Anova

Ejercicios de Análisis de la Varianza con R
Francesc Carmona
Departament d’Estad´ıstica
30 de noviembre de 2006
1. Introducción
En este documento se resuelven algunos de los problemas del libro Problemas de Probabilidades y Es-
tad´ıstica vol. 2 de C.M. Cuadras[2] con el programa estad´ıstico R. Los enunciados de los problemas se
encuentran en dicho libro.
Para profundizar en la teor´ıa subyacente al Análisis de la Varianza se puede consultar, entre otros, el
libro de Modelos lineales[1]. Si se quiere aprender R desde el principio o practicar su utilización en la
Estad´ıstica elemental un buen libro es el de J. Verzani[5]. Para estudiar modelos lineales avanzados con
R se puede leer el libro de J.J. Faraway[3].
2. Diseño de un factor
Problema 10.1
Se trata de una comparación entre tres poblaciones.
En primer lugar procedemos a leer los datos
> Iris.setosa <- c(5.1, 4.9, 4.7, 4.6, 5, 5.4, 4.6, 5, 4.4, 4.9,
+ 5.4, 4.8, 4.8, 4.3, 5.8)
> Iris.versicolor <- c(7, 6.4, 6.9, 5.5, 6.5, 5.7, 6.3, 4.9, 6.6,
+ 5.2, 5, 5.9, 6, 6.1, 5.6)
> Iris.virginica <- c(6.3, 5.8, 7.1, 6.3, 6.5, 7.6, 4.9, 7.3, 6.7,
+ 7.2, 6.5, 6.4, 6.8, 5.7, 5.8)
Pero ésta no es la forma adecuada para trabajar con un programa estad´ıstico. Mejor ponemos los datos
en un único vector y añadimos una variable cualitativa o factor que nos indique la población de cada
dato.
> longitud <- c(Iris.setosa, Iris.versicolor, Iris.virginica)
> especie <- rep(1:3, each = 15)
> especie <- factor(especie, labels = c("Iris setosa", "Iris versicolor",
+ "Iris virginica"))
En R es imprescindible definir el vector especie como un factor, ya que en caso contrario se podr´ıa
confundir con un vector numérico.
Una única instrucción realiza los dos pasos
> especie <- gl(3, 15, labels = c("Iris setosa", "Iris versicolor",
+ "Iris virginica"))
Con la instrucción split podemos separar los datos
> split(longitud, especie)
Ahora podemos realizar un resumen de los datos y el gráfico que puede verse en la figura 1.
> tapply(longitud, especie, summary)
> plot(longitud ~ especie)
Asumiendo que la variable longitud sigue una distribución normal con varianza común para las tres
poblaciones, la tabla del análisis de la varianza es
1

Iris setosa Iris versicolor Iris virginica
4.55.05.56.06.57.07.5
especie
longitud
Figura 1: Gráficos de caja de las longitudes para las tres especies de flores
> p.aov <- aov(longitud ~ especie)
> summary(p.aov)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
especie 2 18.7631 9.3816 25.715 5.105e-08 ***
Residuals 42 15.3227 0.3648
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Otra posibilidad es definir el modelo lineal y obtener la tabla con la instrucción anova.
> g.lm <- lm(longitud ~ especie)
> anova(g.lm)
Como el p-valor es muy pequeño se concluye que hay diferencias muy significativas entre las tres especies.
Las estimaciones de los parámetros se obtienen con
> model.tables(p.aov)
Tables of effects
especie
especie
-0.8689 0.1911 0.6778
> model.tables(p.aov, type = "mean")
Tables of means
Grand mean
5.782222
especie
especie
4.913 5.973 6.460
2

El modelo lineal contiene mucha información que se puede obtener con la instrucción summary.
> summary(g.lm)
Call:
lm(formula = longitud ~ especie)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.56000 -0.31333 -0.01333 0.42667 1.14000
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 4.9133 0.1560 31.505 < 2e-16 ***
especieIris versicolor 1.0600 0.2206 4.806 1.99e-05 ***
especieIris virginica 1.5467 0.2206 7.013 1.39e-08 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.604 on 42 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.5505, Adjusted R-squared: 0.5291
F-statistic: 25.72 on 2 and 42 DF, p-value: 5.105e-08
Sin embargo, las estimaciones que se obtienen aqu´ı corresponden al modelo con la restricción que el
parámetro de la primera especie es cero. Esta es la opción por defecto para los modelos lineales en R. Se
puede ver la matriz del diseño en esta situación:
> model.matrix(g.lm)
El error cuadrático medio o estimación insesgada de la varianza del modelo es
> ECM <- deviance(p.aov)/p.aov$df.residual
> ECM
[1] 0.3648254
Esta estimación también se obtiene directamente del modelo lineal
> summary(g.lm)$sigma^2
[1] 0.3648254
Además R contiene una base de datos con los famosos datos de Fisher o Anderson para 50 flores de cada
una de las 3 especies.
> data(iris)
> help(iris)
Se puede repetir el análisis con los datos de la variable Sepal.length y el factor Species.
Problema 10.2
Se trata de un análisis de la varianza con un único factor tratamiento y cuatro niveles (P,A,B,AB). La
introducción de los datos es la siguiente:
> P <- c(10, 0, 15, -20, 0, 15, -5, NA, NA, NA)
> A <- c(20, 25, 33, 25, 30, 18, 27, 0, 35, 20)
> B <- c(15, 10, 25, 30, 15, 35, 25, 22, 11, 25)
> AB <- c(10, 5, -5, 15, 20, 20, 0, 10, NA, NA)
> descenso <- c(P, A, B, AB)
> tratam <- gl(4, 10, labels = c("placebo", "fármaco A", "fármaco B",
+ "asociación AB"))
Suponiendo normalidad y homogeneidad de las varianzas, planteamos el test sobre la igualdad de medias.
Un resumen numérico y gráfico se puede obtener con las instrucciones
3

> mean(descenso, na.rm = TRUE)
> tapply(descenso, tratam, summary)
> stripchart(descenso ~ tratam, method = "stack")
El modelo lineal y la tabla del análisis de la varianza son
> g.lm <- lm(descenso ~ tratam)
> anova(g.lm)
Analysis of Variance Table
Response: descenso
tratam 3 2492.61 830.87 8.5262 0.0002823 ***
Residuals 31 3020.93 97.45
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
El p-valor es inferior al nivel de significación propuesto (0.01) de modo que rechazamos la hipótesis nula
de igualdad de medias y admitimos que hay diferencias entre los fármacos.
Para ver si hay diferencias entre los fármacos A y B calcularemos el intervalo de confianza para la
diferencia de medias:
> mediaA <- mean(descenso[tratam == "fármaco A"])
> mediaB <- mean(descenso[tratam == "fármaco B"])
> dif <- mediaA - mediaB
> ee.dif <- summary(g.lm)$sigma * sqrt(1/10 + 1/10)
> c(dif - qt(0.995, 31) * ee.dif, dif + qt(0.995, 31) * ee.dif)
[1] -10.11422 14.11422
Como este intervalo contiene al cero, podemos pensar que las diferencias entre A y B no son significativas.
Aunque puede comprobarse que ambos fármacos difieren significativamente del placebo, cuando se realiza
más de una comparación necesitamos un método de comparaciones múltiples. En caso contrario el error
de tipo I global no estar´ıa controlado. En R se puede aplicar el método de la diferencia significativa
honesta de Tukey con la función TukeyHSD. Otros métodos de comparación dos a dos se pueden hallar
en el paquete multcomp.
3. Diseño de dos factores
Problema 10.3
Se trata de un diseño de bloques aleatorizados (cada finca es un bloque).
Introducimos los datos con las instrucciones:
> produc <- c(2.1, 2.2, 1.8, 2, 1.9, 2.2, 2.6, 2.7, 2.5, 2.8, 1.8,
+ 1.9, 1.6, 2, 1.9, 2.1, 2, 2.2, 2.4, 2.1)
> fert <- gl(4, 5)
> finca <- factor(rep(1:5, 4))
> xtabs(produc ~ finca + fert)
fert
finca 1 2 3 4
1 2.1 2.2 1.8 2.1
2 2.2 2.6 1.9 2.0
3 1.8 2.7 1.6 2.2
4 2.0 2.5 2.0 2.4
5 1.9 2.8 1.9 2.1
Ahora podemos generar un resumen de los datos y los gráficos de la figura 2.
4

> tapply(produc, fert, summary)
> tapply(produc, finca, summary)
> stripchart(produc ~ fert, method = "stack")
> stripchart(produc ~ finca, method = "stack")
> interaction.plot(fert, finca, produc, legend = F)
> interaction.plot(finca, fert, produc, legend = F)
1.6 2.0 2.4 2.8
1234
1.6 2.0 2.4 2.8
12345
1.62.02.42.8
fert
meanofproduc
1 2 3 4
1.62.02.42.8
finca
meanofproduc
1 2 3 4 5
Figura 2: Gráficos de puntos y de interacciones con los datos de producción.
A la vista de los gráficos, concluimos que no hay datos at´ıpicos, asimetr´ıas o heterocedasticidad. Tampoco
parece haber interacciones.
El modelo lineal y la tabla del análisis de la varianza son:
> g.lm <- lm(produc ~ finca + fert)
> anova(g.lm)
Response: produc
finca 4 0.08800 0.02200 0.6471 0.6395716
fert 3 1.43200 0.47733 14.0392 0.0003137 ***
Residuals 12 0.40800 0.03400
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
No hay diferencias entre las fincas, pero s´ı las hay entre los fertilizantes.
Los efectos y las medias son:
5

> p.aov <- aov(produc ~ finca + fert)
> efectos <- model.tables(p.aov)
> efectos
Tables of effects
finca
finca
1 2 3 4 5
-0.090 0.035 -0.065 0.085 0.035
fert
fert
1 2 3 4
-0.14 0.42 -0.30 0.02
> medias <- model.tables(p.aov, type = "means")
> medias
Tables of means
Grand mean
2.14
finca
finca
1 2 3 4 5
2.050 2.175 2.075 2.225 2.175
fert
fert
1 2 3 4
2.00 2.56 1.84 2.16
En este caso el modelo es balanceado, de forma que el diseño es ortogonal y el orden de los factores
en la instrucción anova no es importante. En este sentido hay que señalar que la tabla ANOVA de R
corresponde a un contraste secuencial de modelos:
y ~ 1
y ~ finca
y ~ finca + fert
El primer p-valor corresponde a la comparación de los dos primeros modelos de la lista, mientras que el
segundo p-valor corresponde a la comparación de los dos últimos. El denominador de ambos contrastes
F es el error cuadrático medio del modelo completo, aqu´ı 0,034.
Cuando el diseño no es ortogonal, por ejemplo si falta una observación, para contrastar el efecto del
tratamiento es mejor el modelo con el efecto bloque en primer lugar. Una forma de contrastar todos los
términos de un modelo respecto a dicho modelo completo es:
> drop1(g.lm, test = "F")
Single term deletions
Model:
produc ~ finca + fert
Df Sum of Sq RSS AIC F value Pr(F)
<none> 0.408 -61.844
finca 4 0.088 0.496 -65.938 0.6471 0.6395716
fert 3 1.432 1.840 -37.719 14.0392 0.0003137 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
6

Problema 10.6
Los datos son:
> frec <- c(22, 21, 17, 20, 16, 21, 25, 19, 23, 31, 35, 35, 24,
+ 18, 26, 25, 23, 23, 11, 16, 17, 24, 24, 20)
> mes <- factor(rep(1:4, each = 6), labels = c("Enero", "Marzo",
+ "Mayo", "Julio"))
> hora <- factor(rep(1:6, 4), labels = as.character(9:14))
Las medias son
> tapply(frec, mes, mean)
Enero Marzo Mayo Julio
19.50000 28.00000 23.16667 18.66667
> tapply(frec, hora, mean)
9 10 11 12 13 14
20.50 18.50 20.75 25.00 24.50 24.75
La tabla del análisis de la varianza es
> p.aov <- aov(frec ~ hora + mes)
> summary(p.aov)
hora 5 152.83 30.57 1.7313 0.188155
mes 3 325.67 108.56 6.1485 0.006155 **
Residuals 15 264.83 17.66
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
No existen diferencias entre las horas.
Existen diferencias entre los meses.
4. Diseño de dos factores con interacción
Problema 10.4
Vamos a introducir los datos:
> huevos <- c(93, 94, 93, 90, 93, 86, 95.5, 83.5, 92, 92.5, 82,
+ 82.5, 92, 91, 90, 95, 84, 78, 83.3, 87.6, 81.9, 80.1, 79.6,
+ 49.4, 84, 84.4, 77, 67, 69.1, 88.4, 85.3, 89.4, 85.4, 87.4,
+ 52, 77)
> genotipo <- rep(rep(1:3, each = 6), 2)
> siembra <- rep(1:2, each = 18)
> genotipo <- factor(genotipo, labels = c("++", "+-", "--"))
> siembra <- factor(siembra, labels = c("100", "800"))
El número de huevos eclosionados por casilla sigue la distribución binomial con n = 100 o n = 800. Para
normalizar la muestra se aplica la transformación
> y <- asin(sqrt(huevos/100))
> y <- y * 180/pi
de donde resulta la tabla:
> split(round(y, 2), genotipo)
7

$`++`
[1] 74.66 75.82 74.66 71.57 74.66 68.03 65.88 69.38 64.82 63.51 63.15 44.66
$`+-`
[1] 77.75 66.03 73.57 74.11 64.90 65.27 66.42 66.74 61.34 54.94 56.23 70.09
$`--`
[1] 73.57 72.54 71.57 77.08 66.42 62.03 67.46 71.00 67.54 69.21 46.15 61.34
Aunque no es absolutamente necesario, vamos a poner los datos en forma de data.frame o base de datos
de R.
> problema <- data.frame(y, siembra, genotipo)
> rm(y, siembra, genotipo)
> attach(problema)
Algunos de los siguientes gráficos pueden verse en la figura 3.
> boxplot(y ~ siembra)
> boxplot(y ~ genotipo)
> plot.design(problema, fun = "mean")
> plot.design(problema, fun = "median")
> interaction.plot(genotipo, siembra, y)
> interaction.plot(siembra, genotipo, y)
64666870
Factors
"mean"ofy
100
800
++
+−
−−
siembra
66687072
Factors
"median"ofy
100
800
++
+−
−−
siembra
626670
genotipo
meanofy
++ +− −−
siembra
100
800
626670
siembra
meanofy
100 800
genotipo
−−
+−
++
Figura 3: Gráficos de medias, medianas e interacciones con los datos transformados del problema de los
huevos.
La tabla del análisis de la varianza para un diseño de dos factores con interacción es
8

> p.aov <- aov(y ~ siembra * genotipo, data = problema)
> summary(p.aov)
siembra 1 662.09 662.09 14.8329 0.0005736 ***
genotipo 2 7.66 3.83 0.0859 0.9179521
siembra:genotipo 2 35.35 17.68 0.3960 0.6764562
Residuals 30 1339.09 44.64
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Aunque las sumas de cuadrados son ligeramente distintas a las del libro de Cuadras, por la mayor
precisión utilizada, los resultados son evidentemente los mismos. No es significativa la diferencia entre los
genotipos ni la interacción, pero s´ı existen diferencias significativas sembrando 100 u 800 huevos, siendo
el porcentaje de eclosiones mayor en el primer caso (al haber menos huevos, las larvas disponen de más
alimento).
> medias <- model.tables(p.aov, type = "means")
> medias$tables$siembra
siembra
100 800
71.34575 62.76873
> detach(problema)
5. Diseño de cuadrados latinos
Problema 10.5
Vamos a introducir los datos:
> produc <- c(12, 17, 24, 12, 18, 22, 14, 15, 15, 13, 20, 31, 20,
+ 14, 12, 18)
> fila <- factor(rep(1:4, 4))
> columna <- factor(rep(1:4, each = 4))
> variedad <- c("A", "C", "D", "B", "B", "D", "C", "A", "C", "A",
+ "B", "D", "D", "B", "A", "C")
> problema <- data.frame(fila, columna, variedad, produc)
> rm(fila, columna, variedad, produc)
> attach(problema)
Efectivamente, se trata de un diseño de cuadrados latinos:
> matrix(problema$variedad, 4, 4)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] "A" "B" "C" "D"
[2,] "C" "D" "A" "B"
[3,] "D" "C" "B" "A"
[4,] "B" "A" "D" "C"
La tabla del análisis de la varianza para este diseño es
> p.aov <- aov(produc ~ fila + columna + variedad, data = problema)
> summary(p.aov)
fila 3 18.688 6.229 0.5273 0.67964
columna 3 35.188 11.729 0.9929 0.45737
variedad 3 280.688 93.563 7.9206 0.01651 *
Residuals 6 70.875 11.813
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
9

1 2 3 4
15202530
fila
1 2 3 4
15202530
columna
A B C D
15202530
variedad
Figura 4: Gráficos de puntos con los datos de producción del problema 10.5.
> detach(problema)
No hay diferencias significativas entre filas ni entre columnas. En cambio s´ı hay diferencias entre varie-
dades.
6. Diseño multifactorial
Problema 11.5
Existen dos causas de variabilidad (tiempo y dosis). Como además los individuos son los mismos en cada
casilla, debemos añadir un efecto bloque que recoja los efectos individuales. Admitiremos que los datos
se ajustan a un diseño de dos factores con interacción en bloques aleatorizados.
Los datos son
> glucemia <- c(82, 83, 85, 75, 81, 88, 87, 91, 79, 85, 83, 85,
+ 85, 79, 81, 86, 87, 90, 80, 83, 90, 91, 94, 83, 88, 96, 97,
+ 99, 88, 93, 108, 109, 112, 89, 103, 110, 110, 117, 90, 109,
+ 118, 120, 125, 119, 114)
> tiempo <- factor(rep(rep(1:3, each = 5), 3), labels = c("0'",
+ "15'", "30'"))
> dosis <- factor(rep(1:3, each = 15), labels = c("0 mg", "5 mg",
+ "10 mg"))
> bloque <- factor(rep(1:5, 9))
> p.aov <- aov(glucemia ~ tiempo + dosis + tiempo:dosis + bloque)
> summary(p.aov)
tiempo 2 556.0 278.0 27.3502 1.186e-07 ***
dosis 2 5939.9 2970.0 292.1667 < 2.2e-16 ***
bloque 4 841.9 210.5 20.7056 1.661e-08 ***
tiempo:dosis 4 357.4 89.4 8.7903 6.615e-05 ***
Residuals 32 325.3 10.2
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Observemos que el residuo queda determinado por la definición del modelo en la fórmula.
Tanto el factor tiempo, como el factor dosis y la interacción son muy significativos. Incluso es también
significativo el efecto bloque. La principal causa de variabilidad es el factor dosis.
En este caso, una posibilidad interesante ser´ıa explotar el hecho de que los factores tienen escala ordinal
como en el ejemplo de la sección 15.2 de [3].
Problema 11.6
Se trata de un diseño con 3 factores a 3,2 y 3 niveles, con 3 réplicas por casilla. Los datos son
10

0’ 15’ 30’
8090110
0 mg 5 mg 10 mg
8090110
8090100110120
tiempo
meanofglucemia
0’ 15’ 30’
dosis
10 mg
5 mg
0 mg
8090100110120
dosis
meanofglucemia
0 mg 5 mg 10 mg
tiempo
30’
15’
0’
Figura 5: Gráficos de puntos y de interacción con los datos de glucemia del problema 11.5.
> horas <- c(7.3, 7.5, 7.1, 7.1, 7.3, 6.9, 8.1, 8.2, 8, 7.6, 7.4,
+ 7.2, 6.8, 7.3, 7.2, 8.3, 8.2, 8.1, 8.5, 8.3, 8.4, 7.5, 7.2,
+ 7.2, 8.9, 8.4, 8.1, 8.3, 8.7, 7.9, 7.6, 7.4, 7.2, 9, 8.5,
+ 8, 6.7, 6.5, 6.3, 6.7, 6.3, 6.2, 6.8, 6.2, 6.2, 6.1, 6.2,
+ 6.9, 6.4, 6.9, 6.8, 6, 6.1, 6.2)
> tratam <- factor(rep(1:3, each = 18), labels = c("A1", "A2",
+ "A3"))
> sexo <- factor(rep(rep(1:2, each = 9), 3), labels = c("B1", "B2"))
> forma <- factor(rep(rep(1:3, each = 3), 6), labels = c("C1",
+ "C2", "C3"))
> p.aov <- aov(horas ~ tratam * sexo * forma)
> summary(p.aov)
tratam 2 25.3781 12.6891 167.5330 < 2.2e-16 ***
sexo 1 0.0030 0.0030 0.0391 0.8443
forma 2 3.6048 1.8024 23.7971 2.596e-07 ***
tratam:sexo 2 0.0226 0.0113 0.1491 0.8620
tratam:forma 4 4.8896 1.2224 16.1394 1.172e-07 ***
sexo:forma 2 0.0959 0.0480 0.6333 0.5367
tratam:sexo:forma 4 0.2252 0.0563 0.7433 0.5689
Residuals 36 2.7267 0.0757
11

---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Son significativos los efectos principales tratamiento y forma, y su interacción. No es significativo el efecto
sexo, ni las demás interacciones.
Aunque algunos autores discrepan, Cuadras añade los efectos no significativos al residuo y calcula de
nuevo la tabla del análisis de la varianza para el diseño reducido:
> p.aov <- aov(horas ~ tratam * forma)
> summary(p.aov)
tratam 2 25.3781 12.6891 185.794 < 2.2e-16 ***
forma 2 3.6048 1.8024 26.391 2.609e-08 ***
tratam:forma 4 4.8896 1.2224 17.899 7.375e-09 ***
Residuals 45 3.0733 0.0683
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Como la interacción es significativa, no deber´ıamos contrastar los efectos principales. La estimación de los
efectos principales y su significación dependen de la codificación cuando las interacciones están presentes
en el modelo.
7. Análisis de la covarianza
Problema 12.4
Se trata de un diseño unifactorial con una variable concomitante.
En primer lugar introducimos los datos:
> tiempo <- c(570, 710, 630, 633, 640, 552, 620, 585, 593, 710,
+ 698, 560, 842, 940, 898, 730, 872, 855)
> neurot <- c(12, 26, 18, 19, 19, 10, 19, 19, 6, 18, 20, 3, 18,
+ 29, 25, 8, 22, 18)
> farmaco <- rep(c("A", "B", "C"), each = 6)
> datos <- data.frame(tiempo, neurot, farmaco)
> rm(tiempo, neurot, farmaco)
> attach(datos)
En el data.frame el vector farmaco (no es numérico) se convierte automáticamente en un factor.
Un resumen de los datos se puede obtener con la instrucción
> by(datos, farmaco, summary)
farmaco: A
tiempo neurot farmaco
Min. :552.0 Min. :10.00 A:6
1st Qu.:585.0 1st Qu.:13.50 B:0
Median :631.5 Median :18.50 C:0
Mean :622.5 Mean :17.33
3rd Qu.:638.3 3rd Qu.:19.00
Max. :710.0 Max. :26.00
------------------------------------------------------------
farmaco: B
Min. :560.0 Min. : 3.00 A:0
1st Qu.:587.0 1st Qu.: 9.00 B:6
Mean :627.7 Mean :14.17
3rd Qu.:678.5 3rd Qu.:19.00
Max. :710.0 Max. :20.00
12

------------------------------------------------------------
farmaco: C
Min. :730.0 Min. : 8.00 A:0
1st Qu.:845.3 1st Qu.:18.00 B:0
Mean :856.2 Mean :20.00
3rd Qu.:891.5 3rd Qu.:24.25
Max. :940.0 Max. :29.00
Si prescindimos de la información que el neuroticismo puede influir en el tiempo de frenado, el modelo
lineal es
> g0 <- lm(tiempo ~ farmaco, datos)
> anova(g0)
Response: tiempo
farmaco 2 213678 106839 26.537 1.184e-05 ***
Residuals 15 60390 4026
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Pero en el segundo gráfico de la figura 6 se observa la influencia de la variable concomitante:
> plot(tiempo ~ neurot, pch = as.character(farmaco), datos)
A B C
600700800900
A
A
AAA
A
B
BB
BB
B
C
C
C
C
CC
5 10 20 30
600700800900
neurot
tiempo
Figura 6: Gráficos de puntos y de dispersión con los datos del problema 12.4.
Se comprueba que la interacción fármaco:neurot no es significativa:
> g1 <- lm(tiempo ~ neurot + farmaco + neurot:farmaco, datos)
> model.matrix(g1)
(Intercept) neurot farmacoB farmacoC neurot:farmacoB neurot:farmacoC
1 1 12 0 0 0 0
2 1 26 0 0 0 0
3 1 18 0 0 0 0
4 1 19 0 0 0 0
5 1 19 0 0 0 0
6 1 10 0 0 0 0
13

7 1 19 1 0 19 0
8 1 19 1 0 19 0
9 1 6 1 0 6 0
10 1 18 1 0 18 0
11 1 20 1 0 20 0
12 1 3 1 0 3 0
13 1 18 0 1 0 18
14 1 29 0 1 0 29
15 1 25 0 1 0 25
16 1 8 0 1 0 8
17 1 22 0 1 0 22
18 1 18 0 1 0 18
attr(,"assign")
[1] 0 1 2 2 3 3
attr(,"contrasts")
attr(,"contrasts")$farmaco
[1] "contr.treatment"
> anova(g1)
Response: tiempo
neurot 1 111919 111919 112.9986 1.843e-07 ***
farmaco 2 146875 73438 74.1460 1.760e-07 ***
neurot:farmaco 2 3388 1694 1.7106 0.222
Residuals 12 11885 990
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
As´ı que consideramos el modelo con la variable concomitante
> g <- lm(tiempo ~ neurot + farmaco, datos)
> summary(g)
Call:
lm(formula = tiempo ~ neurot + farmaco, data = datos)
Residuals:
-81.137 -8.229 2.115 17.578 51.823
Coefficients:
(Intercept) 484.539 25.339 19.122 1.97e-11 ***
neurot 7.959 1.238 6.431 1.57e-05 ***
farmacoB 30.371 19.469 1.560 0.141
farmacoC 212.442 19.353 10.977 2.91e-08 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
F-statistic: 79.07 on 3 and 14 DF, p-value: 5.117e-09
> sqrt(41.35)
[1] 6.430397
14

La estimación del parámetro de regresión γ es 7.959 y su significación resulta muy clara.
El summary de un anova contrasta los modelos secuencialmente, para ver la diferencia entre fármacos
(eliminando la influencia del neuroticismo) debemos utilizar la instrucción drop1:
> drop1(g, test = "F")
Single term deletions
Model:
tiempo ~ neurot + farmaco
Df Sum of Sq RSS AIC F value Pr(F)
<none> 15274 129
neurot 1 45116 60390 152 41.353 1.572e-05 ***
farmaco 2 146875 162149 168 67.313 6.580e-08 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Observemos que este resultado contrasta la significación de la variable concomitante (dada la presencia
del factor) y la del factor (con la presencia de la variable concomitante). La diferencia entre fármacos es
muy significativa.
A
A
AAA
A
B
BB
BB
B
C
C
C
C
CC
5 10 20 30
600700800900
Neuroticismo
Tiempodereacción
A
A
AA
A
A
B
B
B
B
BB
C
C
C
C
C
C
600 700 800 900
−80−40040
Ajustados
Residuos
Figura 7: Gráfico con las rectas ajustadas y gráfico de residuos con los datos del problema 12.4.
Con las estimaciones obtenidas por el summary(g) podemos dibujar las rectas de regresión del gráfico 7.
> plot(tiempo ~ neurot, pch = as.character(farmaco), xlab = "Neuroticismo",
+ ylab = "Tiempo de reacción")
> abline(484.539, 7.959)
> abline(484.539 + 30.371, 7.959, lty = 2)
> abline(484.539 + 212.442, 7.959, lty = 3)
> plot(fitted(g), residuals(g), pch = as.character(farmaco), xlab = "Ajustados",
+ ylab = "Residuos")
> detach(datos)
Problema 12.6
En primer lugar introducimos los datos del peso inicial y el engorde semanal de cerdos, clasificados por
sexos y corrales, con tres tipos de alimentación.
> engorde <- c(9.94, 9.52, 9.48, 8.21, 9.32, 9.32, 10.98, 10.56,
+ 8.82, 10.42, 10, 8.51, 9.24, 9.95, 9.34, 8.43, 9.68, 8.86,
+ 9.67, 9.2, 9.75, 9.11, 8.66, 8.5, 7.63, 8.9, 10.37, 9.51,
+ 8.57, 8.76)
> peso <- c(48, 38, 32, 35, 35, 41, 46, 48, 32, 43, 48, 39, 32,
+ 38, 41, 46, 46, 40, 37, 40, 48, 48, 28, 37, 33, 42, 50, 42,
15

+ 30, 40)
> sexo <- rep(c("M", "H"), 15)
> corral <- factor(rep(rep(1:5, each = 2), 3))
> aliment <- rep(c("A", "B", "C"), each = 10)
> datos <- data.frame(engorde, peso, sexo, corral, aliment)
> rm(engorde, peso, sexo, corral, aliment)
> attach(datos)
El peso inicial es la variable concomitante y sólo se toma la interacción del tipo de alimentación con el
sexo y se ignoran las demás interacciones.
Si inicialmente prescindimos de la variable concomitante, el modelo es
> g <- lm(engorde ~ aliment + corral + sexo + aliment:sexo, datos)
> anova(g)
Response: engorde
aliment 2 2.3242 1.1621 2.7657 0.08701 .
corral 4 4.9607 1.2402 2.9515 0.04554 *
sexo 1 0.4539 0.4539 1.0802 0.31107
aliment:sexo 2 0.4642 0.2321 0.5523 0.58413
Residuals 20 8.4038 0.4202
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
donde se observa que no hay diferencias entre tipos de alimentación ni entre sexos. Tampoco es signifi-
cativa la interacción aliment:sexo. Sin embargo, hay diferencias entre corrales. La matriz de diseño del
modelo se obtiene con la instrucción model.matrix(g).
La estimación y el contraste del parámetro de regresión de la variable peso se consigue as´ı:
> gp <- lm(engorde ~ peso + aliment + corral + sexo + aliment:sexo,
+ datos)
> summary(gp)
Call:
lm(formula = engorde ~ peso + aliment + corral + sexo + aliment:sexo,
data = datos)
Residuals:
-1.13435 -0.28296 0.07649 0.25202 0.91814
Coefficients:
(Intercept) 5.68812 1.13880 4.995 8.04e-05 ***
peso 0.08927 0.02407 3.709 0.00149 **
alimentB -0.58029 0.32048 -1.811 0.08603 .
alimentC -0.72141 0.32091 -2.248 0.03664 *
corral2 0.53183 0.39715 1.339 0.19634
corral3 -0.18711 0.31776 -0.589 0.56290
corral4 0.47703 0.29267 1.630 0.11958
corral5 0.46760 0.34792 1.344 0.19478
sexoM 0.31624 0.32550 0.972 0.34347
alimentB:sexoM 0.26190 0.45732 0.573 0.57357
alimentC:sexoM 0.08083 0.45465 0.178 0.86078
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
16

F-statistic: 4.574 on 10 and 19 DF, p-value: 0.002179
> sqrt(13.76)
[1] 3.709447
La estimación es ˆγ =0.08927 y el estad´ıstico de contraste t =3.709 (significativo, p-valor=0.00149).
Si no hay diferencias entre los tipos de alimentación el modelo lineal es:
> ga <- lm(engorde ~ peso + corral + sexo, datos)
> summary(ga)
Call:
lm(formula = engorde ~ peso + corral + sexo, data = datos)
Residuals:
-0.80818 -0.38845 -0.04262 0.35904 0.88094
Coefficients:
(Intercept) 5.21131 1.22237 4.263 0.000292 ***
peso 0.09020 0.02607 3.460 0.002127 **
corral2 0.54228 0.43756 1.239 0.227724
corral3 -0.18228 0.35332 -0.516 0.610845
corral4 0.47656 0.32689 1.458 0.158396
corral5 0.47493 0.38523 1.233 0.230085
sexoM 0.43242 0.21349 2.025 0.054575 .
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
De modo que la estimación del parámetro de regresión para el peso es 0.0902 y es significativo. El contraste
de los modelos es
> anova(ga, gp)
Model 1: engorde ~ peso + corral + sexo
Model 2: engorde ~ peso + aliment + corral + sexo + aliment:sexo
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 23 7.3614
2 19 4.8741 4 2.4873 2.424 0.08378 .
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Esta tabla nos dice que no hay diferencias entre alimentaciones.
Sin embargo, en el libro de Cuadras[2] se propone considerar las interacciones entre alimentos y sexo de
modo que el modelo lineal es un poco más complejo.
> aliAsexoM <- c(rep(c(1,-1), 5), rep(0, 10), rep(c(-1,1), 5))
> aliBsexoH <- c(rep(0, 10), rep(c(-1,1), 5), rep(c(1,-1), 5))
> ga0 <- lm(engorde ~ peso + corral + sexo + aliAsexoM + aliBsexoH)
> summary(ga0)
17

Call:
lm(formula = engorde ~ peso + corral + sexo + aliAsexoM + aliBsexoH)
Residuals:
-0.80354 -0.34457 -0.02659 0.38268 0.85203
Coefficients:
(Intercept) 5.78574 1.11954 5.168 4.04e-05 ***
peso 0.08781 0.02779 3.160 0.00472 **
corral1 -0.25098 0.25193 -0.996 0.33048
corral2 0.26459 0.27951 0.947 0.35460
corral3 -0.44561 0.21520 -2.071 0.05090 .
corral4 0.22678 0.25945 0.874 0.39196
sexo1 -0.21374 0.11120 -1.922 0.06827 .
aliAsexoM -0.05736 0.15200 -0.377 0.70966
aliBsexoH -0.07548 0.15516 -0.486 0.63167
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
> anova(ga0, gp)
Model 1: engorde ~ peso + corral + sexo + aliAsexoM + aliBsexoH
1 21 7.2710
2 19 4.8741 2 2.3968 4.6716 0.02238 *
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Ahora la estimación del parámetro de regresión para el peso es 0.08781 y también es significativo. La
tabla del análisis de la varianza nos da un estad´ıstico F =4.6716 que es significativo (p-valor=0.02238),
de modo que hay diferencias entre los tipos de alimentación. Estos resultados coinciden con los del libro
de Cuadras[2] y con los de Wishart(1938) y Rao(1965).
Análogamente, si no hay diferencias entre los corrales el modelo es
> gb <- lm(engorde ~ peso + aliment + sexo + aliment:sexo, datos)
> summary(gb)
Call:
lm(formula = engorde ~ peso + aliment + sexo + aliment:sexo,
data = datos)
Residuals:
-1.00049 -0.29798 -0.06508 0.36105 1.15798
Coefficients:
(Intercept) 6.48393 0.75555 8.582 1.26e-08 ***
peso 0.07615 0.01738 4.382 0.000217 ***
alimentB -0.58554 0.35596 -1.645 0.113581
alimentC -0.71092 0.35617 -1.996 0.057905 .
18

sexoM 0.28476 0.35833 0.795 0.434929
alimentB:sexoM 0.29602 0.50534 0.586 0.563729
alimentC:sexoM 0.05984 0.50408 0.119 0.906540
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
> anova(gb, gp)
Model 1: engorde ~ peso + aliment + sexo + aliment:sexo
1 23 7.2831
2 19 4.8741 4 2.4089 2.3476 0.09126 .
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
La estimación del parámetro de regresión para el peso es 0.07615 y también es significativo. La tabla del
análisis de la varianza nos da un estad´ıstico F =2.3476 que no es significativo (p-valor=0.09126).
La varianza estimada de los errores en el modelo sin variable concomitante es
> summary(g)$sigma^2
[1] 0.4201907
En cambio, la varianza estimada de los errores en el modelo con variable concomitante es
> summary(gp)$sigma^2
[1] 0.2565335
Casi la mitad de la anterior.
8. Análisis de los residuos
En todos los modelos deber´ıamos hacer un diagnóstico mediante un análisis de los residuos más o menos
sofisticado.
En general y como m´ınimo, un par de gráficos nos pueden servir. Por ejemplo, en el modelo lineal del
problema 10.1 podemos representar los residuos como se puede ver en la figura 8.
> g.lm <- lm(longitud ~ especie)
> plot(especie, residuals(g.lm), ylab = "residuos")
> abline(h = 0)
> qqnorm(residuals(g.lm))
> qqline(residuals(g.lm))
Para contrastar la igualdad de las varianzas en las tres especies podemos realizar el contraste de Levene.
> y <- longitud
> med <- tapply(y, especie, median)
> med
4.9 6.0 6.5
> aresid <- abs(y - med[especie])
> anova(lm(aresid ~ especie))
19

Iris setosa Iris virginica
−1.5−0.50.5
residuos
−2 −1 0 1 2
−1.5−0.50.5
Theoretical Quantiles
SampleQuantiles
Figura 8: Gráficos de diagnóstico con los datos del problema 10.1.
Response: aresid
especie 2 0.5760 0.2880 2.185 0.1251
Residuals 42 5.5360 0.1318
Se considera que hay heterocedasticidad si el p-valor es menor que 0,01. En este caso no hay razón para
dudar de la homocedasticidad.
Referencias
[1] F. Carmona, Modelos lineales, Publicacions UB, 2005.
[2] C.M. Cuadras, Problemas de Probabilidades y Estad´ıstica. Vol.2:Inferencia Estad´ıstica. EUB, 2000.
[3] J.J. Faraway, Linear Models with R, Chapman & Hall/CRC, 2004.
[4] P. Murrell, R Graphics, Chapman & Hall/CRC, 2005.
[5] J. Verzani, Using R for Introductory Statistics. Chapman & Hall/CRC, 2004.
20

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