Monotonas

Tema 6
Sucesiones monótonas
Vamos a discutir ahora una importante propiedad de ciertas sucesiones de números reales: la
monotonía. Como primer resultado básico, probaremos que toda sucesión monótona y acotada
es convergente, obteniendo un método útil para probar la convergencia de ciertas sucesiones.
Deduciremos el Teorema de Bolzano-Weierstrass, que es sin duda el resultado más importante
sobre convergencia de sucesiones. De él se deduce el teorema de “complitud” de R, que nos
da una auténtica caracterización de las sucesiones convergentes. Finalmente, las nociones de
límite superior e inferior, además de tener utilidad en sí mismas, nos permitirán precisar mejor
el contenido del Teorema de Bolzano-Weierstrass.
6.1. Monotonía
La siguiente definición es muy intuitiva. Se dice que una sucesión {xn} es:
Creciente, cuando: xn 6 xn+1 para todo n ∈ N
Decreciente, cuando: xn > xn+1 para todo n ∈ N
Monótona, cuando es creciente o decreciente.
Por ejemplo, una sucesión constante es a la vez creciente y decreciente. Las sucesiones {n}
y {−1/n} son crecientes, mientras que {−n} y {1/n} son decrecientes. La sucesión {(−1)n}
no es monótona.
Observamos también que una sucesión {xn} es decreciente si, y sólo si {−xn} es creciente,
así que trabajaremos principalmente con sucesiones crecientes. Intuitivamente es claro que, para
una sucesión creciente, cada término es menor o igual que cualquier otro posterior:
Si {xn} es una sucesión creciente, para m,n ∈ N con m 6 n, se tiene xm 6 xn .
La prueba por inducción es evidente. En particular, toda sucesión creciente {xn} verifica
que x1 6 xn para todo n ∈ N, luego está minorada.
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6. Sucesiones monótonas 50
Claramente, si {xn} es decreciente, para m,n ∈ N con m 6 n, tendremos xm > xn y, en
particular, x1 > xn para todo n ∈ N, luego {xn} está mayorada. Vemos también ahora que, si
una sucesión es a la vez creciente y decreciente, ha de ser constante.
Usando la existencia de supremo e ínfimo, probamos enseguida el resultado clave de este
tema, que muestra la utilidad de la monotonía para estudiar la convergencia de una sucesión.
Teorema. Toda sucesión monótona y acotada es convergente. De hecho:
(i) Si {xn} es una sucesión creciente y mayorada, se tiene lı́m{xn} = sup{xk : k ∈ N}
(ii) Si {xn} es decreciente y minorada, entonces lı́m{xn} = ı́nf{xk : k ∈ N}
Demostración. Si {xn} es creciente y mayorada, pongamos β = sup{xk : k ∈ N}, para
probar que {xn} → β. Dado ε > 0, por definición de supremo existe m ∈ N tal que β−ε < xm .
Pero entonces, para n > m se tendrá β−ε < xm 6 xn 6 β < β+ε, de donde |xn −β| < ε, como
queríamos.
Para una sucesión {xn} decreciente y minorada, se puede razonar de manera análoga, o bien
aplicar lo ya demostrado a la sucesión {−xn} que es creciente y mayorada.
Ilustramos el teorema anterior con un ejemplo importante:
Para x ∈ R, con |x| 1, se tiene: lı́m
n→∞
xn
= 0.
Puesto que |xn| = |x|n para todo n ∈ N, tomando y = |x|, bastará comprobar que {yn} → 0.
Al ser 0 6 y 1, tenemos 0 6 yn+1 6 yn para todo n ∈ N. Así pues, la sucesión {yn} es
decreciente y minorada, luego convergente. Pongamos de momento L = lı́m{yn}, para probar
que L = 0. Como {yn+1} es una sucesión parcial de {yn}, será también {yn+1} → L pero,
por otra parte tenemos que {yn+1} = {yn y} → Ly, luego L = Ly. Siendo y 6= 1, no queda más
salida que L = 0, como queríamos.
Veamos los casos no cubiertos por el resultado anterior. Si |x| 1, puesto que |1/x| 1,
sabemos ya que {1/xn} = {(1/x)n} → 0, luego la sucesión {xn} no está siquiera acotada. Si
|x| = 1, sabemos de sobra lo que le ocurre a la sucesión {xn}.
6.2. Teorema de Bolzano-Weierstrass
Las sucesiones monótonas abundan más de lo que en principio pudiera parecer, como pone
de manifiesto el siguiente resultado, paso previo para obtener el principal teorema acerca de la
convergencia de sucesiones de números reales.
Lema. Toda sucesión de números reales admite una sucesión parcial monótona.
Demostración. Sea {xn} una sucesión de números reales y consideremos el conjunto
A = {n ∈ N : xn xn+k ∀k ∈ N}
que intuitivamente detecta los términos que son mayores o iguales que todos los que les siguen.
Distinguiremos dos casos según que el conjunto A sea infinito o no.

(1) Supongamos que A es infinito. Intuitivamente, seleccionando los términos xn con n ∈ A
debemos obtener una sucesión parcial decreciente. Para comprobar esto, usaremos el principal
resultado obtenido al estudiar los conjuntos numerables. Por ser A un subconjunto infinito de
N, sabemos que existe una aplicación biyectiva σ : N → A, verificando además que si n,m ∈ N y
n m, entonces σ(n) σ(m). Podemos ver σ como una aplicación estrictamente creciente de
N en sí mismo, luego {xσ(n)} es una sucesión parcial de {xn}. Además, para cualquier n ∈ N
sabemos que σ(n) ∈ A, luego xσ(n) xσ(n)+k para todo k ∈ N, y tomando k = σ(n+1)−σ(n)
obtenemos que xσ(n) xσ(n+1) . Por tanto, la sucesión {xσ(n)} es decreciente.
(2) Supongamos que A es un conjunto finito, incluyendo la posibilidad A = /
0. En todo caso,
existe m ∈ N tal que A ⊂ {n ∈ N : n m}. Intuitivamente, podemos seleccionar términos a
partir del m-ésimo para conseguir una sucesión parcial creciente, y eso es precisamente lo que
vamos a hacer. Para definir por inducción una aplicación σ : N → {n ∈ N : n m}, empezamos
tomando σ(1) = m. Supuesto definido σ(n) m, sabemos que σ(n) /
∈ A, así que el conjunto
{k ∈ N : xσ(n) xσ(n)+k} no es vacío. Definimos entonces σ(n + 1) = σ(n) + p, donde p es
el mínimo de dicho conjunto. Es claro que σ(n + 1) σ(n) m, y también xσ(n) xσ(n+1) ,
luego {xσ(n)} es una sucesión parcial creciente de {xn}.
Teorema de Bolzano-Weierstrass. Toda sucesión acotada de números reales admite una
sucesión parcial convergente.
Demostración. Sea {xn} una sucesión acotada de números reales y apliquemos el lema
anterior para conseguir una sucesión parcial monótona {xσ(n)}. Por ser {xn} acotada, tenemos
K ∈ R tal que |xn| 6 K para todo n ∈ N, pero entonces es obvio que también |xσ(n)| 6 K para
todo n ∈ N. Así pues, la sucesión {xσ(n)} es monótona y acotada, luego convergente.
Merece la pena detenerse a comparar los diferentes tipos de sucesiones que han aparecido
hasta ahora. Dada una sucesión {xn}, podemos considerar las siguientes afirmaciones:
(i) {xn} es monótona y acotada
(ii) {xn} es convergente
(iii) {xn} está acotada
(iv) {xn} admite una sucesión parcial convergente
Sabemos que cada una de estas afirmaciones implica las que le siguen: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).
Pues bien, vamos a comprobar que ninguna de las implicaciones es reversible. Para ver que
(iv) ; (iii) basta tomar
xn =
n
2

1+(−1)n
2

∀n ∈ N
Claramente tenemos x2n−1 = 0 y x2n = n para todo n ∈ N, luego {xn} admite una sucesión
parcial convergente y otra no acotada, así que {xn} tampoco está acotada. Ya se comentó que
existen sucesiones acotadas no convergentes, es decir, que (iii) ; (ii). Finalmente, es fácil ver
que la sucesión {(−1)n/n} converge a cero, pero no es monótona, luego (ii) ; (i).

6.3. Sucesiones de Cauchy
Comprobar que una sucesión es convergente, usando la definición de convergencia, exige
conocer “a priori” el posible límite de la sucesión. Interesa tener un criterio de convergencia
comprobable usando solamente los términos de la sucesión. Hasta ahora tenemos una propiedad
de este tipo (la acotación) que es necesaria para que haya convergencia, pero no es suficiente.
También hay una condición suficiente (monotonía + acotación) que no es necesaria. Nuestro
objetivo ahora es encontrar una condición que sea a la vez necesaria y suficiente, es decir, un
criterio que nos permita decidir si una sucesión es convergente o no, sin ninguna pista sobre el
posible límite.
Partimos de una idea muy ingenua: los términos de una sucesión convergente, que estén
cerca del límite, estarán cerca unos de otros. Formalmente, si {xn} es una sucesión convergente
de números reales, digamos {xn} → x ∈ R, dado ε 0, sabemos que existe m ∈ N tal que
|xn −x| ε/2 para n m. Entonces, para p,q ∈ N con p,q m, tenemos claramente
|xp −xq| = |xp −x+x−xq| 6 |xp −x|+|x−xq| ε
Obsérvese que hemos obtenido una propiedad de la sucesión convergente {xn} en la que no
interviene su límite. A continuación damos nombre a las sucesiones con esta propiedad.
Se dice que {xn} es una sucesión de Cauchy cuando, para cada número real positivo ε,
puede encontrarse un número natural m, tal que |xp −xq| ε, para cualesquiera p,q ∈ N que
verifiquen p,q m. Simbólicamente:
∀ε 0 ∃m ∈ N : p,q m =⇒ |xp −xq| ε
En los comentarios anteriores hemos probado lo siguiente:
Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
Pero lo importante es que el recíproco también es cierto, como descubrió el gran matemático
francés A. Cauchy (1789-1857).
Teorema (Complitud de R). Toda sucesión de Cauchy de números reales es convergente.
Demostración. Sea {xn} una sucesión de Cauchy, y vamos a probar que converge, sin pista
alguna sobre su límite. Empezamos viendo que {xn} está acotada, con un razonamiento similar
al usado cuando teníamos convergencia.
La definición de sucesión de Cauchy nos proporciona un m ∈ N tal que |xp −xq| 1 para
cualesquiera p,q ∈ N con p,q m. Tomando q = m y p = n m tenemos claramente
|xn| 6 |xn −xm|+|xm| 1+|xm|
luego el conjunto {xn : n m} está acotado, de donde se deduce, como ya hemos hecho otras
veces, que la sucesión {xn} está acotada.

El siguiente paso es aplicar el Teorema de Bolzano-Weierstrass, para obtener una sucesión
parcial {xσ(n)} que converge a un x ∈ R. Obsérvese que x es el único posible límite de la
sucesión {xn}, así que la demostración se concluirá probando que efectivamente {xn} → x.
Dado ε 0, aplicamos de nuevo que {xn} es una sucesión de Cauchy:
∃m1 ∈ N : p,q m1 =⇒ |xp −xq| ε/2 (1)
Por otra parte, usamos la convergencia de {xσ(n)}:
∃m2 ∈ N : n m2 =⇒ |xσ(n) −x| ε/2 (2)
Finalmente, tomamos m = máx{m1,m2} y concluiremos probando que |xn − x| ε para
n m. En efecto, si n m, tenemos por una parte n m2 lo que nos permite aplicar (2), pero
también tenemos σ(n) n m1 luego podemos aplicar (1) con p = n y q = σ(n), obteniendo
|xn −x| 6 |xn −xσ(n)|+|xσ(n) −x| (ε/2)+(ε/2) = ε
6.4. Límites superior e inferior
El hecho de que toda sucesión monótona y acotada es convergente nos va a permitir ahora
clarificar aún más la relación entre sucesiones acotadas y sucesiones convergentes, consiguiendo
una nueva demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass.
Sea {xn} una sucesión acotada de números reales. Para cada n ∈ N, podemos entonces
definir:
αn = ı́nf{xk : k n} y βn = sup{xk : k n}
De esta forma, a la sucesión {xn} hemos asociado dos sucesiones {αn} y {βn}, siendo evidente
que αn 6 xn 6 βn , para todo n ∈ N.
También para todo n ∈ N, es evidente que:
{xk : k n+1} ⊂ {xk : k n} ⊂ {xk : k 1}
de donde deducimos que αn+1 αn α1 y βn+1 6 βn 6 β1 . En resumen, enlazando varias
desigualdades anteriores, tenemos:
α1 6 αn 6 αn+1 6 βn+1 6 βn 6 β1 ∀n ∈ N
Está ahora muy claro que {αn} es creciente y mayorada, mientras que {βn} es decreciente y
minorada, luego ambas sucesiones son convergentes.
Pues bien, al límite de {αn} se le llama límite inferior de la sucesión {xn} y se le denota
por lı́minf{xn}. Análogamente, al límite de {βn} se le llama límite superior de {xn} y se le
denota por lı́msup{xn}. Así pues:
lı́minf{xn} = lı́m
n→∞
ı́nf{xk : k n}

y lı́msup{xn} = lı́m
n→∞
sup{xk : k n}

Recordando que αn 6 βn para todo n ∈ N, deducimos que siempre se tiene:
lı́minf{xn} 6 lı́msup{xn}
Esta desigualdad puede ser estricta, como le ocurre por ejemplo a la sucesión {(−1)n}: es claro
que lı́minf{(−1)n} = −1 1 = lı́msup{(−1)n}. Pues bien, vamos a demostrar enseguida que
la coincidencia del límite superior con el inferior caracteriza a las sucesiones convergentes:
Para una sucesión acotada {xn}, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) lı́minf{xn} = lı́msup{xn}
(ii) {xn} es convergente
Caso de que se cumplan (i) y (ii), se tiene: lı́m{xn} = lı́minf{xn} = lı́msup{xn}.
(i) ⇒ (ii). Puesto que αn 6 xn 6 βn para todo n ∈ N, de ser lı́m{αn} = lı́m{βn} deducimos
que {xn} es convergente. De hecho, hemos probado ya la última afirmación del enunciado.
(ii) ⇒ (i). Suponiendo que {xn} → x debemos ver que los límites superior e inferior de {xn}
coinciden con x, es decir, que {αn} → x y {β} → x.
Dado ε 0, encontramos m ∈ N tal que x−ε/2 xk x+ε/2 para k m. Fijado n m,
las anteriores desigualdades son válidas para cualquier k n, luego x−(ε/2) es un minorante
del conjunto {xk : k n} y x+(ε/2) es un mayorante del mismo conjunto. Por definición de
supremo e ínfimo, tenemos
x−(ε/2) 6 αn 6 βn 6 x+(ε/2)
Vemos así que, para n m, se tiene |αn −x| 6 ε/2 ε y también |βn −x| ε.
Así pues, los límites superior e inferior de una sucesión acotada nos proporcionan un criterio
útil para decidir si la sucesión es convergente o no. Pero volviendo al caso general, veamos la
relación entre los límites superior e inferior de una sucesión acotada y los de cualquier sucesión
parcial suya.
Sea pues {xσ(n)} una sucesión parcial de una sucesión acotada {xn}. Fijado n ∈ N, para
k n tenemos claramente que σ(k) k n, de donde deducimos que
ı́nf{xh : h n} 6 ı́nf{xσ(k) : k n} 6 sup{xσ(k) : k n} 6 sup{xh : h n}
Cada uno de los miembros de la desigualdad anterior es el n-ésimo término de una sucesión
convergente, pero la desigualdad es válida para todo n ∈ N, de donde obtenemos que
lı́minf{xn} 6 lı́minf{xσ(n)} 6 lı́msup{xσ(n)} 6 lı́msup{xn}
Tenemos así la relación que buscábamos entre los límites superiores e inferiores de {xσ(n)} y
{xn}. Destacamos la siguiente consecuencia:
Si {xσ(n)} es una sucesión parcial convergente de una sucesión acotada {xn}, entonces:
lı́minf{xn} 6 lı́m{xσ(n)} 6 lı́msup{xn}

Vamos a demostrar ahora que, si elegimos convenientemente la sucesión parcial {xσ(n)},
podemos hacer que cualquiera de las desigualdades anteriores sea una igualdad. De hecho, ello
nos da una nueva demostración del principal teorema estudiado en este tema.
Teorema de Bolzano-Weierstrass (revisitado). Si {xn} es una sucesión acotada de números
reales, entonces {xn} admite dos sucesiones parciales {xσ(n)} y {xτ(n)}, tales que
{xσ(n)} → lı́minf{xn} y {xτ(n)} → lı́msup{xn}
Demostración. Sea λ = lı́minf{xn} = lı́m{αn}, con αn = ı́nf{xk : k n} para todo n ∈ N,
y vamos a ver cómo se consigue una sucesión parcial {xσ(n)} que converja a λ. La sucesión
{xτ(n)} se construye de manera similar. Definiremos por inducción la aplicación estrictamente
creciente σ : N → N que necesitamos, empezando con σ(1) = 1 y suponiendo conocido σ(n)
para definir σ(n+1). Para simplificar la notación, escribimos p = σ(n)+1 y la definición de
αp nos dice que existe k p, tal que xk αp +(1/p). Definimos entonces
σ(n+1) = mı́n{k ∈ N : k p, xk αp +(1/p)}
Es evidente que σ es estrictamente creciente, luego {xσ(n)} es una sucesión parcial de {xn}.
Además, para cualquier n ∈ N, la definición de σ(n+1) nos dice también que
ασ(n)+1 6 xσ(n+1) 6 ασ(n)+1 + 1/(σ(n)+1)

(3)
Puesto que {ασ(n)+1} es una sucesión parcial de {αn}, tenemos que {ασ(n)+1} → λ. Por otra
parte, {1/(σ(n) + 1)} → 0, pues se trata de una sucesión parcial de {1/n}, luego también
{ασ(n)+1 + 1/(σ(n)+1)} → λ. De la desigualdad (3), válida para todo n ∈ N, deducimos que
{xσ(n+1)} → λ o, lo que es lo mismo, {xσ(n)} → λ, como queríamos.
Esta segunda versión del Teorema de Bolzano-Weierstrass nos da una información que no
aparecía explícitamente en la primera: si una sucesión acotada no es convergente, admite dos
sucesiones parciales que convergen a límites diferentes.
Concluimos este tema con un ejemplo que puede resultar sorprendente: los límites de las
sucesiones parciales convergentes de una misma sucesión, pueden ser una auténtica multitud.
Consideremos el conjunto A = Q ∩ [0,1], que es infinito y numerable, luego existe una
aplicación biyectiva ϕ : N → A. Tomando rn = ϕ(n) para todo n ∈ N, tenemos una sucesión
{rn} de números racionales tal que {rn : n ∈ N} = A. Pues bien, vamos a ver que, para cada
x ∈ [0,1], la sucesión {rn} admite una sucesión parcial {rσ(n)} que converge a x.
En efecto, empezamos viendo que, para cada δ 0, el conjunto Aδ = {r ∈ A : |r −x| δ}
es infinito y, puesto que ϕ es biyectiva, el conjunto ϕ−1(Aδ) = {n ∈ N : |rn −x| δ} también
será infinito. La construcción de σ se adivina ya fácilmente:
Tomando δ = 1, elegimos σ(1) de forma que |rσ(1) − x| 1; suponiendo definido σ(n)
de forma que |rσ(n) − x| 1/n, podemos usar δ = 1/(n + 1) para encontrar σ(n + 1) σ(n)
de forma que |rσ(n+1) − x| 1/(n + 1). Por inducción, tenemos una aplicación estrictamente
creciente σ : N → N, verificando que |rσ(n) −x| 1/n para todo n ∈ N. Por tanto, {rσ(n)} es
una sucesión parcial de {rn} que claramente verifica {rσ(n)} → x.

6.5. Ejercicios
1. Dar un ejemplo de una sucesión de números reales positivos, convergente a cero, que no
sea decreciente.
2. Sea A un conjunto de números reales, no vacío y mayorado. Demostrar que existe una
sucesión creciente de elementos de A que converge a sup A.
3. Demostrar que toda sucesión monótona, que admita una sucesión parcial convergente, es
convergente.
4. Sea {xn} una sucesión verificando que x1 0 y que xn+1(1+xn) = xn para todo n ∈ N.
Probar que {xn} es convergente y calcular su límite.
5. Sea {xn} una sucesión y supongamos que existe una sucesión {yn} de números reales
positivos tal que {yn} → 0 y |xn+k − xn| 6 yn para cualesquiera n,k ∈ N. Probar que
{xn} es convergente.
6. Sean {xn} e {yn} sucesiones acotadas verificando que xn 6 yn para todo n ∈ N. Probar
que lı́minf{xn} 6 lı́minf{yn} y que lı́msup{xn} 6 lı́msup{yn}.
7. Probar que, si {xn} e {yn} son sucesiones acotadas, se tiene
lı́minf{xn +yn} lı́minf{xn} + lı́minf{yn}
lı́msup{xn +yn} 6 lı́msup{xn} + lı́msup{yn}
Mostrar con un ejemplo que ambas desigualdades pueden ser estrictas.
8. Probar que, si {xn} e {yn} son sucesiones acotadas, se tiene también
lı́minf{xn +yn} 6 lı́minf{xn} + lı́msup{yn}
lı́msup{xn +yn} lı́msup{xn} + lı́minf{yn}
Deducir que, si la sucesión {yn} es convergente, se tiene
lı́minf{xn +yn} = lı́minf{xn} + lı́m{yn}
lı́msup{xn +yn} = lı́msup{xn} + lı́m{yn}

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