Induc4
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Este documento presenta la solución a dos problemas de inducción matemática. En la primera parte, se demuestra por inducción que la suma de los términos fraccionarios inversos es mayor que 13/24 para cualquier número entero mayor que 2. En la segunda parte, se demuestra que el cuadrado de cualquier número par elevado a la potencia 22 es congruente a 6 modulo 10.
Induc4
- 1. Inducci´n M atem´tica o a Helmuth villavicencio fern´ndez a 1. Demuestre por inducci´n : o (a) 1 1 1 1 13 + + + ... + > ; ∀n ≥ 2 n+1 n+2 n+3 n+n 24 (b) n 22 ≡ 6mod(10), n ≥ 2 Soluci´n o 1. (a) Para n = 2 se verifica. Supongamos se verifique para n = k, ahora consideremos: 1 1 1 1 + + + ... + = (k + 1) + 1 (k + 1) + 2 (k + 1) + 3 (k + 1) + (k + 1) 1 1 1 1 + + + ... + = k+2 k+3 k+4 2k + 2 1 1 1 1 1 1 + + + ... + +{ − }= k+2 k+3 k+4 2k + 2 k+1 k+1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +. . .+ + + − = k+1 k+2 k+3 k+4 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 { + + + +. . .+ }+ + − k+1 k+2 k+3 k+4 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1 13 1 1 1 ≥ + + − 24 2k + 1 2k + 2 k + 1 1 1 1 resta verificar que 2k+1 + 2k+2 − k+1 > 0 Lo cual es sencillo de probar. (b) Para n = 2 se verifica. Supongamos se verifique para n = k, consideremos: k+1 k k k 22 = (22 )2 = 22 22 ≡ 62 mod(10) ≡ 6mod(10). 1