![I. Calcule (10 Ptos cada uno)
a) (x/3)+(3/5)=(2x/15)+6
5x+9 = 2x+90 /*mcm 15
3x = 8
x = 8/3
Respuesta: x = 8/3
b) { 4/(x-3) }+{ 1/(x+3) }={ 6/(x^2)-9}
4/(x-3) + 1/(x+3) = 6/{ (x+3)(x-3) }
4(x+3)+(x-3) = 6 /*mcm (x+3)(x-3)
4x+12+x-3 = 6
5x = -3
x = -3/5
Respuesta: x = -3/5
c) { (x+6)^2 } + 1 = (2x+1) ^2
(x^2) +12x+36+1 = 4(x^2)+4x+1 desarrollando los cuadrados
(x^2) +12x+36+1 = 4(x^2)+4x+1
(-3x^2) +8x+36 = 0 /*-1
(**) (3x^2) -8x-36 = 0
calcular ahora x llevando (**) a la ecuación cuadratica a(x^2)+bx+c=0
tenemos:
a= 3, b= -8, c= -36
y según formula:
x=[ -b(+-) √ ² { (b^2) - 4*a*c} ] / 2a
x1)
[8 + √ ² { (-8^2)- 4*3*-36 } ] / 2*3
=[ 8+ √ ²496 ] / 6](https://image.slidesharecdn.com/lgebramodiii-161018233053/85/aLgebra-mod-iii-2-320.jpg)
![=[ 8+ (√ ²31*√ ²16) ] /6
= [8+ 4√ ² 31 ] /6 / simplificamos por 2
=[ 4+ 2√ ² 31 ] /3
x2)
[8 - √ ² { (-8^2)- 4*3*-36 } ] / 2*3
=[ 8- √ ²496 ] / 6
=[ 8- (√ ²31*√ ²16) ] /6
= [8- 4√ ² 31 ] /6 / simplificamos por 2
=[ 4- 2√ ² 31 ] /3
por lo tanto;
x1 = (4 + 2√ ² 31)/3 y x2 = (4- 2√ ² 31)/3
Respuesta: x1 = (4 + 2√ ² 31)/3 y x2 = (4- 2√ ² 31)/3
d) { (x+6)/x } -1 ≥ 3/2
desarrollar suma
( x+6-x) / x ≥ 3/2
6 / x ≥ 3/2
(6/x) – (3/2) ≥ 0 /mcm 2x, desarrollamos suma
(12-3x) / 2x ≥ 0
Debemos tener en cuenta:
i) Ver en que ptos. El numerador y denominador se hacen cero
ii) El denominador siempre debe ser distinto de cero.](https://image.slidesharecdn.com/lgebramodiii-161018233053/85/aLgebra-mod-iii-3-320.jpg)
![Ahora planteamos:
20.000x + 30.000(x-4) = 280.000
20.000x + 30.000x – 120.000= 280.000
50.000x = 280.000+120.000
50.000x=400.000
x=8
por lo tanto son:
x=8= sillas
Y=x-4=8-4= 4 mesas
Respuesta: Son 8 sillas y 4 mesas.
c) La diferencia entre dos números es 28 y su producto es 480. ¿ Cuáles son esos
números?
Se tiene:
i) x-y= 28
ii) x*y=480
de ii) se tiene que x = (480/y) , reemplazando obtenemos.
(480/y) – y = 28 / multiplicamos por y
480-(y^2) = 28y
(-y^2)-28y+480 = 0 /*-1
(**) (y^2)+28y-480=0
calcular ahora x llevando (**)a la ecuación cuadratica a(x^2)+bx+c=0
tenemos:
con a= 1, b= 28, c= -480
y según formula:
x=[ -b(+-) √ ² { (b^2) - 4*a*c} ] / 2a
x= [ -28(+-) √ ² { (28^2) - 4*1*-480} ] /2*1
x1) [ -28+ √ ²(784 +1920 ) ] /2
[ -28+ √ ² 2704 ] / 2](https://image.slidesharecdn.com/lgebramodiii-161018233053/85/aLgebra-mod-iii-6-320.jpg)
![[-28+52 ] / 2
12
x2) -28- √ ²(784 +1920 ) ] /2
[ -28- √ ² 2704 ] / 2
[-28-52 ] / 2
-40 (el signo menos no se toma para este caso)
Respuesta: Los números son 40 y 12](https://image.slidesharecdn.com/lgebramodiii-161018233053/85/aLgebra-mod-iii-7-320.jpg)
áLgebra mod iii
- 1. INSTITUTO PROFESIONAL PROVIDENCIA ESCUELA DE INGENIERÍA Y GESTIÓN ECUACIONES E INECUACIONES EN LOS NÚMEROS REALES Módulo III Integrantes: Cristóbal Durán Cabello. Claudia Muñoz Garcés. Graciela Troncoso Vega. Sede: Concepción. Sección: 20. Asignatura: Álgebra. Lunes 07 de Julio de 2014.
- 2. I. Calcule (10 Ptos cada uno) a) (x/3)+(3/5)=(2x/15)+6 5x+9 = 2x+90 /*mcm 15 3x = 8 x = 8/3 Respuesta: x = 8/3 b) { 4/(x-3) }+{ 1/(x+3) }={ 6/(x^2)-9} 4/(x-3) + 1/(x+3) = 6/{ (x+3)(x-3) } 4(x+3)+(x-3) = 6 /*mcm (x+3)(x-3) 4x+12+x-3 = 6 5x = -3 x = -3/5 Respuesta: x = -3/5 c) { (x+6)^2 } + 1 = (2x+1) ^2 (x^2) +12x+36+1 = 4(x^2)+4x+1 desarrollando los cuadrados (x^2) +12x+36+1 = 4(x^2)+4x+1 (-3x^2) +8x+36 = 0 /*-1 (**) (3x^2) -8x-36 = 0 calcular ahora x llevando (**) a la ecuación cuadratica a(x^2)+bx+c=0 tenemos: a= 3, b= -8, c= -36 y según formula: x=[ -b(+-) √ ² { (b^2) - 4*a*c} ] / 2a x1) [8 + √ ² { (-8^2)- 4*3*-36 } ] / 2*3 =[ 8+ √ ²496 ] / 6
- 3. =[ 8+ (√ ²31*√ ²16) ] /6 = [8+ 4√ ² 31 ] /6 / simplificamos por 2 =[ 4+ 2√ ² 31 ] /3 x2) [8 - √ ² { (-8^2)- 4*3*-36 } ] / 2*3 =[ 8- √ ²496 ] / 6 =[ 8- (√ ²31*√ ²16) ] /6 = [8- 4√ ² 31 ] /6 / simplificamos por 2 =[ 4- 2√ ² 31 ] /3 por lo tanto; x1 = (4 + 2√ ² 31)/3 y x2 = (4- 2√ ² 31)/3 Respuesta: x1 = (4 + 2√ ² 31)/3 y x2 = (4- 2√ ² 31)/3 d) { (x+6)/x } -1 ≥ 3/2 desarrollar suma ( x+6-x) / x ≥ 3/2 6 / x ≥ 3/2 (6/x) – (3/2) ≥ 0 /mcm 2x, desarrollamos suma (12-3x) / 2x ≥ 0 Debemos tener en cuenta: i) Ver en que ptos. El numerador y denominador se hacen cero ii) El denominador siempre debe ser distinto de cero.
- 4. Utilizamos la tabla 0 4 (12-3x) + + - (2x) - + + (12x-3x)/2x - + - Graficando se tiene: 0 4 Respuesta: la solución está dada por 0 < x ≤ 4 II. En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada caso por a=-2 y b=7, para valorar la expresion. ( 10 Ptos. Cada uno) a) 3ab-b+2ab+3b 5ab-2b b(5a-2) 7(5*2-2) reemplazando Respuesta: Se valora en 56 b) 3(a^2)b-8(a^2)b-7(a^2)b+3(a^2)b -9(a^2)b -9*4*7 reemplazando Respuesta: Se valora en -252 c) 2(a^2)b-(3/2)(a^2)b-1 simplificamos por 2 4(a^2)b -3(a^2)b-2 (a^2)b – 2
- 5. reemplazando (4*7)-2 Respuesta: Se valora en 26 III. Aplicaciones a) La suma de 4 pares consecutivos es 340. ¿Cúanto suma el menor con el mayor de estos numeros? Se tiene los siguiente: i)Sea 2x un numero par ii)la diferencia entre dos números pares consecutivos es 2 entonces: 1º numero par es 2x 2º numero par es (2x)+2 3º numero par es ((2x)+2)+2 4º numero par es (((2x)+2)+2)+2 la suma de cuatro numeros pares consecutivos es: 2x+(2x+2)+(2x+4)+(2x+6) = 340 8x+12=340 x=41 numero menor es 2x= 82 numero mayor es 2x+6=88 Respuesta: La suma de menor con el mayor es 82+88= 170 b) Una persona compró sillas y mesas por $280.000. Por cada silla pagó $20.000 y por cada silla pagó $30.000. Si compró 4 mesas menos que sillas, ¿Cuántas sillas y mesas compró? Se tiene: X = sillas Y = x-4 = mesas Cada silla vale $20.000 Cada mesa vale $30.000
- 6. Ahora planteamos: 20.000x + 30.000(x-4) = 280.000 20.000x + 30.000x – 120.000= 280.000 50.000x = 280.000+120.000 50.000x=400.000 x=8 por lo tanto son: x=8= sillas Y=x-4=8-4= 4 mesas Respuesta: Son 8 sillas y 4 mesas. c) La diferencia entre dos números es 28 y su producto es 480. ¿ Cuáles son esos números? Se tiene: i) x-y= 28 ii) x*y=480 de ii) se tiene que x = (480/y) , reemplazando obtenemos. (480/y) – y = 28 / multiplicamos por y 480-(y^2) = 28y (-y^2)-28y+480 = 0 /*-1 (**) (y^2)+28y-480=0 calcular ahora x llevando (**)a la ecuación cuadratica a(x^2)+bx+c=0 tenemos: con a= 1, b= 28, c= -480 y según formula: x=[ -b(+-) √ ² { (b^2) - 4*a*c} ] / 2a x= [ -28(+-) √ ² { (28^2) - 4*1*-480} ] /2*1 x1) [ -28+ √ ²(784 +1920 ) ] /2 [ -28+ √ ² 2704 ] / 2
- 7. [-28+52 ] / 2 12 x2) -28- √ ²(784 +1920 ) ] /2 [ -28- √ ² 2704 ] / 2 [-28-52 ] / 2 -40 (el signo menos no se toma para este caso) Respuesta: Los números son 40 y 12