integracionindefinida ejerc
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Este documento presenta la resolución de 10 ejercicios de integración indefinida. Los ejercicios involucran el uso de métodos como la integración por partes, el cambio de variable y la descomposición en fracciones simples para resolver integrales de funciones racionales. Al final se proponen 8 ejercicios adicionales para que el lector los resuelva.
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- 1. Tema 5 Integraci´on Indefinida Ejercicios resueltos Ejercicio 1 Calcular la integral x ln |x|dx Soluci´on: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln|x| y dv = x dx, entonces u = ln|x| ⇒ du = 1 x dx dv = x dx ⇒ v = 1 2 x2 y por tanto x ln |x|dx = 1 2 x2 ln |x| − 1 2 x2 1 x dx = 1 2 x2 ln |x| − x 2 dx = 1 2 x2 ln |x| − x2 4 + C Ejercicio 2 Calcular la integral arctanx dx Soluci´on: Como en el ejercicio anterior, esta integral se resuelve por partes. Haciendo u = arctan x y dv = dx, obtenemos u = arctan x ⇒ du = 1 1 + x2 dx dv = dx ⇒ v = x 1
- 2. 2 TEMA 5. y en consecuencia arctanx dx = x arctan x − x 1 + x2 dx = x arctan x − 1 2 ln |1 + x2| + C Nota: La integral x/(1+x2) dx se calcula de forma inmediata derivando ln |1 + x2| o bien mediante el m´etodo de cambio de variable, de modo que si hacemos w = 1+x2, entonces dw = 2x dx y, por tanto, x 1 + x2 dx = 1 2 1 w dw = 1 2 ln |w| + C = 1 2 ln |1 + x2| + C Ejercicio 3 Calcular la integral cos x 1 + sen x dx Soluci´on: Esta integral podemos resolverla mediante el m´etodo de cambio de variable. Si hacemos u = sen x entonces du = cosx dx, y obtenemos cos x 1 + sen x dx = du 1 + u = ln|1 + u| + C = ln|1 + sen x| + C Ejercicio 4 Calcular la integral (cos3 x − 2 cos2 x + 3 cos x − 5) senx dx Soluci´on: Podemos resolver esta integral por el m´etodo de cambio de varia-ble. Haciendo el cambio de variable t = cos x tenemos dt = −senx dx y, por tanto, (cos3 x − 2 cos2 x + 3 cos x − 5) senx dx = − (t3 − 2t2 + 3t − 5) dt = − t4 4 − 2t3 3 + 3t2 2 + C − 5t = −cos4 x 4 + 2 cos3 x 3 − 3 cos2 x 2 + 5 cos x + C Ejercicio 5 Comprobar que las funciones f(x) = ln|x + √ x2 + 1|, g(x) = arg senh x se diferencian en una constante.
- 3. 3 Soluci´on: De la tabla 5.1 de integrales inmediatas sabemos que f(x) = g(x) = √ 1 x2 + 1 por lo que tanto f como g son primitivas de una misma funci´on y, por tanto (v´ease teorema 5.1.1), se diferencian en una constante. Ejercicio 6 Calcular la integral 1 x2 − 4x + 3 dx Soluci´on: Es la integral de una funci´on racional, por lo que en primer lugar calculamos las ra´ıces de x2 − 4x + 3 = 0. Obtenemos que x = 1 y x = 3 son las ra´ıces del denominador, as´ı que existen A y B tales que 1 x2 − 4x + 3 = A x − 1 + B x − 3 Multiplicando por x2 − 4x + 3 obtenemos 1 = A(x − 3) + B(x − 1) = (A + B)x + (−3A − B) Por tanto A + B = 0, −3A − B = 1 y, en consecuencia, A = −1/2 y B = 1/2. As´ı obtenemos que 1 x2 − 4x + 3 = − 1 2(x − 1) + 1 2(x − 3) y por tanto 1 x2 − 4x + 3 dx = − 1 2(x − 1) dx + 1 2(x − 3) dx = −1 2 ln |x − 1| + 1 2 ln |x − 3| + C = 1 2 ln x − 3 x − 1 + C = ln x − 3 x − 1 + C
- 4. 4 TEMA 5. Ejercicio 7 Calcular la integral x √ 9 − 2x2 dx Soluci´on: Si hacemos el cambio de variable u = 9 − 2x2, basta con derivar u para obtener du = −4x dx y, en consecuencia, x √ 9 − 2x2 dx = −1 4 u1/2 du = −1 4 2 3 u3/2 + C = −1 6 (9 − 2x2)3/2 + C Ejercicio 8 Calcular la integral 4x4 − 30x3 + 37x2 − 13x + 12 3x5 − 12x4 + 17x3 − 14x2 + 10x − 4 dx Soluci´on: Es la integral de una funci´on racional. El primer paso es calcular las ra´ıces de 3x5−12x4+17x3−14x2+10x−4 = 0. Aplicando, por ejemplo, el m´etodo de Ruffini, observamos que x = 1 es ra´ız doble y x = 2 ra´ız simple, quedando como resto 3x2 + 2, por lo que obtenemos que 3x5 − 12x4 + 17x3 − 14x2 + 10x − 4 = (x − 1)2(x − 2)(3x2 + 2) Sabemos, por tanto, que 4x4 − 30x3 + 37x2 − 13x + 12 3x5 − 12x4 + 17x3 − 14x2 + 10x − 4 = A x − 1 + B (x − 1)2 + C x − 2 + Dx + E 3x2 + 2 Multiplicando ahora por 3x5 − 12x4 + 17x3 − 14x2 + 10x − 4 obtenemos 4x4 − 30x3 + 37x2 − 13x + 12 = A(x − 1)(x − 2)(3x2 + 2) + B(x − 2)(3x2 + 2) + C(x − 1)2(3x2 + 2) + (Dx + E)(x − 1)2(x − 2) = (3A + 3C + D)x4 + (−9A + 3B − 6C − 4D + E)x3 + (8A − 6B + 5C + 5D − 4E)x2 + (−6A + 2B − 4C − 2D + 5E)x + (4A − 4B + 2C − 2E)
- 5. 5 De esta ´ultima ecuaci´on deducimos que las constantes A, B, C, D, E satisfacen el sistema 3A + 3C + D = 4 −9A + 3B − 6C − 4D + E = −30 8A − 6B + 5C + 5D − 4E = 37 −6A + 2B − 4C − 2D + 5E = −13 4A − 4B + 2C − 2E = 12 Este sistema tiene por soluci´on A = 3, B = −2, C = −3, D = 4, E = 1, por lo que sustituyendo en las expresiones anteriores, y teniendo en cuenta las propiedades de la integral, obtenemos 4x4 − 30x3 + 37x2 − 13x + 12 3x5 − 12x4 + 17x3 − 14x2 + 10x − 4 dx = 3 x − 1 dx − 2 (x − 1)2 dx − 3 x − 2 dx + 4x + 1 3x2 + 2 dx (5.1) Las integrales pendientes son inmediatas y se obtiene 3 x − 1 dx = 3ln|x − 1| + C, − 2 (x − 1)2 dx = 2 x − 1 + C, − 3 x − 2 dx = −3 ln|x − 2| + C, y 4x + 1 3x2 + 2 dx = 4 6 6x 3x2 + 2 dx + 1 3x2 + 2 dx = 2 3 ln |3x2 + 2| + 1/2 (3/2)x2 + 1 dx = 2 3 ln |3x2 + 2| + 1 3/2 2 3/2 3/2x)2 + 1 ( dx = 2 3 ln |3x2 + 2| + 1 3/2 2 3/2x) + C arctan(
- 6. 6 TEMA 5. Sustituyendo estas expresiones en (5.1) y teniendo en cuenta que 3 ln|x − 1| − 3 ln|x − 2| = 3ln x − 1 x − 2 obtenemos que 4x4 − 30x3 + 37x2 − 13x + 12 3x5 − 12x4 + 17x3 − 14x2 + 10x − 4 dx = 3ln x − 1 x − 2 + 2 x − 1 + 2 3 ln |3x2 + 2| + 1 3/2 2 3/2x) + C arctan( Ejercicio 9 Calcular la integral cos x (1 + sen2 x)(1 − sen x) dx Soluci´on: Para resolver esta integral en primer lugar realizamos el cambio de variable t = sen x. As´ı tenemos dt = cosx dx, por lo que cos x (1 + sen2 x)(1 − sen x) dx = dt (1 + t2)(1 − t) dt Esta ´ultima es la integral de una funci´on racional. La escribimos como suma de fracciones simples: 1 (1 + t2)(1 − t) = At + B 1 + t2 + C 1 − t Multiplicando por (1 + t2)(1 − t) obtenemos 1 = (At + B)(1 − t) + C(1 + t2) = (C − A)t2 + (A − B)t + (B + C) por lo que A, B y C son soluci´on del sistema C − A = 0, A− B = 0, B+ C = 1 cuya soluci´on es A = B = C = 1/2
- 7. 7 En consecuencia obtenemos que dt (1 + t2)(1 − t) dt = 1 2 t + 1 1 + t2 dt + 1 2 1 1 − t dt = 1 4 2t 1 + t2 dt + 1 2 1 1 + t2 dt − 1 2 1 t − 1 dt = 1 4 ln |1 + t2| + 1 2 arctan t − 1 2 ln |1 − t| + C Ahora s´olo falta deshacer el cambio de variable t = sen x, y obtenemos cos x (1 + sen2 x)(1 − sen x) dx = 1 4 ln |1 + sen2 x| + 1 2 arctan(sen x) − 1 2 ln |1 − sen x| + C Ejercicio 10 Calcular la integral ex senx dx Soluci´on: Resolveremos esta integral por partes. Si hacemos u = sen x y dv = ex dx, entonces u = sen x ⇒ du = cosx dx dv = ex dx ⇒ v = ex y por tanto ex senx dx = ex sen x − ex cosx dx (5.2) Aplicando de nuevo la integraci´on por partes en la segunda integral, donde tomamos u = cos x ⇒ du = −senx dx dv = ex dx ⇒ v = ex obtenemos ex cosx dx = ex cos x + ex senx dx (5.3) Si ahora sustituimos (5.3) en (5.2) obtenemos ex senx dx = ex sen x − ex cos x − ex senx dx
- 8. 8 TEMA 5. de donde deducimos que 2 ex senx dx = ex sen x − ex cos x + C por lo que finalmente resulta que ex senx dx = ex 2 (sen x − cos x) + C
- 9. 9 Ejercicios propuestos Las soluciones se encuentran al final. Ejercicio 1 Calcular la integral x2 ln |x| dx Ejercicio 2 Calcular la integral x3 cosx dx Ejercicio 3 Calcular la integral arctan x 1 + x2 dx Ejercicio 4 Calcular la integral 2x − 3 1 + (x2 − 3x + 4)2 dx Ejercicio 5 Calcular la integral ex √ 16 − e2x dx Ejercicio 6 Calcular la integral 4x3 + 14x2 + 8x + 18 x4 + 2x3 + 5x2 + 8x + 4 dx Ejercicio 7 Calcular la integral 3x7 + 21x6 + 31x5 − 47x4 − 69x3 + 77x2 + 35x + 77 x5 + 7x4 + 10x3 − 18x2 − 27x + 27 dx Ejercicio 8 Calcular la integral −28x4 + 53x3 + 32x2 + 36x + 21 (x + 5)(3x2 + 1)(4x2 + 3) dx
- 10. 10 TEMA 5. Ejercicio 9 Calcular la integral (ln x)4 dx Ejercicio 10 Calcular la integral tan2 x + 1 tan2 x − 3 tan x + 2 dx Soluciones de los ejercicios propuestos: 1. x2 ln |x| dx = −x3 9 + x3 ln |x| 3 + C 2. x3 cosx dx = x3 sen x + 3x2 cos x − 6x sen x − 6 cos x + C 3. arctan x 1 + x2 dx = (arctan x)2 2 + C 4. 2x − 3 1 + (x2 − 3x + 4)2 dx = arctan(x2 − 3x + 4) + C 5. ex √ 16 − e2x dx = arcsen ex 4 + C 6. 4x3 + 14x2 + 8x + 18 x4 + 2x3 + 5x2 + 8x + 4 dx = 2ln|x2+4|+arctan x 2 − 4 x + 1 +C 7. 3x7 + 21x6 + 31x5 − 47x4 − 69x3 + 77x2 + 35x + 77 x5 + 7x4 + 10x3 − 18x2 − 27x + 27 dx = x3 + x − 2 x − 1 + 2 (x + 3)2 + C 8. −28x4 + 53x3 + 32x2 + 36x + 21 (x + 5)(3x2 + 1)(4x2 + 3) dx = −3 ln|x+5|+ 1 3 ln |3x2+1|+ √1 3 √ 3x) + arctan( √ 3 2 arctan √2x 3 + C 9. (ln x)4 dx = x(ln x)4 − 4x(ln x)3 + 12x(ln x)2 − 24x ln x + 24x + C 10. tan2 x + 1 tan2 x − 3 tan x + 2 dx = ln tan x − 2 tan x − 1 + C