruano), ábaco japonés, etc. 18 Comprensión numérica y habilidades operatorias. Módulo3 en Didáctica de la Matemática en Educación Primaria. Facultad de Educación PUCP. 2016. 7
- 10. ellos y los conjuntos numéricos. • Manejar la equivalencia entre unidades, decenas, centenas y unidades de millar desde una perspectiva cognitiva y curricular. • Reconocer la estructura de un sistema de numeración valorando principios y organización del sistema surgido en diversas culturas. • Darse cuenta de que las habilidades del cálculo numérico se basan en la comprensión del Sistema de Numeración Decimal. ¿Cuál será el Contexto curricular? En el segundo y cuarto grado se profundizará en el sentido numérico y valor posicional del Sistema de Numeración Decimal, a través del uso de la simbología, escritura y expresión oral de los números naturales (por ejemplo: Gané más de cien puntos, En el estadio había cinco mil escolares, Hay más de 300 km entre Lima y Trujillo, etc.). También se los relacionará de manera natural con las operaciones básicas, en las que se plantearán situaciones problema que involucren contextos reales de la vida cotidiana de los estudiantes y de su entorno. De igual manera, se abarcarán los números naturales menores que 10 000, los conceptos de números pares e impares y las habilidades relacionadas con el cálculo y la estimación. Las habilidades generales que deberán tener los estudiantes tanto en la construcción del significado como en el uso del número y del Sistema de Numeración Decimal son: • Interpretar y producir números menores que 10 000 en diversos contextos: escribir, leer y conocer números (pares e impares). • Establecer relaciones numéricas con cantidades menores que 100 (2.° grado) y menores que 10 000 (4.° grado): compararán cantidades y establecerán equivalencias entre unidades, decenas, centenas y millares; ordenarán y secuenciarán números. • Identificar el valor posicional de los dígitos que conforman un número menor que 10 000, para componer y descomponer una cantidad. • Interpretar y producir distintas representaciones de un mismo número (representaciones de las decenas, centenas y millares). • Desarrollar y utilizar estrategias para el cálculo y la estimación. 8
- 11. • Utilizar números ordinales en diferentes contextos. • Formar y escribir sucesiones numéricas de 10 en 10, de 100 en 100 y de 1000 en 1000 e identificar patrones numéricos (construcción de las decenas, centenas y millares). Se pueden fortalecer actitudes y creencias positivas hacia las matemáticas con facilidad mediante el planteamiento de problemas donde se evidencie la utilidad de los números en la vida cotidiana; asimismo, promover el disfrute de las matemáticas recurriendo sistemáticamente al juego como metodología de aula. Los estudiantes empiezan a manipular las primeras representaciones numéricas, por ejemplo, por medio de la descomposición de números o la utilización de otros signos o figuras para representarlos. ¿Qué estrategias se pueden utilizar? Una situación problema la podemos entender como un espacio para generar y movilizar procesos de pensamiento que permitan la construcción sistemática de conceptos matemáticos19 ; es decir, cuando el estudiante se encuentra frente a una situación que dinamiza su actividad frente a los objetos de aprendizaje, interactúa con el docente y sus compañeros. De esta manera tiene la oportunidad de emprender acciones que le permiten usar el saber previo, exteriorizar ideas asociadas a conceptos, explorar los significados, confrontar las ideas construidas y sistematizar relaciones conceptuales nuevas a partir de las que ya tenía. Las propuestas que se hacen giran en torno a cuatro actividades básicas: ordenar, operar, producir e interpretar, que se espera constituyan ejes alrededor de los cuales se organicen situaciones didácticas para el aprendizaje y la enseñanza del sistema de numeración decimal, situándose, desde luego, en segundo o cuarto grado de educación primaria. 19 Múnera J. (2006)Revista N°3 Formando Maestros https://www.google.com.pe/search?q=sis- tema+de+numeraci%C3%B3n+decimal&es- pv=2&biw=1920&bih=984&source=lnms&tb- m=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiYl8bzpabPAhX- QsB4KHcxvD2QQ_AUIBigB#tbm=isch&q=- multibase&imgrc=hq2VgQpR8H_oAM%3A 9