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- 1. Expresiones Algebraicas Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 1. Calcular la suma de las siguientes expresiones algebraicas: x3 + 2x2 y − 4xy2 , 2x3 − 4x2 y + 3y3 , 2xy2 − 4y3 Soluci´on: x3 + 2x2 y − 4xy2 2x3 − 4x2 y + 3y3 2xy2 − 4y3 suma: 3x3 − 2x2 y − 2xy2 − y3 2. Simplificar cada expresi´on: (a) (2a3 + a2 − 3a − 5) − (a3 − 3a2 + 4a − 7) (b) 5a − (2a − (4a + 2b − (a − 3b))) Soluci´on: (a) (2a3 + a2 − 3a − 5) −(a3 − 3a2 + 4a − 7) = = 2a3 + a2 − 3a − 5 − a3 + 3a2 − 4a + 7 = a3 + 4a2 − 7a + 2 (b) 5a − (2a − (4a + 2b −(a − 3b))) = = 5a − (2a − (4a + 2b − a + 3b)) = 5a − (2a − (3a + 5b)) = 5a − (2a − 3a − 5b) = 5a − (−a − 5b) = 5a + a + 5b = 6a + 5b 7
- 2. Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 8 3. Evaluar cada expresi´on algebraica, considerando el valor asignado a cada variable: (a) (a + b)2 − (a2 + b2 ), para a = 12, b = −4 (b) x y + y z − z x , para x = 1 2 , y = −1, z = 3. Soluci´on: (a) Sustituyendo a = 12, b = −4 (a + b)2 − (a2 + b2 ) = (12 + (−4))2 − (122 + (−4)2 ) = 82 − (144 + 16) = −96 (b) Sustituyendo x = 1 2 , y = −1, z = 3 x y + y z − z x = 1/2 −1 + −1 3 − 3 1/2 = − 1 2 − 1 3 − 6 = −3 − 2 − 36 6 = − 41 6 4. Efectuar cada operaci´on indicada. (a) xy2 (x2 − 2y + 4) (b) x(y − z) − y(x − z) + z(y − x) Soluci´on: (a) xy2 (x2 − 2y + 4) = x3 y2 − 2xy3 + 4xy2 (b) x(y − z) − y(x − z) + z(y − x) = xy − xz − yx + yz + zy − zx = 2yz − 2xz Inst. de Matem´atica y F´ısica Universidad de Talca
- 3. Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 9 5. Efectuar cada multiplicaci´on y reducir los t´erminos semejantes: (a) (7x2 y2 − 2y)(7x2 y2 + 2y) (b) (a2 − 2ab + 4b2 )(a + 2b) Soluci´on: (a) (7x2 y2 − 2y) (7x2 y2 + 2y) = = (7x2 y2 )(7x2 y2 ) + (7x2 y2 )(2y) − (2y)(7x2 y2 ) − (2y)(2y) = 49x4 y4 + 14x2 y3 − 14x2 y3 − 4y2 = 49x4 y4 − 4y2 (a) (a2 − 2ab + 4b2 )(a + 2b) = a3 + 2a2 b − 2a2 b − 4ab2 + 4ab2 + 8b3 = a3 + 8b3 6. Efectuar cada operaci´on indicada. (a) (1 + a)(2 + a)(3 + a) (b) (a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 )(a − b). Soluci´on: (a) (1 + a)(2 + a)(3 + a) = (2 + a + 2a + a2 )(3 + a) = (2 + 3a + a2 )(3 + a) = 6 + 2a + 9a + 3a2 + 3a2 + a3 = 6 + 11a + 6a2 + a3 (b) (a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 )(a − b) = = (a5 + a4 b + a3 b2 + a2 b3 + ab4 ) − (a4 b + a3 b2 + a2 b3 + ab4 + b5 ) = a5 − b5 Inst. de Matem´atica y F´ısica Universidad de Talca
- 4. Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 10 7. Realizar las operaciones indicadas y simplificar. (a) 3x − 2 3 − x − 3 2 − 1 − x 6 (b) x + 1 x − x − 3 y − 2y − x xy Soluci´on: (a) 3x − 2 3 − x − 3 2 − 1 − x 6 = 2(3x − 2) − 3(x − 3) − (1 − x) 6 = 6x − 4 − 3x + 9 − 1 + x 6 = 4x + 4 6 = 2x + 2 3 (b) x + 1 x − x − 3 y − 2y − x xy = y(x + 1) − x(x − 3) − (2y − x) xy = xy + y − x2 + 3x − 2y + x xy = xy − y − x2 + 4x xy 8. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar. (a) 4 x2 + x − 3 2x (b) x + 1 1 − 2x + 4x + 1 2x − 1 + 3 2 − 4x Soluci´on: (a) 4 x2 + x − 3 2x = 8 − 3(x + 1) 2x(x + 1) = 8 − 3x − 3 2x(x + 1) = 5 − 3x 2x(x + 1) Inst. de Matem´atica y F´ısica Universidad de Talca
- 5. Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 11 (b) x + 1 1 − 2x + 4x + 1 2x − 1 + 3 2 − 4x = −x − 1 2x − 1 + 4x + 1 2x − 1 − 3 2(2x − 1) = −2x − 2 + 8x + 2 − 3 2(2x − 1) = 6x − 3 2(2x − 1) = 3(2x − 1) 2(2x − 1) x = 1 2 = 3 2 9. Efectuar las operaciones indicadas y comprobar el resultado. (a) (8x4 y3 z2 − 12x6 y3 z) : (−4x2 y2 z) (b) 27x3 y2 z3 3xyz − 24x4 y4 z6 6x3y2z4 + 12x5 y4 z6 4x3y3z4 + 18x5 y3 z4 9x4yz2 Soluci´on: (a) (8x4 y3 z2 − 12x6 y3 z) : (−4x2 y2 z) = 8x4 y3 z2 − 12x6 y3 z −4x2y2z = 8x4 y3 z2 −4x2y2z − 12x6 y3 z −4x2y2z = −2x2 yz + 3x4 y Comprobaci´on: (−2x2 yz + 3x4 y)(−4x2 y2 z) = 8x4 y3 z2 − 12x6 y3 z Inst. de Matem´atica y F´ısica Universidad de Talca
- 6. Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 12 (b) 27x3 y2 z3 3xyz − 24x4 y4 z6 6x3y2z4 + 12x5 y4 z6 4x3y3z4 + 18x5 y3 z4 9x4yz2 = = 9x2 yz2 − 4xy2 z2 + 3x2 yz2 + 2xy2 z2 = 12x2 yz2 − 2xy2 z2 10. Considerar la expresi´on: E = x−2 − x−1 x−2 + x−1 −1 : 3 x − 1 (a) Simplificar la expresi´on. (b) Evaluar la expresi´on para x = −11/5. Soluci´on: (a) E = 1 x2 − 1 x 1 x2 + 1 x −1 : 3 x − 1 = 1 − x x2 1 + x x2 −1 · x − 1 3 = 1 − x 1 + x −1 · x − 1 3 = 1 + x 1 − x · x − 1 3 = − 1 + x 3 x−2 − x−1 x−2 + x−1 −1 : 3 x − 1 = − 1 + x 3 , para todo x = 0, 1, −1 (b) La expresi´on E es equivalente a: − 1 + x 3 , para todo x = 0, 1, −1. Luego, para x = −11/5 el valor de la expresi´on es: − 1 − 11/5 3 = 2 5 . Inst. de Matem´atica y F´ısica Universidad de Talca
- 7. Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 13 11. Determinar el cuociente y resto en cada divisi´on. Comprobar el resultado. (a) (4x4 + 2x3 − 4x2 + 3x − 7) : (2x − 1) (b) (3x3 + 2x2 − 2) : (x2 − x + 1) Soluci´on: (a) 4x4 +2x3 −4x2 +3x −7 : (2x − 1) = 2x3 + 2x2 − x + 1 (−) 4x4 (+) − 2x3 4x3 −4x2 +3x −7 (−) 4x3 (+) − 2x2 −2x2 +3x −7 (+) − 2x2 (−) + x 2x −7 (−) 2x (+) − 1 −6 Luego: Cuociente = 2x3 + 2x2 − x + 1, Resto = −6. Comprobaci´on: (2x − 1)(2x3 + 2x2 − x + 1) + (−6) = 4x4 + 2x3 − 4x2 + 3x − 1 + (−6) = 4x4 + 2x3 − 4x2 + 3x − 7 (b) 3x3 +2x2 +0x −2 : (x2 − x + 1) = 3x + 5 (−) 3x3 (+) − 3x2 (−) + 3x 5x2 −3x −2 (−) 5x2 (+) − 5x (−) + 5 2x −7 Luego: Cuociente = 3x + 5, Resto = 2x − 7. Inst. de Matem´atica y F´ısica Universidad de Talca
- 8. Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 14 Comprobaci´on: (x2 − x + 1)(3x + 5) + (2x − 7) = 3x3 + 2x2 − 2x + 5 + (2x − 7) = 3x3 + 2x2 − 2 12. Efectuar la divisi´on y comprobar el resultado. (2x2 + xy − 6y2 ) : (x + 2y) Soluci´on: 2x2 +xy −6y2 : (x + 2y) = 2x − 3y (−) 2x2 (−) + 4xy −3xy −6y2 (+) − 3xy (+) − 6y2 / / Luego: Cuociente = 2x − 3y, Resto = 0. Comprobaci´on: (x + 2y)(2x − 3y) = 2x2 + xy − 6y2 13. (a) Hallar la expresi´on X que debe sumarse a 3a − 2b + 4c 3 para obtener 2a + 3b − 2c 2 . (b) Encontrar la expresi´on Y que debe disminuirse en 2m−2n+3p para obtener una diferencia igual a 4m + 6n − 9p 3 . Soluci´on: Inst. de Matem´atica y F´ısica Universidad de Talca
- 9. Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 15 (a) 3a − 2b + 4c 3 + X = 2a + 3b − 2c 2 =⇒ X = 2a + 3b − 2c 2 − 3a − 2b + 4c 3 =⇒ X = 13b − 14c 6 (b) Y − (2m − 2n + 3p) = 4m + 6n − 9p 3 =⇒ Y = 4m + 6n − 9p 3 + (2m − 2n + 3p) =⇒ Y = 10m 3 14. Expresar en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: (a) El doble de la suma de dos n´umeros. (b) El duplo de un n´umero, menos cinco. (c) La media aritm´etica de dos n´umeros. (d) La suma de dos n´umeros enteros consecutivos. (e) El cuadrado de la suma de tres n´umeros. (f) La suma de los cuadrados de dos n´umeros. Soluci´on: Enunciado Definici´on de variable(s) Expresi´on algebraica (a) x, y: n´umeros 2(x + y) (b) x: n´umero 2x − 5 (c) x, y: n´umeros x + y 2 (d) x: n´umero entero x + x + 1 = 2x + 1 (e) x, y, z: n´umeros (x + y + z)2 (f) x: n´umero entero x2 + y2 Inst. de Matem´atica y F´ısica Universidad de Talca
- 10. Expr. algebraicas - Conceptos b´asicos Ejercicios resueltos 16 15. Expresar en lenguaje algebraico, cada enunciado: (a) Ana puede escribir 57 palabras por minuto. Expresar la cantidad de palabras que Ana puede escribir en N horas. (b) Un joven tiene N monedas de $10 (pesos) y M monedas de $100 (pesos). Determinar la cantidad de dinero que tiene el joven, en d´olares. (1 d´olar ≈ $700 pesos). (c) La suma de dos n´umeros es 100. Expresar el producto de dichos n´umeros en t´erminos de uno de ellos. Soluci´on: (a) 1 hora = 60 min =⇒ N horas = 60N min. Luego, Ana puede escribir 57 · 60N = 3420N palabras en N horas. (b) Cantidad de dinero total en pesos que tiene el joven = 10(N + 10M) pesos. 1 d´olar ≈ $700 pesos =⇒ 1 peso = 1 700 d´olares. Luego: Cantidad de dinero total en d´olares que tiene el joven = 10 700 (N + 10M) = 1 70 (N + 10M) d´olares . (c) Sea x = uno de los n´umeros. Luego, el otro n´umero es: 100 − x. Por lo tanto, la expresi´on que describe el producto de ambos n´umeros es: P = x(100 − x) Inst. de Matem´atica y F´ısica Universidad de Talca