Recetas para la resolución de ed os
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Este documento resume los métodos clásicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de orden superior. Describe métodos como variables separadas, homogéneas, exactas, lineales, de Bernouilli, Riccati y más. También explica cómo reducir el orden de ecuaciones mediante cambios de variable.
Recetas para la resolución de ed os
- 1. ´ ´ ´ METODOS CLASICOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS • ECUACIONES EXPL´ ICITAS DE PRIMER ORDEN. Es decir, de la forma y = f (x, y). 1. Variables separadas. Son de la forma g(x) = h(y)y . dy Formalmente, se separa g(x) = h(y) dx en g(x) dx = h(y) dy y se integra. 2. Ecuaci´n de la forma y = f (ax + by). o El cambio de funci´n y(x) por z(x) dado por z = ax + by la transforma en una de o variables separadas. 3. Homog´neas. e Son de la forma y y =f . x Se hace el cambio de funci´n y(x) por u(x) mediante y = ux, transform´ndose as´ la E. D. o a ı en una de variables separadas. 3 . Reducibles a homog´neas. e Son de la forma a1 x + b1 y + c1 y =f . ax + by + c 3 .1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 se cortan en (x0 , y0 ), se hace el cambio de variable y de funci´n X = x − x0 , Y = y − y0 . La ecuaci´n se reduce a una o o homog´nea. e 3 .2. Si ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 son rectas paralelas, se hace el cambio de funci´n z = ax + by. La nueva ecuaci´n que aparece es de variables separadas. o o 3 . Homog´neas impl´ e ıcitas. Son de la forma y F , y = 0. x Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representaci´n param´trica o e α = ϕ(t), β = ψ (t), F (ϕ(t), ψ (t)) = 0, se hace el cambio de funci´n y por t mediante o y x = ϕ(t), y = ψ (t). As´ derivando y = xϕ(t) respecto de x, aparece una ecuaci´n en ı, o variables separadas. 3 . Si la ecuaci´n y = f (x, y) o es tal que, para alg´n α = 0 fijo, f satisface u f(λx, λα y) = λα−1 f (x, y), entonces el cambio de funci´n y = z α transforma la ecuaci´n en una homog´nea. (Si α = 1, o o e la E. D. ya es homog´nea; y si f cumple la relaci´n anterior con α = 0, la E. D. es de e o variables separadas.) 1
- 2. 4. Ecuaciones exactas. Son las de la forma P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, P (x,y) es decir, y = dy = − Q(x,y) , que cumplen Py = Qx . Se busca una funci´n F (x, y) tal que dx o dF = ω = P dx + Q dy, y la soluci´n de la E. D. es F (x, y) = C (siendo C constante). o 4 . Reducibles a exactas: Factores integrantes. Si P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar encontrar µ(x, y) tal que µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0 sea exacta. Py −Qx 4 .1. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Ocurre cuando Q = h(x), tom´ndose µ(x) = exp( h(x) dx). a Qx −Py 4 .2. Existencia de factor integrante de la forma µ(y). Ocurre cuando P = h(y), tom´ndose µ(y) = exp( h(y) dy). a 4 .3. Otras expresiones restrictivas para µ(x, y). 5. Ecuaciones lineales de primer orden. Son de la forma y + a(x)y = b(x). Hay tres m´todos de resoluci´n: (i) Encontrar un factor integrante de la forma µ(x). e o (ii) Resolver la ecuaci´n lineal homog´nea asociada y + a(x)y = 0 (que es de variables o e separadas), cuya soluci´n es y = C exp(− a(x) dx), y usar el m´todo de variaci´n de o e o las constantes (esto es, cambiar C por C(x) en la expresi´n anterior y sustituir en la o ecuaci´n lineal). (iii) Encontrar de alguna forma una soluci´n particular yp (x), con lo cual o o la soluci´n general de la lineal es yp m´s la soluci´n general de la homog´nea asociada. o a o e (iv) Descomponer y(x) = u(x)v(x), sustituir en la lineal, e igualar a 0 el coeficiente de u, resolviendo la ecuaci´n que aparece (v + a(x)v = 0, que es de variables separadas); tras o esto, queda una ecuaci´n en u(x) de variables separadas. o De cualquier modo se obtiene que la soluci´n general de la E. D. lineal es o y = exp − a(x) dx b(x) exp a(x) dx dx + C . 5 . Ecuaci´n de Bernouilli. o Es de la forma y + a(x)y + b(x)y α = 0. Si α = 0 es lineal, y si α = 1, de variables separadas. En otro caso, se hace el cambio de funci´n y 1−α = z, con lo que la E. D. de Bernouilli se transforma en una lineal. Un o segundo m´todo de resoluci´n es el siguiente: se descompone y(x) = u(x)v(x) y se sustituye e o en la E. D., se iguala a 0 el coeficiente de u (queda v + a(x)v = 0, que es de variables separadas), lo que nos lleva a determinar v, apareciendo ahora una ecuaci´n en u(x) de o variables separadas. 2
- 3. 5 . Ecuaci´n de Riccati. o Es de la forma y + a(x)y + b(x)y 2 = c(x). El m´todo requiere haber encontrado previamente una soluci´n particular yp (x). Si este es e o el caso, haciendo el cambio de funci´n y = yp + z, la E. D. de Riccati se reduce a una de o Bernouilli con α = 2. 6. Sustituciones. Cuando tenemos una E. D. y = f(x, y) que no responde a alguno de los tipos estudiados hasta ahora, a veces una sustituci´no (en esencia, un cambio de variable) m´s o menos ingeniosa transforma la ecuaci´n en una a o reconocible. L´gicamente, no puede darse una regla general pero, en todo caso, merece la o pena intentar algo. • ECUACIONES EN LAS QUE LA DERIVADA APARECE IMPL´ ICITAMENTE. Es decir, de la forma F (x, y, y ) = 0. 7. F algebraica en y de grado n. Tenemos (y )n + a1 (x, y)(y )n−1 + · · · + an−1 (x, y)y + an (x, y) = 0. Resolvi´ndolo como un polinomio en y de grado n igualado a cero obtenemos e (y − f1 (x, y))(y − f2 (x, y)) · · · (y − fn (x, y)) = 0. Por tanto, las soluciones de la E. D. de partida ser´n las soluciones de cada una de las a ecuaciones y − fi (x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , n. 8. Ecuaci´n de la forma y = f(x, y ). o En general, se toma y = p y se deriva la ecuaci´n y = f(x, y ) respecto de x. Si f o tiene la forma adecuada, a la nueva E. D. se le puede aplicar alguno de los m´todos ya e estudiados, procedi´ndose as´ a su resoluci´n. e ı o 8.1. Cuando y = f (y ), la ecuaci´n que se obtiene mediante el proceso anterior es de variables separadas. o 8.2. Ecuaci´n de Lagrange: o y + xϕ(y ) + ψ (y ) = 0. Se reduce a una ecuaci´n lineal con x como funci´n y p como variable. Adem´s, para los o o a λ tales que λ + ϕ(λ) = 0 se obtienen como soluciones las rectas y = λx − ψ (λ). 8.3. Ecuaci´n de Clairaut: o y − xy + ψ (y ) = 0. Es un caso particular de ecuaci´n de Lagrange en el que s´lo aparecen rectas (y su o o envolvente). 3
- 4. 9. Ecuaci´n de la forma x = f (y, y ). o En general, se toma y = p y se deriva la ecuaci´n x = f (y, y ) respecto de y. Seg´ n o u como sea f, la nueva E. D. que as´ se obtiene es ya conocida, procedi´ndose a su resoluci´n. ı e o Se pueden estudiar casos similares a los de la forma y = f(x, y ). 10. Ecuaci´n de la forma F (y, y ) = 0. o Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representaci´n param´trica o e α = ϕ(t), β = ψ (t), F (ϕ(t), ψ (t)) = 0, se hace el cambio de funci´n y por t mediante o y = ϕ(t), y = ψ (t). As´ derivando y = ϕ(t) respecto de x, aparece una ecuaci´n en ı, o variables separadas. • ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE SE PUEDE REDUCIR EL ORDEN. Supongamos que tenemos la E. D. F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 con n > 1. 11. Ecuaci´n de la forma F (x, y (k) , . . . , y (n) ) = 0. o Mediante el cambio y (k) = z se convierte en una ecuaci´n de orden n − k. o 11 . Ecuaciones lineales de orden superior. Son de la forma an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y + a0 (x)y = g(x). Si logramos encontrar alguna soluci´n yn (x) de la lineal homog´nea asociada, el cambio o e de funci´n y = yn z hace que la lineal se transforme en una del tipo anterior, cuyo orden o se puede reducir. As´ aparece una nueva ecuaci´n lineal, esta vez de orden n − 1. ı, o 12. Ecuaci´n de la forma F (y, y , . . . , y (n) ) = 0. o Hacemos el cambio y = p y transformamos la E. D. en una nueva dependiendo de y, p y las derivadas de p respecto de y. Esta es de orden n − 1. 12 . Si la ecuaci´n F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 o es tal que, para α y m fijos, F cumple F (λx, λm u0 , λm−1 u1 , . . . , λm−n un ) = λα F (x, u0 , u1 , . . . , un ), haciendo el cambio x = et , y = emt z la E. D. se transforma en una de la forma G(z, z , . . . , z (n) ) = 0, a la que se puede aplicar el m´todo anterior. e 13. Si la ecuaci´n F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 o es tal que, para α fijo, F cumple F (x, λu0 , λu1 , . . . , λun ) = λα F (x, u0 , u1 , . . . , un ), entonces el cambio de funci´n dado por y = yz (es decir, y = exp( z dx)) hace que el o orden se reduzca en uno. c Juan Luis Varona, 1995 Dpto. de Matem´ticas y Computaci´n a o Universidad de La Rioja 4