Practico4
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Este documento presenta 11 problemas y ejercicios sobre conceptos topológicos como interior, cerradura, frontera y exterior de conjuntos en la recta real. Los problemas incluyen probar propiedades de estas nociones, encontrar ejemplos de conjuntos sin interior o frontera, y establecer relaciones entre los interiores y exteriores de la unión y intersección de conjuntos.
Practico4
- 1. CUARTO MATERIAL PRACTICO DE´ ´ ANALISIS REAL I (Topolog´ en la recta - 1) ıa 1. Demuestre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: (a) Existe alg´n conjunto cuya cerradura sea el vac´ u ıo. (b) Todo abierto el interior de alg´n conjunto. u (c) El interior de la uni´n de dos conjuntos con interior vac´ es vac´ o ıo ıo. (d) Toda vecindad un abierto. 2. Hallar 3 subconjuntos diferentes con infinitos puntos, que no sean inter- valos, de modo que no sean abiertos ni cerrados. 3. probar que: (A − B)◦ ⊂ A◦ − B ◦ , dar un ejemplo en que no se verifique la inclusi´n rec´ o ıproca, qu´ condici´n se debe agregar para que se d´ la e o e igualdad? 4. Consideremos los subconjuntos U de con la propiedad siguiente: Para cada x0 ∈ U existe un n´mero real ε > 0 tal que [x0 , x0 + ε) ⊆ U . u Probar que la colecci´n Γ de todos los subconjuntos U con dicha propiedad o satisface: (a) ,∅ ∈ Γ ındices para cada k ∈ I si Ak ∈ Γ ⇒ ∪Ak ∈ Γ (b) Sea I un conjunto de ´ (c) Si A1 , A2 , . . . , An ∈ τ ⇒ ∩Ai ∈ Γ 5. Pruebe que para todo A ⊆ se verifica que: ∞ A = {x ∈ ∃(an )n=1 ⊆ : lim an = x} n→∞ 6. Probar que cualquier familia de abiertos disjuntos en es numerable. 7. Sea A ⊆ probar que: (a) A es cerrado ⇔ Fr (A) ⊆ A (b) A es abierto ⇔ Fr (A) ⊆ Ac (c) Probar que: Fr (Fr (A)) ⊆ Fr (A) 8. Pruebe que: Fr (A) = {x ∈ x ∈ A◦ , x ∈ (Ac )◦ } / / 1
- 2. 9. Probar que si (A)◦ = A entonces Fr (A) = Fr (A) 10. Probar que el unico subconjunto no vac´ de ´ ıo que es abierto y cerrado es mismo. 11. Definimos el exterior de A, Ext(A), donde A es un subconjunto de , por Ext(A) = (Ac )◦ probar que: (a) Ext(A ∪ B) = Ext(A) ∩ Ext(B) (b) A ∩ Ext(A) = ∅ (c) Ext(∅) = (d) Ext((Ext(A))c ) = Ext(A) Individualmente... nada somos. Helmuth villavicencio f ern´ndez a (28/05/10) 2