Practico1

´
PRIMER MATERIAL PRACTICO DE
´
ANALISIS REAL I
(Funciones - Numerabilidad)

1. Considere f : E → F una aplicaciń probar:
o
(a) A ⊆ f −1 (f (A)) ∀A ⊆ E
(b) B ⊇ f (f −1 (B)) ∀B ⊆ F
Muestre que general no se puede remplazar el signo de inclusiń por el de
o
igualdad, d´ ejemplos.
e
2. Considere f : E → F una aplicaciń y A1 , A2 ⊆ E y B1 , B2 ⊆ F probar:
o
(a) A1 ⊆ A2 ⇒ f (A1 ) ⊆ f (A2 ).
(b) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
(c) f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 ) cuńdo hay igualdad?
a
(d) Use la funciń proyecciń π1 para mostrar f (A1 ∩A2 ) = f (A1 )∩f (A2 )
o o
(e) f (A1 − A2 ) ⊇ f (A1 ) − f (A2 ) cuńdo hay igualdad?
a
(f) B1 ⊆ B2 ⇒ f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ).
(g) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f (B2 )
(h) f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
(i) f −1 (B1 − B2 ) = f −1 (B1 ) − f (B2 )
En lo anterior podemos considerar familias de conjuntos, sigue siendo
igual? (justifique)
3. Considere la aplicaciń F :
o → tal que F (x) = ex − x, halle F −1 ({0})
4. Considere f : E → F una aplicaciń probar que:
o
(a) f es suryectiva ⇔ ∃ j1 : F → E tal que f ◦ j1 (x) = x ∀x ∈ F
(b) f es inyectiva ⇔ ∃ j2 : F → E tal que j2 ◦ f (x) = x ∀x ∈ E
(sugerencia: use el axioma de elecciń)
o
5. Demostrar que el Principio de Inducciń matem´tica a partir del Principio
o a
del Buen Orden y viceversa.
6. Use el principio del buen orden para probar que: Si a, b, c ∈ Z

con a6 + 2b6 = 4c6 ⇒ a = b = c = 0

1

k
7. Diremos bacan al entero n si se pudiere escribir de la forma: n = i=1 ai
en donde a1 , a2 , . . . , ak son enteros positivos, no necesariamente distintos
y satisfaciendo
k
1
=1
i=1
ai
Suponga de que todo entero desde el 33 hasta el 73 es bacan, pruebe que
todo entero superior a 33 es bacan.
n
8. Probar que si k es impar entonces 2n + 2 divide a k 2 − 1 para todos los
enteros naturales n 1.

9. Sean A y B conjuntos finitos de modo que |A| = n y |B| = m
donde |A| y |B| denotan los respectivos cardinales.
Demostrar por inducciń en n que |A × B| = n × m, donde A × B denota
o
el producto cartesiano de A y B.
10. En 1893 el fil´sofo alemń Gottlob F rege dio en el primer volumen de
o a
su obra Grundgesetze der Arithmetik un sistema de axiomas para la
teor´ de conjuntos ideada por Georg Cantor, con la intenciń de proveer
ıa o
una base l´gica para la matem´tica. Entre dichos axiomas hab´ uno que
o a ıa
(en lenguaje moderno) dec´ıa:

Axioma de comprehensiń:
o

Para toda propiedad P existe un conjunto Mp que contiene a todos y
exclusivamente a todos los conjuntos que satisfacen la propiedad P .

El axioma mostrado es consistente? justifique su afirmaciń.
o

11. Sean dos conjuntos X (con n elementos) e Y (con k elementos) y una
aplicaciń f : X −→ Y .
o
(a) Entonces, sea cual sea la aplicaciń f , si n > k hay al menos dos
o
elementos de X, x1 y x2 (x1 = x2 ) tales que f (x1 ) = f (x2 ).
(b) O, en t´rminos m´s generales, si n > kr, para cierto r ≥ 1, hay
e a
al menos r + 1 elementos distintos de X, x1 , x2 , . . . , xr , tales que
f (x1 ) = f (x2 ) = . . . = f (xr ) .
12. Sea X subconjunto de {1, 2, 3, . . . , 2n} y sea Y = {1, 3, 5, . . . , 2n − 1}.
(Y es el conjunto de los impares menores que 2n).
Definimos la funciń f : X −→ Y como:
o

f (x) = mayor divisor impar de x

(a) Probar que si |X| n + 1 entonces f no es inyectiva.
(b) Deducir que si |X| n + 1, entonces existen x1 y x2 elementos
distintos de X de forma que x1 divide a x2 .
(c) Dar un subconjunto de {1, 2, 3, . . . , 2n} de tamaõ n, de forma que
n
si x1 , x2 son elementos cualesquiera de X entonces x1 no divide a x2 .

2

13. ¿Cuńtas biyecciones se pueden definir de A sobre si mismo si A contiene
a
2 elementos, 3 elementos,. . .,n? y si A fuese numerable?
14. Hallar el cardinal de los siguientes conjuntos:
(a) {I/Ies un intervalo de extremos racionales}
(b) {[a, b]/a, b ∈ R}
15. Si X ⊆ es un conjunto infinito, entonces existe una aplicaciń inyectiva
o

f : Z + −→ X − {π, λ, ξ}

16. Sea p ∈ Z + fijo, para cada funciń f : Z + −→ Z + consideremos
o

Mf = {n ∈ Z + : f (n) = p}.

Demostrar que el conjunto de las funciones f : Z + −→ Z + tales que Mf
es finito es un conjunto numerable.
17. Se dice que un n´mero complejo z es algebraico si existen enteros a0 , . . . , an
u
no todos nulos, tales que

a0 + a1 z + ... + an−1 z n−1 + an z n = 0

(a) Demostrar que el conjunto de todos los n´meros algebraicos es nu-
u
merable.
(b) Deducir que existen n´meros reales que no son algebraicos.
u
Nota: Estos n´meros se llaman trascendentes.
u
√
(c) π + 2 es algebraico? (asuma que π es trascendente, probarlo ser´
ıa
un buen ejercicio)
18. Sea X ⊆ R+ un conjunto de n´meros reales positivos. Supongamos que
u
existe una constante positiva C tal que para cualquier subconjunto finito
n
{x1 , . . . , xn } ∈ X =⇒ xi ≤ C
i=1

Probar que X es numerable.
19. Definase una funciń f : Z + −→ Z + tal que, para todo n ∈ Z + , el
o
conjunto f −1 (n) sea infinito.
20. Sea X un conjunto finito e Y un conjunto infinito.Probar que existe una
funciń suryectiva f : X −→ Y y una funciń inyectiva f : Y −→ X.
o o
21. Si ∃f1 : B → A y ∃f2 : A → B ambas inyectivas pruebe que f1 y f2 son
equipotentes.
22. (Opcional) Sea f : R −→ R una funciń mon´tona. Probar que:
o o
({x ∈ R/f no es continua en x}) ≤ ℵ0

Individualmente... nada somos.
Helmuth villavicencio f ernńdez
a
(16/04/10)

3

Practico1

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Practico1 (20)

Más de orestes (20)

Último (20)

Practico1