Analisis vectorial

Clase 1
Fundamentos de Análisis Vectorial

 El análisis vectorial. Sin embargo, muchos estudiantes de ingeniería del
penúltimo y último años no han tenido el tiempo (o quizás la inclinación) de tomar
un curso de análisis vectorial, aunque es probable que varios de los conceptos
elementales de vectores y sus operaciones les hayan sido presentados en los cursos
de cálculo. Estos conceptos fundamentales y sus operaciones se explican a
continuación, y el tiempo que se les dedique dependerá de las bases precedentes

 El enfoque que daremos es el de un ingeniero o un físico y no el de un matemático,
ya que las demostraciones se bosquejan en vez de exponerse rigurosamente y se
destaca la interpretación física.
 Es más fácil para los ingenieros tomar cursos más rigurosos y completos en el
departamento de matemáticas después de haber estudiado algunos esquemas
físicos y sus aplicaciones.

 El análisis vectorial es una taquigrafía matemática. Contiene algunos símbolos
nuevos, algunas reglas nuevas, una que otra trampa y, como la mayor parte de los
nuevos campos de estudio., demanda concentración, atención y práctica

 El término escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con
un simple número real (positivo o negativo). Las 𝑥, y 𝑦, 𝑧 usadas en álgebra básica
son escalares, y las cantidades que representan también lo son. Si hablamos de un
cuerpo que cae a una distancia 𝐿 en un tiempo 𝑡, o de la temperatura 𝑇 en
cualquier punto en un tazón de sopa cuyas coordenadas son 𝑥, 𝑦, 𝑧, entonces
𝐿, 𝑡, 𝑇, 𝑥, 𝑦, 𝑧 son escalares.

 Otras cantidades escalares son la masa, la densidad, la presión (pero no la fuerza),
el volumen y la resistividad volumétrica.
 El voltaje también es una cantidad escalar, aunque la representación compleja en
números complejos de un voltaje sinusoidal (un procedimiento artificial) produce
un escalar complejo o fasor, cuya representación necesita dos números reales,
como la amplitud y el ángulo de fase, o parte real y parte imaginaria.

 Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección en el espacio. Sólo
serán de interés los espacios de dos y tres dimensiones, aunque en aplicaciones
más avanzadas los vectores pueden definirse en espacios de n dimensiones.
 La fuerza, la velocidad, la aceleración y una línea recta que van de la terminal
positiva a la negativa son ejemplos de vectores. A cada cantidad la caracterizan
tanto una magnitud como una dirección.

 Los campos escalares y vectoriales serán de mayor importancia.
 Un campo (escalar o vectorial) puede definirse matemáticamente como la función
del vector que conecta un origen arbitrario con un punto cualquiera en el espacio.
 En general, es posible asociar algún efecto físico con un campo, como la fuerza
sobre la aguja de una brújula en el campo magnético de la Tierra o el movimiento
de las partículas de humo en el campo que define el vector velocidad del aire en
alguna región del espacio.

 Es necesario observar que el concepto de campo invariablemente se relaciona con
una región. Algunas cantidades se definen en cada punto de una región. Tanto los
campos escalares como los vectoriales tienen una existencia real. La temperatura
de un tazón de sopa y la densidad en cualquier punto de la Tierra son ejemplos de
campos escalares. Los ejemplos de campos vectoriales son los campos gravitacional
y magnético de la Tierra, el gradiente de voltaje en un cable y el gradiente de
temperatura en la punta de un cautín. En general, el valor de un campo varía
tanto con la posición como con el tiempo.

 Los escalares se escribirán en cursivas: A.
 Cuando escribimos a mano o usamos una máquina de escribir es costumbre
dibujar una raya o una flecha sobre la letra que la representa para mostrar el
carácter vectorial de la cantidad. (PRECAUCIÓN: Ésta es la primera trampa. Una
notación incorrecta, como la omisión de la raya o de la flecha para un vector, es la
principal causa de error en el análisis vectorial.)

 Con las definiciones de vectores y campos vectoriales que se han establecido es
posible definir las reglas de la aritmética vectorial, del álgebra vectorial y,
posteriormente, del cálculo vectorial. Ciertas reglas serán similares a las del
álgebra escalar; otras, ligeramente diferentes, y otras, por completo nuevas y
extrañas. Esto es de esperarse, ya que un vector presenta más información que un
escalar, y la multiplicación de dos vectores, por ejemplo, será más complicada que
la multiplicación de dos escalares.

 La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo, y ésta es fácil de realizar en
forma gráfica, aunque resulta imprecisa.

 La figura 1.1 muestra la suma de dos vectores, A y B.
 Dos vectores pueden sumarse gráficamente dibujándolos desde un origen común y completando el
paralelogramo o haciendo que el segundo vector comience en la punta del primero y completando el
triángulo; cada uno de estos métodos es fácilmente generalizado para el caso de tres o más vectores

 Es fácil observar que 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 , es decir, que la suma de vectores tiene la propiedad
conmutativa.
 La suma vectorial también tiene la propiedad asociativa,
 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶
 Obsérvese que cuando un vector se dibuja como una flecha de longitud finita, su localización la define
la cola de la flecha.
 Los vectores coplanares o vectores que pertenecen a un plano común, como los que muestra la figura
1.1, y que están sobre el plano del papel, pueden agregarse también expresando cada vector en
términos de sus componentes “horizontal” y “vertical” y sumando las componentes correspondientes.

 Los vectores en tres dimensiones pueden, asimismo, sumarse expresando cada uno
de ellos en términos de sus componentes y sumando éstas a los términos
correspondientes.
 La regla para la sustracción de vectores se define fácilmente con respecto a la
suma, dado que siempre se puede expresar 𝐴 − 𝐵 como 𝐴 + (−𝐵); el signo y la
dirección del segundo vector se invierten, y entonces este vector se suma al
primero siguiendo la regla de la adición vectorial.

 Los vectores pueden multiplicarse por escalares. Cuando el escalar es positivo, la
magnitud del vector cambia pero no su dirección. Sin embargo, la dirección se
invierte al multiplicarla por un escalar negativo. La multiplicación de un vector
por un escalar también tiene las propiedades asociativa y distributiva del álgebra,
es decir,
 (𝑟 + 𝑠)(𝑨 + 𝑩) = 𝑟 (𝑨 + 𝑩) + 𝑠(𝑨 + 𝑩) = 𝑟𝑨 + 𝑟𝑩 + 𝑠𝑨 + 𝑠𝑩

 La división de un vector por un escalar es simplemente la multiplicación por el
recíproco de dicho escalar.
 Se dice que dos vectores son iguales si su diferencia es cero, o 𝑨 = 𝑩 𝑠𝑖 𝑨 − 𝑩 = 0.
 Cuando se utilizan campos vectoriales se suman o restan siempre que estén definidos
en el mismo punto. Por ejemplo, el campo magnético total alrededor de un pequeño
imán de herradura aparecerá como la suma de los campos que producen la Tierra y el
imán permanente; es decir, el campo total en cualquier punto es la suma de los campos
individuales en dicho punto.

 De cualquier manera, si no se está considerando un campo vectorial se pueden sumar o
restar vectores que no estén definidos en el mismo punto. Por ejemplo, la suma de la
fuerza gravitacional que actúa sobre un hombre de 150 𝑙𝑏𝑓 (𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 − 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) en el Polo
Norte y la que actúa sobre un hombre de 175 𝑙𝑏𝑓 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑃𝑜𝑙𝑜 𝑆𝑢𝑟 puede obtenerse
trasladando cada vector fuerza al Polo Sur antes de hacer la suma. La resultante es
una fuerza de 25 𝑙𝑏𝑓 dirigida hacia el centro de la Tierra en el Polo Sur; si se quieren
hacer difíciles las cosas se puede describir la fuerza como 25 𝑙𝑏𝑓 alejándose del centro
de la Tierra (o “hacia arriba”), en el Polo Norte.

 Para describir con precisión un vector deben darse algunas longitudes específicas,
direcciones, ángulos, proyecciones o componentes. Existen tres métodos sencillos
para hacer esto, y cerca de otros ocho o diez métodos que resultan útiles en casos
muy especiales. Se utilizarán únicamente los tres métodos sencillos, y el más
sencillo de éstos es el del sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares.

 En el sistema de coordenadas cartesianas se utilizan tres ejes coordenados
perpendiculares entre sí, llamados 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧. Se acostumbra elegir un sistema de
coordenadas de mano derecha en el cual una rotación (que describe un pequeño
ángulo) del eje x hacia el eje y causaría que un tornillo derecho avanzara en la
dirección del eje z. Los dedos de la mano derecha, pulgar, índice y medio, pueden
entonces identificar los ejes 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧, respectivamente. La figura 1.2a muestra un
sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha.

Figura 1.2 a) Un sistema de coordenadas
cartesianas de la mano derecha. Si los dedos
doblados de la mano derecha indican la
dirección de giro por medio de la cual el eje x
se haría coincidir con el eje y, el pulgar
muestra la dirección del eje z

 Si se visualiza la intersección de tres planos en cualquier punto P, cuyas
coordenadas sean 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧, puede incrementarse el valor de cada coordenada por
una cantidad diferencial y obtenerse tres planos ligeramente desplazados que se
intersecten en un punto 𝑃′, cuyas coordenadas serán 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦 𝑦 𝑧 + 𝑑𝑧. Los
seis planos definen un paralelepípedo rectangular cuyo volumen es 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧;
las superficies tienen diferenciales de áreas 𝑑𝑆 de 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥.

 Por último, la distancia 𝑑𝐿 de 𝑃 𝑎 𝑃’ es la diagonal del paralelepípedo y tiene una
longitud de 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 elemento diferencial de volumen lo muestra la
figura 1.2c; el punto 𝑃′ está indicado, pero el punto P se localiza en la única
esquina
 invisible.
 Todo esto es familiar desde la perspectiva de la trigonometría o de la geometría del
espacio, y hasta ahora involucra únicamente cantidades escalares.

Figura 1.2 c) Elemento diferencial de
volumen en coordenadas cartesianas;
𝑑𝑥, 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑧 son, en general, diferenciales
independientes

 Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se considera
primero un vector 𝑟 que se extiende alejándose del origen. Una manera lógica de
identificar este vector es proporcionar las tres componentes vectoriales, que se
encuentran a lo largo de los tres ejes coordenados y cuya suma vectorial debe ser
igual al vector dado. Si las componentes vectoriales de un vector 𝑟 son 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧,
entonces 𝑟 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧.

 Las componentes vectoriales se muestran en la figura 1.3a. En vez de un vector
ahora se tienen tres, pero esto significa un paso hacia adelante porque los tres
vectores son de naturaleza muy sencilla y cada uno se orienta siempre a lo largo
de uno de los ejes coordenados

Figura 1.3 a) Componentes vectoriales
𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑟.

 Cualquier 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑩, entonces, se puede describir por
 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧 𝑎 𝑧.
 La magnitud de 𝐵, denotada por |𝐵| o simplemente 𝐵, está dada por

 Cada uno de los tres sistemas coordenados que se estudiarán tendrá tres vectores
unitarios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se utilizarán para
descomponer cualquier vector en sus componentes vectoriales. Sin embargo, los
vectores unitarios no se limitarán a esta aplicación. Es muy necesario saber cómo
escribir un vector unitario que tenga una dirección específica. Esto es muy
sencillo, pues un vector unitario en una dirección dada es simplemente un vector
en esa dirección dividido entre su magnitud.

 Un vector unitario en la dirección 𝑟 es 𝑟 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 y un vector unitario en la
dirección 𝐵 es:

 Se ha definido ya el campo vectorial como una función vectorial de un vector
posición. En general, la magnitud y dirección de la función cambiarán conforme se
esté moviendo a través de la región, y el valor de la función vectorial debe
determinarse a partir de los valores de las coordenadas del punto en cuestión.
Puesto que se ha considerado solamente un sistema de coordenadas cartesianas,
se espera que el vector sea una función de las variables 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧.

 Si se presenta nuevamente el vector posición como 𝑟, entonces el campo vectorial 𝐺
se puede expresar en notación funcional como 𝐺(𝑟); un campo escalar 𝑇 se escribe
𝑇(𝑟).

 Dados dos vectores 𝐴 𝑦 𝐵, el producto punto o producto escalar, se define como el
producto de la magnitud de 𝐴, la magnitud de 𝐵 y el coseno del ángulo entre ellos,

 El punto que aparece entre los dos vectores debe remarcarse para hacer hincapié
en él. El producto escalar o producto punto, que es un escalar, como lo implica uno
de sus nombres, obedece a la ley conmutativa,
 puesto que el signo del ángulo no afecta el término del coseno. La expresión 𝐴 ·
𝐵 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 “𝐴 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐵”.

 El producto punto también obedece la ley distributiva y, por lo tanto, 𝐴 ·
𝐵 produce la suma de nueve términos escalares, cada uno de los que involucra el
producto punto de dos vectores unitarios. Puesto que el ángulo entre dos vectores
unitarios diferentes es 90° en el sistema de coordenadas cartesianas, se tiene:

 Los tres términos restantes incluyen el producto punto de un vector unitario por sí
mismo, lo cual da como resultado la unidad. Finalmente, se obtiene:

 Un vector multiplicado por sí mismo en forma punto da como resultado el
cuadrado de la magnitud, es decir:
 y cualquier vector unitario multiplicado por sí mismo en forma punto da como
resultado la unidad,

 Una de las aplicaciones más importantes del producto punto consiste en encontrar
la componente de un vector en una dirección dada. Si se observa la figura 1.4a, es
posible obtener la componente escalar de B en la dirección que especifica el vector
unitario a como:

 Para obtener la componente vectorial de 𝐵 en la dirección de a, simplemente se
multiplica la componente (escalar) por a, como se ilustra en la figura 1.4b. Por ejemplo,
la componente de B en la dirección de 𝑎 𝑥 es 𝐵 ∙ 𝑎 𝑥 = 𝐵𝑥 y la componente vectorial es
𝐵𝑥 𝑎 𝑥 𝑜 𝐵 ∙ 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥. Por lo tanto, el problema de encontrar la componente de un vector
en cualquier dirección deseada se convierte en el problema de encontrar un vector
unitario en esa dirección, y eso siempre se puede hacer.
 El término geométrico proyección también se expresa con el producto punto. De
manera que 𝐵 · 𝑎 resulta ser la proyección de B en la dirección de a.

 Dados dos vectores 𝐴 𝑦 𝐵, se define el producto cruz o producto vectorial de 𝐴 𝑦 𝐵, que se indica
por medio de una cruz entre estos vectores como 𝐴 × 𝐵 𝑦 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 “𝐴 𝑐𝑟𝑢𝑧 𝐵”.
 El producto cruz A × B es un vector; la magnitud de 𝐴 × 𝐵 es igual al producto de las
magnitudes de 𝐴, 𝐵 y el seno del ángulo más pequeño entre 𝐴 𝑦 𝐵; la dirección de 𝐴 × 𝐵 es
perpendicular al plano que contiene a 𝐴 y a 𝐵, y de las dos posibles perpendiculares, está a lo
largo de aquella que apunta en la dirección en la que avanzaría un tornillo derecho si A se girara
hacia B. Esta dirección se ilustra en la figura 1.5. Recuérdese que cada vector puede ser
desplazado a voluntad, manteniendo una dirección constante, hasta que los dos vectores tengan
un “origen común”. Esto determina al plano que contiene a ambos. Sin embargo, en la mayor
parte de las aplicaciones se trabajará con vectores definidos en el mismo punto.

 Como ecuación, se puede escribir:

 Si se invierte el orden de los vectores A y B resulta un vector en la dirección
opuesta a la del vector unitario, y se ve que el producto cruz no es conmutativo
puesto que 𝐵 × 𝐴 = −(𝐴 × 𝐵). Si la definición del producto cruz se aplica a los
vectores unitarios, 𝑎 𝑥 𝑦 𝑎 𝑦 se encuentra que 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑧, pues cada vector tiene
una magnitud unitaria, los dos vectores son perpendiculares, y la rotación de 𝑎 𝑥
hacia 𝑎 𝑦 indica la dirección positiva de 𝑧 por la definición del sistema de
coordenadas de la mano derecha.

 El sistema de coordenadas cilíndricas es una versión en tres dimensiones de las
coordenadas polares de la geometría analítica plana. En las coordenadas polares
de dos dimensiones se localizaba un punto en un plano dando su distancia 𝜌 al
origen y el ángulo 𝜑 entre la línea desde el punto al origen y un eje radial
arbitrario, en el que se toma 𝜑 = 0 .

 Un sistema tridimensional de coordenadas cilíndricas circulares se obtiene en
forma similar especificando la distancia 𝑧 del punto con respecto a un plano de
referencia 𝑧 = 0 arbitrario, en donde es perpendicular a la línea 𝜌 = 0. Por
comodidad, generalmente se hace referencia a las coordenadas cilíndricas
circulares sencillamente como coordenadas cilíndricas.

 A diferencia del caso del sistema de coordenadas cilíndricas, no existe un sistema
de coordenadas bidimensional que pueda ayudarnos a entender el sistema de
coordenadas esféricas en tres dimensiones. Pero en cierto modo pueden aplicarse
los conocimientos con respecto al sistema latitud y longitud para localizar un lugar
sobre la superficie, y no puntos internos o externos a ella.
 Se empezará construyendo un sistema de coordenadas esféricas tomando como
referencia tres ejes cartesianos (figura a). Se define primero la distancia r desde el
origen a cualquier punto. La superficie r = constante es una esfera

 La segunda coordenada es un ángulo θ entre el eje z y la línea trazada desde el
origen hasta el punto considerado. La superficie 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 es un cono, y las
dos superficies, cono y esfera, son perpendiculares en todas partes a lo largo de su
intersección, la cual es un círculo de radio 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃.
 La coordenada θ corresponde a la latitud, excepto que la latitud se mide desde el
ecuador y θ se mide desde el “Polo Norte”.

 La tercera coordenada φ también es un ángulo y es exactamente igual que el
ángulo φ de las coordenadas cilíndricas. Éste es un ángulo entre el eje x y la
proyección en el plano z = 0 de la línea trazada desde el origen hasta el punto.
 Éste corresponde al ángulo de longitud, sólo que el ángulo φ aumenta hacia el
“este”. La superficie φ = constante es un plano que pasa a través de la línea θ = 0
(o el eje z).

 Nuevamente se considera cualquier punto como la intersección de tres superficies
mutuamente perpendiculares una esfera, un cono y un plano, cada una orientada
en la forma descrita previamente. Las tres superficies se muestran en la figura b.

 La transformación de vectores requiere la determinación de los productos de los
vectores unitarios en coordenadas cartesianas y esféricas. Estos productos se
resuelven a partir de la figura c y con un poco de trigonometría. Puesto que el
producto punto de cualquier vector unitario esférico por cualquier vector unitario
cartesiano es igual a la componente del vector esférico en la dirección del vector
cartesiano, los productos punto con 𝒂 𝒛 son:

 𝑎 𝑧 · 𝑎 𝑟 = cos 𝜃
 𝑎 𝑧 · 𝑎 𝜃
 𝑎 𝑧 · 𝑎 𝜑 = 0

Los productos punto con 𝑎 𝑥 y 𝑎 𝑦 requieren primero la proyección del vector
unitario esférico sobre el plano 𝑥𝑦 y luego la proyección sobre el eje deseado.
Por ejemplo, 𝑎 𝑟 · 𝑎 𝑥 se obtiene proyectando 𝑎 𝑟 sobre el plano 𝑥𝑦, dando
𝑠𝑒𝑛 𝜃, y proyectando después 𝑠𝑒𝑛 𝜃 sobre el eje 𝑥, lo cual produce 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜑.
Los otros productos punto se encuentran de manera similar, y se muestran
en la tabla 1.2.

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