Algebra de conjuntos
- 1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´ ıa 1 ´ Algebras de conjuntos Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca ıa Algebras de conjuntos by Ana Mar´ Teresa Lucca is licensed under a Creative ıa Commons Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 2.5 Argentina License. Based on a work at matematics.wordpress.com. El presente art´ ıculo pretende introducir una clase de conjuntos que juega un papel importante en la Teor´ de la Medida de Lebesgue. Concretamente ıa definiremos ´lgebras y σ-´lgebras de conjuntos, y estudiaremos sus princi- a a pales propiedades. Definici´n: Una colecci´n A de subconjuntos de X se dice un ´lgebra o o a de conjuntos o un ´lgebra Booleana si verifica: a 1. A ∪ B est´ en A siempre que A y B lo est´n; a e 2. Ac est´ en A siempre que A lo est´. a e De las Leyes de De Morgan se sigue que 3. A ∩ B est´ en A siempre que A y B lo est´n. a e Si la colecci´n A de subconjuntos de X satisface 2. y 3. entonces, por las o Leyes de De Morgan, tambi´n satisface 1. y, por ello, es un ´lgebra Booleana. e a Tomando uniones de a dos por vez vemos que si A1 , A2 , . . . , An son conjuntos de A entonces A1 ∪ . . . ∪ An est´ en A . An´logamente, A1 ∩ . . . ∩ An est´ a a a en A . Proposici´n 1 Dada una colecci´n C de subconjuntos de X existe una o o m´ınima ´lgebra A que contiene a C ; esto es, existe un ´lgebra A conte- a a niendo a C y tal que si B es un ´lgebra conteniendo a C entonces B contiene a aA.
- 2. 2 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca ıa Dem: Sea F la familia de todas las ´lgebras (de subconjuntos a de X) que contienen a C ; esto es, F = {B : B es ´lgebra y C ⊂ B} a (1) Definamos A = ∩{B : B ∈ F} (2) 1. A es un ´lgebra, pues a Si A, B ∈ A → A, B ∈ B, ∀B ∈ F, por (1) → (A ∪ B) ∈ B, ∀B ∈ F ( por ser B ´lgebra) a → (A ∪ B) ∈ A por (2) Si A ∈ A → A ∈ B, ∀B ∈ F, por (2) → A c ∈ B, ∀B ∈ F ( por ser B ´lgebra) a → Ac ∈ A por (2) 2. A contiene a C , pues C ⊂ B, ∀B ∈ F (de (1)) → C ⊂ A (de (2)) 3. A es la m´ ınima ´lgebra con la propiedad 2, pues si B es un a ´lgebra que contiene a C entonces a B ⊃ ∩{B : B ∈ F} = A. Luego, de (1), (2) y (3) se sigue que existe una m´ ınima ´lgebra a A que contiene a C .♦ Proposici´n 2 Sea A un ´lgebra de subconjuntos de X y Ai una sucesi´n o a o de conjuntos en A . Entonces existe una sucesi´n Bi de conjuntos en A o tal que Bn ∩ Bm = ∅ para n = m, y ∞ ∞ Bi = Ai . i=1 i=1 Dem: Sea B1 = A1 , y para cada n´mero natural n > 1 defini- u mos : Bn = An − (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An−1 ) (3) = An ∩ Ac ∩ Ac ∩ . . . ∩ Ac 1 2 n−1 Puesto que los complementos e intersecciones de conjuntos de A est´n en A, tenemos que cada Bn ∈ A . Adem´s, Bn ⊂ An . a a Veamos ahora que los Bn son disjuntos dos a dos. Sean Bn y Bm dos de tales conjuntos, y supongamos m < n. Entonces Bm ⊂ Am y as´ : ı Bm ∩ Bn ⊂ Am ∩ Bn = Am ∩ An ∩ ... ∩ Ac ∩ . . . m ( de (3) ) = ∅ ∩ ... = ∅.
- 3. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´ ıa 3 Luego, Bn ∩ Bm = ∅, para m = n. Veamos ahora que ∞ Bi = i=1 ∞ i=1 Ai . Puesto que Bi ⊂ Ai , tenemos ∞ ∞ Bi ⊂ Ai . (4) i=1 i=1 Sea x ∈ ∞ Ai . Entonces x debe pertenecer a alguno de los Ai . i=1 Sea n el m´ınimo valor de i tal que x ∈ Ai . Entonces x ∈ Bn , y ∞ as´ x ∈ i=1 Bi . Luego, ı ∞ ∞ Bi ⊃ Ai . (5) i=1 i=1 De (4) y (5) resulta ∞ ∞ Bi = Ai .♦ i=1 i=1 Definici´n: Un ´lgebra A de conjuntos se dice σ-´lgebra o un cuerpo o a a Borel si toda uni´n numerable de conjuntos de A est´ tambi´n en A. Esto o a e ∞ es, si Ai es una sucesi´n de conjuntos en A entonces i=1 Ai tambi´n debe o e estar en A. De las Leyes de De Morgan se sigue que la intersecci´n de una colecci´n o o numerable de conjuntos en A est´ tambi´n en A. Una simple modificaci´n a e o de la demostraci´n de la Proposici´n 1 nos da la siguiente : o o Proposici´n 3 Dada una colecci´n C de subconjuntos de X existe una o o m´ınima σ-´lgebra A que contiene a C ; esto es, existe un σ-´lgebra A con- a a teniendo a C y tal que si B es un σ-´lgebra conteniendo a C entonces B a contiene a A. La demostraci´n de esta proposici´n se deja como ejercicio para el lector. o o Bibliograf´ ıa: • Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan Company, New York.