Ejercicio resuelto: Aplicación del teorema fundamental del cálculo
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El documento presenta un problema de cálculo para encontrar la función f, estableciendo que la integral de f(x) es igual a una función logarítmica. A través de la diferenciación y el uso de reglas del cálculo, se derivan expresiones y se simplifican fracciones para obtener la función buscada. Finalmente, se llega a la conclusión de que f(x) se expresa como una función logarítmica dividida por un polinomio.
Ejercicio resuelto: Aplicación del teorema fundamental del cálculo
- 1. HKV TEX Victor Solano Mora 1 Tema: Cálculo Encuentra la función f tal que: S f(x)dx = ln S ln (x)S x + C Solución: Diferenciando respecto a x en cada lado de la igualdad se obtiene: d R f(x)dx dx = d ln S ln (x)S x + C dx Por el teorema fundamental del cálculo y la propiedad que la derivada de una suma es la suma de las derivadas: f(x) = d ln S ln (x)S x dx + dC dx La derivada de una constante C es 0, y la derivada de un cociente se regi por la regla du(x) v(x) uœ(x) v(x) − u(x) vœ(x) = v2(, se obtiene: dx x) f(x) = d ln S ln (x)S dx x − ln S ln (x)S dx dx x2 Separando la resta de fracciones y simplificando se obtiene: f(x) = d ln S ln (x)S dx x − ln S ln (x)S x2 Ahora solo hace falta calcular la derivada del numerador de la primer fracción para hallar el criterio de la función f buscada, para ello se debe aplicar la regla de la cadena y la derivada del logaritmo neperiano ln(u) 1 = du y tomando u = ln(x) se obtiene: dx u dx d ln Sln (x)S dx = 1 ln(x) dln(x) dx Ahora se debe hallar la derivada que apareció en el resultado anterior, entonces al calcularla se obtiene: dln(x) dx = 1 x dx dx Entonces la función f corresponde a la expresión: f(x) = 1 x ln(x) x − ln S ln (x)S x2 = 1 x2 ln(x) − ln S ln (x)S x2