20 inte numerica
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Este documento presenta diferentes métodos numéricos para aproximar el cálculo de integrales definidas, como la regla del trapecio, la regla de Simpson y sus versiones compuestas. Explica los teoremas de error asociados y cómo determinar el número de subintervalos necesarios para lograr una aproximación con error menor a un límite prefijado.
![´
Capıtulo 20
Integraci´n num´rica
o e
Introducci´n
o
En este cap´
ıtulo nos ocupamos del c´lculo aproximado de integrales definidas de la
a
forma
b
I= f (x) dx
a
donde f se supone una funci´n continua en [a, b].
o
Este problema se puede resolver de modo exacto a partir de una primitiva de f . Si se
dispone de una funci´n F (sencilla de evaluar) tal que F (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b),
o
sabemos que I = F (b)−F (a) y el problema est´ resuelto de modo exacto. Pero es conocido
a
2
que muchas funciones, incluso de aspecto “inofensivo” como e−x , sen(x2 ), . . ., no admiten
una primitiva expresable en t´rminos de funciones elementales. Cuando f es una funci´n
e o
con esta caracter´
ıstica, o bien cuando no se dispone de una expresi´n expl´
o ıcita para f ,
sino s´lo de una tabla de valores, es necesario recurrir a m´todos de c´lculo aproximado,
o e a
denominados f´rmulas de cuadratura num´rica, que consisten, en general, en aproximar I
o e
n
por una suma del tipo ai f (xi ).
i=0
Existe una gran cantidad de estos m´todos, desarrollados pensando en problemas dis-
e
tintos. Dadas las limitaciones de este texto, s´lo pretendemos aqu´ presentar la posibilidad
o ı
de la integraci´n num´rica, incluyendo alguno de los m´todos m´s conocidos, concreta-
o e e a
mente el m´todo del trapecio o regla del trapecio (simple y compuesta) y el m´todo de
e e
Simpson o regla de Simpson (simple y compuesta).
Para un estudio m´s detallado el lector puede dirigirse a un texto espec´
a ıfico de An´lisis
a
Num´rico.
e
1. M´todos de Newton-Cˆtes
e o
Los m´todos discutidos en esta secci´n se basan en la idea de interpolar la funci´n f
e o o
b
por una funci´n polin´mica Pn y aproximar I por
o o Pn (x) dx.
a
Naturalmente, el m´todo ser´ exacto cuando f sea un polinomio de grado menor o
e a
igual que n.
Las f´rmulas que daremos ser´n s´lo las llamadas “cerradas”, esto es, los extremos
o a o
del intervalo de integraci´n forman parte del conjunto de puntos de interpolaci´n.
o o](https://image.slidesharecdn.com/20intenumerica-110921213449-phpapp01/85/20-inte-numerica-1-320.jpg)
![608 Cap´
ıtulo 20. Integraci´n num´rica
o e
1.1. M´todo del trapecio
e
El m´todo o regla del trapecio consiste
e
en tomar la aproximaci´n
o
b
h
f (x) dx ≈ f (a) + f (b)
a 2
donde h = b − a (v´ase figura 20.1).
e
Fig. 20.1
Notas:
1) La f´rmula se obtiene integrando el polinomio de interpolaci´n de f en los puntos
o o
(a, f (a)), (b, f (b)). Por ello, naturalmente, cuando f (a) y f (b) son positivos, la aproxi-
maci´n obtenida es el ´rea del trapecio de v´rtices (a, f (a)), (b, f (b)), (b, 0) y (a, 0).
o a e
2) V´ase una aplicaci´n de este m´todo en el problema resuelto 2, apartado a).
e o e
1.2. Teorema
Si f ∈ C 2 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que
b
h h3
f (a) + f (b) − f (ξ)
f (x) dx =
a 2 12
Nota: La demostraci´n de este resultado es el contenido del problema resuelto 1.
o
1.3. Corolario
Si |f (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproximar
b
h3
f (x) dx por la regla del trapecio es M .
a 12
1.4. Regla de Simpson
El m´todo o regla de Simpson consiste
e
en aproximar
b
h
f (x) dx ≈ f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )
a 3
b−a
donde h = , x0 = a, x1 = a + h y
2
x2 = b (v´ase figura 20.2).
e
Fig. 20.2
Notas:
1) Esta f´rmula se obtiene integrando el polinomio interpolador de f en los puntos x0 ,
o
x1 y x2 , es decir aproximando la funci´n f por un arco de par´bola.
o a
2) V´ase una aplicaci´n de este m´todo en el problema resuelto 2, apartado b).
e o e](https://image.slidesharecdn.com/20intenumerica-110921213449-phpapp01/85/20-inte-numerica-2-320.jpg)
![Integraci´n num´rica compuesta
o e 609
1.5. Teorema
Si la funci´n f ∈ C 4 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que
o
b
h h5
f (x) dx = f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) − f (4) (ξ)
a 3 90
1.6. Corolario
Si |f (4) (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproxi-
b
M h5
mar f (x) dx por la regla de Simpson es .
a 90
Notas:
1) Puesto que el error se expresa en t´rminos de la derivada cuarta de f , se concluye que
e
la regla de Simpson es exacta para polinomios de grado menor o igual que tres, pese
a haberse obtenido integrando un polinomio de grado dos (v´ase problema resuelto 3,
e
apartado b).
2) En general, las reglas de Newton-Cˆtes de orden impar, es decir las obtenidas inte-
o
grando un polinomio de grado par, ganan un grado de precisi´n. o
2. Integraci´n num´rica compuesta
o e
Los m´todos de tipo Newton-Cˆtes no son generalmente apropiados para usarse en
e o
intervalos de integraci´n de longitud grande.
o
Si se toma un polinomio interpolador de grado alto, ´ste puede presentar importantes
e
oscilaciones y dar lugar a resultados inexactos. Del mismo modo que el problema de la
aproximaci´n se resolv´ razonablemente con la interpolaci´n a trozos, esta idea tambi´n
o ıa o e
es util para la integraci´n aproximada.
´ o
2.1. M´todo del trapecio compuesto
e
El m´todo o regla del trapecio compuesta
e
consiste en dividir el intervalo [a, b] en n subin-
tervalos iguales y aplicar el m´todo del trapecio
e
en cada uno de ellos, o lo que es lo mismo, in-
tegrar la funci´n interpoladora lineal a trozos
o
de la funci´n f en n + 1 puntos (v´ase figura
o e
20.3).
b−a
Si h = y xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n,
n
entonces
b n−1
h
f (x) dx ≈ f (a) + f (b) + 2 f (xi )
a 2 i=1
Fig. 20.3](https://image.slidesharecdn.com/20intenumerica-110921213449-phpapp01/85/20-inte-numerica-3-320.jpg)
![610 Cap´
ıtulo 20. Integraci´n num´rica
o e
2.2. Teorema
Si f ∈ C 2 [a, b], con la notaci´n del resultado anterior, existe µ ∈ (a, b) tal que
o
b n−1
h (b − a)h2
I= f (x) dx = f (a) + f (b) + 2 f (xi ) − f (µ)
a 2 i=1
12
2.3. Corolario
Si |f (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproximar
(b − a)3
I por el m´todo del trapecio compuesto con n subintervalos es
e M.
12n2
Nota: Esta f´rmula permite determinar el n´mero de subintervalos necesarios para apro-
o u
ximar la integral con un error menor que una cota prefijada (v´ase problema resuelto 5,
e
apartado b).
2.4. M´todo de Simpson compuesto
e
b−a
Sea n = 2m, h = , xj = a + jh, con j = 0, 1, . . . , 2m. El m´todo o regla de
e
2m
Simpson con n subintervalos consiste, v´ase figura 20.4, en aproximar I por
e
b
h
I= f (x) dx ≈ f (a) + 4f (x1 ) + f (x2 ) + f (x2 ) + 4f (x3 ) + f (x4 ) + · · ·
a 3
+ f (x2m−2 ) + 4f (x2m−1 ) + f (b)
es decir
m−1 m
h
I≈ f (a) + 2 f (x2j ) + 4 f (x2j−1 ) + f (b)
3 j=1 j=1
h h h h
xi 1 xi xi 1
Fig. 20.4
Nota: El m´todo consiste en dividir [a, b] en n subintervalos (con n par) y aplicar la regla
e
de Simpson en cada pareja de intervalos consecutivos.](https://image.slidesharecdn.com/20intenumerica-110921213449-phpapp01/85/20-inte-numerica-4-320.jpg)
![Test de Autoevaluaci´n
o 611
2.5. Teorema
Si f ∈ C 4 [a, b], con la notaci´n del resultado anterior, existe µ ∈ (a, b) de modo que
o
el error cometido al aproximar I por la f´rmula de Simpson compuesta es
o
h4 (b − a) (4)
E=− f (µ)
180
2.6. Corolario
Si |f (4) (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproxi-
M (b − a)5
mar la integral por el m´todo de Simpson compuesto con n + 1 puntos es
e .
180n4
Nota: Esta f´rmula permite determinar el n´mero de subintervalos necesarios para apro-
o u
ximar la integral con un error menor que una cota prefijada (v´ase problema resuelto 5,
e
apartado a). Obs´rvese que dicho n´mero debe ser par.
e u
TEST DE AUTOEVALUACI´N
O
Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. El m´todo de Simpson siempre es m´s exacto que el del trapecio.
e a
2. Si P es un polinomio de grado menor o igual que 3,
b
b−a a+b
P (x) dx = P (a) + P (b) + 4P
a 6 2
ya que el m´todo de Simpson es exacto para la funci´n integrando.
e o
3. Sea x
si x ≤ 1
f (x) = 2
x+5 si x > 1
2
El valor de la integral f (x) dx se obtiene de modo exacto con la f´rmula del trapecio
o
0
compuesto con un n´mero par de subintervalos.
u
4
4. El valor aproximado de f (x) dx por el m´todo de Simpson compuesto con cinco puntos
e
0
1
es f (0) + 2f (1) + 2f (2) + 2f (3) + f (4) .
2](https://image.slidesharecdn.com/20intenumerica-110921213449-phpapp01/85/20-inte-numerica-5-320.jpg)
20 inte numerica
- 1. ´ Capıtulo 20 Integraci´n num´rica o e Introducci´n o En este cap´ ıtulo nos ocupamos del c´lculo aproximado de integrales definidas de la a forma b I= f (x) dx a donde f se supone una funci´n continua en [a, b]. o Este problema se puede resolver de modo exacto a partir de una primitiva de f . Si se dispone de una funci´n F (sencilla de evaluar) tal que F (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b), o sabemos que I = F (b)−F (a) y el problema est´ resuelto de modo exacto. Pero es conocido a 2 que muchas funciones, incluso de aspecto “inofensivo” como e−x , sen(x2 ), . . ., no admiten una primitiva expresable en t´rminos de funciones elementales. Cuando f es una funci´n e o con esta caracter´ ıstica, o bien cuando no se dispone de una expresi´n expl´ o ıcita para f , sino s´lo de una tabla de valores, es necesario recurrir a m´todos de c´lculo aproximado, o e a denominados f´rmulas de cuadratura num´rica, que consisten, en general, en aproximar I o e n por una suma del tipo ai f (xi ). i=0 Existe una gran cantidad de estos m´todos, desarrollados pensando en problemas dis- e tintos. Dadas las limitaciones de este texto, s´lo pretendemos aqu´ presentar la posibilidad o ı de la integraci´n num´rica, incluyendo alguno de los m´todos m´s conocidos, concreta- o e e a mente el m´todo del trapecio o regla del trapecio (simple y compuesta) y el m´todo de e e Simpson o regla de Simpson (simple y compuesta). Para un estudio m´s detallado el lector puede dirigirse a un texto espec´ a ıfico de An´lisis a Num´rico. e 1. M´todos de Newton-Cˆtes e o Los m´todos discutidos en esta secci´n se basan en la idea de interpolar la funci´n f e o o b por una funci´n polin´mica Pn y aproximar I por o o Pn (x) dx. a Naturalmente, el m´todo ser´ exacto cuando f sea un polinomio de grado menor o e a igual que n. Las f´rmulas que daremos ser´n s´lo las llamadas “cerradas”, esto es, los extremos o a o del intervalo de integraci´n forman parte del conjunto de puntos de interpolaci´n. o o
- 2. 608 Cap´ ıtulo 20. Integraci´n num´rica o e 1.1. M´todo del trapecio e El m´todo o regla del trapecio consiste e en tomar la aproximaci´n o b h f (x) dx ≈ f (a) + f (b) a 2 donde h = b − a (v´ase figura 20.1). e Fig. 20.1 Notas: 1) La f´rmula se obtiene integrando el polinomio de interpolaci´n de f en los puntos o o (a, f (a)), (b, f (b)). Por ello, naturalmente, cuando f (a) y f (b) son positivos, la aproxi- maci´n obtenida es el ´rea del trapecio de v´rtices (a, f (a)), (b, f (b)), (b, 0) y (a, 0). o a e 2) V´ase una aplicaci´n de este m´todo en el problema resuelto 2, apartado a). e o e 1.2. Teorema Si f ∈ C 2 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que b h h3 f (a) + f (b) − f (ξ) f (x) dx = a 2 12 Nota: La demostraci´n de este resultado es el contenido del problema resuelto 1. o 1.3. Corolario Si |f (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproximar b h3 f (x) dx por la regla del trapecio es M . a 12 1.4. Regla de Simpson El m´todo o regla de Simpson consiste e en aproximar b h f (x) dx ≈ f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) a 3 b−a donde h = , x0 = a, x1 = a + h y 2 x2 = b (v´ase figura 20.2). e Fig. 20.2 Notas: 1) Esta f´rmula se obtiene integrando el polinomio interpolador de f en los puntos x0 , o x1 y x2 , es decir aproximando la funci´n f por un arco de par´bola. o a 2) V´ase una aplicaci´n de este m´todo en el problema resuelto 2, apartado b). e o e
- 3. Integraci´n num´rica compuesta o e 609 1.5. Teorema Si la funci´n f ∈ C 4 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que o b h h5 f (x) dx = f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) − f (4) (ξ) a 3 90 1.6. Corolario Si |f (4) (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproxi- b M h5 mar f (x) dx por la regla de Simpson es . a 90 Notas: 1) Puesto que el error se expresa en t´rminos de la derivada cuarta de f , se concluye que e la regla de Simpson es exacta para polinomios de grado menor o igual que tres, pese a haberse obtenido integrando un polinomio de grado dos (v´ase problema resuelto 3, e apartado b). 2) En general, las reglas de Newton-Cˆtes de orden impar, es decir las obtenidas inte- o grando un polinomio de grado par, ganan un grado de precisi´n. o 2. Integraci´n num´rica compuesta o e Los m´todos de tipo Newton-Cˆtes no son generalmente apropiados para usarse en e o intervalos de integraci´n de longitud grande. o Si se toma un polinomio interpolador de grado alto, ´ste puede presentar importantes e oscilaciones y dar lugar a resultados inexactos. Del mismo modo que el problema de la aproximaci´n se resolv´ razonablemente con la interpolaci´n a trozos, esta idea tambi´n o ıa o e es util para la integraci´n aproximada. ´ o 2.1. M´todo del trapecio compuesto e El m´todo o regla del trapecio compuesta e consiste en dividir el intervalo [a, b] en n subin- tervalos iguales y aplicar el m´todo del trapecio e en cada uno de ellos, o lo que es lo mismo, in- tegrar la funci´n interpoladora lineal a trozos o de la funci´n f en n + 1 puntos (v´ase figura o e 20.3). b−a Si h = y xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n, n entonces b n−1 h f (x) dx ≈ f (a) + f (b) + 2 f (xi ) a 2 i=1 Fig. 20.3
- 4. 610 Cap´ ıtulo 20. Integraci´n num´rica o e 2.2. Teorema Si f ∈ C 2 [a, b], con la notaci´n del resultado anterior, existe µ ∈ (a, b) tal que o b n−1 h (b − a)h2 I= f (x) dx = f (a) + f (b) + 2 f (xi ) − f (µ) a 2 i=1 12 2.3. Corolario Si |f (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproximar (b − a)3 I por el m´todo del trapecio compuesto con n subintervalos es e M. 12n2 Nota: Esta f´rmula permite determinar el n´mero de subintervalos necesarios para apro- o u ximar la integral con un error menor que una cota prefijada (v´ase problema resuelto 5, e apartado b). 2.4. M´todo de Simpson compuesto e b−a Sea n = 2m, h = , xj = a + jh, con j = 0, 1, . . . , 2m. El m´todo o regla de e 2m Simpson con n subintervalos consiste, v´ase figura 20.4, en aproximar I por e b h I= f (x) dx ≈ f (a) + 4f (x1 ) + f (x2 ) + f (x2 ) + 4f (x3 ) + f (x4 ) + · · · a 3 + f (x2m−2 ) + 4f (x2m−1 ) + f (b) es decir m−1 m h I≈ f (a) + 2 f (x2j ) + 4 f (x2j−1 ) + f (b) 3 j=1 j=1 h h h h xi 1 xi xi 1 Fig. 20.4 Nota: El m´todo consiste en dividir [a, b] en n subintervalos (con n par) y aplicar la regla e de Simpson en cada pareja de intervalos consecutivos.
- 5. Test de Autoevaluaci´n o 611 2.5. Teorema Si f ∈ C 4 [a, b], con la notaci´n del resultado anterior, existe µ ∈ (a, b) de modo que o el error cometido al aproximar I por la f´rmula de Simpson compuesta es o h4 (b − a) (4) E=− f (µ) 180 2.6. Corolario Si |f (4) (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproxi- M (b − a)5 mar la integral por el m´todo de Simpson compuesto con n + 1 puntos es e . 180n4 Nota: Esta f´rmula permite determinar el n´mero de subintervalos necesarios para apro- o u ximar la integral con un error menor que una cota prefijada (v´ase problema resuelto 5, e apartado a). Obs´rvese que dicho n´mero debe ser par. e u TEST DE AUTOEVALUACI´N O Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones: 1. El m´todo de Simpson siempre es m´s exacto que el del trapecio. e a 2. Si P es un polinomio de grado menor o igual que 3, b b−a a+b P (x) dx = P (a) + P (b) + 4P a 6 2 ya que el m´todo de Simpson es exacto para la funci´n integrando. e o 3. Sea x si x ≤ 1 f (x) = 2 x+5 si x > 1 2 El valor de la integral f (x) dx se obtiene de modo exacto con la f´rmula del trapecio o 0 compuesto con un n´mero par de subintervalos. u 4 4. El valor aproximado de f (x) dx por el m´todo de Simpson compuesto con cinco puntos e 0 1 es f (0) + 2f (1) + 2f (2) + 2f (3) + f (4) . 2