Apend a

A
Sucesiones y series de funciones
Convergencia puntual y convergencia uniforme. Condición de Cauchy y criterio
de Weierstrass. Teoremas sobre continuidad, derivabilidad e integrabilidad del
l´ımite de una sucesión de funciones. Versiones para series
En este cap´ıtulo, que se desarrolla en el ámbito de las funciones reales de una
variable real, se estudia cuando el l´ımite de una sucesión de funciones continuas, in-
tegrables o derivables hereda la correspondiente propiedad. Ejemplos sencillos mues-
tran que la convergencia puntual es insuficiente para este propósito, y este inconve-
niente motiva la introducción de la convergencia uniforme, con la que se consigue la
conservación de la continuidad, de la integrabilidad, as´ı como el paso al l´ımite bajo
la integral (teoremas A.6 y A.7). El tercer resultado central de este cap´ıtulo (teore-
ma A.11) se refiere a la derivabilidad del l´ımite de una sucesión de funciones, y a la
validez de la derivabilidad término a término (la derivada del l´ımite es el l´ımite de
las derivadas). Para este resultado la hipótesis adecuada es la convergencia uniforme
de la sucesión de derivadas junto con la convergencia de la sucesión en algún punto.
Estos resultados tienen sus correspondientes versiones para series de funciones
y para establecer la convergencia uniforme de estas series son muy útiles el criterio
de Weierstrass, y los criterios de Abel y Dirichlet. La trascendencia del criterio de
Weierstrass se pone de manifiesto al utilizarlo para definir funciones patológicas,
como el célebre ejemplo de Weierstrass de una función continua que no es derivable
en ningún punto.
En relación con el problema del paso al l´ımite bajo la integral se mencionan
en este cap´ıtulo, sin demostración, otros resultados más generales que garantizan el
paso al l´ımite bajo una integral impropia en términos de la existencia de una función
dominadora (un anticipo modesto de los potentes resultados que proporciona la
integral de Lebesgue). Aunque no se demuestren estos resultados se ven algunos
ejemplos de aplicación y se proponen algunos ejercicios sobre este asunto.
374

Lecciones de Análisis Matemático II G. Vera
A.1. Convergencia puntual y uniforme
Una sucesión de funciones fn : T → R definidas en un conjunto T ⊂ R se dice
que converge puntualmente cuando para cada t ∈ T la sucesión de números reales
fn(t) es convergente. En este caso el l´ımite puntual de la sucesión fn es la función
f : T → R definida por f(t) = l´ımn fn(t).
Ejemplo A.1 La sucesión fn : [0, 1] → R, fn(t) = tn
, converge puntualmente
hacia la función discontinua f : [0, 1] → R, que vale 0 si 0 ≤ t < 1, y f(1) = 1.
(Véase Figura 1 ).
Si f es el l´ımite puntual de fn, dados t ∈ T, y ǫ > 0 existe n(ǫ, t) ∈ N tal que
n ≥ n(ǫ, t) ⇒ |fn(t) − f(t)| ≤ ǫ. Es decir, la ǫ-aproximación al l´ımite se consigue a
partir de un valor de n que depende de t. Al considerar otro punto t′
∈ T, puede
ocurrir que con este valor de n no se logre la aproximación |fn(t′
) − f(t′
)| ≤ ǫ, y
sea necesario avanzar más en la sucesión hasta conseguirla. En el ejemplo A.1 se
aprecia gráficamente que al tomar puntos t cada vez más próximos a 1 la sucesión
fn(t) va tardando más tiempo en entrar en el entorno (−ǫ, ǫ) de su l´ımite f(t) = 0.
Con este ejemplo se pone de manifiesto que la convergencia puntual no garantiza la
continuidad del l´ımite de una sucesión de funciones continuas.
El ejemplo que sigue muestra que la convergencia puntual tampoco garantiza la
integrabilidad del l´ımite de una sucesión de funciones integrables.
Ejemplo A.2 Sea {rn : n ∈ N} una enumeración de Q ∩ [0, 1], y fn : R → R
definida por fn(x) = 1 si x ∈ {rk : 1 ≤ k ≤ n}, fn(x) = 0 si x ∈ {rk : 1 ≤ k ≤ n}.
Cada fn es integrable Riemann en [0, 1] con
1
0
fn(t)dt = 0, pero la sucesión fn
converge puntualmente hacia la función no integrable
f(x) = 1 si x ∈ Q, f(x) = 0 si x ∈ Q
Con el siguiente ejemplo (véase ([5] prob.12, pág. 222) queda patente que el paso al
l´ımite bajo la integral tampoco es l´ıcito cuando la función l´ımite es integrable y la
convergencia es puntual.
Ejemplo A.3 Si p ≥ 1, en el intervalo [0, 1] la sucesión fn(x) = np
x(1 − x2
)n
converge puntualmente hacia la función idénticamente nula f ≡ 0. Sin embargo no
converge hacia 0 =
1
0
f(x)dx la sucesión de las integrales, ya que
1
0
np
x(1 − x2
)n
dx = −
np
2
(1 − x2
)n+1
n + 1
1
0
=
np
2(n + 1)
(Véase Figura 2 .)
En los teoremas A.6 y A.7 veremos que con la noción de convergencia uniforme, for-
mulada en la siguiente definición, se evitan las patolog´ıas de los ejemplos anteriores
375

Definición A.4 Se dice que la sucesión fn : T → R converge uniformemente hacia
f : T → R si para cada ǫ > 0 existe n(ǫ) ∈ N (que depende sólo de ǫ) tal que para
todo n ≥ n(ǫ) y todo t ∈ T se cumple |fn(t) − f(t)| ≤ ǫ.
Es inmediato que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual y el
ejemplo A.1 pone de manifiesto que el rec´ıproco es falso. La convergencia uniforme
es más fuerte que la convergencia puntual porque en ella el valor de n a partir del
cual se consigue la aproximación prefijada |fn(t) − f(t)| ≤ ǫ, es independiente del
punto t ∈ T, es decir, se exige aproximación uniforme al l´ımite en todos los puntos.
Si K ⊂ T y la sucesión fn|K converge puntualmente (resp. uniformemente) se di-
ce, más brevemente, que la sucesión fn converge puntualmente (resp. uniformemente)
sobre K. Con el fin de formular la condición de convergencia uniforme de modo más
conciso conviene introducir la siguiente notación: Si K ⊂ T, dadas f, g : T → R,
definimos ρK(f, g) = sup{|f(t) − g(t)| : t ∈ K} ≤ +∞. Ahora, el hecho de que la
sucesión fn : T → R sea uniformemente convergente hacia f : T → R se escribe en
la forma l´ımn ρT (fn, f) = 0. Análogamente, la convergencia uniforme sobre K ⊂ T
se expresa mediante la condición l´ımn ρK(fn, f) = 0.
A veces ocurre que una sucesión de funciones fn : T → R, no converge unifor-
memente sobre todo T, pero la convergencia es uniforme sobre cada conjunto A de
cierta familia A de subconjuntos de T. En ese caso se dice que la sucesión converge
uniformemente sobre los conjuntos de A. Como caso particular, cuando A es la fa-
milia de los subconjuntos compactos de T, se habla de convergencia uniforme sobre
compactos.
Proposición A.5 [Condición de Cauchy] Una sucesión de funciones fn : T → R
converge uniformemente sobre K ⊂ T si y sólo si cumple:
Para cada ǫ > 0 existe n(ǫ) ∈ N tal que [k > n ≥ n(ǫ), t ∈ K] ⇒ |fn(t)−fk(t)| ≤ ǫ.
Dem: La demostración de que la condición es necesaria es inmediata y se deja al
cuidado del lector. La condición es suficiente: La sucesión es puntualmente conver-
gente porque, para cada t ∈ K, la sucesión fn(t) cumple la condición de Cauchy.
Sea f : K → R el l´ımite puntual de la sucesión. Veamos que la convergencia es uni-
forme. Dado ǫ > 0, si k > n ≥ n(ǫ), para todo t ∈ K se cumple |fn(t) − fk(t)| ≤ ǫ.
Fijando t ∈ K y pasando al l´ımite cuando k → + ∞ la desigualdad se convierte en
|fn(t) − f(t)| ≤ ǫ, que resulta válida para todo t ∈ K y todo n ≥ n(ǫ).
Observación: La condición de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K ⊂ T
se puede expresar de modo conciso asociando a la sucesión de funciones fn : T → R
la sucesión numérica αn = supk≥n supt∈K |fn(t) − fk(t)| ≤ +∞. As´ı la condición de
Cauchy para la convergencia uniforme sobre K equivale a que l´ımn αn = 0. Basta
observar que la implicación [k > n ≥ n(ǫ), t ∈ K] ⇒ |fn(t)−fk(t)| ≤ ǫ se traduce
en la forma siguiente: n ≥ n(ǫ) ⇒ 0 ≤ αn ≤ ǫ.
376

A.2. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad
del l´ımite
Teorema A.6 Si la sucesión fn : T → R converge uniformemente hacia f : T → R
y cada fn es continua en a ∈ T entonces el l´ımite f también lo es. En particular, si
las funciones fn son continuas en todo punto, el l´ımite uniforme f también lo es.
Dem: Dado ǫ > 0, en virtud de la convergencia uniforme, existe m ∈ N tal que
para todo t ∈ T se cumple |fm(t) − f(t)| ≤ ǫ/3. Por la continuidad de fm en a,
existe r > 0 tal que si |t − a| < r y t ∈ T se cumple |fm(t) − fm(a)| ≤ ǫ/3, luego
|f(t) − f(a)| ≤ |f(t) − fm(t)| + |fm(t) − fm(a)| + |fm(a) − f(a)| ≤ ǫ.
Obsérvese que, en las condiciones del teorema anterior, para conseguir la continui-
dad del l´ımite f en un punto concreto a ∈ T basta suponer que las funciones de
la sucesión son continuas en a y que la convergencia de la sucesión es uniforme en
Va ∩T donde Va es un entorno de a. Por lo tanto la continuidad global del l´ımite f se
conseguirá cuando las funciones de la sucesión sean continuas en todo punto y cada
a ∈ T tenga un entorno abierto Va tal que la sucesión sea uniformemente convergente
sobre T ∩ Va. Cuando ocurra esto diremos que hay convergencia uniforme local. Es
claro que la convergencia uniforme sobre todo T implica la convergencia uniforme
local pero la afirmación rec´ıproca es falsa: La sucesión considerada en el ejemplo A.1
no converge uniformemente sobre T = (0, 1), pero para cada a ∈ (0, 1), la sucesión
converge uniformemente en (a − r, a + r) ⊂ (0, 1), donde 0 < a − r < a + r < 1.
Es fácil ver que la convergencia uniforme local implica la convergencia uniforme so-
bre compactos y que el rec´ıproco es cierto cuando T ⊂ R es un intervalo.
Teorema A.7 Sea fn : [a, b] → R una sucesión de funciones integrables Riemann
que converge uniformemente hacia f : [a, b] → R. Entonces f es integrable Riemann
en [a, b] y
b
a
f(t)dt = l´ımn
b
a
fn(t)dt.
Dem: Sabemos que la sucesión ρn = sup{|fn(t) − f(t)| : t ∈ [a, b]} ≤ +∞, converge
hacia 0, luego existe n0 tal que ρn < +∞, para todo n ≥ n0. Para n > n0 y
todo t ∈ [a, b] se cumple fn(t) − ρn ≤ f(t) ≤ fn(t) + ρn, luego f es acotada en [a, b].
Además, para todo n ∈ N, en virtud de la monoton´ıa de la integral inferior y de la
integral superior se cumple
b
a
(fn(t) − ρn)dt ≤
b
a
f ≤
b
a
f ≤
b
a
(fn(t) + ρn)dt
luego
0 ≤
b
a
f −
b
a
f ≤ 2ρn(b − a)
y pasando al l´ımite se obtiene
b
a
f =
b
a
f, es decir, f es integrable sobre [a, b].
377

Por otra parte, usando la desigualdad |f(t) − fn(t)| ≤ ρn, válida para todo
t ∈ [a, b], y todo n ∈ N, resulta
b
a
fn(t)dt −
b
a
f(t)dt ≤
b
a
|f(t) − fn(t)|dt ≤ ρn(b − a)
luego, l´ımn
b
a
fn(t)dt =
b
a
f(t)dt.
La sucesión del ejemplo A.2 pone de manifiesto que en el teorema anterior la
hipótesis de convergencia uniforme es esencial para conseguir la integrabilidad de la
función l´ımite. Por otra parte, el ejemplo A.3 muestra que el paso al l´ımite bajo la
integral tampoco es l´ıcito cuando el l´ımite es integrable y sólo se supone convergencia
puntual. Cuando la función l´ımite es integrable Riemann los siguientes resultados
(teoremas A.8 y A.9) garantizan el paso al l´ımite bajo la integral con hipótesis más
débiles que la convergencia uniforme.
Teorema A.8 Sea fn : [a, b] → R una sucesión de funciones integrables Riemann
que converge puntualmente hacia una función integrable Riemann f : [a, b] → R. Si
la sucesión fn es uniformemente acotada, (existe C > 0 tal que |fn(t)| ≤ C para
todo t ∈ [a, b], y todo n ∈ N) entonces,
b
a
f = l´ımn
b
a
fn.
Recordemos que f : (α, β) → R se dice que es localmente integrable (Riemann)
cuando es integrable Riemann sobre cada [a, b] ⊂ (α, β). En lo que sigue diremos
que la sucesión fn : (α, β) → R está dominada por la función g : (α, β) → [0, +∞)
cuando para todo t ∈ (α, β) y todo n ∈ N se cumple |fn(t)| ≤ g(t).
Teorema A.9 Sea fn : (α, β) → R una sucesión de funciones localmente integra-
bles que converge puntualmente hacia una función f : (α, β) → R localmente inte-
grable. Se supone que
i) Las integrales impropias
β
α
fn(t)dt son absolutamente convergentes.
ii) La sucesión fn está dominada por una función localmente integrable Riemann
g : (α, β) → [0, +∞) con
β
α
g(t)dt < +∞.
Entonces la integral impropia
β
α
f(t)dt es absolutamente convergente y se verifica
β
α
f(t)dt = l´ımn
β
α
fn(t)dt.
La demostración directa de los teoremas A.8, A.9, con los recursos propios de la
integral de Riemann es técnicamente complicada y no la expondremos aqu´ı. Estos
dos teoremas son versiones particulares de resultados generales sobre la integral de
Lebesgue que el lector interesado puede consultar en el cap´ıtulo 10 de [2]. Espera-
mos que estos resultados sirvan de motivación para que el lector se interese por la
integral de Lebesgue, más potente y flexible que la de Riemann.
Con los teoremas A.6 y A.7 ha quedado establecido que la continuidad y la
integrabilidad Riemann se conservan por convergencia uniforme. No ocurre lo mismo
con la derivabilidad, como se verá más adelante en el ejemplo A.17. Incluso cuando el
l´ımite es derivable, no se puede garantizar que la derivada del l´ımite de una sucesión
uniformemente convergente sea el l´ımite de las derivadas:
378

Ejemplo A.10 La sucesión fn(x) = x/(1 + n2
x2
) converge uniformemente hacia
la función idénticamente nula, f(x) ≡ 0, pero en el punto x = 0, las derivadas
f′
n(0) = 1 no convergen hacia f′
(0) = 0.
En efecto, es claro que la sucesión de este ejemplo converge puntualmente hacia la
función nula f(x) ≡ 0, y es fácil ver que la función |fn(x) − f(x)| = |fn(x)| alcanza
un máximo absoluto en x = 1/n, luego sup{|fn(x)−f(x)| : x ∈ R} = |fn(1/n)| = 1
2n
,
de donde se sigue que la sucesión fn es uniformemente convergente. Sin embargo la
sucesión f′
n(0) = 1 no converge hacia f′
(0) = 0.
Según los ejemplos A.17 y A.10 para conseguir un resultado sobre derivación término
a término de una sucesión de funciones, la convergencia uniforme de la sucesión no
es la hipótesis adecuada. Según el siguiente teorema las hipótesis adecuadas son la
convergencia de la sucesión en algún punto y la convergencia uniforme de la sucesión
de derivadas
Teorema A.11 Sea fn : (a, b) → R una sucesión de funciones derivables en un
intervalo acotado (a, b) ⊂ R, que converge en algún x0 ∈ (a, b). Si la sucesión de
derivadas f′
n converge uniformemente en (a, b) entonces la sucesión fn converge
uniformemente en (a, b) hacia una función derivable f : (a, b) → R, y para todo
x ∈ (a, b) se cumple l´ımn f′
n(x) = f′
(x).
Dem: Consideremos la sucesión de funciones continuas gn : (a, b) → R,
gn(x) =
fn(x) − fn(x0)
x − x0
si x = x0, gn(x0) = f′
n(x0)
(la continuidad de gn en x0 es consecuencia de la definición de derivada, y la conti-
nuidad en los restantes puntos es inmediata).
a) La sucesión gn converge uniformemente en (a, b), pues cumple la condición de
Cauchy para la convergencia uniforme A.5:
Si p > q, y x0 = x ∈ (a, b), aplicando el teorema del valor medio a la función
derivable fp − fq en el intervalo de extremos x, x0 podemos escribir
gp(x) − gq(x) =
(fp(x) − fq(x)) − (fp(x0) − fq(x0)
x − x0
= f′
p(ξ) − f′
q(ξ)
donde ξ es un punto del intervalo de extremos x, x0. Por otra parte, cuando x = x0,
se tiene gp(x0) − gq(x0) = f′
p(x0) − f′
q(x0), luego, para todo x ∈ (a, b) se cumple
|gp(x) − gq(x)| ≤ sup{|f′
p(t) − f′
q(t)| : t ∈ (a, b)}
Como la sucesión f′
n verifica la condición de Cauchy para la convergencia uniforme
en (a, b), esta desigualdad implica que la sucesión gn también la cumple.
b) Sea y0 = l´ımn fn(x0) y g : (a, b) → R la función continua que se obtiene como
l´ımite uniforme de la sucesión de funciones continuas gn. Utilizando que la función
(x−x0) es acotada en el intervalo acotado (a, b) se obtiene fácilmente que la sucesión
fn(x) = fn(x0) + (x − x0)gn(x) converge uniformemente en (a, b) hacia la función
379

f(x) = y0 + (x − x0)g(x). Como f(x0) = y0, y g es continua en x0 se sigue que
existe el l´ımite
l´ım
x → x0
f(x) − f(x0)
x − x0
= l´ım
x → x0
g(x) = g(x0)
luego f es derivable en x0 y f′
(x0) = g(x0) = l´ımn gn(x0) = l´ımn f′
n(x0).
Queda demostrado que f es derivable en x0, y que f′
(x0) = l´ımn f′
n(x0). Como
ya hemos visto que fn(t) converge en cada t ∈ (a, b), reemplazando x0 por t en
toda la demostración anterior, se obtiene que también existe la derivada f′
(t), y que
f′
(t) = l´ımn f′
n(t).
nota: Añadiendo la hipótesis de que las derivadas f′
n son continuas, siguiendo el
siguiente esquema se puede dar una demostración más breve: Sea y0 = l´ımn fn(x0).
Según el teorema A.6, la función ϕ(t) = l´ımn f′
n(t) es continua en (a, b), luego
f(x) = y0 +
x
x0
ϕ(t)dt es una función derivable en (a, b), con derivada f′
(x) = ϕ(x).
Por otra parte, usando la representación integral fn(x) = fn(x0) +
x
x0
f′
n(t)dt se
demuestra fácilmente que la sucesión fn converge uniformemente hacia la función f.
Entonces, en virtud del teorema fundamental del cálculo, se concluye que en cada
x ∈ (a, b), f es derivable y f′
(x) = ϕ(x) = l´ımn f′
n(x).
La demostración del último teorema muestra que para una sucesión fn de funciones
derivables en un intervalo (a, b), la convergencia uniforme de la sucesión de derivadas
f′
n se transmite a la sucesión fn, bajo la hipótesis de que esta sucesión sea convergen-
te en algún punto. Por otra parte, ejemplos sencillos muestran que la convergencia
uniforme de una sucesión de funciones derivables no garantiza la convergencia uni-
forme de la sucesión de derivadas (véase el ejercicio resuelto A.21). El siguiente
ejemplo es más sorprendente: Una sucesión de funciones derivables uniformemente
convergente tal que la sucesión de derivadas no converge en ningún punto.
Ejemplo A.12 La sucesión fn(x) = [sen(2πnx)]/
√
n converge uniformemente en
R hacia la función nula, pero la sucesión de las derivadas f′
n(x) = 2π
√
n cos(2πnx)
no converge en ningún punto.
Dem: La sucesión de las derivadas f′
n(x) = 2π
√
n cos(2πnx) no es convergente
cuando x es racional, pues si x = p/q, donde p, q ∈ Z, q > 0, con nk = kq se obtiene
la subsucesión f′
nk
(x) = 2π
√
nk cos(2πkp) = 2π
√
nk que no es convergente.
Consideremos ahora el caso x ∈ Q. Dado ǫ ∈ (0, 1), usando la continuidad uniforme
de la función cos t podemos encontrar δ > 0 que cumple
|s − t| < δ ⇒ | cos s − cos t| < ǫ
Utilizamos ahora la siguiente propiedad de los números irracionales cuya demostra-
ción se verá después: Si x ∈ Q el conjunto Aβ(x) = {n ∈ N : ∃m ∈ Z |nx−m| < β}
es infinito para cada β > 0. Usando esta propiedad con β = δ/2π, obtenemos la
subsucesión fnk
(x), donde {n1 < n2 < n3 < · · · } = Aβ(x). Según la definición
de Aβ(x) para cada k ∈ N existe mk ∈ Z verificando |nkx − mk| < β, es decir,
|2πnkx − 2πmk| < 2πβ = δ, luego | cos(2πnkx) − 1| < ǫ, de donde se sigue que
cos(2πnkx) > 1 − ǫ > 0. Por lo tanto la sucesión f′
n(x) no es convergente porque
tiene una subsucesión f′
nk
(x) = 2π
√
nk cos(2πnkx) > 2π(1 −ǫ)
√
nk que no converge.
380

Para terminar demostramos la propiedad de los irracionales que hemos usado.
Sea x ∈ Q y β > 0. Es claro que para cada cada k ∈ N existe qk ∈ Z tal que
αk = qk + kx ∈ [0, 1). Si m ∈ N y 1/m < β, descomponiendo el intervalo [0, 1] en
m subintervalos contiguos de longitud 1/m, es claro que alguno de los subintervalos
contiene dos puntos distintos αi, αj con 1 ≤ i < j ≤ m+1, luego |αi−αj| ≤ 1/m < β,
es decir |qi − qj + (i − j)x| < β, y esto demuestra que (i − j) ∈ Aβ(x). As´ı queda
justificado que Aβ(x) = ∅ para cada β > 0. Para ver que Aβ(x) es infinito no es
restrictivo suponer la condición 0 < β < 1/2 y as´ı tenemos garantizado que para
cada nk ∈ Aβ(x) existe un único mk ∈ Z verificando |nkx−mk| < β. Razonamos por
reducción al absurdo suponiendo que el conjunto Aβ(x) = {n1 < n2 < · · · < np} es
finito. Como x ∈ Q podemos elegir un número 0 < η < m´ın{|nkx−mk| : 1 ≤ k ≤ p}
para el que se cumple que Aη(x) = ∅. Obsérvese que, en virtud de la unicidad de los
mk antes mencionada, la elección de η garantiza que Aβ(x) y Aη(x) son disjuntos.
Por otra parte, al ser η < β se debe cumplir que ∅ = Aη(x) ⊂ Aβ(x) y con esta
contradicción termina la demostración.
A.3. Series de funciones
Hasta ahora sólo hemos considerado sucesiones de funciones reales definidas en
un subconjunto T de la recta real. Es claro que las nociones de convergencia puntual
y uniforme se extienden de forma natural al caso de funciones con valores complejos
fn : T → C definidas en un conjunto arbitrario T. En esta situación más general
es obvio que sigue valiendo la condición de Cauchy para la convergencia uniforme.
También sigue valiendo el teorema de conservación de la continuidad A.6, siempre
que tenga sentido hablar de continuidad, como ocurre cuando T es un subconjunto
de C (o más generalmente, un espacio métrico). En lo que sigue, con el fin de poder
considerar más adelante las series de potencias de variable compleja, consideraremos
siempre series ∞
n=1 fn(t) de funciones fn : T → C, definidas en un conjunto T, que
habitualmente será un subconjunto de R ó C.
En esta situación la definición de convergencia uniforme tiene su correspondien-
te versión para series ∞
n=1 fn(t), formulada en términos de la sucesión de sumas
parciales Sn = n
j=1 fj. Se dice que una serie converge uniformemente sobre K ⊂ T
cuando la sucesión de sus sumas parciales converge uniformemente sobre K. El si-
guiente resultado es muy útil a la hora de establecer la convergencia uniforme de
una serie:
Teorema A.13 [Criterio de Weierstrass] Una condición suficiente para que la serie
∞
n=1 fn(t) de funciones fn : T → C sea uniformemente convergente sobre K ⊂ T
es que exista una serie numérica convergente ∞
n=1 ρn verificando: |fn(t)| ≤ ρn para
todo t ∈ K y todo n ∈ N.
Dem: Basta demostrar que la sucesión de sumas parciales Sn(t) = n
j=1 fj(t) cumple
la condición de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K, es decir, que la
sucesión numérica αn := supk>n supt∈K |Sn(t) − Sk(t)| converge hacia 0. Obsérvese
381

que para todo k > n y todo t ∈ K se cumple
|Sn(t) − Sk(t)| = |
k
j=n+1
fj(t)| ≤
k
j=n+1
|fj(t)| ≤
k
j=n+1
ρj
luego 0 ≤ αn ≤ ∞
j=n+1 ρj, de donde se sigue que l´ımn αn = 0.
Cuando se aplica el criterio de Weierstras, además de la convergencia uniforme se
obtiene la convergencia absoluta de la serie, de modo que este criterio no sirve pa-
ra obtener convergencia uniforme de series que no son absolutamente convergentes.
Para establecer la convergencia uniforme de series de funciones que no son absoluta-
mente convergentes son muy útiles los criterios de Dirichlet y Abel, recogidos en los
siguientes teoremas cuya demostración se basa en la siguiente fórmula de sumación
parcial, cuya comprobación se deja al cuidado del lector:
Dadas dos sucesiones finitas de números reales (o complejos) {aj : 1 ≤ j ≤ n},
{bj : 1 ≤ j ≤ n}, para n ≥ 2 se verifica
Sn = anBn +
n−1
j=1
Bj(aj − aj+1), donde Sn =
n
k=1
akbk, Bj =
j
k=1
bk
Teorema A.14 [Dirichlet] Una serie de la forma +∞
n=1 an(t)bn(t), con an : T → R,
bn : T → C, converge uniformemente sobre K ⊂ T cuando se cumple a) y b):
a) La sucesión Bn(t) = n
j=1 bj(t) está uniformemente acotada sobre K ⊂ T.
b) La sucesión an(t) es monótona decreciente para cada t ∈ K y converge uniforme-
mente hacia 0 sobre K.
Dem: Por hipótesis existe M > 0 tal que |Bn(t)| ≤ M para todo n ∈ N y todo t ∈ K
y la sucesión ρn = supt∈K |an(t)| converge hacia 0. Según la fórmula de sumación
parcial las sumas Sn(t) = n
k=1 ak(t)bk(t) se pueden escribir en la forma
Sn(t) = an(t)Bn(t) +
n−1
j=1
Bj(t)(aj(t) − aj+1(t))
Para cada t ∈ K la sucesión an(t)Bn(t) converge hacia 0 (porque es el produc-
to de una sucesión acotada por una sucesión que converge hacia 0) y la serie
∞
j=1 Bj(t)(aj(t) − aj+1(t)) es absolutamente convergente porque
∞
j=1
|Bj(t)|(aj(t) − aj+1(t))| ≤ M
∞
j=1
(aj(t) − aj+1(t)) = Ma1(t)
Se sigue que la sucesión de sumas parciales Sn(t) converge puntualmente en K hacia
la función S(t) = ∞
j=1 Bj(t)(aj(t) − aj+1(t)) que verifica |S(t)| ≤ Ma1(t).
Para terminar debemos demostrar que la sucesión Sm(t) converge hacia S(t)
uniformemente sobre K. La serie ∞
j=m+1 aj(t)bj(t) cumple las mismas hipótesis que
382

la serie original, la única diferencia es que ahora las sumas B∗
n(t) = n
j=m+1 bj(t)
están uniformemente acotadas sobre K por la constante 2M. Según el razonamiento
anterior esta serie converge puntualmente sobre K y para todo t ∈ K se verifica
∞
j=m+1
aj(t)bj(t) ≤ 2Mam+1(t) ≤ 2Mρm+1
luego
|S(t) − Sm(t)| =
∞
j=m+1
aj(t)bj(t) ≤ 2Mρm+1
y as´ı se obtiene que la sucesión Sm converge uniformemente sobre K.
Teorema A.15 [Abel] Una serie de la forma +∞
n=1 an(t)bn(t), con an : T → R,
bn : T → C, converge uniformemente sobre K ⊂ T cuando se cumple a) y b):
a) La serie m
n=1 bn(t) converge uniformemente sobre K ⊂ T.
b) La sucesión an(t) es monótona decreciente para cada t ∈ K y está uniformemente
acotada sobre K.
Dem: La idea de la demostración consiste en utilizar la fórmula de sumación parcial
para ver que la sucesión de sumas parciales Sn(t) = n
j=1 aj(t)bj(t) cumple la con-
dición de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K. As´ı, para m > n la suma
Sm(t) − Sn(t) = m
j=n+1 aj(t)bj(t) la podemos escribir en la forma
Sm(t) − Sn(t) = am(t)Bnm(t) +
m−1
j=n+1
Bnj(t)(aj(t) − aj+1(t))
donde Bnj(t) = j
k=n+1 bk(t). Según las hipótesis existe C > 0 tal que |aj(t)| ≤ C
para todo t ∈ K y todo j ∈ N y además la serie ∞
j=1 bj(t) converge uniformemente
sobre K, lo que significa (según la condición de Cauchy) que para cada ǫ > 0 existe
n(ǫ) ∈ N tal que [j > n ≥ n(ǫ), t ∈ K] ⇒ |Bnj(t)| ≤ ǫ. Entonces, usando la
desigualdad triangular, se obtiene
|Sm(t) − Sn(t)| ≤ ǫ|am(t)| +
m−1
j=n+1
ǫ(aj(t) − aj+1(t))
Teniendo en cuenta m−1
j=n+1(aj(t) − aj+1(t)) = an+1(t) − am(t) se obtiene que
|Sm(t) − Sn(t)| ≤ 3Cǫ
Como esta desigualdad es válida para m > n ≥ n(ǫ) y todo t ∈ K queda establecido
que la sucesión de sumas parciales Sn(t) cumple la condición de Cauchy para la
convergencia uniforme sobre K.
Los resultados sobre continuidad, integrabilidad y derivabilidad del l´ımite de una
sucesión de funciones A.6, A.7,A.11 tienen su correspondiente versión para series
383

∞
n=1 fn(t) de funciones reales fn : [a, b] → R. Las versiones para series se obtienen
de modo inmediato considerando la sucesión de las sumas parciales. A t´ıtulo de
ejemplo estableceremos el resultado referente a la integral de la suma de una serie
dejando al cuidado del lector los referentes a continuidad y derivabilidad de la suma.
Proposición A.16 Sea ∞
n=1 fn(t) una serie de funciones fn : [a, b] → R inte-
grables Riemann. Si la serie converge uniformemente entonces la suma f(t) =
∞
n=1 fn(t) es integrable en [a, b] y se cumple
b
a
f = ∞
n=1
b
a
fn.
Dem: La sucesión Sn = n
j=1 fj, converge uniformemente sobre [a, b] hacia f,
y en virtud de A.7 la sucesión
b
a
Sn = n
j=1(
b
a
fj) converge hacia
b
a
f luego
∞
n=1
b
a
fn =
b
a
f.
Funciones patológicas definidas por series. En 1875 Weierstrass descubrió el
siguiente ejemplo una serie uniformemente convergente de funciones indefinidamente
derivables cuya suma es continua pero no es derivable en ningún punto.
Ejemplo A.17 [Weierstrass] Si m ∈ N es impar y 2m > 2mb > 2 + 3π, entonces
la serie f(x) = ∞
k=0 bk
cos(mk
πx) converge uniformemente y define una función
continua acotada f : R → R que no es derivable en ningún punto.
(Véase Figura 3 )
La convergencia uniforme de la serie que interviene en el ejemplo anterior es
consecuencia directa del criterio de Weierstrass A.13 ya que, al ser 0 < b < 1, la serie
geométrica ∞
k=0 bk
es convergente, y es claro que para todo n ∈ N, y todo x ∈ R
se cumple |bk
cos(mk
πx)| ≤ bk
. Como la serie está formada por funciones continuas,
aplicando el teorema A.6 a la sucesión de sumas parciales Sn(x) = n
k=1 fk(x)
se obtiene la continuidad de f. El hecho sorprendente de que esta función no sea
derivable en ningún punto es más dif´ıcil de establecer, y remitimos a la página 258
del libro [14], donde el lector interesado puede encontrar una demostración.
En 1916 Hardy logró demostrar que lo que ocurre en el ejemplo A.17 se sigue
cumpliendo cuando sólo se supone que m > mb > 1. Hardy también proporcionó otro
ejemplo, similar al de Weierstrass, que resolv´ıa una conjetura de Riemann: La su-
ma de la serie uniformemente convergente ∞
k=1 n−2
sen(πn2
x) define una función
continua que no es derivable en ningún punto. Las sucesivas sumas parciales de esta
serie se pueden visualizar en H 1 )H 2) H 3 )H 4 ) H 5 )H 6 )
El siguiente es el clásico ejemplo de Peano de una trayectoria continua y plana
cuya imagen llena un cuadrado. Los detalles se pueden ver en [2] pág 225.
Ejemplo A.18 Sea ϕ : R → R la función continua periódica de periodo 2, cuya
restricción al intervalo [0, 2] viene dada por
ϕ(t) = 0 si t ∈ [0, 1/3] ∪ [5/3, 2] ϕ(t) = 3t − 1 si t ∈ [1/3, 2/3]
ϕ(t) = 1 si t ∈ [2/3, 4/3] ϕ(t) = 5 − 3t si t ∈ [4/3, 5/3]
384

Para cada t ∈ [0, 1] sea x(t) = ∞
n=1 2−n
ϕ(32n−2
t); y(t) = ∞
n=1 2−n
ϕ(32n−1
t).
Entonces f(t) = (x(t), y(t)) define una función continua f : [0, 1] → R2
cuya imagen
es el cuadrado [0, 1] × [0, 1].
En [5] págs. 238 y 240 se pueden ver los siguientes ejemplos:
Ejemplo A.19 Sea ϕ : R → R periódica de periodo 4 determinada por los valores
ϕ(x) = |x| para |x| ≤ 2. La serie f(x) = n≥0 4−n
ϕ(4n
x) define una función
continua f : R → R que no es derivable en ningún punto
Ejemplo A.20 Para cada x ∈ R sea fn(x) = nx−[nx] (donde [nx] es la parte entera
de nx). La serie f(x) = n≥0 fn(x)n−2
define una función f : R → R continua en
cada x irracional y discontinua en cada x racional.
A.4. Ejercicios resueltos
Ejercicio A.21 Compruebe que la sucesión de funciones fn(x) = e−n2x2
/n converge
uniformemente hacia 0, en R, pero la sucesión de sus derivadas f′
n(x) = −2nxe−n2x2
no converge uniformemente en ningún entorno de 0.
solución
([5] pág. 222) La primera afirmación es obvia, pues máx{fn(x) : x ∈ R} = fn(0) =
1/n. Por otra parte, es fácil ver que la sucesión de derivadas f′
n(x) converge hacia
0 en todo x ∈ R. Con un esquema de la gráfica de f′
n se observa que |f′
n| alcanza
un máximo absoluto en el punto xn = 1/(n
√
2), cuyo valor es |f′
n(xn)| =
√
2/e. Si
V ⊂ R es un entorno de 0, sea m ∈ N tal que n ≥ m ⇒ xn ∈ V . Entonces, para
todo n ≥ m se cumple sup{|f′
n(x)| : x ∈ V } = |f′
n(xn)| =
√
2/e, luego la sucesión f′
n
no converge uniformemente sobre V .
Ejercicio A.22 Estudie la convergencia uniforme, en [0, +∞) de la sucesión
fn(x) =
log(x + n)
nex
solución
Si x ≥ 0 la sucesión log(x+n)/n converge hacia 0, pues según la regla de l’Hôpital,
l´ım
t → +∞
log(x + t)
t
= l´ım
t → +∞
1
x + t
= 0
Se sigue que para cada x ≥ 0 existe l´ımn fn(x) = 0, luego la sucesión fn converge
puntualmente, en [0, +∞), hacia la función idénticamente nula f ≡ 0.
Para estudiar la convergencia uniforme sobre [0, +∞) consideramos la sucesión
numérica ρn = sup{fn(x) : x ≥ 0} y para calcularla comenzamos estudiando el
signo de la derivada
f′
n(x) =
1 − (n + x) log(x + n)
(n + x)nex
385

Con este fin consideramos la función auxiliar ϕ(t) = 1−t log t, que crece en (0, 1/e),
tiene un máximo absoluto para t = 1/e y decrece en (1/e, +∞). Como ϕ(1) = 1 > 0
y ϕ(e) = 1−e < 0 con el teorema de Bolzano se obtiene que ϕ se anula en un punto
α ∈ (1, e) y se sigue que ϕ(t) < 0 para todo t > α.
Cuando n ≥ 3, para todo x ≥ 0 se cumple n + x ≥ 3 > α, luego ϕ(n + x) < 0 y por
lo tanto f′
n(x) < 0. Es decir, para n ≥ 3, la función fn es decreciente en [0, +∞) y
por lo tanto ρn = fn(0) = (log n)/n. Como l´ımn ρn = 0, se concluye que fn converge
hacia 0 uniformemente sobre [0, +∞).
Ejercicio A.23 Demuestre que la sucesión fn(x) = (n/x) log(1 + x/n) converge
uniformemente sobre (0, b] para todo b > 0 pero no converge uniformemente sobre
(0, +∞).
solución
Como l´ım
t → 0
log(1 + t)
t
= 1 es claro que para cada x > 0 existe el l´ımite
l´ım
n
fn(x) = l´ım
n
log(1 + x/n)
x/n
= 1
luego la sucesión converge puntualmente en (0, +∞) hacia la función constante 1.
Para estudiar la convergencia uniforme en un intervalo I ⊂ (0, +∞) hemos de con-
siderar la sucesión numérica ρn(I) = supx∈I |fn(x) − 1|. Para calcular este supremo
conviene estudiar el comportamiento (crecimiento, decrecimiento) de fn en el in-
tervalo I. Este comportamiento lo proporciona el signo de la derivada f′
n(x) que
coincide con el de la expresión
x/n
1 + x/n
− log(1 + x/n)
Para estudiarlo consideramos la función auxiliar ϕ(t) = t/(1 + t) − log(1 + t). Como
ϕ es decreciente en [0, +∞) (porque ϕ′
(t) ≤ 0) y ϕ(0) = 0, se cumple que ϕ(t) ≤ 0
para todo t ≥ 0. Se sigue de esto que para todo n ∈ N y todo x ≥ 0 es f′
n(x) ≤ 0,
luego todas las funciones fn son decrecientes en (0, +∞). Como l´ımx → 0 fn(x) = 1,
se sigue que |fn(x)−1| = 1−fn(x). Como 1−fn(x) es creciente en (0, +∞) se sigue
que para I = (0, b] se cumple
ρn(I) = sup
x∈I
|fn(x) − 1| = sup
x∈I
(1 − fn(x)) = 1 − fn(b)
luego l´ımn ρn(I) = 0, y la sucesión (fn) converge uniformemente sobre I = (0, b].
Por otra parte, para J = (0, +∞) se cumple
ρn(J) = sup
x>0
|fn(x) − 1| = sup
x>0
(1 − fn(x)) = l´ım
x → +∞
(1 − fn(x) = 1
y por ello la sucesión (fn) no converge uniformemente sobre J = (0, +∞).
386

Ejercicio A.24 Se considera la sucesión fn : [0, 1] → R, definida por fn(x) =
np
x(1 − x2
)n
, Estudie los valores de p > 0 para los que la sucesión es uniforme-
mente convergente y los valores de p > 0 para los que se cumplen las hipótesis del
teorema A.9.
solución
([5] prob.12, pág. 222) Si 0 < x < 1 y r = 1 − x2
entonces 0 < r < 1, luego
log r < 0 y por lo tanto la sucesión np
rn
= np
en log r
tiene l´ımite 0 para todo p ∈ R.
Por lo tanto fn(x) converge hacia 0 para todo x ∈ (0, 1). Como las sucesiones fn(0)
y fn(1) también convergen hacia 0, queda establecido que la sucesión fn converge
puntualmente, en [0, 1], hacia la función constante 0.
En virtud del teorema A.7, y teniendo en cuenta el ejemplo A.3, podemos ase-
gurar que para p ≥ 1 la sucesión fn no converge uniformemente sobre [0, 1]. Veamos
directamente que la sucesión converge uniformemente si y sólo si p < 1/2. Con
un cálculo rutinario que se deja al cuidado del lector se obtiene que el máximo de
fn(x) ≥ 0 en [0, 1] se alcanza en xn = 1/
√
2n + 1, y vale
fn(xn) =
np
√
2n + 1
1 −
1
2n + 1
n
y es claro que esta sucesión converge hacia 0 si y sólo si p < 1/2.
Obsérvese que, para p ∈ [1/2, 1), la sucesión fn no es uniformemente convergente,
y sin embargo, según los cálculos del ejemplo A.3 se cumple que l´ımn
1
0
fn =
1
0
f.
Veamos si en este caso existe una función dominadora de la sucesión fn que justifique,
de acuerdo con el teorema A.9, el paso al l´ımite bajo la integral. Buscamos una
función localmente integrable g : (0, 1] → [0, +∞), con integral finita
1
0
g(x)dx <
+∞, que verifique
fn(x) = np
x(1 − x2
)n
≤ g(x), para todo x ∈ [0, 1] y todo n ∈ N.
Si p > 1/2 el máximo de fn en [0, 1] tiende hacia infinito y se alcanza en un punto
xn, cada vez más próximo 0. Por lo tanto, la función dominadora, si la hay, no
está acotada en los entornos de 0 por lo que es natural buscarla de la forma g(t) =
C/tα
, con α < 1, ya que as´ı se cumplirá la condición
1
0
g(x)dx < +∞. En definitiva,
basta encontrar α < 1, de modo que la sucesión
ϕn(x) = np
xα+1
(1 − x2
)n
esté uniformemente acotada por alguna constante C > 0. Calculando el máximo de
ϕn en [0, 1] se observa que con α ∈ [2p − 1, 1) y C = 1 se consigue una función
dominadora (recuérdese que en el caso que estamos considerando es 2p − 1 < 1).
Ejercicio A.25 Sea fn : [a, b] → R una sucesión de funciones continuas que con-
verge uniformemente hacia una función f tal que 0 ∈ f([a, b]). Demuestre que para
n suficientemente grande 0 ∈ fn([a, b]) y la sucesión 1/fn converge uniformemente
sobre [a, b].
387

solución
Las funciones fn son continuas y la convergencia es uniforme, luego la función l´ımite
f también es continua. Como [a, b] es cerrado y acotado existe z ∈ [a, b] donde la
función continua |f| alcanza el m´ınimo absoluto m´ın{|f(x)| : x ∈ [a, b]} = |f(z)|.
Por la hipótesis µ = |f(z)| > 0 y en virtud de la convergencia uniforme, existe n0
tal que para n ≥ n0 y todo x ∈ [a, b] se cumple |fn(x) − f(x)| ≤ µ/2. Esto implica
que 0 ∈ fn([a, b]) cuando n ≥ n0 (si fuese fn(x) = 0 para algún y ∈ [a, b], ser´ıa
|f(y)| < µ/2, ¡absurdo!).
Si n ≥ n0 y x ∈ [a, b] se cumple |fn(x)| ≥ |f(x)| − |f(x) − fn(x)| ≥ µ − µ/2 = µ/2,
luego
1
fn(x)
−
1
f(x)
≤
|f(x) − fn(x)|
|f(x)||fn(x)|
≤
2
µ2
|f(x) − fn(x)| ≤
2
µ2
ρn
donde ρn = supx∈[a,b] |fn(x) − f(x)| converge hacia 0. Se sigue que
rn = sup
x∈[a,b]
1
fn(x)
−
1
f(x)
≤ 2µ−2
ρn
converge hacia 0, lo que significa que 1/fn converge hacia 1/f uniformemente sobre
[a, b].
Ejercicio A.26 Sea g : R → R una función continua tal que g(x) > 0 para todo
x ∈ R. Demuestre que la sucesión de funciones fn(x) = ng(x)/(1 + ng(x)) converge
uniformemente sobre cada intervalo acotado [a, b] ⊂ R. Estudie la convergencia
uniforme sobre intervalos no acotados cuando g(x) = ex
.
solución
Para todo x ∈ R existe l´ımn fn(x) = 1, es decir, la sucesión fn converge puntualmente
hacia la función constante 1. Para estudiar la convergencia uniforme en un intervalo
I ⊂ R, se considera la sucesión numérica
ρn(I) = sup{|fn(x) − 1| : x ∈ I} = sup{1/(1 + ng(x)) : x ∈ I}
Cuando I = [a, b] ⊂ R, es claro que ρn([a, b]) = 1/(1+nα) donde α > 0 es el m´ınimo
absoluto de la función continua g sobre el intervalo compacto [a, b] (obsérvese que
α = g(x0) para algún x0 ∈ [a, b], luego α > 0). Como l´ımn ρn([a, b]) = 0, podemos
afirmar que la sucesión fn converge uniformemente sobre [a, b].
Cuando g(x) = ex
, se verifica
ρn([a, +∞)) = 1/(1 + nea
), ρn((−∞, b]) = 1
luego la sucesión fn converge uniformemente sobre los intervalos [a, +∞), pero no
converge uniformemente sobre los intervalos (−∞, b].
388

Para los ejercicios que siguen se suponen conocidas las funciones elementales de
variable compleja: La función exponencial ez
y la validez de la ecuación funcional
ez+w
= ez
ew
, as´ı como la definición habitual de las funciones de variable compleja
sen z =
eiz
− e−iz
2i
, cos z =
eiz
+ e−iz
2
, tg z =
sen z
cos z
, cot z =
cos z
sen z
Ejercicio A.27 Se considera la función exponencial de variable compleja
ez
=
+∞
n=0
zn
n!
Si |z| ≤ m ∈ N, establezca las desigualdades
|ez
− 1 +
z
m
m
| ≤ e|z|
− 1 +
|z|
m
m
≤
|z|2
e|z|
m
Deduzca de ellas que, para cada R > 0, la sucesión (1 + z/n)n
converge hacia ez
uniformemente sobre {z : |z| ≤ R}.
solución
ez
− (1 + z/m)m
= Dm + Rm donde
Dm(z) =
m
n=0
zn
n!
− 1 +
z
m
m
, Rm(z) =
+∞
n=m+1
zn
n!
.
Usando la fórmula del binomio de Newton
Dm(z) =
z2
2!
1 −
m − 1
m
+
z3
3!
1 −
(m − 1)(m − 2)
m2
+ · · · +
zm
m!
1 −
m!
mm
Aplicando la desigualdad triangular y teniendo en cuenta que en la expresión anterior
los paréntesis son positivos se obtiene que |Dm(z)| ≤ Dm(|z|).
Por otra parte, es inmediato que |Rm(z)| ≤ Rm(|z|), luego
ez
− 1 +
z
m
m
≤ Dm(|z|) + Rm(|z|) = e|z|
− 1 +
|z|
m
m
En virtud de la desigualdad 1 + x ≤ ex
, válida para todo x ∈ R, se cumple
1 +
x
m
m
≤ ex
, 1 −
x
m
m
≤ e−x
,
y cuando 0 ≤ x ≤ m se obtienen las desigualdades
0 ≤ ex
− 1 +
x
m
m
≤ ex
1 − e−x
1 +
x
m
m
≤
≤ ex
1 − 1 −
x
m
m
1 +
x
m
m
= ex
1 − 1 −
x2
m2
m
=
= ex x2
m2
1 + 1 −
x2
m2
+ 1 −
x2
m2
2
+ · · · + 1 −
x2
m2
m−1
≤
≤ ex x2
m2
m =
x2
ex
m
389

Con x = |z| se obtiene la segunda desigualdad del enunciado. En virtud de las
desigualdades establecidas, si |z| ≤ R, se verifica
ez
− 1 +
z
m
m
≤
R2
eR
m
luego
l´ım
m
1 +
z
m
m
= ez
uniformemente en {z : |z| ≤ R}.
Ejercicio A.28 Se supone que la sucesión fn : K → C converge uniformemente
sobre K hacia una función f = u + iv cuya parte real u está acotada superiormente
sobre K. Demuestre que la sucesión efn(z)
converge uniformemente sobre K.
solución
Se supone que u(z) ≤ M para todo z ∈ K. Entonces cuando z ∈ K se cumple
|efn(z)
− ef(z)
| = |ef(z)
||efn(z)−f(z)
− 1| ≤
≤ eu(z)
|efn(z)−f(z)
− 1| ≤ eM
|efn(z)−f(z)
− 1|
Como ez
es continua en z = 0, dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que
|w| < δ ⇒ |ew
− 1| < ǫe−M
.
Por la convergencia uniforme de fn existe n(δ) ∈ N tal que si n ≥ n(δ) entonces
para todo z ∈ K se cumple |fn(z) − f(z)| < δ. Combinando las dos afirmaciones
anteriores se concluye que para todo n ≥ n(δ) y todo z ∈ K se verifica
|efn(z)
− ef(z)
| ≤ eM
|efn(z)−f(z)
− 1| ≤ eM
ǫe−M
= ǫ
Ejercicio A.29 Demuestre que l´ımn→∞ tg nz = −i, y que para cada ǫ > 0 el l´ımite
es uniforme sobre el semiplano Hǫ := {z : Im z < −ǫ}.
solución
tg nz =
sen nz
cos nz
=
1
i
einz
− e−inz
einz + e−inz
=
1
i
ei2nz
− 1
ei2nz + 1
luego
| tg nz + i| = tg nz −
1
i
=
ei2nz
− 1
ei2nz + 1
− 1 =
2
ei2nz + 1
de donde se sigue que para todo z ∈ Hǫ se verifica
| tg nz + i| ≤
2
|ei2nz| − 1
=
2
e−2ny − 1
≤
2
e2nǫ − 1
Como la sucesión 2/(e2nǫ
− 1) converge hacia 0, la última desigualdad nos asegura
que l´ımn tg nz = −i, uniformemente sobre Hǫ.
390

Ejercicio A.30 Demuestre que l´ımn cotg(x+in) = −i, y que el l´ımite es uniforme
respecto de x ∈ R.
solución
Para todo z = x + iy se cumple
| cotg z + i| = i
eiz
+ e−iz
eiz − e−iz
+ i =
2ei2z
ei2z − 1
≤
2e−2y
1 − e−2y
donde la función h(y) = 2e−2y
/(1 − e−2y
) converge hacia 0 cuando y → + ∞. Como
para todo x ∈ R se cumple la desigualdad | cot(x + in) + i| ≤ h(n) se concluye que
la sucesión fn(x) = cot(x+in) converge hacia −i uniformemente respecto de x ∈ R.
391

A.5. Ejercicios propuestos
♦ A.5.1 Muestre que la sucesión fn(x) = 1/(1 + n2
x2
) no converge uniformemente
sobre [0, 1] pero su l´ımite puntual f verifica
1
0
f(x)dx = l´ımn
1
0
fn(x)dx. (Obsérvese
que esta sucesión cumple las hipótesis del teorema A.8)
♦ A.5.2 Si la sucesión fn : T → R converge uniformemente sobre T demuestre que
la sucesión sen fn(t) también converge uniformemente sobre T.
♦ A.5.3 Se considera la sucesión de funciones fn : [0, 1] → R definida por:
fn(x) = n2
x(1 − nx) si x ∈ [0, 1/n]; fn(x) = 0 si x ∈ (1/n, 1]
Demuestre que la sucesión converge puntualmente hacia 0, pero no converge unifor-
memente sobre [0, 1]. ¿Sobre qué intervalos I ⊂ [0, 1] la convergencia es uniforme?
♦ A.5.4 Dada una sucesión estrictamente creciente an ∈ [0, 1] estudie la conver-
gencia puntual y uniforme de la sucesión de funciones fn : [0, 1] → R, definida as´ı:
fn(x) =
(x − an)(x − an+1)
(an+1 − an)2
si x ∈ [an, an+1]
fn(x) = 0 si x ∈ [an, an+1].
♦ A.5.5 Estudie la convergencia puntual y uniforme de la sucesión
gn(x) = x2n
/(1 + x2n
)
sobre R y sobre {x ∈ R : |x| ≥ a}, con a > 0.
♦ A.5.6 En cada uno de los siguientes casos estudie los intervalos I ⊂ R sobre los
que la sucesión de funciones fn : R → R es uniformemente convergente.
a) fn(x) =
1
1 + x2n
; b) fn(x) =
x
1 + x2n
;
c) fn(x) =
n2
x
1 + n3x2
; d) fn(x) =
x2
x2 + (x − n)2
;
e) fn(x) =
x2
1 + n|x|
; f) fn(x) =
x
1 + nx2
;
g) fn(x) =
1
1 + (x − n)2
; h) fn(x) =
|x − n| + |x|
n
;
Para las sucesiones de los apartados f) y g) estudie la validez de la derivación térmi-
no a término.
392

♦ A.5.7 Se consideran las sucesiones sn(t) = sen(λnt)e−nt
, cn(t) = cos(λnt)e−nt
definidas en [0, +∞), donde λ = 0 es un parámetro real.
a) Obtenga los l´ımites puntuales de ambas sucesiones, y justifique que, para cada
a > 0 las dos sucesiones convergen uniformemente sobre [a, +∞).
b) Estimando la sucesion dn := sup{|sn(t)| : t > 0}, deduzca que la sucesión sn
no converge uniformemente sobre [0, +∞). Justifique sin cálculos que la sucesión cn
tampoco converge uniformemente sobre [0, +∞).
♦ A.5.8 Estudie, según los valores del parámetro real a > 0, los intervalos I ⊂ R
sobre los que la sucesión fn(x) =
nx
1 + nax2
es uniformemente convergente.
♦ A.5.9 Para p = 1, 2, estudie los intervalos I ⊂ R sobre los que es uniformemente
convergente la sucesión fn(x) =
nxp
1 + n2x2
.
♦ A.5.10 Si g : [0, 1] → R es continua, demuestre que la sucesión xn
g(x) converge
uniformemente en [0, 1] si y sólo si g(1) = 0.
♦ A.5.11 Se supone que fn : [0, 1] → R es una sucesión de funciones continuas que
converge uniformemente hacia f. Demuestre que
1
0
f(x)dx = l´ım
n
1−1/n
0
fn(x)dx
♦ A.5.12 Si una sucesión de funciones continuas fn : R → R converge uniforme-
mente sobre (a, b) demuestre que también converge uniformemente sobre [a, b].
Demuestre que la sucesión fn(x) = x2
/(1 + x2n
) converge uniformemente sobre
cada intervalo [−r, r] ⊂ (−1, 1) pero no converge uniformemente sobre (−1, 1).
♦ A.5.13 Demuestre que la sucesión
fn(x) =
x2
x2 + (1 − nx)2
converge puntualmente hacia 0 pero no posee subsucesiones uniformemente conver-
gentes.
♦ A.5.14 Sean fn, gn : T → R sucesiones uniformemente convergentes hacia f, g :
T → R, respectivamente. Si f y g son acotadas, demuestre que la sucesión producto
fngn converge uniformemente hacia fg.
♦ A.5.15 Se considera la sucesión de funciones fn : R → R definida por
fn(x) = 1/n si x = 0 o si x es irracional
fn(x) = 1/n + q si x = p/q, fracción irreducible, con p, q ∈ Z, q > 0.
393

Sea gn(x) = (1 + 1/n)x. Compruebe que las sucesiones fn, gn convergen unifor-
memente sobre [−R, R], pero el producto fngn no converge uniformemente sobre
[−R, R].
(Ejercicio 9.2) de [2])
♦ A.5.16 Sea fn : T → R una sucesión de funciones continuas, definidas en un
intervalo T ⊂ R que converge puntualmente hacia la función f : T → R. Demuestre
que son equivalentes:
a) fn converge uniformemente sobre cada intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ T.
b) f es continua y para cada sucesión xn ∈ T convergente hacia un punto x ∈ T,
existe el l´ımite l´ımn fn(xn)
♦ A.5.17 Compruebe que para cada m ∈ N y cada x ∈ R existe el l´ımite puntual
fm(x) = l´ımn(cos m!πx)2n
. Demuestre que cada fm es integrable Riemann sobre
[0, 1], pero su l´ımite puntual f(x) = l´ımm fm(x) no lo es.
♦ A.5.18 Demuestre que la serie +∞
n=1 an(t)bn(t) converge uniformemente sobre
K ⊂ T cuando las sucesiones de funciones an, bn : T → R verifican:
a) La serie ∞
n=1 bn(t) converge uniformemente sobre K ⊂ T.
b) Existe C > 0 tal que |a1(t)| + ∞
n=1 |an(t) − an+1(t)| ≤ C para todo t ∈ K.
Obtenga como corolario el criterio de Abel A.15.
n=1 an(t)bn(t) converge puntualmente sobre K ⊂
T cuando las sucesiones de funciones an, bn : T → R verifican:
a) La sucesión Bn(t) = n
j=1 bj(t) está uniformemente acotada sobre K ⊂ T.
b) La sucesión de funciones an(t) converge puntualmente hacia 0 sobre K, y la
serie ∞
n=1 |an(t) − an+1(t)| converge uniformemente sobre K.
Obtenga como corolario el criterio de Dirichlet A.14.
♦ A.5.20 Demuestre que la serie ∞
n=1 xn
(1 − x) no converge uniformemente
sobre [0, 1], pero la serie ∞
n=1(−x)n
(1 − x) si converge uniformemente sobre [0, 1],
♦ A.5.21 Demuestre que la serie
∞
n=1
(−1)n 1 + xn
n
converge uniformemente sobre
cada intervalo [a, b] ⊂ (−1, 1), pero no converge absolutamente en ningún punto del
intervalo (−1, 1).
♦ A.5.22 Sea fn(x) = 0 si x < 1/(n + 1); fn(x) = sen2
(π/x) si x ∈ [1/(n +
1), 1/n], fn(x) = 0 si x > 1/n. Demuestre que la serie ∞
n=1 fn(x) es absolutamente
convergente pero la convergencia no es uniformemente en ningún entorno de 0.
♦ A.5.23 Compruebe que la serie +∞
n=1 ne−nx
converge uniformemente sobre [a, +∞),
para cada a > 0. Utilice el teorema de integración término a término de series fun-
cionales para obtener su suma.
394

♦ A.5.24 Compruebe que la serie +∞
n=1 e−nx
/(1+n2
) converge para x ≥ 0 y define
en [0, +∞) una función continua que es derivable en cada x > 0.
n=1
1
n
− 1
x+n
converge para todo x ≥ 0 y que
su suma S(x) es una función continua estrictamente creciente en [0, +∞).
♦ A.5.26 Se considera la serie de funciones
+∞
n=1
1
1 + n2|x|
.
Determine los valores de x para los que la serie converge. ¿En qué intervalos la
convergencia de la serie no es uniforme? . ¿En qué puntos es continua la función f
definida por la suma de la serie? . ¿Es f acotada?.
♦ A.5.27 Estudie la convergencia puntual y la convergencia uniforme sobre inter-
valos de las series
+∞
n=1
1
1 + xn
,
+∞
n=1
x
1 + xn
En cada caso estudie la derivabilidad de la suma de la serie en el interior de su
dominio de convergencia.
♦ A.5.28 Justifique que la serie de funciones
+∞
n=1
x2
(1 + x2)n
converge puntualmente en todo R, y que para cada ǫ > 0 hay convergencia uniforme
en {x : |x| > ǫ} y no hay convergencia uniforme en {x : |x| < ǫ}.
♦ A.5.29 Se (an) una sucesión decreciente de números reales con l´ımn an = 0.
Justifique que, para cada δ ∈ (0, 1) la serie +∞
n=1 anxn
converge uniformemente
en Aδ = [−1, 1 − δ]. Muestre que la serie converge uniformemente sobre [−1, 1) si
+∞
n=1 an < +∞,
♦ A.5.30 Estudie la convergencia uniforme de las series
+∞
n=1
1
nx
;
+∞
n=1
(−1)n
nx
y demuestre que la suma de la primera define en (1 + ∞) una función derivable
S(x) =
+∞
n=1
1
nx
con derivada S′
(x) = −
+∞
n=1
log n
nx
.
♦ A.5.31 Sea xn ∈ (a, b) una sucesión de puntos distintos y fn : (a, b) → R la
función definida por fn(x) = 0 si x ≤ xn, fn(x) = 1 si x > xn. Demuestre que la
suma serie f(x) = n 2−n
fn(x), define en (a, b) una función, que es continua en
x ∈ (a, b) si y sólo si x ∈ {xn : n ∈ N}. Deduzca de ello que existe una función
estrictamente creciente f : R → R, que es continua en cada x ∈ Q y discontinua en
cada x ∈ Q.
395

n=0(−x2
)n
(log x)2
converge uniformemente so-
bre cada [a, b] ⊂ (0, 1) y que su suma f(x) posee una integral impropia convergente,
cuyo valor es
1
0
f(x)dx = 2
+∞
n=0
(−1)n
(2n + 1)3
396

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