Estructuras

Tema 2

Estructuras algebraicas
b´sicas
a

2.1. Operaciń interna
o
Definiciń 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composi-
o
ciń en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota por
o
“ ⊕”, a una aplicaciń1 :
o

⊕ : A × B −→ C
(a, b) −→ f (a, b) = a ⊕ b = c ∈ C

Definiciń 30. Dada ⊕ : A × B → C, se dir´ que la ley de composiciń ⊕
o a o
es interna si A = B = C.

Por lo tanto, una ley de composiciń ⊕ : A × A → A es una ley de
o
composiciń interna.
o 2

Ejemplo 23. La suma y el producto ordinarios en R, denotados respectiva-
mente por “ +” y “ ·”, son leyes de composiciń interna:
o

+ : R × R −→ R · : R × R −→ R
(x, y) −→ z = x + y (x, y) −→ z = x · y

Ejemplo 24. La operaciń resta no es una operaciń interna en N, ya que
o o
el resultado de restar entre s´ n´meros naturales puede producir n´meros
ı u u
negativos, que no estń en N. Por ejemplo: 1, 2 ∈ N pero 1 − 2 = −1 ∈ N.
a
1
A una ley de composiciń de A × B → C se le conoce, tambiń, con el nombre de
o e
operaciń binaria. La notaciń ⊕ es arbitraria, y podr´ elegirse cualquier otra. A lo
o o ıa
largo de este cap´
ıtulo se utilizarń diversos s´
a ımbolos para representar este tipo de leyes de
composiciń: ⊕, ⊗, , ∗, ·, +, ·.
o
2
Una ley de composiciń interna se llama, tambiń, operaciń binaria interna u
o e o
operaciń interna.
o

37

38 ´
TEMA 2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BASICAS

De la misma forma, la operaciń divisiń no es interna en ninguno de
o o
los conjuntos num´ricos habituales N, Z, Q, R o C, ya que el resultado que se
e
obtendr´ al dividir entre 0 no est´ definido en ninguno de estos conjuntos.
ıa a
Visto desde otra perspectiva: s´lo determinadas operaciones resultan in-
o
ternas en cada conjunto. As´ pues, parece necesario definir las leyes que no
ı
son internas:
Definiciń 31. Dados dos conjuntos A y B, se llama ley de composiciń
o o
externa a una aplicaciń A × A → B, que a todo par de elementos de A
o
asocia un elemento de B.
La resta entre n´meros naturales, del ejemplo anterior, resulta as´ una
u ı
operaciń externa de la forma N × N → Z.
o
Pero existe otra forma de ley de composiciń externa, con dos variantes:
o
Definiciń 32. Dados dos conjuntos A y B, se dice que una aplicaciń de
o o
la forma:
: A × B −→ A
(a, b) −→ c = a ∗ b
es una ley de composiciń externa por la derecha, y a los elementos
o
del conjunto B se les llama multiplicadores o escalares de la operaciń3 .
o
Si la aplicaciń es de la forma:
o

: B × A −→ A
(b, a) −→ c = b a

se dir´ que es una ley de composiciń externa por la izquierda.
a o
Ejemplo 25. Un ejemplo t´ ıpico de operaciń externa es el producto de un
o
escalar por vector en un espacio vectorial, que se ver´ con detalle en la
a
secciń siguiente. Si llamamos K al conjunto de escalares (cuerpo) sobre el
o
que definiremos el espacio vectorial V , un producto de un escalar de K por
un vector de V ser´ de la forma:
a
• : K × V −→ V
(λ, v) −→ u = λ · v

Ejemplo 26. Un caso particular del ejemplo anterior es el producto de
escalares por funciones reales de variable real. Si A es el conjunto de las
funciones reales de variable real, f ∈ A es una funciń de A, R el conjunto
o
de los n´meros reales y k ∈ R un n´mero real, la aplicaciń
u u o
• : R × A −→ A
k, f −→ (k · f ) (x) = kf (x), ∀ x ∈ R

resulta ser una operaciń externa en A.
o
3
Esta ley se llama, tambiń, operaciń externa por la derecha.
e o

´
2.1. OPERACION INTERNA 39

Propiedades 8. Las leyes de composiciń no han de satisfacer, en general,
o
ningń requisito en especial. Sin embargo, s´lo serń interesantes aquellas
u o a
que, en cada caso, verifiquen ciertas propiedades. De ellas, se exponen aqu´
ı
las m´s interesantes, comenzando por las que se refieren a leyes de composi-
a
ciń interna:
o

Asociativa a1 ⊕ (a2 ⊕ a3 ) = (a1 ⊕ a2 ) ⊕ a3 , ∀ a1 , a2 , a3 ∈ A

Conmutativa a1 ⊕ a2 = a2 ⊕ a1 , ∀ a1 , a2 ∈ A

Distributiva Dado el conjunto A y las leyes ⊕ y , se dice que es
distributiva por la izquierda respecto a ⊕ si:

a1 (a2 ⊕ a3 ) = (a1 a2 ) ⊕ (a1 a3 ) , ∀ a1 , a2 , a3 ∈ A

de la misma forma, se dice que es distributiva por la derecha
respecto a ⊕ si:

(a2 ⊕ a3 ) a1 = (a2 a1 ) ⊕ (a3 a1 ) , ∀ a1 , a2 , a3 ∈ A

finalmente, es distributiva respecto de ⊕, si lo es por la izquierda
y por la derecha, esto es:

(a1 ⊕ a2 ) (a3 ⊕ a4 ) = (a1 a3 ) ⊕ (a1 a4 ) ⊕
⊕ (a2 a3 ) ⊕ (a2 a 4 ) , ∀ a 1 , a2 , a 3 , a4 ∈ A

Elemento neutro Se dice que una ley de composiciń interna en A tiene
o
elemento neutro si:

∃e∈A e ⊕ a = a ⊕ e = a, ∀ a ∈ A

El elemento neutro4 se denotar´ por e.
a

Elemento sim´trico Dada una ley de composiciń interna en A con ele-
e o
mento neutro e, se llama elemento sim´trico, si existe, del elemento
e
a ∈ A, a un elemento a tal que5 :
¯

a⊕a=a⊕a=e
¯ ¯
4
Para la operaciń suma ordinaria en N, Z, Q, R, el elemento neutro es el “0” para la
o
suma, y para el producto ordinario el “1”.
5
Para la suma ordinaria, el elemento sim´trico de un elemento x es −x, y se llama
e
elemento opuesto. Para el producto ordinario entre n´meros reales o racionales no
u
1
nulos, el elemento sim´trico es x , y se denomina elemento inverso o rec´
e ıproco. Por
otra parte, para el producto ordinario de matrices, que se estudiar´ m´s adelante, el
a a
elemento sim´trico se llama matriz inversa y se representan por A−1 .
e

40 ´

Elemento regular o simplificable Se dice que el elemento a ∈ A es re-
gular o simplificable para la ley de composiciń interna “ ⊕” si se
o
verifica:
Si a ⊕ a1 = a ⊕ a2 ⇒ a1 = a2 , ∀ a1 , a2 ∈ A
y:
Si a1 ⊕ a = a2 ⊕ a ⇒ a1 = a2 , ∀ a1 , a2 ∈ A

La estructura de espacio vectorial, entre otras, constituye la base so-
´
bre la que se apoya el Algebra Lineal. Los espacios vectoriales son es-
tructuras matem´ticas que cumplen unas determinadas propiedades. Estas
a
propiedades son poco restrictivas, de forma que numerosos problemas reales
pueden modelizarse mediante espacios vectoriales.
Para abordar el estudio de los espacios vectoriales recordaremos previa-
mente una serie de definiciones de conceptos que son la base sobre la que se
apoya la definiciń de espacio vectorial.
o
Hemos utilizado como ejemplo de estructuras los conjuntos de n´merosu
N, Z, Q, R y C que se estudiarń con detalle en el cap´
a ıtulo siguiente.
Definiciń 33. Se llama estructura algebraica a un conjunto A y unas
o
operaciones ⊕, ⊗, , . . . –internas o externas– definidas en ´l, de forma que
e
se verifican ciertas propiedades. Se denota por (A, ⊕, ⊗, , . . .).
Se exponen a continuaciń las estructuras m´s habituales, y las nece-
o a
sarias para llegar, finalmente, al espacio vectorial.

2.2. Grupos
Definiciń 34. Se llama grupo a una estructura (G, ⊗) que verifica las
o
propiedades:
1. (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z) , ∀ x, y, z ∈ G (Propiedad Asociativa)
2. ∃e ∈ G x ⊗ e = e ⊗ x = x, ∀ x ∈ G (Existencia de Elemento Neutro)
3. ∀x ∈ G ∃ y ∈ G y ⊗ x = x ⊗ y = e (Existencia de Elemento
Sim´trico)
e
Definiciń 35. Se llama grupo conmutativo ´ Abeliano a un grupo
o o
(G, ⊗) que verifica:
4. x ⊗ y = y ⊗ x, ∀ x, y ∈ G (Propiedad conmutativa)
Ejemplo 1. En el grupo (R, +) el elemento neutro es el “ 0” y el elemento
sim´trico es el elemento opuesto (−x). De la misma forma, en el grupo
e
(R0 = R − {0}, ·) el elemento neutro es el “ 1” y el elemento sim´trico es el
e
inverso6 (1/x). Ambos son grupos conmutativos. Adem´s: a
6
Quiz´s con m´s precisiń, a ´ste elemento se le denomina tambiń rec´
a a o e e ıproco.

2.3. ANILLOS 41

1. Los conjuntos Z, Q, R y C son grupos abelianos respecto a la suma
ordinaria

2. Los conjuntos Q0 , R0 y C0 son grupos abelianos respecto al producto
(sin el “ 0”)

3. El conjunto Mm×n (R) de matrices con m filas y n columnas y coefi-
cientes en R es un grupo conmutativo respecto a la suma matricial.7

2.3. Anillos
Se analizarń a continuaciń los anillos, un tipo de estructuras con dos
a o
operaciones relacionadas entre s´ Estructuras algebraicas de este tipo son
ı.
los conjuntos num´ricos Z, Q y R, de forma que estas estructuras resultan
e
relativamente familiares; esto, no obstante, puede resultar un inconveniente
porque anima a generalizar las propiedades a las que se est´ acostumbrado
a
al manejar n´meros. Esto, como se ver´, no es siempre acertado.
u a

Definiciń 36. Se llama anillo, y se denota por (A, ⊕, ), a un conjunto A
o
dotado de dos operaciones “ ⊕” y “ ” que verifica las propiedades siguientes:

1. (A, ⊕) es un grupo abeliano. Su elemento neutro lo denotaremos como
0.

2. (x y) z=x (y z) , ∀ x, y, z ∈ A (propiedad asociativa)

x (y ⊕ z) = (x y) ⊕ (x z)
3. ∀x, y, z ∈ A (prop. distributiva)
(x ⊕ y) z = (x z) ⊕ (y z)

Definiciń 37. (A, ⊕, ) se llamar´ anillo unitario si verifica:
o a
•
4. ∃ e∈A
¯ x e=e
¯ ¯ x = x, ∀ x ∈ A

Definiciń 38. (A, ⊕, ) se llamar´ anillo conmutativo si verifica:
o a

5. x y=y x, ∀ x, y ∈ A (propiedad conmutativa)

Definiciń 39. Un elemento x de un anillo unitario (A, ⊕, ) se dice in-
o
versible si posee sim´trico respecto de la segunda operaciń, “ ”, es decir
e o
existe y ∈ A tal que
x y=y x=e ¯

Ejemplo 27. En el anillo (Z, +, ·) los unicos elementos inversibles son el
´
1 y el −1, de forma que (−1) · (−1) = 1 · 1 = 1 (el 1 es el elemento neutro
para la operaciń “·”). Esto choca directamente con lo que sucede en el anillo
o
7
Si A = (aij ), B = (Bij ) ∈ Mm×n (R) son dos matrices reales, la suma A + B =
(aij + bij )

42 ´

(R, +, ·), en el que el unico elemento no inversible es el 0 (precisamente, el
´
elemento neutro para la operaciń “+”).
o
Con respecto a los conjuntos num´ricos, se cumple que (Z, +, ·) es un
e
anillo conmutativo unitario. Los conjuntos (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son
anillos conmutativos unitarios, en los que todos los elementos, salvo el nulo,
son inversibles.
Otro ejempo muy utilizado de anillo es el conjunto Zm con las opera-
ciones:
[a] + [b] = [a + b] [a][b] = [ab]
siendo a, b ∈ {0, 1, . . . , m − 1}.
Por analog´ con los conjuntos num´ricos, es habitual denotar al elemento
ıa e
neutro, respecto de , de un anillo unitario (A, ⊕, ) como 1.
En determinados anillos es posible encontrar dos elementos no nulos que,
al operarlos entre s´ mediante la segunda operaciń –a la que habitualmente
ı o
denominamos con el producto–, se obtiene el elemento neutro de la primera –
el 0, habitualmente–. En otras palabras, es posible multiplicar dos elementos
no nulos y que el resultado sea cero. A estos elementos se les conoce como
divisores de cero:
Definiciń 40. En un anillo (A, ⊕, ) se dice que un elemento a ∈ A no
o
nulo es un divisor de cero si existe otro elemento no nulo b ∈ A tal que
a b = 0.
Un ejemplo claro de este tipo de comportamiento se puede observar en el
anillo (Mn (R), +, ·), donde Mn (R) es el conjunto de las matrices cuadradas
de tamaõ n con coeficientes en R y “+”,“·” son las operaciones suma y
n
producto habituales entre matrices.8 Si tomamos las matrices no nulas ( 1 0 )
00
y ( 0 0 ), su producto es:
01

1 0 0 0 0 0
· =
0 0 0 1 0 0
Un caso especial de anillos son aquellos en los que no existen divisores
de cero, es decir:
∀ x, y ∈ A x y = 0 ⇔ (x = 0 ∨ y = 0)
a estos anillos se les denomina anillos ´
ıntegros o dominios de integridad.
Ejemplo 28. Los anillos (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·), con las
operaciones + y · habituales en ellos, son dominios de integridad.
8
Si A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mn (R), la matriz producto AB tiene como coeficiente ij el
resultado de multiplicar la fila i-´sima de A por la columna j-´sima de B, es decir
e e
 
n
b1j
 
(AB)ij = aik bkj = (ai1 , . . . , ain )  .  .
.
.
k=1
bnj

2.4. CUERPOS 43

2.4. Cuerpos
Definiciń 41. Se llama cuerpo a un anillo unitario (K, ⊕, ), tal que
o
(K − {0}, ) es un grupo, es decir todo elemento x ∈ K distinto de 0 es
inversible respecto de .

Si el anillo (K, ⊕, ) es conmutativo, se dice que el cuerpo K es conmu-
tativo.

Ejemplo 2. Los conjuntos Q, R y C son cuerpos conmutativos respecto a
las operaciones suma y producto ordinarias.
El anillo Zm es un cuerpo si m es un n´mero primo y son la base para la
u
construcciń de cualquier cuerpo finito cuyo cardinal es siempre de la forma
o
pn , siendo p un primo y n un n´mero natural. Estos cuerpos se utilizan en
u
Criptograf´ Teor´ de C´digos, etc.
ıa, ıa o

2.5. Espacios Vectoriales
Definiciń 42. Se dice que un conjunto V tiene estructura de espacio
o
vectorial sobre un cuerpo K si:

- En V hay definida una operaciń interna (suma) que confiere a V
o
estructura de grupo abeliano

- En V hay definida una operaciń externa (producto)
o

:K ×V →V

que verifica las siguientes operaciones:

1. λ (u + v) = λu + λv, ∀ u, v ∈ V, ∀ λ ∈ K
2. (λ + µ) u = λu + µu, ∀ u ∈ V, ∀ λ, µ ∈ K
3. λ (µu) = (λµ) u, ∀ u ∈ V, ∀ λ, µ ∈ K
4. 1 · u = u, ∀ u ∈ V

Los elementos del espacio vectorial reciben el nombre de vectores, y los
elementos del cuerpo K escalares.

Ejemplo 29. Son ejemplos de espacios vectoriales Rn , Cn , Zn , para cualquier
m
natural n, (en general K n , si K es un cuerpo) y Mm×n (R).

Sea V un K-espacio vectorial. Si ∅ = U ⊆ V es un subconjunto no vac´ıo
de V , se dice que U es un subespacio vectorial de V , si U es un espacio
vectorial sobre K, considerando en U las mismas operaciones definidas en
V.

44 ´

Proposiciń 2. Sea ∅ = U ⊆ V un subconjunto no vac´ de V , son equiv-
o ıo
alentes:
1. U es un subespacio vectorial de V
2. Dados u, u ∈ U y α ∈ K, se tiene que u + u ∈ U y αu ∈ U
3. Dados u, u ∈ U y α, β ∈ K, se tiene que αu + β u ∈ U
Sea V un K-espacio vectorial y sea S = {v1 , v2 , . . . , vp } un subconjunto
cualquiera de vectores de V . Una combinaciń lineal de los vectores de S es
o
un vector v que se escribe como
p
v = α1 v1 + α2 v2 + · · · αp vp = αi vi .
i=1

donde αi ∈ K.
Ejemplos 2. 1. 0 es combinaciń lineal de cualquier conjunto de vec-
o
tores sin m´s que tomar αi = 0 para todo i.
a
2. En R3 , se tiene que

(1, 1, 0) = (−1)(2, 1, −1) + 1(3, 2, −1)

Proposiciń 3. El conjunto {combinaciones lineales de S} es un subespa-
o
cio vectorial de V llamado subespacio generado o engendrado por S y se
denota < S >
Definiciń 43. Sea S = {v1 , v2 , . . . , vp } un conjunto de vectores de V .
o
Se dice que S es un conjunto libre o un conjunto de vectores linealmente
independientes si, para toda combinaciń lineal de los vectores de S:
o
p
αi vi = α1 v1 + · · · + αp vp = 0,
i=1

se tiene que αi = 0, para todo i. Equivalentemente, S es libre si, ningń
u
vector de S es combinaciń lineal de los dem´s.
o a
An´logamente, se define:
a
Definiciń 44. Sea S = {v1 , v2 , . . . , vp } un conjunto de vectores de V . Se
o
dice que S es un conjunto ligado o un conjunto de vectores linealmente
dependientes si, existe una combinaciń lineal de los vectores de S:
o
p
αi vi = α1 v1 + · · · + αp vp = 0,
i=1

donde algń αi = 0. Equivalentemente, S es ligado si, algń vector de S es
u u
combinaciń lineal de los dem´s.
o a

2.5. ESPACIOS VECTORIALES 45

Ejemplo 30. En R3 , los vectores {(1, 1, 0), (2, 1, −1), (3, 2, −1)} forman un
conjunto ligado.

Sea V un K-espacio vectorial.

Definiciń 45. Se dice que V es un espacio vectorial de tipo finito (o
o
finitamente generado) si existe S ⊆ V finito tal que V = < S >. S es un
sistema de generadores de V .

Definiciń 46. Un conjunto de vectores B = {v1 , . . . , vp } de V es una base
o
de V si:

B es un sistema de generadores de V (V = < B >)

B es un conjunto libre.

Ejemplo 31. En K n , el conjunto

{(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}

es una base (llamada base canńica)
o

Teorema 1. Sea B = {v1 , . . . , vp } ⊆ V . Son equivalentes:

1. B es una base de V .

2. Cualquier vector de V se escribe de manera unica como combinaciń
´ o
lineal de los vectores de la base de B.

Si v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αp vp , los escalares α1 , α2 , . . . , αp se llaman
coordenadas del vector v respecto de la base B.

Proposiciń 4. Sea V = {0} un espacio vectorial de tipo finito. V siempre
o
admite una base.

Proposiciń 5. Sean B y B dos bases de V . Entonces |B| = |B | y a este
o
cardinal comń se le llama dimensiń de V .
u o

Sea S un conjunto de vectores de un espacio vectorial V de tipo finito.
Se denomina rango de S a dim(< S >), luego el rango de S es el mayor
n´mero de vectores linealmente independientes que hay dentro de S.
u

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