Ejercicio resuelto: Integral por propiedades
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Este documento presenta la solución para calcular la primitiva de la función 3x^2 + 2x + 1. Se separa la integral en partes usando la propiedad de linealidad de integrales. Luego se integra cada parte aplicando la fórmula para integrales de polinomios, obteniendo como resultado final x^3 + x^2 + x + C, donde C es la constante de integración.
Ejercicio resuelto: Integral por propiedades
- 1. HKV TEX Victor Solano Mora 1 Tema: Cálculo integral Obtener una primitiva de la función S ‰3x2 + 2x + 1Ždx Solución: Al tratarse de una integral polinomial (el argumento es un polinomio), se puede separar la integral gracias a la propiedad de integrales que enuncia S ‰f(x) + g(x)Ždx = S ‰f(x)Ždx + S ‰g(x)Ždx Entonces, la integral original se puede reescribir como: S ‰3x2Ždx + S ‰2xŽdx + S ‰1Ždx Ahora se procede a simplificar las integrales obtenidas, para ello se extrae el coeficiente, gracias a la propiedad que enuncia: S ‰k f(x)Ždx = k S ‰f(x)Ždx En este caso, el ejercicio equivale a: 3S ‰x2Ždx + 2S ‰xŽdx + S ‰1Ždx Ahora se procede a integrar cada uno de los elementos siguiendo las integrales de una variable elevada a una constante, las cuales se escriben de esta manera: S ‰xnŽdx = xn+1 n + 1 + C La letra C corresponde a la constante de integración que aparece siempre que se integre una función y la integral sea indefinida (no trae los límites de integración). Aplicando la expresión en cada una de las integrales que se obtuvieron, el ejercicio se reduce a (tomando 1 como 1x0): 2 + 1 + C1 + 2 ‹ x1+1 1 + 1 + C2 + ‹ x0+1 0 + 1 + C3 3 ‹ x2+1 Esto se simplifica (al resolver las sumas y multiplicaciones) en: 3 x3 3 + 3C1 + 2 x2 2 + 2C2 + x1 1 + C3 Agrupando todas las constantes de integración en una sola (3C1 + 2C2 + C3 = C) y simplificando las fracciones se obtiene: x3 + x2 + x + C