Practico5
0 recomendaciones231 vistas
Este documento presenta 16 problemas y ejercicios sobre conceptos topológicos como la convergencia de sucesiones, conjuntos acotados, puntos aislados, compacidad y propiedades de familias de conjuntos. Los problemas cubren temas como caracterizaciones de la convergencia de sucesiones, supremo e ínfimo de conjuntos, cerradura de conjuntos, diámetro de conjuntos, compacidad de conjuntos específicos y propiedades de la unión e intersección de familias de conjuntos.
![QUINTO MATERIAL PRACTICO DE´
´
ANALISIS REAL I
(Topolog´ en la recta - 2)
ıa
∞
1. Sea (an )n=1 una sucesi´n de n´meros reales y x0 ∈ .
o u
Probar que la sucesi´n converge a x0 ⇔ ∀G abierto en
o , que contiene a
x0 se cumple que ∃ k0 ∈ N : xk ∈ G ∀ k k0 .
2. Si A es acotado, probar que SupA e Inf A est´n es A.
a
3. Probar que A es cerrado ⇔ A contiene contiene todos sus puntos de acu-
mulaci´n.
o
4. Probar que x ∈ A ⇔ x ∈ A
5. Probar que x ∈ A es un punto aislado ⇔ ∃ ε > 0 : B(x, ε) ∩ A = {x}.
6. Hallar los puntos aislados, si existen, de los conjuntos: Z, Q.
7. Pru´bese que la uni´n de un n´mero finito de conjuntos acotados es un
e o u
conjunto acotado.
8. D´ un ejemplo de conjunto no acotado cuyo interior sea acotado.
e
9. Se define el di´metro de conjunto A ⊂
a , dimA, como el supremo de las
distancias para puntos en A.
(a) Hallar el di´metro de (a, b), [a, b].
a
(b) Mu´strese, mediante un ejemplo, que el di´metro de un conjunto no
e a
es siempre igual al de su interior.
10. Est´diese la compacidad de los siguientes conjuntos:
u
1
(a) C = {(−1)n + : n ∈ N}
n
1
(b) D = {n + : n, m ∈ N }
m
11. Si A, B son compactos pruebe:
(a) A + B es compacto.
(b) Qu´ sucede con AB?.
e
12. Probar que la uni´n finita de compactos es compacto.
o
13. Probar que la intersecci´n arbitraria de compactos es compacto.
o
1](https://image.slidesharecdn.com/practico5-100627195951-phpapp02/85/Practico5-1-320.jpg)
Practico5
- 1. QUINTO MATERIAL PRACTICO DE´ ´ ANALISIS REAL I (Topolog´ en la recta - 2) ıa ∞ 1. Sea (an )n=1 una sucesi´n de n´meros reales y x0 ∈ . o u Probar que la sucesi´n converge a x0 ⇔ ∀G abierto en o , que contiene a x0 se cumple que ∃ k0 ∈ N : xk ∈ G ∀ k k0 . 2. Si A es acotado, probar que SupA e Inf A est´n es A. a 3. Probar que A es cerrado ⇔ A contiene contiene todos sus puntos de acu- mulaci´n. o 4. Probar que x ∈ A ⇔ x ∈ A 5. Probar que x ∈ A es un punto aislado ⇔ ∃ ε > 0 : B(x, ε) ∩ A = {x}. 6. Hallar los puntos aislados, si existen, de los conjuntos: Z, Q. 7. Pru´bese que la uni´n de un n´mero finito de conjuntos acotados es un e o u conjunto acotado. 8. D´ un ejemplo de conjunto no acotado cuyo interior sea acotado. e 9. Se define el di´metro de conjunto A ⊂ a , dimA, como el supremo de las distancias para puntos en A. (a) Hallar el di´metro de (a, b), [a, b]. a (b) Mu´strese, mediante un ejemplo, que el di´metro de un conjunto no e a es siempre igual al de su interior. 10. Est´diese la compacidad de los siguientes conjuntos: u 1 (a) C = {(−1)n + : n ∈ N} n 1 (b) D = {n + : n, m ∈ N } m 11. Si A, B son compactos pruebe: (a) A + B es compacto. (b) Qu´ sucede con AB?. e 12. Probar que la uni´n finita de compactos es compacto. o 13. Probar que la intersecci´n arbitraria de compactos es compacto. o 1
- 2. ∞ 14. Sea (xn )n=1 una sucesi´n convergente de n´meros reales y x0 su l´ o u ımite. el conjunto: H = {xk : k ∈ N } ∪ {x0 } es compacto? 15. Probar que el conjunto C de cantor es: (a) compacto. (b) igual a su derivado. (c) no numerable. 16. Una familia F de conjuntos tiene la propiedad de intersecci´n finita si toda o subfamilia finita de F tiene intersecci´n no vac´ o ıa. (a) Existen familias con la propiedad de intersecci´n finita, cuya inter- o secci´n es vac´ o ıa? (b) Existe una familia de cerrados con la propiedad de intersecci´n finita o cuya intersecci´n es vac´ o ıa?. Individualmente... nada somos. Helmuth villavicencio f ern´ndez a (11/06/10) 2