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- 1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´ ıa 1 Conjuntos finitos, numerables y no numerables Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca ıa Conjuntos finitos, numerables y no numerables by Ana Mar´ Teresa Lucca is licensed ıa under a Creative Commons Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 2.5 Argentina License. Based on a work at matematics.wordpress.com. Se debe a Cantor el descubrimiento fundamental de diversos tipos de infinito as´ como el an´lisis de los mismos. Para nuestros prop´sitos nos ı a o conformaremos apenas con distinguir, en raz´n del n´mero de elementos, o u tres tipos de conjuntos: los finitos, los numerables y los no numerables. 0.1 Conjuntos Finitos e Infinitos Definici´n: Sea In = {p ∈ N : 1 ≤ p ≤ n}. Un conjunto X se dice finito o cuando es vac´ o cuando existe para alg´n n ∈ N una biyecci´n ϕ : In → X. ıo u o En el primer caso se dice que X tiene cero elementos, y en el segundo que n ∈ N es el n´mero de elementos de X. u Observaciones: 1. Cada conjunto In es finito y posee n elementos. 2. Si f : X → Y es una biyecci´n, uno de los conjuntos es finito si y s´lo o o si el otro lo es. Intuitivamente, una biyecci´n ϕ : In → X es un conteo de los elementos o de X, pues haciendo: ϕ(1) = x1 , ϕ(2) = x2 , . . . , ϕ(n) = xn , tenemos X = {x1 , x2 , . . . , xn },
- 2. 2 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca ıa que es la representaci´n ordinaria de un conjunto finito. o Definici´n: Un conjunto X se dice infinito cuando no es finito. M´s o a expl´ ıcitamente, X es infinito cuando no es vac´ y, adem´s, sea cual fuere ıo a n ∈ N no existe una biyecci´n ϕ : In → X. o Ejemplo 1 El conjunto N de los n´meros naturales es infinito, pues dada u cualquier funci´n ϕ : In → N, sea p = ϕ(1) + . . . + ϕ(n). Entonces p > ϕ(x), o para todo x ∈ In , de modo que p ∈ ϕ(In ). Luego, ninguna funci´n ϕ : In → / o N es sobre. ♦ Definici´n: Un conjunto X ⊂ N se dice acotado cuando existe p ∈ N o tal que p ≥ n, para todo n ∈ X. Proposici´n 1 Sea X ⊂ N no vac´ Las siguientes condiciones son equiv- o ıo. alentes: a) X es finito; b) X es acotado; c) X posee ultimo elemento. ´ Dem: a) → b) Sea X = {x1 , x2 , . . . , xn } (finito). Tomemos p = x1 + x2 + . . . + xn . As´ p > x, ∀ x ∈ X, por lo que X est´ acotado. ı, a b) → c) Sea X ⊂ N acotado. Sea A = {p ∈ N : p ≥ n, ∀ n ∈ X}. Como X es acotado, A = ∅, y adem´s A ⊂ N. Entonces, por el a Principio de Buena Ordenaci´n, A posee primer elemento. Sea o p0 ∈ A dicho elemento. Afirmamos que p0 ∈ X. Supongamos que p0 ∈ X. Entonces p0 > n, ∀ n ∈ X. Como / X = ∅, p0 > 1 lo que implica que p0 = p1 + 1, para alg´n p1 ∈ N. u Si existiera n ∈ X tal que p1 < n, entonces p1 + 1 < n + 1 y as´ ı p0 = p1 + 1 ≤ n, lo cual es absurdo. Por tanto, p1 ≥ n, ∀ n ∈ X, es decir, p1 ∈ A, lo cual tambi´n es absurdo, pues resultar´ e ıa p1 > p0 y p0 es el primer elemento de A. Luego p0 ∈ X. Como p0 ∈ X y verifica p0 ≥ n, ∀ n ∈ X (pues p0 ∈ A), entonces p0 es el ultimo elemento de X. ´
- 3. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´ ıa 3 c) → a) Sea p ∈ X el ultimo elemento de X. Entonces X ⊂ Ip , por lo ´ que X es finito (por serlo Ip ).♦ Definici´n: Un conjunto X ⊂ N se dice no acotado cuando no est´ o a acotado. Esto significa que dado cualquier p ∈ N, existe alg´n n ∈ X tal que u n > p. 0.2 Conjuntos Numerables Definici´n 1: Un conjunto X se dice numerable cuando es finito o cuando o existe una biyecci´n f : N → X. En este ultimo caso se dice que X es o ´ infinito numerable y, haciendo x1 = f (1), x2 = f (2), . . . , xn = f (n), . . . , se tiene X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}. Cada biyecci´n f : N → X es una enumeraci´n (de los elementos) de X. o o Definici´n 2: Un conjunto X se dice numerable si es el rango de una o sucesi´n. o Las definiciones 1 y 2 son equivalentes pues: i. Def. 1 → Def. 2 Si el conjunto X es finito, existe una funci´n ϕ : In → X o biyectiva. Definamos la siguiente sucesi´n: o ϕ(m) si m ≤ n ym = ϕ(1) en otro caso. As´ resulta ser X el rango de la sucesi´n yn . ı o Si el conjunto X es infinito, existe una funci´n ϕ : N → X o biyectiva. Entonces X es el rango de una sucesi´n. o ii. Def. 2 → Def. 1 Si X es el rango de una sucesi´n, digamos X = {xn }n∈N , o puede ser finito o infinito. Si X es finito nada hay que demostrar. Si X es infinito, veamos que puede ser puesto en correspon- dencia uno a uno con los naturales.
- 4. 4 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca ıa Intuitivamente los xn podr´ repetirse en la sucesi´n, por ıan o lo tanto, si quiero establecer una biyecci´n de N sobre X, o deber´ eliminar las repeticiones. Por ejemplo, imaginemos e a X como el conjunto de los naturales pares. Este es in- finito numerable, pues es el rango de la sucesi´n de t´rmino o e general xn = 2n. Esta sucesi´n es una biyecci´n, pero X o o es tambi´n el rango de la sucesi´n 2, 4, 2, 6, 4, 8, 6, 10, 8, . . . e o que no establece una biyecci´n con los naturales. Definamos o entonces una nueva sucesi´n de la siguiente forma: o y1 = xϕ(1) , ϕ(1) = 1 y2 = xϕ(2) , ϕ(2) = m´ın{n : xn = x1 } y3 = xϕ(3) , ϕ(3) = m´ın{n : xn = x1 , xϕ(2) } . . . . . . yj+1 = xϕ(j+1) , ϕ(j + 1) = = m´ın{n : xn = x1 , xϕ(2) , . . . , xϕ(j) } Debemos probar ahora que esta sucesi´n establece una biyecci´n o o entre N y X. • es uno a uno, pues sean n, m ∈ N tales que n = m. A ellos les corresponder´ (por construcci´n) yn = xϕ(n) y a o ym = xϕ(m) . Pero como n = m, xϕ(n) = xϕ(m) , con lo cual yn = ym . • es sobre, pues sea x ∈ X. Entonces x es de la forma xn para alg´n n (por ser X el rango de la sucesi´n u o xn ). Consideremos entonces m = m´ ın{n : xn = x}. Entonces x = xϕ(m) = ym = y(m). Luego existe una biyecci´n y : N → X. o As´ queda demostrada la equivalencia. ı Ejemplo 1 La biyecci´n f : N → P, f (n) = 2n, muestra que el conjunto P o de los n´meros pares es infinito numerable. An´logamente, g(n) = 2n − 1 u a define una biyecci´n de N sobre el conjunto de los n´meros impares el cual o u es, por tanto, infinito numerable. Tambi´n el conjunto Z de los n´meros e u enteros es numerable. Basta notar que h : Z → N definida por h(n) = 2n cuando n es positivo y h(n) = −2n+1 cuando n es negativo es una biyecci´n. o Luego, h−1 : N → Z es una enumeraci´n de Z.♦ o Proposici´n 1 Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable. o Dem: Sea E un conjunto numerable. Entonces es el rango de una sucesi´n; esto es E = {xn }. Sea A ⊂ E. o
- 5. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´ ıa 5 Si A es vac´ por definici´n resulta ser numerable. ıo, o Si A es no vac´ elijamos x0 ∈ A (existe por el Axioma de ıo, Elecci´n). Definamos entonces la sucesi´n yn haciendo: o o xn para xn ∈ A yn = x0 para xn ∈ A / Entonces A es el rango de la sucesi´n yn y as´ resulta numerable.♦ o ı Proposici´n 2 Sea A un conjunto numerable. Entonces el conjunto de to- o das las n-uplas de elementos de A es tambi´n numerable. e Dem: Puesto que A es numerable, puede ser puesto en cor- respondencia uno a uno con un subconjunto del conjunto N de los n´meros naturales. As´ es suficiente probar que el con- u ı junto S de todas las n-uplas de n´meros naturales es numerable. u Sea 2, 3, 5, 7, 11, . . . , pk , . . . la sucesi´n de n´meros primos. En- o u tonces cada n ∈ N tiene una unica factorizaci´n de la forma ´ o n = 2x1 3x2 . . . pxk , k donde xi ∈ N0 = N ∪ {0}, y xk > 0. Sea f la funci´n en No que asigna a cada n´mero natural n la k-upla x1 , . . . , xk de u elementos de N0 . Esta funci´n es una correspondencia uno a o uno, de lo que resulta que el conjunto de todas las n-uplas de elementos de N0 es numerable. Como S es un subconjunto del conjunto de todas las n-uplas de elementos de N0 , resulta que S es numerable (por Proposici´n 0.2.1).♦ o Proposici´n 3 El conjunto Q de los n´meros racionales es numerable. o u La demostraci´n de esta proposici´n se deja como ejercicio. o o Proposici´n 4 La uni´n de una colecci´n numerable de conjuntos numer- o o o ables es tambi´n numerable. e Dem: Sea C una colecci´n numerable de conjuntos numerables. o Si todos los conjuntos en C son vac´ la uni´n es vac´ y as´ ıos, o ıa ı numerable. Podemos entonces asumir que C contiene conjuntos no vac´ y, puesto que los conjuntos vac´ no contribuyen en ıos ıos nada a la uni´n de C, podemos considerar que todos los conjuntos o C son no vac´ As´ C (por ser numerable) es el rango de una ıos. ı ∞ sucesi´n An n=1 , y cada An (por ser numerable) es el rango o
- 6. 6 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca ıa de una sucesi´n xnm ∞ . Consideremos la aplicaci´n n, m → o m=1 o xnm del conjunto de los pares ordenados de n´meros naturales u sobre la uni´n de C. Es f´cil ver que es una correspondencia uno a o a uno y, puesto que el conjunto de los pares ordenados de n´meros u naturales es numerable (por la Proposici´n 0.2.2), resulta que la o uni´n de la colecci´n C es tambi´n numerable.♦ o o e Bibliograf´ ıa: • Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan Company, New York. • Lima, E. L. (1976) Curso de an´lise. Vol 1, Projeto Euclides, IMPA, a Rio de Janeiro.