Geometria 3

GEOMETRÍA
EL LENGUAJE DEL ESPACIO Y LAS FORMAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Ms. Ana María Teresa LUCCA
matematicaconhistoria.jimdo.com

LOS COMIENZOS DE
LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas

Geometría analítica
rama de la geometría cuyos
problemas y soluciones
son expresados
algebraicamente

Álgebra europea más abstracta

François Viète
Utilizó por primera
vez letras para
representar
clases de objetos.
(1540 – 1603)

Importancia
Viète había descubierto un nuevo tipo de lenguaje
que podía ser utilizado para…
 representar todo tipo de relaciones lógicas.
 para estudiar las relaciones entre puntos, curvas,
volúmenes y otros objetos geométricos.
Cambio del concepto de
geometría
de los matemáticos.

Coordenadas
Las coordenadas son
conjuntos ordenados de números.
Las coordenadas (1, 3) no son lo mismo que (3, 1).

Un sistema de coordenadas…
 permite al usuario establecer una correspondencia entre
conjuntos de números y puntos en el espacio.
 cada punto en el espacio pueda ser identificado por un
conjunto de coordenadas.
 cada conjunto de coordenadas identifique un único punto en el
espacio.

Recta numérica real
𝟎 𝟏 𝟐-1
Números positivosNúmeros negativos
Correspondencia uno a uno entre los números reales y
los puntos en la recta real: para cada punto existe un único número,
y para cada número hay un único punto.

Sistema de coordenadas cartesianas 3D

Menecmo
 Estudiante de Eudoxo
 Secciones cónicas
 parábola – hipérbola – elipse
Medias proporcionales
(ca. 380 a.C. – ca. 320 a.C.)

Medias proporcionales
Dados dos números,
que representamos con las letras 𝑎 y 𝑏,
encontrar dos números desconocidos
–que llamamos 𝑥 e 𝑦–
tales que 𝑎/𝑥 = 𝑥/𝑦 y 𝑥/𝑦 = 𝑦/𝑏.

Apolonio de Perga
 Cónicas
Primer uso sistemático de
un sistema de coordenadas.
(c. 262 – c. 190 a. C.)

Nosotros…
comenzamos con un
sistema de coordenadas.
Imaginamos un par de rectas, los ejes
coordenados,
y en estas rectas graficamos la curva
de la que tenemos un interés.

Apolonio…
Comenzó describiendo una sección cónica,
y luego construyó un sistema de coordenadas
usando la cónica en sí.
Uno de los ejes coordenados era una recta que era
tangente a la cónica.
El otro eje era el diámetro de la cónica.
El diámetro de la cónica
es un eje de simetría.

René Descartes
Royal College
Universidad de
Poitiers
Búsqueda de
“experiencias de vida”
(1596 – 1650)

Conoce el álgebra de Viète
 Isaac Beeckman
(1588 – 1637)

 Marin Mersenne
(1588 – 1648)

Estudió…
Filosofía
Óptica
Meteorología
Anatomía
Matemática
Astronomía

Objetivo de Descartes
Desarrollar una teoría unificada de todo.

Discurso del método
 Aparece su contribución a los fundamentos de la geometría
analítica.
 Gran parte está dedicado a la interacción entre la geometría
y el álgebra.
 Reformuló problemas de álgebra en el lenguaje de la
geometría.
Los matemáticos islámicos
lo habían hecho
siglos antes.
Notación

Innovación conceptual
Interpretación
de los
términos
algebraicos.

Generaciones anteriores
𝒙 𝟐
𝒙 𝟑 𝒙 𝟒

Otra innovación
Reformular
problemas de
geometría
en el lenguaje del
álgebra.

Su metodología…
 Imaginar que el problema geométrico de interés ya está
resuelto.
 Dar nombres a cada una de las cantidades, conocidas y
desconocidas.
 Las cantidades conocidas pueden ser tomadas directamente del
problema; están representadas por números.
 Las incógnitas son representadas con letras elegidas para
indicar que son cantidades a ser determinadas.
 Expresar el problema en la forma de una ecuación y
resolverlo algebraicamente.

Descartes…
 Utiliza sólo coordenadas oblicuas.
 No pudo ver el valor de las coordenadas negativas.
 No usó una de las técnicas más importantes de la geometría
analítica, una técnica que fue posible sólo por su propio
trabajo: la representación gráfica.
no representa
ni una sola
función!!!!

Conexión entre geometría y álgebra
Toda ecuación indeterminada que es expresada
con dos incógnitas representa una curva.
una ecuación que tiene infinitas soluciones
cada solución de la ecuación consta de dos números,
uno para cada incógnita
Principio fundamental de la geometría analítica
locus

Conexión entre geometría y álgebra
En una ecuación indeterminada
que involucra tres variables
el conjunto resultante de puntos solución forma
una superficie en el espacio tridimensional.

Pierre de Fermat
Publicó sólo un artículo
de matemática
Fuentes
 publicaciones póstumas
 correspondencia personal
(1601 – 1665)

Actividad común de la época
Restaurar
obras clásicas
perdidas

Leyendo a Pappus…
 Plane Loci
de Apolonio
Fermat se da cuenta que la presentación
podía simplificarse considerablemente
mediante la aplicación del álgebra a la
geometría a través del uso de coordenadas.

A diferencia de Descartes…
Fermat graficó ecuaciones en su sistema
de coordenadas de manera similar a la
forma en que los estudiantes aprenden a
graficar hoy.

Además…
 Fermat se dio cuenta de las relaciones
entre determinados tipos de ecuaciones
y curvas particulares.

Ejemplo
El lugar de los puntos
determinados por cualquier
ecuación de primer grado con dos variables
es una línea recta.
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄

Además…
Fermat se dio cuenta de que las
ecuaciones de segundo grado podían estar
relacionadas con diversas secciones
cónicas, y reconoció que la forma de una
ecuación está determinada por el sistema
de coordenadas en uso.

Ejemplo
𝟒𝒙 𝟐
− 𝒚 𝟐
= 𝟏
hipérbola
𝟏𝟏𝒙 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟑𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐 = 𝟒
¿cómo el cambio de
coordenadas
cambia la ecuación
resultante?

Como Descartes
Fermat descubrió que
una ecuación indeterminada
en tres variables
representa una superficie
en el espacio tridimensional.

 Diofanto
ternas pitagóricas
Conjunto de tres números
naturales con la propiedad
de que cuando cada uno de
ellos se eleva al cuadrado,
uno de los cuadrados es la
suma de los otros dos.

Ejemplo
𝟑, 𝟒, 𝟓 es una terna pitagórica
𝟑 𝟐
+ 𝟒 𝟐
= 𝟓 𝟐

Objetivo de Fermat
Generalizar este problema.

Comenzó con…
búsqueda de ternas de números enteros positivos
con la propiedad de que cuando cada número se
eleva al cubo la suma de dos cubos es igual al
tercero.
𝒂 𝟑 + 𝒃 𝟑 = 𝒄 𝟑
Descubrió que no existen tales ternas.

Con algo más de trabajo…
No hay ternas de números enteros positivos
que satisfacen la ecuación 𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏 = 𝒄 𝒏
para cualquier número entero positivo
𝒏 mayor que 𝟐.
Fermat

CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Geometría analítica de D y F
es una herramienta importante para la
investigación de la geometría.
proporciona un lenguaje
en el que se pueden
expresar las ideas del cálculo.

Gottfried Leibniz
 Biblioteca familiar
 Universidad de Leipzig
 Universidad de Altburg
(1646 – 1716)

Objetivo de Leibniz
Armonizar todas las ramas del conocimiento.

Tenía un don…
Inventar buena notación matemática
 cálculo
Invirtió una gran cantidad de pensamiento
para desarrollar una notación
que transmitiera las ideas y técnicas
que forman la base de la materia.

Leibniz lo hizo
𝒅𝒇 𝒙
𝒅𝒙
𝒇 𝒙 𝒅𝒙

El cálculo…
sirve para analizar
curvas y superficies.

Recordemos…
Toda ecuación indeterminada que es expresada
con dos incógnitas representa una curva.

¿Cómo iban a
descubrir
las propiedades
de una curva que estaba
descrita únicamente en
términos de
una ecuación?

Por ejemplo
 Para graficar una curva
 ¿En qué intervalos la curva disminuye o aumenta?
 ¿En qué posiciones, de ser el caso, la curva alcanza un valor
máximo o mínimo?
 Los matemáticos
 podían determinar en qué puntos
la curva era más empinada,
 podían encontrar el área bajo la curva.

Isaac Newton
 Asistió a la escuela en las
cercanías de Grantham
 Trinity College
(1643 – 1727)

Recordamos a Newton por…
 trabajo en óptica
 teoría del movimiento
 por el descubrimiento de la ley de la gravedad
 por la invención del cálculo
pero también le interesaba la geometría.

Principios matemáticos de la filosofía natural

Aritmética universal
Rechazó el uso
de ecuaciones
en la geometría.

Geometría = Geometría Sintética
La geometría de
diagramas que
Descartes había
rechazado.

Sin embargo…
utilizó
métodos
analíticos
cada vez que
era necesario.

Método de fluxiones
Describe ocho
sistemas de
coordenadas.

Coordenadas polares
longitud
medida angular

Coordenadas cartesianas
 Usaba coordenadas negativas.
 Tenía una imagen más
completa de las propiedades
de las funciones que sus
predecesores.
 Fue capaz de ver más
claramente los fenómenos que
estas funciones representan.

Universo
 Un lugar donde se desarrolla el juego.
 El espacio era el lugar donde el universo se desenvuelve.
Las cosas sucedían en el espacio;
no pasaban al espacio.
Espacio absoluto

Tiempo
 El tiempo se encuentra fuera del universo de la misma
manera que un cronómetro está fuera de la carrera.
 Dos observadores equipados con relojes precisos
miden la misma cantidad de tiempo
siempre que sus relojes muestren que
haya transcurrido una cantidad
igual de tiempo.

Coordenadas cartesianas 4D
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑, 𝒕
Newton creía que el mismo sistema de coordenadas
se puede aplicar a través del espacio,
ya que las distancias y los tiempos son los mismos
en todas partes para todo el mundo.
punto en el espacio punto en el tiempo
sistema de referencia newtoniano

Leonhard Euler
 Interacción gravitatoria del
Sol, la Luna y la Tierra
Geometría
Analítica
Sólida
(1707 – 1783)

Recordar…
En una ecuación indeterminada
que involucra tres variables
el conjunto resultante de puntos solución forma
una superficie en el espacio tridimensional.

Euler
Comienza a analizar
las muchas relaciones que existen
entre ecuaciones y superficies.

Geometría mediante ecuaciones algebraicas
Euler tuvo que determinar cómo una ecuación
que describe una superficie
en un sistema de coordenadas
cambia cuando cambia
el propio sistema de coordenadas.

Problema 1
 Establecer cuándo dos ecuaciones que lucen diferentes,
cada una describiendo una superficie en el espacio
tridimensional, describen en realidad la misma superficie
en diferentes coordenadas.
(1601 – 1665)
(1707 – 1783)

Especial interés
Cambios a sistemas de coordenadas
que involucran
traslaciones
rotaciones
Transformaciones euclidianas

Euler…
buscó una expresión analítica
de la idea de Euclides de congruencia
aplicada al espacio tridimensional.
En la geometría euclidiana dos figuras se
dicen congruentes si una puede hacerse
coincidir con la otra después de una serie
de traslaciones y rotaciones.
criterio
analítico

Superficies cuádricas
 el paraboloide elíptico
 el paraboloide hiperbólico
 el cono elíptico
 el elipsoide
 los hiperboloides de una y dos hojas.
ecuación de segundo grado
en tres variables
forma estándar
Cambio de los
sistemas de
coordenadas

Concepto de función
Las funciones son a menudo representaciones de objetos.
Al cambiar el énfasis de las descripciones
sintéticas de curvas y superficies a un énfasis
algebraico de funciones, Euler fue capaz de
avanzar hacia un tipo más abstracto y en última
instancia más productivo de matemática.

Representación paramétrica de superficies
Euler descubrió que a veces es conveniente
introducir una o más variables auxiliares en un
problema, y luego escribir curvas y superficies en
función de estas variables auxiliares o parámetros.

correspondencia uno-a-uno entre
los puntos en el alambre unidimensional
y los puntos de la curva en un espacio bidimensional
𝒕
(𝒙, 𝒚)
𝒙(𝒕)
𝒚(𝒕)
Representación paramétrica
de la curva

Cicloide
𝒙 = 𝒓𝒕 − 𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝒕
𝒚 = 𝒓 − 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝒕
parámetro
radio de la rueda

Representación paramétrica de superficies
Una correspondencia uno-a-uno
entre los puntos en el plano
–aquí representado por una lámina plana de goma–
y la superficie del cuerpo.
𝒖 = 𝒖 𝒙, 𝒚
𝒗 = 𝒗 𝒙, 𝒚
𝒘 = 𝒘 𝒙, 𝒚

Hemisferio
𝒖 𝒙, 𝒚 = 𝒙
𝒗 𝒙, 𝒚 = 𝒚
𝒘 𝒙, 𝒚 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐
restringidos al
disco de radio 1
centrado en el origen
de coordenadas

Problema 2
 Movimiento a lo largo de una superficie curva en el espacio
de tres dimensiones
Si se está obligado a permanecer en la superficie,
y se dan dos puntos sobre la superficie,
¿cuál es el camino más corto
entre estos dos puntos?

Geodésica
Es el camino
más corto
que conecta
dos puntos dados
en una superficie.

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Legado de Euler
 El desarrollo de las herramientas conceptuales necesarias
para la representación y análisis de superficies y curvas.
Su énfasis estaba
en la descripción
de las superficies a
nivel global.

Análisis local
Consiste en analizar
una pequeña parte
de una superficie
en la vecindad de
un punto.

Carl Friedrich Gauss
Fundador de la
geometría diferencial
(1777 – 1855)
Rama de la geometría que
utiliza las herramientas del
análisis para el estudio de las
propiedades locales de las
superficies.

Geodesia
Se ocupa de la determinación
del tamaño y la forma exacta de la Tierra
y la ubicación precisa
de los puntos de la Tierra.

Gauss se ocupó de…
El problema de producir
mapas planos más precisos
de superficies curvas.
es una buena
introducción a algunas
ideas de la
geometría diferencial

Cada mapa de una región, una provincia, o incluso
una gran ciudad debe distorsionar distancias,
incluso cuando el terreno no es del todo
montañoso, porque ningún accidente geográfico
incluso de tamaño modesto es plano.

Plano tangente a la esfera
El plano tangente
es la mejor
aproximación
plana a la esfera
en el punto de
tangencia.

Diferencias entre plano y esfera
Ningún punto del plano corresponde al
polo norte de la esfera.
infinito
finita

Principal aporte de Gauss
Estudio de la curvatura

Solución de Gauss
Reducir cada problema de determinar
la curvatura en un punto
sobre una superficie a un conjunto de
dos problemas que involucran
curvaturas de curvas.

Gauss descubrió…
 La dirección de la curva con
mayor curvatura en 𝑷 es
siempre perpendicular a la
dirección de la curva de
menor curvatura en 𝑷.
curvatura gaussiana
de la superficie en el punto

Los matemáticos querían…
hacer matemática general sobre superficies
curvas.
estudiar curvas y figuras geométricas sobre
superficies curvas.
identificar la ruta más corta que conecta dos
puntos sobre una
superficie curva.

 ¿Qué podemos aprender
sobre la superficie en la
que nos encontramos a
partir de las observaciones
hechas en la superficie?
 ¿Podemos reconocer, por
ejemplo, si la superficie en
la que vivimos se curvó?
 ¿Podríamos calcular su
curvatura?

Georg Friedrich Bernhard Riemann
 Universidad de Berlín
 Universidad de Göttingen
(1826 – 1866)

Principales logros en…
Física
Geometría
Teoría de números
Variables complejas
Teoría de funciones
Ecuaciones diferenciales.

Se diferenciaba del resto
Riemann en general evitó el cálculo
y el uso extensivo del
simbolismo algebraico.

Postulado de las paralelas
 Nikolai Lobachevsky y János Bolyai ya habían demostrado
que era independiente de sus otros axiomas y postulados.

Versión de Riemann
Dada una recta y un punto no en la recta,
no existe ninguna recta
que pasa por el punto
y es paralela a la recta dada.

En una esfera los círculos máximos
son el equivalente a las líneas rectas.

En la geometría de Riemann
La suma de los ángulos interiores de un
triángulo excede 180°.

Generalización del espacio euclidiano
2D – 3D
Espacios de cuatro
y más dimensiones
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … , 𝒙 𝒏

Estaba interesado en…
un criterio que le permitiera determinar
si un espacio es curvo o plano.

Espacio de dos dimensiones
𝟎 𝒙 𝟏
𝒚 𝟏
𝒙 𝟏, 𝒚 𝟏
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐, 𝒚 𝟐
𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝟐 + 𝒚 𝟏 − 𝒚 𝟐
𝟐

Espacio de dimensión 𝒏
Si 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑, … , 𝒙 𝒏 y 𝒚 𝟏, 𝒚 𝟐, 𝒚 𝟑, … , 𝒚 𝒏
son dos puntos en el espacio 𝒏-dimensional,
la distancia entre ellos es
𝒙 𝟏 − 𝒚 𝟏
𝟐 + 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐
𝟐 + 𝒙 𝟑 − 𝒚 𝟑
𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒏 − 𝒚 𝒏
𝟐.

Espacios planos
Independientemente del número de dimensiones
del espacio, si la distancia entre los puntos en el
espacio viene dada por la fórmula de la distancia
entonces el espacio es plano o euclidiano.

¿por qué dimensión > 3?
 Aunque nuestros sentidos no se extienden a los
espacios de dimensiones superiores, nuestra
imaginación sí lo hace.
 A matemáticos, científicos e ingenieros con frecuencia
les resulta conveniente y a veces incluso necesario
calcular en espacios de dimensiones superiores, como
cuando resuelven problemas prácticos que involucran
muchas variables independientes.

Pero Riemann…
quería comprender la geometría
"desde el interior".

Geodésicas
Un conjunto completo de geodésicas
proporciona un sistema de coordenadas
que permitiría a un ser imaginario
encontrar su camino a través del espacio
en la misma forma, por ejemplo, que las líneas
de longitud y latitud nos permiten encontrar
el camino alrededor del globo.

Distancia más corta
 En el espacio euclidiano la distancia más corta entre dos
puntos es una línea recta.
 En un espacio curvo la distancia más corta entre dos puntos
es una geodésica.

¿Podría un ser viviente
dentro del espacio distinguir
un espacio ordinario
tridimensional euclidiano
de un espacio curvo?

Teorema de Pitágoras
Si la distancia entre dos puntos no era predicha
por el teorema de Pitágoras, entonces el espacio
no era el espacio euclidiano. Este debía ser
curvado.
El grado de curvatura del espacio podría ser
investigado observando la cantidad que las
distancias reales variaron de lo predicho por el
teorema de Pitágoras.

¿por qué la curvatura?
La curvatura del espacio es importante
por lo que puede significar sobre
el tamaño y la forma del universo.
Universo infinito ⟹ Universo sin fronteras
Universo sin fronteras ⇏ Universo infinito

Fernando de Magallanes
(ca. 1480 – 1511)
La superficie de la Tierra no tiene fronteras.
La superficie de la Tierra tampoco es infinita en extensión.

¿Cuál es la forma
del universo?
¿Cómo podemos
saber si nuestras
ideas son correctas?

LA FORMA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

En no mucho tiempo…
Las ideas de Riemann acerca de la curvatura del
espacio encontraron su camino en la física
moderna.
Las exóticas geometrías de Riemann comenzaron
a parecer más adecuadas para describir ciertos
aspectos de la estructura del universo.

Albert Einstein
Física
Música
(1879 – 1955)

Teoría especial de la relatividad
 Cambió las ideas de los científicos acerca de la geometría
del universo.
 Demostró que el sistema de
referencia newtoniano era,
para ciertas aplicaciones,
no válido.

Otros intereses
 Pasó años argumentando en contra de
muchos de los descubrimientos en la
nueva rama de la física llamada mecánica cuántica.
 Llamó la atención del presidente Franklin Roosevelt acerca
de las implicaciones potencialmente peligrosas de la
investigación que se llevaba a cabo en Europa en la
división del átomo.
 Después de la Segunda Guerra Mundial, Einstein abogó
por la creación de un único gobierno mundial para proteger
a la humanidad de nuevos conflictos a gran escala.

Albert Abraham Michelson Edward Williams Morley
Experimentos de Michelson-Morley
No era posible que las leyes de la física y la naturaleza
newtoniana del espacio y tiempo, ambas,
fueran simultáneamente verdaderas.

Consecuencias
La velocidad de la luz en el vacío
era la misma para todos los observadores
que se mueven a velocidad constante.

 Riemann había querido saber cuánto un ser imaginario que
vive sobre una superficie curva puede descubrir sobre la
superficie sin pisar fuera de ella.
 Ahora, los científicos también querían saber sobre la
estructura geométrica curva del universo.
 Einstein indicó que el espacio podría ser curvo,
pero ¿cuánto de curvo,
y en qué dirección es curvo?

Y la física clásica?
 Si la relatividad es "correcta", ¿debe la física clásica estar
"mal"?
 ¿Podemos concluir que la geometría euclidiana es errónea
porque no tiene en cuenta la geometría del universo
predicha por la teoría de la relatividad?

1915
La idea de la geometría como
principio organizador central de la naturaleza
fue reintroducida con éxito poco después de que
Einstein publicó su artículo sobre la teoría general
de la relatividad.

Emmy Noether
(1882 – 1935) 1915
¿La energía
se conserva o no
en el modelo del
universo de
Einstein?

Noether descubrió que existe una estrecha relación
entre las leyes de conservación y las simetrías de
una amplia clase de ecuaciones, una clase que
contiene el conjunto básico de ecuaciones que
describen la teoría de la relatividad.
Restauró la geometría como
principio de organización en la ciencia.

GEOMETRÍAS DE
DIMENSIÓN INFINITA

¿Dimensión infinita?
Gran parte de la motivación para crear y estudiar
espacios de dimensión infinita surge de la
necesidad de comprender conjuntos de funciones.
El estudio de conjuntos abstractos
de funciones se llama
análisis funcional.

David Hilbert
Espacios de Hilbert
dimensión infinita
(1852 – 1943)

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, …
𝑥1, 𝑥2
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, … , 𝑥 𝑛
Teorema de Pitágoras
𝑥1 − 𝑦1
2 + 𝑥2 − 𝑦2
2
𝑥1 − 𝑦1
2 + 𝑥2 − 𝑦2
2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛
2
𝒙 𝟏 − 𝒚 𝟏
𝟐 + 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐
𝟐 + ⋯

Geometría del espacio de dimensión infinita
Elegir nuestras descripciones de objetos para que
se apliquen a espacios de cualquier número de
dimensiones.
Usar nuestra intuición tridimensional para guiar
nuestra comprensión
en dimensión infinita.

Esfera
El conjunto de todos los puntos
que están a una distancia 𝒓
desde el origen.

Pero…
Así como los espacios de Hilbert
son una generalización a
dimensión infinita del
espacio de dimensión finita,
existen generalizaciones
de dimensión infinita de
espacios de Hilbert.

Stefan Banach
Hugo Steinhaus
(1887 – 1972)
(1892 – 1945)

Principios del siglo XX
Los matemáticos empezaron a buscar patrones
a gran escala en la matemática.
 Se volvieron menos interesados en funciones específicas y
más interesados en las propiedades que todas las funciones
de un determinado tipo comparten.
 Se volvieron menos interesados en cualquier operación
matemática en particular y más interesados en
determinadas clases de operaciones matemáticas.

antes con espacios de Banach
¿qué hay de nuevo?
El término punto significaba
en general un punto
geométrico, y un punto
geométrico estaba a menudo
estrechamente asociado con
uno o más números a través
de un sistema de
coordenadas.
Un punto a menudo es
interpretado como una
función particular, y con
frecuencia no hay sistemas de
coordenadas en absoluto. Y
una operación en los puntos a
menudo es interpretada como
una operación sobre una clase
entera de funciones.

En espacios de Banach…
podemos ser capaces de demostrar que
existe la solución a un problema particular;
podemos saber que es única; pero podemos
seguir siendo incapaces de escribir la
solución o incluso escribir una buena
aproximación de la misma.

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