Calculo integral curso en linea

1
Calculo integral
Ángel Iván Martínez soriano
Estudiante de ingeniería

2
INDICE
Unidad 1: Integrales fundamentales 4
1.1 Diferenciales 4
1.2 Integral de monomios algebraicos 8
1.3 Integrales que conducen a la función logaritmo natural. 11
1.4 Integral de una suma de términos. 12
1.5 Integral de la potencia de una suma. 13
1.6 Integrales de las funciones exponenciales. 14
1.7 Integrales con la tangente, cotangente, secante o cosecante. 16
1.8 Integrales que conducen a las funciones trigonométricas. 18
Unidad 2: Artificios de integración 21
2.1 Integrales de las formas: 21
2.5 Integrales de las potencias del seno y coseno 26

3
2.6 Integrales de las potencias de la tangente y cotangente 28
Unidad 3: Métodos de integración
3.1 Integración por sustitución trigonométrica. 30
3.2 Integración por partes. 31
3.3 Integración por sustituciones algebraicas. 33
3.4 Integración por fracciones parciales con denominadores lineales. 34
3.5 Integración por fracciones parciales con denominadores cuadráticos. 35

4
UNIDAD 1
1.1 DIFERENCIALES
1. F(x2
), (2,4)
Y=mx-mx1y1 m=f,
(x)
M=2x
y=4x-4
Con 1.9
f=x2
= (1.9)2
=3.61
y=mx-mx1 y1 =4(1.9)-4=3.6
Con 1.99
(1.99)2
=3.96
4(1.99)-4=3.96
con 2
(2)2
=4
4(2)-4=4
con 2.01
(2.01)2
=4.04
4(2.01)-4=4.04
con 2.1
(2.1)2
=4.410
4(2.1)-4=4.40
2. 5
..... 2,32f x x
x 1.9 1.99 2 2.01 2.1
F(x) 24.761 31.208 32 32.808 40.841
T(x) 24 31.200 32 32.800 40
m= 4x5
y=80x-128
Con 1.9
x5
= (1.9)5
=24.761
80(1.9)-128=24
Con 1.99
(1.99)5
=31.208
80(1.99)-128=31.20
Con 2
(2)5
=32
80(2)-128=32
con 2.01
(2.01)5
=32.808
80(2.01)=32.80
con 2.1
(2.1)5
=40.841
80(2.1)-128=40
x 1.9 1.99 2 2.01 2.1
F(x) 3.61 3.96 4 4.04 4.41
T(x) 3.60 3.96 4 4.04 4.40

5
3. sin ....... 2,sin2x
X 1.9 1.99 2 2.01 2.1
F(x) .946 .913 .909 .905 .863
T(x) .951 .913 .909 .905 .865
Con 1.9
sin(1.9)=.946
(cos2)(1.9-2)+sen2=.951
con 1.99
sin(1.99)=.913
(cos2)(1.99-2)+(sin2)=.913
Con 2
sin 2=.909
(cos2)(2-2)+(sin 2)=.909
con 2.01
sin 2.01=.905
(cos2)(2.01-2)+(sin2)=.905
con 2.1
sin2.1=.863
(cos2)(2.1-2)+(sin2)=.865
Evaluar y comparar ▲y Y dy
4. 31
2 0.1
2
y x x x#
y f x dx f x
31
2 .1 2 2.1 4.63 4 0.63
2
y f f
0.63y
23
(2) (0.63) 3.78
2
4 3.78 0.22
dy
5.
4
1 1 0.01y x x dx
4
( 1 0.01) f 1 1 0.01 1 0.039y f x dx f x y f 
0.039y
3
4 1 1 0.04 0.04dy dy
Determina los diferencial dy de la función indicada

6
6.
2
3 4 6y x xdx
7. 2
1 3
2 1 2 1
x
y dx
x x
8.
2
2
2
1 2
1
1
x
y x x dx
x
9.
2 2
2 cot 2 2cot cscy x x x xdx
10.
1 6 1 6 1
cos ( sin
3 2 2
x x
y dx
11. Emplear diferenciales y la grafica de f para aproximar a)f(1.9) y b)f(2.04)
1.9 2.04f f
2 1
2 1
y y
m
x x
0 1
1
1 2
m
1dy dx dy dx
) .9a dx
) 1.04b dx
)1.9 1 .9a
)2.04 1 1.04b
12. 1.9 2.04f f 2 1
2 1
y y
m
x x
0 1 1
4 2 2
m
) .1a dx ) .04b dx
1
)dy (.1) .05
2
a
1
) (.04) . 02
2
b dy
) 1.05 ) 0.98a b
14. se encuentra que la medición del lado de un cuadrado es igual a 12 in, con un posible error de
1/64 de pulgada. Usar el diferencial para aproximar el posible error propagado en el cálculo del
área del cuadrado.
Error: 1/64
da=A,
L dl
A(L2
)

7
El diferencial es: 2L(1/64)
L=12 IN
dl=1/64
da=
1 3
2(12)
64 8
A(L)= 2 3
12
8
15. Se mide el radio del extremo de un troco y se encuentra que es igual a 14 IN, con un posible
error de ¼ in. Utilizar diferenciales para aproximar el posible error propagado en el cálculo del
área del extremo del tronco.
Error:1/4 IN
dr=1/4
A= 2
r
da= 2 dr
da=2 21
2 (14) 7
4
in
Epa= A da
= 2
r da
=
2
14 7

8
2 1 3
7 7
2 1 3
x x
c
1.2 integrales de monomios algebraicos
20)
3 1 4
3 1 4
x x
c
1 1 2
5 5
5
1 1 2
x x
xdx c
4 1 5
55 5
4 1 5
x x
x c
2 1 3 3
23 3 3
2 2 2 1 6 2
x x x
x dx c
2 2
2 2
x ax
a xdx a c
3 3 1 4 4
4
4 4
3 1 4
x x ax ax
a a c
c c c c
2 1 1
1
2 1 1
x x
c
x
1
2 4
4 4
1
x
x dx c
x
2
3
2
4 4 2
3 3 2 3
x
x c
x

9
5
3 5/22
2
4
2 2
5 5
2
x x
x c
1
2 1 2
2 2 2
1
x
x c
x x
3/2 3/2 3/2
1/21 1 2
2 2 3/ 2 6 3
t t t
t dt c
3/2 3/2
1/2 3/26
3 3 2
3/ 2 3
x x
x dx x c
5/2 5/2 5/2
3/21 1 2
2 2 5/ 2 10 5
x x x
x dx c
1
2 1
1
x
x dx c
x
3
4 3
4 3
3 3 3
3
dt t b
b b t dt b bt c
t t
1/2
2(3 ) 6 6 12
1/ 2
ydy
a a y dy a a y c
y
1/2
1/21 1 2
( )
3 3 1/ 2 3
u u
u du c
2/3 3
1/3 3
2 / 3 2
u u
u du c

11
1.3 integrales que conducen al logaritmo natural
ln
dv
v c
v
ln ln 1v c x c ln 1
1
dx
d x c
x
2
2
8
ln 4 3
4 3
x
d x c dx
x
3
ln 3
3
d a x c dx
a x
9
ln 9 1
9 1
x
d x c dx
x
2
2
2 6
2 3
3 2 3
x
d x c dx
x
2
2 2
2 2
6
ln 3 6
3 6
a x
d a x c dx
a x
2
2
6 6
ln 3 6
3 6
t
d t t c dx
t t
2
3
3
3
ln 1
1
bu
d bu c dx
bu

12
1.4 integrales de una suma de términos algebraicos

13
1.5 integral de una potencia de una suma
3
2
3
a bx
a bx b dx c
dv bdx
1
2
2
5 3 1
6 5 3
1 5 3
x
xdx x dx c
x
6dv xdx
1
2
1 2
2 222 2
1
2
a x
x a x dx a x c
2dv xdx
3
21
32
2
a bt
c
dv bdt
1 1
2 2 222 3 3 3
14
2
s s s ds s s
c
2 3dv s ds

14
Caso especial:
2
3 4
2 21 1 1 7 1
14 7 1 7 4
2 14 28 4 112
x
x xdx x c
14dv xdx
3
3 2
3
3
21 2
2
33 9
2
x
x c
2
3dv x dx
dv dx
1.6 integrales de funciones exponenciales
2
2
8
8 1/ 2
ln8
x
x
x
x dx c
1
2
dv dx
5
3
ln
x
a
c
a
5dv dx
22 2
2
1 14
14
4 4 4 10 1 14 2
2
x x x x dx dx x dx
x
1
2 14
14
1 2
x
x x c
x

15
2 2
2
2
2 ln 2ln
x x
xb b a ba
a xdx c
a a a
2dv xdx
2
2
1
11 10
10 2
2 2ln10
x
x
dx c
2dv xdx
4
4
4
1 1 7 1
7 4
4 4 ln 7 4ln 7 7
x
x
x
dx c
4dv dx
2 2
21 5 5
5 2
2 2ln 2
t t
t e e
e dt c
e
2dv dt
1 1 5 5
5
ln
ay ay
ay e e
e ady c
a a e a
dv ady
1
2
1
2 2
2
x x
e x dx e c
1
2
1
2
dv x dx
1 2
2 2
2 ln
x
x xe
e dx e c
e
1
2
dv dx

16
1
2
2 2 2 21
2 2
2 ln 2 ln ln 2 1
x x
x e e
e x c
e
1
2
1
2
dv x dx
1.7 integrales con la tg, ctg, sec y csc
O
1
2 2ln sec
2 2 2
x x
tg dx c
1
2
dv dx
3 3
2 2 ln sin 2
2 2
ctg x dx x c
2dv dx
1 1
2 2
1
2 2ln sec
2
ctg x x dx x ctg xdx x c
1
2
1
2
dv x

17
2 2 2
3 2 3
sec lnsec
2 3 3 2 3 3
x x x x
dx tg c
2
3
x
dv dx
1 1
sec ln sec tana
ln
x x x x
a a dx a c
a a
1
2 csc 3 2 2 ln csc 3 2 3 2
2
x dx x ctg x c 2dv dx
1 1
2 sec 2 tan 2ln sec tan 2ln sec
2 2 2 2 2 2 2
x x x x x
dx dx c
1
2
dv dx
1
2
dv dx
Segundo caso especial:
2
1 sec 1
ln tan
3 tan 3
dx x c
x

18
2
secdv xdx
1
ln 5 4csc
4
t c
( 4csc )dv t ctg t dt
Tercer caso especial:
tan ln cos ln cosb a bt dt a bt a bt c
dv bdt
1
tan
ctg
1 1
2 2
1
2 csc 2 ln csc
2
a x x dx a x ctg x c
1
2
1
2
dv x dx
1.8 integrales que conducen a las funciones trigonométricas

19
1
2 cos 2sin
2 2 2
x x
dx c
1
2
dv dx
2 21 1
cos(1 x ) 2 sin 1
2 2
xdx x c
2dv xdx
2 1 4
2 sin cos
3 2 2 3 2
x x
a dx a c
1
2
dv dx
1
2 2
1
2 csc 1 2 1
2
x x dx ctg x c
1
2
1
2
dv x dx
sec tan secx x x x
e e e dx e c
dv dx

20
21 1
sin 4 4 2 tan sec
4 2 2
4
1
2
y
y dy dy ydy
dv dy
dv dy
dv dy
1
cos4 2ln cos tan
4 2
y
y y c
Caso especial:
2
2 2
2
2
1
1 cos21 cos2 1 cos2
2 2 2
1 cos2 1 cos2 1 cos2 2
2 2 cos2 2 2csc 2 2 2cos2 2 cos2 2
2
2 2 2 csc2
x dxdx x x
dx
x x x sen x
dx
x sen x dx xdx x sen x dx dv x dx
sen x
ctg x sen x ctg x x c

21
2 2
2
2
1 2 1 2 1 2
5 5 5
1 2 1 2 1 2 cos 2
1 5 5 5
5 2 cos2 2 tan 2 sec2
cos 2 2 2 2
1
2
1
2
dx sen x sen x sen x
dx dx
sen x sen x sen x x
dx sen x x dx x x c
x
dv dx
dv dx
UNIDAD 2
2.1 integrales de las formas
Ejemplo:

22
2 2
arcsin
33
dx x
c
x
dv dx
2
2 2 2 22 2
2 1
arctan
2 2
2
a xdx a x
c
m mx m
dv xdx
2
1 6 1 1 6 42 42
arctan arctan
42 76 6 7 76 7
6
c
x
dv dx
Caso especial:
2 2 2
2 9 9 3 1 1 33 2
4 4 2 4 2 2
3
2arcsin arcsin 2 3
1
2
dx dx dx
x x x x
x
x c
dv dx
Caso especial II:

23
2
2 2 2
3 2 3 1
ln 9 arctan
2 9 3 2 3 3
2
x dx x
dx x c
x x
dv xdx
dv dx
Caso especial III:
1
22
2 2
2
2
8 12 9
8 12 12 4 5 9
12 4 5 12 4 5
9 9 2 3
2 12 4 5 arcsin
2 2 23
1
2
x dx
dx x x dx
x x x x
dx x
x x c
x
2.2 integrales de la forma

24
2 2
2 2 2 22 2 2 2
1 4 1 1 2 1 1 2 1
ln ln
4 4 2 2 1 8 2 12 1 2 1
4
xdx xdx x x
c
x xx x
dv xdx
2 2
1 1
ln
1 1 2 11
1
x x
x x x xx
x x x
x
dx dy e dx e
c
e e e ee
e e e
dv e dx
2 2 2 2
2
2 2 22
2 31 1 2 4 2 1 2 4 1
2
2 4 5 2 4 5 2 4 5 2 4 5
1 1 1
ln 4 5 ln
4 4 5 2 6 52 9 2 3
x dx x dx x dx dx
x x x x x x x x
dx dx dx x
x x c
x x xx x
2.3 integral de la forma

25
dv dt
2
2 2
ln 1 2 5
1 2
dx
x x x c
x
dv dx
1
2
1
2
2
22 2
2 2
2 2
1 2 1 1 2 1 1
2 2 2
2 1 42 2 21 2
3 23
2 2 5 ln 1 2 5
22 1 2
2 2
y y
dy dy y y y dx
y y y
dx
y y y y y c
y
dv x
2 23 2
2 4 10 ln 1 2 5
2
y y y y y c
2.4 Integrales de las siguientes formas.
2)

26
4)
2.5 Integral de las potencias del seno y/o coseno.
Caso especial I:
.
1)
11)
Caso especial II:
4)
24 4 =−14 4+14 34 3+

27
8)
Caso especial III:
.
1)
8)
12+12 4 =12 +18 4 +
Caso especial IV:
1)
116 2 +
3)
(12−12 4 )2 =11614−12 4 +124 2 =116[
14 −12 4 +14 4
=164 −1128 4+1128 +11024 8 =3128 −1128 4 +11024 8
+

28
Para el diferencial se usara la regla de la cadena
dy dx
dx dv
Caso especial V:
1)
12 3 =+12cos− −16 3 +
cos3 3dv x dx dv=
4)
5 5dv sen x dx
2.6 Integral de la tangente y/o cotangente de una variable, cuando la función trigonométrica
está elevada a la n potencia.
Caso especial I:
.
2)
2 2 +

29
6)
2 2 2
csc 2x x
dv e e dx
Caso especial II:
2)
2 22 −1 = 2 22 − 2 =12 22 2+12 2 +
4)
16 23 −13 3 +

30
UNIDAD 3
En esta unidad ya no se verán nuevas formulas, ahora aplicaremos todo lo
visto en las unidades anteriores, además de algunas identidades
3.1 Integración por sustitución trigonométrica
Las expresiones irracionales de la suma o diferencia de una cantidad variable y una
constante se pueden transformar para su integración en otra expresión mediante funciones
trigonométricas de una nueva variable. Esta nueva variable que usaremos será “z” y en
función de ella se harán los cambios necesarios teniendo en cuenta las relaciones
pitagóricas que se pueden establecer en las expresiones:
De la siguiente manera:

31
2 2
2
2
2
2
2
(2sin ) 2cos 1 1
1. 4 sin 4 cos2
2cos 2 24
4
2 sin 2 2arcsin 2
2 2 2
sin 2sin 2cos
2
4
cos 2cos 4
2
x dx d
d d
x
x x x
c c
x
x dx d
x
x
22 2 2 2 2
2 2
2 2
2
7 sec tan 1 1
2. cos
7 sec 77 sec 7 tan7 ( 7)
( 7)1 1
7 7
7 7
cos 7 sec 7 sec tan
cos
( 7)
tan 7 tan 7
7
dx dx d d
d
x x x x
x
sen c c
x
x dx d
x
x
x
3.2 Integración por partes
Cuando se desea integrar el producto de dos funciones, siendo estas funciones
diferenciales de la misma variable, es necesario recurrir a la integración por partes cuando a
dicho producto no se le puede integrar de otra manera, asi tenemos entonces que si:
; luego
, y entonces:

32
udv uv vdu
1
2. 2 2 ( 2cos ) 2 2 cos 4cos 2 4 cos
2 2 2 2 2 2
4 cos 8
2 2
2 2
1
2 2cos
2 2 2
x x x x x
xsen dx x dx dx
x x
x sen c
u x du dx
x x
dv sen v
1
4. ln ln ln ln
1
ln
xdx x x x dx x x dx x x c
x
u x du dx
x
dv dx v x
2
2
2
ln ln 1 1 ln ln 1
6.
1
ln
1 1
x x x x
dx dx x dx c
x x x x x x x
u x du dx
x
dv dx v dx
x x
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
2
10 10 10 10 1 10 10
8. 10 10 (2)
2ln10 2ln10 2ln10 2ln10 2 2ln10 4(ln10)
10
10
2ln10
x x x x x x
x x
x
x
x
x dx x dx x dx c
u x du dx
dv dx v
Caso II

33
2 3 3 3
2 3 3 3 2 3 3
2
2 2
3 3
3
2
1 2 2 2
2. (2 ) (2 ) (e ) ( 3)
3 3 9 9 3 9 27
2 2 2
1
3
3 3 9
x x x
x x x x x
x x
x
x e e e
x e dx x dx x e dx x xe e c
u x du xdx u x du dx
e e
dv dx v dv dx e
Caso III
2
2
2
2. sec sec sec ln 1
1
1
sec
1
dx
arc xdx xarc x x xarc x x x c
x x
u arc x du dx
x x
v x dv dx
2
2
2
4 1
4. 4 4 4 ln 1 16
1 16 8
4
4
1 16
arctan xdx xarctan x x xarctan x x c
x
u arctan x du
x
dv dx v x
3.3 integración por sustitución algebraica
Algunas integrales que no son inmediatas pueden resolverse fácilmente si se hacen algunas
sustituciones algebraicas convenientes.
3
5 3 5
2 4 2
2 2
9
9 ( 9) 2 ( 9 ) 2 18 2 9 18
5 3 3
9 9 9 2
xa a
x xdx a a dx a a da c x c
a x a x a x dx ada

34
2
2 2
2
2
2
21
2 2 2 1
( 1) ( 1)1
1
2
1 ln( 1)
1
x
x
x
dx jdj jdjj
arctngj c arctng e c
j j j j je
j
j e x j dx dj
j
3.4 Integración por fracciones parciales con denominadores lineales
Si y son polinomios, entonces a la expresión se le
denomina fracción racional.
Si el grado de es menor que el grado de entonces a la fracción
se le llama propia. Es impropia Cuando el grado del numerador es de igual o mayor grado
que el denominador.
2
2
1 2
( 18) ( 18) 4(5)(9)
1.
5 18 9 2(5)
18 12 18 12 3
3
10 10 5
dx
x
x x
x x
1 (5)
( 3)(5 3) 3 5 5 3
ln 3 ln 5 3
3 5 5 3 5
dx a b
x x x x
dx b dx b
a a x x c
x x

35
Hay que sustituir los valores obtenidos de A y B
1 (5 3) ( 3)
1
3 1 (12)
12
3 12 5
1
5 5 12
a x b x
x a a
x b b
1 1 1 3
ln 3 ln 5 3 ln
12 12 12 5 3
x
x x c c
x
Caso II: con un binomio debajo del cociente
2 2
3 2 2 2
2 2
8 1 8 1
1. ln ln 1
2 ( 1) 1 ( 1) 1
8 1 ( 1) ( 1)
0 1
1 6 6
1 10 4 2 10 4 2 6 0
6
ln
1
x x dx x x a b c c
dx dx dx a x b x c
x x x x x x x x x
x x a x bx x cx
x a
x c c
x a b c b b
x c
x
4 4 4
3 2 2 2 2 2
4 2
8 8 8
2.
2 ( 2) 2 ( 2) 2
8 ( 2) ( 2)
0 8 2 4
2 8 4 2
2 8 8 4 4 8 ( 16) 8 8 2
u u a b c u a b c
du du du du du
u u u u u u u u u u u u
u au u b u cu
u b b
u c c
u a b c a a
2 4
4 2 ln 2ln 2
2
du du
u du u u c
u u u

36
3.5 integración por fracciones parciales con denominadores cuadráticos
Cuando los denominadores de las fracciones parciales son factores cuadráticos, los
numeradores deberán de tener la forma , siendo y
constantes a determinar.
2 2
3 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 1 2 1
1.
1 ( 1)( 1) 1 ( 1) 1 1 1
2 1 ( 1) ( 1) ( 1)
0 1 1
1 4 2 2
2 9 5 2 9 11 2 1
1 2 (2) (2)
1 2 1
x x x x adx b c adx bxdx cdx
dx
x x x x x x x x x x
x x a x bx x c x
x a c c
x a a
x a b c b b
dx xdx dx
a b c
x x x
2
2 2
1
2ln 1 ln 1 arctan
1 2
x x x c

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