Ejercicios modelo con matrices

EJERCICIOS MODELO ( Y PROPUESTOS EN EXÁMENES)

TEMA: ECUACIONES Y SISTEMAS
1-En una competición deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres
categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas
infantiles, por una parte excede en una unidad al número de cadetes y por otra,
coincide con el quíntuplo del número de juveniles. Determina el número de
atletas que hay en cada categoría.
Solución
Llamamos: x al número de atletas infantiles, y al número de atletas cadetes, z
al número de atletas juveniles

Se verifica

x =15, sustituyendo se obtiene y = 29, y =6

Nota. También lo podríamos resolver aplicando el método de Gauss
Se trata de conseguir una matriz escalonada de más fácil resolución ..

La matriz es

....

Comprobar el resultado.

2. Encuentra los valores de a para que la siguiente matriz, A, no sea inversible

y halla la inversa para a =1
Solución
Para que no sea inversible el determinante debe dar 0.

7a-21=0 a =3

Calculamos la inversa para a =1, si a =1 el valor del determinante es -14.

Se calcula la adjunta de A, Adj A = , se traspone, (Adj A)‟ =

y por último dividimos por el determinante de A,

Comprobar el resultado multiplicando A por su inversa, A-1,( A.A-1 =I).

3. Calcula la matriz X tal que XA-2B =C, donde , y

Solución

XA-2B =C XA =2B+ C XA = = ; X =

de donde X = =*

*la inversa comprueba que es A-1= , por el método que prefieras.
4. Discute y resuelve el sistema en los casos posibles

Solución
Como el parámetro k solo está en una ecuación y en la z, el método de Gauss en
este caso nos parece el más conveniente.
Cambiamos el orden de las ecuaciones para más sencillez

, q ya es escalonado:

Discusión
Si k-2 distinto de cero, es decir si k distinto de 2, el sistema es compatible
determinado (solución única)
Si k-2=0, es decir k =2, quedaría 0z=2, y el sistema sería incompatible.

Resolvemos para k distinto de 2: de aquí ,

Resolviendo de abajo a arriba,

y =-3- =

(Comprobar los resultados haciendo el ejercicio usando la regla de Cramer)

5. En cierta heladería por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos
te cobran 34 un día. Otro día por 4 copas de la casa y 4 horchatas te cobran
44 €, y un tercer día te piden 26 € por una horchata y 4 batidos. ¿Tienes
motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta
incorrecta?
Solución
Planteamiento:
Llamamos x al precio de la copa de la casa
y al precio de la horchata
z al precio del batido
Se tiene:
x +2y+ 4z=34
4x+ 4y =44, simplificando x + y = 11 (1 )
y +4z=26
Si restamos las ecuaciones 1ª y 3ª se tiene:
x +y = 8 por lo que el sistema es incompatible (ver 1)

6. a) Calcula la inversa de la matriz A = , comprueba el resultado.

b) Resuelve la ecuación matricial XA – C = 2 B, donde:

A= , B= , C=

Solución
Primero calculamos el determinante de A para comprobar que en efecto existe
la inversa.
=-1, es distinto de 0, luego hay inversa.
Después calculamos la matriz adjunta de A, cuyos elementos son los adjuntos
de los elementos de A

A11= ; A12=(-1)1+2 ..............., es decir

Adj A= , después trasponemos la matriz adjunta

(Adj, A)t= , y por último dividimos por el determinante. Nos
queda:

A-1= =

Para comprobar el resultado, multiplicamos por la matriz A (en ambos sentidos)
y nos tiene que dar la identidad:

A-1.A= . = (Comprobarlo en el otro sentido)

b) Se tiene:
XA =2B+ C, como la matriz A tiene inversa (apartado a)), multiplicamos a ambos
lados para despejar la X:
XA .A-1= (2B+ C). A-1, de donde:
X = (2B+ C).A-1
Calculamos pues, 2B+ C:

(2B+ C)= , multiplicando por la inversa de A:

X= . =

7. En una reunión hay 40 personas. La suma del número de hombres y mujeres
triplica el número de niños. El número de mujeres excede en 6 a la suma del
número de hombres más el número de niños. Averiguar razonadamente cuántos
hombres, mujeres y niños hay.

Solución
Llamamos:
x al nº de hombres
y al nº de mujeres
z al nº de niños
Se tiene:

Restando las dos primera ecuaciones, se obtiene 4z=40, de donde z =10.
Sustituyendo:

Sumando 2y=46, y =23, x =7

Hacerle usando el método de Gauss

Por tanto tenemos motivos para pensar que nos han presentado algún día
una cuenta incorrecta

6. Se considera la matriz

A=

a) Determinar los valores de m para los que el determinante de A sea cero.

b) Resolver para m = 1 el sistema.

A

Solución

a)

Por lo tanto el determinante de a es 0 para m =0 y m =1.
b) Si m =1, la matriz A nos queda:

A= y el sistema que nos plantean es: ,
Operando nos quedaría:
x+y+z=0
x+2y+z=2
y= -1
Restando las ecuaciones 1ª y 2ª , nos queda y=2 , por lo tanto el sistema es
incompatible.
Terminarle.
7. Compro 100 regalos de diferentes precios, 25 euros, 5 y 0.25 euros y me
gasto en total 500 euros, ¿cuántos regalos he comprado de cada cantidad
exactamente?
Solución
Llamamos x, y, z al número de regalos de 25 euros, de 5 euros y de 0,25 euros,
respectivamente.

Entonces Multiplicamos por 4 la segunda ecuación,

z y x

Ordenamos las incógnitas

Es un sistema indeterminado, hacemos x =t y la solución del sistema sería

Las soluciones tienen que ser enteros positivos, y para que la y lo sea tiene que
ser t = 19, de donde x =19, y =1 con lo que z =80

SI NECESITAS MÁS EJERCICIOS VISITA: Álgebra para 2º Bach MCS y
Selectividad

TEMA: PROGAMACIÓN LÍNEAL
1.-Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola
sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de
tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B
contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por
cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B.
Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para
maximizar los beneficios y calcular éste.
Solución
nº Cafeína Sin Cafeína
A x 3x 3x
B y 2y 4y
Totales 120 180
El conjunto de restricciones es:

Los vértices son A(0, 0), B(0, 45), C(20, 30) y D(40, 0) (comprobarlo
dibujando la región factible).
La función objetivo es: beneficio =f(x, y)= 6x + 5y
Utilizando el método analítico, el máximo estará en uno de los vértices.
f(0, 0)= 0, f(0, 45)=225 f(20, 30)= 120+150=270 y f(40, 0)=240
Es decir 20 paquetes de A y 30 de B
(Comprobarlo gráficamente)

2. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en
su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita
tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de
dietas en las que la concentración de dichos componentes es:
dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B
dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.
Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €.
¿cuál es la distribución óptima para el menor coste?
Solución:

Lo resolveremos gráficamente.
Sean x e y el número de dietas D1 y D2 respectivamente.

La función objetivo es:
C(x,y) = 2,5 x + 1,45 y

Las restricciones son :

2x + y  70

3x + 2y  120 (20,30)
x  0 , y 0

x y

0 0
29 -50

Los vértices de la región factible son: (0,0),(0,60), (20,30) y (40,0)
Se observa en el gráfico que la solución óptima es 20 D1 y 30 dietas D2.
(Comprobarlo analíticamente)

3. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede
cultivarmás de 8 ha con olivos de tipo A, ni más de 10 ha con olivos del tipo B.
Cada hectárea
de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3.
Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere
una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para

realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen,
respectivamente,
500 y 300 litros anuales de aceite:
a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben
plantar para maximizar la producción de aceite.
b) Obtener la producción máxima.
Se trata de un problema de programación lineal.
Si x indica las hectáreas de olivo A e y las de B, el objetivo es maximizar:
P(x, y) = 500x + 300y
Restringido por:
x 8
y 10
4x + 3y 44 (restricción por agua)
500x + 225y 4500 (restricción por inversión)
x 0; y 0
Estas restricciones generan la región factible (sombreada) dada en la siguiente
figura.

Trazando las rectas de nivel, de ecuación 500x + 300y = k, y trasladándolas
hacia la derecha,
según el vector (500, 300), se observa que el nivel máximo se obtiene en el
vértice R de coordenadas:
R = (6, 20/3) (método gráfico).

Esta coordenadas son la solución del sistema: (comprobarlo)

Hay que cultivar 6 hectáreas de olivo A y 20/3 hectáreas del tipo B.
b) La producción máxima es
P(6, 20/3) = 500 · 6 + 300 · (20/3) = 5000 litros
(Comprobarlo usando el método analítico)

4. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos
beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se
precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo
B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de
48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9
fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para
obtener el máximo beneficio y cual seria este?
Solución
Es un problema de programación lineal. Hacemos una tabla para organizarnos

Nº Horas de Unidades de
trabajo tela
Modelo A x 4x 3x
Modelo B y 3y 5y
Totales 48 60

Las restricciones son la función objetivo es f(x,
y)=40x +20y

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones:

Dibujamos la región factible

Calculamos los vértices:

36+ 3y =48 y =4 luego un vértice es (9, 4)

lo resolvemos por reducción 11y=96 y =96/11
, sustituyendo en la 1ª ecuación, x = 60/11
Los vértices son (0, 0), (9, 0), (9, 4), ( 60/11, 96/11) y (0, 12)
Por el método gráfico vemos que el máximo se alcanza en el punto (9, 4) .
Comprobar este resultado utilizando el método analítico ( calcula el valor de la
función objetivo en los vértices)
5. Disponemos de 21000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos
tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 7% y las del tipo B, que rinden el
9%. Decidimos invertir un máximo de 13000 euros en las del tipo A y como
mínimo 6000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo
B sea menor que el doble de la inversión en A. ¿Cuál tiene que ser la
distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Solución
nª Interés
Tipo A x 0,07x
Tipo B y 0,09y
Total 21000 0,07x+0,09y
Hay que optimizar la función objetivo: Z = 0,07x+0,09y, sujeta a las siguientes
restricciones:

Representamos la región factible:

Rectas auxiliares:
r1 x +y= 21000
x y
0 21000
21000 0
r2 x =13.000 (vertical)
r3 y =6.000 (horizontal)
r4 y =2x
X Y
0 0
3000 6000

Los vértices son, (3.000,6000), (7.000,14.000), (13.000,8000), (13.000, 6.000)
Gráficamente obtenemos la solución óptima en el punto (7.000, 14.000)
Y el máximo beneficio será 1750 euros.
Comprobarlo analíticamente.

SI NECESITAS MÁS EJERCICIOS VISITA: OTROS PROBLEMAS DE P.L

TEMA: CONTINUIDAD, DERIVADAS E INTEGRALES

1. Dada la función F(x)=

a) hallar los puntos de discontinuidad
b) Si existe alguno, hallar los limites laterales y el salto de discontinuidad

c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que
sea continua en toda la recta
Solución
a) El único punto en que es discontinua es en x = 2, que anula el
denominador.

b) Lo límites laterales:

Análogamente cuando x tiende a 2+
Como los límites laterales coinciden la discontinuidad es evitable.
c) El dominio de la función F es R- Como la discontinuidad e evitable sí
se puede “completar” el dominio con el 2, definiéndola en ese punto con el valor
de dicho límite. Es decir:

es continua

2. Dada la función F(x)= , se pide:

a) hallar los puntos de discontinuidad
b) Si existe alguno, hallar los limites laterales y el salto de discontinuidad
c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que
sea continua en toda la recta
Solución
a) Como es un cociente de polinomios es discontinua en los puntos que
anulan al denominador.
x2-4x+4=0, x =2 (raíz doble) es el único punto de discontinuidad

b) Los límites laterales: (ya que x-
2<0, para valores menores que 2)

(ya que x-2>0 para
valores mayores que 2)

Es una discontinuidad de primero especie o de salto. El salto es infinito
Por ser una discontinuidad de salto no se puede definir.
3. Hallar p y q para que la curva y = x2+ px +q contenga al punto (-2,1) y
presente un mínimo en x =-3.
Solución
Si queremos que el punto (-2, 1) pertenezca a la curva tiene que verificarse:
1=(-2)2-2p +q, es decir,
2p-q =3

Si queremos que tenga un mínimo en el punto de abscisa x=-3, en dicho punto la
derivada tiene que valer 0.

y ´= 2x+ p
y‟(-3)=-6+ p =0
p =6
12-q =3, de donde q =9

4. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad
de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x)
representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x.
Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si
la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 ,

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que
nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, un muy
mecánico:
f

f´ + 200 -
se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0
y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en
ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha
dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un
máximo local
b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.
c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros
Solución gráfica

5. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene
expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas)
transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de
máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta
crece y decrece.

Solución
Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0
Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el
intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los
extremos del intervalo (por el teorema de Weiertrars).
Ordeno la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40
V(0)=40
V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47
V(6)=216-324+90+40=22
La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de
la derivada: V‟(t)=3t2-18t+15
0 1 5 6
V‟ + 0 - 0 +
Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y
decrece en el intervalo (1, 5)

Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.

6. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2
horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas
y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del
intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que
periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?
SOLUCIÓN
Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la
función velocidad v.
Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada
da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la
función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0
(condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer
a decrecer)
La derivada es:
v‟(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se
llega a: v‟(x)=((1-x)ex
Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex
nunca puede ser cero)
Estudiamos v en los alrededores de 1

v„ + 1 - 2
y crece decrece

Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y
decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el
extremo:
v(x)= (2-x)ex
v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)
v(0)=(2-0).1=2
v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.

LA GRÁFICA:

(No es necesaria la gráfica solo la pongo para ayudar a entender lo que se hace,
vemos que pasa justo lo que hemos deducido entre 0 y 2)
7. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto
pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través
de la expresión

Se pide:
a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?
b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
c) Cual fue esa cantidad máxima?
Solución
Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente:

Si , su derivada es f‟(t)=

Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6

Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f,
entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre
es positivo)

0 6 12
f‟ + -
Crece hasta el 6 y decrece desde el 6
Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues
en el infinito da 0) y se tiene:
a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6
b) en t =6
c) f(6)=10/1=10

NOTA IMPORTANTE: EN ESTE TIPO DE PROBLEMAS CASI NUNCA ES
ACONSEJABLE DESARROLLAR EL DENOMINADOR.
Problema propuesto:
Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada
kilogramo de fresa depende del precio de venta de acuerdo con la función

B(x)=2x-x2-0.84, siendo B(x) el beneficio por kilogramo, expresado en euros,
cuando x es el precio de cada kilogramo también en euros.
a) Entre que precios por kilogramo se producen beneficios para el
almacenista.
b) Que precio por kilogramo maximiza los beneficios para este.
c) Si tiene en el almacén 10.000 kilogramos de fresas ¿Cuál será el
beneficio total máximo que podría obtener.
Si tienes alguna duda visita el foro y te ayudamos.
8. Hallar el área comprendida entre la función f(x)=-x2+2 x + 3 y la recta y =x
+1
Solución
Dibujamos la parábola y la recta sobre los mismos ejes.
Los puntos de corte de las dos curvas los calculamos resolviendo el sistema

(comprobar que dan los q se aprecia en el dibujo, (-1, 0) y (2, 3)

El área encerrada por las curvas es la integral desde -1 hasta 2 (abscisas de
los puntos de corte son los límites del a integral) de la función f1 –f2 , donde en
este caso f1 es la parábola, pues es la curva que queda por arriba entre -1 y 2, y
f2 es la recta que como se ve queda por debajo.

= = G(2)-G(1)

Llamamos G a una primitiva de y = , G(x) = (comprueba
que lo es derivando y viendo q coinciden)
Entonces, usando la regla de Barrow, el área encerrada es, G(2)-G(-1)=9/2

Si quieres mas modelos de integrales definidas resueltos visita este
enlace: INTEGRALES MODELO
SI NECESITAS REUMEN TEÓRICO: INTEGRAL DEFINIDA (LOGSE)

SI NECESITAS MAS EJERCICIOS DE ESTA PARTE VISITA
SOLUCIONES SELECTIVIDAD JUNIO 2004

TEMA: PROBABILIDAD
1. Se desea “conocer” si los accidentes tienen alguna relación con la marca del
coche. Se han observado para ello a lo largo de un año 100000 coches de tres
marcas, SEAT, VOLVO y AUDI, la siguiente tabla recoge la información
obtenida[C1]:

SEAT VOLVO AUDI
ACCIDENTES 500 200 300
(AC)
NO AC 59600 19800 19600
Con los datos obtenidos estudiar si es más probable tener un accidente con un
coche de una marca que de otra.
Solución
Completamos la tabla de contingencia:
SEAT VOLVO AUDI
ACCIDENTES 500 200 300 1000
NO AC 59600 19800 19600 99000
60100 20000 19900 100000
La probabilidad total de que un determinado coche tenga un accidente es

P(AC)=

La tabla nos permite calcular las probabilidades de que un coche de una
determinada marca tenga un accidente:

P(AC/SEAT)= ; P(AC/VOLVO)= y P(AC/AUDI)=

Con estos datos a priori podemos afirmar que la más segura es la SEAT y la
menos la AUDI, y también se observa que los sucesos VOLVO y AC son
independientes (P(AC/VOLVO)= P(AC)), pero no así con las otras dos marcas.

Por otra parte si entre los 1000 coches que han tenido un accidente elegimos
uno al azar:

P(SEAT/AC)= ; P(VOLVO/AC)= ; P(AUDI/AC)= , en el
que vemos de igual forma que

ha disminuido la probabilidad de SEAT, al saberse que ha ocurrido un
accidente, y aumentado la de AUDI. La de VOLVO quedó igual, debido que eran
independientes.

2. En cierto país, donde la enfermedad X es endémica, se sabe que un 12% de
la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar
esa enfermedad, pero no es totalmente fiable, ya que da positivo en el 90% de
los casos de personas realmente enfermas y también da positiva en el 5% de
personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que
la prueba ha dado positiva?
Solución
P(enferma)= 0,12
P(+/enferma)=0,90, P(+/sana)=0,05
Utilizamos un diagrama de árbol para solucionar el problema:

En primer lugar calculamos la probabilidad de que la prueba dé positiva:
P(+) = 0,12.0,90 + 0,88.0,05 = 0,152
Luego calculamos la probabilidad de que una persona sana de positiva:
P(S, +)= 0,88.0,05= 0,044
La razón entre estas dos cantidades es la probabilidad pedida, es decir:
P(S/+)= P(S, +)/P(+)=0,044 /0, 152=0,289

3. En una asesoría fiscal se ha contratado a tres personas para hacer
declaraciones de renta. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30%, la
segunda el 45% y la tercera el 25% restante. Se ha comprobado que de las
declaraciones por la primera persona, el 1% son erróneas, la segunda comete
errores en el 3% de los casos y la tercera en el 2% de los casos. Calcula la
probabilidad de que, al elegir al azar una declaración de renta, esta sea
errónea. Al elegir una declaración que resulto correcta, ¿Cuál es la
probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?
Solución
a) en este caso el diagrama de árbol es:

p(sea errónea))=p(errónea/realizada por 1ª persona)p(realizada 1ª
persona)+p(errónea/realizada por 2ª persona)+ p(errónea/realizada por 3ª
persona)= 0,3.0,01+0,45.0,03+0,25.0,02=0,003+0,0135+0,005=0,0215

b) En primer lugar se tiene que:
p(correcta)= 1-p(errónea) =1-0,0215=0,9785

p(realizado la segunda persona/correcta)=

Observación: La justificación matemática de esta forma de resolución está en
la aplicación del teorema de la probabilidad total y de la fórmula de Bayes
p(B)=p(B/A1).p(A1)+p(B/A2).p(A2)+……….+p(B/An).p(An)

)

4. Un alumno realiza un examen tipo test que consta de 4 preguntas. Cada una
de las preguntas tiene tres posibles respuestas, de las que sólo una es
correcta. Si un alumno aprueba contestando correctamente dos o más
preguntas, obtener de forma razonada la probabilidad de que apruebe si
escoge las respuestas al azar.
Solución
Es una distribución binomial donde n = 4 y X es el número de preguntas
contestadas correctamente (=aciertos). La probabilidad de X =k aciertos nos

la da la fórmula p(X=k)=

p = P(acertar)=1/3, q = 2/3
P(aprobar)= P(X =2)+P(X =3)+P(X =4) = 6.(1/3)2.(2/3)2 + 4. (1/3)3.(2/3)+(1/3)4=
0,40 (comprobarlo)
(El problema también se puede resolver usando un diagrama de árbol, en el caso
de no haberse estudiado el tema de distribuciones de probabilidad)

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