Variable compleja guia 2
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Este documento contiene un conjunto de ejercicios de funciones complejas para ser resueltos por un estudiante. Incluye ejercicios para expresar números en forma de x + iy, resolver ecuaciones complejas, probar identidades trigonométricas y hiperbólicas, y expresar funciones como exponenciales y logaritmos en términos de sus partes real e imaginaria. El profesor instruye al estudiante a mostrar de manera clara y ordenada los procedimientos para resolver cada ejercicio.
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA
DE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA
GU´ DE VARIABLE COMPLEJA
IA
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Profesor: M.J. Suazo
Intrucciones: Desarrolle los siguientes ejercicios en forma clara y ordenada, dejando en evidencia
las resoluciones. Tenga presente que respuestas sin procedimiento no tendr´n ninguna validez.
a
FUNCIONES ELEMENTALES
1. Exprese los siguientes n´meros de la forma x + iy.
u
a) e2+3πi
2 + 5πi
b) e 4 √
c) log(−1 + 3i)
d) log(−3i)
e) (1 + i)i+2 √
f) Encuentre el valor principal de [e(−1 + 3i)]3πi
g) sen(3 − i) + cos(1 − 2i)
h) senh(2 − i)
i) tan−1 (2i)
j) cosh−1 (−1 + 2i)
k) sen−1 (−i)
l) (1 + i tan 2)i
2) Resuelva las siguientes ecuaciones, encuentre todos los valores z tales que cumplan las igual-
dades:
a) ez = 1 − i
b) e2z = −4
π
c) log(z − 1) = 1 + i
2
d) sec z = 2
e) sen z = −3i
f) cos−1 z = 1 + i
g) cos z = sen z
2 2
3) Probar que |ez | ≤ e(|z| ) , z ∈ C.
4) Escribir Re(e1/z en t´rminos de x y y. Defina en que conjunto esta funci´n es arm´nica.
e o o
5) Sean α1 , α1 , z ∈ C. Probar que si todas las potencias involucradas son valoeres principales,
entonces:
a) 1/z α1 = z −α1
b) z α1 z α2 = z α1 +α2
c) z α1 /z α2 = z α1 −α2
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Variable compleja guia 2
- 1. ´ UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA GU´ DE VARIABLE COMPLEJA IA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Profesor: M.J. Suazo Intrucciones: Desarrolle los siguientes ejercicios en forma clara y ordenada, dejando en evidencia las resoluciones. Tenga presente que respuestas sin procedimiento no tendr´n ninguna validez. a FUNCIONES ELEMENTALES 1. Exprese los siguientes n´meros de la forma x + iy. u a) e2+3πi 2 + 5πi b) e 4 √ c) log(−1 + 3i) d) log(−3i) e) (1 + i)i+2 √ f) Encuentre el valor principal de [e(−1 + 3i)]3πi g) sen(3 − i) + cos(1 − 2i) h) senh(2 − i) i) tan−1 (2i) j) cosh−1 (−1 + 2i) k) sen−1 (−i) l) (1 + i tan 2)i 2) Resuelva las siguientes ecuaciones, encuentre todos los valores z tales que cumplan las igual- dades: a) ez = 1 − i b) e2z = −4 π c) log(z − 1) = 1 + i 2 d) sec z = 2 e) sen z = −3i f) cos−1 z = 1 + i g) cos z = sen z 2 2 3) Probar que |ez | ≤ e(|z| ) , z ∈ C. 4) Escribir Re(e1/z en t´rminos de x y y. Defina en que conjunto esta funci´n es arm´nica. e o o 5) Sean α1 , α1 , z ∈ C. Probar que si todas las potencias involucradas son valoeres principales, entonces: a) 1/z α1 = z −α1 b) z α1 z α2 = z α1 +α2 c) z α1 /z α2 = z α1 −α2 1
- 2. 6) Demuestre la identidad sen(z1 + z2 ) = sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2 . 7) Demuestre la identidad cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sen z1 sen z2 . 8) Sea f (z) = z sen z donde se ha usado el valor principal. Encuentre f (i). 9) Demuestre que senh z = senh x cos y + i cosh x sen y. 10) Demuestre que cosh z = cosh x cos y + i senh x sen y. 2