Problemas oct4
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El documento presenta 3 problemas matemáticos. El primero involucra encontrar los números reales a para los cuales 4 tangentes a la curva y=sen(x) forman un rectángulo. El segundo involucra probar que (a+1)^6 - 1 es múltiplo de 7k si a-2 es múltiplo de 7 y a^6 - 1 es múltiplo de 7k. El tercero involucra probar una identidad relacionada con las raíces de una función racional.
Problemas oct4
- 1. Primer Día. Martes 4 de Octubre, 2011. 1. Encuentre todos los números reales a para los cua- les existen números reales b, c, d diferentes entre sí y diferentes de a tales que las cuatro tangentes traza- das a la curva y = sen(x) en los puntos (a, sen(a)), (b, sen(b)), (c, sen(c)) y (d, sen(d)) forman un rectán- gulo. 2. Sea k un entero positivo y sea a un entero tal que a−2 es múltiplo de 7 y a6 − 1 es múltiplo de 7k . Pruebe que (a + 1)6 − 1 también es múltiplo de 7k . 3. Sea f (x) una función racional con coecientes comple- jos cuyo denominador no tiene raíces múltiples. Sean u0 , u1 , . . . , un las raíces complejas de f y w1 , w2 , . . . , wm las raíces de f . (Cada raíz está considerada tantas veces como su multiplicidad). Suponga que u0 es una raíz de multiplicidad uno de f . Pruebe que m 1 n 1 =2 . k=1 wk − u0 k=1 uk − u0 Nota: Una función racional es el cociente de dos poli- nomios. 1