Ampte8

Tema 7

Series de Fourier

´
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Estas surgieron hist´ricamente
o
al resolver por el m´todo de separaciń de variables un problema de contorno de ecuaciones
e o
en derivadas parciales.
Cuando estas f´rmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos
o
matem´ticos pensaron que era imposible expresar una funciń f (x) cualquiera como suma
a o
de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg´ de recopilar datos
o
para convencer al mundo cient´ıfico de tal posibilidad.

7.1 Series de Fourier

Definiciń 7.1 (Serie de Fourier)
o
Se llama serie de Fourier de una funciń f(x) en el intervalo [−π, π] a:
o
∞
a0
f (x) = + (an cos nx + bn sen nx) (∗)
2 n=1

A los coeficientes a0 , a1 , · · · , an , b0 , b1 , · · · , bn se les llama coeficientes de Fourier de
f(x) en [−π, π].

Debido a que

π 0 si n = m π π
sen mx sen nx dx = cos nx dx = 0 sen nx dx = 0
−π =0 si n = m −π −π

1

2 Tema 7. Series de Fourier

π 0 si n = m π
cos mx cos nx dx = sen mx cos nx dx = 0
−π =0 si n = m −π

e integrando t´rmino a t´rmino en la igualdad (∗) obtenemos:
e e
π π 1 π
f (x) cos nx dx = an cos2 x dx = an π ⇒ an = f (x) cos nx dx
−π −π π −π

π a0 1 π
f (x) dx = 2π ⇒ a0 = f (x) dx
−π 2 π −π

π π 1 π
f (x) sen nx dx = bn sen2 x dx = bn π ⇒ bn = f (x) sen nx dx
−π −π π −π

Las anteriores propiedades de las funciones sen nx, cos mx se pueden resumir en que
el sistema
{1, sen x, sen 2x, · · · , cos x, cos 2x · · ·}
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
π
(f (x), g(x)) = f (x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresiń de un
o
−π
vector f (x) como combinaciń lineal de los vectores de la anterior base ortogonal.
o

Definiciń 7.2 Se llama serie de Fourier de una funciń f(x) en el intervalo [−L, L]
o o
a: ∞
a0 nπ nπ
f (x) ∼ + an cos x + bn sen x
2 n=1 L L
1 L 1 L nπ
donde a0 = f (x) dx an = f (x) cos x dx
L −L L −L L

1 L nπ
bn = f (x) sen x dx
L −L L

Este hecho se basa en que el sistema de vectores
πx 2πx πx 2πx
1, sen
, sen , · · · , cos , cos ,···
L L L L
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
L
(f (x), g(x)) = f (x)g(x) dx
−L

An´logamente se puede definir la serie de Fourier de una funciń f (x) definida en un
a o
a+b
intervalo [a, b] haciendo una traslaciń del punto medio
o al origen.
2

7.1. Series de Fourier 3

a+b b−a a+b a−b
Tomo L = b − = −L=a− =
2 2 2 2

Definiciń 7.3 Se llama serie de Fourier de una funciń f(x) en el intervalo [a, b] a
o o
∞
a0 nπ nπ
f (x) = + an cos b−a x + bn sen b−a x
2 n=1 2 2

2 b 2 b 2nπ
donde a0 = f (x) dx an = f (x) cos x dx
b−a a b−a a b−a

2 b 2nπ
bn = f (x) sen x dx
b−a a b−a

Las series anteriores tambiń se podr´ haber escrito de la forma:
e ıan
∞
f (x) ∼ C0 + Cn cos(nω0 t − θn )
n=1
an
donde Cn = a2 + b2 ,
n n cos θn =
a2 + b2
n n

bn bn
sen θn = θn = arctang
a2 + b2
n n
an

π 2π
siendo ω0 = 1, , segń hayamos utilizado una de las tres f´rmulas anteriores.
u o
L b−a

La componente sinusoidal de frecuencia ωn = nω0 se denomina la en´sima armńica
e o
de la funciń peri´dica. La primera armńica se conoce comunmente con el nombre de
o o o
2π
fundamental porque tiene el mismo periodo que la funciń y ω0 =
o se conoce con
T
el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ńgulos θn se
a
conocen como amplitudes armńicas y ńgulos de fase, respectivamente. En M´sica, a la
o a u
primera armńica, segunda armńica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono,
o o
segundo tono, etc.

Quedan muchas cuestiones por resolver:

• ¿ Qu´ debe cumplir f (x) para que su serie de Fourier converja?
e
• Si converge, ¿ lo hace a f (x)?
• ¿ Es posible integrar t´rmino a t´rmino?. ¿ Y derivar?
e e

Estas preguntas las responderemos con los siguientes teoremas.


7.1.1 Convergencia de las series de Fourier

Teorema 7.1 (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier)
Si f(x) y f ’(x) son continuas a trozos en [−L, L], entonces ∀x ∈ (−L, L) se verifica:
∞
a0 nπ nπ 1
+ an cos x + bn sen x = f (x+ ) + f (x− )
2 n=1 L L 2

1
Para x = ±L la serie de Fourier converge a f (−L+ ) + f (L− ) .
2

Teorema 7.2 (Teorema de convergencia uniforme de series de Fourier)
Sea f(x) una funciń continua en (−∞, ∞) y con periodo 2L. Si f ’(x) es continua a
o
trozos en [−L, L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge uniformemente a f(x) en
[−L, L] y por consiguiente en cualquier intervalo.

7.1.2 Diferenciaciń de series de Fourier
o

Teorema 7.3 Sea f(x) una funciń continua en (−∞, ∞) y con periodo 2L. Sean f ’(x),
o
f ”(x) continuas por segmentos en [−L, L]. Entonces la serie de Fourier de f ’(x) se puede
obtener de la serie de Fourier de f(x) mediante diferenciaciń t´rmino a t´rmino. En
o e e
particular, si
∞
a0 nπ nπ
f (x) = + an cos x + bn sen x
2 n=1 L L
entonces ∞
nπ nπ nπ
f (x) = −an sen x + bn cos x
n=1 L L L

7.1.3 Integraciń de series de Fourier
o

Teorema 7.4 Sea f(x) continua a trozos en [−L, L] con serie de Fourier
∞
a0 nπ nπ
f (x) ∼ + an cos x + bn sen x
2 n=1 L L

entonces ∀x ∈ [−L, L] se verifica:
∞
x x a0 x nπ nπ
f (t) dt = + an cos t + bn sen t dt
−L −L 2 n+1 −L L L

7.2. F´rmula de Parseval
o 5

7.2 F´rmula de Parseval
o

Los tres resultados te´ricos m´s importantes para el manejo de las series de Fourier
o a
son: el teorema de convergencia, el teorema de unicidad, segń el cual todo desarrollo en
u
serie trigonom´trica, de una funciń, es su desarrollo de Fourier, y la f´rmula de Parseval.
e o o

Teorema 7.5 (F´rmula de Parseval)
o
Sea f una funciń continua a trozos en el intervalo [−π, π]. Sean a0 , an y bn los
o
coeficientes del desarrollo de Fourier de f. Entonces se verifica:
∞
1 π 1
[f (x)]2 dx = a2 + a2 + b2
π −π 2 0 n=1 n n

Demostraciń Aunque esta f´rmula es v´lida para todas las funciones continuas a
o o a
trozos, nos limitaremos, por comodidad, a probarla en el caso en que la serie de Fourier
converge uniformemente a f en el intervalo [−π, π].
∞
a0
Partiendo de la relaciń:
o f (x) = + (an cos nx + bn sen nx) −π <x<π
2 n=1

uniformemente. Multiplicando por f (x) se obtiene:
∞
a0
[f (x)]2 = f (x) + (an f (x) cos nx + bn f (x) sen nx) −π <x<π
2 n=1

uniformemente. Por tanto, al integrar t´rmino a t´rmino, se obtiene:
e e
∞
π 1
[f (x)]2 dx = a2 π + a 2 π + b2 π
−π 2 0 n=1
n n

de donde, dividiendo por π, obtenemos el resultado deseado.

7.3 Funciones pares e impares

Definiciń 7.4 (Funciń par, funciń impar)
o o o
Decimos que una funciń f(x) es par si f(-x) = f(x).
o
Decimos que una funciń f(x) es impar si f(-x) = - f(x).
o


Propiedades

• El producto de dos funciones pares es par.
• El producto de dos funciones impares es par.
• El producto de una funciń par por una impar es impar.
o
a a
• Si f(x) es par ⇒ f (x) dx = 2 f (x) dx
−a 0
a
• Si f(x) es impar ⇒ f (x) dx = 0
−a

Desarrollo en serie de Fourier de una funciń par
o

Sea f (x) una funciń par. Vamos a calcularle su serie de Fourier en el intervalo [−L, L].
o
1 L 2 L
a0 = f (x) dx = [por ser f par] = f (x) dx
L −L L 0

1 L nπ 2 L nπ
an = f (x) cos x dx = f (x) cos x dx por ser f (x) y cos x fun-
L −L L L 0 L
ciones pares con lo que su producto es tambiń una funciń par.
e o
1 L nπ
bn = f (x) sen x dx = 0 por ser el producto de una funciń par (f (x)) por
o
L −L L
una impar (sen x) una funciń impar.
o
Luego
∞
a0 nπ
f (x) ∼ + an cos
2 n=1 L

Es decir, la serie de Fourier de una funciń par en el intervalo [−L, L] es una serie en
o
la que s´lo aparecen cosenos.
o

Desarrollo en serie de Fourier de una funciń impar
o

Haciendo c´lculos an´logos se obtiene a0 = an = 0
a a
Es decir, la serie de Fourier de una funciń impar en el intervalo [−L, L] es una serie
o
en la que s´lo aparecen senos.
o

∞
nπ
f (x) ∼ an sen
n=1 L

7.4. Desarrollos para funciones definidas en medio intervalo 7

7.4 Desarrollos para funciones definidas en medio in-
tervalo

Supongamos que tenemos una funciń definida en el intervalo [0, L]. Para hallar su
o
desarrollo en serie de Fourier podemos optar por definirla en el intervalo [−L, 0] de las
siguientes tres formas y obtener distintos desarrollos de Fourier.

Caso I

Extendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funciń par.
o
Obtenemos as´ un desarrollo en serie de cosenos.
ı

Caso II

Extendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funciń impar.
o
Obtenemos as´ un desarrollo en serie de senos.
ı

Caso III

Extendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funciń peri´dica de
o o
periodo L.
Obtenemos as´ un desarrollo en serie de cosenos y senos.
ı

7.5 Forma compleja de la Serie de Fourier

En muchas aplicaciones de las series de Fourier, es conveniente expresar estas series
en t´rminos de los exponenciales complejos e±jnω0 t .
e

Si se considera la serie de Fourier de una funciń peri´dica f (t),como
o o
∞
1
f (t) = a0 + (an cos nω0 t + bn sen ω0 t)
2 n=1

2π
donde ω0 = .
T


Sabemos que :
1 jnω0 t
cos nω0 t = e + e−jnω0 t
2
1 jnω0 t
sen nω0 t = e − e−jnω0 t
2j

Sustituyendo estas expresiones en la anterior de la serie de Fourier:
∞
1 1 j
f (t) = a0 + an ejnω0 t + e−jnω0 t − bn ejnω0 t − e−jnω0 t
2 n=1 2 2

1
Como = −j , podemos expresar f (t) como
j
∞
1 1 1
f (t) = a0 + (an − jbn ) ejnω0 t + (an + jbn ) e−jnω0 t
2 n=1 2 2

1 1 1
LLamando c0 = a0 , cn = (an − jbn ) , c−n = (an + jbn ) , entonces:
2 2 2
∞
f (t)=c0 + cn ejnω0 t + c−n e−jnω0 t =
n=1

∞ −∞ ∞
=c0 + cn ejnω0 t + cn e−jnω0 t = cn ejnω0 t
n=1 n=−1 n=−∞

Esta ultima ecuaciń se denomina serie compleja de Fourier de f (t).
´ o

Los coeficientes de Fourier se pueden evaluar fćilmente en t´rminos de an y bn , los
a e
cuales ya los conocemos:
1 1 T /2
c0 = a0 = f (t) dt
2 T −T /2

1 1 T /2
cn = (an − jbn ) = [desarrollando] = f (t)e−jnω0 t dt
2 T −T /2

1 1 T /2
c−n = (an + jbn ) = [desarrollando] = f (t)ejnω0 t dt
2 T −T /2

1 2
donde |cn | = a + b2
2 n n

7.5. Forma compleja de la Serie de Fourier 9

Definiciń 7.5 (Producto escalar en C)
o l
Dadas dos funciones complejas f(t) y g(t) definimos su producto escalar complejo en
el intervalo [a, b] como
b
(f (t), g(t)) = f (t) · g(t) = f (t)g ∗ (t) dt
a

donde g ∗ (t) representa el conjugado complejo de g(t).

Definiciń 7.6 ( Sistema ortogonal en C)
o l
un conjunto de funciones complejas {f1 (t), f2 (t), · · · , fn (t)} se dicen que es un sistema
ortogonal en el intervalo [a, b] si
b 0 para k = m
∗
fm (t)fk (t) dt =
a rk para k = m

Proposiciń 7.1 El conjunto de funciones complejas de la serie de Fourier {ejnω0 t } ,
o
n = 0, ±1, ±2, · · ·, forman un sistema de funciones ortogonales.

Definiciń 7.7 (Espectros de frecuencia compleja)
o
La gr´fica de la magnitud de los coeficientes complejos cn de la serie de Fourier
a
∞
cn ejnω0 t frente a (versus) la frecuencia ω (frecuencia angular) se denomina es-
n=−∞
pectro de amplitud de la funciń peri´dica f(t).
o o
La gr´fica del ńgulo de fase ϕn de cn = |cn |e−jϕn frente a ω se denomina espectro
a a
de fase de f(t).
Como el ´
ıdice n toma solamente valores enteros, los espectros de amplitud y fase no
son curvas continuas sino que aparecen en la variable discreta nω0 ; por consiguiente, se
les denomina espectros de frecuencia discreta o espectros de l´ ıneas.

La representaciń de los coeficientes complejos cn frente a la variable discreta nω0 ,
o
especifica la funciń peri´dica f (t) en el diminio de la frecuencia, as´ como f (t) versus t
o o ı
especifica la funciń en el dominio del tiempo.
o

Proposiciń 7.2 El desplazamiento en el tiempo de una funciń peri´dica no tiene efecto
o o o
sobre el espectro de amplitud, pero modifica el espectro de fase en una cantidad de −nω0 τ
radianes para la componente de frecuencia nω0 si el desplazamiento en el tiempo es τ .


7.6 Filtrado de series de Fourier

Supongamos que deseamos obtener la tensiń (o corriente) de salida de un sistema
o
lineal y sabemos que la entrada es una seãl peri´dica no lineal. Utilizando la serie
n o
de Fourier para descomponer la seãl de entrada, en sus componentes senoidales, pode-
n
mos hacer pasar separadamente cada componente a trav´s del sistema. (Se pueden usar
e
m´todos conocidos para operar con entradas senoidales: fasores, impedancias, etc.). Por
e
superposiciń, sabemos que la seãl de salida total es la suma de todas las salidas de las
o n
componentes senoidales.

Esta onda de salida total es la salida estacionaria debida a la seãl de entrada no
n
senoidal. Es la respuesta particular del sistema a la seãl de entrada no senoidal.
n
Es decir, esta entrada ha estado excitando al sistema durante el tiempo suficiente para
que haya desaparecido cualquier respuesta transitoria (respuesta natural debida a las
condiciones iniciales que pudieran haber estado presentes al principio de haber aplicado
la seãl de entrada).
n

Un filtro pasa-bajos ideal (no realizable) tiene una funciń de transferencia H(jω)
o
de las siguientes caracter´
ısticas:

1 −ωc < ω < +ωc
/H(jω) = 0 |H(jω)| =
0 otros valores

Esto significa que si una seãl peri´dica no senoidal se aplica al filtro, la salida es-
n o
tar´ formada por aquellas componentes senoidales de Fourier aplicadas a la entrada cuya
a
frecuencia angular sea inferior a ωc .

Para que una onda peri´dica de forma arbitraria pase sin distorsiń a trav´s de un
o o e
sistema lineal , llamada transmisiń sin distorsiń (por ejemplo, un amplificador de
o o
alta fidelidad), cualquier desplazamiento de fase introducido por el sistema debe ser pro-
porcional al n´mero del armńico (a la frecuencia). Es decir, resulta necesario que el
u o
ńgulo de la funciń de transferencia del sistema /H(jω) , sea una funciń lineal de la
a o o
frecuencia.

7.7 Series finitas de Fourier

Supongamos que, dada una funciń peri´dica, intentamos obtener una serie aproxi-
o o
mada utilizando s´lo un n´mero finito n de t´rminos armńicos. Designemos esta aprox-
o u e o

7.7. Series finitas de Fourier 11

imaciń de n t´rminos por fn (t):
o e
n
fn (t) = αk ejkω0 t (7.1)
k=−n

donde el valor num´rico αk tiene que ser calculado. Si para evaluar los t´rminos de la
e e
ecuaciń ( 7.1), tomamos espec´ficamente
o ı
1 t0 +T
αk = f (t)e−jkω0 t dt
T t0

podemos llamar a nuestra aproximaciń serie de Fourier truncada.
o
En cualquier instante de tiempo, la diferencia entre una aproximaciń fn (t) y la onda
o
real f (t) es el error en (t)
en (t) = f (t) − fn (t)

Este error puede ser positivo o negativo. Para dar una medida de mayor calidad en la
aproximaciń vamos a elegir el error cuadr´tico medio, definido por
o a
1 t0 +T
e2 (t) =
n e2 (t) dt
n
T t0

Desarrollando
 2
n
1 t0 +T
2 1 t0 +T
f (t) − jkω0 t 
e2 (t) =
n [f (t) − fn (t)] dt = αk e dt
T t0 T t0 k=−n

Buscamos el conjunto de coeficientes αk que minimizan este error cuadr´tico medio.
a
∂e2 (t)
n
Para ello, se debe verificar = 0 ∀k
∂αk

Consideremos el coeficiente m-´simo:
e
  2 

1 n 

∂e2 (t)
n ∂ t0 +T
= f (t) − αk ejkω0 t  dt =0
∂αm ∂αm  T
 t0 k=−n



Es decir
 
n
1 t0 +T
2 f (t) − αk ejkω0 t  [−ejmω0 t ] dt = 0
T t0 k=−n


o n
2 t0 +T 2 t0 +T
− f (t)ejmω0 t dt + αk ej(k+m)ω0 t dt = 0 (7.2)
T t0 T t0 k=−n

La integral del segundo t´rmino es suma de integrales particulares. Teniendo en cuenta
e
la propiedad de ortogonalidad, todas son nulas excepto en la que k = −m.

Para k = −m la ecuaciń ( 7.2) se puede expresar como
o
t0 +T t0 +T t0 +T
− f (t)ejmω0 t dt + α−m dt = − f (t)ejmω0 t dt + α−m (t0 + T − t0 ) = 0
t0 t0 t0

de donde
1 t0 +T
α−m = f (t)ejmω0 t dt
T t0
o
1 t0 +T
αk = f (t)e−jkω0 t dt
T t0

que es la definiciń de los coeficientes de Fourier.
o

En consecuencia, los coeficientes de Fourier minimizan el error cuadr´tico medio entre
a
la funciń real f (t) y cualquier serie armńica aproximada de longitud finita.
o o

Evidentemente, cuantos m´s armńicos tomemos en la serie, mayor ser´ la aproxi-
a o a
maciń y, en consecuencia, menor ser´ el error cuadr´tico medio. Sin embargo, ań
o a a u
utilizando un n´mero infinito de t´rminos, si la funciń tiene alguna discontinuidad (por
u e o
ejemplo la funciń de onda cuadrada), nunca podremos lograr una r´plica perfecta de la
o e
original f (t). Cualquier discontinuidad producir´ un transitorio que sobrepasa la onda
a
por la parte superior e inferior de cada discontinuidad. Cada uno de estos transitorios
tiene una elongaciń m´xima de aproximadamente el 9% de la altura de la respectiva
o a
discontinuidad. Este efecto, observado por J. W. Gibbs, se llama efecto Gibbs.
Adema´, cualquier aproximaciń de t´rminos finitos de Fourier corta a cada discon-
s o e
tinuidad por su valor medio (mitad entre el valor superior e inferior).

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