Rela3
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Este documento presenta un ejemplo de una relación binaria que es simétrica y transitiva pero no reflexiva. Luego, analiza una relación γ definida sobre proposiciones compuestas y determina que γ no es reflexiva, sino simétrica, y tampoco es antisimétrica ni transitiva.
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- 1. Relaciones Binarias Helmuth villavicencio fern´ndez a 1. (a) Dar un ejemplo de una relaci´n que sea sim´trica, transitiva pero no o e sea reflexiva. (b) En el conjunto de las proposiciones compuestas que se pueden formar con las variables proposicionales: p, q, r Se define la relaci´n γ como: o P γ Q ⇔ P ∨ Q es tautlog´ ıa Determine si dicha relaci´n es: Reflexiva, sim´trica, antisim´trica y o e e transitiva. Soluci´n o 1. (a) Basta considerar R = {(a, b); (b, a); (b, b); (a, a)} en A = {a, b, c} No- tamos que c ∈ DomR pero (c, c) ∈ R, luego R no es reflexiva, pero / es sim´trica y transitiva. e (b) i. γ NO es reflexiva: En efecto; sea P : (p∧ ∼ p) una proposici´n del conjunto, la o cual sabemos es una contradicci´n.Luego P ∨ P ≡ P es una con- o tradicci´n luego (P, P ) ∈ γ. o / ii. γ es sim´trica: e Desde que P ∨ Q ≡ Q ∨ P . iii. γ NO es antisim´trica: e Para ver ello consideremos: P : (p∧ ∼ p), Q : (q∨ ∼ q) luego P γ Q ∧ Q γ P pero P ≡ Q. iv. γ NO es transitiva: Para ver ello consideremos: P : (p∧ ∼ p), Q : (q∨ ∼ q) y R : (∼ r ∧ r) tales que P γ Q ∧ Q γ R pero P γ R pues es contradicci´n. o 1