Algebraunidad1

1
LOS NÚMEROS REALES
Los números 1,2,3… son usados para contar. Normalmente se los conoce como el conjunto de
los números naturales, dicho conjunto se lo denota normalmente con la letra N, así
N }3,2,1{ K=
Si se suman dos números naturales el resultado es otro natural, pero si se resta el resultado no
necesariamente es un número natural. El conjunto de los números enteros
Z }3,2,1,0,1,2,3,{ KK −−−=
es cerrado bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación, esto quiere decir que si realizamos
cualquiera de estas tres operaciones entre dos números enteros el resultado es un número entero. Pero
este conjunto no es cerrado bajo la división, es decir que si dividimos dos números enteros el resultado
no necesariamente es un número entero.
El conjunto de los números racionales, Q, formado por todos los números que pueden ser
expresados de la forma
m
n
, donde n, m son números enteros con m distinto de cero, es cerrado bajo las
cuatro operaciones. Sin embargo no contempla todos los números que podemos conseguir. Por ejemplo
2π que es el perímetro de una circunferencia de radio 1, no es un número racional.
Tampoco K41.12 ≈ es un número racional, este número representa la solución de la ecuación
22
=h y es un número que está en la naturaleza pues él es la longitud de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo con los dos catetos iguales a 1. Estos números que no son racionales, pues no
pueden ser expresados de la forma
m
n
, se llaman números irracionales. Una diferencia entre los
números racionales y los irracionales está dada en su representación decimal. Los números racionales
pueden ser representados por decimales con una expansión finita ( 25.0
4
1
= ) o por números decimales
que se repiten indefinidamente ( K
)
16666.061.0
6
1
== , 900.009090.0
11
1
== K ). En cambio los
números irracionales son representados por números decimales que no terminan y que no tienen
ninguna periodicidad es decir que no tienen ninguna secuencia que se repita.
Ejemplo 1.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales, racionales y
reales: a) -3; b)
3
4
− ; c) 2.0 ; d) 1+π ; e) 101.
Solución:
a) -3 es un número entero, también es racional pues puede ser escrito como
1
3− y es real.
Los números reales son la unión de los números
racionales e irracionales. El número 2 es un irracional
y por tanto real. Este conjunto es denotado por la letra R.

2
b)
3
4
− es un número racional pues puede ser escrito como
3
4− . También es real
c) 2.0 es un número racional pues puede ser escrito como
10
2 . También es real.
d) 1+π es irracional. Observe que como π es irracional su expansión decimal es infinita no
periódica al sumarles 1 da como resultado un número cuya expansión también es infinita no
periódica. Es un número real
e) 101 es natural, entero, racional y es real.
Ejercicio de desarrollo.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales,
racionales y reales: a) π3 ; b) 22 + ; c) - 1.3
Comentario: Algunos autores consideran el 0 como un número natural. Para evitar caer en polémicas
nos referiremos al conjunto }3,2,1,0{ K como el conjunto de los enteros no negativos y a }3,2,1{ K
como el conjunto de los enteros positivos.
Los números reales pueden ser representados en la recta real. Para ello se traza una línea recta
y se escoge arbitrariamente un punto en ella, él cual representará el número 0. Se escoge una unidad de
medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a la derecha, los
puntos medidos representan los números enteros en el orden dado en la figura. Los puntos a la derecha
del 0 representarán los números positivos y a la izquierda están representados los números negativos.
La representación del número
3
2
4 + es un punto que está a dos tercios unidades a la derecha del 4. El
número
3
2
4 + es
3
14
. Para representar geométricamente a los números racionales podemos valernos de
su forma mixta: c
b
a con b<c y Zcba ∈,, , este número representa a
c
b
a + , por ejemplo el número
5
13
puede ser escrito como 5
3
2 , la representación es rapidamente obtenida a través del cociente y residuo
de la división de 13 entre 5. Ahora es claro que el número 5
3
2
5
13
= está representado por el punto en la
recta real que está a 3/5 unidades de distancia a la derecha del 2. La representación del número
3
10
− es
simétrica con respecto al origen del número 3
1
3
3
10
= . Hay métodos precisos para representar los
números irracionales a través de construcciones geométricas, sin embargo en este texto se harán
representaciones no muy exactas de estos números a través de los primeros dígitos de su
representación decimal.
Comentario: Observe que la parte fraccionaria de un número mixto es escrita más pequeña que la
parte entera, para distinguirlo de una multiplicación de un entero con una fracción.
Ejercicio de desarrollo: Represente los siguientes números en la recta real: a) π+2 ; b) - 1.3 ; c)
7
23
− .

3
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
A continuación enunciamos las propiedades más importantes de los números reales. Asuma en
lo que queda de sección que cba ,, y d son números reales, tenemos entonces:
1.- Propiedad conmutativa de la suma Propiedad conmutativa de la multiplicación
abba +=+ abba ⋅=⋅
Ejemplo 3443 +=+ 2662 ⋅=⋅
2.- Propiedad asociativa de la suma Propiedad asociativa de la multiplicación
)()( cbacba ++=++ cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()(
Ejemplo )713(27)132( ++=++ 5)213()52(13 ⋅⋅=⋅⋅
Comentarios En ambos casos da 22 En ambos casos da 130, pero es más
rápido el cálculo de la primera
El elemento neutro es aquél que con la operación que consideremos deja inalterable el número.
Esto es a*__=a
3.- Elemento neutro de la suma: 0 Elemento neutro de la multiplicación: el 1
aa =+ 0 aa =⋅1
El inverso de un número es aquél que con la operación que consideremos nos produce el
elemento neutro de la operación: a*___=elemento neutro.
4.- Propiedad del inverso de la suma: a−
Inverso de la multiplicación:
a
1
0)( =−+ aa
1
1
=⋅
a
a
El inverso de la multiplicación también es denotado por 1−
a . Esto es
a
a
11
=−
.
El número 0 no tiene inverso para la multiplicación ya que no existe ningún número que
multiplicado por 0 de 1.
5.- Propiedad transitiva: Si ba = y cb = entonces ca =
Ejemplo: Si sabemos que yx = y 4=y entonces 4=x
6.- Propiedad distributiva Propiedad distributiva
babacba ⋅+⋅=+⋅ )( acabacb ⋅+⋅=⋅+ )(
Ejemplo 5323)52(3 ⋅+⋅=+⋅ 35323)52( ⋅+⋅=⋅+
Comentarios En todos los casos da 21
La resta se define como una suma:
)( baba −+=−
Recuerde que )( b− es el inverso u opuesto de b .

4
Muchas veces usamos la definición al escribir una resta como una suma: )9(494 −+=−
Para definir el producto cba ⋅⋅ usamos la propiedad asociativa
)( cbacba ⋅⋅=⋅⋅
A continuación listamos una serie de propiedades de los números negativos de mucha utilidad:
Propiedades Ejemplos Comentarios
aa )1(−=− 4)1(4 −=− Reescritura del opuesto como un producto
)()()( bababa −=⋅−=− )3(2)32(3)2( −=⋅−=−
baba ⋅=−− ))((
baba −−=+− )( 74)74( −−=+− El signo menos se distribuye
acabcba −=− )( 5242)54(2 ⋅−⋅=− La distributiva se cumple con la diferencia
también
Ejemplo 1.- Demostrar que 3443 +−=−
Solución: Tenemos que )4(343 −+=− . Ahora por la propiedad conmutativa
3)4()4(3 +−=−+ . Por la propiedad transitiva de la suma resulta que 3)4(43 +−=− ,
quitando los paréntesis en el lado derecho tenemos la igualdad deseada.
En general tenemos que:
xyyx +−=−
Ejercicios de desarrollo: Demostrar: a) )()( yxxy −−=− ; b) 3)4(4)3( +−=−+ xx
La división, ba ÷ es definida a través de la multiplicación:
Si 0≠b , entonces 1−
⋅=÷ baba
donde 1−
b es el inverso de b para la multiplicación
Para la división también se emplea la notación ba
b
a
÷=
Recordando que
b
b
11
=−
, la división también puede ser definida con la siguiente notación
)
1
(
b
a
b
a
=
Con esta notación podemos interpretar por ejemplo que
7
5
es cinco veces
7
1
Propiedades del cero
1.- 00 =⋅a
2.- Si 0=⋅ba entonces 0=a ó 0=b .

5
La propiedad 1 del cero permite justificar porque la división entre 0, 0÷a , no está definida.
• Si ca =÷ 0 y 0≠a entonces 00 =⋅= ca , pero a no es cero.
• 00 ÷ tampoco está definida. Si c=÷ 00 entonces 00 ⋅= c es decir que 0 entre 0 pudiese
dar cualquier valor lo cual no tiene sentido.
En el siguiente recuadro presentamos las propiedades más importantes de fracciones:
Propiedades Ejemplos Comentarios
b
a
b
a
b
a
−
=
−
=−
5
3
5
3
5
3
−
=
−
=−
El signo menos se puede transferir a
cualquier parte de la fracción
c
ba
c
b
c
a ±
=±
3
5
3
41
3
4
3
1
=
+
=+
Suma o diferencia con igual
denominador
dc
cbda
d
b
c
a
⋅
⋅±⋅
=±
42
23
42
3512
67
7562
6
5
7
2
−=
−
=
⋅
⋅−⋅
=−
Suma en cruz, recomendable cuando
los denominadores no tienen factores
comunes
db
ca
d
c
b
a
⋅
⋅
=⋅
27
14
93
72
9
7
3
2
=
⋅
⋅
=⋅
Multiplicación de fracciones
b
a
cb
ca
=
⋅
⋅
5
3
25
23
=
⋅
⋅
;
7
4
7)1(
4)1(
7
4
=
−
−
=
−
− Fracciones equivalentes
Ley de Cancelación: c es un factor en
el numerador y el denominador
c
ba
c
ba
c
b
a
⋅
=⋅=⋅
1 3
52
3
5
1
2
3
5
2
⋅
=⋅=⋅
Multiplicación de un número entero
por una fracción
c
b
ab
c
a
c
ba
⋅=⋅=
⋅
2
5
35
2
3
2
53
⋅=⋅=
⋅ Reescrituras
cb
a
cb
a 1
⋅=
⋅ 5
1
3
2
53
2
⋅=
⋅
Reescrituras
cb
da
d
b
c
a
d
b
c
a
⋅
⋅
==÷
21
10
73
52
5
7
3
2
5
7
3
2
=
⋅
⋅
==÷
División aplicando la doble C
bc
da
b
d
c
a
d
b
c
a
⋅
⋅
=⋅=÷
93
41
9
4
3
1
4
9
3
1
⋅
⋅
=⋅=÷
División a través de una multiplicación
b
da
d
b
a
d
b
a ⋅
== 1
5
6
5
23
2
5
1
3
2
5
3
=
⋅
==
División entre un número y una
fracción
cb
a
b
c
a
b
c
a
⋅
==
1
15
1
53
1
1
5
3
1
5
3
1
=
⋅
==
División entre una fracción y un
número.
Ejemplo 2.- Exprese como una suma )1
3
(3 +
x
Solución: Se usa primero la propiedad distributiva
13
3
3)1
3
(3 ⋅+⋅=+
xx
Se reescribe el 3 como una fracción para efectuar el producto

6
3
31
3
+⋅=
x
Se realiza la multiplicación de fracciones
3
3
3
+
⋅
=
x
Se simplifica usando la ley de cancelación.
3+= x
Observe: en este tipo de situación se distribuye y luego se simplifica
Ejemplo 3.- Calcule las siguientes expresiones numéricas:
a) )3)(2( −−− ; b) 43
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− ; c) 3
5
1
5
3
+− .
Solución:
a) Se reescribe el opuesto como un producto
)3)(2()1()3)(2( −−⋅−=−−− Se usa la propiedad asociativa
( ))3)(2()1( −−−=
6)6)(1( −=−=
b) Podemos distribuir primero
434
2
1
43
2
1
⋅−⋅=⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− . Se realiza la multiplicación de fracciones
43
1
4
2
1
⋅−⋅=
1012212
2
4
−=−=−=
Comentario.- En esta parte pudimos también resolver la diferencia de fracciones primero y luego
multiplicar por 4. Al realizarlo de la manera como se hizo se eliminó los denominadores y así se evito
resolver la suma de fracciones.
c) Usamos primero la propiedad asociativa de la suma
3
5
1
5
3
3
5
1
5
3
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=+− Las fracciones entre paréntesis tienen igual denominador
=
1
3
5
2
+ Se realiza la suma en cruz
5
17
5
152
15
3512
=
+
=
⋅
⋅+⋅
=
Ejemplo 4.-Simplifique la expresión : )4(
2
−÷
−
− x
.
Solución: Tenemos la división entre una fracción y un número entero. Se realizará a través de la
doble C. Aprovechamos para justificar porque los signos menos se cancelan, reescribiendo cada
opuesto como la multiplicación por menos uno
4
)1(2
)1(
)4(
2 −
−
−
=−÷
−
−
x
x
. Se usa la ley de cancelación con (-1) y se reescribe el -4

7
1
4
2
−
=
x
Se aplica la doble C
88)4(2
1 xxx
−=
−
=
−⋅
⋅
=
Para expresiones numéricas se debe tomar en cuenta que lo primero que se resuelve o elimina
son los paréntesis más internos, o bien haciendo la operación interna o bien aplicando alguna propiedad
de los números reales. Luego se procede a realizar las multiplicaciones o divisiones planteadas de
izquierda a derecha y finalmente las sumas y restas.
Ejemplo 5.- Realice y simplifique: a) 1
3
5
4
2
−
−
; b) )
3
2
2
1
(52 −+ ; c) )2
5
3
(53 −+−
Solución:
a) Resolvemos primero la diferencia dada en el numerador de 1
3
5
4
2
−
−
1
3
5
4
1
2
1
3
5
4
2
−
−
=−
−
1
3
5
1452
−
⋅−⋅
=
1
1
3
5
6
1
3
5
410
−=−
−
=
1
5
2
1
35
6
−=−
⋅
=
5
3
5
5112
−=
⋅−⋅
=
Posteriormente en este texto se realizaran las sumas de fracciones usando la técnica del mínimo
común múltiplo de los denominadores.
b) Resolvemos el paréntesis realizando primero la operación dentro del mismo y luego la
multiplicación planteada
)
6
2231
(52)
3
2
2
1
(52
⋅−⋅
+=−+
)
6
1
(52 −+=
6
5
2)
6
1
(
1
5
2 −=−+=
Aplicamos la doble C para resolver la división planteada,
Se simplifica y se realiza la diferencia planteada.
Resolvemos la diferencia:
Realizamos la multiplicación planteada:

8
6
7
6
562
−=
−⋅
=
c) En esta parte, preferimos eliminar los paréntesis usando la propiedad distributiva, pues observamos
que al aplicarla en este ejemplo desaparece el denominador
10103325
5
3
53)2
5
3
(53 −=−+−=⋅−⋅+−=−+−
Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique las siguientes expresiones numéricas:
a)
2
1
1
)
3
1
4
2
(2
−
−−
b)
5
1
)
3
2
1(53 ⋅−−
EJERCICIOS
1) Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales, racionales y reales:
1.1) 12− 1.2) 4−π ; 1.3) 3
5 ; 1.4) 0 1.5) – 6.4; 1.6) 31
2) Represente aproximadamente los siguientes números en la recta real.
2.1) -12; 2.2) 22 +− ; 2.3) - 13 − ; 2.4)
5
1 ; 2.5)
2
π
; 2.6)
7
4
− ; 2.7) 5
4
3
; 2.8)
3
14
−
3) Realice y simplifique las siguientes expresiones numéricas:
3.1) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
9
1
63 ; 3.2) )3)(4)(5( −−− ; 3.3) )4(3
5
1
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
÷
−
; 3.4)
2
3
3
−
÷ ; 3.5)
2
5
3
1
3 −− ;
3.6) )
3
1
)(3( +−− x ; 3.7) )27)(12(0 −⋅ ; 3.8) 2)3)(3( +−− ; 3.9)
9
1
3
1
÷ ; 3.10)
5
0
2⋅ 3.11)
0
5
2⋅ ;
3.12) )
2
1
3
4
()
5
3
5
1
( −÷− ; 3.13)
3
4
2
3
4
1
3
2
−
−
; 3.14)
3
8
2
3
4
1
−
−
; 3.15) )1
5
1
(21 −− ; 3.16) )
6
5
3
2
2
1
(62 +−− ;
3.17) 2)
3
4
1
3
2
( ÷+− ; 3.18) 310)
5
3
2
2
1
( −+− ; 3.19)
2
1
)3
5
1
(23 ⋅−⋅+ ; 3.20) )
2
3
3
4
(34 −− ; 3.21)
1
4
3
+
−
− ; 3.22) 1
4
3
+
−
; 3.23) 1
4
3
+
−
−
; 3.24)
2
)3
3
1
(
31
−
−
4) Simplifique las siguientes expresiones: 4.1)
9
1
)3( ⋅− x ; 4.4)
2
3
x−
÷ .
5) Exprese como una suma o diferencia, según corresponda. Simplifique su respuesta: )
3
1
)(3( +−− x

9
6) Diga cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique
6.1) ( ) La diferencia entre dos números racionales es un número racional
6.2) ( ) abba +−=− ; 6.3) ( ) yxyx 33)(3 ⋅=⋅ ;
6.4) ( )
532
xxx
=+ ; 6.5) ( )
2
1
2
1
xx −
+=− ;
6.6) ( )
2
3
2
3
=
+x
x
; 6.7) ( )
xx
x 2
1
2
+=
+
;
6.8) ( ) La diferencia de dos números irracionales puede ser racional.
6.9) ( ) El cociente de dos números irracionales es siempre irracional.
Respuestas: 1.1) es un número entero, también es racional y es real. 1.2) es un número irracional y es
real; 1.3) es un número irracional y es real; 1.4) es un número entero, también es racional y es real,
1.5) es un número entero, también es racional y es real 1.6) es un número natural entero, también es
racional y es real;
2)
3.1) 2 ; 3.2) 60− ; 3.3)
15
4
; 3.4) 2− ; 3.5)
6
1
; 3.6) 13 −x ; 3.7) 0 ; 3.8) 11; 3.9) 3 ; 3.10) 0 ;
3.11) No está definido; 3.12)
25
12
− ; 3.13)
2
5
; 3.14)
2
1
; 3.15)
5
13
; 3.16)-2; 3.17)
2
1
; 3.18) -12; 3.19)
5
1
; 3.20)
2
9
; 3.21)
4
7
; 3.22)
4
1
; 3.23)
4
7
; 3.24) 5; 4.1)
3
x
− ; 4.2)
x
6
− 5) 13 −x ; 6) 6.1) (V)
Sean
c
a
y
d
b
dos racionales, entonces
dc
cbda
d
b
c
a
⋅
⋅+⋅
=+ es racional; 6.2) (V)(por la propiedad
conmutativa) ; 6.3) (F) La propiedad distributiva no vale con las dos multiplicaciones. Si las dos
variable valen 1 entonces el lado izquierdo da 3 y el derecho da 9; 6.4) (F) No se suman los
denominadores,
56
5
6
23 xxxx
≠=
+
; 6.5)(V) el lado izquierdo es
2
)1(
1
2
)1(1
2
1
xxx −
+=−+=− , esto
es el lado derecho ; 6.6) (F) No se pueden cancelar los x, el x del denominador no es un factor. Para x
igual a 0 la igualdad no se cumple: 0 es distinto a 3/2 6.7) (V) si se suma el lado derecho da el lado
izquierdo:
x
x
x
212
1
+⋅
=+ ; 6.8) (V) Los números pueden ser 2 y 2− ambos son irracionales pero
su resta es 0, racional; 6.9(F) El cociente entre los números 2 y 2− es un entero.

10
EJERCICIOS ADICIONALES
1) Realice y simplifique las siguientes:
1.1)
5
3
4
5
3
1
2
3
1
⋅⋅⋅
− ; 1.2) 3
4
5
3
2
5
3
4
3
⋅−⋅− ; 1.3) 2
3
2
2
5
3
)2(
2
1
3 −
−
−− ; 1.4) 2
)
2
5
3
2
(2
1
3 −
+−
− ;
1.5) )
3
2
2
1
(32
3
4
−
−
−÷
−
; 1.6)
4
1
3
1
9)4
5
1
4
1
3
1
2
1
()12305(
−
+−+−+−÷⋅⋅⋅ ; 1.7) )
3
4
5
6
(
4
3
−
⋅
−
;
1.8) )
3
4
5
6
(
4
3
−
+
−
; 1.9)
232
432
1
⋅−
⋅−
−
2) Diga cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique
2.1) ( ) Todo número entero es racional.
2.2) ( ) Cero es un número racional;
2.3) ( ) Si 0=⋅ba y 0≠a entonces 0=b ;
2.4) ( ) Si 1=⋅ba entonces 1=a ó 1=b ;
2.5) ( ) Todo punto en la recta real se puede identificar con un número racional;
2.6) ( )
5
1
5
4
4
3
3
2
2
1
=⋅⋅⋅ ; 2.7) ( ) 2
2
=
x
x
;
2.8) ( ) ( ) ( ) cbacba −−=−−
Respuestas: 1.1)
6
1
− ; 1.2)
5
17
− ; 1.3)
3
2
; 1.4)
11
8
; 1.5)
6
17
; 1.6)
4
13
− ; 1.7)
5
6
; 1.8)
10
1
; 1.9)
2
3
−
2.1) ( V) Cualquier entero z como
1
z
z = , entero sobre entero y por tanto racional.
2.2) ( V) El número 0 puede ser escrito como
1
0
0 = , entero sobre entero y por tanto racional.
2.3) (V) Propiedad del cero; 2.4) (F) Si 4=a y
4
1
=b el producto es 1 y ninguno de los dos es 1;
2.5) (F) El punto puede ser la representación de un número irracional. 2.6)(V) Si se realiza la
multiplicación y se simplifica da el lado derecho. 2.7) (V) Se usa la ley de cancelación, x es un factor
tanto en el numerado como en el denominador, por tanto se puede cancelar.; 2.8) La propiedad
asociativa no vale con el operador diferencia. Si sustituyes a, b y c por 2 el lado izquierdo vale 2 y el
derecho vale -2, no se cumple la igualdad.

11
EXPONENTES Y RADICALES
La potenciación o notación exponencial es una notación para abreviar una multiplicación:
Notación: 43421 L
vecesn
n
aaaa ⋅= , para n un entero positivo y 0≠a .
Se lee como a elevado a la n o más abreviado: a a la n.
a es llamada la base y n el exponente o potencia e indica el número de veces que se repite el factor a.
Presentamos a continuación varios ejemplos ilustrativos
Ejemplo 1.-
a) 822223
=⋅⋅=
b) 125)5()5()5()5( 3
−=−⋅−⋅−=−
c)
243
1
33333
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
5
=
⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
d)
16
1
2222
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
=
⋅⋅⋅
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
e) )()()( 2
bababa +⋅+=+
Observaciones:
1.- Si a es negativo entonces n
a es positivo si n es par y negativo si n es impar, como podemos
apreciar en el ejemplo anterior en b y d.
2.- Una expresión como n
x⋅2 o simplemente n
x2 es una escritura abreviada de )(2 n
x⋅ , donde se
puede analizar que la convención es que primero se hace la potencia y luego la multiplicación por 2.
De manera similar n
x− representa a )( n
x− y n
x⋅− 2 quiere decir )()2( n
x⋅−
3.- nn
xx )(−≠−
Convención: La potencia es la primera operación que se ejecuta frente a multiplicaciones, divisiones,
sumas, restas o cambios de signos.
Ejemplo 2.- Evaluar a) 3
32⋅ ; b) 4
2− ; c) 3
)4(3 −⋅ .
Solución: a) 5427232 3
=⋅=⋅
b) 16)2(2 44
−=−=−
c) 192)64(3)4()4()4(3)4(3 3
−=−⋅=−⋅−⋅−⋅=−⋅
APLICACIÓN EN ECONOMÍA
Ejemplo 1.- Una compañía pretende aumentar su producción en los próximos 4 años, duplicando la
producción con respecto al año anterior. ¿Cuál será su producción anual dentro de 4 años, si la actual es
de 2500 artículos por año?
Solución:
Observe que después de un año la producción es 25002⋅
A los dos años se tendrá el doble del primer año )25002(2 ⋅
A los tres años se tendrá el doble del segundo año 25002)25002(2 32
⋅=⋅
A los cuatro años se tendrá el doble del tercer año 000.4025002)25002(2 43
=⋅=⋅ artículos

12
DEFINICION DE EXPONENTES NEGATIVOS Y CERO
Los casos con exponentes negativos o cero se definen como sigue:
Comentario: 0
0 no está definido.
Ejemplo 1.-
a)
8
1
2
1
2 3
3
==−
; b) 120
= ; c) 1)3( 0
= ;
d) n
n
x
x
)2(
1
)2(
+
=+ −
; e) 1)2( 02
=x .
Ejercicio de desarrollo.- Complete la igualdad:
a) =0
)3( π b) =+ −22
)1(x
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
En la siguiente tabla se presentan las propiedades más importantes de exponentes
Propiedad Ejemplo Justificación (del 1-4 sólo para el caso n natural)
1 mnmn
aaa +
=⋅
Producto de potencias de
igual base
64242
2222 ==⋅ +
Se coloca la misma base y
se suma los exponentes
( ) ( ) mn
vecesmnvecesmvecesn
mn
aaaaaaaaaaaaa +
+
=⋅⋅=⋅⋅=⋅ 44 344 21 LL
321
L
43421
L
2 mnmn
aa ⋅
=)(
Potencia de una potencia
84242
22)2( == ⋅ mnnnn
vecesm
nnnmn
aaaaaa ⋅++
==⋅= L
43421 L)(
3 ( ) nnn
baba ⋅=⋅
Potencia de un producto
( ) 3333
822 bbb =⋅=⋅ ( ) nn
n
n
bababababa ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅
444 3444 21
L
veces
)()()(
4
n
nn
b
a
b
a
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Potencia de un cociente
25
4
5
2
5
2
2
22
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
nn
b
a
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
b
a
=
⋅
⋅
=⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
L
L
L
5
nmm
n
aa
a
−
=
1
9
1
3
1
3
3
355
3
== − nmnmnm
nn
m
n
aa
a
aa
aa
a
a
−−−
−
==
⋅
=
1
.
0
6 mn
m
n
a
a
a −
= 93
3
3 35
3
5
== −
Ejercicio
7 nn
a
b
b
a
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 44
2
3
3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− n
n
n
n
n
n
nn
a
b
a
b
b
a
b
a
b
a
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
====⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−−
/1
/1
8
n
m
nmm
n
a
b
abb
a
−
−
−
==
1
31
3
2
5
5
2
=−
− Ejercicio
Definición: Si 0≠a se define 10
=a y si n un entero positivo n
n
a
a
1
=−
.

13
Entenderemos que una expresión que consiste en productos, cocientes y potencias de
variables está simplificada cuando aparece una sola vez cada variable y una sola vez cada base
numérica que no tiene factores comunes con todas las demás bases numéricas. 5
3x es la expresión
simplificada de 23
3 xx ⋅ .
Ejemplo 1.- Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos.
a) )32()2( 23222
yxyx −
; b)
2
3
42
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
y
x
x
y
; c)
2−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
b
a
a
Solución:
a) ( ) 232222223222
322)32()2( yxyxyxyx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −−
Se aplicó la propiedad de la potencia de un producto
232242
322 yxyx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −
223422
322 yyxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −
223422
32 ++−
⋅= yx Se suman los exponentes de igual base
47
3 yx⋅=
b) 23
2
4
422
3
42
)(
)2()(2
y
x
x
y
y
x
x
y
⋅=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Se usó la propiedad de la potencia de un cociente.
6
22
4
8
2
y
x
x
y
⋅= Se usó la propiedad de la potencia de una potencia.
64
282
2
yx
xy
=
2
22
24
682
22
x
y
x
y
== −
−
c) 2
22
−
−−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
b
a
a
b
a
a
2
2
1 −
−
⋅=
b
aa
Se efectua el producto de fracciones y se simplifica.
2
21
−
−
=
b
a
a
b2
=
En c) también se pudo usar la propiedad 7.
Se aplico la propiedad de la potencia de un cociente. También
se pudo invertir la fracción cambiando el signo al exponente.
Se tiene que simplificar, expresando cada factor con exponente
positivo. Para ello agrupamos las mismas bases: la potencia x del
numerador se pasa al denominador y la potencia y del numerador al
denominador para que de una vez queden las potencias positivas
Se agrupan los factores con la misma base a fin
de simplificar

14
Ejercicio de desarrollo.- Simplifique la siguiente expresión. Exprese su respuesta usando exponentes
positivos
2
2
132
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
y
x
x
y
El lector habrá podido darse cuenta de la siguiente:
Extensión de las propiedades 3 y 4:
3´
( ) mknkkmn
baba ⋅=⋅ ( ) kk
xx 2623
33 ⋅=⋅ ( ) mknkkmknkmn
bababa ⋅=⋅=⋅ )()(
4´
mk
nkk
m
n
b
a
b
a
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
1535
63
5
2
6422
xxx
==⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
Ejercicio
Los exponentes sirven para representar cantidades muy grandes usando la notación científica
Recordemos lo siguiente
Es claro que la raíz n-ésima de 0 es 0, esto se denota como: 00 =n
para los otros valores de b
tenemos que hacer consideraciones acerca del signo de b y la paridad del índice, las cuales son
mostradas en la siguiente tabla:
n par (ejemplo n=4) n impar(ejemplo n=3)
0>b Hay dos raíces reales: Una positiva y otra negativa.
La positiva se denota por n
b y se llama la raíz
principal. La negativa se denota por n
b−
3814
= y 3814
−=−
son las raíces cuartas de 81
Observe que 81)3( 4
=−
Hay una sola raíz real
Se denota por n
b y siempre es
positiva.
3273
= es la raíz cúbica de 27
27)3( 3
=
0<b No existen raíces reales:
Por ejemplo si 16−=b , vemos que
no existe a tal que 164
−=a .
Observe que el signo de a4
es positivo
Hay una sola raíz real
Se denota por n
b y siempre es
negativa.
3273
−=− es la raíz cúbica de -27
porque 27)3( 3
−=−
Notación: Si n=2 entonces colocamos a .
Observaciones:
1.- 24 ±≠ , 4 es la raíz positiva, el signo se omite. 4 es simplemente 2.
2.- aan n
= para n impar
3.- Para n par tenemos
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0
0
asia
asia
an n
Definición: Se dice que a es una raíz n-ésima de b si ban
= .

15
Por ejemplo 2)2(24)2( 2
−≠−−===− .
En el resto del capítulo, a menos que se diga lo contrario, supondremos que todas las variables
representan números positivos.
Para definir los exponentes racionales se usan radicales.
Ejemplo 2.- Exprese los siguientes radicales como potencia de exponentes racionales.
a) 3
2 ; b) 5 3
x ; c) 8
Solución:
a) 3/13
22 =
b) 5/35 3
xx =
c) 2/1
88 =
La siguiente tabla muestra las propiedades de los radicales, se ha colocado en el lado derecho
la propiedad equivalente usando la notación con exponente racional.
Propiedad Ejemplo Escritura en exponente
fraccionario
nnn
baba ⋅=⋅
Raíz de un producto
1) 292918 ⋅=⋅=
2) =⋅=⋅ 3/13
)278(278
( ) ( ) ( ) 63232
3/133/133/133
=⋅=⋅=
( ) nnn
baba /1/1/1
⋅=⋅
n
n
n
b
a
b
a
=
33
3
3
3
2
3
8
3
8
== n
nn
b
a
b
a
/1
/1/1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
mnn m
aa ⋅
= 84
2727 = mnnm
aa ⋅
=
1
/1/1
)(
( )m
nn m
aa =
Si n es par y a es negativo
la propiedad no es válida
( ) ( ) 8223232 3
3
5 53
55 3
==⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛==
mnnm
aa )( /1/
=
Observe que esta última propiedad se usó para evaluar expresiones como 5 3
32 . Este número es el
mismo que 82)32( 335
== .
Ejemplo 3.- Evalúe las siguientes cantidades: a) 3/1
)8000(− b) ( ) 3
16.0
−
Solución:
a) Descomponemos 1000818000 ⋅⋅−=− .
3/1333/1
)1021()8000( ⋅⋅−=−
3/133/133/1
)10()2()1(−=
Definición.- Sea nm, números enteros, sin factores comunes, n >1. Si n
a existe, entonces se
define
n mnm
aa =/
Se exceptúa de la definición el caso en que m es negativo y a cero.
Se intenta expresar cada factor como potencias
con exponente múltiplo del índice de la raíz.

16
201021021 3
3
3
3
−=⋅−=⋅⋅−=
b) Primero usamos la definición de exponentes negativos
( )
( )3
3
16.0
1
16.0 =
−
Escribimos
100
16
16.0 = , para luego usar la propiedad del cociente de la raíz
3
100
16
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
100
16
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= Se aplicó la propiedad del cociente de una raíz
33
5
2
1
10
4
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= Se simplifican fracciones
8
125
5
2
1
1
3
3
==
Ejercicio de desarrollo.- Simplifique la siguiente expresión. Exprese su respuesta usando exponentes
positivos: a) ( ) 2/3
400 b) 3
027.0− c) 2/1
9−
Ejemplo 4.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use exponentes
positivos.
a) 218 ⋅ ; b) ( ) 532
yyx ⋅ ; c)
3
4
3
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
x
yx
Solución:
a) 636218218 ==⋅=⋅ Se uso la propiedad de la raiz de un cociente de derecha a izquierda
b) ( ) 2
5
2
3
2532
)( yyxyyx =⋅ Se reescribe en la notación fraccionaria
2
5
2
3
2
3
2
yyx
⋅
=
2
5
2
3
3
+
= yx
43
yx=
c)
( )
12
333/1
3
4
3
−−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
x
yx
x
yx
Se distribuyó el exponente interno multiplicando entre los exponentes internos
313
123
1
yx
xxy
==
Recuerde que este tipo de expresiones está simplificada si
aparece una sola vez cada factor. Para simplificar se
agrupan las mismas bases sumando los exponentes

17
Ejercicio de desarrollo.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use
exponentes positivos: a)
( )
3/1
3 42
xy
xy
; b)
xy
yx 352
)(
Ejemplo 5 .- Elimine los exponentes negativos y los radicales en las siguientes expresiones:
a) yx 2+ ; b) 11
2 −−
+ yx ; c) 11
)( −−
+ yxx
Solución:
a) 2/12/1
)2(2 yxyx +=+ ;
b)
2/1
11 1
2
11
2
1
2 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=+=+ −−
yxyx
yx
2/1
21
yx
+=
c)
)(
1
)( 1
11
yx
xyxx
+
⋅=+ −
−−
y
x
x
+
⋅=
1
1
1
x
yx
x
+
=
1
Se aplica la doble C
2/1
2
1 yx
x
⋅+
=
Ejemplo 6.- Escriba las formas exponenciales dadas en otra forma que involucre radicales
a) 2/1
25 x− ; b) 2/1
)25( −
− x
Solución:
a) En la expresión 2/1
25 x− , x es la expresión que está elevada a la ½. Así que convertimos esta
expresión con exponentes fraccionarios en una con radicales.
xx 2525 2/1
−=− .
b) En este caso es )25( x− que está elevado a la -1/2. Primero eliminamos el signo menos, pasando la
expresión al denominador:
2/1
2/1
)25(
1
)25(
x
x
−
=− −
x25
1
−
=
Tipificación de errores
Error Comentarios
( ) nnn
baba /1/1/1
+≠+
nnn
baba +≠+
La propiedad no es con la suma sino con la multiplicación
( ) nnn
baba +≠+
mnmn
aaa ⋅
≠ Los exponentes de igual base se suman, no se multiplican
n
n
ab
ab
1
≠− La potencia es la primera operación a considerar, afecta sólo a b
Es importante que remarcar que en esta situación el
paréntesis no se puede omitir, este paréntesis va
indicar que la raíz se va aplicar a la expresión
x25− .

18
baban n
+≠+
baabn n
⋅≠
baban nn
+≠+
Para poder simplificar debe ir todo el radicando elevado a la n.
baban n
+=+ )(
ababn n
=)(

19
EXPRESIONES NUMERICAS MIXTAS:
Para evaluar las expresiones numéricas mixtas existe una convención en el orden de ejecutar
las operaciones. Esta es:
Ejemplo 1.- Evaluar las siguientes expresiones numéricas:
a)
3
3
2
2
27
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− ; b) 32
2
232
341
⋅−
⋅−
; c)
43
3
2
1232 2
⋅−
−−⋅
Solución:
a) Resolvemos primero el paréntesis aplicando la propiedad de la potencia de un cociente:
3
3
2
2
27
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− = 3
3
3
2
1
2
27
1
⋅− Se realiza las potencias
=
27
8
1
2
27
1
⋅− Se realiza entonces la multiplicación
27
82
27
1 ⋅
−= Se procede con la diferencia de fracciones
9
5
27
15
27
161
−=−=
−
= Se simplificó
b) Se calcula simultáneamente el numerador y el denominador. En cada parte de la fracción se calcula
primero las potencias indicadas, luego se pasa a resolver las multiplicaciones
834
941
232
341
32
2
⋅−
⋅−
=
⋅−
⋅−
244
361
−
−
= Se realiza las diferencias de cada parte de la fracción
4
7
20
35
=
−
−
= Se simplificó
c) Se realiza primero la radicación, para ello debemos resolver la operación indicada en el radicando
43
3
2
1292
43
3
2
1232 2
⋅−
−−⋅
=
⋅−
−−⋅
Simultáneamente podemos trabajar las operaciones del denominador
=
12
3
2
116
−
−
Se toma raíz en el numerador y se realiza la resta en el denominador
34
9
34
33
3
362
3
1
12
3
2
14
−=
−
⋅
=
−
=
−
−
=
1ero
.- Se resuelven las operaciones delimitadas por los paréntesis más internos.
2do
.- Se ejecutan las potencias y radicales de izquierda a derecha.
3ero
.- Se consideran las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
4to
.- Se resuelven las sumas y restas de izquierda a derecha

20
Ejercicio de desarrollo.- Evaluar la siguiente expresión numérica
3
5
6
25
4
2
27
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅−+
Ejemplo 2*
.- Simplificar las siguientes expresiones numéricas:
a) 51025032500 +−− ; b)
2
321258327 ++−
; c)
3 2
3
4
1
2
4
+ .
Solución:
a) Primero sacamos factores cuadráticos factorizando en los radicandos
51025032500 +−− =
= 5101025310025 +−⋅−⋅ Se aplica la propiedad de la raíz de un producto
5101025310025 +−⋅−⋅=
= 5101053105 +−⋅−⋅ Agrupamos términos con radicales iguales
= 101015550 −−+ Se aplica la propiedad distributiva en los términos con 10
= )115(1055 +− 101655 −= . Se sumo dentro del paréntesis y se aplicó propiedad conmutativa.
b) De nuevo, lo primero que hacemos es sacar factores cuadráticos, una alternativa de hacerlo es
descomponiendo en factores primos
2
321258327 ++−
=
=
2
2232522333 4222
⋅+⋅+⋅−⋅
=
2
2232522333 4222
++−
=
2
243102633 ++−
Agrupamos términos con radicales iguales
=
2
242631033 +−+
2
2)46(3)103( +−++
=
=
2
22313 −
.
Este tipo de expresiones se suelen expresar con el denominador racionalizado. En el caso que
exista un solo término en el denominar se multiplica y divide por un número que complete la potencia
del índice. Así
2
22313 −
=
2
2
2
22313
⋅
−
Se expresa cada potencia de primo como un
producto donde el exponente de uno de los
factores es múltiplo del índice
Se aplica la propiedad distributiva de derecha a
izquierda en los términos con 3 y 2 .

21
= =
−
22
2)22313(
2
4613
)2(
)2(22313
2
2
−
=
−⋅
c) Racionalizamos el denominador del segundo término en
3 2
3
4
1
2
4
+
=+
3 2
3
4
1
2
4
3
3
3 2
3
4
4
4
1
2
4
⋅+
3 3
33
4
4
2
4
+=
4
43
4
442
4
4
2
4 33333
⋅
=
+⋅
=+=
También se pudo realizar la suma de fracciones y luego racionalizar el denominador.
Ejemplo 3*
.- Racionalizar el denominador en la expresión numérica
5 2
7
2
Solución: Se busca completar el índice de la raíz
7
72
7
72
7
7
7
2
1
7
2
7
2 5 3
5 5
5 3
5 3
5 3
5 25 25 2
==⋅=⋅=
Ejercicio de desarrollo.- Simplificar las siguientes expresiones numéricas:
a) 8542436 −−− ; b)
3
657512 ++−
; c)
18
1
3
3
8
1
2
1
2
2
−−−+
EJERCICIOS
1) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos.
1.1) 232324
)3()(2 baba ; 1.2)
2
3
32
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
x
yxy
; 1.3)
232
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
xyxy
; 1.4)
2
2
2
2
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
x
y
xy ;
1.5) ( )
22
2
2
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
x
y
xy ; 1.6)
3
2
32 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
ba
a
a ; 1.7)
3
2
32 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
ba
a
a
2) Evalúe las siguientes expresiones numéricas:
2.1)
16
1
; 2.2)
9
4
; 2.3) 3
8
27
− ; 2.4) 3
027.0 ;
2.5) 2/1
)04.0( ; 2.6) 3/1
)27000( ; 2.7) 5/1
)32(− ; 2.8) 3
64− ;
2.9) 5/1
)32( −
; 2.10) 2/3
)09.0( −
; 2.11) 3/2
)8000( −
−
3) Escriba las formas exponenciales en otra forma que involucre radicales
3.1) 2/12/1
23 −x ; 3.2) 2/1
23 −x ; 3.3) 2/1
)23( −x ; 3.4) 2/32/1
23 −x ; 3.5) 2/12/1
2)3( −x ;
3.6) ( ) 2/3
23
−
− x ; 3.7) 2/32/1
23 −−
x ; 3.8) 2/1
23 −
−x ; 3.9) 2/1
)23( −
−x
4) Escriba las formas dadas en otra que use exponentes positivos, evite radicales y exponentes
negativos:
4.1) x25 − ; 4.2) x25 − ; 4.3) 25 1
−−
x ; 4.4) 1
)25( −
−x ;
4.5) 3)5( 1
−−
x ; 4.6) x25 − ; 4.7) 2
)25( −
−x ; 4.8) 2
25 −
−x ;

22
4.9) ( ) 111
35
−−−
−x ; 4.10) ( ) 211
3
−−−
−x ; 4.11)
2
11
5 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ − −−
x
5) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos. Evite
radicales.
5.1) 3
3
6
27
y
x
−
; 5.2)
x
x
3
27 2
; 5.3) 532
yxyx ;
5.4)
2
3
3 2
2
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅ x
y
xy ; 5.5) ( )
22
2
2
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
x
y
xy ; 5.6)
3
2
32
3
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
ba
a
a ;
5.7)
3
2
32
3 2
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
÷
−
−
ba
a
a ; 5.8) 1
222
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
b
ab
a
ba
; 5.9) ( ) 223
−
yxyx ;
5.10) 323
3)(2 baba ; 5.11) 3
22
2
xy
x
y
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
; 5.12)
2
1
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛− xy
yx ; 5.13) 1
2
2
−
÷ xy
xy
xy
6) Evalúe las siguientes expresiones mixtas:
6.1) 2/1
432 ⋅− ; 6.2)
2
274
2
3
2
32
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅ ; 6.3) 2
2
221
2
⋅−
−
;
6.4) 22
)
3
2
2
1
(52 −−− ; 6.5) 1
2
3
)
3
2
2
3
(
2
2
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−− ; 6.6)
5
1
2)1
3
1
(91 2
⋅+−− ;
6.7) 2
)
3
2
42( − ; 6.8) 3/2
821 −
⋅− ; 6.9)
3
3 3
2
3541
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −−
;
6.10)
4
1
255
3
1
2
2
−⋅+
−
; 6.11)
95
21752
2
2
2
−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −−
; 6.12)
2
1
43
2
1
29 2
−⋅
−⋅
7*
) Simplificar las siguientes expresiones numéricas:
7.1) 37216328 −+− ; 7.2)
6
5410824 +−
; 7.3) )6318(3288 +−+
7.4)
6
85426 +−
; 7.5) 33148 −− ; 7.6)
4
9
4
3
3
1
+−
7.7) 333
125
4
108004.0 +− ; 7.8) 22
18
6
2
2
3
3
+−+
8) Diga cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique
8.1) ( ) 932
=− ; 8.2) ( ) mnnm
aa )()( = ;
8.3) ( ) 222
+=+ aa ; 8.4) ( ) n
n
a
a
=−
1
;
8.5) ( ) 22218 += ; 8.6) ( ) 332
−=− ;
8.7) ( ) 3632 2
=⋅ ; 8.8) ( ) ( ) nnn
yxyx +=+ ;
8.9) ( ) 22
)()( yxyx −−=+− ; 8.10) ( ) 392
+=+ xx ;
8.11) ( ) 283
−=− ; 8.12) ( ) 2550 = ;

23
8.13) ( ) 2
xx −= para x negativo; 8.14) ( ) 2/12/12/12/1
1218)23(6 +=+
PROBLEMAS DE ECONOMÍA
1) El número N de unidades producidas usando x unidades de trabajo y k unidades de capital está dada
aproximadamente por 4/34/1
90 kxN = (Ecuación de Cobb-Douglas). Estime las unidades a producir
empleando 256 unidades de trabajo y 16 de capital. Respuesta: 11520
Respuestas: 1.1) 12162
32 ba⋅ 1.2) 3
8
2x
y
; 1.3) 4
2
yx ⋅
1.4) 2
3
4
y
x
; 1.5) 2
4
4
y
x
; 1.6) 15
18
a
b
;
1.7) 17
18
a
b
;2.1)
4
1
; 2.2)
3
2
; 2.3)
2
3
− ; 2.4) 0.3 ; 2.5) 0.2; 2.6) 30; 2.7)-2; 2.8) 4− ; 2.9)
2
1
;
2.10)
27
1000
;2.11)
400
1
3.1) 23 −x ; 3.2) 23 −x ; 3.3) 23 −x ;3.4) 3
23 −x ;
3.5) 23 −x 3.6)
3
)23(
1
x−
;3.7) 8
3
−
x
;3.8)
2
1
3 −x ;3.9)
)23(
1
x−
4.1) 2/12/1
)2(5 x− ;
4.2) 2/1
)25( x− ; 4.3)
x
x
x
25
2
5 −
=− ; 4.4)
25
1
−x
; 4.5)
x
x
x 5
151
3
5
1 −
=− ;4.6) 2/12/1
25 x− ; 4.7)
2
)25(
1
−x
; 4.8) 2
2
1
5 −x ; 4.9)
x
x
−15
3
; 4.10) 2
2
)3(
)3(
x
x
−
; 4.11)
( )
x
x
5
5
2
2
1
2
1
−
; 5.1)
y
x2
3−
5.2) 3 ;
5.3) 32/5
yx ; 5.4) 3/4
4
y
x
; 5.5) 2
4
4
y
x
; 5.6) 11
18
a
b
; 5.7) 9
3/38
b
a
; 5.8) 2/5
1
a
; 5.9) 6/113/11
1
yx
;
5.10) 35
6 ba ; 5.11) 2/3
2/11
4x
y
; 5.12)
4
2/52/3
yx
; 5.13) 2/3
1
x
6) ; 6.1) -4; 6.2)
2
3−
; 6.3)
7
4
;6.4)
36
149
− ;
6.5)
9
5
− : 6.6)
5
13
− ;6.7)
9
2
; 6.8)
2
1
; 6.9) 1− ; 6.10)
57
20
; 6.11) 1; 6.12)
23
11
;7.1) 1574 − ;
7.2) 235 − ; 7.3) )72(7 +− ; 7.4)
3
32
5 +− ; 7.5) 13 − ; 7.6)
2
3
3
6
1
+− ; 7.7) 3
4
10
27
− ;
7.8) 223 + ;
8.1) ( F ) 9932
≠−=− ; 8.2) (V ) mnmnnm
aaa )()( == ⋅
; 8.3) ( F ) No se puede cancelar el
cuadrado con la raíz. Si a=1 el lado izquierdo es 3 y el lado derecho es 3, distintos; 8.4) ( V ) El
denominador pasa al otro lado de la fracción con exponente cambiado de signo: n
n
n
a
a
a
=
⋅
=
⋅−
1
1
1
1
;
8.5) ( V ) El lado derecho es igual a 182323222 2
=⋅==+ ;
8.6) ( F ) El lado izquierdo ni siquiera está definido 932
−=− ; 8.7 ) ( F ) La potencia es la
primera operación que se realiza 36189232 2
≠=⋅=⋅ ; 8.8) ( F ) El exponente no se distribuye en
una suma. Si se toma el valor 1 tanto para x como y y n=2, el lado izquierdo es 4 y el izquierdo 2, el
lado izquierdo es distinto al derecho; 8.9 ) ( F ) El menos no se distribuye en una potencia. El lado
izquierdo es un número negativo el derecho es un número positivo; 8.10) (F ) No se puede cancelar el
cuadrado con la raíz. Si tomamos como x=1 el lado izquierdo es 10 y el lado derecho es 4, distintos;
8.11 ) (V ) ( ) 228 3 33
−=−=− ; 8.12) ( V ) Se descompone el 50 y se aplica la propiedad de la
raíz de un producto 22522550 =⋅= ; 8.13) ( V ); 8.14) (F ) 2636)23(6 2/12/1
+=+ .
Para introducir el 6 dentro de la raíz hay que elevarlo al cuadrado.

24
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Un grupo de variables representadas por letras junto con números reales que se combinan con
operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o extracción de raíces es llamada una
expresión algebraica.
Ejemplo 1.- Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:
a.-
1
1
3
+
−
x
xx
. En este caso la variable es x.
b.- 2
)(
2
1
yx
xy
+− . Aquí tenemos una expresión algebraica en las variables x y y .
c.- 153 25
−− xax . Si asumimos a una constante, ésta es una expresión algebraica en la variable x .
Esta expresión algebraica tiene tres términos. Recordemos que un término es un sumando de una
expresión. En este caso los términos son ,3 5
ax 2
5x− y -1. Como a representa un número fijo entonces
3a es el coeficiente de x5
y 3 es el coeficiente numérico. El término -1 es el término constante.
Las expresiones algebraicas con un solo término se las conoce como monomios. Por ejemplo
x2 . Las que tienen dos términos se las denomina binomios. Las que tienen tres términos trinomios. El
ejemplo b tal como está escrita es un binomio y el c un trinomio. Cuando tiene más de tres término se
les llama un multinomio. La expresión c es conocido también como un polinomio.
Un polinomio es una expresión de la forma
01
1
1 axaxaxa n
n
n
n ++++ −
− K ,
con n un entero no negativo. Si 0≠na , entonces n es el grado del polinomio y na es conocido como el
coeficiente principal. Por ejemplo: 12 3
−x es un polinomio de grado 3 con coeficiente principal 2.
5x+1 es un polinomio de grado 1, el coeficiente principal es 5. La expresión 2/1
xx = no es un
polinomio porque el exponente no es entero. Tampoco 11
−−
x es polinomio porque el exponente de la x
es negativo. Un polinomio muchas veces es representado por )(xP , así
)(xP 01
1
1 axaxaxa n
n
n
n ++++= −
− K .
OPERACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Como las variables representan número reales, las propiedades de los números reales pueden
ser usadas para operar expresiones algebraicas con la idea de ir obteniendo expresiones equivalentes
pero más sencillas. A continuación indicaremos como proceder con sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El primer ejemplo que mostramos es muy riguroso en el uso de las propiedades. De este
ejemplo intentaremos extraer los pasos más importantes para proceder de manera más rápida en los
siguientes. Una clave en este tipo de manipulación es la suma de los términos semejantes. Se dice que
dos términos son semejantes si son iguales salvo en el coeficiente numérico. Por ejemplo la expresión:
112 +++ xx tiene dos términos semejantes.

25
En 22
332 xxxxx +++ , sólo 2
2x+ y 2
3x son términos semejante, no así x y xx3 ,
pues difieren en algo más que su parte numérica.
Ejemplo 1.- Determine la suma )154()23( 232
−−++− xxxx . Simplifique tanto como sea posible
Solución: Podemos quitar los paréntesis
)154()23( 232
−−++− xxxx = 15423 232
−−++− xxxx
= 12354 223
−+−−+ xxxx
= 13))5(1(4 23
+−−++ xxx
= 1344 23
+−− xxx
Observe como en el ejemplo anterior terminamos sumando algebraicamente los coeficientes
de los términos semejantes. Podemos obviar el paso de la propiedad conmutativa y la aplicación de la
propiedad distributiva y de una vez sumar algebraicamente los coeficientes de los términos semejantes
y colocar la parte no numérica: rrr
xbabxax )( +=+
Veamos el siguiente ejemplo, donde aprovecharemos este comentario:
Ejemplo 2.- Determine )52()23( 22
xxxxx −−−+− . Simplifique tanto como sea posible.
Solución: Reescribimos la resta como una suma y luego quitamos los paréntesis aplicando la
propiedad distributiva:
)52()23( 22
xxxxx −−−+− = )52)(1()23( 22
xxxxx −−−++−
= xxxxx ++−+− 5223 22
= 2)31(5))2(1( 2
+−++−+ xxx
= 2252
+−+− xxx .
Comentario: Cuando hay una resta podemos proceder a eliminar el paréntesis tomando en cuenta que
el signo menos cambia el signo de cada término de la expresión que estamos restando, como
efectivamente ocurrió en el ejemplo anterior.
Ejemplo 3.- Determine )54()43( 233
xxxxx +−−−+− . Simplifique tanto como sea posible
Solución: En esta ocasión hacemos uso del comentario anterior, eliminamos el paréntesis cambiando el
signo a cada término de la segunda expresión
)54()43( 233
xxxxx +−−−+− = xxxxx −+++− 233
5443
= 4455 23
+−+ xxx
Ejercicio de desarrollo.- Determine )2()333( 22
xxxxx +−−+− . Simplifique tanto como sea
posible.
Se aplica propiedad conmutativa, se agrupa los términos semejantes.
Aplicamos la propiedad distributiva para realizar 22
5xx −
Realizamos la suma algebraica de los términos constantes.
2
x y 2
2x− son términos semejantes.
Igualmente x3− y x
Se suma algebraicamente los coeficientes
de términos semejantes
Se suma algebraicamente
los coeficientes de términos
semejantes.
Se recomienda en la reescritura de expresiones algebraicas trabajar cada
igualdad en otra línea, de esta manera se podrá contrastar lo que ya reescribió y
lo que le falta. Trabaje siempre de manera ordenada y espaciosa.

26
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar expresiones algebraicas podemos usar la propiedad distributiva o bien si es
el caso aplicar un producto notable de uso frecuente, los cuales se aprenden de memoria y se
deducen rápidamente usando la propiedad distributiva.
Una forma muy frecuente de ellos a ser usada está dada por
Tenemos también los siguientes:
Productos Notables:
En el siguiente ejemplo se presentan distintos casos donde es apropiado usar algunos de los
productos notables dados arriba
Ejemplo 1.- Realizar los siguientes productos:
a) )6)(3( ++ xx ; b) )4)(3( −+ xx ; c) )23)(23( 22
+− xx ; d) 22
)21( −+x ; e) 3
)34( −y
Solución:
a) Lo identificamos con el producto: abxbaxbxax +++=++ )())(( 2
en este caso 3=a y 6=b .
Así:
63)63()6)(3( 2
⋅+++=++ xxxx
1892
++= xx
b) Este producto lo identificamos de nuevo con ))(( bxax ++ , en este caso 3=a y 4−=b . Tenemos
entonces:
)4)(3( −+ xx )4(3))4(3(2
−⋅+−++= xx
122
−−= xx
c) En este caso tenemos la forma 2. Aquí identificamos 2
3xa = y b =2. Aplicando la formula y
propiedades de exponentes obtenemos:
22222
2)3()23)(23( −=+− xxx
43 42
−= x
49 4
−= x
d) La forma apropiada a aplicar es la 4 con 12
+= xa y b=2. Entonces tenemos
=−+ 22
)21( x −+ 22
)1( x 2 22
221 +⋅+x
4141 22
++−+= xx
145 22
+−+= xx
e) Lo identificamos con el producto notable 6, con a=4y y b=3. Así
32233
3)4(33)4(33)4()34( −⋅+⋅−=− yyyy
27427494 2233
−⋅⋅+⋅−= yyy
2710814464 23
−+−= yyy
2) 22
))(( bababa −=−+
3) 222
2)( bababa ++=+
4) 222
2)( bababa +−=−
5) 32233
33)( babbaaba +++=+
6) 32233
33)( babbaaba −+−=−
1) abxbaxbxax +++=++ )())(( 2
Recuerde que:
Se recomienda en la
reescritura de expresiones
algebraicas trabajar cada
igualdad en otra línea.

27
Los productos notables serán claves en la factorización de expresiones algebraicas.
Ejercicio de desarrollo.- Realizar los siguientes productos:
a) 2
)52( −x ; b) )233)(332( xx −+ ; c) 3
)2( +x
En el siguiente ejemplo tenemos casos donde es apropiado usar la propiedad distributiva. La
parte b) será muy explicativa, luego se procederá de una manera más rápida.
Ejemplo 2.- Realizar los siguientes productos. Simplifique
a) )13( 3
+− xxx ; b) )42)(13( 2
−+− yyy
Solución: Usamos en ambos casos la propiedad distributiva
a) )13( 3
+− xxx = xxx +− 24
3
b) En este caso interpretaremos (3y-1) como el factor que se distribuye en )42( 2
−+ yy
)42)(13( 2
−+− yyy =(3y-1) y2
+(3y-1) 2y-(3y-1).4.
=(3y3
- y2
)+(6y2
- 2y)-(12y-4)
=3y3
+5y2
- 14y+4
Cuando examinamos la primera línea del ejemplo 2b, vemos que en realidad cada término de
cada factor se multiplica con cada término del segundo factor:
De esta manera procederemos en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3.- Realizar los siguientes productos. Simplifique.
a) )134)(23( 32
−−+− xxxx ; b) )22)(2( +++ xxx
Solución:
a) )134)(23( 32
−−+− xxxx
= +⋅−⋅− 2223
134 xxxxx )3(1)3(3)3(4 3
xxxxx −⋅−−−− + 123242 3
⋅−⋅−⋅ xx =
= −−− 235
34 xxx xxx 3912 24
++ + 268 3
−− xx Se suman los términos semejantes
= xxxxx 385124 2345
−++− 2−
b) )22)(2( +++ xxx = +++ xxxxx 22 22222 ⋅+⋅+ xx
= +++ xxxx 22 442 ++ xx Se
suman los términos semejantes
= +++ xxxx 64 4
Ejercicio de desarrollo.- Realizar los siguientes productos. Simplifique
a) )43)(2( 22
−−+ xxx ; b) )23)(23( 22
−+++ xxxx .
Ahora interpretamos y2
, 2y y 4 como los
factores que se distribuyen en (3y-1).
Finalmente, distribuimos los signos y
sumamos términos semejantes
Observe que al ejecutar el producto el lado izquierdo
es reescrito como una suma de términos

28
OPERACIONES COMBINADAS
Una expresión como { } )3)(3(])1([2 22
+−−+−− xxxxx puede ser escrita de una manera más
sencilla tanto para evaluar como en su propia escritura. Como la variable representa un número real,
para realizar este tipo de operación se debe considerar el orden establecido para los números reales:
primero eliminar los paréntesis o delimitadores más internos, intentando con este criterio de ir
eliminando todos los paréntesis o separadores, respetando el orden subsiguiente de las potencias,
multiplicaciones y por último de ejecutar las sumas y restas. Este pendiente si el paréntesis es para
indicar una potencia, un producto o una diferencia.
En ocasiones es útil usar las propiedades asociativa, conmutativa o alguna otra dada.
Analicemos algunas expresiones:
Ejemplo 1.- Exprese cada expresión algebraica como una suma de términos no semejantes
a) )1(82 −− t ; b) 2
)1(82 −− t ; c) ( )2
)1(82 −− t ; d) )3)(2()3(2 2
−−−− xxxx ;
e) { } )3)(3(])1([2 222
+−−+−− xxxxx
Solución: Para expresarlos como una suma debemos ejecutar los paréntesis, potencia y productos
indicados de acuerdo al orden de jerarquia, por último quedan sumandos que se agrupan los semejantes.
a) Primero se resuelve el paréntesis más interno, en este caso hay uno sólo
( )182)1(82 −−=−− tt
882 +−= t Se agrupan terminos no semejantes
108810 +−=−= tt
b) Aquí interpretamos que 8 está multiplicando la expresión 2
)1( −t . Luego de obtener el resultado de
este producto se realiza la resta algebraica entre 2 y 2
)1(8 −t .
Realizamos entonces primero el producto que es notable. Hay que mantener el paréntesis para
indicar que -8 esta multiplicando el resultado completo de 2
)1( −t .
)12(82)1(82)1(82 222
+−−=−−=−− tttt Resolvemos el paréntesis para ello distribuimos primero el -8
81682 2
−+−= tt
6168 2
−+−= tt
c) En este caso, podríamos ejecutar primero 8(t-1) y luego esta expresión elevarla al cuadrado. Sin
embargo, se le sugiere al estudiante aplicar la propiedad nnn
yxyx =⋅ )( . De esta manera
( )222
)1(82)]1(8[2 −−=−− tt
)12(642 2
+−−= tt
64128642 2
−+−= tt
6212864 2
−+−= tt .
d) Primero efectuamos los productos de los dos términos de la expresión )3)(2()3(2 2
−−−− xxxx .
Para el segundo término usamos la propiedad asociativa:
)3)(2()3(2 2
−−−− xxxx = ( ) ( ))3)(2()3(2 2
−−−− xxxx Observe la necesidad de mantener los paréntesis
= ( ) ( )65962 22
+−−+− xxxxx Ahora se usa la propiedad distributiva
= xxxxx 6518122 232
−+−+− Se suman términos semejantes
= 18187 23
+−+− xxx
e) Esta expresión consta de dos términos, los cuales podemos trabajar simultáneamente. En el primer
termino desarrollamos la potencia. En el segundo término tendremos la precaución de colocar
paréntesis ya que este producto se ve afectado por el menos.
Cuidado!!!
)1(6)1(82 −−≠−− tt
Observe como hemos reescrito ( )2
)1(82 −− t como una
suma de términos sencillos.
Recuerde que se recomienda en la reescritura de
expresiones algebraicas trabajar cada igualdad en otra línea

29
{ } )3)(3(])1([2 222
+−−+−− xxxxx = { } { })3)(3()]12([2 242
+−−++−− xxxxxx
= { } { }9]12[2 2242
−−−−−− xxxxx Se eliminó el delimitador más interno en este caso ( )
= { } 9]1[2 224
+−−−−− xxxx Se procede a eliminar el delimitador más interno de esta expresión [ ]
= { } 912 224
+−+++ xxxx
= 92222 224
+−+++ xxxx Se suman términos semejantes
= 1122 24
+++ xxx
Ejercicio de desarrollo.-Expresar: 2
)2()32)(32(2 −−+− xxxx como una suma de terminos no
semejantes
EVALUACIÓN DE POLINOMIOS.
Las expresiones polinómicas 01
1
1 axaxaxa n
n
n
n ++++ −
− K son representadas por )(xP . El
polinomio se llama P y el signo o notación: )(x significa que este es un polinomio en la variable x.
El valor numérico de un polinomio P en c (número real) es el valor numérico obtenido al
sustituir x por c. Este valor numérico se denotará por )(cP . También hablamos de P evaluado en c. Así
que )(cP significa el valor numérico de P en c o P evaluado en c.
Recomendación: En el momento de sustituir x por c considere la necesidad o no de colocar paréntesis.
Ejemplo 1.- Sea 13)( 24
+−= xxxP . a) Calcular el valor de P en -2. b) Calcular )23(P ; c) Evaluar
P en 1.
Solución: En cada una de estas partes se pide evaluar o conseguir el valor de P en distintos valores.
a) Nos piden encontrar )2(−P . Para ello sustituimos x por -2.
31)2(3)2()2( 24
=+−−−=−P Recordemos que debemos colocar entre paréntesis el -2.
b) ( ) ( ) ( ) 271123323123323)23( 22424
=+⋅⋅−⋅=+⋅−=P .
c) Tenemos que encontrar )1(P
11)1(3)1()1( 24
−=+−=P En este caso no hacía falta colocar el paréntesis.
EJERCICIOS
1) Realizar los siguientes productos, simplifique tanto como pueda:
1.1) 22
)23( +x ; 1.2.) 22
)29( +x ; 1.3) 23
)2( −x ;
1.4) 32
)2( +x ; 1.5) )32)(32( +− xx ; 1.6) )12)(13( 32
−+− xxx ;
1.7) 2
)32( +x ; 1.8) )2)(1( 2/12/1
−+ tt ; 1.9) )2)(2( xx −+ ;
1.10) 2
)32( +x ; 1.11) )34)(234( 324
xxxx −++ ;
1.12) )1)(( 44 3
−++ xxxx ; 1.13) 2
)23( t− ; 1.14) 2
)
1
2(
x
− ;
1.15) 2
)
1
2(
z
z − ; 1.16) 33
)
1
(
x
x − ; 1.17) 2
)23( x− ;
1.18) 2
)22( x− ; 1.19) )22)(22( yy −+ ; 1.20) )22)(22( xx +− ;
1.21) 333
)4( x− ; 1.22) 32/1
)12( −x ; 1.23) ( )2
)12)(12( +− yy
1.24) 22
)22()22( xx +− ; 1.25) )22)(42( 2/12/1
+− tt ; 1.26) ))(( 33
xxxxxx ++−+

30
2) Realice las siguientes operaciones, simplifique tanto como pueda:
2.1) )3(2)232( 2
−+−− xxx ; 2.2) )1(2)33( 2
−−+− zzz ;
2.3) )3()2( 3
xxxxxx ++−+ ; 2.4) )2(2)( 44
xxxx +++ ;
2.5) 22
)1(2)3( −++ xx ; 2.6) 22
)12(3)2( −−− xx ;
2.7) 22
)1()2( +−+ xx ; 2.8) )2(4)2( 2432
xxx +−+ ;
2.9) yyy ++− )3)(3( 2
; 2.10) )12()]13(1[ 32
−++−−− xxx ;
2.11) { } )3)(1(2)2()]22()3[(23)1(4 222
+−−−+−+−+−− xxxxxxx
2.12) )1()2)(2( +−+− xxxxx ; 2.13) )1)(2(2)2)(3(2 ++++− xxxxx ;
2.14) ( )( ))15(14)32)(32(3 −−−−+− xxxxx
3) Realice las siguientes operaciones, simplifique tanto como pueda:
3.1) 23
)23( −z ; 3.2) 2
)82( +x ;
3.3) ( )123)22( 2343
+−+−−−+ xxxxxx ; 3.4) 33
)2( xx + ;
3.5) )32()32( 3
+−−−−+− xxxxxxx 3.6) )12)(13( 32
−+− ttt ;
3.7) 2
)32( xx + ; 3.8) 22
)2()2( yxyx +−
3.9) )2()2)(1(3)1(2 2
+−++−+ xxxxx ; 3.10) )32)(22( −+ xx ;
4) Considere el polinomio 132)( 24
+−= xxxP . 4.1) Calcular el valor de P en 2 . 4.2) Calcular
)2(−P ; 4.3) Evaluar P en 0.
5) Considere el polinomio )(xP expresado como un producto 2
)32)(3()( −+= xxxP
a) Exprese P como una suma. Es decir reescriba P realizando los productos.
b) Evalúe P en x=3 de dos maneras: Usando la expresión obtenida en a) y usando
2
)32)(3()( −+= xxxP . Compruebe que ambas respuestas dan igual; c) Repita b) pero con 2−=x
Respuestas:
1.1) 4129 24
++ xx ; 1.2) 43681 24
++ xx ; 1.3) 44 36
+− xx ; 1.4) 8126 246
+++ xxx ;
1.5) 94 2
−x ; 1.6) 13226 2345
−+−+− xxxxx ; 1.7) 9262 ++ xx ; 1.8) 22/1
−− tt ; 1.9) x−4 ;
1.10) 9124 ++ xx ; 1.11) xxx 616 37
−− ; 1.12) 2/14/5
2 xxx −+ ; 1.13) 2
4129 tt +− ;
1.14) 2
14
4
xx
+− ; 1.15) 2
2 1
44
z
z +− ; 1.16) 32
33 2
133
xx
x
x
x
x −+− ; 1.17) xx 2269 +− ;
1.18) 2
2244 xx +− ; 1.19) 2
24 y− ; 1.20) xxxx 222224 −+− ;
1.21) xxx −⋅⋅+⋅⋅− 3 2333
43264 ; 1.22) 16128 2/12/3
−+− xxx ; 1.23) 144 2
+− yy ;
1.24) 161616 2
+− xx ; 1.25) 844 2/1
−− tt ; 1.26) 3/22/32
2 xxxx −++ ; 2.1) 82 2
−− xx
2.2) 552
+− zz ; 2.3) )2( xxxx −+− 2.4) xx 534
+ ; 2.5) 1123 2
++ xx ;
2.6) 1811 2
++− xx ; 2.7) 32 +x 2.8) 842 246
+++ xxx ; 2.9) 923 23
−−+ yyy ;
2.10) 132 23
−−+ xxx ; 2.11) )23( 2
+−− xx ; 2.12) xxx 523
−− ; 2.13) 462 3
+− xx ;
2.14) 26828 2
−− xx ; 3.1) 4129 36
+− zz ; 3.2) 882 2
++ xx ; 3.3) 3432 234
−+−+− xxxx
3.4) xxxxxxxx 432
8126 +++ ; 3.5) 62 −x ; 3.6) 13226 2345
−+−+− ttttt
3.7) xx 2611 + ; 3.8) 22
168 yxyx +− ; 3.9) xxx 373 23
−−− ; 3.10) 624 −− xx ;
4.1) 2; 4.2) 21; 4.3) 1

31
DE LA DESCRIPCIÓN VERBAL AL LENGUAJE MATEMÁTICO
Daremos en los próximos capítulos muchas aplicaciones de las Matemáticas. Antes de darlas es
conveniente que el estudiante empiece a manejar la traducción del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.
La variable representa un valor: muchas veces un valor cambiante, otras veces un valor
desconocido que hay que calcular. Se usa una letra para representar la variable.
Muchas veces en las expresiones verbales veremos como una cantidad es cambiada o se da una
relación entre esta cantidad y otra. La información o descripción de los cambios de una cantidad o la
relación existente con otra debe traducirse a un lenguaje matemático.
En los siguientes ejemplos se dan expresiones verbales que son llevadas a una expresión
matemática. Se tiene que recalcar que no se plantea ninguna ecuación, la expresión algebraica puede ser
parte de una formula y la variable en esta situación es un valor cambiante o puede ser también parte de una
ecuación, en este último caso la variable es un valor que hay que determinar y que también recibe el nombre
de incógnita.
Ejemplo 1.- Escriba las siguientes expresiones verbales como expresiones algebraicas en términos de la
variable p, donde p el precio actual de un artículo. A continuación
a) El precio se aumenta en 2 unidades. El nuevo precio es p+2.
b) El precio se aumenta un 25%. El aumento es pp 25.0
100
25
= . El nuevo precio es ppp 25.125.0 =+
c) La mitad del precio es 2/p .
d) El precio se disminuye en dos unidades monetarias. El nuevo precio es p-2
e) Una persona tenía 20UM y compra el artículo a un precio de p. Ahora le queda 20-p.
f) Tres veces el precio: 3p. Veinte veces el precio: 20p.
g) Se venden una docena de artículos. El valor de los 12 artículos es 12p.
En el siguiente ejemplo veremos también como podemos expresar una cantidad desconocida en
términos de otra.
Ejemplo 2.- Sea h la altura de un rectángulo. Escriba las expresiones verbales dadas como expresiones
algebraicas en términos de la variable h:
a) El ancho es 2 unidades más grande que la altura. El ancho es entonces: h+2.
b) La altura disminuye un 5%. Entonces la altura disminuye 0.05h. La nueva altura es hhh 95.005.0 =− .
c) La mitad de la altura es 2/h .
d) El ancho es dos veces la altura: ha 2= .
e) La altura tiene dos unidades más que el ancho: 2−= ha .
f) La razón (el cociente) entre la altura y el ancho es 3. Entonces 3=
a
h
. De aquí
3
h
a = .
Ejemplo 3.- Una persona va a invertir una cantidad x de capital en un bono que paga el 9% de interés
anual y el doble de dinero en otro bono que paga el 11%. Escriba en términos de x. a) El beneficio total al
cabo de un año; b) El capital total al cabo del primer año de inversión.
Solución: a) El primer bono obtendrá al cabo del año por concepto de intereses x9.0 , el segundo bono
obtendrá ( )x211.0 y el beneficio entre los dos bonos será de xxx 31.022.09.0 =+ . b) El capital total al
cabo de un año es el capital inicial más el interes total al cabo de un año, en términos algebraico esto es
xxx 31.131.0 =+
Ejercicio de desarrollo.- Exprese las siguientes proposiciones verbales como una expresión algebraica en
términos de la variable dada.
a) Un obrero trabaja 8 horas en un aserradero. De ese tiempo se dispondrá x horas en pelar troncos. Exprese el
tiempo restante en términos de x.
b) La cantidad de kilos de tomate que produce una finca es q. Otra finca produce 25% menos que la primera. a)
Exprese la producción de la segunda finca en términos de la primera. b) Exprese la producción total de las dos
fincas en términos de q
c) La producción de una truchicultura es q kilos semanales. La de otra truchicultura es 3 veces más que la
primera. a) Exprese la producción semanal de la segunda truchicultura en términos de q. b) Exprese la
producción total en términos de la primera.

32
¿MAGIA O MATEMÁTICAS?
Piense un número:
1. Súmele 3.
2. Calcule el triple de ese resultado
3. Réstele 1
4. Quítele el número original que pensó
5. Calcule la mitad del número anterior
6. Si le resta 4 obtendrá el número original que pensó.
Veamos la justificación. Si x representa el número que se piensa entonces las operaciones son:
1. Súmele 3: 3+x
2. El triple : ( )33 +x
3. Réstele 1: ( ) 133 −+x
4. Quítele el número original que pensó: ( ) 82193133 +=−−+=−−+ xxxxx
5. La mitad 4
2
82
+=
+
x
x
6. Si le resta 4 obtendrá el número original que pensó: x
EJERCICIOS
1) Exprese las siguientes proposiciones verbales en lenguaje algebraico
1.1) La distancia entre dos ciudades A y B es 20 km. Se quiere construir una estación de servicio entre las dos
ciudades. Si x es la distancia de A a la futura estación. Exprese la distancia de la futura estación a B en términos
de x.
1.2) Sea c el costo de adquisición de una nevera. El comerciante fija el precio de acuerdo a la siguiente regla: Al
costo de adquisición le suma el costo de envío que es de 10UM por nevera. Luego la cantidad resultante la
triplica. Exprese el precio de venta de la nevera en términos de c.
1.3) Un capital de 5.000 se va invertir en dos bonos, uno que paga el 5% anual y otro que paga el 6% anual. Si
invierte x en el primer bono y lo demás en el otro bono. Exprese el interés total generado al cabo de un año.
1.4) Sea p el precio marcado en la etiqueta de una prenda de vestir. La tienda aplica una rebaja del 30% sobre el
precio marcado y luego sobre este nuevo precio se vuelve aplicar una rebaja del 20%. Exprese el precio del
artículo ya rebajado en términos del precio de la etiqueta.
1.5) Una tienda tiene un artículo a un precio p. La otra tienda tiene el mismo artículo 2 UM más caro. Exprese el
precio del artículo en la segunda tienda en términos del precio de la primera
1.6) Un señor tiene dos truchiculturas con rendimientos distintos. En la primera truchicultura por cada inversión
de 1UM se saca 2 kilos de truchas, en la segunda por cada 1UM se saca en promedio 2.3kg. Si se hace una
inversión total de 1000UM entre las dos y x representa la cantidad invertida en la primera truchicultura. Exprese
a) la producción de la primera truchicultura; b) la producción de la segunda truchicultura; c) la producción total;
d) Si la industria tiene como costumbre regalar 55 kilos de truchas cuando hace una inversión de 1000UM,
expresa la cantidad de truchas que tienen para la venta.
1.7) Se tiene un lote de 500 pen-driver. Los primeros x se venden a 5.5 UM cada uno, el resto se venden a 6UM
cada uno. Exprese la venta total en términos de x.
1.8) El precio del corte en una barbería es de 30UM. A ese precio acuden 120 clientes a la semana. Se estima que
por cada aumento de una unidad monetaria en el corte dejarán de ir a la barbería 3 clientes. a) Exprese el precio
en termino de x, número de incrementos de una unidad monetaria en el precio. b) Exprese el número de clientes a
la semana en términos de x
2) ¿Cuánto da la siguiente sucesión de instrucciones? Justifique. 2.1.- Sea x un número 2.2- Se le resta 2. 2.3.- A
esta cantidad se la multiplica por 5. 2.4.- Al resultado se le resta el triple del número original x. 2.5.- Al número
obtenido se le resta 10. 2.6.- Calcule ahora la mitad.
3) Cree su propio truco para adivinar un número. Justifique
Respuestas: 1.1) x−20 ; 1.2) ( )103 += cp ; 1.3) ( ))000.506.005.0 xx −+ ; 1.4) p56.0 ;1.5)
p+2;1.6)a) x2 kilos;b) )1000(3.2 x− ; c) )1000(3.22 xx −+ ; d) 55)1000(3.22 −−+ xx kilos.
1.7) )500(65.5 xx −+ ;1.8) x+30 ; x3120 − ; 2) x

33
DIVISION LARGA DE POLINOMIO
En esta sección mostraremos como es la división entre polinomios. Para realizar la división de
un polinomio P entre un polinomio D, DP ÷ , debe ocurrir que:
( ) ( )DgradoPgrado ≥
Al igual que en los número enteros, existirá un cociente y un residuo. Pero en nuestro caso el
cociente será un polinomio y el residuo otro polinomio pero de grado estrictamente menor que el
divisor.
Vamos a realizar la división ( ) ( )32132 224
+−÷++− xxxxx paso por paso. Para realizar la
división arreglaremos el dividendo en orden decreciente de potencias de n
x , colocando 0 en los
coeficientes que no aparecen, en este caso el coeficiente de grado 3 de 132 24
++− xxx es 0 y
colocaremos 3
0x . El divisor 322
+− xx también es ordenado por grado de mayor a menor, no hace
falta completar términos. El proceso es bastante similar a la división de números enteros.
Buscamos un monomio tal que cuando se multiplique por 2
x (primer término del divisor) nos
de 4
2x (primer término del dividendo). Este es 2x2
que se obtiene al realizar 2
4
2
x
x
. Multiplicamos
cada término de divisor por 2x2
y los resultados los colocamos con signo cambiado en la columna del
grado respectivo.
Sumamos todo el dividendo con la fila de debajo de este, recien obtenida. Observe como se pasa
la raya completa, si un término no aparece se asume que da 0 y si la suma da cero por la potencia no se
coloca nada.
Repetimos el proceso con el polinomio resultante de la suma. Dividimos 3
4x entre 2
x , el
resultado x4 es el segundo término del cociente, el cual lo multiplicaremos por el divisor
( 322
+− xx ) y los resultados lo colocamos con signo cambiado debajo de la última línea escrita del
lado izquierdo, según su grado, procedemos hacer la suma de estas líneas y repetimos el proceso hasta
que el grado de la última línea del lado izquierdo (el residuo) sea menor que el del divisor D(x).
Presentamos a continuación la división completa.
Igual como ocurre en la división de los números enteros tenemos que
)()()()( xRxCxDxP +=
En este caso tenemos entonces que
63
427 Recuerde que
27=4.6+3

34
132 24
++− xxx =
4342144 344 21
residuoCociente
xxxxx )27()142()32( 22
−−++++−
Ejemplo 1.- Determinar el cociente y el residuo de la siguiente división
)(
)(
xD
xP
, donde 5
31)( xxP −= y
3)( 3
+= xxD .
Solución: Ordenamos los polinomios y completamos los grados del dividendo
En este caso tenemos que el cociente es 93)( 2
+−= xxC y el residuo es 19)( 2
+= xxR .
Ejercicio de desarrollo.- Determinar el cociente y el residuo de la siguiente división )()( xDxP ÷ ,
donde 222)( 34
++= xxxP ; 3)( 2
+= xxD . Expresar P en términos del cociente y el residuo.
DIVISIONES ABREVIADAS DE POLINOMIOS.
1.- DIVISION ENTRE (x-c). Método de Ruffini.
Este método se usa cuando el divisor es de grado 1.
Para dividir 01
1
1 axaxaxa n
n
n
n ++++ −
− L entre cx − , usando Ruffini, seguimos los
siguientes pasos:
1.- Colocamos en orden los coeficientes de mayor a menor en una línea horizontal, incluyendo los
coeficientes ceros. En la izquierda colocamos c. Observe que es el número que acompaña al menos en
cx − y trazamos las rayas como en la figura
n
nnn
a
aaa
c
−−−−−−−−−−
−− L21
−−−−
01 aa
2.- Bajamos el an. Multiplicamos an por c y lo colocamos debajo de an-1, sumamos estas dos cantidades:
nn caa +−1
y lo colocamos en el último nivel al lado de an . Volvemos a repetir este proceso hasta
llegar a la última columna.
Multiplicar
Sumar:
como 223 −−− += nnn cbab

35
3.- El cociente de la división es
C(x)= 01
2
2
1
bxbxbxa n
n
n
n ++++ −
−
−
L
El residuo es R(x)=r. Observe que en este caso el residuo es un número, ¿por qué?
Ejemplo 1.- Divida )(xP entre )(xD , determine el cociente y el residuo, donde
242)( 23
++−−= xxxxP y ( ) 1+= xxD . Expresar P en términos del cociente y el residuo.
Solución: Como el divisor es un polinomio de grado 1 podemos usar Ruffini. Recuerde que la división
planteada es cuando se va dividir por un polinomio de la forma cx − , llevamos entonces 1+x a esta
forma: )1(1 −−=+ xx , por consiguiente 1−=c . (Alternativamente podemos pensar que c es donde
el polinomio 1+x se hace 0).
1312
312
2412
1
−−
−−−−−−−−
−−
+−−
−−
−
De la relación )()()()( xRxCxDxP += obtenemos que:
( )1)1)(32()( 2
−++++−= xxxxP .
Ejemplo 2.- Determinar el cociente y el residuo de )()( xDxP ÷ . Expresar P en términos del cociente
y el residuo. 332)( 23
−−= xxxP y D(x)=x-3
Solución: De nuevo usamos Ruffini.
24932
2796
3032
3
−−−−−−−−
−−
−−
P puede ser expresado en términos del cociente y el residuo como: 24)3)(932()( 2
+−++= xxxxP .
Ejercicio de desarrollo.- Divida )(xP entre )(xD , determine el cociente y el residuo donde
143)( 34
−−= xxxP y D(x)=
3
1
−x . Expresar P en términos del cociente y el residuo.
2.- DIVISION ENTRE UN MONOMIO
En el caso que tengamos como divisor un monomio podemos realizar la división haciendo uso
de la descomposición de la fracción como la suma de fracciones con igual denominador.
Ejemplo 1.- Realizar a) 2
234
3
x
xxx ++
; b)
x
xxx
3
72 25
++−
.
Solución: El resultado de estas divisiones no se expresa en términos de cocientes y residuos si no como
una suma de un polinomio más una parte fraccionaria.
a) 2
2
2
3
2
4
2
234
33
x
x
x
x
x
x
x
xxx
++=
++
.
132
++= xx En este caso la división es exacta.
De esta tabla obtenemos
932)( 2
++= xxxC .
El residuo es 24)( =xR
De esta tabla tenemos que:
32)( 2
++−= xxxC y 1)( −=xR .

36
b)
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
3
7
33
2
33
72 2525
++−=
++−
.
x
xx
3
7
3
1
3
2
3
1 4
++−= En este caso la división no es exacta.
3.- DIVISION ENTRE (ax+b)*
.
Suponga que se quiere realizar
)(
)(
xD
xP
, donde baxxD +=)( , polinomio de primer grado.
La siguiente manipulación algebraica nos permitirá usar Ruffini para esta división
==
a
xD
a
xP
xD
xP
)(
)(
)(
)(
bax
xaR
xC
a
b
x
xR
xC
a
b
x
a
xP
+
+=
+
+=
+
)(
)(
)(
)(
)(
Así que realizar la división de )(xP entre bax + , el cociente es el mismo que al realizar la
división del polinomio
a
xP )(
entre
a
b
x + y el residuo de la división que nos interesa es ( )xaR -
Ejemplo 1.- Determinar el cociente y el residuo de )()( xDxP ÷ donde 432)( 3
−−= xxxP y
42)( −= xxD .
Solución: La división de
2
432
2
)( 3
−−
=
xxxP
entre
2
42
2
)( −
=
xxD
, nos permitirá hacer los cálculos
rápidamente. Es decir dividir el polinomio 2
2
33
−− xx entre 2−x que a continuación se realiza.
35.221
542
25.101
2
−−−−−−−−
−−
−−
Comentario.- Es claro que está división puede hacerse también a través de la división larga.
EJERCICIOS
1) Determinar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones de )(xP entre )(xD , expresar P en
términos del cociente y el residuo.
1.1) 934)( 4
++= xxxP ; xxxD 2)( 2
+= ; 1.2) 12)( 25
++= xxxP ; xxxD 3)( 3
+= ;
1.3) 16)( 3
+= xxP ; 93)( 2
+−= xxxD ; 1.4) 5
849)( xxxP +−= ; 3
4)( xxxD −= ;
1.5) 42
29)( xxxP −−= ; 12)( 3
+−= xxxD ; 1.6) 634)( 4
++= xxxP ; 2)( 2
+= xxD ;
2) Determinar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones )()( xDxP ÷ , expresar P en
términos del cociente y el residuo. Aplique Ruffini.
2.1) 3)( 24
+−= xxxP ; 2)( += xxD ; 2.2) 3282)( 24
−+−= xxxxP ; 2)( −= xxD
2.3) 27)( 3
+= xxP ; 4)( −= xxD ; 2.4) 3
421)( xxxP +−= ;
2
1
)( += xxD
3) Realice la división corta aplique el método más conveniente para cada caso:
3.1) 2153)( 35
+−= xxxP ; 3
3)( xxD = ; 3.2) 32
2)( xxxxP +−= ; 1)( −= xxD
R(x) es el residuo de la división de ( ) axP /
abx /+
El cociente de )()( xDxP ÷ es
5.22)( 2
++= xxxC y residuo 32)( ⋅=xR

37
3.3) xxxxP 282)( 24
+−= ; 2
2)( xxD = ; 3.4) 3983)( 23
−+−= xxxxP ; 13)( += xxD ;
3.5) 532)( 23
+−−= xxxxP ;
2
1
2)( −= xxD ; 3.6) 2159)( 25
+−= xxxP ; 3
3)( xxD = ;
4) Determinar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones )()( xDxP ÷ , expresar P en
términos del cociente y el residuo. Use Ruffini cuando se pueda
4.1) 25)( 5
+−= xxxP ; 2)( 2
+= xxD ; 4.2) 3
384)( xxxP +−= ; 1)( −= xxD
4.3) 92)( 24
+−−= xxxP ; 1)( += xxD ; 4.4) xxxP 315)( 3
+= ; 2
31)( xxD += ;
Respuestas: 1.1) 929)(;1684)( 2
+−=+−= xxRxxxC ;
=)(xP )2( 2
xx + )929()1684( 2
+−++− xxx ;1.2) 118)(;62)( 22
++=−= xxxRxxC ;
=)(xP )62)(3( 2
−+ xx 1182
+++ xx ; 1.3) 11)(;3)( −=+= xRxxC ;
1.4) 9124)(;328)( 2
+=−−= xxRxxC ; 1.5) 925)(;2)( 2
++−=−= xxxRxxC ;
)(xP )12( 3
+−= xx );925()2( 2
++−+− xxx 1.6) 223)(;84)( 2
+=−= xxRxxC ;
2.1) 15)(;632)( 23
=−+−= xRxxxxC ; 2.2) 1)(;242)( 23
=++= xRxxxC ;
2.3) 91)(;164)( 2
=++= xRxxxC ; 2.4) 2/3)(;124)( 2
=−−= xRxxxC ; 3.1) ;
3
2
5 3
2
x
x +−
3.2) 0)(;)( 2
=−= xRxxxC ; 3.3) ;
1
42
x
x +− 3.4) 23)( 2
−−= xxxC ; 1)( −=xR ;
3.5)
16
7
4
)( 2
−−=
x
xxC ;
32
153
)( =xR ; 3.6) ;
3
25
3 3
2
xx
x +− 2)(;3)( 2
== xRxxC ;
4.1) 2)(;2)( 3
+−=−= xxRxxxC ; 4.2) 1)(;533)( 2
−=−+= xRxxxC ;
4.3) 6)(;33)( 23
=+−+−= xRxxxxC ; 4.4) xxRxxC 2)(;5)( −== ;
FACTORIZACIÓN
Empezamos esta sección recordando que dos expresiones que se multiplican se llaman
factores. Por ejemplo, la expresión ( )( )21 −+ xx está expresada como un producto, donde ( )1+x y
( )2−x son los factores. En ocasiones va ser de suma importancia escribir una expresión como un
producto, ese proceso de expresarlo como un producto se llama factorización. Por ejemplo, 42
−x no
es un producto, pero sabemos que:
Aquí hemos factorizado la expresión 42
−x , identificandola con un producto notable.
Hay varias técnicas para factorizar polinomios, listamos algunas:
1.- Factor común.
2.- Identificando con productos notables.
3.- Raíces del polinomio.
Comentario: Esta última técnica tiene dos variantes: Se determinan las raíces por la ecuación de
segundo grado en el caso de polinomios de segundo grado o por la división por Ruffini en el caso
general.
4)2)(2( 2
−=−+ xxx

38
En general buscamos que los factores sean polinomios no constantes y de grados menores que
el polinomio original.
En este texto se busca la factorización en R. Esto es: expresarlo como productos de
polinomios no constantes y de grados menores que el polinomio original, tales que los coeficientes de
estos polinomios sean números reales. Si un polinomio no se puede expresar como un producto de
polinomios con esta propiedad con coeficientes en R diremos que el polinomio es irreducible en R.
Es claro que todo polinomio de grado 1 es irreducible.
Factorizar completamente un polinomio es expresarlo como productos de polinomios
irreducibles. Para lograrlo en ocasiones tendremos que mezclar técnicas e iterar procedimientos
1.-FACTOR COMÚN:
La técnica del factor común consiste en aplicar la propiedad distributiva en sentido inverso:
)( ayxxaxy +=+
Veamos ejemplos donde es apropiado usar la técnica del factor común
Ejemplo 1.- Factorice completamente: a) axxa 124 32
− ; b) 423
24186 yxxyx +−
c) )2)(1(2)2( 2
++−+ xxx ; d) 3/43/1
xx −
Solución:
a) En axxa 124 32
− tenemos dos términos. El primer término puede ser expresado como
232
44 aaxxxa = . El segundo lo podemos escribir como axax 4312 ⋅= .Podemos ver que 4ax es un
factor común en ambos términos. Al identificar ax4 como el factor que está en los dos términos
aplicamos la propiedad distributiva en sentido inverso:
)3(4124 232
−=− axaxaxxa
Comentario: x también es un factor común en ambos, pero nos piden factorizar completamente la
expresión, es por ello que sacamos el máximo factor común.
b) En este caso, 6 es un factor que está en cada término de 423
24186 yxxyx +− igualmente x2
.
Observe que y no está en el segundo término, por lo tanto no es común. Así 6x2
es el máximo factor
común entre los tres términos. Entonces
)43(624186 22423
yxyxxyxxyx +−=+−
c) En este ejemplo conviene sacar factor común )2( +x .
)2)(1(2)2( 2
++−+ xxx =
= ))1(2)2)((2( +−++ xxx
= )222)(2( −−++ xxx Simplificamos el segundo factor
= ))(2( xx −+
)2( +−= xx
d) Aún cuando esta expresión no es un polinomio se puede factorizar. Sacamos el máximo factor
común que es x al mínimo exponente de los términos. En este caso este exponente es 1/3. Así
)1(3/13/43/1
xxxx −=−
Observe como tenemos dos términos donde
)2( +x es un factor común en ambos.

39
2.- FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES:
Esta técnica consiste en identificar una suma algebraica con el resultado de algún producto
notable cuando sea posible. Uno de los más usados es el que sigue:
1) ))(()(2
bxaxbaxbax ++=⋅+++
Esta fórmula está dada en la variable x. Los números a y b intervienen en el lado izquierdo en
dos términos: el coeficiente del término en x es la suma de estos dos números y el término constante es
el producto. Terminamos de dar los demás productos notables escritos de derecha a izquierda.
2) ))((22
bababa +−=−
3) 222
)(2 bababa +=++
4) 222
)(2 bababa −=+−
Conviene aprenderse de memoria otros dos resultados, por su frecuencia en el cálculo:
5) ))(( 2233
babababa ++−=−
6) ))(( 2233
babababa +−+=+
Comentarios:
1) Si tenemos un polinomio de grado 2 de tres términos y el coeficiente principal es 1 podemos intentar
aplicar la fórmula 1. Para ello debemos pensar en dos números que sumados algebraicamente den el
coeficiente en x y multiplicados den el término constante. Por ejemplo al factorizar x2
-3x-4, buscamos
dos números que multiplicados den -4(el signo – nos dice que tienen que ser de signos contrarios) y
sumados -3(el signo – en este caso nos dice que el mayor es el negativo). Estos números son -4 y 1.
Efectivamente (x-4)(x+1)= x2
-3x-4. (En general, se intenta de aplicar la fórmula 1 cuando el grado del
polinomio es par, luego otro término de grado la mitad del anterior y luego la constante, por ejemplo
que aparezca el término x4
y también uno con x2
y luego la constante).
2) Se puede intentar usar 2, 5 o 6 cuando tenemos dos términos. Usamos 2 cuando los términos en la
variable están como un cuadrado perfecto: 422
2, xx ,etc . Usamos 5 y 6 cuando la variable está como
un cubo perfecto: x3
, x6
, etc .
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.- Factorice completamente: a) 452
+− xx ; b) 92
−t ; c) 273
−x ; d) 2
94 t− ,
e) 22
−x
Solución:
a) Intentamos la forma ))(( bxax ++ pues es un polinomio de grado 2 con tres términos. Buscamos
dos números que multiplicados den 4 y sumados algebraicamente den -5. Observe que son del mismo
signo (lo dice la multiplicación) y este signo debe ser – (lo indica la suma).
Estos números son -1 y -4. Así
)4)(1(452
−−=+− xxxx
b) Intentamos asociarlos con la forma ))((22
bababa +−=− . En este caso 22
ta = y usamos ta = .
9=b2
, usamos b=3. De esta manera:
222
39 −=− tt
)3)(3( +−= tt

40
c) Vemos que es de la forma ))(( 2233
babababa ++−=− . Identificamos 33
ax = , con b3
=27=33
.
Así b=3. Por tanto:
)93)(3(3 233
++−=− xxxx .
d) Para factorizar 2
94 t− usamos ))((22
bababa +−=− . Identificamos 42
=a y 22
9tb = .
Podemos usar 2=a y tb 3= . Por tanto:
)32)(32(94 2
ttt +−=−
Alternativamente: Puede reescribir cada término como un cuadrado para visualizar la factorización
( )222
3294 tt −=− . De aquí es claro que
)32)(32( tt +−=
e) Para factoriza 22
−x usamos ))((22
bababa +−=− . Identificamos 22
xa = y 22
=b .
Podemos usar xa = y 2=b . Por tanto:
)2)(2(22
+−=− xxx
Alternativamente: Puede reescribir cada término como un cuadrado para visualizar la factorización
( )222
22 −=− xx . De aquí es claro que
)2)(2( +−= xx
Ejercicio de desarrollo.- Factorice completamente:
a) 122
−− xx b) 362
−x c) 827 3
+x d) 3
6 x−
El siguiente ejemplo muestra una mezcla de los métodos hasta ahora vistos:
Ejemplo 2.- Factorice completamente: a) xxx 96 23
+− ; b) 164
−y ; c) 3
22 x− ;
d) )2)(1()1(3
++−+ xxxxx
Solución:
a) Observamos primero que x es factor común en cada término, por lo tanto:
)96(96 223
+−=+− xxxxxx . Este segundo factor no está completamente factorizado, identificamos
con la forma 222
)(2 bababa −=+− . En este caso 92
=b . Así b=3 y es efectivamente xax 62 = .
Entonces finalmente:
2223
)3()96(96 −=+−=+− xxxxxxxx
b) Intentamos asociarlos con la forma ))((22
bababa +−=− . Aquí 4
y se identifica con 2
a , de
donde 2
y es a . Por otro lado 2
16 b= , así b=4. De esta manera:
164
−y )4)(4( 22
+−= yy
De )4( 2
+y no podemos con nuestras herramientas concluir que ya no se puede factorizar más
en el campo real, sin embargo )4( 2
−y lo identificamos de nuevo con ))((22
bababa +−=− . El
lector entonces puede chequear que
164
−y )4)(2)(2( 2
+−+= yyy .

41
c) Para empezar una factorización, Se intenta primero extraer los factores comunes. En este caso 2 es
el factor común:
)1(222 33
xx −=−
)1)(1(2 2
xxx ++−=
Esta última también puede ser expresado como )1)(1(2 2
xxx ++−− .
d) En este ejemplo, se puede en principio realizar las operaciones para luego factorizar la expresión
resultante, sin embargo es más fácil sacar de factor común )1( +xx
)2)(1()1(3
++−+ xxxxx = )]2()[1( 2
+−+ xxxx
= ]2)[1( 2
−−+ xxxx Se factoriza la última expresión
= )]2)(1)[(1( −++ xxxx
)2()1( 2
−+= xxx
Ejercicio de desarrollo.- Factorice completamente: a) 32
3336 xxx −+ ; b) 532
)2(2)2(4 xxx +−+
EJERCICIOS
1) Factorice completamente los siguientes polinomios:
1.1) 92
−x ; 1.2) 232
++ xx ; 1.3) 762
−− xx ;
1.4) 232
+− tt ; 1.5) 6416 36
+− xx ; 1.6) 83
+y
1.7) xx 455 3
− ; 1.8) zzz 9123 23
+− ; 1.9) 542 3
−x ;
1.10) 646
−x ; 1.11) 18153 24
++ xx ; 1.12) 24
123 xx − ;
1.13) xx 243 4
+ ; 1.14)
234
18153 xxx ++ ; 1.15) xxx 12102 23
++ ;
1.16) )2(3)4(2 2
+−− xxxx ; 1.17) xxx 15)9(3 2
+− ; 1.18) 168 24
+− xx ;
1.19) )1()3()3( 23
++−+ xxx ; 1.20) 35
)2(4)2( +−+ xx ; 1.21)
5/65/1
yy −
1.22) 2
41 x− ; 1.23) 11881 2
+− xx ; 1.24) 3
278 x−
Respuestas: 1.1) )3)(3( +− xx ; 1.2) )1)(2( ++ xx ; 1.3) )1)(7( +− xx ; 1.4) )1)(2( −− tt ;
1.5) ( ) 222
)42(2 ++− xxx ; 1.6) )42)(2( 2
+−+ yyy ; 1.7) )3)(3(5 +− xxx 1.8) )1)(3(3 −− zzz
1.9) )93)(3(2 2
++− xxx ; 1.10) )42)(42)(2)(2( 22
+−+++− xxxxxx ;
1.11) )2)(3(3 22
++ xx ; 1.12) )2)(2(3 2
+− xxx ; 1.13) )42)(2(3 2
+−+ xxxx
1.14) )2)(3(3 2
++ xxx ; 1.15) 2 )3)(2( ++ xxx ; 1.16) )2)(72( +− xxx ;
1.17) )2)(2(3 +− xxx ; 1.18) 22
)2()2( −+ xx ; 1.19) 2
)3(2 +x ;
1.20) 3
)2)(4( ++ xxx ; 1.21) )1(5/1
−− yy ; 1.22) )21)(21( xx +− ; 1.23) 2
)19( −x ;
1.24) )964)(32( 2
xxx ++−
La factorización no es completa pues )1( 3
x− puede seguir siendo
factorizado, para ello usamos 5). Observe que a=1 y b=x .
Recuerde que:
Se recomienda en la reescritura de
expresiones algebraicas trabajar
cada igualdad en otra línea.

42
3.- FACTORIZACIÓN POR RAÍCES DEL POLINOMIO.
Sean )(xP y )(xD polinomios. Observe que si la división
)(
)(
xD
xP
es exacta entonces
)()()( xCxDxP = , esto se deduce de la relación )()()()( xRxCxDxP += y de que el residuo es 0.
Tenemos que al hacer la división hemos obtenido una primera factorización de )()()( xCxDxP = .
Ahora el asunto es conseguir divisores exactos de )(xP .
El siguiente Teorema nos permite conseguir divisores exactos de )(xP , esto es, con residuo 0.
Comentario*
.- Este Teorema tiene dos aseveraciones:
1era
.- Si 1r es una raíz de )(xP entonces )()()( 1 xCrxxP −= .
Esta aseveración es fácil de demostrar: Recuerde que )(xR es de grado 0, es decir una constante y
como 0)( 1 =rP , entonces al evaluar )()()()( 1 xRxCrxxP +−= en 1r obtenemos que 0)( =xR
2da
.- Si )()()( 1 xCrxxP −= entonces 1r es una raíz de )(xP
Esta aseveración es prácticamente obvia. Al evaluar P en 1r mediante la identidad )()()( 1 xCrxxP −=
obtenemos que 0)( 1 =rP pues el primer factor es 0.
Reiteramos: Si 1r es raíz de )(xP podemos factorizarlo en la forma )()()( 1 xCrxxP −= , quizás no
completamente. Luego hay que considerar factorizar )(xC . Recuerde que )( 1rx − es irreducible y
)(xC es obtenido mediante la división de )(xP entre )( 1rx − .
POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO.
LAS RAÍCES POR LA RESOLVENTE.
(Observe que al multiplicar esta última expresión obtenemos el mismo coeficiente de grado 2.
También tenemos que ))(( 21 rxrxa −− y cbxax ++2
se hacen cero en 21 ryr . Por otro lado
tenemos que por el Teorema de factor )( 1rx − y )( 2rx − son factores de P ).
Si P es un polinomio de segundo grado que no tiene raíces reales entonces no admite más
factorización en el campo real. Recuerde que un polinomio se dice irreducible en el campo real si no
se puede factorizar más como producto de polinomios de grados menores y distintos a cero con
coeficientes reales.
Teorema del factor.- Sea 01)( axaxaxP n
n ++= L un polinomio. Entonces tenemos que
1r es una raíz de )(xP si y sólo si )()()( 1 xCrxxP −= .
Si tenemos un polinomio de segundo grado:
cbxaxxP ++= 2
)(
con 0≠a y si este polinomio tiene raíces reales: 21 ryr , entonces )(xP puede ser factorizado
como: ))(()( 21 rxrxaxP −−= .
Definición.- Sea )(xP un polinomio. Decimos que 1r es raíz de )(xP si 0)( 1 =rP .

43
La representación que obtuvimos arriba puede ser extendida a polinomios de grado mayor. En
los polinomios de segundo grado con raíces reales podemos obtener rápidamente sus raíces gracias a
la resolvente o ecuación de segundo grado.
Ejemplo 1.- Factorizar 23)( 2
++= xxxP .
Solución: Planteamos 0232
=++ xx . Las raíces son:
2
2493
2,1
⋅−±−
=r ;
De aquí 1;2 21 −=−= rr . Entonces podemos factorizar )(xP como
))2())(1(()( −−−−= xxxP , es decir )2)(1()( ++= xxxP .
Observe que la factorización por identificación del producto notable ))(()( bxaxxP ++= es más
rápida en este caso. Sin embargo, no siempre resulta este método. En el caso 1≠a o cuando 1=a ,
pero no conseguimos números que multiplicados den c y sumados den b en cbxax ++2
, es
recomendable la factorización por las raíces del polinomio.
Ejemplo 2.- Factorizar completamente 13)( 2
++= xxxP ;
Solución: En este ejemplo no se puede conseguir dos números racionales que multiplicados den 1 y
sumados 3. En este caso es apropiado usar el método de las raíces. Busquemos las raíces:
2
1493
2,1
⋅−±−
=r ;
De aquí
2
53
1
+−
=r y
2
53
2
−−
=r . Entonces podemos factorizar )(xP como
)
2
53
)(
2
53
()(
−−
−
+−
−= xxxP ,
Podemos manipular los factores para reescribir )
2
53
)(
2
53
()(
+
+
−
+= xxxP .
++= xxxP .
Solución: Primero se calcula las raíces: 0132 2
=++ xx
22
2493
2,1
⋅
⋅−±−
=r ;
Tenemos 11 −=r y
2
1
2
−
=r . Entonces )12)(1()
2
1
())(1((2)( ++=−−−−= xxxxxP .
++= xxxP .
Solución: Al aplicar la formula cuadrática para encontrar las raíces de 0332
=++ xx encontramos
que
2
3493
2,1
⋅−±−
=r
2
33 −±−
= son no reales (el discriminante es menor que cero) entonces
el polinomio no se puede factorizar más en los reales. El polinomio es irreducible.
Ejercicio de desarrollo.- Factorizar completamente
a) 273)( 2
++= xxxP ; b) 4)( 2
++= xxxP ; c) 24)( 2
++= xxxP

44
FACTORIZACIÓN USANDO DIVISORES EXACTOS.
DIVISIÓN DEL POLINOMIO ENTRE x-c CON c RAÍZ DEL POLINOMIO
Sea 01)( axaxaxP n
n ++= L un polinomio de grado n, donde los coeficientes son números
racionales. El método se basa en el Teorema de factor. Así que para factorizar debemos conseguir
raíces del polinomio. Nos limitaremos a aplicar este método cuando el polinomio tiene raíces
racionales.
Un resultado conocido en álgebra es que si r, número racional, es una raíz de P, entonces r
puede ser escrito en la forma
q
p
, donde p es divisor de 0a y q es divisor de na .
Así que buscaremos las raíces entre todos los números con esta característica. Para determinar
que un número, r, con estas características es una raíz podemos aplicar dos procedimientos:
1.- Verificando si 0)( =rP .
2.- Determinando que el residuo es 0 a través de la división.
En el siguiente ejemplo se realiza la división de polinomio a través de Ruffini para encontrar
la factorización del polinomio.
Ejemplo 1. Factorizar completamente 12167)( 23
+++= xxxxP
Solución: Las posibles raíces racionales son: 6;4;3;2;1 ±±±±± y 12± . Podemos verificar que –2 es raíz.
Esto es 0)2( =−P . Aplicamos Ruffini dividiendo el polinomio P entre 2+x
0651
12102
121671
2
−−−−−−−−
−−−
−−
−
. De esta manera 65)( 2
++= xxxC y 0)( =xR . Por lo tanto tenemos
)2)(65()( 2
+++= xxxxP .
Para finalizar la factorización se identificará 65)( 2
++= xxxC con el producto notable
))(( bxax ++ . Así rápidamente vemos )2)(3()( ++= xxxC . Finalmente
2
)2)(3()2)(2)(3()( ++=+++= xxxxxxP .
En el ejemplo anterior pudimos intentar factorizar 65)( 2
++= xxxC usando la división de
polinomios por Ruffini, esto es muy práctico cuando el primer paso se realiza por Ruffini.
−−−= xxxxP
Solución: Las posibles raíces racionales son: 3;1;
2
3
;
2
1
±±
±±
. Podemos verificar que –1 es raíz
0352
352
3832
1
−−
−−−−−−−−
−
−−−
−−
−
Volvemos aplicar Ruffini con 3 como raíz
012
363
−−−−−−−−−− De esta tabla obtenemos la factorización deseada:
)1)(3)(12()( +−+= xxxxP

45
Comentario.- De la primera división obtenemos que )1)(352()( 2
+−−= xxxxP , de la segunda
división obtenemos que )3)(12(352 2
−+=−− xxxx , sustituyendo esta expresión en
)1)(352()( 2
+−−= xxxxP obtenemos la factorización completa exhibida arriba.
++−−= xxxxP
Solución: Las posibles raíces racionales son: 2;1;
2
1
±±
±
. Podemos verificar que –1 es raíz. Esto es
0)1( =−P . Aplicamos Ruffini
0212
212
2312
1
−
−−−−−−−−
−−
−−
−−
−
De esta manera 22)( 2
++−= xxxC y 0)( =xR . Por lo tanto tenemos
)1)(22()( 2
+++−= xxxxP .
Para finalizar la factorización se usará el método de las raíces en C, pues no hay más raíces
racionales. Se puede verificar que las raíces de C(x) son
4
171
−
±−
. Estas son los números irracionales
4
171−
y
4
171+
.
Así
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−−=
4
171
4
171
2)( xxxC . Finalmente
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−+−=
4
171
4
171
)1(2)( xxxxP
Ejercicio de desarrollo.- Factorizar completamente 23)( 24
+−= xxxP
El siguiente ejemplo muestra una factorización por Ruffini quedando un polinomio de grado 1
por un polinomio de grado 2 irreducible.
−+= xxxP
Solución: Las posibles raíces racionales son: 2;1 ±± . Podemos verificar que 1 es raíz. Esto es
0)1( =P . Aplicamos Ruffini
0211
211
2101
1
−−−−−−−−
−
−−
. Podemos verificar que no tiene más raíces racionales.
Hasta ahora la factorización es
)1)(2(2 23
−++=++ xxxxx .
No conseguimos más raíces racionales, por tanto
no seguimos aplicando Ruffini.

46
Se intenta de factorizar )2( 2
++ xx por otro método.
Ahora bien, vemos que las raíces =
−±−
2
811
2
71 −±−
de este polinomio no son reales (son
números complejos). Así podemos concluir que )2( 2
++ xx es irreducible sobre los reales y la
factorización completa de P está dada por :
)1)(2(2 23
−++=++ xxxxx .
Ejercicio de desarrollo.- Factorizar completamente los siguientes polinomios:
a) 2)( 24
−+= xxxP ; b) 32)( 3
−+= xxxP ; c) 1)( 34
−+−= xxxxP
EJERCICIOS
Factorizar los siguientes polinomios
1.1) 6166)( 2
−−= xxxP ; 1.2) 436)( 2
−+−= zzzP
1.3) 1252)( 2
−+= xxxP ; 1.4) xxxxP 936)( 23
−−=
1.5) 1)( 235
+−−= xxxxP ; 1.6) xxxxP 10168)( 23
−−= ;
1.7) zzzzP 6316)( 23
+−= ; 1.8) )1()()( 235
−−−= xxxxP ;
1.9) )23(223)( 223
++−++= ttttttP ; 1.10) 414102)( 23
+++= zzzzP ;
1.11) 225901610)( 234
−++−= xxxxxP ; 1.12) 122)( 34
+++= zzzzP ;
1.13) 482)( 23
+−−= ttttP ; 1.14) xxxxP 862)( 23
−−= ;
1.15) 233)( 234
−++−= xxxxxP ; 1.16) 154)( 24
+−= xxxP ;
1.17) 111918)( 234
++−−= xxxxxP ; 1.18) 3
431)( xxxP −+= ;
1.19) xxxxP +−= 34
76)(
2) Considere el polinomio )(xP expresado como un producto ( )( )333)3)(3()( 2
+−+−+= xxxxxP
a) Exprese P como una suma de términos no semejantes.
b) Exprese P como un producto, es decir factorice el polinomio
c) Evalúe P en x=3 de tres maneras: Usando la expresión obtenida en a), en b) y la original
( )( )333)3)(3()( 2
+−+−+= xxxxxP . Compruebe que las tres respuestas dan igual.
d) Repita c) pero con x=-2
Respuestas: 1.1) )3/1)(3(6 +− xx 1.2) Es irreducible 1.3) )2/3)(4(2 −+ xx
1.4) )1)(32(3 +− xxx ; 1.5) (x-1)2
(x+1)(x2
+x+1); 1.6) 2x(2x+1)(2x-5); 1.7) )9)(7( −− zzz
1.8) )1)(1()1( 22
+++− xxxx ; 1.9) )1)(2)(2( ++− ttt ;
1.10)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
++
2
53
2
53
)2(2 zzz 1.11) 2
)5)(3)(3( −+− xxx ;
1.12) )12)(1)(1( 2
+++− zzzz ;1.13) (2t-1)(t-2)(t+2); 1.14) 2x(x-4)(x+1);
1.15) (x-1)2
(x+1)(x-2); 1.16) )1)(1)(12)(12( −+−+ xxxx ;
1.17) )1)(3/1)(3/1)(2/1(18 −−+− xxxx ; 1.18) )1()21( 2
xx −+ ;
1.19) )1)(12)(13( −−+ xxxx ; 2) a) xx 93
− ; b) )3)(3( −+ xxx ; c) 0)3( =P ; d) 10)2( =−P

47
EXPRESIONES FRACCIONARIAS
Una expresión racional es una expresión que se puede escribir como el cociente de dos
polinomios.
Ejemplo 1.- Las siguientes expresiones son racionales:
a)
6323
1
23
2
−++
−
xxx
x
, pues es el cociente de polinomios.
b) 2
1 −
+ x , pues puede ser escrita como: 2
2
1
x
x +
y tanto 2
x +1 como 2
x son polinomios.
c) 423 23
−+− xxx , pues puede ser escrita como
1
423 23
−+− xxx
. En general, un
polinomio es una expresión racional.
Ejemplo 2.- Las siguientes expresiones no son racionales:
a) 2/13
23 xx −
b)
xx
xx
−+
+−
1
1
.
Estas últimas expresiones, que se puede expresar como cociente de expresiones algebraicas son
conocidas como expresiones fraccionarias.
En esta sección además de algunas manipulaciones propias de expresiones fraccionarias,
estudiaremos la simplificación, la suma, diferencia, multiplicación y cociente de expresiones
racionales.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Como la variable representa un número se puede usar las reglas de simplificación de los
números reales. En el caso de fracciones usaremos la ley de cancelación, esta es:
b
a
cb
ca
=
⋅
⋅
En nuestro caso las letras serán expresiones. Una expresión se podrá simplificar en una
fracción cuando aparece multiplicando el resto del numerador y al mismo tiempo al resto del
denominador. Así que para simplificar, tanto el numerador como el denominador deben estar
factorizados.
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.- Simplifique las siguientes expresiones:
a)
23
82
2
2
+−
−
xx
x
; b) 32
23
3
34
xx
xxx
−
+−
; c)
1
132
3
2
+
++
x
xx
Recuerde que
c
c
b
a
cb
ca
⋅=
⋅
⋅
= 1⋅
b
a
=
b
a

48
Solución: Lo primero es factorizar tanto numerador como denominador, para luego si hay factores
comunes simplificar.
( )
( )1
22
−
+
=
x
x
=
x
x 1−
−
( )
( )1
12
2
+−
+
=
xx
x
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Para multiplicar expresiones racionales, de nuevo recordamos la regla de multiplicación de
número reales
db
ca
d
c
b
a
⋅
⋅
=⋅ .
Ejemplo 1.- Realice y simplifique tanto como pueda
a)
123
4
+
⋅
−
−
x
x
x
x
; b)
2
372
3
65 2
23
2
−
++
⋅
+
+−
x
xx
xx
xx
Solución
a)
)1)(23(
)4(
123
4
+−
−
=
+
⋅
−
−
xx
xx
x
x
x
x Se realiza de una vez el producto, no hay cancelaciones posibles
b)
)2)(3(
)372)(65(
2
372
3
65
23
222
23
2
−+
+++−
=
−
++
⋅
+
+−
xxx
xxxx
x
xx
xx
xx
Se realiza el producto
)2)(3(
)3)(12)(3)(2(
2
−+
++−−
=
xxx
xxxx
Se factoriza a fin de simplificar usando la ley de cancelación
2
)12)(3(
x
xx +−
= .
Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda
9
2
12
3
2
2
2
2
−
−−
⋅
−+
−
x
xx
xx
xx
Estas expresiones son iguales salvo
para x=2 , pues la primera no está definida y la
última si. En x=1, no están definidas ambas
Es conveniente, para visualizar mejor
las posibles simplificaciones, reescribir los
polinomios con coeficiente principal positivo.
En este caso se reescribió
)3()3( −−=− xx

49
Para la división, podemos emplear la propiedad de los números reales o bien expresar la
división como el cociente de dos fracciones a las que se le aplica la regla doble C:
Ejemplo 2.- Realice los siguientes cocientes y simplifique tanto como pueda:
a)
1
12
6
22 2
2
2
+
+−
÷
−+
−
x
xx
xx
x
; b) ( ) 1
13
2
+
−
÷−
x
x
xx
Solución:
a) Expresamos el cociente en fracciones para aplicar la doble C:
1
)1(
)3)(2(
)1)(1(2
1
12
6
22
22
2
2
+
−
+−
+−
=
+
+−
−+
−
x
x
xx
xx
x
xx
xx
x
Se aprovechó de factorizar para posibles simplificaciones
)3)(2()1(
)1)(1(2
2
2
+−−
+−
=
xxx
xx
Se aplicó la doble C y ahora se usa la ley de cancelación
)3)(2)(1(
)1(2 2
+−−
+
=
xxx
x
b) A fin de aplicar la doble C, expresamos xx −2
como
1
2
xx −
.
1
)1)((
1
1
1
3
2
3
2
−
+−
=
+
−
−
x
xxx
x
x
xx
Se factoriza para luego simplificar
1
)1(
)1)(1(
)1)(1(
22
++
+
=
++−
+−
=
xx
xx
xxx
xxx
Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda:
1
3633
23
82 2
2
2
+
−−
÷
−+
−
x
xx
xx
x
SUMAS Y RESTAS
Para sumar o restar expresiones racionales se procede de manera similar que en los números
reales, tomando en cuenta que ahora los factores irreducibles toman el papel de los números primos
del caso numérico.
El primer ejemplo nos recuerda que si los denominadores son iguales, simplemente se suman o
se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador
1
64
1
2
+
+
−
+
−
x
x
x
xx
.
Solución:
1
)64()(
1
64
1
22
+
+−−
=
+
+
−
+
−
x
xxx
x
x
x
xx
.

50
1
652
+
−−
=
x
xx
Se factoriza a fin de simplificar
6
1
)1)(6(
−=
+
+−
= x
x
xx
Para sumar fracciones con denominadores distintos emplearemos el método del m.c.m. de los
denominadores. Recordemos el caso numérico.
Ejemplo 2*
.- Realice y simplifique tanto como pueda
18
5
24
7
30
1
−−
Solución:
Cada denominador se descompone en sus factores primos a fin de calcular el m.c.m. de ellos.
53230 ⋅⋅= ; 3224 3
⋅= y 2
3218 ⋅=
Recordemos que el m.c.m. de tres números son los factores primos comunes y no comunes con
su mayor exponente.
Comunes: 2 y su máximo exponente 3: Aporta 23
3 y su máximo exponente 2: Aporta 32
No comunes: 5 y su exponente 1: Aporta 5
Por lo tanto el m.c.m(30,24,18)=23
32
5=360. Es conveniente dejarlo factorizado, para realizar las
divisiones más rápidamente.
=
360
193
360
10010512
−=
−−
.
Comentario: Observe como se aprovechó la factorización del mínimo y de los denominadores para
realizar más rapidamente la división entre ellos, a través de la simplificación de factores comunes.
Ahora imitaremos el procedimiento con expresiones algebraicas, considerando que los
polinomios irreducibles hacen las veces de los números primos.
Ejemplo 3*
)2(
5
)2)(1(
3
)2(
1
222
+
−
++
−
+
+
−
xxxxx
x
xx
x
Solución: Calculemos primero el m.c.m. de los denominadores. Observe que este caso ya están
factorizados los denominadores:
Comunes: )2( +x su máximo exponente es 2: Aporta 2
)2( +x
x su máximo exponente es 2: Aporta 2
x
No comunes: )1( +x su máximo exponente es 1: Aporta (x+1)
Así, el m.c.m. de los denominadores es: )1()2( 22
++ xxx

51
La suma queda:
22
223
)2)(1(
)23(56
++
++−−−+−
=
xxx
xxxxxx
22
223
)2)(1(
101556
++
−−−−−+−
=
xxx
xxxxxx
.
)2)(1(
16174
22
23
++
−−−
=
xxx
xxx
No se factoriza el numerador pues se verificó que ni 0, ni -1, ni -2 son raíces del numerador y
por consiguiente no hay simplificación posible en esta fracción.
Ejemplo 4*
xx
x
xx
x
4
12
43 22
−
+
+
−+
.
Solución: Primero se debe factorizar los denominadores con el objeto de calcular el m.c.m. de los
denominadores.
)4(
12
)1)(4(4
12
43 22
+
+
+
−+
=
+
+
+
−+ xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
El lector puede verificar que el m.c.m.= )4)(1( +− xxx
Así tenemos
)1)(4(
)1)(12()(
)4(
12
)1)(4( −+
−++
=
+
+
+
−+ xxx
xxxx
xx
x
xx
x
)1)(4(
12 22
−+
−−+
=
xxx
xxx
)1)(4(
13 2
−+
−−
=
xxx
xx
Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda: a)
4
13
12
1
22
−
−
−
++ x
x
xx
b)
)2)(1(
5
)1(
3
)1(
1
22
++
−
+
−
+ xxxxxxx

52
OPERACIONES MIXTAS
1
1
21
−
+
−
z
zz
Solución: En esta expresión debemos primero realizar la diferencia del numerador, expresarlo como
una sola fracción, para luego realizar la división mediante la doble C, estando claro que la expresión
1−z debe ser expresado como una fracción.
1
)1(
21
1
1
21
−
+
−+
=
−
+
−
z
zz
zz
z
zz
1
1
)1(
1
−
+
+−
=
z
zz
z
)1)(1(
1)1(
−+
⋅+−
=
zzz
z
)1)(1(
)1(
−+
−−
=
zzz
z
)1(
1
+
−=
zz
Ejemplo 2.- Realice y simplifique 42
4
1
−+
−
x
x
Solución: Primero escribimos el segundo término como una fracción a fin de realizar una suma de
fracciones:
=−+
−
42
4
1
x
x 1
42
4
1 −
+
−
x
x
4
)4(21
−
−+
=
x
x
=
4
821
−
−+
x
x
4
72
−
−
=
x
x
Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda
a)
1
1
3
3
2
−
+
−
z
z ; b)
( )
h
h 4
3
2
3
2
−
+
; c)
23
12
3
13
2
+−
−
−−
xx
x
x
x
Es claro que el m.c.m. de los denominadores
es 4−x . Alternativamente se puede hacer
la suma es cruz
Observe la necesidad de colocar paréntesis
en la expresión )4(21 −+ x

53
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES*
En ocasiones pudiéramos tener expresiones como
x5
2
,
43
3
−
o bien
21
1
−+
−
x
x
, donde nos
conviene eliminar las raíces en el denominador, esto es, debemos racionalizar el denominador. En el
primer caso que trataremos el denominador es un monomio, en el segundo caso el denominador es un
binomio (tiene dos términos).
Ejemplo 1.- Racionalice el denominador de
3
1
2
+x
.
Solución:
1
1
2
1
2
33
⋅
+
=
+ xx
( )3
3
3 2
3 2
3 2
3
)1(
)1(2
)1(
)1(
1
2
+
+⋅
=
+
+
⋅
+
=
x
x
x
x
x
)1(
)1(2 3 2
+
+⋅
=
x
x
En el caso de tener que racionalizar un binomio se usa la conjugada de la expresión.
Definición.- La conjugada del binomio a+b es a-b
Ejemplo 1.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones:
a)
43
3
−
; b)
312
1
−+
−
x
x
; c)
xx
xx
++
−+
1
1
Solución:
a) Multiplicamos arriba y abajo por la conjugada del denominador. Esta es la misma expresión que el
denominador pero con el segundo término cambiado de signo: 43 +
=
− 43
3
=⋅
−
1
43
3
43
43
43
3
+
+
⋅
−
=
( )
( )( )4343
433
+−
+
( )
( ) 22
43
433
−
+
=
=
( )
163
433
−
+
Se ha provocado el producto
notable 22
))(( bababa −=+− ,
sin alterar la expresión original.
Caso binomio.- Para racionalizar el denominador se multiplica y se divide la fracción por la
conjugada del denominador.
Caso monomio.- Para racionalizar el denominador se multiplica y se divide la fracción por la
raíz del radicando elevado al exponente que hace falta para completar el índice de la raíz.
Colocamos 1 para recordar que la expresión no se
debe alterar y se debe multiplicar y dividir por la raíz
del radicando elevado al exponente que hace falta
para completar el índice de la raíz, en este caso el
índice de la raíz es 3 y falta 2 para completar el
índice.

54
( ) )43(
13
3
13
433
+−=
−
+
=
b) =
−+
−
312
1
x
x
1
312
1
⋅
−+
−
x
x
=
312
312
312
1
++
++
⋅
−+
−
x
x
x
x
=
( )
( ) )312(312
)312(1
++−+
++−
xx
xx
=
( )
22
3)12(
)312(1
−+
++−
x
xx
Se realiza el producto notable, el producto del numerador se deja indicado
=
( )
9)1(2
)312(1
22
−+
++−
x
xx
=
( )
9)1(4
)312(1
−+
++−
x
xx
=
( )
54
)312(1
−
++−
x
xx
.
c) =
++
−+
xx
xx
1
1
⋅
++
−+
xx
xx
1
1
=
−+
−+
xx
xx
1
1
=
( )
( )
=
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−+
−+
22
2
1
1
xx
xx ( ) =
−+
−+
xx
xx
1
1
2
( )2
1 xx −+
Ejercicio de desarrollo.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones:
a)
x3
2
; b)
82
2
+
−
; c)
xx
x
−−12
; d)
xx
xx
212
212
−+
++
EJERCICIOS
1) Realice las siguientes sumas de fracciones por el método del m.c.m. de los denominadores.
Simplifique
1.1)
39
4
26
3
+ ; 1.2)
9
4
24
1
72
5
+− ; 1.3)
8
3
25
4
10
3
+− ;
1.4) 2
90
7
48
5
−− ; 1.5)
9
2
2
24
5
4
1
+−− ; 1.6) 1
3
2
48
25
2
1
+−− ;
2) Realice las siguientes operaciones y simplifique tanto como pueda
2.1)
3
32
3
3
+
−
+
+ x
x
x
x
; 2.2)
12
1
12
2
+
−
−
+ x
x
x
x
; 2.3) )31(
13
4
x
x
−−
+
;
2.4)
2
1
1 +
−
+
+ x
x
x
x
; 2.5)
1
32
12
4
22
−
−
+
+− x
x
xx
; 2.6)
1
1
34
2
2
−
+
+
+− t
t
tt
t
;

55
2.7)
xxx
x
xx
x 4
2
1
12
2
22
+
+
−
−
−−
; 2.8)
h
h 4
1
)2(
1
2
−
+
; 2.9) 2
1
2
52
2
−−
+
+
xxx
x
;
2.10)
xx
x
xx
x
+
−
÷
−−
−
22
2
1
12
2
; 2.11)
xx
x
xx
xx
+
−
÷
++
−
22
3
93
12
9
; 2.12)
yy
y
y
+
−
÷ 2
2
2
1
;
2.13)
642
65
1
2
2
−+
++
−
xx
xx
x
; 2.14)
xx
xx
+
−
+
2
22
2
1
)1(
1
; 2.15) 32
321
xxx
++ ;
2.16) 3
3
32
2
−
−
+
+
zz
z
z
; 2.17)
xx
x
xx
xx
2
4
23
16
22
3
+
−
÷
++
−
;
2.18);
1
3
12
12
123
36
22
+
+
++
−
−
−+
−
xxx
x
xx
x
2.19)
2
1
23
2
4 22
+
−
++
+
− xxxx
x
;
2.20)
1
2
1
2
1
1
1
−
−
+
−
+
tt
t ; 2.21)
352
65
9
8
2
2
2
3
−−
++
÷
−
−
zz
zz
z
z
; 2.22)
1
13
2
2
+
−+
x
x
x ;
2.23) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
+
−
x
x
xx
x 1
12
12
1 2
; 2.24) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 1
44
1
1
2
2
2
x
x
x
x
3) Racionalice el denominador de las siguientes expresiones:
3.1)
35
5
−
; 3.2)
27
2
+
; 3.3)
312
1
−+
−
x
x
; 3.4)
112
2
−+− zz
x
; 3.5)
xx
xx
32
32
−
+
4.1) ( ) 1)1)(1( 2
−=−+ xxx ; 4.2) ( ) ))(1()1()1( xxxxxxx −−=−−−
4.3) ( ) 1
1
1
−=
−
−
x
x
; 4.4) ( ) 8
8
3
3
=
+
x
x
;
4.5) ( ) 22
2)2)(2( −=−− aaa ; 4.6) ( ) 333
2)2( +=+ aa ;
4.7) ( )
xy
yx
yx
+
=+ −− 11
; 4.8) ( )
)1(
1
1
1
)1(2
1
+−
=
+
−
+ xxx
4.9) ( ) ( ) ( )22
42)2(2 −=− xx ; 4.10) ( ) ( )33
2)2( −−=+− xx ;
4.11) ( ) 2
4
42
2
2
x
x
xx
=
+
; 4.12) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxx 2)2)(1( 22
+⋅+=++⋅ ;
4.13) ( )
3
2
1
1
3
2
1
1
−
−
+
+
=
−
−
−
+ x
x
xx
x
x
; 4.14) ( )El 10% de x es 0.9x
4.15) ( ) El precio en la etiqueta de un artículo es de p UM, se le rebaja un 10%, entonces el precio
a pagar es 0.9p.
4.16) ( ) Aumentar a una mercancía el 20% y luego aumentarle el 30% es lo mismo que primero
aumentarle el 30% y luego el 20%.
4.17) ( ) Sea P un polinomio, si ( ) 03 =P , entonces 3+x divide a P
Respuestas: 1.1)
78
17
; 1.2)
72
34
; 1.3)
200
103
; 1.4)
720
1421
− ; 1.5)
72
125
− ; 1.6)
48
15
;2.1)
3
35
+
−
x
x
;
2.2)
12
1
+
+
x
x
; 2.3)
13
)13(3 2
+
+
x
x
; 2.4)
)2)(1(
122 2
++
−+
xx
xx
; 2.5)
)1()1(
72
2
2
+−
+−
xx
xx
; 2.6)
34
3
2
2
+−
−
tt
t
;

56
2.7)
xxx
xx
)1)(12(
529 2
−+
−−
; 2.8) 2
)2(4
4
h
h
+
−−
;2.9)
xx
xx
+
+−−
2
2
2
424
; 2.10) 2
)1(
)2(
−
−
x
xx
; 2.11)
)1(3
)3(2
+
+
x
xx
; 2.12)
1
2 34
−
+
y
yy
; 2.13)
)2()3(2
1
2
++ xx
; 2.14) 23
)1(
1
+
−
xx
; 2.15) 3
2
23
x
xx ++
;2.16)
zz
zz
3
)14(3
2
2
−
+−
−
;2.16)
xx
xx
3
)14(3
2
2
−
+−−
; 2.17)
1
)4(2
+
+
x
xx
; 2.18) 2
)1)(13(
214
+−
+
xx
x
; 2.19)
)1)(2)(2(
64
++−
+
xxx
x
;
2.20)
4
)1( −tt
; 2.21) - 2
2
)3(
)12)(44(
+
+++
z
zzz
; 2.22)
1
33
2
2
+
+−
x
xx
;2.23)
1+x
x
2.24)
4
)1( +xx
;
3.1)
2
)35(5 +
; 3.2)
47
)27(2 −
;3.3)
54
)312)(1(
−
++−
x
xx
; 3.4) )112(2 −−− zz ;
3.5)
x
xx
7
)32( 2
+
− ; 4.1) ( V ) 1)1)(1()1)(1( 2
−=−+=−+ xxxxx ; 4.2) ( V ) En el lado
izquierdo se saca )1( −x de factor común y se obtiene el lado derecho ; 4.3) ( V )
1
1
1
1
)1(
1
1
−=
−
−
−=
−
+−−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
; 4.4) ( F ) En 8
8
3
3
=
+
x
x
no se puede cancelar los 3
x porque no es
un factor en el numerador. Si damos un valor a x la identidad no se cumple. Por ejemplo x=2, el lado
izquierdo da 2 distinto a 8; 4.5) ( F ) ( ) 2222
2442)2)(2( −≠+−=−=−− aaaaaa ; 4.6) ( F ) El
exponente no se distribuye. El lado izquierdo es un producto notable
88126)2( 3233
+≠+++=+ aaaaa ; 4.7) (V)
yx
yx
1111
+=+ −−
. Si se suma en cruz da
xy
xy +
el
lado derecho; 4.8) ( F ) La suma de fracciones del lado izquierdo
1
1
)1(2
1
+
−
+ xx
da
)1(2
1
+
−
x
distinto
al lado derecho; 4.9) ( V ) Se aplica la propiedad distributiva en el lado izquierdo y da el lado
derecho; 4.10) ( V ) Sacamos -1 de factor común en el lado derecho: ( ) ( )33
)2)(1(2 +−=−− xx
aplicamos la propiedades de los exponentes: ( ) ( ) ( )333
2121 +−=+− xx el cual es el lado izquierdo;
4.11) ( F ) En 4
42
2
2
x
xx +
no se puede cancelar 4
2x porque no es un factor en el numerador. Si damos
el valor x=1 en el lado izquierdo da 3/2 y en el derecho 1, no se cumple la identidad.; 4.12) ( F ) El x
no se puede distribuir en un producto, en una suma si. El lado izquierdo es
( ) ( ) ( )xxxxxxxxx 2323)2)(1( 232
++=++⋅=++⋅ el lado derecho es un polinomio de grado cuarto
( ) ( ) 23422
232 xxxxxxx ++=+⋅+ distinto al lado izquierdo; 4.13) (V) El lado
izquierdo
( )
3
2
1
1
3
2
)1(
1
1
3
2
1
1
−
−−
+
+
=
−
−
−+
+
=
−
−
−
+ x
x
xx
x
xx
x
x
al distribuir el `–`y reordenar tenemos el
lado derecho; 4.14) ( F )El 10% de x es 0.9x; 4.15) ( V ) El precio rebajado es p -0.1p sacando
factor común p, obtenemos que el precio a pagar es 0.9p. 4.16) (V) Para obtener el nuevo precio a
través del primer procedimiento hay que plantear ( ) ( )pppp 2.03.02.0 +++ . El segundo precio es:
( ) ( )pppp 3.02.03.0 +++ , al realizar y simplificar las dos expresiones ambas dan p56.1 . 4.17) (F)
3−x divide a P

57
EJERCICIOS ADICIONALES
1) Factorice completamente:
1.1) 94 2
−x ; 1.2) 2
491 x− ; 1.3) 3652
−− xx ;
1.4) 300202
−− xx ; 1.5) 2
812 xx −+− ; 1.6) 672
++ xx ;
1.7) 505 24
++− xx ; 1.8) xxx 283 23
−− ; 1.9) 2039 2
−+ xx ;
1.10) 2
2079 xx −− ; 1.11) 8126 23
−+− xxx ; 1.12) 3
278 x− ;
1.13) xxx 3662 23
−+ ; 1.14) 3
10001 x+ ; 1.15) 4)4( 2
+++ xx ;
1.16) xxxx −+− 234
; 1.17) 6
64 x− ; 1.18) 81811 24
−−− xxx ;
1.19) 241015 24
+−− xxx ; 1.20) )12(6)12(2 32
−−− xxxxx
2) Calcule el m.c.m. de cada conjunto de expresiones dadas
2.1) 2423
2008;4022;18;24 xxxxxxx −−− ; 2.2) 4;)2(;4;)2( 2222
++−− xxxx
2.3) 2510;152;25 222
++−+− xxxxxx
3) Realice y simplifique:
3.1) 322
3113
xx
x
xxxx −
−
−
−
−
+
; 3.2)
xxxxxx 4
4
2
3
2
1
322
−
−
+
+
−
; 3.3)
2
12
2
2
2
−
−−
− xxxx
;
3.4)
232
3
65 222
−+
−
−+
+
++ xx
x
xxxx
x
; 3.5)
27
3
3
3
93
3
3
2
2
+
+
+
−
+−
+
x
x
xxx
x
4.1)
1
4
1
2
2
−
−
x
x ; 4.2)
h
xhx 22
2
)(
2
−
+
; 4.3)
x
xx
2
1
2
13
−
−
; 4.4) 12
122
+−
+
x
x
x
;
4.5)
h
h 2
1
2
1
+
+
−
; 4.6)
x
xx
x
+
⋅
−
−
1
2/1
; 4.7) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
− 1
11
1
x
x
x
x
5) Realice y simplifique. Escriba su respuesta como una suma de términos no semejantes:
5.1) 2
)33( −x ; 5.2) 2
)12( +x ; 5.3) )33)(33( +− xx ;
5.4) 22
)33()33( +− xx ; 5.5) )32)(22( −+ xx ; 5.6) 22/1
2/1
)
3
( x
x
+ ;
5.7) 33/13/1
)4( x− ; 5.8) )21)(12()2)(1(3)12()12( 2
xxxxxx −+−+−−+− ;
5.9) )2)(1(2)2(2 3
++−+ xxxx ; 5.10) )21)(21()22)(1()2(2 23
xxxxxxx +−−+−−− ;
6) Realice las siguientes divisiones. Use Ruffini cuando se pueda.
6.1) ( ) ( )31 25
+÷− xx ; 6.2) ( ) ( )xx +÷−− 320 3
7) Exprese las siguientes proposiciones verbales en una expresión algebraica en términos de la
variable dada.
7.1)Sea x la altura de un rectángulo, suponga que el ancho es el doble de la altura. Escriba el perímetro
del rectángulo en términos de x.
7.2) Un camión llevaba 8.000 kilos de patilla. Si ya ha vendido x kilos de patillas. ¿Cuántos kilos le quedan
por vender?

58
7.3)Un negocio piensa adquirir 100 lavadoras entre automáticas y semiautomáticas. El costo de una
lavadora automática es 300UM y la semiautomática vale la mitad. Si adquiere x lavadoras
automáticas, exprese el costo total de adquirir las 100 lavadora en términos de x.
7.4)Un negocio adquirió 200 pen driver. Los primeros 50 los venderá a un precio p cada uno. El resto
lo quiere vender 25% más. Exprese la cantidad total que recibirá el negocio(Ingreso) por la venta
de los 200 pen-driver en términos de p.
7.5)Se ha invertido un capital x en un bono que paga el 5% anual y se invirtió 1000 UM más en otro
bono que paga el 6%. Exprese el interés al cabo de un año en términos de x.
7.6)Se tiene dos bonos. Uno paga el 5% anual y el otro paga el 6%. Si se invierte x en el bono del 5% y
el doble en el otro. Exprese el interés al cabo de un año en términos de x.
7.7)Sea x los metros cúbicos de agua consumidos. Si seguro se sabe que el consumo fue mayor que
50, expresar los metros cúbicos consumidos por encima de 50 en términos de x
7.8) En cierto terreno se sabe que si se siembran 100 matas de tomates el rendimiento promedio de
cada mata será de 150UM. Se estima que por cada mata adicional que se siembre en el terreno el
rendimiento por mata bajará en 2UM. Sea x el número de matas adicionales que se siembre, escriba
en término de x: a) el rendimiento de cada mata. b) el número de matas a sembrar.
8.1) ( ) 412
2
1
2 ++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
x
x
; 8.2) ( ) ( ) 2/12/12/12/1
1212226 xx +=+ ;
8.3) ( ) 2
24
2
1
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
x
x
;
8.4) ( ) Si a una mercancía se le sube el 20% y luego se le rebaja el 20% el precio queda igual.
Respuestas: 1.1) )32)(32( +− xx ; 1.2) )71)(71( xx +− ; 1.3) )4)(9( +− xx ; 1.4) )10)(30( +− xx ;
1.5) )2)(6( −−− xx ; 1.6) )1)(6( ++ xx ; 1.7) )5)(10( 22
+−− xx ; 1.8) )4)(7( +− xxx ;
1.9) )53)(43( +− xx ; 1.10) )25)(34( −+− xx ; 1.11) 3
)2( −x ; 1.12) )964)(32( 2
xxx ++− ;
1.13) )6)(3(2 +− xxx ; 1.14) )100101)(101( 2
xxx +−+ ; 1.15) )5)(4( ++ xx ;1.16) )1)(1( 2
+− xxx ;
1.17) - )42)(42)(2)(2( 22
+++−+− xxxxxx ;1.18) )4)(2()1( 2
−++ xxx ;
1.19) )4)(3)(2)(1( −++− xxxx ; 1.20) xxxx 612)(12(2 −−− ; 2.1) )4)(5)(5(72 2
−+− xxxx ;
2.2) )4()2()2( 222
++− xxx ; 2.3) )3()5)(25( 2
−+− xxxx ; 3.1) 2
1
xx +
; 3.2
xx 2
4
2
+
; 3.3)
x
3
− ; 3.4)
)3)(2)(1(
6
++−
−
−
xxx
x
; 3.5)
27
1815
3
2
+
−+
x
xx
; 4.1)
x
x
+2
; 4.2) 22
)(
2
hxx
hx
+
+
− ; 4.3)
14
4
−x
;
4.4)
122
23
+
−−
x
x
; 4.5)
12)2(22
1
++ xh
;4.6)
1+x
xx
; 4.7) 2
)1(
12
+
+
x
x
;5.1) 363 +− xx ;
5.2) 1222 ++ xx ; 5.3) 3333 −+− xxxx ; 5.4) 9189 2
+− xx ; 5.5) 622 −− xx ; 5.6) x
x
++ 6
9
;
5.7) )5)(10( 22
+−− xx ; 5.8) 3838 23
+−− xxx ; 5.9) 41022122 234
−+++ xxxx ; 5.10)
1626134 24
−+− xxx ;6.1) ;3)( 3
xxxC −= 19)( −= xxR ; 6.2) ;93)( 2
−+−= xxxC 7)( =xR ;7.1)
6x; 7.2) x−8000 ; 7.3) ( )xx −+ 100150300 ; 7.4) ( )pp 25.015050 + ; 7.5) ( )100006.005.0 ++ xx ; 7.6)
( )xx 206.005.0 + ; 7.7) 50−x ; 7.8) a) ;2150 x− x+100 ; 8.1) (V) Primero se distribuye el 2 y luego
se simplifica los denominadores del primer termino. 8.2) ( F) El lado izquierdo da
( ) 2/12/12/1
1226226 xx +=+ , y 1226 ≠ ; 8.3) 2
22
4
22
4
4
2
1
+=+=
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
xxx
x
; 8.4) (F) El nuevo
precio es ( ) ( ) pppppp ≠=+−+ 96.02.02.02.0

59
PRUEBA AUTOEVALUATIVA 1 DEL TEMA 1:
Números reales. Exponentes y radicales. Expresiones algebraicas
Recomendación: Leer todo este material de la guía, conforme vaya leyendo realice los ejercicios propuestos,
compruebe sus respuestas. Si alguna respuesta no la obtiene revise e intente encontrar el error, si no puede
pregunte, porque probablemente tendrá una falla que hay que corregir. Una vez que estudie el material y
practique realice esta prueba, en el medirá que conceptos no domina. Verifique que lo realiza en 2 horas. Detecte
los ejercicios de la prueba modelo en que se equivoco, revise los conceptos, propiedades y la forma de trabajar de
los ejercicios relacionados a estos. Puede luego realizar el modelo 2. La realización de pruebas de este tipo le
servirá para autoevaluarse y poder mejorar.
1) Para los siguientes números
a) Diga cuales son naturales, enteros, irracionales, racionales y reales
b) Represente aproximadamente en la recta real.
i) 3
7
2
−− ; ii)
2
24 −
2) Evalúe las siguientes expresiones mixtas: a)
3
3
2/1
2
2721
42
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −⋅+
−⋅ ; b) 5231620 33
−⋅−−
3) Simplifique la siguiente expresión. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos. Evite
radicales.
2
3 2
1
3 2
2
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅ x
xy
xy .
a) 2
69 xx −−− ; b) 3
278 x− ; c) 81811 24
−−− xxx ; d) )1(2)1( 3343
−−− xxxx
5) Realice y simplifique: a)
2
43
2
1
2
−
−+
− xxxx
; b)
( )2
2
2
2
1
1
1
x
x
x
+−
+
6) Realice y simplifique: )21)(12()2)(1(3)12()12( 2
xxxxxx −+−+−−+− .
7) Realice las siguientes divisiones de polinomios. En a) y b) exprese el polinomio P en términos del
cociente y residuo. Use Ruffini cuando se pueda
a) 5
331)( xxxP −−= : xxxD 2)( 3
−= . b) 1264)( 34
++−= xxxxP : 2)( −= xxD ; c)
x
xx
2
324 3
−+
8) Verdadero ó falso. Justifique
8.1) ( ) x
x
xx
−=
+
+−
1
1
)1(1
; 8.2) ( ) 222
2)2( +=+ xx ; 8.3) ( )
)1(
32
1
13
)1(
1
+
−
=
+
−
−
+ x
x
x
x
x
8.4) ( ) La multiplicación de un número entero positivo por un irracional siempre es irracional
9) Exprese las siguientes cantidades en términos de la variable dada.
Si tiene un lote de 100 televisores a repartir en dos tiendas. La ganancia por televisor en la primera
tienda es de 30UM y en la segunda tienda es de 25UM. Exprese en función de x, el número de
televisores que se va a mandar en la primera tienda, lo siguiente a) La ganancia de la primera tienda
por la venta de todos los televisores enviados. b) La ganancia de la segunda tienda por la venta de los
televisores que se mando a esta tienda. c) la ganancia total entre las dos tiendas

60
PRUEBA AUTOEVALUATIVA 2 DEL TEMA 1
1a) Escriba la siguiente expresión en otra forma que involucre radicales, no use exponentes negativos
ni fraccionarios: ( ) 2/1
225
−
+ x
1b) Escriba las formas dadas en otra que use exponentes positivos, no use radicales o exponentes
negativos en su respuesta: 523 2
−−
x
2) Evalúe las expresiones numéricas, simplifique: a) 3/1
3
83
2
83
1 −
⋅−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅
−
b) ( ) 4/3
810000
−
3) Simplifique la expresión dada. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos. No use
radicales en su respuesta: 2/1
3
23
−
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ab
b
ba
a) 123
+− xx ; b) xxx 462 23
++ ; c) 6
64 x− ; d) )12()(6)12(2 32
−+− xxxxx
a)
2
4
.
4
1
2
−
−
−
−
xx
x
; b)
( )2
21
1+
− −−
x
xx
; c)
2
2
1
1
12
x
x
−
−−
6) Considere el polinomio )3)(1(3)3()( 2
+−−+= xxxxxxP
a) Exprese P como una suma. Es decir llévela a la forma 0
1
1)( axaxaxP n
n
n
n +++= −
− K
b) Exprese P completamente factorizado
c) Evalué P en x=-3 de tres maneras: Usando la expresión obtenida en a), la expresión obtenida en b)
y usando la expresión original
7) Realice las siguientes divisiones de polinomios. Exprese el polinomio P en términos del cociente y
residuo y use Ruffini cuando se pueda.
a) 3
41)( xxxP −−= : 2/1)( += xxD ; b) 1264)( 35
++−= xxxxP : 32
23)( xxxD −= .
8) Exprese la siguiente cantidad en términos de la variable dada.
Se quiere cercar un terreno donde el largo es el doble del ancho. El metro lineal del ancho tiene un
valor de 1.5UM y el largo tiene un valor de 0.8UM. el metro lineal. Expresar el costo de cercar el
terreno en términos de x el ancho del mismo.
9 Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas ó falsas. Justifique
9.1) ( ) Si P es un polinomio tal que 0)3( =P entonces (x-3) divide a P
9.2) ( )
2
4
2
44
2
4
+
−=
+
−
−
+ x
x
x
x
x
; 9.3) ( ) 223 3
+=+/ /
xx ; 9.4)( ) 525220 =−

61
Solución esquematizada con comentarios de la prueba autoevaluativa 1
1) Para los siguientes números
a) Diga cuales son naturales, enteros, irracionales, racionales y reales: i) 3
7
2
−− ; Racional y real;
ii) 30,1
2
2
2
2
24
≈−=
− Irracional, pues tiene parte decimal infinita sin periodo
b) Represente aproximadamente en la recta real.
2) Evalúe las siguientes expresiones mixtas:
a)
3
3
2/1
2
2721
42
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −⋅+
−⋅ Se determina completamente los dos términos
( ) 3
2
321
42 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅+
−⋅=
( ) 33
2
5
4
2
61
4 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅+
−=
=
8
157
8
12532
8
125
4 =
+
=
−
−=
b) 5231620 33
−⋅−− Se descompone el producto con algún cubo o cuadrado según el caso
5238254 33
−⋅−⋅−⋅= Se aplica la raíz de un producto
5238254 333
−⋅−⋅−=
5232252 33
−⋅−⋅−= Se agrupan los términos con igual radical
33
2322552 ⋅−⋅−−=
( ) 3
2)32(512 ⋅−−+−=
3
255 −=
3) Simplifique la siguiente expresión. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos.
Evite radicales.
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
−
2
3 2
1
3 2
2 x
xy
xy
( )
2
1
3/2
3/12 2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= −
xy
x
xy Se aplica la propiedad generalizada de la potencia de un producto y
cociente
22
3/42
3/23/1 2
−
=
yx
x
yx Se efectúa la multiplicación, la y del denominador se pasa al numerador
Para determinar la expresión elevada al cubo se decide
calcular el numerador de la fracción dentro del paréntesis,
Se invierte el segundo factor y los radicales se pasa a
notación de exponente fraccionarios.

62
2
23/423/23/1
2
x
yxyx
= Las x del numerador se pasa al denominador, los exponentes de la y se suman
3/1
3/8
3/13/42
23/22
42
x
y
xxx
y
== −−
+
Se sumaron algebraicamente los exponentes de las x
a) 2
69 xx −−− Se saca – de factor común y se arregla por grado de mayor a menor
( )962
++−= xx Se identifica con el producto notable
( )( ) ( )2
333 +−=++−= xxx Respuesta
b) 3
278 x− Se identifica con la diferencia de cubos. También se puede hacer por Ruffini
( )33
32 x−=
( ) ( ) ( )( )22
332232 xxx ++−= El polinomio ( )2
964 xx ++ no tiene raíces reales, por tanto es
irreducible en R
( )( )2
96432 xxx ++−= Respuesta
c) 81811 24
−−− xxx Por Ruffini
De aquí la factorización es ( )( ) ( )21481811
224
++−=−−− xxxxxx
d) )1(2)1( 3343
−−− xxxx Se saca ( )133
−xx de factor común
)2()1( 33
−−= xxx El primer factor se factoriza por diferencia de cubos (también se puede por
Ruffini)
Respuesta ( ) )2(1)1( 32
−++−= xxxxx
a)
2
43
2
1
2
−
−+
− xxxx
Se factoriza los denominadores y se saca m.c.m.
=
−
−+
−
=
2
43
)2(
1
xxxx
mc.m. de los denominadores= ( )2−xx Se suma por m.c.m.
)2(
4)2(31
−
−−+
=
xx
xx
Se distribuye el 3
( )2
5
)2(
4631
−
−−
=
−
−−+
=
xx
x
xx
xx
Respuesta

63
b)
( )2
2
2
2
1
1
1
x
x
x
+−
+
Se realiza la suma de fracciones del numerador en cruz
( )2
2
2
2
1
1
1
1
x
x
x
+
−
+
=
( )2
2
2
2
2
1
11
x
x
x
+
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +−
=
( )2
2
2
2
1
)1(1
x
x
x
+
+−
=
1
4
1
2
2
2
x
x
x
+
= =
+
=
14 22
2
xx
x
14
1
2
+x
Respuesta
6) Realice y simplifique: )21)(12()2)(1(3)12()12( 2
xxxxxx −+−+−−+−
)21)(12()2)(1(3)12()12( 2
xxxxxx −+−+−−+− . Tiene tres términos, realizamos los productos
( )( ) ( ) ( ))21)(21()2)(1(3)12(12)12( xxxxxxx −+−+−−+−− Reordenamos y usamos la asociativa
( )( ) ( ) ( )222
)2(1(2312)12( xxxxx −−−+−−−=
( ) ( )222
4163314)12( xxxxx −−+−−−−= Realizamos el producto del primer término
2223
416331248 xxxxxx +−+−−+−−= Sumamos términos semejantes
7) Realice las siguientes divisiones de polinomios. En a) y b) exprese el polinomio P en términos del
cociente y residuo. Use Ruffini cuando se pueda
a) 5
331)( xxxP −−= : xxxD 2)( 3
−= .
Residuo=( )115 +− x
Cociente= ( )63 2
−− x
b) 1264)( 34
++−= xxxxP : 2)( −= xxD ; Hay que hacer la división por Ruffini porque así lo
exige el enunciado.
Residuo=21
Cociente= ( )10424 23
+++ xxx
( )( ) ( )115632331 235
+−+−−−=−− xxxxxx
( )( ) 211042421264 2334
++++−=++− xxxxxxx
6538 23
+−−= xxx

64
c)
x
xx
2
324 3
−+
división corta entre un monomio
xx
x
x
x
2
3
2
2
2
4 3
−+=
Residuo -3 , Cociente 12 2
+= x
8) Verdadero ó falso. Justifique
8.1) (F ) x
x
xx
−=
+
+−
1
1
)1(1
;
1+x no es un factor en el numerador y por tanto no se puede cancelar
Si se evalúa ambos miembros en x=1 dan distinto
Lado izquierdo:
2
1
2
21
11
)11(11
−=
−
=
+
+−
Lado derecho: 011 =−=
8.2) ( F ) 222
2)2( +=+ xx ; El exponente no se distribuye en una suma
El lado izquierdo es un producto notable 22222
224)2( +≠++=+ xxxx
8.3) ( V )
)1(
32
1
13
)1(
1
+
−
=
+
−
−
+ x
x
x
x
x
Si efectuó la diferencia de fracciones (con igual denominador) del lado izquierdo da
( )
)1(
32
1
131
1
131
1
13
)1(
1
+
−
=
+
+−
=
+
−−
=
+
−
−
+ x
x
x
x
x
x
x
x
x
Es el lado derecho
8.4) ( V ) La multiplicación de un número entero positivo por un irracional siempre es irracional
Si existiera dos números con estas condiciones tal que el producto fuera racional entonces tendríamos
la igualdad : racionalin =⋅
Al pasar n dividiendo ( n distinto de cero) queda
n
racional
i = i es racional entre entero, entonces i es racional, pero no lo es.
9) Exprese las siguientes cantidades en términos de la variable dada.
Si tiene un lote de 100 televisores a repartir en dos tiendas. La ganancia por televisor en la primera
tienda es de 30UM y en la segunda tienda es de 25UM. Exprese en función de x, el número de
televisores que se va a mandar en la primera tienda, lo siguiente
a) La ganancia de la primera tienda por la venta de todos los televisores enviados.
30x
b) La ganancia de la segunda tienda por la venta de los televisores que se mando a esta tienda. c) la
ganancia total entre las dos tiendas
( )x−10025
x
x
2
3
12 2
−+=

65
Solución de la Prueba Autoevaluativa 2:
1a)
x2
2
5 + ; 1b) 5
2
3 2
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
; 2)a)
2
253
− ; b)
( )( ) 000.27
1
103
1
33
= ; 3) 2/1
2/3
b
a
;
4) a) ( )1
2
51
2
51
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
+ xxx ; b) ( )( )122 ++ xxx ;
c) ( )( )( )( )2222
222222 xxxxxx ++−+−+ los polinomios cuadráticos son irreducibles; d)
( )1
3
1
2)12(2 +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−− xxxx ; 5) a)
( )( )22
93
+−
−−
xx
x
.; b)
( )22
1
1
+
−
xx
x
; c)
2
2
1
21
x
x
−
−
6)a )3)(1(3)3()( 2
+−−+= xxxxxxP xx 182 3
+−= b) ( ))62)3( +−+= xxx En el último factor se
puede sacar -2 de factor común
• Usando la formula obtenida en a) ( ) xxxP 182 3
+−= queda
( ) ( ) ( ) 05454318323
3
=−=−+−−=−P
• Usando la formula obtenida en b) ( ))62)3()( +−+= xxxxP queda
( )( ) 01203)632)33(3)3( =⋅⋅−=+−−+−−=−P
• Usando la original )3)(1(3)3()( 2
+−−+= xxxxxxP queda
( ) ( ) 000)33)(13(333)33()3( 2
=−=+−−−−−−+−=−P
7) a) Se tiene que resolver por Ruffini. 224)( 2
−+−= xxxC ; 2)( =xR ;
( ) ( ) 22/1224)( 2
++⋅−+−= xxxxP b) 1264)( 35
++−= xxxxP : 32
23)( xxxD −= . Es sólo por
división larga. ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−+−= 12
2
9
2
3
3232)( 2223
xxxxxxxP
8) ( ) ( ) xxx 6.649.025.1 =+
9) Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas ó falsas. Justifique
9.1) ( V ) Por el Teorema del factor: Si P es un polinomio tal que 0)3( =P entonces (x-3) es un factor
de P
)3( −x es un factor de P es equivalente a que )3( −x divide a P
9.2) ( F )
2
4
2
44
2
4
+
−=
+
−
−
+ x
x
x
x
x
;
Se restan las fracciones del lado izquierdo:
( )
2
4
2
48
2
444
2
444
2
44
2
4
+
−≠
+
−
=
+
+−
=
+
−−
=
+
−
−
+ x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
9.3) (F ) 223 3
+=+/ /
xx ; El radicando tiene que ser un cubo para poder simplificar y es una
suma.
Si evaluamos el lado izquierdo por 1 da 3
3
Si evaluamos el lado derecho por 1 da 3. Como existe un número que al evaluar en el lado izquierdo
da distinto que el derecho las dos expresiones son distintas.
9.4)( V ) 5252202 =−
El primer radicando del lado izquierdo se descompone como producto, al menos uno de ellos un
cuadrado perfecto:
525254525425254252202 =−=−=−⋅=−

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