Integralesinmediatas
- 1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS ∫ + + =−≠ + C p x dxxp p p 1 1 1 ∫ += Ctgxdx x2 cos 1 dx x x C= +∫ ln − = +∫ 1 2 sen cot x dx gx C e dx e Cx x = +∫ dx x x C cosh tgh2 = +∫ a a dx a a Cx x > =∫0, ln + dx x x C 1 2 − = +∫ arcsen a dx x a x Ca> =∫0, ln log + − − = +∫ dx x x C 1 2 arccos sen cosxdx x C= − +∫ dx x x C 1 2 + = +∫ arctg cos senxdx x C= +∫ dx x x C2 1+ = +∫ argsenh senh coshxdx x= +∫ C dx x x C2 1− = +∫ arg cosh cosh senhxdx x C= +∫ dx x x C 1 2 − = +∫ arg tgh COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Si , entoncesu u x= ( ) ( )( )′∫u x f u x dx( ) es inmediata siempre que lo sea . Por ejemplo,( )f x dx∫ ′ =∫ u u dx u Cln| |+ , o bien, ′ + = +∫ u u dx u C 1 2 arctg C x dx x x +=∫ 2 )(lnln 2 Cedx e e x x x += −∫ arcsen 1 2
- 2. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 1. - Cambio de variable: Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena. Queremos realizar la integral ∫ dxxf )( donde f no tiene una primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme la integral en una integral inmediata o composición de funciones. Entonces, para el cambio, )(tgx = dttgdx )(′= ∫ ∫ ′= dttgtgfdxxf )())(()( Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos. 2. - Integración por partes Se basa en la derivada de un producto. Sean y v)(xuu = )(xv= entonces . Integrando en ambos lados de la igualdad obtenemos vu ′+vuuv ′=′)( ∫∫ ′+ dxvu′= vdxuuv . Por tanto, ∫ ∫ ′−=′ vdxuuvdxvu Ejemplos: xe dx u x du dx dv e dx v e xe e dx xe e C e x Cx x x x x x x x ∫ ∫= = → = = → = = − = − + = − +( )1
- 3. ln ln ln ln (ln )xdx u x du dx x dv dx v x x x dx x x x C x x C∫ ∫= = → = = → = = − = − + = − +1 3. - Integración de funciones trigonométricas: Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas: sen cos cos( ) cos sen 2 2 2 2 1 2 x x x x + = = − Resultan: sen ( cos( )) cos ( cos( )) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x = − = + x sen( ) sen cos2 2x x= x sen cos x x 2 2 2 1 = − cos cos x x 2 2 2 1 = + tg cos cos x x x2 1 1 = − + sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen sen cos sen( ) sen( ) cos cos cos( ) cos( ) sen sen cos( ) cos( ) x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x + y = + + = − = + + − = + + − = − + + − 2 2 2 Ejemplos: i) sen ( cos( )) cos( ) sen( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2xdx x dx dx x dx x x C∫ ∫= − = − = − +∫ ∫ ii) sen( )cos( ) (sen( ) sen( )) ( cos( )) ( cos( ))4 2 1 2 6 2 1 2 1 6 6 1 2 2x x dx x x dx x x C= + = − + − +∫∫ iii) cos sen sen (sen ) senx xdx x x dx x C3 3 41 4 = ′ = +∫∫ iv) sen cos sen cos sen ( cos ) cos (cos ) ( cos cos )cos (cos ) cos cos cos 5 2 4 2 2 2 2 2 4 2 3 5 7 1 1 2 1 3 2 5 1 7 x xdx x x xdx x x x dx x x x x dx x x x C ∫ ∫ ∫ ∫ = = − − ′ = − + ′ = − + + v) sen cos ( cos( ))( cos( )) ( cos ( )) cos( ) sen( ) sen( ) 2 2 21 4 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 8 1 4 1 4 1 8 1 32 4 1 4 1 32 4 x xdx x x dx x dx dx x dx x x x x x ∫ ∫∫ ∫ ∫ = − + = − = − + = − − = − + C =
- 4. vi) dx x x x x x x dx dx x dx x x x sen cos sen cos sen cos cos sen tg cot2 2 2 2 2 2 2 2= + = + = −∫ ∫∫∫ C+ dx 5. - Integración de funciones hiperbólicas: Son integrales del tipo y se resuelven de alguna de las siguientes formas: R x x(senh ,cosh )∫ 1) Teniendo en cuenta la definición: senh ;coshx e e x e ex x x = − = +− − 2 2 x x x 2) Teniendo en cuenta las relaciones: cosh senh senh( ) senh cosh cosh( ) senh cosh 2 2 2 2 1 2 2 2 x x x x x x − = = = + de donde se deduce:senh (cosh( ) );cosh (cosh( ) )2 21 2 2 1 1 2 2 1x x x x= − = + Ejemplo: cosh (cosh( ) ) , cosh ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 1 4 1 4 2 xdx x dx xdx e e dx e e dxx x x x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + = + = + +− −2 6. - Integración de funciones irracionales: 1) Integrales del tipo R x ax b cx d ax b cx d dx p q p q k k , ,..., + + + + ∫ 1 1 donde a b yc d R, , , ∈ p q p q k k 1 1 ,..., son funciones irreducibles. Consideramos el cambio: t ax b cx d n = + + donde n m c m q qk= . . .( ,..., )1 Ejemplos:
- 5. i) x x x dx x x x dx 6 23 1 6 1 2 2 3+ = + ∫ ∫ como m.c.m.(6,2,3)=6 cambio t x6 = ii) 2 1 2 1 1 2x x dx x x dx + = + ∫ ∫ cambio t x x 2 2 = 1+ 2) Integrales del tipo: R x a x dx( , )2 2 −∫ R x a x dx( , )2 2 +∫ R x x a dx( , )2 2 −∫ cambio: x a= sen t cambio: x a t= senh cambio: x a t= cosh dx a tdt= cos dx a tdt= cosh queda una trigonométrica. queda una hiperbólica. queda una hiperbólica. dx a tdt= senh Ejemplos: ( ) sen cos cos sen sen sen cot cot(arcsen( )) arcsen( ) a I x x dx x t dx tdt t t dt t t dt t t C x x C = − = = = = = − = − − + = − − + ∫∫ ∫ 4 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) cosh senh cosh (cosh( ) ) ( senh( ) ) senh( arccos ) arccos b I x x dx x t dx tdt tdt t dt t t C hx hx C = − = = = = = + + + = + + ∫∫ ∫ 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 4 2 1 2 =