Sup2
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Este documento presenta la solución a dos problemas relacionados con supremo e ínfimo de conjuntos. 1) Si A y B son conjuntos acotados y no vacíos, muestra que el ínfimo de AB es igual al producto de los supremos de A y B, siempre que ambos supremos sean negativos. 2) Si λ es un número negativo, demuestra que el supremo de λA es igual a λ veces el ínfimo de A.
Sup2
- 1. Axioma del Supremo Helmuth villavicencio fern´ndez a 1. Sean A, B ⊆ acotados y no vacios. a) Si SupA < 0, SupB < 0 probar que Inf (AB) = SupASupB. b) Si λ ∈ tal que λ < 0 ¿qu´ relaci´n hay entre Sup(λA) e Inf A ? e o Soluci´n o 1. a) Probaremos que el ´ınfimo de AB coincide con el producto de supre- mos.Para esto mostraremos que dicho producto es cota inferior y que es la mayor. Sea c ∈ AB luego c = ab donde a ∈ A∧b ∈ B como a ≤ SupA y b ≤ SupB luego ab ≥ SupASupB (desde que los supremos tienen signo negativo) y como c = ab as´ entonces ı SupASupB ≤ c, ∀c ∈ AB Ahora supongamos que N sea una cota inferior de AB. luego N ≤ ab, ∀ab ∈ AB es decir N ≤ ab, ∀a ∈ A ∧ b ∈ B fijemos a por ejemplo con a = a0 luego N ≤ a0 b, ∀b ∈ B luego N ≥ b, ∀b ∈ B a0 Lo anterior se da porque los elementos de A como de B son negativos, desde que el signo de los supremos es negativo. ı N As´ a0 ser´ una cota superior de B luego por definici´n de supremo para ıa o el conjunto B se tendr´ıa N ≥ SupB a0 N ≥ a0 SupB Y como el valor fijado a0 fue arbitrario N ≥ a, ∀a ∈ A SupB Por definici´n de supremo para el conjunto A se tendr´ o ıa N ≥ SupA SupB 1
- 2. N ≤ SupASupB As´ SupASupB es la mayor cota inferior. ı ∴ Inf (AB) = SupASupB b) La relaci´n es: Sup(λ A)= λ InfA o En efecto; sea c ∈ λA luego c = λa donde a ∈ A como a ≥ Inf A luego λa ≤ λInf A y como c = λa as´ entonces ı c ≤ λInf A, ∀c ∈ λA Ahora supongamos que N sea una cota superior de λA. luego N ≥ λa, ∀λa ∈ λA es decir N ≥ λa, ∀a ∈ A luego N ≤ a, ∀a ∈ A λ As´ N ser´ una cota inferior de A luego por definici´n de ´ ı λ ıa o ınfimo para el conjunto A se tendr´ ıa N ≤ Inf A λ N ≥ λInf A As´ λInf A es la menor cota superior. ı ∴ Sup(λA) = λInf A 2