Algo de probabilidad
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Este documento introduce varias distribuciones de probabilidad discretas y continuas comunes, incluidas las distribuciones binomial, Poisson, normal, gamma y t de Student. Explica los parámetros y campos de variación de cada distribución y proporciona ejemplos para ilustrar su aplicación en diferentes contextos como ensayos clínicos, procesos de producción y medición de datos.
Algo de probabilidad
- 1. Procesos Industriales Área Manufactura Materia: Estadística Tema: Probabilidad Docente: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz Equipo: Josué Gilberto Álvarez Muñiz 18/marzo/2012
- 2. INTRODUCCIÓN. Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades. En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentación matemática de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de la distribución de probabilidades discretas.
- 3. ¿Qué es una distribución de probabilidad? Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada resultado. ¿Cómo generamos una distribución de probabilidad? Supongamos que se quiere saber el número de caras que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda al aire? Es obvio que, el hecho de que la moneda caiga de costado se descarta. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatro caras.
- 4. Distribución Binomial (n,p) La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas aplicaciones bioestadísticas. Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”. Por ejemplo, esa respuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o no defectuoso. La variable discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes de ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de “éxito” igual a p, sigue una distribución binomial de parámetros n y p. Este modelo se aplica a poblaciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, y también a poblaciones conceptualmente infinitas, como por ejemplo las piezas que produce una máquina, siempre que el proceso de producción sea estable (la proporción de piezas defectuosas se mantiene constante a largo plazo) y sin memoria (el resultado de cada pieza no depende de las anteriores). 5 Un ejemplo de variable binomial puede ser el número de pacientes ingresados en una unidad hospitalaria que desarrollan una infección nosocomial. Un caso particular se tiene cuando n=1, que da lugar a la distribución de Bernoulli. Valores: x: 0, 1, 2, ..., n Parámetros: n: número de pruebas, n > 0 entero p: probabilidad de éxito, 0 < p < 1
- 5. Distribución Poisson (lambda) La distribución de Poisson, que debe su nombre al matemático francés Simeón Denis Poisson (1781-1840), ya había sido introducida en 1718 por Abraham De Moivre como una forma límite de la distribución binomial que surge cuando se observa un evento raro después de un número grande de repeticiones10. En general, la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación de la binomial, Bin(n, p), si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad de éxito p es pequeña; una regla es que la aproximación Poisson-binomial es “buena” si n³20 y p£0,05 y “muy buena” si n³100 y p£0,01. La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre aleatoriamente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias del evento en un intervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta que toma valores enteros de 0 en adelante (0, 1, 2,...). Así, el número de pacientes que llegan a un consultorio en un lapso dado, el número de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1 hora, el número de células anormales en una superficie histológica o el número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico de sangre son ejemplos de variables que siguen una distribución de Poisson. En general, es una distribución muy utilizada en diversas áreas de la investigación médica y, en particular, en epidemiología. El concepto de evento “raro” o poco frecuente debe ser entendido en el sentido de que la probabilidad de observar k eventos decrece rápidamente a medida que k aumenta. Supóngase, por ejemplo, que el número de reacciones adversas tras la administración de un fármaco sigue una distribución de Poisson de media lambda=2. Si se administra este fármaco a 1.000 individuos, la probabilidad de que se produzca una reacción adversa (k=1) es 0,27; los valores de dicha probabilidad para k=2, 3, 4, 5, 6 reacciones, respectivamente, son: 0,27; 0,18; 0,09; 0,03 y 0,01. Para k=10 o mayor, la probabilidad es virtualmente 0. El rápido descenso de la probabilidad de que se produzcan k reacciones adversas a medida que k aumenta puede observarse claramente en el gráfico de la función de densidad obtenido con.
- 6. Distribución Normal (Mu, Sigma) La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. De todas formas, la importancia de la distribución normal queda totalmente consolidada por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a través de los teoremas centrales del límite. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución normal en todos los campos de las ciencias empíricas: biología, medicina, psicología, física, economía, etc. En particular, muchas medidas de datos continuos en medicina y en biología (talla, presión arterial, etc.) se aproximan a la distribución normal. Junto a lo anterior, no es menos importante el interés que supone la simplicidad de sus características y de que de ella derivan, entre otras, tres distribuciones (Ji- cuadrado, t y F) que se mencionarán más adelante, de importancia clave en el campo de la contrastación de hipótesis estadísticas. La distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: la media (Mu) y la desviación estándar (Sigma). Campo de variación: -¥ < x < ¥ Parámetros: Mu: media de la distribución, -¥ < Mu < ¥ Sigma: desviación estándar de la distribución, Sigma > 0
- 7. Distribución Gamma (a,p) La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= n´lambda (escala) y p=n (forma). Se denota Gamma(a,p). Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida). Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”). Campo de variación: 0<x<¥ Parámetros: a: parámetro de escala, a > 0 p: parámetro de forma, p > 0
- 8. Distribución t de Student (n) La distribución t de Student se construye como un cociente entre una normal y la raíz de una Ji-cuadrado independientes. Esta distribución desempeña un papel importante en la inferencia estadística asociada a la teoría de muestras pequeñas. Se usa habitualmente en el contraste de hipótesis para la media de una población, o para comparar las medias de dos poblaciones, y viene definida por sus grados de libertad n. A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t de Student se aproxima a una normal de media 0 y varianza 1 (normal estándar). Campo de variación: -¥ < x < ¥ Parámetros: n: grados de libertad, n>0
- 9. Distribución Bernoulli En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizoJakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( ). Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro . La fórmula será: Su función de probabilidad viene definida por: Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.