![1. Si A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅ ∧ A ≠ B → A x B ≠ B x A
2. Si A x B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅
3. (A U B) x C = (A x C) U (B x C)
4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C)
5. (A - B) x C = (A x C) - (B x C)
Ejemplo
A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}
Entonces, se tiene que:
A = {1, 2, 3} B = {a, b, c, d}
Luego:
A x B = {[(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c),
(3, d)]}
B x A = {[(a,1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d,
3)]}
Ojo: elaborar gráfica según modelo.
Observación](https://image.slidesharecdn.com/algebraabstractaalgabsf06-100309190231-phpapp01/85/Algebra-Abstracta-Alg-Abs-F06-5-320.jpg)
Algebra Abstracta Alg Abs F06
- 1. Algebra abstracta Semestre 4 Fascículo No. 6 Tabla de contenido Tuplas, sucesiones y conjuntos de potencia Par ordenado Producto cartesiano Colecciones de conjuntos Sucesiones y cadenas Resumen Bibliografía recomendada Párrafo nexo Autoevaluación formativa
- 2. Tuplas, sucesiones y conjuntos de potencia En esta parte del curso, estudiarás los conceptos de tuplas, sucesiones y conjuntos de potencia; se analizará el comportamiento de par ordenado, producto cartesiano, colecciones de conjuntos, sucesiones y cadenas, de tal manera, que se estudien cierto número de estructuras relacionadas con los conjuntos. Entenderás que las tuplas son útiles para organizar datos y muchos archivos que contienen registros y comprenderás que ellas están relacionadas con las sucesiones y cadenas y que éstas últimas son muy importantes en informática. Indicadores de logro Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: • Reconoce y da ejemplos de tuplas. • Analiza el concepto de sucesiones y cadenas. • Diferencia par ordenado y producto cartesiano. • Analiza las colecciones de conjuntos. Tuplas Dos objetos dados en cierto orden forman un par. Por ejemplo: 1. Un matrimonio es un par, que consta de esposa y esposo. 2. En el directorio telefónico de algunas compañías, cada entrada consta de un par, un nombre y un número de teléfono. 3. Un punto del hemisferio norte puede expresarse mediante un par de números: su longitud y su latitud.
- 3. En general, si x e y son dos objetos, se puede formar un par de forma que consta de x e y, y este par se denota como (x, y). Es importante tener en cuenta el orden del par, por ejemplo, en el caso del ejemplo 3, un punto en el hemisferio norte puede ser representado por (x, y), donde x es la latitud y y es la longitud. Por lo cual, si se tiene (41, 74) es un punto con latitud 41 y longitud 74, y este punto está muy cercano a la ciudad de Nueva York. Pero, si el punto fuera (74, 41), es un punto con latitud 74 y longitud 41, situado en medio de Groenlandia; de tal manera, que es muy importante tener en cuenta el orden del par. Los dos elementos que forman el par no necesitan pertenecer al mismo conjunto. Por ejemplo, los pares encontrados en el directorio telefónico, constan de un nombre, que es un elemento del conjunto de nombres, junto con un número, que es un elemento del conjunto de los números. Los pares constan de dos objetos; por lo general se pueden crear n-tuplas, que constan de n objetos, colocados en cierto orden. En lugar de n-tuplas, se utiliza el término tuplas. Par ordenado Un par ordenado de elementos, se denota por (a, b), el cual se considera distinto del par ordenado (b, a), a menos que, a = b. Si se expresa de otra manera, se tiene: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d Producto cartesiano
- 4. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. El conjunto de todos los pares ordenados tal que el primer miembro del par ordenado es un elemento de A y el segundo miembro es un elemento de B, se llama el producto cartesiano de A y B y se escribe A x B. Por lo cual: A x B = {(x, y) ⎟ (x ∈ A) ∧ (y ∈ B)} Ejemplo Sea A = {Mary, Rosa} y B = {Jaime, Beni, Braulio}. Halle el conjunto A x B. Entonces se tiene: El conjunto A x B es el conjunto de todas las parejas en las cuales el primer elemento es Mary o Rosa y el segundo Jaime, Beni o Braulio. Entonces, se puede escribir en forma de conjunto o en forma tabular: En forma de conjunto: A x B = {(Mary, Jaime), (Mary, Beni), (Mary, Braulio), (Rosa, Jaime),(Rosa, Beni), (Rosa, Braulio)} En forma tabular: Jaime Beni Braulio Mary (Mary, Jaime) (Mary, Beni) (Mary, Braulio) Rosa (Rosa, Jaime) (Rosa, Beni) (Rosa, Braulio) Propiedades
- 5. 1. Si A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅ ∧ A ≠ B → A x B ≠ B x A 2. Si A x B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅ 3. (A U B) x C = (A x C) U (B x C) 4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C) 5. (A - B) x C = (A x C) - (B x C) Ejemplo A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B} Entonces, se tiene que: A = {1, 2, 3} B = {a, b, c, d} Luego: A x B = {[(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c), (3, d)]} B x A = {[(a,1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d, 3)]} Ojo: elaborar gráfica según modelo. Observación
- 6. Puedes darte cuenta que A x B ≠ B x A, por lo cual se concluye que no es conmutativa. Actividad 6.1 1. Si A = {α, β} y B ={1, 2, 3}, ¿qué son A x B, B x A y B x B? 2. Halle, {a} x N, a ∈ N Colecciones de conjuntos Una familia de conjuntos de A1, A2, A3...An... finita o infinita, la notaremos: Ai y las operaciones, entonces, pueden ser generalizadas, por lo cual: x ∈ ∪ Ai ⇔ ∃i ∈ I , x ∈ Ai ∪ A = {x / x ∈ A, ∃i} i∈I i i∈I x ∉ ∪ Ai ⇔ ∀i ∈ I , x ∉ Ai i∈I x ∈ ∩ Ai ⇔ ∀i ∈ I , x ∈ Ai i∈I ∩A i∈I i = {x / x ∈ Ai , ∀i} x ∉ ∩ Ai ⇔ ∃i ∈ I , x ∉ Ai i∈I
- 7. Propiedades: ' ⎛ ⎞ ' ⎛ ⎞ 2.⎜ ∩ Ai ⎟ = ∪ Ai ' 1.⎜ ∪ Ai ⎟ = ∩ Ai ' ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i∈ I ⎠ i∈I ⎝ i∈I ⎠ i∈I 3. Si A es un conjunto y Bi ⊂ A. ∀i entonces: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a. A − ⎜ ∪ Bi ⎟ = ∩ ( A − Bi ) b. A − ⎜ ∩ Bi ⎟ = ∪ ( A − Bi ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i∈I ⎠ i∈I ⎝ i∈I ⎠ i∈I ⎛ ⎞ c.B∩ ⎜ ∪ Bi ⎟ = ∪ ( Bi ∩ Bi ) d .B ⎛ B ⎞ = ( ) ⎜ ⎟ ⎝ i∈I ⎠ i∈I ∪ ⎜ ∩ i ⎟ ∩ B∪ Bi ⎜ ⎟ ⎝ i∈I ⎠ i∈I ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4.⎜ ∪ Ai ⎟∩ ⎜ ∪ Bi ⎟ = ∪ ( Ai ∩ B j ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i∈I ⎠ ⎝ i∈I ⎠ i∈I j∈J ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5.⎜ ∩ Ai ⎟∪ ⎜ ∩ B j ⎟ = ∩ ( Ai ∪ B j ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i∈I ⎠ ⎝ j∈J ⎠ i∈I j∈J Actividad 6.2
- 8. Demuestre las siguientes propiedades: ' ⎛ ⎞ ⎜ ∩ Ai ⎟ = ∪ Ai ' ⎜ ⎟ ⎝ i∈I ⎠ i∈I ⎛ ⎞ A − ⎜ ∩ Bi ⎟ = ∪ ( A − Bi ) ⎜ ⎟ ⎝ i∈I ⎠ i∈I Sucesiones y cadenas Se necesita un conjunto inicial A, donde A puede ser el conjunto de los números naturales, el conjunto de los enteros, el conjunto {0, 1}, o el conjunto de todos los caracteres ASCII, de tal manera, que se pueda formar una sucesión. Se puede formar una sucesión siempre y cuando todos los elementos sean miembros de A, y así, se dice que la sucesión está sobre A. Observación Las sucesiones se denotan con corchetes angulares. Ejemplo 〈2, 4, 8, 16,...〉 〈1, 2, 1, 2, 1,...〉
- 9. 〈3, 5, 3, 7,...〉 〈〉 Estos tres ejemplos son sucesiones sobre N. Las dos primeras sucesiones son sucesiones infinitas, es decir, que no tienen final; en cambio, la tercera sucesión es finita y tiene una longitud de 4. La longitud de una sucesión es el número de objetos en la sucesión, contado cada objeto con la multiplicidad con que aparece. La última de estas sucesiones es una sucesión vacía y se representa por ε. Ladillo Longitud de una sucesión: es el número de objetos en la sucesión, contado cada objeto con la multiplicidad con que aparece. Una sucesión de longitud n, es una n-tupla. Entonces, cada sucesión de longitud n sobre A debe de ser un miembro del producto cartesiano An. El conjunto de las sucesiones no vacías de longitud no menor está dado por: A1 U A2 U ... U An El conjunto de todas las sucesiones finitas no vacías, usualmente denotado por A+ es por tanto, A+ = A1 U A2 U A3...
- 10. Si A0 es el conjunto que contiene la sucesión vacía 〈 〉 como único miembro, entonces el conjunto de todas las sucesiones, incluyendo la sucesión vacía, se convierte en: A* = A0 U A+ = A0 U A1 U A2 U A3 ... Ejemplo Sea B = {0, 1} el conjunto de bits. Un byte, que son 8 bits, es entonces, una sucesión de longitud 8 sobre B; quiere decir, es un miembro de B8. Las sucesiones de caracteres son obviamente de gran importancia en informática, y se llaman cadenas (o arreglos) ("strings"). El conjunto de caracteres sobre el cual se forma la cadena se llama, alfabeto. Ladillo Alfabeto: conjunto de caracteres sobre el cual se forma una cadena. Las cadenas están limitadas por una comilla simple, como en el caso de la cadena 'abdx'. Esta cadena consta de cuatro caracteres a, b, d, y x en ese orden. La cadena vacía se representa por ε, como en el caso de cualquier otra sucesión, o por ``, o por λ. Una operación importante en las sucesiones es la concatenación. Para concatenar dos sucesiones x e y, primero se escriben todos los elementos de x, y después todos los de y . La concatenación es una operación sobre las sucesiones, incluyendo las cadenas. El símbolo de la concatenación está dado por:
- 11. Ladillo Concatenación: operación que se realiza sobre las sucesiones, incluyendo las cadenas. No es conmutativa pero sí asociativa. Ejemplo La concatenación dada para: 〈3, 5, 4〉 y 〈4, 2, 7〉, está dada por: 〈3, 5, 4〉 〈4, 2, 7〉 = 〈3, 5, 4, 4, 2, 7〉 La concatenación al ser una operación, no es conmutativa, es decir, x y=ysx no es necesariamente verdadera. La concatenación es asociativa, no importa el orden en que se efectúe la concatenación. Por ejemplo, ('ab' 'cd') 'ef' y 'ab' ('cd' 'ef'), producen 'abcdef'. Ejemplo La solución de X 'no' = 'camino' para X produce X = 'cami'. Si existen valores X e Y tales que X Z Y = U, entonces se dice que Z es una subcadena de U. Por ejemplo, 'min' es una subcadena de 'camino' porque hay valores de X e Y, esto es, X = 'ca' e Y = 'no', tales que X 'mi' Y = 'camino'.
- 12. Resumen En este fascículo se estudiaron los conceptos de tuplas, sucesiones y conjuntos de potencia; se analizó el comportamiento de par ordenado, producto cartesiano, colecciones de conjuntos, sucesiones y cadenas. Bibliografía recomendada JOHNSONBAUGH, Richard. Matemáticas discretas. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1988, capítulo 2. GROSSMAN, Stanley. Matemática discreta y lógica. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1988, capítulo 5. Párrafo nexo En el siguiente fascículo, se estudiarán las relaciones, se analizarán los conceptos de relación, relación binaria, digrafos, dominios y rangos, relación inversa, composición de relaciones, reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva y relación de equivalencia .
- 13. Autoevaluación formativa 1. Un byte es un 8-tupla de bits. Exprese el conjunto de todos los bytes como un producto cartesiano. 2. Un restaurante sirve cuatro entradas: r = costillas n = ensalada s = salami f = queso fundido y tres platos principales: c = pollo b = bistec t = trucha Defina el producto cartesiano A x M, donde A es el conjunto de entradas y M es el conjunto de platos principales. 3. Demuestre las siguientes propiedades: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∩ B j ⎟ = ∩ ( Ai ∪ B j ) ⎜ ∩ Ai ⎟∪ ⎜ ⎟ ⎝ i∈I ⎠ ⎝ j∈J ⎠ i∈I j∈J 4. Halle, N x Z